高中数学选修2-1知识点、考点、附典型例题新选.

高二数学选修2－1

第一章：命题与逻辑结构

知识点：

1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.

2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.

3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.

4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ?，则q ?”.

5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.

若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ?，则p ?”. 6、四种命题的真假性：

原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假

假

假

假

四种命题的真假性之间的关系：

()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

7、若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．

8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧． 当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，

p q ∧是假命题．

用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．

当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题．

对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ?．

若p 是真命题，则p ?必是假命题；若p 是假命题，则p ?必是真命题．

9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“?”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题．

全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“?”表示． 含有存在量词的命题称为特称命题．

特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ”．

10、全称命题p ：x ?∈M ，()p x ，它的否定p ?：x ?∈M ，()p x ?．全称命题的否定是特称命题．

考点：1、充要条件的判定

2、命题之间的关系

典型例题：

★1．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 A ．1a b >+ B ．1a b >-

C ．2

2

a b >

D ．3

3

a b >

★2．已知命题P ：?n ∈N ，2n ＞1000，则?P 为 A ．?n ∈N ，2n ≤1000 B ．?n ∈N ，2n ＞1000

C ．?n ∈N ，2n ≤1000

D ．?n ∈N ，2n ＜1000

★３．"1""||1"x x >>是的

A ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件

第二章：圆锥曲线

知识点：

1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．

2、椭圆的几何性质： 焦点的位置

焦点在x 轴上

焦点在y 轴上

图形

标准方程

()22

2210x y a b a b +=>> ()22

2210y x a b a b

+=>> 范围

a x a -≤≤且

b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤

顶点

()1,0a A -、()2,0a A

()10,b B -、()20,b B

()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B

轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =

焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c

焦距 ()222122F F c c a b ==-

对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称

离心率

)2

2101c b e e a a

==-<<

准线方程

2

a x c =±

2

a y c

=±

3、设M 是椭圆上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为

2d ，则

121

2

F F e d d M M =

=．

4、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．

5、双曲线的几何性质： 焦点的位置

焦点在x 轴上

焦点在y 轴上

图形

标准方程

()22

2210,0x y a b a b -=>> ()22

22

10,0y x a b a b -=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈ y a ≤-或y a ≥，x R ∈

顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A

轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a =

焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c

焦距 ()222122F F c c a b ==+

对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称

离心率

)2

211c b e e a a

==+>

准线方程

2

a x c

=±

2

a y c

=±

渐近线方程

b y x a

=±

a y x b

=±

6、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．

7、设M 是双曲线上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，则

12

12

F F e d d M M ==． 8、平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．

9、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即2p AB =． 10、抛物线的几何性质：

标准方程

22y px =

()0p >

22y px =- ()0p > 22x py = ()0p > 22x py =-

()0p >

图形

顶点

()0,0

对称轴

x 轴

y 轴

焦点

,02p F ??

??? ,02p F ??

- ???

0,2p F ?

? ??

?

0,2p F ?

?- ??

?

准线方程

2

p

x =-

2

p x =

2

p y =-

2

p y =

离心率 1e =

范围 0x ≥ 0x ≤

0y ≥ 0y ≤

考点：1、圆锥曲线方程的求解

2、直线与圆锥曲线综合性问题

3、圆锥曲线的离心率问题

典型例题：

★★1．设双曲线的左准线与两条渐近线交于,A B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内，

则该双曲线的离心率的取值范围为

A ．(0,2)

B ．(1,2)

C ． 2

(

,1) D ．(2，)+∞

★★★2．设椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2。点(,)P a b 满足

212||||.PF F F = （Ⅰ）求椭圆的离心率e ；

（Ⅱ）设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，若直线PF 2与圆22

(1)(3)16x y ++-=相

交于M ，N 两点，且5

||||8

MN AB =，求椭圆的方程。

第三章：空间向量

知识点：

1、空间向量的概念：

()1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．

()2向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示

向量的方向．

()3向量AB u u u r

的大小称为向量的模（或长度）

，记作AB u u u r ． ()4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量． ()5与向量a r 长度相等且方向相反的向量称为a r 的相反向量，记作a -r

． ()6方向相同且模相等的向量称为相等向量．

2、空间向量的加法和减法：

()1求两个向量和的运算称为向量的加法，

它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点O 为起点的两个已

知向量a r 、b r

为邻边作平行四边形C OA B ，则以O 起

点的对角线C O u u u r 就是a r 与b r

的和，这种求向量和的方法，

称为向量加法的平行四边形法则．

()2求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角

形法则．即：在空间任取一点O ，作a OA =u u u r r ，b OB =u u u r r ，则a b BA =-u u u r r r ．

3、实数λ与空间向量a r 的乘积a λr 是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λr

与

a r 方向相同；当0λ<时，a λr 与a r 方向相反；当0λ=时，a λr 为零向量，记为0r ．a λr

的

长度是a r

的长度的

λ倍．

4、设λ，μ为实数，a r ，b r

是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．

分配律：()

a b a b λλλ+=+r r r r ；结合律：()()a a λμλμ=r r

．

5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．

6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a r ，()

0b b ≠r r

，//a b r r 的充要条件是存在

实数λ，使a b λ=r r

．

7、平行于同一个平面的向量称为共面向量．

8、向量共面定理：空间一点P 位于平面C AB 内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使

x y C AP =AB +A u u u r u u u r u u u r ；或对空间任一定点O ，有x y C OP =OA +AB +A u u u r u u u r u u u r u u u r ；或若四点P ，A ，

B ，

C 共面，则()1x y z C x y z OP =OA+OB+O ++=u u u r u u u r u u u r u u u r

．

9、已知两个非零向量a r 和b r

，在空间任取一点O ，作a OA =u u u r r ，b OB =u u u r r ，则∠AOB 称为向量a r ，b r

的夹角，记作,a b ??r r ．两个向量夹角的取值范围是：[],0,a b π??∈r r ．

10、对于两个非零向量a r 和b r ，若,2

a b π??=r r ，则向量a r ，b r

互相垂直，记作a b ⊥r r ．

11、已知两个非零向量a r 和b r ，则cos ,a b a b ??r r r r 称为a r ，b r

的数量积，记作a b ?r r ．即

cos ,a b a b a b ?=??r r r

r r r ．零向量与任何向量的数量积为0．

12、a b ?r

r 等于a r 的长度a r

与b r

在a r

的方向上的投影cos ,b a b ??r

r

r 的乘积．

13、若a r ，b r 为非零向量，e r

为单位向量，则有()1cos ,e a a e a a e ?=?=??r r r r r r r ；

()20a b a b ⊥??=r r r r ；()3()

()

a b a b a b a b a b ?

??=?-??

r r r r r r r r

r r 与同向与反向，2a a a ?=r r r

，a =r ； ()4cos ,a b a b a b

???=r r r r r r ；()5a b a b ?≤r r

r r ．

14、量数乘积的运算律：()1a b b a ?=?r r r r ；()2()()()

a b a b a b λλλ?=?=?r r r r r r

；

()3(

)

a b c a c b c +?=?+?r r r r r r r ．

15、空间向量基本定理：若三个向量a r ，b r ，c r

不共面，则对空间任一向量p r ，存在实数组{},,x y z ，使得p xa yb zc =++r r r r

．

16、三个向量a r ，b r ，c r

不共面，则所有空间向量组成的集合是

{}

,,,p p xa yb zc x y z R =++∈r r r r r ．这个集合可看作是由向量a r ，b r ，c r

生成的，

{

}

,,a b c r r r 称为空间的一个基底，a r ，b r ，c r

称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以

构成空间的一个基底．

17、设1e u r ，2e u u r ，3e u r

为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e u r ，2e u u r ，3e u r 的公共起点O 为原点，分别以1e u r ，2e u u r ，3e u r

的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正

方向建立空间直角坐标系xyz O ．则对于空间任意一个向量p r

，一定可以把它平移，使它的

起点与原点O 重合，得到向量p OP =u u u r r

．存在有序实数组{},,x y z ，使得

123p xe ye ze =++u r u u r u r r

．把x ，y ，z 称作向量p r 在单位正交基底1e u r ，2e u u r ，3e u r 下的坐标，记

作(),,p x y z =r ．此时，向量p r

的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标(),,x y z ．

18、设()111,,a x y z =r ，()222,,b x y z =r ，则()1()121212,,a b x x y y z z +=+++r

r ． ()2()121212,,a b x x y y z z -=---r

r ．

()3()111,,a x y z λλλλ=r ．

()4121212a b x x y y z z ?=++r

r ．

()5若a r 、b r

为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥??=?++=r r r r ．

()6若0b ≠r r ，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ?=?===r r r r

．

()

7a ==r ()

8cos ,a b a b a b ???==r r

r r r ()9()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则

d AB

=AB =

u u u r

19、在空间中，取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置可以用向量OP u u u r

来表

示．向量OP u u u r

称为点P 的位置向量．

20、空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定．点A 是直线

l 上一点，向量a r

表示直线l 的方向向量，则对于直线l 上的任意一点P ，有ta AP =u u u r r ，这样

点A 和向量a r

不仅可以确定直线l 的位置，还可以具体表示出直线l 上的任意一点． 21、空间中平面α的位置可以由α内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点

O ，它们的方向向量分别为a r ，b r

．P 为平面α上任意一点，存在有序实数对(),x y ，使

得xa yb OP =+u u u r r r ，这样点O 与向量a r ，b r

就确定了平面α的位置．

22、直线l 垂直α，取直线l 的方向向量a r ，则向量a r

称为平面α的法向量．

23、若空间不重合两条直线a ，b 的方向向量分别为a r ，b r

，则////a b a b ??r r

()a b R λλ=∈r r

，0a b a b a b ⊥?⊥??=r r r r ．

24、若直线a 的方向向量为a r ，平面α的法向量为n r ，且a α?，则////a a αα?r

0a n a n ?⊥??=r r r r ，//a a a n a n ααλ⊥?⊥??=r r r r r ．

25、若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为a r ，b r

，则////a b αβ??r r

a b λ=r r ，0a b a b αβ⊥?⊥??=r r

r r ．

26、设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a r ，b r

，其夹角为?，则有

cos cos a b

a b

θ??==r r r r ．

27、设直线l 的方向向量为l r ，平面α的法向量为n r

，l 与α所成的角为θ，l r 与n r 的夹角

为?，则有sin cos l n

l n

θ??==r r r r ．

28、设1n u r ，2n u u r 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n u r ，2n u u r

的夹角（或其

补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则12

12

cos n n n n θ?=u r u u r u r u u r ．

29、点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB u u u r

的模AB u u u r 计算．

30、在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n r

，则定点A 到直线l 的距离

为cos ,n d n n

PA ?=PA ?PA ?=u u u r r u u u r u u u r r

r ．

31、点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n r

为平面α的一个法向量，则点P 到

平面α的距离为cos ,n d n n

PA ?=PA ?PA ?=u u u r r u u u r u u u r r

r ．

考点：1、利用空间向量证明线线平行、线线垂直

2、利用空间向量证明线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直

3、利用空间向量证明线线角、线面角、面面角问题

典型例题：

★★1．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与BC 所成角

的余弦值为 。

★★★2．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ ACB=90?，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.

（Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ; （Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小． ★★★3.如图，在五棱锥P —ABCDE 中，⊥PA 平面ABCDE ，

AB//CD ，AC//ED ，AE//BC ，42,22,45===?=∠AE BC AB ABC ，三角形PAB 是等腰三角形。

（Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PAC ； （Ⅱ）求直线PB 与平面PCD 所成角的大小； （Ⅲ）求四棱锥P —ACDE 的体积。

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