蠕变型线粘弹性本构方程
第6章 线性粘弹性
4.2 回复曲线R(, T) 回复曲线定义为： R(,T)=[() - (+T)]/0 = J() - J(+T) +J(T)
(t)
0R(,T)
(-)
() - (+T) T (+T)
0
图6-11 回复曲线
t
4.3 粘弹性固体的蠕变回复
对粘弹性固体： (t)= 0[J(+T) - J(T)] 如果时间足够长，J() = Je，这种蠕 变称为长蠕变，反之称为短蠕变。 只要长时间回复，即T趋近无穷大。 (t ) 0 [ J () J ()] 0 [ J e J e ] 0 即粘弹性固体是完全回复的。 回复曲线 对长蠕变： R(,T)= J() - J(+T) + J(T)
G(t)=(0, t)/0 式中： G(t)为剪切松弛模量。 对于拉伸应力松弛实验，有拉伸松弛模量：
E(t)=(0, t)/ 0
注意：蠕变实验用来定义柔量，松弛实验 用来定义模量。 J(t)=(t)/0 G(t)=0/ 0 J(t) 1/G(t) 2 线性粘弹性的定义 Boltzmann 加和原理 2.1 正比性 对于线弹性体，柔量J与应力大小和时间无关。 对线性粘弹性体，应变与应力成正比即：
式中：J(t)称为剪切蠕变柔量。 对拉伸蠕变实验，有： D(t)=E(0, t)/0 式中：D(t)称为拉伸蠕变柔量。
1.2 应力松弛 (Stress relaxation) 在一定温度下，使材料产生一个瞬时应变， 材料的应力随时间的变化。如图6-2 (a, b, c, d, e) 所示。 (t)=0 (t)=0 t0 t0
式中，D(t)称为拉伸蠕变柔量。 对于任意给定的连续的应变史() ，相应的应 力史为：
第三章粘弹性流体的本构方程
第三章非线性粘弹流体的本构方程1．本构方程概念本构方程（constitutive equation），又称状态方程——描述一大类材料所遵循的与材料结构属性相关的力学响应规律的方程。
不同材料以不同本构方程表现其最基本的物性，对高分子材料流变学来讲，寻求能够正确描述高分子液体非线性粘弹响应规律的本构方程无疑为其最重要的中心任务，这也是建立高分子材料流变学理论的基础。
两种。
唯象性方法，一般不追求材料的微观结构，而是强调实验事实，现象性地推广流体力学、弹性力学、高分子物理学中关于线性粘弹性本构方程的研究结果，直接给出描写非线性粘弹流体应力、应变、应变率间的关系。
以本构方程中的参数，如粘度、模量、松弛时间等，表征材料的特性。
分子论方法，重在建立能够描述高分子材料大分子链流动的正确模型，研究微观结构对材料流动性的影响。
采用热力学和统计力学方法，将宏观流变性质与分子结构参数（如分子量，分子量分布，链段结构参数等）联系起来。
为此首先提出能够描述大分子链运动的正确模型是问题关键。
根据研究对象不同，象性方法和分子论方法虽然出发点不同，逻辑推理的思路不尽相同，而最终的结论却十分接近，表明这是一个正确的科学的研究基础。
目前关于高分子材料，特别浓厚体系本构方程的研究仍十分活跃。
同时，大量的实验积累着越来越多的数据，它们是检验本构方程优劣的最重要标志。
从形式上分，速率型本构方程，方程中包含应力张量或形变速率张量的时间微商，或同时包含这两个微商。
积分型本构方程，利用迭加原理，把应力表示成应变历史上的积分，或者用一系列松弛时间连续分布的模型的迭加来描述材料的非线性粘弹性。
积分又分为单重积分或多重积分。
判断一个本构方程的优劣主要考察：1）方程的立论是否科学合理，论据是否充分，结论是否简单明了。
2）一个好的理论，不仅能正确描写已知的实验事实，还应能预言至今未知，但可能发生的事实。
3）有承前启后的功能。
例如我们提出一个描写非线性粘弹流体的本构方程，当条件简化时，它应能还原为描写线性粘弹流体的本构关系。
表征粘弹性软材料力学性质的蠕变压痕实验方法
摘要理解软材料的力学行为在生物医学工程、材料工程以及软物质物理等研究领域受到广泛关注。
表征软材料的时间相关力学性能对于理解它们在各种激励下的变形行为至关重要。
本文主要研究表征软材料局部粘弹性特性的压痕蠕变实验方法。
通过量纲分析、有限元仿真和仿体实验，发展了表征生物软材料特征蠕变函数的压痕实验方法，并据此开发了低成本的便携式蠕变压痕仪。
首先，基于量纲分析和弹性-粘弹性对应原理，对蠕变压痕实验进行了理论分析。
揭示了特征蠕变函数仅由蠕变压痕实验中压头位移决定。
在保持压头与被测材料的接触面积不变的情况下，该标度律与系统中的几何参数无关，包括压头与被测材料的几何参数。
并根据该标度律关系发展了表征特征蠕变函数的反方法。
其次，建立了压痕蠕变实验有限元分析模型，通过定量研究系统几何参数、材料非线性、几何非线性和压头惯性对反分析结果的影响，验证了理论模型和反分析方法的有效性。
有限元仿真结果证明了被压软材料具有不规则形状时，该标度律关系依然成立，其不受被测试材料与压头几何参数的影响。
研究结果同时表明，采用本分析方法，刚性基底的影响可忽略不计。
第三，基于理论分析和数值模拟，发展了一种低成本的便携式压痕仪器进行压痕蠕变测试。
该实验系统的优势在于成本较低且组装简单，并且克服了传统测试仪器中实现蠕变加载的困难。
最后，利用了上述发展的便携式压痕蠕变设备开展了水凝胶仿体蠕变压痕实验。
实验结果展示了本文所发展的新方法和便携式蠕变压痕仪的实际应用价值。
关键词：特征蠕变函数；标度律；有限元仿真；蠕变实验；蠕变压痕仪AbstractDetermining time-dependent mechanical properties of soft materials is essential in understanding their deformation behaviors under various stimuli. This paper investigates the use of indentation creep tests to measure the viscoelastic properties of soft materials at local areas. A simple scaling law between the reduced creep function and the creep displacement of the indenter is revealed in this paper based on a theoretical analysis. We show that the scaling relation can be used to interpret indentation creep tests of viscoelastic soft solids with arbitrary surface profile provided that the contact area does not change. Both numerical and practical experiments have been performed to validate the theory and the inverse method. In our experiments, a low-cost portable indentation system is proposed to measure the reduced creep function. Our results show that the low-cost instrument and the analytical solution to interpret the experimental data reported here represent a useful testing method to deduce the intrinsic viscoelastic properties of soft materials in a non-destructive manner.Key words: reduced creep function; scaling law; finite element simulations; experiments; indentation instrument目录第1章绪论 (1)1.1 课题背景及研究意义 (1)1.1.1 表征软材料力学性质在生物学与医学领域的应用 (1)1.1.2 表征软材料力学性质在新材料发展与软材料物理领域的应用 (3)1.1.3 表征软材料力学性质在组织工程领域的应用 (4)1.2 力学表征手段 (5)1.2.1 压痕蠕变实验 (7)1.2.2 压痕松弛实验 (8)1.3 本文涉及的本构模型 (9)1.3.1 线弹性本构模型 (9)1.3.2 线性粘弹性本构模型 (9)1.3.3 neo-Hookean 本构模型 (10)1.3.4 Arruda-Boyce 本构模型 (11)1.4 本文的主要内容 (11)第2章粘弹性软材料压痕实验的理论分析 (13)2.1 引言 (13)2.2 软材料压痕实验响应 (13)2.3 压痕实验响应的量纲分析 (14)2.3.1 量纲分析方法 (14)2.3.2 线弹性软材料实验响应的量纲分析 (14)2.3.3 线性粘弹性软材料实验响应的量纲分析 (15)2.4 平压头蠕变实验表征材料粘弹性 (17)2.5 本章小结 (18)第3章粘弹性软材料有限元仿真 (19)3.1 引言 (19)3.2 有限元模型 (19)3.2.1 具有规则几何形状软材料的压痕蠕变实验模拟 (20)3.2.2 不规则几何形状软材料的压痕蠕变实验模拟 (21)3.2.3 硬基底上软质层的压痕蠕变实验模拟 (24)3.3 压头惯性力与材料非线性对压痕蠕变实验的影响 (25)3.3.1 压头惯性力对压痕蠕变实验的影响 (25)3.3.2 材料非线性对压痕蠕变实验的影响 (27)3.4 本章小结 (28)第4章便携式蠕变压痕实验设备设计 (30)4.1 引言 (30)4.2 商业化压痕设备器械 (30)4.2.1 传统硬度测量设备 (30)4.2.2 表征软材料力学参数的压痕设备 (31)4.3 蠕变压痕实验平台的设计原理 (32)4.4 便携式蠕变压痕设备 (34)4.5 本章小结 (35)第5章粘弹性软材料蠕变压痕实验验证 (36)5.1 引言 (36)5.2 实验材料制备 (36)5.2.1 试样的尺寸与制备方法 (36)5.2.2 试样的使用与保存 (37)5.3 压痕蠕变实验方法 (38)5.4 软材料压痕蠕变实验实验结果 (38)5.4.1 材料粘弹性参数的对蠕变实验响应的影响 (38)5.4.2 试样厚度对蠕变实验响应的影响 (40)5.4.3 压头几何尺寸对蠕变实验响应的影响 (42)5.5 本章小结 (42)第6章结论 (44)参考文献 (45)致谢 (51)声明 (52)个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果 (53)第1章绪论1.1 课题背景及研究意义软材料具有较低的弹性模量，对外界微小激励敏感，往往呈现出高度非线性的变形行为。
kelvin模型蠕变方程推导
kelvin模型蠕变方程推导在材料学领域中，蠕变是指某种物质在承受恒定压力的情况下，随时间发生的不可逆性变形。
由于蠕变对材料的疲劳和寿命有重要影响，因此研究材料蠕变特性是十分重要的。
kelvin模型是一种经典的线性粘弹性模型，它被广泛应用于材料蠕变的研究中。
它假设材料在承受恒定应力时，其本身会被分为两个部分，弹性部分和粘性部分。
而在应力作用下，弹性部分会恢复自身形态，而粘性部分则会发生不可逆性的形变。
这样就可以通过kelvin 模型来描述材料蠕变的特性。
在kelvin模型中，蠕变方程可以表示为：ε(t) = εe + ∫0t (σ/ G(t-τ) )dτ其中，ε(t)是在某一时间t下的蠕变应变，εe是材料的弹性应变，σ是材料的应力，G(t)是kelvin模型中的松弛函数。
现在就来介绍kelvin模型蠕变方程的推导过程：第一步，我们需要假设材料受到的应力是恒定的。
即：σ = σ0其中，σ0是恒定的应力。
第二步，我们需要先理解弹性反应与粘性反应。
材料在受到应力时，会发生弹性形变，这种形变会引起材料发生反向的作用力，以使材料恢复原状，这种反应就是弹性反应。
而材料在受到应力后，其分子与分子之间会发生“粘连”，导致分子的移动速度变慢，这种不可逆性的变形就是粘性反应。
第三步，我们需要将材料分为两个部分：材料的弹性部分和粘性部分。
假设在外界恒定应力σ0下，材料的弹性反应发生了ε1的形变，而粘性反应发生了ε2的形变。
于是，材料总形变为：ε = ε1 + ε2第四步，我们需要了解材料的弹性反应和粘性反应之间的关系。
考虑材料在弹性形变的时候，材料的粘性反应也会随之变化。
因为材料的弹性反应会在材料内部产生应力波，这些波会引起材料之间的相互作用，导致材料的粘度增加。
也就是说，材料的弹性反应对粘性反应是具有量级影响的。
第五步，我们需要定义kelvin松弛函数G(t)，它描述了材料的弹性反应随时间降低的速度。
可以表示为：G(t) = G0exp(-t/ τ0)其中，G0表示初始弹性模量，τ0表示弛豫时间。
岩石粘弹塑性本构关系及改进的Burgers蠕变模型
第28卷 第6期 岩 土 工 程 学 报 Vol.28 No.62006年 6月 Chinese Journal of Geotechnical Engineering June, 2006岩石粘弹塑性本构关系及改进的Burgers蠕变模型袁海平，曹 平，许万忠，陈沅江（中南大学资源与安全工程学院，湖南 长沙 410083）摘 要：软弱岩石一般具有粘弹塑性共存特性，而典型的Burgers蠕变模型只能描述材料第三期蠕变以前的粘弹性规律，因此，本文基于Mohr-Coulomb准则，提出了新的塑性元件，该元件假定材料屈服后完全服从Mohr-Coulomb塑性流动规律。
将该元件与典型的Burgers模型串联，形成了能模拟粘弹塑性偏量特性和弹塑性体积行为的改进型Burgers蠕变模型，推导了相应的粘弹塑性本构关系。
给出了模型参数的求解方法，编制了相应的数据处理程序，并结合工程实例，对蠕变模型参数进行了拟合和加权平均取值。
应用结果表明：试验曲线与理论计算曲线吻合，改进的Burgers蠕变模型能较好的描述岩石的蠕变特性。
关键词：Burgers模型；Mohr-Coulomb；蠕变；粘弹塑性；屈服准则；本构关系中图分类号：TU452 文献标识码：A 文章编号：1000–4548(2006)0796–04作者简介：袁海平(1977–)，男，博士研究生，从事岩石力学理论、工程模型及岩土工程数值计算与仿真研究。
Visco-elastop-lastic constitutive relationship of rock andmodified Burgers creep modelYUAN Hai-ping，CAO Ping，XU Wan-zhong，CHEN Yuan-jiang（School of Resources & Safety Engineering, Central South University, Changsha 410083, China）Abstract: The classic Burgers creep model could only describe the viscoelastic behaviour of rock material before the thirdcreep-phase, but weak rock usually was visco-elasto-plastic. So according to this shortage of Burgers model, a new plastic cellwas developed based on Mohr-Coulomb criterion, which was assumed to be in absolute accordance with the plastic flow law ofMohr-Coulomb when rock failed. And then the plastic cell acted in series with the classic Burgers model, and a modifiedBurgers creep model was built and the corresponding visco-elasto-plastic constitutive relationships were deduced. The modifiedmodel could simulate visco-elasto-plastic deviatoric behavior and elasto-plastic volumetric behavior. In addition, some methodsto solve model parameters were given and some corresponding programs were developed to deal with the test data. And themodel parameters of an engineering example were fitted and the values were obtained through weighted mean ones. It wasshown that the creep testing curves were coincident well with the theoretic curves, validating that the modified Burgers creepmodel was felicitous to characterize the creep behaviour law of rock.Key words: Burgers model; Mohr-Coulomb; creep; viscoelastic plasticity; yield criterion; constitutive relationship0 引 言岩石的蠕变特性是岩石类材料重要的力学性质之一，国内外学者对岩石的蠕变特性和蠕变模型进行了大量的研究[1-10]，在理论与实践上取得了重大研究成果。
第6章 线性粘弹性
如果把(i)分成无限小量，则有：
(t )
(t )
0
J (t )d ( )
或换元后得：
d ( ) (t ) J (t ) d d
t
(5)
式(5)就是Boltzmann加和性原理的数学表 达式，表明应变与全部应力成线性关系。 有时把式(5)中的积分变量变换为: T = t -θ
t 时
J R (t ) J0 () Je0
Je0 称为稳定态的柔量。
4 蠕变和回复实验 4.1 应变史 蠕变和回复实验中的应力史如下式 所示： (t) = 0 t0 (t) = 0 0t (t) = 0 t 这是一种两步应力的情况：
(t) 0 0 t (a)应力史
式中：J(t)称为剪切蠕变柔量。 对拉伸蠕变实验，有： D(t)=E(0, t)/0 式中：D(t)称为拉伸蠕变柔量。
1.2 应力松弛 (Stress relaxation) 在一定温度下，使材料产生一个瞬时 应变，材料的应力随时间的变化。如图6-2 (a, b, c, d, e)所示。 (t)=0 t0 (t)=0 t0
1(t)
1+ 2 1(t) 2(t) 3(t)
0
2(t) 2 1
t1 t
1+ 2
t1 t 0 1 2 t1 应变史 t
0 1 3(t)
1 0 1 2 t1 t
1+ 2 图6-6 不同应力史的两步应力实验
应力史
2.2.3 连续的应力史
d ( ) (t ) D(t ) d d ( ) t dD(t ) d 或： (t ) D0 (t ) ( ) d (t )
土工格栅蠕变特性的试验研究及粘弹性本构模型_栾茂田
Abstract: Considering the fact that the creep properties of geogrids are fundamental and important factors on the long-term behavior of geogrid-reinforced earth structures, a series of comparative experimental tests of the creep properties of geogrids are conducted in the laboratory under different combinations of externally-applied load and environmental temperature. Based on the experimental results, comparative analyses are made to examine characteristics of isochronous load-strain curves, creep curves and relaxation curves of geogrids. Furthermore, a constitutive model based on viscoelasticity is proposed for geogrids and a rational procedure based on experimental tests is presented for defining the relevant parameters of the model. The proposed model is verified by comparing the prediction of the model and experimental results. It is shown that the viscoelasticity creep model can mainly display long-term behavior of geogrids. Key words: geogrids; geogrid-reinforced earth structures; creep behavior; creep tests; viscoelasticity constitutive model
蠕变型线粘弹性本构方程
1. 本构方程形式
蠕变型粘弹性本构方程的矩阵形式为
ε(t ) [ED] J t
t
σ( ) d
(1.1)
其中
σ t 11 22 33 12 23 31
T
(1.2) (1.3)
0 0 0 0
ε t 11 22 33 12 23 31
将分析时间区间时间段假设每一时间步内的应力呈线性变化在时间步长时刻式15所示的本构离散形式为16其中17其中弹性应变增量为18蠕变应变增量为19根据蠕变柔量的prony级数形式110将式110代入式19有111上式不利于有限元分析因为需要每一分析步都需要记录全部的历史从而要较大存储空间下面将其改写成递推形式
ε(t ) ε c εe [ED] J t
t
σ( ) d
(1.5)
2. 本构方程的增量形式
对于非线性材料本构的分析，一般采用增量法，需进一步推导适 合有限元计算的增量型本构方程。
t1 ,t2 ， t m 1 ,t m tk 1,tk ， t 0 ,t1 ， 将分析时间区间 0, t 划分为 …， …，
(1.12)
其中
η
i k 1
η e
i k
tk
i
[ED]σ k
(i 0,1, 2,
, n)
(1.13)
ηi0 [0 0 0 0 0 0]T
(1.14)
分别由 (1.8)和 (1.12) 式分别计算，并代入式(1.7) 即可得到总应变 增量，有效应力由弹性部分(1.8) 求得，即
1 [ED] 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 2(1 ) 0 0 0 0 0 0
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(1.12)
其中
η
i k 1
η e
i k
tk
i
[ED]σ k
(i 0,1, 2,
, n)
(1.13)
ηi0 [0 0 0 0 0 0]T
(1.14)
分别由 (1.8)和 (1.12) 式分别计算，并代入式(1.7) 即可得到总应变 增量，有效应力由弹性部分(1.8) 求得，即
ε(tk 1 ) ε(tk 1 ) ε(tk ) εe (tk 1 ) εc (tk 1 )
其中 弹性应变增量为
(1.7)
εe k 1 J 0 [ED]σ k 1
蠕变应变增量为
(1.8)
ε
c k 1
ε
c k 1
ε [ED] J tk 1 t j J tk t j σ j
共 m 个子区间，步长为 hk tk tk 1 时间段，假设每一时间步内的应力 呈线性变化，在时间步长 hk 足够小时，可得到 tk 时刻式(1.5)所示的本 构离散形式为
c εe k ε k [ED] J tk t j σ j j 1
k
(1.6)
其中 σ k σ k σ k 1 则在 tk ,tk 1 时间区间内，总的应变增量为
c σk 1 E0 [ED]1 ( εk 1 εk 1 )
(1.15)
只要求得蠕变应变增量 εc ，就容易实现应力更新。 k 1
3. jacobian 矩阵
根据第 k 时间步的增量型本构方程， 知第 k+1 步内需要更新的雅 克比矩阵为
[σ / ε]k 1 i / j
即为弹性刚度 D，不变化。
k 1
E0 [ED]1
(1.16)Leabharlann (1.11)上式不利于有限元分析， 因为需要每一分析步都需要记录全部的 历史，从而要较大存储空间，下面将其改写成递推形式。 则蠕变应变增量 εc k 1 的递推公式为
ε
c k 1 t k 1 η J 1 e i i 1 n i k 1 i
ε(t ) ε c εe [ED] J t
t
σ( ) d
(1.5)
2. 本构方程的增量形式
对于非线性材料本构的分析，一般采用增量法，需进一步推导适 合有限元计算的增量型本构方程。
t1 ,t2 ， t m 1 ,t m tk 1,tk ， t 0 ,t1 ， 将分析时间区间 0, t 划分为 …， …，
c k j 1
k
(1.9)
根据蠕变柔量的 Prony 级数形式
t i J (t ) J 0 J i 1 e i 1 n
(1.10)
将式(1.10)代入式(1.9)，有
ε
c k 1
tk t j t k 1 n i i [ED] J i e (1 e ) σ j j 1 i 1 k
1 [ED] 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 2(1 ) 0 0 0 0 0 0
T
2(1 ) 0 0 2(1 )
(1.4)
将总应变表示成弹性应变与蠕变应变之和
蠕变型线粘弹性本构方程
1. 本构方程形式
蠕变型粘弹性本构方程的矩阵形式为
ε(t ) [ED] J t
t
σ( ) d
(1.1)
其中
σ t 11 22 33 12 23 31
T
(1.2) (1.3)
0 0 0 0
ε t 11 22 33 12 23 31