本构方程
较少的本构方程参数
较少的本构方程参数
在材料力学中，一些常见的本构方程包括线弹性模型、Hooke
模型和Neo-Hookean模型。
线弹性模型是一种简单的本构方程，只
需要一个参数，即杨氏模量，来描述材料的应力-应变关系。
Hooke
模型也是一种简单的本构方程，需要两个参数，杨氏模量和泊松比。
Neo-Hookean模型是一种用于描述高弹性材料行为的模型，通常需
要两个参数，即剪切模量和泊松比。
当本构方程的参数较少时，通常意味着模型的复杂度较低，更
容易进行实际应用和工程计算。
然而，较少的参数也可能意味着模
型对真实材料行为的描述能力较弱，无法捕捉到材料的复杂性。
因此，在选择本构方程时，需要权衡参数数量与模型的准确性和适用性。
总之，较少的本构方程参数可能会使模型更易于处理和分析，
但在描述复杂材料行为时可能存在局限性。
在工程实践中，需要根
据具体情况选择合适的本构方程，以确保模型能够准确描述材料的
力学性能。
第4章 塑性应力应变关系(本构方程)
强化材料卸载：
f ( ij ) 0,
f df d ij 0 ij
4.3 增量理论
在塑性变形时，全量应变和加载历史有关，要建立普遍的全量应变与应力 之间的关系是很困难的，所以主要研究应力和应变增量或应变速率之间的关系 。这种关系叫做增量理论，其中包括：密席斯方程、塑性流动方程和劳斯方程 。前两者适用于理想刚塑性材料，后者适用于弹塑性材料。
x
y 4G2 x y
2
2
2 2 6 xy 4G 2 xy 6
2 2 2 2 2 2 xy yz xz 等式左边为： x y y z z x 6
1 等效应力为：
1 i 2 1
2 2 2 yz xz x y y z z x 6 xy 2 2 2
则等效应变与弹性应变强度关系为： 当 =0.5 时
3 i = 2(1 )
i
弹性应力应变关系特点： 1.应力与应变成线性关系 2.弹性变形是可逆的，应力应变关系单值对 应 3.弹性变形时，应力球张量使物体产生体积 变化;物体形状的改变只是由应力偏张量引 起的。 4.应力主轴与应变2G
同理可得：
y m
1 - E 1 - E
x
z m z
m
1 y y 2G
1 z z 2G
m
x
1 x 2G
1 y y 2G 1 z z 2G
d
2 2 2 x d y d y d z d z d x 6 d xy d yz d xz 2 2 2
jc本构方程
jc本构方程摘要：1.介绍JC 本构方程的背景和定义2.阐述JC 本构方程的基本原理3.详述JC 本构方程的适用范围和实际应用4.分析JC 本构方程的优缺点5.总结JC 本构方程的重要性和未来发展方向正文：1.介绍JC 本构方程的背景和定义JC 本构方程，全称为Jelinek-C 侪本构方程，是由加拿大学者Jelinek 和C 侪于1966 年提出的一种描述土壤本构特性的方程。
它是一种基于土体应力应变关系的数学模型，广泛应用于土壤力学、岩土工程等领域。
2.阐述JC 本构方程的基本原理JC 本构方程建立在土体颗粒的弹性和塑性变形基础上，其基本原理可以概括为以下几点：（1）土体颗粒在受到应力作用时，会发生弹性变形和塑性变形。
其中，弹性变形是指颗粒在卸载后能够完全恢复的原始状态，而塑性变形则是指颗粒在卸载后不能完全恢复的永久性变形。
（2）JC 本构方程假设土体颗粒的应力应变关系遵循胡克定律，即应力和应变呈线性关系。
在此基础上，方程引入了塑性应变分量，以描述土体的塑性变形特性。
（3）JC 本构方程通过引入一个屈服强度参数，即土体开始发生塑性变形的临界应力，来描述土体的屈服特性。
3.详述JC 本构方程的适用范围和实际应用JC 本构方程适用于描述粘性土、砂质土等多种土壤类型的应力应变关系，尤其在描述土体的屈服特性和塑性变形方面具有较高的准确性。
在实际工程应用中，JC 本构方程被广泛应用于土体稳定性分析、地基承载力计算、土体变形预测等领域。
4.分析JC 本构方程的优缺点JC 本构方程的优点主要表现在以下几个方面：（1）JC 本构方程考虑了土体的弹性和塑性变形特性，能够较为准确地反映土体的实际应力应变关系。
（2）JC 本构方程引入了屈服强度参数，可以较好地描述土体的屈服特性。
然而，JC 本构方程也存在一定的局限性：（1）JC 本构方程基于线性应力应变关系，对于描述土体的非线性特性可能存在一定的误差。
（2）JC 本构方程的适用范围主要局限于粘性土和砂质土，对于其他类型的土壤可能存在适用性问题。
混凝土和土的本构方程
混凝土和土的本构方程
对于混凝土，常见的本构方程包括弹性模量和材料的强度参数。
弹性模量描述了混凝土在受力后的变形特性，而强度参数则描述了
混凝土在承受外力时的抗压、抗拉等能力。
混凝土的本构方程可以
根据线弹性理论或者非线性本构理论来建立，以描述混凝土在不同
受力状态下的应力-应变关系。
对于土壤，本构方程通常包括土的压缩模量、剪切模量和抗剪
强度等参数。
土壤的本构方程可以根据弹性理论、弹塑性理论或者
其他土体力学理论来建立，以描述土壤在受力后的变形和破坏特性。
需要注意的是，混凝土和土的本构方程是复杂的数学模型，需
要考虑材料的非线性、各向异性、孔隙结构等因素。
因此，建立准
确的本构方程需要充分考虑材料的特性和受力情况，通常需要进行
大量的实验和数值模拟来确定参数和验证模型的准确性。
总的来说，混凝土和土的本构方程是土木工程和岩土工程中非
常重要的理论基础，对于预测材料的变形和破坏行为具有重要的意义。
建立准确的本构方程有助于工程设计和结构分析，能够提高工
程的安全性和可靠性。
本构方程
本构方程是指连续介质力学中描述特定物质性质的方程。
建立方法及步骤：第一、模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。
第二、模型假设根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。
如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。
第三、模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。
其中可利用图论、排队论、线性规划、对策论等。
第四、模型求解可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术的应用将使模型求解更为方便。
第五、模型分析对模型解答进行数学上的分析。
要对模型结果作出细致精当的分析，不论那种情况都需进行误差分析，数据稳定性分析。
建立本构的要求：1、真实完整。
1）真实的、系统的、完整的,形象的映客观现象；2）必须具有代表性；3）具有外推性，即能得到原型客体的信息，在模型的研究实验时，能得到关于原型客体的原因；4）必须反映完成基本任务所达到的各种业绩，而且要与实际情况相符合。
2、简明实用。
在建模过程中，要把本质的东西及其关系反映进去，把非本质的、对反映客观真实程度影响不大的东西去掉，使模型在保证一定精确度的条件下，尽可能的简单和可操作，数据易于采集。
3、适应变化。
随着有关条件的变化和人们认识的发展，通过相关变量及参数的调整，能很好的适应新情况。
常用的并且是最为成熟的用于连续介质力学的本构方程有下列三组：① 无粘流体。
(1)粘度为零，即η=η┡=0，η和η┡为粘度和第二粘度；(2)应力张量只是压力p;(3)密度均匀不变，ρ(x，y，z，t)＝常数，或是在密度显著变化时采用常比热完全气体（见流体力学的能量方程）的模型：定容比热容сv＝常数，定压比热容сp＝常数，p＝ρRT，式中T为热力学温度，R为普适气体常数。
本构方程(塑性应力-应变关系)
d ij
(3 2
d
p
)
' ij
1 2G
d
' ij
1 2
E
d mij
材料全量塑性本构关系
➢ 材料增量本构理论虽然比较严谨，与实际情况比较 接近。但是在实际应用时需要沿加载路径积分，从 工程应用的角度讲是不方便的
➢ 许多学者（例如Hencky、Nadai、伊留申）相继提 出了描述应力与全量应变之间的关系，称为全量理 论，也称为形变理论
➢适合于弹性变形不可忽
略，且塑性变形的硬化
率接近于不变的材料。
例如合金钢、铝合金等
O e
等效应力—等效应变简化模型
➢ 刚塑性线性硬化材料模
型
如果弹性变形可以忽略，
材料的硬化认为是线性
的。其数学表达式为
s
s k2
➢适合于经过较大的冷
变形量之后，并且其加
工硬化率几乎不变的金
属材料
O
材料弹性本构关系
d
e ij
其中塑性应变增量dijp由Levy—Mises理论
给出
d
p ij
d
' ij
3 2
d
p
' ij
材料增量塑性本构关系
➢ Prandtl-Reuss理论
其中弹性应变增量dije 由广义虎克定律的微
分形式给出
d
e ij
1 2G
d
' ij
1 2
E
d mij
可以得到Prandtl-Reuss本构方程为
➢ 增量本构理论又称为流动理论
材料增量塑性本构关系
➢ Levy—Mises理论
材料为理想刚塑性材料，即弹性应变增量为零， 塑性应变增量就是总应变增量；
neo-hookean本构方程推导
neo-hookean本构方程推导
Neo-Hookean本构方程也称为Neo-Hookean模型，是一种用于描述材料弹性行为的数学模型。
Neo-Hookean本构方程的基本假设是材料是各向同性的，即材料的物理性质在任何方向上都是相同的。
它将应力张量和应变张量联系起来，将应力张量的各个分量表示为应变张量的线性组合。
具体地说，Neo-Hookean本构方程可以表示为：
σ = λ(tr(ε) - 3)I + 2με
其中，σ是应力张量，λ和μ是材料的两个本构参数，I是单位张量，tr(ε)表示应变张量的迹，ε是应变张量。
这个方程可以被用来计算材料在不同应力下的应变行为。
当应变很小时，λ可以被认为是材料的体积弹性模量，而μ可以被认为是其切变弹性模量。
需要注意的是，Neo-Hookean本构方程只适用于小应变情况下的材料行为，而在大应变下，它可能会失效。
此外，材料的本构参数λ和μ可能会随着时间和温度的变化而变化，因此需要进行更为复杂的建模和实验研究。
13本构方程
3） 塑性变形时可认为体积不变，即应变球张 量为零，泊松比ν= 0.5。 4） 全量应变主轴与应力主轴不一定重合。 由于塑性应力应变关系与加载路线或加载的历 史有关。因此，离开加载路线来建立应力与全 量塑性应变之间的普遍关系是不可能的，一般 只能建立应力与应变增量之间的关系，仅在简 单加载下，才可以建立全量关系。 所谓简单加载，是指在加载过程中各应力分量 按同一比例增加，应力主轴方向固定不变。如 图2b中，由原点O 到F 点的直线所表示的就是 简单加载。
即
上式表明，弹性变形时其单位 体积变化率 与平均应力σm 成正比，说明 应力球张量使物体产生了弹性体积改变。
将第一式 同理得
分别减去
，如
，因此应变偏量与应力偏量之间的关系，可写成如下形式
简记为
上式表示应变偏张量与应力偏张量成正比，表明物体形状的改变只是 由应力偏张量引起的。由上面两式，广义虎克定律可写成张量形式
图1 单向拉伸时的应力-应变曲线
又例如，图2a 为刚塑性硬化材料的单向拉伸和纯切时的应力-应 变关系曲线。而图2b 表示此材料承受拉、切复合应力时，在σ−τ 坐标平面上的屈服轨迹，AB 曲线为初始屈服轨迹，CD 为后继屈 服轨迹。
图 2 不同加载路线的应力与应变a) 应力-应变曲线 b) 屈服轨迹
如果是弹塑性材料的小变形，则同时要考虑弹性变形。此 时，Hencky 方程为：
上式中第一式表示形状变形：前一项是塑性应变；后一 项是弹性应变。第二式表示弹性体积变形。
为了便于与广义虎克定律式进行比较，令G′为塑性 切变模量，使得 于是上式第一式可写成 这样便与广义虎克定律式在形式上是一样的，区别仅在 于G 是材料常数，而G′是随变形过程而变的。且
第二节 塑性应力应变关系
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科技名词定义
中文名称：
本构方程
英文名称：
constitutive equation
定义：
描述特定物质或材料性质和响应特性的方程。
应用学科：
材料科学技术（一级学科）；材料科学技术基础（二级学科）；材料科学基础（三级学科）；材料设计、模拟与计算（四级学科）
以上内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布
牛顿流体
(1)粘度η=η(T，p),函数的具体形式随流体和温度范围而变；(2)应力张量的一部分是压力p,此外，还加上同粘性和变形率（见流体力学）有关的张量，其分量为
公式
式中Up(U3,U3,U3)为流速U的三个分量;(3)rho;(x,y,z,t)=常数,或任何形式的具体状态方程f1(p,rho;,T)=0,f2(e,p,S)=0。
开放分类：
科学，物理
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无粘流体
(1)粘度为零，即η=η┡=0，η和η┡为粘度和第二粘度；(2)应力张量只是压力p;(3)密度均匀不变，ρ(x，y，z，t)=常数，或是在密度显著变化时采用常比热完全气体（见流体力学的能量方程）的模型：定容比热容сv=常数，定压比热容сp=常数，p=ρRT，式中T为热力学温度，R为普适气体常数。单位质量内能e=сvT，熵S－S0=сvlnpρ-γ，式中γ为сp/сv,S0为某一约定状态的熵值。
完全弹性体
（各向同性）是固体力学中发展得最为成熟的部分，在直角坐标系中它的本构方程是应力张量的六个分量
流速U的三个分量
σxx,σyy,σzz,σxy,σyz,σzx同应变张量的六个分量
六个分量
exx,eyy,ezz,exy,eyz,ezx之间的线性关系，由胡克定律表述式中E是杨氏模量，v是泊松比，同粘性流体相比，这里既没有热力学量，也没有对时间的导
编辑本段正文
连续介质力学中描述特定物质性质的方程。它建立了特定连续介质的运动学量、动力学量、热力学状态之间的某些相互关系。本构关系随所考虑的具体介质和运动条件而变。质量、动量、能量守恒律对所有物质都适用，连续介质力学以各种微分方程，如连续方程、运动方程、平衡方程等为主要研究手段。通常，这些方程中的动力学量、运动学量（有时还包括热力学量），都是未知函数，其数目多于体现上述守恒律的方程的个数。为了求解反映守恒律的方程组，添加了本构方程，使自变量的数目同总的方程数目相等。所以，本构方程是解决连续介质力学问题中的质量、动量、（有时加上）能量守恒定律的必要补充。客观上存在的流体、固体多种多样，运动的环境也千差万别，为了对问题进行深入的研究，本构方程只能反映介质性质的主要方面,否则使问题过于复杂,理不出头绪。本构方程规定的介质是客观物质的力学模型。本构方程必须反映介质和运动环境的主要特点，但又要求简单，使所列出的方程便于进行数学计算。常用的并且是最为成熟的用于连续介质力学的本构方程有下列三组：
胡克定律表述
数。温度升高会使金属膨胀而产生应力，要考虑这个效应，就应补充σij=?(T-T0)，式中的常数?和线膨胀系数有关。20世纪20年代开始构造塑性力学的本构方程，这远比各向同性完全弹性体复杂，现在已经有很多成功的模型,然而仍待做更多的研究。从50年代起对1300℃以上的空气、动载荷下土壤（由土、空隙和水组成，又分软土、硬土等）做了大量研究。对空气做得很成功，对土壤（尤其是硬土）至今尚待完善。燃烧产物的本构方程，蒸气和水、煤粉和空气、煤块和水等等两相共存混合物的本构方程，不断出现的新型材料的本构方程，都是近代很受重视的研究对象。建立本构方程时既要有理论上的推理、论证，还要有实验测定的若干常数。在研究和使用本构方程的长期过程中，人们致力于划清适用条件，阐明理论模型同实际的符合程度。同一种物质，在不同的条件下又可以针对所考虑的那一类条件,列出适用于该类条件的本构方程。例如,讨论水池中波浪，可以用密度rho;=常数，η=0，应力张量只是压力这一流体模型。但讨论水中声音传播时则必须考虑密度的变化加上绝热过程的条件。金属在载荷小、变形小的条件下可以看作各向同性弹性体；金属在载荷过大、变形过大条件下会呈现塑性以至断裂，这时，胡克定律就不适用了。
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本构方程(constitutive equation)，反映物质宏观性质的数学模型。又称本构关系(constitutive relati
完全弹性体
展开
简介
正文无粘流体
牛顿流体
完全弹性体
展开
编辑本段简介
通常把应力和应变率，或应力张量与应变张量之间的函数关系称为本构方程归纳宏观实验结果，建立有关物质的本构关系是连续介质力学和流变学的重要研究课题。最熟知的本构关系有胡克定律(Hooke's law)、牛顿粘性定律（见粘度）、理想气体状态方程、热传导方程等。建立本构关系时，为保证理论的正确性，须遵循一定的公理，即所谓本构公理。例如纯力学物质的本构公理有三：确定性公理(物体中的物质点在时刻t的应力状态由物体中各物质点的运动历史唯一确定）、局部作用公理（物体中的物质点的应力状态与离开该物质点有限距离的其他物质点的运动无关）和客观性公理（物质的力学性质与观察者无关）。若考虑更复杂的情况，本构公理的数目就相应增多。求解连续介质动力学初边值问题，本构关系是不可少的；否则就无法把握所研究连续介质的特殊性，在数学上表现为控制方程不封闭，其解不能唯一确定。建立物质的本构关系是流变学的重要任务，可通过实验方法、连续介质力学方法和统计力学的有机结合来完成。然而，尚未找到一个普适的本构关系，需根据研究对象和流动形态选用合适的本构关系。理性力学除对本构关系进行极为一般的研究外，还对弹性物质、粘性物质、塑性物质、粘弹性物质、粘塑性物质、弹塑性物质以及热和力耦合、电磁和力耦合、热和力以及电磁耦合等物质的本构关系进行具体研究。本构方程十分复杂，适合研究生以上学历、对科学有积极探究精神的人进行研究其性质。对普通生活暂时无太大的价值。