2016届河北省正定中学高三上学期期中考试数学试题【解析版】
2016届河北省正定中学高三上学期期中考试数学试题及解析一、选择题1．复数 ，则复数的模是（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】试题分析：因为，所以，故应选．【考点】１、复数的概念；2、复数的四则运算；2．等比数列中，，则（ ）A． B． C．或 D．【答案】C【解析】试题分析：由等比数列的性质知，，所以，所以或，故应选．【考点】1、等比数列的性质．3．若命题,命题,则是的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：因为，所以，所以，即命题；而，所以，即命题,所以命题可推出命题，但命题不能推出命题，所以是的充分不必要条件，故应选．【考点】1、充分条件；2、必要条件．4．已知向量，，则可以为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】试题分析：设，则由可得：，即，满足这个等式的只有选项，其中选项，，选项，，选项，，故应选．【考点】1、平面向量的数量积；2、平面向量的坐标运算．5．命题“存在使得”的否定是（ ）A．不存在使得B．存在使得C．对任意D．对任意【答案】C【解析】试题分析：由特称命题的否定为全称命题可知，命题“存在使得”的否定为：对任意，故应选．【考点】1、全称命题；2、特称命题．6．已知，则的值是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】 试题分析： 因为，所以，即，所以，即，所以，所以应选．【考点】1、两角的正弦公式；2、三角函数的诱导公式．7．设均为正实数，且，则的最小值为（ ）A．4 B． C．9 D．16【答案】D【解析】试题分析：因为，所以，即，所以，所以，应用基本不等式可得：，故应选．【考点】1、基本不等式的应用．8．已知定义在上的奇函数满足①对任意的都有成立；②当时，，则在上根的个数是（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】试题分析：因为对任意的都有成立，所以奇函数是周期为4的周期函数．当时，，则在上根的个数等价于函数与函数的图像的交点个数．由图可知，其交点的个数为个，故应选．【考点】1、函数的周期性；2、分段函数；3、函数与方程．【思路点睛】本题主要考查了方程的根的存在性及个数判断、函数的周期性和函数的奇偶性，体现了化归与转化的数学思想，属中档题．其解题的一般思路为：首先由题意可得奇函数是周期为4的周期函数，然后将问题“在上根的个数”转化为“函数与函数的图像的交点个数”，再分别作出两个函数的图像并结合函数图像得出所求的结果即可．9．函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（ ）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】A【解析】试题分析：由图像可知，，，所以，由可得，所以函数，又因为，所以，即，又因为，所以，所以，由三角函数的图像的变换可知，将函数向左平移个单位长度可得到，故应选．【考点】1、函数的图像变换；2、三角函数的诱导公式．10．已知数列满足，则（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】试题分析：因为，所以，即，等式两边开方可得：，即，所以数列是以首项为1，公差为1的等差数列，所以，所以，所以，故应选．【考点】1、由数列的递推公式求数列的通项公式；2、等差数列．11．已知为的外心，,，若，且，则（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】试题分析：画出草图，如下图所示．因为，所以，又因为为的外心，点分别为的中点，分别为两中垂线，则，，所以，所以，故应选．【考点】1、三角形的外心的性质；2、平面向量数量积的应用；【思路点睛】本题考查了三角形的外心的性质、平面向量数量积的运算和向量模的求解，渗透着转化与化归的数学思想，考查学生综合运用知识的能力和分析计算能力，属中档题．其解题的一般思路为：首先将已知变形为，然后根据向量数量积的几何意义分别求出，，进而可得出关于的代数式，最后利用整体求解即可得出所求的结果．12．已知函数，其中，存在，使得 成立，则实数的值为（ ）A． B． C． D．1【答案】A【解析】试题分析：函数可以看作是动点与动点之间距离的平方，动点在函数的图像上，在直线是图像上，于是问题存在，使得 成立就转化为求直线上的动点到曲线的最小距离．由可得，，令，解得，所以曲线上点到直线的距离最小，且最小距离为，则．根据题意，要使存在，使得 成立，则，此时点恰好为垂足，由，解之得，故应选．【考点】1、利用导数求曲线上过某点切线的斜率；2、直线方程．【思路点睛】本题考查利用导数求曲线上过某点切线的斜率和直线方程，渗透了数形结合和数学转化思想方法，属中高档题．其解题的一般思路为：首先把函数看作是动点与动点之间距离的平方，然后利用导数求出曲线上与直线平行的切线的切点，进而得到曲线上点到直线距离的最小值，最后结合题意可得只有切点到直线距离的平方等于，于是由两直线斜率的关系列式即可求出实数的值．二、填空题13．已知正方形的边长为2，为的中点，则__________．【答案】．【解析】试题分析：在正方形中，因为，，所以，故应填．【考点】1、平面向量的数量积的应用．14．若满足不等式组，则的最小值是__________．【答案】．【解析】试题分析：首先根据已知条件画出其约束条件如下图所示，然后将目标函数进行变形为：，所以要使得目标函数的最小值，由图可知，当其过点时，取得最小值，且为，故应填．【考点】1、简单的线性规划．15．由直线，曲线以及轴围成的图形的面积为__________．【答案】．【解析】试题分析：首先根据已知条件画出其所表示的图形的面积，然后将所求的面积分为两部分：第一部分为曲边梯形，第二部分为直角三角形，所以，，所以所求的面积为，故应填．【考点】1、定积分的几何意义；2、微积分基本定理．【思路点晴】本题考查了定积分的几何意义和微积分基本定理，渗透着数形结合的数学思想，属中档题．其解题的一般思路为：首先根据已知条件可画出其所表示的区域，然后对其进行适当分割，转化为求两部分面积即一个是曲边梯形和一个直角三角形的面积之和，再运用微积分基本定理和三角形的面积公式即可求出所求的答案．其解题的关键是正确的表示所求的区域的面积和适当的分割．16．等差数列的前项和为，已知，且，，则=__________．【答案】．【解析】试题分析：因为，，所以，，解之得，，所以，所以，所以，故应填．【考点】1、等差数列的前项和；2、等差数列的性质；3、三角函数求值．【思路点晴】本题主要考查了等差数列的性质、等差数列的前项和和三角函数求值，考查学生综合知识运用能力，属中高档题．其解题的一般思路为：首先由已知等式，，可解出，的值，进而得出的值，然后运用等差数列的性质可知可求出所求的结果．三、解答题17．设的内角的对边分别为，若，且，求及的面积．【答案】，．【解析】试题分析：首先由两角差的正弦展开公式和两角和的正弦公式可将已知等式化简成，然后正弦定理可得，进而可求出的值，再在中运用余弦定理公式即可求出边长的大小，进而得出的面积．试题解析：即，又即 解得（舍去）或．．【考点】1、三角函数的恒等变换；2、正弦定理；3、余弦定理．18．某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润50元．供大于求时，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利30元．（1）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：件，）的函数解析式；（2）商店记录了50天该商品的日需求量（单位：件），整理得下表：若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求该商品一天的利润的分布列及平均值．【答案】（1）；（2）利润的分布列为：利润的平均值为：（元）．【解析】试题分析：（1）根据题意可利用利润等于获利与亏损之差，分段求出当时，利润的表达式；当时，利润的表达式；（2）首先分别写出日需求量为8、9、10、11、12的利润值，然后根据已知表格分别求出其出现的频率即所求的概率，再将其列成表格得到该商品一天的利润的分布列并计算其平均值．试题解析：（1）当时，，当时，，所以函数解析式；（2）∵日需求量为8、9、10、11、12的利润分别为380、440、500、530、560．其概率分别为，利润的分布列为：利润的平均值为：（元）．【考点】1、频率分布表；2、离散型随机变量的分布列；3数学期望．19．设数列的前项和为，已知，且成等比数列，．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列前项和为，求证．【答案】（1）；（2）．【解析】 试题分析：（1）首先由成等比数列，可得出，然后运用公式可得出，由此可得出是首项为1，公差为2的等差数列，是首项为2，公差为2的等差数列，进而得出数列是等差数列，从而得出其通项公式；（2）结合（1）可得：，然后结合不等式并对其进行求和即可得出所证明的结论．试题解析：（1）由已知得：，又，，，当时，，，，，是首项为1，公差为2的等差数列；是首项为2，公差为2的等差数列；是首项为1，公差为1的等差数列，．（2）因为，所以，所以【考点】1、等比数列；2、等差数列；3、放缩法证明数列不等式．20．直三棱柱中，，分别是 的中点，，为棱上的点．（1）证明：；（2）是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点的位置，若不存在，说明理由．【答案】（1）证明：∵，，又∵∴⊥面．又∵面，∴，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则有，设且，即,则∵，所以；（2）结论：存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为．【解析】试题分析：（1）首先根据已知条件可得出⊥面，由线面垂直的性质定理可得，然后以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，并写出各点的坐标并设，于是由可得出点的坐标，进而由空间向量的数量积的坐标运算可得出，即可得出证明结果；（2）根据（1）中建立的空间直角坐标系中，分别求出平面与平面的法向量，然后运用即可求出所求的结果．试题解析：（1）证明：∵，，又∵∴⊥面．又∵面，∴，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则有，设且，即,则，∵，所以；理（2）结论：存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为，由如下：由题可知面的法向量，设面的法向量为，则，∵，∴，即，令，则．∵平面与平面所成锐二面角的余弦值为，∴，即，解得或（舍），所以当为中点时满足要求．【考点】1、直线与直线垂直的判定定理；2、线面垂直的判定定理与性质定理；3、空间向量解立体几何问题的应用．【易错点睛】本题主要考查了直线与直线垂直的判定定理、线面垂直的判定定理与性质定理和空间向量解立体几何问题的应用，属中档题．解决这类空间立体几何问题最容易出现以下几处错误：其一是在运用空间向量求解立体几何问题如证明线线垂直或平行、线面垂直或平行和面面垂直等，不能结合已知条件建立适当地空间直角坐标系，进而导致错误；其二是在求解二面角问题时，不知道怎么判断这个二面角的大小，到底是锐角还是钝角，从而导致错误．21．已知椭圆过点，离心率为，点分别为其左右焦点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若上存在两个点，椭圆上有两个点满足三点共线，三点共线，且,求四边形面积的最小值．【答案】（1）；（2）最小值为．【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程以及之间的关系，联立方程组即可得出所求的椭圆的方程；（2）由于直线的斜率存在还是不存在我们并不知道，于是分两类进行讨论：当直线的斜率不存在时，求出其弦长，进而得出四边形的面积；当直线的斜率存在时，设出直线的方程为，然后将其方程与抛物线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及四边形的面积公式即可得出所求的结果．试题解析：（1）由题意得：，得，因为椭圆过点，则解得所以，所以椭圆方程为:．（2）当直线斜率不存在时，直线的斜率为0，易得当直线斜率存在时，设直线方程为：，与联立得，令，则，，∵，∴直线的方程为：，将直线与椭圆联立得，，令，，由弦长公式，∴四边形的面积,令，上式，所以．最小值为．【考点】1、抛物线的方程；2、椭圆的标准方程；3、直线与圆锥曲线的综合问题．【易错点睛】本题考查了椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的应用，同时考查直线和椭圆相交的综合问题，考查了学生的逻辑思维能力与计算求解能力，属中档题．在求解该题过程中容易出现以下几处错误：其一是第二问中考虑问题不全面，往往漏掉直线的斜率不存在的情形，进而导致出现漏解或错解的情况；其二是在解决直线与圆锥曲线相交的综合问题中计算出现错误，进而导致结果的错误或者得不出结论的情况．22．已知函数．（1）求函数在区间上的最值；（2）若（其中为常数），当时，设函数的3个极值点为，且，证明：．【答案】（1）函数的最小值为，最大值为；（2）由题意得,,令，有，所以函数在上单调递减，在上单调递增．因为函数有三个极值点从而当时，，从而3个极值点中，有一个为，有一个小于，有一个大于1．又，即，故．【解析】试题分析：（1）首先求出函数的定义域，然后对其进行求导，再分别讨论大于0和小于0时自变量的取值范围，即可得出函数的单调区间，进而得出函数在区间上的最大值和最小值；（2）由（1）知函数，然后对其进行求导可知，函数的极值问题转化为求函数的零点问题，再运用导数研究函数的增减性和最值得出参数的取值范围，最后结合已知条件即可得出所证明的结果．试题解析：（1）函数的定义域为，，令可得，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．，又且，所以函数的最小值为，最大值为．（2）由题意得,,令，有，所以函数在上单调递减，在上单调递增．因为函数有三个极值点从而当时，，从而3个极值点中，有一个为，有一个小于，有一个大于1．又，即，故．【考点】1、导数在研究函数的单调性中的应用；2、导数在研究函数的极值或最值中的应用．。
【百强校】2016届河北省正定中学高三上学期期末考试文科数学试卷(带解析)
绝密★启用前【百强校】2016届河北省正定中学高三上学期期末考试文科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：188分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知函数，.若不等式对所有的，都成立，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．2、已知分别为双曲线的左，右焦点，为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．3、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．4、若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（） A ．B ．C ．D ．5、如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以的的速度由处出发，沿北偏东方向进行海面巡逻，当航行半小时到达处时，发现北偏西方向有一艘船，若船位于的北偏东方向上，则缉私艇所在的处与船的距离是（）A ．B ．C ．D ．6、已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ）A ．B ．C ．D ．7、函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）8、为了了解高一、高二、高三的身体状况，现用分层抽样的方法抽出一个容量为的样本，三个年级学生数之比依次为，已知高一年级共抽取了人，则高三年级抽取的人数为（） A ．B ．C ．D ．9、抛物线的焦点坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．10、已知是（）A ．偶函数B ．奇函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数11、已知，若复数为纯虚数，则（）A． B． C． D．12、已知集合，，则（）A． B． C． D．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、设函数．．已知曲线在点处的切线与直线平行．（1）求的值；（2）是否存在自然数，使得方程在内存在唯一的实根？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．14、函数是常数，且）的部分图象如图所示，下列结论：①最小正周期为；②将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数；③；④；⑤，其中正确的是_______．15、直三棱柱中，，，，则该三棱柱的外接球的体积为________．16、若满足约束条件，则的最大值为_______．17、设向量，是相互垂直的单位向量，向量与垂直，则实数________.三、解答题（题型注释）18、选修4-5：不等式选讲 已知函数． （1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式的解集为,求参数的取值范围．19、选修4-1：几何证明选讲 已知是半圆的直径，，点是半圆上一点，过作半圆的切线，过点作于，交半圆于，．（1）求证：平分；（2）求的长．20、已知椭圆的左右焦点分别为和，由个点，，和组成了一个高为，面积为的等腰梯形．（1）求椭圆的方程； （2）过点的直线和椭圆交于两点，求面积的最大值．21、如图，四棱锥中，底面为菱形，面，为的中点．（1）求证：平面；（2）设，，，求点到平面的距离．22、随机抽取某中学甲乙两班各名同学，测量他们的身高（单位：），获得身高数据的茎叶图如图．（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； （2）计算甲班的样本方差； （3）现从乙班这名同学中随机抽取两名身高不低于的同学，求身高为的同学身高被抽中的概率．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．24、选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知曲线，为曲线上的动点，定点．（1）将曲线的方程化成直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）求、两点的最短距离．参考答案1、B2、A．3、B4、C5、C6、B7、C8、C9、C10、B11、D12、B13、（1）；（2）时，方程在内存在唯一的根．14、①④⑤15、16、17、218、（1）；（2）．19、（1）证明见解析；（2）2．20、（1）；（2）3．21、（1）证明见解析；（2）．22、（1）乙班同学的平均身高较高；（2）；（3）．23、（1）；（2）．24、（1）曲线的直角坐标方程为：且曲线是以为圆心，为半径的圆；（2）．【解析】1、试题分析:由题设可得，因,故对任意的，都有，即对一切恒成立，也即对一切恒成立，令，则在恒成立，故，所以.应选B.考点：转化化归思想及导数与函数的单调性的关系等知识的综合运用.【易错点晴】不等式恒成立的问题及转化化归思想不仅是中学数学中的重要知识点也是解决许多数学问题的重要思想和方法.本题在求解时,先从依据题设中的已知条件将问题入手，进而运用转化化归思想将问题化为也即对一切恒成立，然后借助导数的知识求得，从而使得问题巧妙获解．2、试题分析：设，则．又，当且仅当时等号成立．所以，所以．故选A．考点：双曲线的几何性质．【名师点睛】本题以双曲线为素材，综合考察双曲线的离心率和函数的最值，难度中等．要求离心率的取值范围，就要想办法建立一个关于的不等式，题中已知条件是的最小值为，由双曲线性质知设，则有，而已知条件为，由函数性质可求得时最小值取到，因此有，这样目标达到了．3、试题分析：由三视图可知该几何体是由一个底面半径为，高为的圆柱，再加上一个半圆锥：，故选B．考点：三视图，几何体的表面积．4、试题分析：若，则，符合题意，若，则，于是．所以．故选C．考点：充分必要条件．5、试题分析：由题意，知，，，∴，由余弦定理，得∴．故选C．考点：解三角形的应用．6、试题分析：第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环；周期为，则执行该程序后输出的结果是．故选B．考点：程序框图．7、试题分析：的图象由函数的图象向上平移一个单位而得到，所以函数图象经过点，且为单调函数，显然，A项中单调递增的函数经过点，而不是，故不满足；函数，其图象经过点，且为单调减函数，B项中单调递减的函数与轴的交点坐标为，故不满足；D项中两个函数都是单调递增的，故也不满足．综上所述，排除A，B，D．故选C．考点：函数的图象．8、试题分析：由已知高一年级抽取的比例为，所以，得，故高三年级抽取的人数为．考点：分层抽样．9、试题分析：抛物线的标准方程为，，焦点在轴正半轴上，为．考点：抛物线的几何性质．10、试题分析：，所以是奇函数．故选B．考点：函数的奇偶性．11、试题分析：考点：复数运算12、试题分析：因为，．故选B．考点：集合的运算．13、试题分析：（1）本小题考查导数的几何意义同，由题意知，由此可得值；（2）实质是方程只有一解，为此研究函数，首先从函数值可以看出时，，而，因此方程要有解必定在上，再利用导数证明在是单调递增即可．试题解析：（1）由题意知，曲线在点处的切线斜率为，所以．又，所以．（2）时，方程在内存在唯一的根．设，当时，．又，所以存在，使．因为，所以当时，，当时，，所以当时，单调递增．所以时，方程在内存在唯一的根．考点：导数的几何意义，函数的零点，导数与单调性．【名师点睛】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：（1）已知切点A（x0，f（x0））求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′（x0）；（2）已知斜率k，求切点A（x1，f（x1）），即解方程f′（x1）＝k；（3）已知过某点M（x1，f（x1））（不是切点）的切线斜率为k时，常需设出切点A （x0，f（x0）），利用k＝求解．14、试题分析：由图可知，，，，对称轴为直线，一个对称中心为，所以②、③不正确；因为的图象关于直线对称，且的最大值为，，所以，即④正确；设为函数的图象上任意一点，其对称中心的对称点还在函数的图象上，即，故⑤正确．考点：函数的解析式、图象与性质．【名师点睛】本题在解答过程中用到了数形结合的数学思想，从图中准确提取有效信息是解答本题的关键．根据五点法的作图规律，认清图中的一些已知点属于五点法中的哪一点，进而选择对应的方程得出的值．对于，应明确决定“形变”，决定“位变”，A影响值域，影响周期，影响单调性．15、试题分析：设是外接球球心，是外接圆圆心，则底面，，又，所以，即，所以，所以．考点：棱柱与外接球，球的体积．【名师点睛】几个与球有关的切、接常用结论（1）正方体的棱长为a，球的半径为R，①正方体的外接球，则2R＝a；②正方体的内切球，则2R＝a；③球与正方体的各棱相切，则2R＝a．（2）长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．（3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1，16、试题分析：画出可行域，目标函数表示可行域内的点与点连线的斜率，当其经过点时，取到最大值为．考点：简单的线性规划的应用．17、试题分析：由题意，，又，即，所以，．考点：向量的数量积与垂直．18、试题分析：含绝对值的函数与不等式工，可根据绝对值定义，令每个绝对值里式子为0，求得的值，这些的值把实数分成若干区间，在每个区间内去绝对值符号可得解，（1）在每个区间求得不等式的解后，要求并集；（2）求出函数的最小值就可得到结论．试题解析：（1）当时，，得到，当时，，得到，当时，，得到，综上，不等式解集为．（2）由题意知，对一切实数恒成立，当时，，当时，，当时，．综上，．故．考点：解绝对值不等式，不等式恒成立，函数的最值．19、试题分析：（1）问题实际上是证明，这不能直接证明，但它们的余角是同弧所对的圆周角与弦切角，是相等的，结论得证；（2）要求长，由（1）知，这样只要证得，正好由已知的两线段长求得．试题解析：（1）连接，因为，所以，因为为半圆的切线，所以，因为，所以，所以，，所以平分．连接，由（1）知，所以．因为四点共圆，故，因为是半圆的直径，所以是直角，，，．考点：切线的性质，弦切角定理，圆周角定理，相似三角形．20、试题分析：（1）确定椭圆标准方程，只需两个独立条件即可：一是，而是由等腰梯形的面积得，再结合可得；（2）此题中直线的斜率可能不存在，但不能为0，因此可设直线方程为，同时设交点为，把直线方程代入椭圆方程得的一元二次方程，由韦达定理得，再求出，注意，最终把表示为的函数，由函数单调性可得最值．试题解析：（1）由条件，得，且，所以．又，解得，．所以椭圆的方程．显然，直线的斜率不能为，设直线方程为，直线与椭圆交于，联立方程，消去得，．因为直线过椭圆内的点，无论为何值，直线和椭圆总相交．∴．,令，设，易知时，函数单调递减，函数单调递增，所以当即时，，取最大值．考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆相交问题．【名题点睛】求椭圆标准方程，一般要列出关于的两个方程（不含），这可由已知条件及椭圆的几何性质可得；（2）解析几何中最值问题，处理方法是选取适当的参数，求出相应量，再求得这个函数的最值，题中涉及到直线与椭圆相交问题，因此设交点为，直线的方程为（这样设包含了斜率不存在的情形），代入椭圆方程由韦达定理可用表示出，把用表示，最后把代入化简，即把表示为的函数．这是解析几何中常用的“设而不求”法．21、试题分析：（1）要证线面平行，由判定定理知要证线线平行，而由性质定理知，这条平行线是过直线的平面与平面相交所得，由图可知设与的交点为，连接，就是要找的平行线；（2）要求点到平面的距离，可根据定义作出点到平面的垂线，从已知条件可知由平面平面，因此只要作于点，由有平面，在中求得即可，另外求点到平面的距离也可用体积法，由易得所求距离．试题解析：（1）设与的交点为，连接，因为为矩形，所以为的中点，又因为为的中点，所以．平面，平面，所以平面设交于点，由题设知平面，所以面，作交于，故平面，又，所以到平面的距离为．方法二：，，，，所以，，，设到平面的距离为，所以有，，所以到平面的距离为．考点：线面平行的判断，点到平面的距离．22、试题分析：（1）由茎叶图，获得所有身高数据，计算平均值可得；（2）由方差公式计算方差；（3）由茎叶图知乙班这名同学中身高不低于的同学有人，可以把5人编号后，随便抽取2名同学这个事件含有的基本事件可以用列举法列举出来（共10个），其中含有身高176cm基本事件有4个，由概率公式计算可得．试题解析：（1）由茎叶图知：设样本中甲班位同学身高为，乙班位同学身高为，则．2分．4分∵，据此可以判断乙班同学的平均身高较高．设甲班的样本方差为，由（1）知．则，8分由茎叶图可知：乙班这名同学中身高不低于的同学有人，身高分别为、、、、．这名同学分别用字母、、、、表示．则记“随机抽取两名身高不低于的同学”为事件，则包含的基本事件有：、、、、、、、、、共个基本事件．10分记“身高为的同学被抽中”为事件，则包含的基本事件为：、、、共个基本事件．由古典概型的概率计算公式可得：．12分考点：茎叶图，均值，方差，古典概型．23、试题分析：（1）已知与的关系求通项公式，一般是利用化关系式为的关系，从而得得是等比数列，通项公式可得；（2）数列是由等差数列与等比数列相除（乘）得到的，因此其前项和只能用错位相减法求得．试题解析：（1）由已知，有，即．从而，．又因为是的等差中项，即．解得．所以数列是首项为，公比为的等比数列．故．（2）由（1）得，所以，两式相减．考点：已知与的关系求通项公式，等比数列的通项公式，错位相减法求和．24、试题分析：（1）由，，或可将极坐标方程化为直角坐标方程，方程配方后得圆标准方程；（2）由圆性质知，的最短距离等于到圆心的距离减去圆的半径．试题解析：（1）由，得到，∴曲线的直角坐标方程为：且曲线是以为圆心，为半径的圆．点直角坐标为，点到圆心的距离为，的最短距离为．考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，两点间距离公式，圆的性质．。
【全国百强校】河北省正定中学2016届高三上学期第五次月考理数试题解析(解析版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知a R ∈，若12ai i++为实数，则a =（ ） A.2- B.12- C.12D.2 【答案】C考点：复数的定义和复数的四则运算.2.下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间(0,1)内单调递增的是（ ）A．y =B ．sin y x x =C ．1lg 1x y x-=+ D ．x x y e e -=- 【答案】D【解析】试题分析：A 中函数x y =定义域为[)+∞,0，所以它是非奇非偶函数，不合题意；B 中()()sin f x x x -=-- sin ()x x f x ==，所以它是偶函数，不合题意；C 中函数12lglg(1)11x y x x-==-+++，由复合函数的单调性法则可知它是定义域内的减函数，也不符合题意；故选D.考点：奇偶函数的定义和函数的单调性. 3.已知实数x 、y 满足02010x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则2z x y =-的最大值为（ ） A. 12 B. 1 C. 2 D. 4【答案】C【解析】试题分析：作出约束函数的可行域，如图，目标函数y x z 2-=化为斜截式221z x y -=，所以当z 最大时，截距2z -最小，作直线x y L 21:0=，当直线0L 平移到过点P(0，-1) 时，满足题意，所以2max =z ，故选C.考点：线性规划.4.直线0x y m -+=与圆22210x y x +--=有两个不同交点的一个充分不必要条件是（ ）A ．01m <<B ．42m -<<C ．1m <D ．31m -<<【答案】A考点：直线与圆的位置关系和充要条件的应用.5.已知sin αα+=，则tan α=（ ）C. D. 【答案】B【解析】试题分析：sin αα+=两边平方可得3cos 2cos sin 22sin 22=++αααα，左边化切并整理得01tan 222tan 2=+-αα即()01tan 22=-α，所以22tan =α，故选B.考点：同角三角函数基本关系式、三角求值.6.执行如图所示的程序框图，若输入5,6p q ==，则输出的,a i 值分别为（ ）A.5，1B.5，2C.15，3D.30，6【答案】D考点：程序框图中的条件循环结构.7.将函数()sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<的图象向左平移6π个单位后的图象关于原点对称，则函数()f x 在[0,]2π上的最小值为（ ）A. B.12- C.12 【答案】A【解析】 试题分析：函数()sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<的图象向左平移6π个单位后的图象对应的函数解析式为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=)3(2sin )6(2sin πϕϕπx x y ，所以有sin()03πϕ+=，由2πϕ<可得3πϕ-=，所以32323πππ≤-≤-x ，结合图象可知当332ππ-=-x 时，23)3sin()(min -=-=πx f ，故选A. 考点：三角函数的图象与性质，三角求值.8.在菱形ABCD 中，对角线4AC =，E 为CD 的中点，则AE AC ∙= （ ）A. 8B. 10C. 12D. 14【答案】C考点：平面向量的数量积运算.9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 5.5【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知该几何体为长方体截去两个三棱锥后剩下的部分，如图.根据三视图可知，长方体的长、宽、高分别为2，1，3，所以几何体的体积51631121312312=-=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=V ，故选B.考点：三视图及棱柱、棱锥的体积公式.10.某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校．若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有（ ）A.144种B.150种C.196种D.256种【答案】B考点：排列、组合中的分组、分配问题.11.设12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，且12||2F F c =，若椭圆上存在点P 使 得212||||2PF PF c ⋅=，则椭圆的离心率的最小值为（ ）A.12B.13【答案】D【解析】试题分析：设),(00y x P ，由圆锥曲线的共同特征可得()2202200212)(c x e a ex a ex a PF PF =-=-+=，所以2222202a e c a x ≤-=，即22222212e e a c a ≤-=-，所以312≥e ，又01e <<，解得133<≤e ，所以离心率的最小值为33，故选D. 考点：椭圆的几何性质和圆锥曲线的共同特征.【思路点晴】P 为椭圆上的一点是本题的关键条件，根据圆锥曲线的共同特征把212||||2PF PF c ⋅=转化成基本量a ，c ，e 与0x 的关系式，结合椭圆的范围，即可得到e 的不等式，从而求出其最小值.12.设函数()(21)x f x e x ax a =-+-，其中1a >-，若关于x 不等式()0f x <的整数解有且只有 一个，则实数a 的取值范围为（ ） A. 3(1,]2e --B ．3(1,]2e -C ．33(,]42e --D ． 33(,]42e- 【答案】A考点：导数的综合应用和数形结合．【思路点晴】利用转化的数学思想把不等式的解转化为两个函数ax a y x e x g x-=-=),12()(图象的关系，利用导数研究函数)(x g 的单调性和极值从而做出图象，利用数形结合找到参数a -满足的条件，使得问题迎刃而解. 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.在6(1)(2)x x -⋅-的展开式中含3x 的项的系数是 ．【答案】-55考点：二项式定理及其应用.14.已知数列{}n a 满足151=a ，12n n a a n +-=，则n a n 的最小值为 ． 【答案】274【解析】试题分析：递推式12n n a a n+-=变形为n a a n n 21=-+，所以121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++- 2(1)15242n-1152152n n n n -=++++=+⨯=-+ （），所以*∈-+==N n n n n f n a n ,115)(，因为函数)(n f 在[]3,1上单调递减，[]+∞,3上单调递增，又73(=）f ，74274(<=）f ，所以n a n 的最小值为为427. 考点：数列的递推公式和叠加法求通项公式以及数列的函数特性.15. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点是线段1B C 的中点，则三棱锥1A DED -外接球体积为 ． 【答案】916π 【解析】试题分析：如图，三棱锥1A DED -即为三棱锥1DD E -A ，易求得EA=ED=ED 1，三角形ADD 1为直角三角形， 所以顶点E 在平面ADD 1内的射影恰好为AD 1的中点F ，球心O 在EF 上，设球的半径为R ，则在AOF Rt ∆中，222AO AF OF =+，即()22222-1R R =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+，解得43=R ，所以三棱锥1A DED -外接球的体积为ππ16943343=⎪⎭⎫ ⎝⎛=V .考点：多面体与球的组合体，球的截面性质及球的体积公式.【思路点晴】变换三棱锥1A DED -的顶点为三棱锥E-ADD 1，观察其结构特征，从而确定外接球的球心位置恰好在高EF 上，根据球的截面性质求出球的半径，问题便迎刃而解.16.F 是双曲线22:14y C x -=的右焦点，C 的右支上一点P 到一条渐近线的距离为2，在另一条 渐近线上有一点Q 满足FP PQ λ= ，则λ= ．【答案】4考点：向量共线的应用，双曲线的方程与简单几何性质.【方法点晴】要求λ的值，就得求出P 、Q 两点的坐标，可直接设出P 点坐标用点到直线的距离公式，也可结合双曲线的几何性质发现P 的轨迹，解方程组即得P 、Q 两点坐标，从而求出两个向量的坐标，问题就解决了.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,,A B C 依次成等差数列，且b = 求a c +的 A A 1 DB C E B 1 C 1D 1F O取值范围.【答案】a c +(]32,3∈．考点：等差中项、正弦定理、三角恒等变换及正弦型函数值域.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项均是正数，其前n 项和为n S ，满足4(*)n n S a n N =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21(*)2log n nb n N a =∈-，数列2{}n n b b +⋅的前n 项和为n T ，求证：34n T <. 【答案】(1)212n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭； (2)证明见解析.【解析】 试题分析：（1）根据4(*)n n S a n N =-∈写出1-n S 的表达式，消去和，得到数列{}n a 的递推公式，可发现（2）21112log 2(2)n n b a n n===--- 21111()(2)22n n b b n n n n +∴==-++， ………………8分 故数列2{}n n b b +的前n 项和111111111111[(1)()()()]23243546112n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-++-+- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭11111311(1)()22122212n n n n =+--=--++++ ………10分 31113()42124n n =-+<++ ……………………12分 考点：数列的递推公式、等比数列的通项公式和裂项法求和.19.（本小题满分12分）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100 名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图.（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有 关系，对年级名次在150 名和9511000 名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据， 能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好 的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在150 的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 【答案】(1)820；(2) 在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系；(3)分布列见解析，数学期望是1.考点：频率分布直方图，相关性检验和超几何分布的分布列和数学期望.20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//,AD BC AD CD ⊥，且AD CD ==，BC =2PA =，点M 在PD 上.（1）求证：AB PC ⊥；（2）若二面角M AC D --的大小为45 ，求BM 与平面PAC 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；（2）935． 【解析】试题分析：（1）结合原题条件，可以证明PAC AB 平面⊥，从而证得PC AB ⊥；（2）以A 为原点，建立即()1,2,0M ，()1,23,22-=BM ， 而()0,22,22-=是平面PAC 的一个法向量，设直线BM 与平面PAC 所成的角为θ，则935334128sin =⨯--==θ. 故直线BM 与平面PAC 所成的角的正弦值为935 …………………12分考点：空间线面垂直的证明和空间向量在求解二面角和线面角中的应用.【易错点晴】在证明空间直线与平面的位置关系问题时，多数考生往往因为定理的要件不全造成丢分；用向量求解空间角时，要根据所需的点建立合理的空间直角坐标系，简化运算过程，提高准确率，很多考生出错往往是因为坐标系建立不合理，不仅增大了运算量而且出错率高，所需平面的法向量要先看是否已经存在或者已经证明，另外用向量求解线面角时，直线的方向向量与法向量夹角的余弦值就是线面角的正弦.21.（本小题满分12分） 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线m kx y l +=:与椭圆C 相交于B A ,两点，且22OA OBb k k a⋅=-，判断AOB ∆的面积是否为定 值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．【答案】(1) 22143y x +=；(2)AOB ∆的面积为定值3.考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系.【方法点晴】求圆锥曲线方程最常用的方法是待定系数法，先设出方程，再构造待定系数的方程组，解方程组求解，要注意圆锥曲线性质的应用，直线与圆锥曲线的位置关系问题，韦达定理和判别式是不可缺少的，多数考生能整理出方程组和韦达定理，难点在于韦达定理如何应用，这时往往要从结论入手根据解题需要选择合理的变形手段，省时省力，事半而功倍.22.（本小题满分12分） 已知函数211()ln()4f x x x x a a=-++，其中常数0a >. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）已知102a <<，()f x '表示()f x 的导数，若1212,(,),x x a a x x ∈-≠，且满足12()()0f x f x ''+=， 试比较12()f x x '+与(0)f '的大小，并加以证明.【答案】（1）当a = ()f x 在()+∞上为增函数；当a >时， ()f x 在(0,)+∞，22(,)a a a--上为增函数，在22(,0)a a -上为减函数；当0a <<时， ()f x 在22(,)a a-+∞，(,0)a -上为增函数，在22(0,)a a-上为减函数；（2）12()f x x '+<(0)f '，证明见解析.当a >时， 2220a a x a --<=<，所以()f x 在(0,)+∞，22(,)a a a --上为增函数；在22(,0)a a -上为减函数；………4分当0a <<时， 220a a ->，所以()f x 在22(,)a a -+∞，(,0)a -上为增函数；在22(0,)a a-上为减函数；…………5分（2）令111()()()2g x f x x a x a a x a'==-+-<<+则22222222222222()(2)11()0()()()t x t t x x h t t x t t x t t x t+-+'=-+==>++⋅+⋅， ………11分 所以，()h t 在(0,)a 内为增函数，又因为1(0,)t x a a =+∈所以，()()0h t h a <==， 即：121211110a x x a x a x a+--<++++ 所以，)0()(21f x x f '<+'. ……………12分考点：导数的综合应用.【方法点晴】函数、导数问题时刻要牢记定义域优先的原则，不少考生因为忽略定义域造成一错到底的局面，实在可惜，在用导数研究含参的函数单调性时，往往需要讨论，要把握好讨论的标准，本题讨论的标准是导函数的零点与定义域的关系，最后要顺利解答本题构造函数是常用的方法，在解答过程中要仔细分析原函数、导数的性质、图像特征及其与结论的联系，是准确构造新函数的关键.高考一轮复习：。
2016-2017学年河北省石家庄市正定中学高三(上)期中数学试卷和答案(文科)
2016-2017学年河北省石家庄市正定中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知i是虚数单位，若=2﹣i，则z的模为（）A．B．2 C．i D．12．（5分）如图，设全集为U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2}C．{x|0＜x≤1}D．{x|x≤1}3．（5分）命题“∀x＞0，x2+x＞0“的否定是（）A．∃x＞0，使得x2+x＞0 B．∃x＞0，x2+x≤0C．∀x＞0，都有x2+x≤0 D．∀x≤0，都有x2+x＞04．（5分）已知平面向量=（0，﹣1），=（1，1），|λ+|=，则λ的值为（）A．3 B．2 C．3或﹣1 D．2或﹣15．（5分）中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需要按墙上的空调造型摆出相同姿势才能穿墙而过，否则会被墙推入水池，类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空间，则该几何体为（）A．B． C．D．6．（5分）已知f（x）=sin2x+cos2x（x∈R），函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，则φ的值可以是（）A．B．C．D．7．（5分）已知a，b＞0，且a≠1，b≠1，若log a b＞1，则（）A．（a﹣1）（b﹣1）＜0 B．（a﹣1）（b﹣a）＞0 C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 D．（a ﹣1）（a﹣b）＞08．（5分）某零件的正视图与侧视图均是如图所示的图形（实线组成半径为2cm 的半圆，虚线是底边上高为1cm的等腰三角形的两腰），俯视图是一个半径为2cm 的圆（包括圆心），则该零件的体积是（）A．B．C．4πcm3D．9．（5分）已知函数f（x）=，当x1≠x2时，＜0，则a的取值范围是（）A．（0，]B．[，]C．（0，]D．[，]10．（5分）已知a，b，c均为正数，且（a+c）（b+c）=2，则a+2b+3c的最小值为（）A．B．2 C．4 D．811．（5分）定义数列{a n}的“项的倒数的n倍和数”为T n=，已知T n=（n∈N*），则数列{a n}是（）A．单调递减的B．单调递增的C．先增后减的D．先减后增的12．（5分）已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设实数x，y满足，则z=3x﹣4y的最大值为．14．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．15．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在区间[﹣1，1）上，f（x）=，其中m∈R，若，则f（5m）=．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2cos2=sinA，sin（B﹣C）=4cosBsinC，则=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，a1=1，公比为q；等差数列{b n}中，b1=3，且{b n}的前n项和为S n，a3+S3=27，q=．（Ⅰ）求{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}满足c n=，求{c n}的前n项和T n．18．（12分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+2sin2（）﹣1（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为．（1）当时，求f（x）的单调递减区间；（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，当时，求函数g （x）的值域．19．（12分）如图几何体中，长方形ACDF所在平面与梯形BCDE所在平面垂直，且BC=2DE，DE∥BC，BD⊥AD，M为AB的中点．．（Ⅰ）证明：EM∥平面ACDF；（Ⅱ）证明：BD⊥平面ACDF．20．（12分）设数列{a n}是公差大于0的等差数列，S n为数列{a n}的前n项和，已知S3=9，且2a1，a3﹣1，a4+1构成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足=2n﹣1（n∈N*），设T n是数列{b n}的前n项和，证明：T n＜6．21．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F 分别是BC，CC1的中点，（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．22．（12分）已知函数f（x）=xe x﹣alnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：b≤e时，f（x）≥b（x2﹣2x+2）．2016-2017学年河北省石家庄市正定中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知i是虚数单位，若=2﹣i，则z的模为（）A．B．2 C．i D．1【解答】解：由=2﹣i，得，∴z的模为1．故选：D．2．（5分）如图，设全集为U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2}C．{x|0＜x≤1}D．{x|x≤1}【解答】解：A={x|x（x﹣2）＜0}={x|0＜x＜2}，B={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x ＞0}={x|x＜1}，则∁R B={x|x≥1}．由韦恩图中阴影部分表示的集合为A∩（∁R B），∴A∩（∁R B）={x|1≤x＜2}，故选：B．3．（5分）命题“∀x＞0，x2+x＞0“的否定是（）A．∃x＞0，使得x2+x＞0 B．∃x＞0，x2+x≤0C．∀x＞0，都有x2+x≤0 D．∀x≤0，都有x2+x＞0【解答】解：命题“∀x＞0，x2+x＞O“的否定是：∃x＞0，x2+x≤0．故选：B．4．（5分）已知平面向量=（0，﹣1），=（1，1），|λ+|=，则λ的值为（）A．3 B．2 C．3或﹣1 D．2或﹣1【解答】解：根据题意，向量=（0，﹣1），=（1，1），则=（1，1﹣λ），又由|λ+|=，即，有1+（1﹣λ）2=5，解得λ=3或﹣1，故选：C．5．（5分）中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需要按墙上的空调造型摆出相同姿势才能穿墙而过，否则会被墙推入水池，类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空间，则该几何体为（）A．B． C．D．【解答】解：由题意可知A中几何体具备题设要求：三视图分别为正方形，三角形，圆，故选：A．6．（5分）已知f（x）=sin2x+cos2x（x∈R），函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，则φ的值可以是（）A．B．C．D．【解答】解：因为，函数的图象关于直线x=0对称，函数为偶函数，∴，故选：D．7．（5分）已知a，b＞0，且a≠1，b≠1，若log a b＞1，则（）A．（a﹣1）（b﹣1）＜0 B．（a﹣1）（b﹣a）＞0 C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 D．（a ﹣1）（a﹣b）＞0【解答】解：由log a b＞1⇒log a b﹣1＞0即：log a b﹣log a a＞0∴log a＞log a1当a＞1时，函数是增函数．则有：，即b＞a＞1．当1＞a＞0时，函数是减函数．则有：，即1＞a＞b＞0．考查各项答案，B正确，故选：B．8．（5分）某零件的正视图与侧视图均是如图所示的图形（实线组成半径为2cm 的半圆，虚线是底边上高为1cm的等腰三角形的两腰），俯视图是一个半径为2cm 的圆（包括圆心），则该零件的体积是（）A．B．C．4πcm3D．【解答】解：由三视图可知该零件为半球挖去一个同底的圆锥，所以该零件的体积为：（cm3）．故选：C．9．（5分）已知函数f（x）=，当x1≠x2时，＜0，则a的取值范围是（）A．（0，]B．[，]C．（0，]D．[，]【解答】解：∵当x1≠x2时，＜0，∴f（x）是R上的单调减函数，∵f（x）=，∴，∴0＜a≤，故选：A．10．（5分）已知a，b，c均为正数，且（a+c）（b+c）=2，则a+2b+3c的最小值为（）A．B．2 C．4 D．8【解答】解：∵a，b，c＞0，（a+c）（b+c）=2；∴=，当且仅当a+c=2（b+c）时取“=”；∴a+2b+3c的最小值为4．故选：C．11．（5分）定义数列{a n}的“项的倒数的n倍和数”为T n=，已知T n=（n∈N*），则数列{a n}是（）A．单调递减的B．单调递增的C．先增后减的D．先减后增的【解答】解：当n=1时，，解得a1=2．当n≥2时，，所以，综上有，所以a1＞a2＞a3＞…，即数列{a n}是单调递减的．（或用）．故选：A．12．（5分）已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b【解答】解：设h（x）=xf（x），∴h′（x）=f（x）+x•f′（x），∵y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，∴h（x）是定义在实数集R上的偶函数，当x＞0时，h'（x）=f（x）+x•f′（x）＞0，∴此时函数h（x）单调递增．∵a=f（）=h（），b=﹣2f（﹣2）=2f（2）=h（2），c=（ln）f（ln）=h（ln）=h（﹣ln2）=h（ln2），又2＞ln2＞，∴b＞c＞a．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设实数x，y满足，则z=3x﹣4y的最大值为3．【解答】解：作出可行域，如图△ABC内部（含边界），作出直线l：3x﹣4y=0，平移直线l，当它过点C（1，0）时，z=3x﹣4y取得最大值3．故答案为：314．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为15．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在区间[﹣1，1）上，f（x）=，其中m∈R，若，则f（5m）=．【解答】解：因为f（x+2）=f（x）⇒T=2．所以，f（5m）=f（﹣3）=f（﹣1）=﹣1+=﹣．故答案为：．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2cos2=sinA，sin（B﹣C）=4cosBsinC，则=1+．【解答】解：在△ABC中，∵2cos2=sinA，∴1+cosA=sinA，∴1+2cosA+cos2A=sin2A=cos2A．∴cos2A+cosA+=0，解得cosA=﹣或cosA=﹣1（舍）．∴=﹣，∴a2=b2+c2+bc．∵sin（B﹣C）=4cosBsinC，∴sinBcosC=5cosBsinC．即bcosC=5ccosB．∴b×=5c×，即2a2+3c2﹣3b2=0．把a2=b2+c2+bc代入上式得2（b2+c2+bc）+3c2﹣3b2=0，即5c2﹣b2+2bc=0．∴﹣（）2+2+5=0，解得=1+或=1﹣（舍）．故答案为：1+．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，a1=1，公比为q；等差数列{b n}中，b1=3，且{b n}的前n项和为S n，a3+S3=27，q=．（Ⅰ）求{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}满足c n=，求{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{b n}的公差为d，∵，∴，解得；…（4分）∴{a n}的通项公式为a n=3n﹣1，{b n}的通项公式为b n=3n…（6分）（Ⅱ）由题意得：S n=，…（8分）∴数列{c n}的通项公式为c n==••=3（﹣），…（10分）∴{c n}的前n项和为T n=3[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=…（12分）18．（12分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+2sin2（）﹣1（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为．（1）当时，求f（x）的单调递减区间；（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．【解答】解：（1）由题意可得：函数f（x）=f（x）=sin（ωx+φ）+2sin2（）﹣1=sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ﹣）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，∴φ﹣=kπ，k∈Z，∴φ=．∵相邻两对称轴间的距离为==，∴ω=2，f（x）=2sin2x．令2kπ+≤2x≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．结合，可得f（x）的单调递减区间为[﹣，﹣]．（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位长度，可得y=2sin（2x﹣）的图象；再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）=2sin（4x﹣）的图象，当时，4x﹣∈[﹣]，此时，sin（4x﹣）∈[﹣1，]，求函数g（x）∈[﹣2，]．19．（12分）如图几何体中，长方形ACDF所在平面与梯形BCDE所在平面垂直，且BC=2DE，DE∥BC，BD⊥AD，M为AB的中点．．（Ⅰ）证明：EM∥平面ACDF；（Ⅱ）证明：BD⊥平面ACDF．【解答】证明：（Ⅰ）取BC中点N，连结EN、MN，∵长方形ACDF所在平面与梯形BCDE所在平面垂直，且BC=2DE，DE∥BC，BD ⊥AD，M为AB的中点，∴EN∥CD，MN∥AC，∵EN∩MN=N，CD∩AC=C，EN，MN⊂平面EMN，CD，AC⊂平面ACDF，∴平面EMN∥平面ACDF，∵EM⊂平面EMN，∴EM∥平面ACDF．（2）∵长方形ACDF中，AC⊥CD，长方形ACDF所在平面与梯形BCDE所在平面垂直，∴AC⊥平面BCDE，∵BD⊂平面BCDE，∴AC⊥BD，∵BD⊥AD，AC∩AD=A，∴BD⊥平面ACDF．20．（12分）设数列{a n}是公差大于0的等差数列，S n为数列{a n}的前n项和，已知S3=9，且2a1，a3﹣1，a4+1构成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足=2n﹣1（n∈N*），设T n是数列{b n}的前n项和，证明：T n＜6．【解答】解：（1）∵公差不为零的等差数列{a n}的前3项和S3=9，得到a2=3，且2a1，a3﹣1，a4+1构成等比数列，∴得到未知数a2与d的方程组：，由d≠0，解得a1=1，d=2，∴a n=2n﹣1．证明：（2）∵数列{b n}满足=2n﹣1（n∈N*），∴，∴b n=（2n﹣1）•21﹣n=（4n﹣2）•设T n是数列{b n}的前n项和，则T n=2•+6+10•+14•+…+（4n﹣2）•，①=2+6…+（4n﹣2），②①﹣②，得：T n=1+1+﹣=1+﹣（4n﹣2）•=3﹣，∴T n=6﹣＜6．∴T n＜6．21．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F 分别是BC，CC1的中点，（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵几何体是直棱柱，∴BB1⊥底面ABC，AE⊂底面ABC，∴AE⊥BB1，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E分别是BC的中点，∴AE⊥BC，BC∩BB1=B，∴AE⊥平面B1BCC1，∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）解：取AB的中点G，连结A1G，CG，由（Ⅰ）可知CG⊥平面A1ABB1，直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，就是∠CA1G，则A1G=CG=，∴AA1==，CF=．三棱锥F﹣AEC的体积：×==．22．（12分）已知函数f（x）=xe x﹣alnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：b≤e时，f（x）≥b（x2﹣2x+2）．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=xe x﹣alnx的导数为f′（x）=（x+1）e x﹣，x＞0，依题意得f′（1）=0，即2e﹣a=0，解得a=2e．所以f′（x）=（x+1）e x﹣，显然f′（x）在（0，+∞）单调递增且f′（1）=0，故当x∈（0，1）时，f′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．所以f（x）的递减区间为（0，1），递增区间为（1，+∞）．（Ⅱ）证明：①当b≤0时，由（Ⅰ）知，当x=1时，f（x）取得最小值为e．又b（x2﹣2x+2）的最大值为b，故f（x）≥b（x2﹣2x+2）；②当0＜b≤e时，设g（x）=xe x﹣2elnx﹣b（x2﹣2x+2），所以g′（x）=（x+1）e x﹣﹣2b（x﹣1），令h（x）=（x+1）e x﹣﹣2b（x﹣1），x＞0，则h′（x）=（x+2）e x+﹣2b，当x∈（0，1）时，﹣2b≥0，（x+2）e x＞0，所以h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，（x+2）e x﹣2b＞0，＞0，所以h′（x）＞0．所以当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0．，故h（x）在（0，+∞）上单调递增，又h（1）=0，所以当x∈（0，1）时，g′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．所以g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以当x=1时，g（x）取得最小值g（1）=e﹣b≥0，所以g（x）≥0，即f（x）≥b（x2﹣2x+2）．综上，当b≤e时，f（x）≥b（x2﹣2x+2）．。
河北省正定中学高三上学期期末考试——数学文数学(文)
河北省正定中学 2016届高三上学期期末考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}0342<+-=x x x A ，，则（ ） A ． B ． C ． D ． 2.已知，若复数为纯虚数，则（ ） A ． B ． C ． D ．3.已知)(sin )(3R x x x x f ∈+=是（ ）A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 4.抛物线的焦点坐标为（ ） A ． B ． C ． D ．5为了了解高一、高二、高三的身体状况，现用分层抽样的方法抽出一个容量为的样本，三个年级学生数之比依次为，已知高一年级共抽取了人，则高三年级抽取的人数为（ ） A ． B ． C ． D ．6.函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）7.已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ） A ． B ． C ． D ．8.如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以的的速度由处出发，沿北偏东方向进行海面巡逻，当航行半小时到达处时，发现北偏西方向有一艘船，若船位于的北偏东方向上，则缉私艇所在的处与船的距离是（ ）10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A. B. C. D.11.已知分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左，右焦点，为双曲线右支上的任意一点，若221PF PF 的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．12.已知函数，.若不等式对所有的，都成立，则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设向量，为单位向量且夹角为，向量与垂直，则________.14.若满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-131y y x x y ，则的最大值为_______.15.直三棱柱中，，，，则该三棱柱的外接球的体积为________.16.函数ϕωϕω,,)(sin()(A x A x f +=是常数，且)的部分图象如图所示，下列结论： ①最小正周期为；②将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数； ③； ④；⑤，其中正确的是_______.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设数列的前项和，且是的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 18.（本小题满分12分）随机抽取某中学甲乙两班各名同学，测量他们的身高（单位：），获得身高数据的茎叶图如图. （1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（2）计算甲班的样本方差；（3）现从乙班这名同学中随机抽取两名身高不低于的同学，求身高为的同学身高被抽中的概率.19.（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面为菱形，面，为的中点. （1）求证：平面；（2）设，，，求点到平面的距离.20.（本小题满分12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为和，由个点，，和组成了一个高为，面积为的等腰梯形.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线和椭圆交于两点，求面积的最大值. 21.（本小题满分12分）设函数..已知曲线在点处的切线与直线平行. （1）求的值；（2）是否存在自然数，使得方程在内存在唯一的实根？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知是半圆的直径，，点是半圆上一点，过作半圆的切线，过点作于，交半圆于，. （1）求证：平分； （2）求的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知曲线)4sin(22:πθρ-=C ，为曲线上的动点，定点.（1）将曲线的方程化成直角坐标方程，并说明它是什么曲线； （2）求、两点的最短距离.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式的解集为,求参数的取值范围.参考答案一、选择题 1.【答案】B【解析】因为{}{}310342<<=<+-=x x x x x A ，{}{}{}414231<<=<<<<=x x x x x x B A .故选B.2.【答案】D 【解析】2)2()2()1)(1()1)(2(12ia a i i i i a i i a z +--=-+--=+-=为纯虚数，则. 3.【答案】B【解析】，所以是奇函数. 4.【答案】C 5.【答案】C【解析】由已知高一年级抽取的比例为，所以，得， 故高三年级抽取的人数为. 6.【答案】C坐标为，故不满足；D 项中两个函数都是单调递增的，故也不满足. 综上所述，排除A ，B ，D.故选C. 7.【答案】B【解析】第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环；周期为，则执行该程序后输出的结果是. 8.【答案】C【解析】由题意，知 303060=-=∠BAC ，754530=+=∠ABC ，753075180=--=∠ACB ，∴)(202140km AB AC =⨯==，由余弦定理，得)32(400340080030cos 202022020cos 22222-=-=⨯⨯⨯-+=∠⋅⋅-+= BAC AB AC AB AC BC ∴))(26(10)13(210)13(200)32(4002km BC -=-=-=-=.9.【答案】B【解析】若，则，符合题意，若，则82222c a c a x a x ≥⇒≥≥+，于是.所以. 10.【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是由一个底面半径为，高为的圆柱，再加上一个半圆锥：122111221221222++=⨯⨯+⨯⨯+⨯++πππππ，故选B. 11.【答案】B【解析】本题以双曲线为素材，综合考察双曲线的离心率和函数的最值，难度中等.设，则a c t t a PF -≥+=,21.又a a ta t t t a PF PF 844)2(22221≥++=+=，当且仅当时等号成立.所以，所以.故选A. 12.【答案】B【解析】若不等式对所有的，都成立， 即对所有的，都成立， 即对所有的，都成立， 即对都成立，即对都成立， 即大于等于在区间上的最大值， 令，则，当时，，单调递增， 所以，的最大值为，即， 所以的取值范围为. 二、填空题 13.【答案】 14.【答案】【解析】画出可行域，目标函数表示可行域内的点与点连线的斜率，当其经过点时，取到最大值为.15.【答案】 16.【答案】①④⑤ 【解析】由图可知，ππϕπωππππ2321272,2431274,2+=+⨯=⇒=⇒=-==k T T A ， 3)0()32sin(2)(=⇒+=f x x f π，)322sin(2)332sin(2)6(ππππ+=++=+x x x f ，对称轴为直线，一个对称中心为，所以②、③不正确； 因为的图象关于直线对称，且的最大值为，121313141213111212131112⨯=->⨯=-ππππππ，所以，即④正确； 设为函数的图象上任意一点，其对称中心的对称点还在函数的图象上，即)35()()()35(x f x f x f x f --=⇒-=-ππ，故⑤正确. 三、解答题：17.【解析】（1）由已知，有)1(2211>-=-=--n a a S S a n n n n n ， 即.从而，.又因为是的等差中项，即.解得. 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 故. ....................6分 （2）由（1）得，所以n n nT 223222132+⋅⋅⋅+++=， 12223112-+⋅⋅⋅+++=n n nT 两式相减 nn nn n n n n n T 2222211)21(12212121112+-=---=-+⋅⋅⋅+++=-. ................12分 18.【答案】（1）乙班同学的平均身高较高；（2）；（3）.试题解析：（1）由茎叶图知：设样本中甲班位同学身高为，乙班位同学身高为，则)(170)158162163168168170171179179182(101cm x =+++++++++=甲. 2分 )(1.171)159162165168170173176178179181(101cm x =+++++++++=乙. 4分∵，据此可以判断乙班同学的平均身高较高. （1）设甲班的样本方差为，由（1）知.则22222222)170168()170168()170170()17017()170179()170179()170182[(101-+-+-+-+-+-+-=1甲s )(2.57])170158()170162()170163(2222cm =-+-+-+， 8分（3）由茎叶图可知：乙班这名同学中身高不低于的同学有人，身高分别为、、、、.这名同学分别用字母、、、、表示.则记“随机抽取两名身高不低于的同学”为事件，则包含的基本事件有：、、、、、、、、、共个基本事件. 10分记“身高为的同学被抽中”为事件， 则包含的基本事件为：、、、共个基本事件. 由古典概型的概率计算公式可得：52104)()()(==Ω=n M n N P . 12分 19.（1）设与的交点为，连接，因为为矩形，所以为的中点，又因为为的中点，所以 .平面，平面，所以平面. ............6分 （2）设交于点，由题设知平面， 所以面，作交于， 故平面，又，所以到平面的距离为. ...........12分 方法二：33120sin 6131=⋅⋅=⋅⋅=∆- AD AB PA PA S V ABD ABD P ， ，，， 所以，，，设到平面的距离为，所以有，， 所以到平面的距离为.20.【解析】（1）由条件，得，且，所以. 又，解得，.所以椭圆的方程. ...............4分 （2）显然，直线的斜率不能为，设直线方程为，直线与椭圆交于，联立方程⎪⎩⎪⎨⎧-==+113422my x y x ，消去得，096)43(22=--+my y m .因为直线过椭圆内的点，无论为何值，直线和椭圆总相交. ∴439,436221221+-=+=+m y y m m y y . 22221221212121)43(1124)(212++=-+=-=-=∆m m y y y y y y y y F F S ABF )1(9132114)311(1422222++++=+++=m m m m , .................10分令，设，易知时，函数单调递减，函数单调递增， 所以当即时，，取最大值. ...........12分21.【解析】（1）由题意知，曲线在点处的切线斜率为，所以. 又，所以. ...............4分 （2）时，方程在内存在唯一的根.设x ex x x x g x f x h 2ln )1()()()(-+=-=，当时，.又01148ln 42ln 3)2(22=->-=-=e e h ， 所以存在，使. 因为xex x x x x h )2(11ln )(-+++='，所以当时，， 当时，，所以当时，单调递增.所以时，方程在内存在唯一的根. ....12分 22.解：（1）连接，因为，所以， 因为为半圆的切线，所以， 因为，所以， 所以，，所以平分. .....................5分 （2）连接，由（1）知，所以. 因为四点共圆，故，因为是半圆的直径，所以是直角，相似于，，. ..................10分23.解：（1）由)cos (sin 2)4sin(22θθπθρ-=-=，得到θρθρρcos 2sin 22-=，∴曲线的直角坐标方程为：且曲线是以为圆心，为半径的圆. ...........5分（2）点直角坐标为，点到圆心的距离为3)221()221(22=-+--， 的最短距离为. ..............10分24.解：（1）当时，，得到，当时，，得到，当时，，得到，综上，不等式解集为. .................5分（2）由题意知，对一切实数恒成立，当时，，当时，，当时，.综上，.故. ..............................10分。
河北省正定中学高三数学上学期第三次月考(期中)试题
高三质检三数学（理科）试题参考答案一、选择题答案二、填空题答案：13.25-14. [)∞+-，115.3203410x y x y --=-+=或 16.三、解答题答案17.【命题意图】本题主要考查正余弦定理解三角形、三角恒等变换，意在考查学生的基本的运算能力、综合分析问题解决问题的能力以及 转化与化归的数学思想．17.【解析】（1）C A B C A sin sin sin sin sin 222-=+,ac b c a -=+∴222 ……………………2分2221cos 222a c b ac B ac ac +-∴==-=-………………………………………………………………4分(0,)B π∈Q ,23B π∴= ………………………………………………………………………………5分（2）在ABD ∆中,由正弦定理：sin sin AD BDB BAD=∠1sin 1sin 4BD B BAD AD ∴∠== …………………………………………………………………7分217cos cos212sin 12168BAC BAD BAD ∴∠=∠=-∠=-⋅= …………………………………………9分sin 8BAC ∴∠= (10)分18.【命题意图】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，意在考查学生的审题能力以及数据处理能力. 18．【解析】（1）依题，⎪⎩⎪⎨⎧=----=43)1)(311)(1(124131n m mn ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==4121n m .………………………………………6分 （2）设该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数为随机变量X ，则X 的值可以为0，1，2，3，4，5，6. ………………………………………………………………7分而41433221)0(=⨯⨯==X P ；41433221)1(=⨯⨯==X P ；81433121)2(=⨯⨯==X P ； 245433121413221)3(=⨯⨯+⨯⨯==X P ；121413221)4(=⨯⨯==X P ； 241413121)5(=⨯⨯==X P ；241413121)6(=⨯⨯==X P . …………………………………………10分 （每答对两个，加1分）∴X 的分布列为：X0 1 2 3 4 5 6P4141 81 245 121 241 241于是，2416241512142453812411410)(⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E 1223=. …………………………12分19.【命题意图】本题考查立体几何中的向量方法，意在考查数形结合思想，空间想象能力，以及运算求 解能力.………………………………………………………………………………………………………11分19.【解析】(1)由已知得BD AC ⊥，CD AD =,又由CF AE =得CDCFAD AE =，故AC ∥EF ，因此HD EF ⊥，从而EF ⊥H D '.由65==AC AB ，得==BO DO 422=-AO AB .…………2分由AC ∥EF 得41==AD AE DO OH .所以1=OH ,3'==DH H D .…………………………………3分于是2'2222'1013O D OH H D ==+=+,故OH H D ⊥'.又EF H D ⊥',而H EF OH =I , 所以D H '⊥平面ABCD . ……………………………………………………………………………4分(2)如图，以H 为坐标原点，HF u u u r的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系H xyz -，则By()0,0,0H ，()0,1,3--A ，()0,6,0-B ，()3,1,0C -，()0,0,3D '，(3,4,0)AB =-u u u r ，()6,0,0AC =u u u r，()3,1,3AD '=u u u u r (6)分设()111,,m x y z =u r是平面ABD '的法向量，则0m AB m AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩u r u u u ru r u u u u r，即11111340330x y x y z -=⎧⎨++=⎩，可取()4,3,5m =-u r .…………………………………8分设()222,,n x y z =r 是平面'ACD 的法向量，则0n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩r u u u rr u u u u r，即222260330x x y z =⎧⎨++=⎩，可取()0,3,1n =-r ………………………………………10分于是2557105014cos -=⨯-=⋅>=<n m n m n m,， (11)分设二面角的大小为θ，sin θ=.因此二面角B D A C '--.……………12分20.【命题意图】本题考查等差数列、等比数列的通项公式及其前项和，，以及数列单调性的判定等基础知识，意在考查学生的分析问题解决问题的能力、以及运算求解能力．20.【解析】（1）当1n =时，111(1)S t S a =-+，得1a t =．……………………………………………1分当2n ≥时，由(1)n n n S t S a =-+，即(1)n n t S ta t -=-+，①∴11(1)n n t S ta t ---=-+，②①-②，得1(1)n n n t a ta ta --=-+，即1n n a ta -=，Θ数列{}n a 的各项均不为零∴1nn a t a -=（2n ≥）， ∴{}n a 是等比数列，且公比是t ，∴n n a t =． ………………………………………………3分Θ0t ≠，1t ≠∴2(1)()1n n n n t t b t t t -=+⋅-，即212121n n n n t t t b t +++-=-，……………………………4分若数列{}n b 为等比数列，则有2213b b b =⋅，而212b t =，32(21)b t t =+，423(21)b t t t =++， 故23242(21)(2)(21)t t t t t t ⎡⎤+=⋅++⎣⎦，解得12t =， ………………………………………………5分 再将12t =代入n b ，得1()2n b =，由112n n b b +=，知{}n b 为等比数列，∴12t =．……………………6分（2）由12t =，知1()2n n a =，∴14()12n n c =+，……………………………………………………7分∴11(1)224112n n T -=⨯-442n n n +=+-，………………………………………………………………9分由不等式12274nkn n T ≥-+-恒成立，得2732nn k -≥恒成立， 设272n n n d -=，由1n nd d +-11252729222n n n n n n ++---+=-=，………………………………………10分∴当4n ≤时，1n n d d +>，当4n ≥时，1n n d d +<，而4116d =，5332d =，∴45d d <， ∴3332k ≥，∴132k ≥．………………………………………………………………………………12分21.【命题意图】本题考查椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系,椭圆的简单几何性质等基础知识， 意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力.21.【解析】（1）：设(,0)F c ，由FAeOA OF 311=+，即113()c c a a a c +=-，可得2223a c c -=，又 2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=.………………4分(2)设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(13422x k y y x ，消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k . 解得2=x ，或346822+-=k k x ，………………………………………………………………………6分由题意得346822+-=k k x B ，从而34122+-=k k y B .由（1）知)0,1(F ，设),0(H y H ， 有),1(H y FH -=，)3412,3449(222++-=k kk k BF (8)分由HF BF ⊥，得0=⋅HF BF ，所以-034123449222=+++-k ky k k H ，解得kk y H 12492-=.……………9分因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=.设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=)2(124912x k y k k x k y 消去y ，解得)1(1292022++=k k x M .……………………………………10分在MAO ∆中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(MM M M y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即1)1(1292022≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k .……………………………………………………11分所以直线的斜率的取值范围为),46[]46,(+∞--∞Y .…………………………………………12分22.【命题意图】本题主要考查导数与函数的最值，利用导数证明不等式、不等式恒成立等基础知识，意在考查学生转化与化归能力、综合分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力．22.【解析】（1）证明：2()cos 12x f x x =+-)0(≥x ，则x x x f sin )('-=，……………………1分设()sin x x x ϕ=-，则'()1cos x x ϕ=-， ………………………………………………………2分当0≥x 时，'()1cos 0x x ϕ=-≥，即x x x f sin )('-=为增函数，所以0)0(')('=≥f x f ， ∴)(x f 在()+∞,0时为增函数，所以0)0()(=≥f x f ．…………………………………………4分（2）解法一：由（1）知0≥x 时，x x ≤sin ，12cos 2+-≥x x ，所以2cos sin 122+-≥++x x x x ， 设2()12xx G x e x =---，则'()1x G x e x =--， (5)分设()1x g x e x =--，则'()1x g x e =-，……………………………………………………………6分当0≥x 时'()10xg x e =-≥，所以()1xg x e x =--为增函数，所以()(0)0g x g ≥=，所以()G x 为增函数，所以()(0)0G x G ≥=，…………………………7分所以2cos sin +-≥x x e x 对任意的0≥x 恒成立.…………………………………………………8分又0≥x ，1≥a 时，x ax e e ≥，所以1≥a 时2cos sin +-≥x x e ax 对任意的0≥x 恒成立.……10分当1<a 时，设2cos sin )(-+-=x x e x h ax，则x x ae x h ax sin cos )('--=，…………………11分01)0('<-=a h ，所以存在实数00>x ，使得任意),0(0x x ∈，均有0)('<x h ，所以)(x h 在),0(0x为减函数，所以在),0(0x x ∈时0)0()(=<h x h ，所以1<a 时不符合题意.综上，实数a 的取值范围为),1[+∞.……………………………………………………………………12分（2）解法二：因为sin cos ax e x x ≥-+2等价于ln(sin cos )ax x x ≥-+2 ………………………6分设()ln(sin cos )g x ax x x =--+2，则sin cos ()sin cos x xg x a x x +'=--+2 (7)分 可求sin cos [,]sin cos x xx x +∈--+112， ………………………………………………………………9分所以当a ≥1时，()g x '≥0恒成立，()g x 在[,)+∞0是增函数，所以()()g x g ≥=00，即ln(sin cos )ax x x ≥-+2，即sin cos ax e x x ≥-+2所以a ≥1时，sin cos ax e x x ≥-+2对任意x ≥0恒成立．………………………………………10分当a <1时，一定存在x >00，满足在(,)x 00时，()g x '<0， 所以()g x 在(,)x 00是减函数，此时一定有()()g x g <=00， 即ln(sin cos )ax x x <-+2，即sin cos axe x x <-+2，不符合题意，故a <1不能满足题意，综上所述，a ≥1时，sin cos axe x x ≥-+2对任意x ≥0恒成立． (12)分选择题解析： 1.【解析】i iiz 2113+=-+=，i z 21-=∴.z 在复平面内的对应点位于第四象限.故选D. 2.【解析】2{|20}{|21}P y y y y y y =-->=><-或，若P Q R =U ，(2,3]P Q =I ，由P Q R =U ，(2,3]P Q =I ，所以13{|}Q x x =-≤≤，∴13-，是方程20x ax b ++=的两根，由根与系数关系得1335a b a b -=-+=-∴+=-，．3.【解析】命题的否定，是条件不变，结论否定，同时存量词与全称量词要互换，因此命题“*n N ∀∈，x R ∃∈，使得2n x <”的否定是“*n N ∃∈，x R ∀∈，使得2n x ≥”．故选C ． 4.【解析】由已知可得2206=+a a ，又{}n a 是等差数列，所以206251a a a a +=+，∴数列的前25项和25225)(25125=⨯+=a a S ，所以数列的前25项和为25.故选C.5.【解析】(,)4P t π在sin(2)3y x π=-图象上，21342sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=∴ππt ，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛21,4πP ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴21,4's P π，又'P 位于函数sin 2y x =的图象上，⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-∴s 42sin π212cos 22sin ==⎪⎭⎫⎝⎛-=s s π，322ππ+=∴k s 或32ππ-k ()Z k ∈，0>s Θ，6min π=∴s .故选A.6.【解析】()()221221sin 3sin 2121x x xf x x x +-=++=-+++，()()2223sin 3sin 2112xx xf x x x --=-+-=--++g ，且()()4f x f x +-=，所以()f x 是以点()0,2为对称中心，所以其最大值与最小值的和4m n +=.故选D.7.【解析】由()(2)f x f x =-知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当)1,(-∞∈x 时，0)()1(<'-x f x ，则'()0f x >，所以在1x <时，()f x 递增，(3)(23)(1)f f f =-=-，又11012-<<<，所以 1(1)(0)()2f f f -<<，即c a b <<．故选B ．8.【解析】以C 为坐标原点，CA 边所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则()0,1A ，()10，B ，设()y x P ,， 则⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≥0100y x y x 且⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21,1AN ，⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21,21y x MP ,4121++-=⋅y x MP AN ，令4121++-=y x t ，结合线性规划知识，则2122-+=t x y ，当直线4121++-=y x t 经过点()0,1A 时，MP AN ⋅有最小值，将()0,1A 代入得43-=t ，当直线4121++-=y x t 经过点()10，B 时，MP AN ⋅有最大值，将()10，B 代入得43=t ，故答案为A ． 9.【解析】由已知得211cos 21()cos 2log 222x f x x x +=+--2cos2log x x =-，令()0f x =，即2cos2log x x =，在同一坐标系中画出函数cos 2y x =和2log y x =的图象，如图所示，两函数图象有两个不同的交点，故函数()f x 的零点个数为2，故选B ．–1BS（第10题图）10.【解析】由三视图可知，该几何体为如图所示的四棱锥ABCD S -，设x BO =1，则()2212x x =+-，解得45=x ，∴该多面体的外接球半径=+==2121B O OO OB R 164116251=+，所以其表面积为44142ππ==R S ，故选C. 11.【解析】因为3BD DC =u u u r u u u r 34=⇒，所以E E E n n n 34+=+=E E n n 3431+-=，设n n mE C E A =u u u u r u u u u r ，D E m B E m A E n n n 3431+-=∴，又因为11(32)4n n n n n E A a E B a E D +=-+u u u u r u u u u r u u u u r ， ()⎪⎩⎪⎨⎧⇒=+--=∴+ma m a n n 342331411231+=+n n a a ， ∴以113(1)n n a a ++=+，又112a +=，所以数列{}1n a +表示首项为2，公比为3的等比数列，所以1123n n a -+=⋅，∴1615=a ,故选D ．12.【解析】对于①，若令(1,1)P ，则其“伴随点”为11(,)22P '-，而11(,)22P '-的“伴随点”为(1,1)--，而不是P ，故①错误；对于②，设曲线(,)0f x y =关于x 轴对称，则(,)0f x y -=与方程(,)0f x y =表示同一曲线，其“伴随曲线”分别为2222(,)0y xf x y x y -=++与2222(,)0y x f x y x y --=++也表示同一曲线，又曲线2222(,)0y xf x y x y -=++与曲线2222(,)0y xf x y x y --=++的图象关于y 轴对称，所以②正确；③设单位圆上任一点的坐标为(cos ,sin )P x x ，其“伴随点”为(sin ,cos )P x x '-仍在单位圆上，故③正确；对于④,直线b kx y +=上任一点),(y x P 的“伴随点”为'2222(,)y xP x y x y-++，∴'P 的轨迹是圆，故④错误，所以正确的为序号为②③．故选B. 填空题解析：13.【解析】5191()(),()()2222f f f f -=-=，∴59()()22f f -=111123()()222255f f a a ⇒-=⇒-+=-⇒=∴32(5)(3)(1)(1)155f a f f f ===-=-+=-14.【解析】设阴影部分的面积为S ,则dx x x S )(012-=⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3233132x x 313132|10=-=，又正方形面积为1，31=∴a ，∴()⎪⎩⎪⎨⎧<≥=)31(31()31(log 3x x x x f x ）)(x f ∴的值域为[)∞+-，115.【解析】 x x x f 2cos 22sin 23)(+-=',123)4(=-='πf ,则1=a ，点P 的坐标为)1,1(，若P 为切点，23x y ='，曲线3y x =在点P 处切线的斜率为3，切线方程为)1(31-=-x y ，即023=--y x ；若P 不为切点，曲线3y x =的切线的切点为),(n m ，曲线3y x =的切线的斜率 23m k =，则2311m m n =--，又3m n =，则21-=m ，81-=n ，得出切线方程)21(4381+=+x y ， 即0143=+-y x .∴过曲线3y x =上一点(),P a b 的切线方程为3203410x y x y --=-+=或.16.【解析】设()()()1111,,,,,y C x y A x y B x --，显然12,x x x x ≠≠．∵点,A C 在双曲线上，∴221122222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得22212221y y b x x a -=-， ∴22211212BC 222111=AC y y y y y y b k k k k x x x x x x a-+-===-+-g . 由()1212121222ln ln ln y k k k k k k k k =++=+， 设12t k k =， 则2ln y t t =+，∴求导得221y t t '=-+，由220t y t-'==得2t =． ∴2ln y t t =+在()2,0单调递减，在()+∞,2单调递增，∴2t =时即122k k =时2ln y t t=+取最小值，∴222b a =，∴e ==。
河北省正定中学2016届高三上学期期末考试理数试题 Word版含解析
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}3<=x x M ，{}1->=x x N ，全集R U =，则=)(N M C U I A ．{}1-≤x x B ．{}3≥x x C ．{}30<<x x D ．{}31≥-≤x x x 或 【答案】D 【解析】试题分析：由已知{|13}M N x x =-<<I ，所以(){|13}或U C M N x x x =≤-≥I ，故选D ．考点：集合的运算． 2. 已知i iz+=+13，则复数z 在复平面上对应点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D考点：复数的运算与几何意义．3. 已知函数R x x x x f ∈+=,sin )2cos 1()(2，则)(x f 是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 【答案】D 【解析】试题分析：221cos 211cos 41()(1cos 2)(1cos 2)sin 22224x x f x x x x --=+⋅=-=-=，()()f x f x -=，()f x 是偶函数，周期为242ππT ==，故选D ．考点：二倍角公式，三角函数的周期与奇偶性．4. 等比数列{}n a 中，4021=+a a ，6043=+a a ，=+87a a A ．135 B ．100 C ．95 D ．80 【答案】A考点：等比数列的性质与通项公式．5. 设函数⎩⎨⎧≥<-+=-1,101),2lg(1)(1x x x x f x ，则=+-)30(lg )98(f f A ．5 B ．6 C ．9 D ．22 【答案】B 【解析】 试题分析：(98)(lg30)f f -+=lg3011lg[2(98)]10-+--+lg30101lg100123610++=++=．故选B ．考点：分段函数，对数的运算．6. 某几何体的三视图如图所示，则其体积为 （ ） A ．4 B ．24 C ．34 D ．8【答案】A 【解析】试题分析：由三视图知该几何体是四棱锥，其底面面积为1(24)262S =⨯+⨯=，高为22(5)12h =-=，所以1162433V Sh ==⨯⨯=．故选A ．考点：三视图，棱锥的体积．7. 过三点)2,1(A ，)2,3(-B ，)2,11(C 的圆交x 轴于N M ,两点，则=MN A ．63 B ．64 C ．21 D ．212 【答案】D考点：圆的方程．8. 根据如图所示程序框图，若输入42=m ，30=n ，则输出m 的值为 A ．0 B ．3 C ．6 D ．12【答案】C考点：程序框图．9. 球O 半径为13=R ，球面上有三点A 、B 、C ，312=AB ，12==BC AC ，则四面体OABC 的体积是A ．360B ．350C ．660D ．650 【答案】A 【解析】试题分析：设ΔABC 外接圆半径为r ，由312=AB ，12==BC AC 得30,120A B C ==︒=︒， 123224r ==，12r =，则O 到面ABC 的距离 222213125d R r =-=-=，又Δ11212sin1203632ABC S =⨯⨯⨯︒=，所以136356033O ABC V -=⨯⨯=，故选A ．考点：棱锥的体积，球的性质．10. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下面叙述中正确的是A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 【答案】D考点：函数的图象与应用．【名师点睛】本题考查函数的图象，题中给出一个新概念“燃油效率”，正确理解新概念是解题的基础与关键，题中“燃油效率”是汽车每消耗1升汽油所行驶的路程，因此“燃油效率”越高，则每消耗1升汽油所行驶的路程越多或者是行驶同样的距离消耗的汽油越少，其次“燃油效率”与汽车行驶速度有关，本题图形就是反应速度与“燃油效率”的关系的图象．只要正确理解了图象，就能判别题中每个命题的正确性．11. 已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E 的左，右顶点为B A ,，点M 在E 上，ABM ∆为等腰三角形，且顶角θ满足31cos -=θ，则E 的离心率为 A ．5 B ．2 C ．3 D ．2 【答案】C考点：双曲线的几何性质．【名师点睛】求圆锥曲线的离心率，一般要寻找到关于,,a b c 的一个等式，这个等式可化为关于e 的方程，解之可得．双曲线的标准方程中对a 、b 的要求只是a ＞0，b ＞0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2；若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ＞ 2.12. 设函数)(x f '是偶函数))((R x x f ∈的导函数，)(x f 在区间),0(+∞上的唯一零点为2，并且当)1,1(-∈x 时，0)()(<+'x f x f x ，则使得0)(<x f 成立的x 的取值范围是 A ．)2,0()0,2(Y - B ．),2()2,(+∞--∞Y C ．)1,1(- D ．)2,2(- 【答案】D 【解析】试题分析：设()()g x xf x =，则'()'()()g x xf x f x =+，由题意'()0g x <（(1,1)x ∈-），所以()gx 在(1,1)-上单调递减，又(0)0g =，所以(0,1)x ∈时，()()0g x xf x =<，()0f x <，同理当(1,0)x ∈-时，()0f x <，又0'(0)(0)0f f ⨯+<，即(0)0f <，在(0,)+∞上()f x 只有唯一的零点2，因此当12x ≤<时()0f x <，当2x >时，()0f x >，由于()f x 是偶函数，因此当21x -<≤-时，()0f x <，当2x <-时，()0f x >，(2)(2)0f f -==，综上可知()0f x <的解集是(2,2)-．故选D ．考点：函数的零点，导数与单调性，函数的奇偶性．【名题点睛】本题考查导数的应用，解题的关键是构造新函数，结合导数的运算法则构造出新函数能根据已知条件判断单调性，利用单调性判断出新函数()()g x xf x =的正负，从而确定()f x 的部分正负性，然后再由函数()f x 在(0,)+∞上有唯一的零点，确定不等式的解集．这考查了学生的创新能力，分析与转化能力．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设向量a ，b 是相互垂直的单位向量，向量b a +λ与b a 2-垂直，则实数=λ________. 【答案】2考点：向量的数量积与垂直．14. 若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥-≤--020063y x y x y x ，则y x z 2-=的最大值为_______.【答案】2 【解析】试题分析：作出题中约束条件表示的可行域，如图ABC ∆内部（含边界），再作直线:20l x y -=，当直线l 向下平移时，2z x y =-增大，因此当l 过点(2,0)B 时，2z x y =-取得最大值2．考点：简单的线性规划问题．15. 已知对任意实数x ，有7722106)1)((x a x a x a a x x m +⋅⋅⋅+++=++，若327531=+++a a a a ，则=m ____.【答案】0考点：二项式定理．【名师点睛】1．二项式定理给出的是一个恒等式，对于a ，b 的一切值都成立．因此，可将a ，b 设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令a ，b 等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1、－1或0”，有时也取其他值．2．一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则f (x )的展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f 1＋f －12，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f 1－f －12.16. 已知数列{}n a 满足11=a ，)2(1222≥-=n S S a n nn ，其中n S 为{}n a 的前n 项和，则=2016S ________.【答案】40311 【解析】试题分析：2n ≥时，21221nn n n n S a S S S -=-=-，整理得1112n n S S --=，所以数列1{}n S 是公差为2的等差数列，又11111S a ==，所以112(1)21n n n S =+-=-，121n S n =-，所以2016112201614031S ==⨯-． 考点：等差数列的通项公式；已知n S 与n a 关系，求通项公式．【名师点睛】1．数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示．2．在已知n S 与n a 关系求通项公式时，一般化n S 为n a ，但有时也利用1n n n a S S -=-，把条件化为{}n S 的递推式，求出n S 后再求n a .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且a A b B A a 35cos sin sin 2=+.（1）求ab；（2）若22258b a c +=，求角C .【答案】（1）53；（2）23π．由余弦定理得21532492592cos 222222-=⋅⋅-+=-+=t t t t t ab c b a C . 所以32π=C . .................12分 考点：正弦定理，余弦定理． 18.（本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，⊥1CC 平面ABC ，121AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1. （1）证明：BC DC ⊥1；（2）设21=AA ，11B A 的中点为P ，求点P 到平面1BDC 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）64．考点：线面垂直的性质，点到平面的距离．19.（本小题满分12分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析.（1）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出计算式即可，不必计算出结果）（2）随机抽取8位，他们的数学分数从小到大排序是：95,90,85,80,75,70,65,60，物理分数从小到大排序是：95,93,90,88,84,80,77,72.①若规定85分以上（包括85分）为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；②若这8位同学的数学、物理分数事实上对应如下表：根据上表数据，用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱.如果具有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到01.0）；如果不具有线性相关性，请说明理由.参考公式：相关系数∑∑∑===----=niniiiniiiyyxxyyxxr11221)()())((；回归直线的方程是：abxy+=∧，其中对应的回归估计值∑∑==---=niiniiixxyyxxb121)())((，xbya-=，∧iy是与ix对应的回归估计值.参考数据：5.77=x，875.84=y，1050)(812≈-∑=iixx，457)(812≈-∑=iiyy，688))((81≈--∑=iiiyyxx，4.321050≈，4.21457≈，5.23550≈.【答案】（1）315525CC；（2）①114；②线性回归方程是73.3366.0+=∧xy.试题解析：（1）应选女生540825=⨯位，男生340815=⨯位，可以得到不同的样本个数是315525C C ...3分（2）①这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀，则需要先从物理的4个优秀分数中选3个与数学优秀分数对应，种数是3334A C （或34A ），然后将剩下的5个数学分数和物理分数任意对应，种数是55A ，根据乘法原理，满足条件的种数是553334A A C .这8位同学的物理分数和数学分数分别对应的种数共有88A 种.故所求的概率14188553334==A A A C P . ................6分 考点：分层抽样，分步乘法原理，古典概型，线性回归方程．20.（本小题满分12分）已知P 是圆4:22=+y x C 上的动点，P 在x 轴上的射影为P '，点M 满足P M '=，当P 在圆C 上运动时，点M 形成的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）经过点)2,0(A 的直线l 与曲线E 相交于点D C ,，并且AD AC 53=，求直线l 的方程. 【答案】(1) 1422=+y x ；（2）2+±=x y . 【解析】（2）经检验，当直线x l ⊥轴时，题目条件不成立，所以直线l 存在斜率.设直线2:+=kx y l . 设),(),,(2211y x D y x C ，则01216)41(2142222=++⎪⎩⎪⎨⎧+⇒+==+kx x k kx y y x . ................6分 012)41(4)16(22>⋅+-=∆k k ，得432>k . 2214116k k x x +-=+①，2214112k x x +=②， ...................8分 又由53=，得2153x x =，将它代入①，②得12=k ，1±=k （满足432>k ）.所以直线l 的斜率为1±=k .所以直线l 的方程为2+±=x y . ...............12分 考点：代入转移法求轨迹方程，直线与圆锥曲线的位置关系．【名师点睛】求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系或F (x ，y )＝0；(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(4)代入转移法：动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而变化，并且Q (x 0，y 0)又在某已知曲线上，则可先用x ，y 的代数式表示x 0，y 0，再将x 0，y 0代入已知曲线得要求的轨迹方程．本题就是用代入转移法求曲线方程．21. （本小题满分12分）已知函数xx x f )1ln(1)(++=. （1）求函数)(x f 的图象在点1=x 处的切线的斜率；（2）若当0>x 时，1)(+>x k x f 恒成立，求正整数k 的最大值. 【答案】（1）1ln 22--；（2）3．（2）当0>x 时，1)(+>x k x f 即k x x x x h >+++=)]1ln(1)[1()(对0>x 恒成立.即)0)((>x x h 的最小值大于k . ................................5分2)1ln(1)(xx x x h +--='，记)0)(1ln(1)(>+--=x x x x ϕ， 则01)(>+='x x x ϕ，所以)(x ϕ在),0(+∞上连续递增. ...................7分考点：导数的几何意义，导数与函数的单调性，函数的极值，不等式恒成立．【名师点睛】1.导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)；(2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f x 1－f x 0x 1－x 0求解． 2．解决含参数问题及不等式问题中的两个转化(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性、极值问题处理． 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，等腰梯形ABDC 内接于圆，过B 作腰AC 的平行线BE 交圆于F ，过A 点的切线交DC 的延长线于P ，1==ED PC ，2=PA .（1）求AC 的长；（2）求证：EF BE =.【答案】（1）2；（2）证明见解析．考点：切割线定理，相交弦定理，相似三角形．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l 的参数方程为)0,(sin 1cos 2πααα<<⎩⎨⎧+=+=为参数t t y t x ，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设点P 的直角坐标为)1,2(P ，直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，并且328=⋅PB PA ，求αtan 的值.【答案】（1）x y 42=；（2）3tan =α或3tan -=α. 【解析】考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程的应用．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数R x a x x x f ∈-+-=,25)(. （1）求证：当21-=a 时，不等式1)(ln >x f 成立； （2）关于x 的不等式a x f ≥)(在R 上恒成立，求实数a 的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）54． 【解析】 试题分析：（1）要证此不等式，只要求得()f x 的最小值即可证明；（2）不等式()f x a ≥恒成立，同样是求出()f x 的最小值，由最小值a ≥，求得a 的范围．第（1）小题如果从绝对值的几何意义出发求最小值将更简单，第（2）小题由绝对值的性质求最小值，比较简捷．考点：含绝对值的函数（分段函数）的最值，绝对值的性质，绝对值不等式．。
数列中的最值问题
问题二：数列中的最值问题数列中的最值常见题型有：求数列的最大项或最小项、与n S 有关的最值、求满足数列的特定条件的最值、求满足条件的参数的最值、实际问题中的最值及新定义题型中的最值问题等. 题型一：求数列的最大项或最小项求数列中的最大项的基本方法是： (1)利用不等式组⎩⎨⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)确定数列的最大项；(2)利用不等式组⎩⎨⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)确定数列的最小项．(3)利用函数或数列单调性求最大项或最小项.【例1】已知数列}{n a 的通项公式为n a =2156nn +,求}{n a 的最大项．【分析】思路1：利用基本不等式求解.思路2：求满足⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n a a a a 的的值.【解法一】基本不等式法.n a =2156n n +=1156n n+,因为156n n +1562n n ⨯；当且仅当156n n =,即n=156时,而,144156169<< 且n ∈N *,于是将n=12或13代人,得1213a =a 且最大．【评注】解法一是是利用基本不等式求解,解法二是通过确定满足⎩⎨⎧≥≥-+11n nn n a a a a 的的值,从而找到最大项【小试牛刀】在数列{a n }中,a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n(n ∈N *).(1)求证：数列{a n }先递增,后递减；(2)求数列{a n }的最大项.(2)解：由(1)知a 9＝a 10＝1010119最大.【点评】要证明数列{a n }是单调的,可利用“{a n }是递增数列⇔a n ＜a n ＋1,数列{a n }是递减数列⇔a n ＞a n ＋1”来证明.注意数列的单调性是探索数列的最大、最小项及解决其他许多数列问题的重要途径,因此要熟练掌握上述求数列单调性的方法.题型二：数列前n 项和最值问题公差不为0的等差数列的前n 项和的最值问题在高考中常出现,题型有小题也有大题,难度不大,求等差数列前n 项和最值的方法有：(1)利用{a n }中项的单调性,求出其正负转折项．(2)利用二次函数的性质求最值．公差不为0的等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn(A,B 为常数)．(3)利用⎩⎨⎧S n ≥S n －1，S n ≥S n ＋1求出S n 的最值.【例2】在等差数列{a n }中,a 1＝7,公差为d,前n 项和为S n ,当且仅当n ＝8时S n 取最大值,则d 的取值范围是________．【分析】知a 1和S 8最大,可以求出S n 关于d 的表达式是关于n 的二次函数,再用二次函数的最值来解决；还可用S 8最大推出项的正负和变化规律,并利用所有正数项和最大．【解析】 (2)方法一(通法)：由于S n ＝7n ＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫7－d 2n,设f(x)＝d 2x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫7－d 2x,则其图象的对称轴为直线x ＝12－7d .当且仅当n ＝8时S n 取得最大值,故7.5<12－7d <8.5,解得－1<d<－78.方法二(优法)：由题意,得a 8>0,a 9<0,所以7＋7d>0,且7＋8d<0,即－1<d<－78.【小试牛刀】【山西大学附属中学2017级上学期11月模块诊断】设等差数列{}n a 的前项和为n S ,且满足170S >,180S <,则11S a ,22S a ,…,1515S a 中最大的项为（ ） A ．77S a B ．88S a C ．99S a D ．1010Sa 【答案】C 【解析】117917917()17(2)000022a a a S a +>⇒>⇒>⇒>11889181091018()18()0000022a a a a S a a a ++<⇒<⇒<⇒+<⇒<,因此8910121289100,0,0,0,0,S S SS S a a a a a >>>><而1291289,S S S a a a a <<<>>>>,所以89121289S S S S a a a a <<<<,选C. 题型三：求满足数列的特定条件的最值【例3】【2016届云南师范大学附属中学高三月考四】数列{}n a 是等差数列,若981a a <-,且它的前n 项和n S 有最大值,那么当n S 取得最小正值时,n 等于（ ） A ．17 B ．16 C ．15 D ．14 【分析】利用等差数列的性质求前项和的最值.【解析】∵数列{}n a 的前n 项和有最大值,∴数列{}n a 为递减数列,又981a a <-, 8900a a ><∴，且890a a +<,又115116158168915()16()1508()022a a a a S a S a a ++==>==+<，,故当15n =时,n S 取得最小正值,故选C ．【小试牛刀】【四川省2017年普通高考适应性测试】设数列{}n a 各项为正数,且214a a =,()2*12n n n a a a n N +=+∈.（Ⅰ）证明：数列(){}3log 1n a +为等比数列；（Ⅱ）令()321log 1n n b a -=+,数列{}n b 的前项和为n T ,求使345n T >成立时的最小值. 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）6【解析】（Ⅰ）由已知,2211124a a a a =+=,则()1120a a -=, 因为数列{}n a 各项为正数,所以12a =, 由已知,()21110n n a a ++=+>, 得()()313log 12log 1n n a a ++=+. 又()313log 1log 31a +==,所以,数列(){}3log 1n a +是首项为1,公比为2的等比数列.题型四：求满足条件的参数的最值【例4】【山东省枣庄市2017届高三上学期期末】已知n S 为各项均为正数的数列{}n a 的前项和,()210,2,326n n n a a a S ∈++=.（1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=,数列{}n b 的前项和为n T ,若对,4n n N t T *∀∈≤恒成立,求实数的最大值. 【分析】(1)首先求得1a 的值,然后利用n a 与n S 的关系推出数列{}n a 为等差数列,由此求得{}n a 的通项公式；(2)首先结合（1）求得n b 的表达式,然后用裂项法求得n T ,再根据数列{}n T 的单调性求得的最大值．【解析】(1)当1n =时,由2326n n n a a S ++=,得2111326a a a ++=,即211320a a -+=. 又()10,2a ∈,解得11a =.由2326n n n a a S ++=,可知2111326n n n a a S +++++=.两式相减,得()2211136n n n n n a a a a a +++-+-=,即()()1130n n n n a a a a +++--=.由于0n a >,可得130n n a a +--=,即13n n a a +-=,所以{}n a 是首项为,公差为的等差数列,所以()13132n a n n =+-=-.【点评】(1) 求解与参数有关的问题,一般是分离变量,再构造新函数求解.(2)使用裂项法,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项．要注意由于数列{}n a 中每一项n a 均裂成一正一负两项,所以互为相反数的项合并为零后,所剩正数项与负数项的项数必是一样多的,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点． 【小试牛刀】已知数列{}n a 的通项公式为11n a n =+,前项和为n S ,若对任意的正整数,不等式216n n mS S ->恒成立,则常数m 所能取得的最大整数为. 【答案】5【解析】要使216n n m S S ->恒成立,只需2min ()16n n m S S ->. 因2(1)1()n n S S ++-2222121221()()()n n n n n n n n n S S S S S S a a a +++++--=---=+-11111111022232222422224n n n n n n n n =+->+-=->++++++++,所以22113n n S S S S -≥-=,所以1161633m m <⇒<,m 所能取得的最大整数为5.题型五：实际问题中的最值【例5】为了保障幼儿园儿童的人身安全,国家计划在甲、乙两省试行政府规范购置校车方案,计划若干时间内（以月为单位）在两省共新购1000辆校车．其中甲省采取的新购方案是：本月新购校车10辆,以后每月的新购量比上一月增加50％；乙省采取的新购方案是：本月新购校车40辆,计划以后每月比上一月多新购m 辆． （Ⅰ）求经过n 个月,两省新购校车的总数S(n)；（Ⅱ）若两省计划在3个月内完成新购目标,求m 的最小值．【分析】本题主要考查实际问题、等差等比数列的前n 项和公式、不等式的解法等数学知识,考查学生将实际问题转化为数学问题的能力,考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问,通过对题意的分析可知甲方案能构成等比数列,而乙方案能构成等差数列,利用等差等比数列的前n 项和公式分别求和,再相加即可；第二问,利用第一问的结论,得出3n =且(3)1000S ≥,直接解不等式即可得到m 的取值范围,并写出最小值.【解析】（Ⅰ）设a n ,b n 分别为甲省,乙省在第n 月新购校车的数量．依题意,{a n }是首项为10,公比为1＋50%＝32的等比数列；{b n }是首项为40,公差为m 的等差数列． {a n }的前n 项和310[1()]2312n n A -=-,{b n }的前n 项和[4040(1)](1)4022n n n m n n mB n ++--==+. 所以经过n 个月,两省新购校车的总数为S(n)＝310[1()](1)2403212n n n n n m A B n --+=++- 3(1)20[()1]4022n n n mn -=-++2320()(40)20222n m mn n =++--.（Ⅱ）若计划在3个月内完成新购目标,则S(3)≥1000,所以323(3)20()3(40)3201000222m mS =+⨯+-⨯-≥,解得m ≥277.5.又*∈N m ,所以m 的最小值为278.【小试牛刀】某企业为节能减排,用万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用万元,从第二年起,每年运营费用均比上一年增加万元,该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n *∈N 年后,年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本）,则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】设该设备第()n n N *∈的营运费用为n a 万元,则数列{}n a 是以为首项,以为公差的等差数列,则2n a n =,则该设备到第()n n N *∈年的营运费用总和为12242n a a a n +++=+++=()2222n n n n +=+,设第()n n N *∈的盈利总额为n S 万元,则()22119109n S n n n n n =-+-=-+-,因此,该设备年平均盈利额为210999*********n S n n n n n n n n n n -+-⎛⎫==--+=-++≤-⋅+= ⎪⎝⎭,当且仅当9n n =且当n N *∈,即当3n =时,该设备年平均盈利额达到最大值,此时3n =,故选A.【迁移运用】1．【2016·辽宁大连统考】数列{a n }中,如果存在a k ,使得a k ＞a k －1且a k ＞a k ＋1成立(其中k ≥2,k ∈N *),则称a k 为数列{a n }的峰值,若a n ＝－3n 2＋15n －18,则{a n }的峰值为( ) A ．0 B ．4 C.133 D.163【答案】A【解析】因为a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34,且n ∈N *,所以当n ＝2或n ＝3时,a n 取最大值,最大值为a 2＝a 3＝0.2.【中原名校豫南九校2017届第四次质量考评】已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,n S 是其前项和,若236 a a a ，，成等比数列,且1017a =-,则2nnS 的最小值是（ ） A ．12- B ．58- C.38- D ．1532-【答案】A3.【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛,】已知在正项等比数列{}n a 中,存在两项,m n a a 满足14m n a a a =,且6542a a a =+,则14m n+的最小值是（ ） A ．32 B ．2 C. 73 D ．256【答案】A【解析】设数列{}n a 的公比为(0)q q >,则由6542a a a =+得220q q --=,解之得2q =或1q =-（舍去）,因为存在两项,m n a a 满足14m n a a a =,所以1111224m n a a --=,解之得6m n +=,所以1411414143()()(5)(52)6662n m n m m n m n m n m n m n +=++=++≥+⨯=,当且仅当4,6n m m n m n =+=即2,4m n ==时等号成立,所以14m n +的最小值是32,故选A. 4.【天津六校2017届高三上学期期中联考】已知数列{}n a 满足：11a =,12n n n a a a +=+()n N *∈．若11(2)(1)n n b n a λ+=-⋅+()n N *∈,1b λ=-,且数列{}n b 是单调递增数列,则实数λ的取值范围是（ ） A ．23λ>B ．32λ>C ．32λ<D ．23λ< 【答案】D5.设a n ＝－3n 2＋15n －18,则数列{a n }中的最大项的值是( )． A.163 B.133 C ．4 D ．0【答案】D【解析】∵a n ＝－32)25(-n ＋34,由二次函数性质,得当n ＝2或3时,a n 最大,最大为0.6.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1＝13,S 3＝S 11,当S n 最大时,n 的值是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】 C【解析一】由S 3＝S 11,得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0,根据等差数列的性质,可得a 7＋a 8＝0,根据首项等于13可推知这个数列递减,从而得到a 7＞0,a 8＜0,故n ＝7时,S n 最大． 【解析二】由S 3＝S 11,可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d,把a 1＝13代入,得d ＝－2, 故S n ＝13n －n(n －1)＝－n 2＋14n,根据二次函数的性质,知当n ＝7时,S n 最大． 【解析三】根据a 1＝13,S 3＝S 11,则这个数列的公差不等于零,且这个数列的和先是单调递增然后又单调递减,根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数,以及二次函数图象的对称性,得只有当n ＝3＋112＝7时,S n 取得最大值．7.在数列{a n }中,a n ＝n － 2 013n － 2 014,则该数列前100项中的最大项与最小项分别是( ) A ．a 1,a 50B ．a 1,a 44C ．a 45,a 44D ．a 45,a 50【答案】C 【解析】a n ＝n － 2 013n － 2 014＝1＋ 2 014－ 2 013n － 2 014,∴当n ∈1,44]时,{a n }单调递减,当n ∈45,100]时,{a n }单调递减, 结合函数f(x)＝x － 2 013x － 2 014的图象可知,(a n )max ＝a 45,(a n )min ＝a 44,选C.8.【2016届重庆市南开中学高三12月月考】已知函数()()22812f x x a x a a =++++-,且()()2428f a f a -=-,设等差数列{}n a 的前项和为n S ,()*n N ∈若()n S f n =,则41n n S aa --的最小值为（ ） A ．276 B ．358 C ．143 D ．378【答案】【解析】由题意可得等差数列的通项公式和求和公式,代入由基本不等式可得．由题意可得2428a a -=-或2842822a a a +-+-=⨯-（）， 解得a=1或a=-4,当a=-1时,2712f x x x =+-（）,数列{a n }不是等差数列； 当a=-4时,24f x x x =+（）,24nS f n n n ==+（）, ()()1257575123n a a a n n ∴===+--=+，，,()22121134416122)11(2n n n n S a n n a n n ++++-++∴==-++⨯()113113122121312121n n n n =⨯+++≥++⎡⎤⨯⎢⎥=++⎣⎦+（）（），当且仅当1311n n +=+,即131n =-时取等号, ∵n 为正数,故当n=3时原式取最小值378,故选D ． 9. 【2016届江苏省盐城市盐阜中学高三上12月月】等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 10=0,S 15=25,则nS n 的最小值为． 【答案】﹣49【解析】设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d, ∵S 10=10a 1+45d=0,S 15=15a 1+105d=25, ∴a 1=﹣3,d=, ∴S n =na 1+d=n 2﹣n,∴nS n =n 3﹣n 2,令nS n =f （n ）,∴f ′（n ）=n 2﹣n,∴当n=时,f （n ）取得极值,当n ＜时,f （n ）递减；当n ＞时,f （n ）递增；因此只需比较f （6）和f （7）的大小即可． f （6）=﹣48,f （7）=﹣49, 故nS n 的最小值为﹣49． 故答案为：﹣49．10.【2016届河北省正定中学高三上第五次月考】已知数列{}n a 满足151=a ,12n na a n+-=,则na n的最小值为． 【答案】27411.【2016·湖南衡阳五校联考】已知数列{a n }满足a 1＝1,a n ＋1＝1－14a n,其中n ∈N *. (1)设b n ＝22a n －1,求证：数列{b n }是等差数列,并求出{a n }的通项公式a n . (2)设c n ＝4a n n ＋1,数列{c n c n ＋2}的前n 项和为T n ,是否存在正整数m,使得T n <1c m c m ＋1对于n ∈N *恒成立？若存在,求出m 的最小值；若不存在,请说明理由． 【解析】(1)b n ＋1－b n ＝22a n ＋1－1－22a n －1＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14a n －1－22a n －1＝4a n 2a n －1－22a n －1＝2. 所以数列{b n }是等差数列,a 1＝1,b 1＝2,因此b n ＝2＋(n －1)×2＝2n, 由b n ＝22a n －1得a n ＝n ＋12n .(2)c n ＝2n ,c n c n ＋2＝4n （n ＋2）＝2⎝ ⎛1n －⎭⎪⎫1n ＋2, 所以T n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2<3, 依题意要使T n <1c m c m ＋1对于n ∈N *恒成立,只需m （m ＋1）4≥3, 解得m ≥3或m ≤－4(舍), 所以m 的最小值为3.12.【天津六校2017届高三上学期期中联考】已知各项都是正数的数列{}n a 的前项和为n S ,212n n n S a a =+,n N *∈（1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 设数列{}n b 满足：11b =,12(2)n n n b b a n --=≥,数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和n T ,求证：2n T <；（3） 若(4)n T n λ≤+对任意n N *∈恒成立,求λ的取值范围. 【答案】（Ⅰ）12n a n =（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）29λ≥ 【解析】（1）时,是以为首项,为公差的等差数列（2）,,即2n T <（3）由得, 当且仅当时,有最大值,13.【中原名校豫南九校2017届第四次质量考评】设等差数列{}n a 的前项和为n S ,且55625S a a =+=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若不等式()()282714nn n S n k a ++>-+对所有的正整数都成立,求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）34n a n =-（Ⅱ）2974k -<<14.【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛】已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前五项和520S =,且137,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n T 为数列11{}n n a a +的前项和,且存在*n N ∈,使得10n n T a λ+-≥成立,求实数λ的取值范围.【答案】（1）1n a n =+；（2）1(,]16-∞. 【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ,则1211154520,2(2)(6),a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩即12124,2.a d d a d +=⎧⎨=⎩ 又因为0d ≠,所以12,1.a d =⎧⎨=⎩所以1n a n =+. （2）因为11111(1)(2)12n n a a n n n n +==-++++, 所以11111111233412222(2)n n T n n n n =-+-++-=-=++++. 因为存在*n N ∈,使得10n n T a λ+-≥成立,所以存在*n N ∈,使得(2)02(2)nn n λ-+≥+成立,即存在*n N ∈,使22(2)nn λ≤+成立.又2142(2)2(4)n n n n =+++,114162(4)n n≤++（当且仅当2n =时取等号）, 所以116λ≤.即实数λ的取值范围是1(,]16-∞.15.已知等差数列{}n a 满足：12a =,且1a ,2a ,5a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n S 为数列{}n a 的前项和,是否存在正整数n,使得n S 60800n >+？若存在,求的最小值； 若不存在,说明理由.【解析】（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为,依题意, ,2d +,24d +成等比数列,故有2(2)2(24)d d +=+,化简得240d d -=,解得0d =或d =. 当0d =时,2n a =；当d =时,2(1)442n a n n =+-⋅=-,从而得数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-.16.已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列,其前n 项和为S n (n ∈N *),且S 3＋a 3,S 5＋a 5,S 4＋a 4成等差数列．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设T n ＝S n －1S n (n ∈N *),求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．【解析】(1)设等比数列{a n }的公比为q, 因为S 3＋a 3,S 5＋a 5,S 4＋a 4成等差数列, 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5, 即4a 5＝a 3,于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32,所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为 a n ＝32×1)21(--n ＝(－1)n －1·32n .(Ⅱ)由(Ⅰ)得S n ＝1－n)21(-＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n ，n 为奇数，1－12n，n 为偶数.当n 为奇数时,S n 随n 的增大而减小, 所以1<S n ≤S 1＝32,故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时,S n 随n 的增大而增大,所以34＝S 2≤S n <1,故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上,对于n ∈N *,总有－712≤S n －1S n ≤56. 所以数列{T n }最大项的值为56,最小项的值为－712.17.【2016届上海市七校高三上12月联考】公差不为零的等差数列{a n }中,a 1、a 2、a 5成等比数列,且该数列的前10项和为100． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =a n ﹣10,求数列{b n }的前n 项和T n 的最小值． 【答案】（1）a n =2n ﹣1；（2）﹣25．【解析】（1）∵公差不为零的等差数列{a n }中,a 1、a 2、a 5成等比数列,且该数列的前10项和为100,∴,∴解得a 1=1,d=2,∴a n =1+（n ﹣1）×2=2n ﹣1． （2）∵b n =a n ﹣10=2n ﹣11, ∴=2﹣11=﹣9,b n ﹣b n ﹣1=（2n ﹣11）﹣2（n ﹣1）﹣11]=2,∴数列{b n }是首项为﹣9,公差为2的等差数列, T n ==n 2﹣10n=（n ﹣5）2﹣25．∴当n=5时,数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为﹣25． 18.已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ,136a ,且()12,18,1,2,236,18n n n n n a a a n a a +⎧==⎨->⎩,记集合{}*n M a n =∈N .（1）若16a =,写出集合M 的所有元素；（2）若集合M 存在一个元素时3的倍数,证明：M 的所有元素都是3的倍数； （3）求集合M 的元素个数的最大值. 解析：（1）6,12,24.（2）因为集合M 存在一个元素是3的倍数,所以不妨设k a 是3的倍数. 由12,18236,18n n n n n a a a a a +⎧=⎨->⎩,可归纳证明对任意nk ,n a 是3的倍数.如果1k =,则M 的所有元素都是3的倍数；如果1k >,因为12k k a a -=或1236k k a a -=-,所以12k a -是3的倍数,或1236k a --是3的倍数,于是1k a -是3的倍数.类似可得,2k a -,…,1a 都是3的倍数.从而对任意1n ,n a 是3的倍数,因此M 的所有元素都是3的倍数.综上,若集合M 存在一个元素是3的倍数,则M 的所有元素都是3的倍数. （3）由136a ,*1a ∈N ,11112,18236,18n n n n n a a a a a ----⎧=⎨->⎩,可归纳证明()362,3,na n =.因为1a 是正整数,112112,18236,18a a a a a ⎧=⎨->⎩,所以2a 是2的倍数.从而当3n时,n a 是4的倍数.如果1a 是3的倍数,由（2）知对所有正整数n ,n a 是3的倍数,因此当3n时,{}12,24,36n a ∈,这时,M 中的元素的个数不超过5.如果1a 不是3的倍数,由（2）知,对所有的正整数n ,n a 不是3的倍数,因此当3n时,{}4,8,16,20,28,32n a ∈,这时M 的元素的个数不超过8.当11a =时,{}1,2,4,8,16,20,28,32M =有8个元素. 综上可知,集合M 的元素个数的最大值为8. 19.设数列{}n a （1,2,3,n =）的前项和n S 满足12n n S a a =-,且1a ,21a +,3a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和为n T ,求使得111000nT -<成立的的最小值.（2）由（1）可得112n n a =,所以211122111111222212nn n nT ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+++==--.由111000n T -<,得111121000n --<,即21000n>.因为9102512100010242=<<=,所以10n .所以使111000nT-<成立的的最小值为10.。
2016-2017学年河北省石家庄市正定中学高三(上)期中数学试卷和答案(理科)
2016-2017学年河北省石家庄市正定中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数的共轭复数在复平面内的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知集合P={y|y2﹣y﹣2＞0}，Q={x|x2+ax+b≤0}，若P∪Q=R，则P ∩Q=（2，3]，则a+b=（）A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．13．（5分）命题“∀n∈N*，∃x∈R，使得n2＜x”的否定形式是（）A．∀n∈N*，∃x∈R，使得n2≥x B．∀n∈N*，∀x∈R，使n2≥xC．∃n∈N*，∃x∈R，使得n2≥x D．∃n∈N*，∀x∈R，使得n2≥x4．（5分）已知函数y=f（x+1）的图象关于y轴对称，且函数f（x）在（1，+∞）上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a20），则{a n}的前25项之和为（）A．0 B．C．25 D．505．（5分）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为6．（5分）若函数f（x）=1++sinx在区间[﹣k，k]（k＞0）上的值域为[m，n]，则m+n等于（）A．0 B．1 C．2 D．47．（5分）函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a8．（5分）等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，点M，N分别是AB，BC中点，点P是△ABC（含边界）内任意一点，则•的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[，]9．（5分）函数的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．410．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）A．8πB．πC．πD．12π11．（5分）如图，已知点D为△ABC的边BC上一点，，为边AC上的一列点，满足，其中实数列{a n}中，a n ＞0，a1=1，则a5=（）A．46 B．30 C．242 D．16112．（5分）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”，现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；②若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；③单位圆的“伴随曲线”是它自身；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f （x）=，其中a∈R，若f（﹣）=f（），则f（5a）的值是．14．（5分）如图，在正方形OABC内，阴影部分是由两曲线y=，y=x2（0≤x ≤1）围成，在正方形内随机取一点，且此点取自阴影部分的概率是a，则函数f（x）=的值域为．15．（5分）已知函数f（x）=3x+cos2x+sin2x，且a=f′（），f′（x）是f（x）的导函数，则过曲线y=x3上一点P（a，b）的切线方程为．16．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）上一点C，过双曲线中心的直线交双曲线于A，B两点，设直线AC，BC的斜率分别为k1，k2，则当最小时，双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2A+sin2C=sin2B ﹣sinAsinC．（1）求B的大小；（2）设∠BAC的平分线AD交BC于D，AD=2，BD=1，求sin∠BAC的值．18．（12分）某中学根据2002﹣2014年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核远拔进入这三个社团成功与否相互独立，2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n．（1）求m与n的值；（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修字分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课字分分数的分布列及期望．19．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．（Ⅰ）证明：D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n=t（S n﹣a n+1）（t为常数，且t ≠0，t≠1）．（1）证明：{a n}成等比数列；（2）设，若数列{b n}为等比数列，求t的值；（3）在满足条件（2）的情形下，设c n=4a n+1，数列{c n}的前n项和为T n，若不等式≥2n﹣7对任意的n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．21．（12分）设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A．已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．22．（12分）设f（x）=cosx+﹣1．（Ⅰ）求证：当x≥0时，f（x）≥0；（Ⅱ）若不等式e ax≥sinx﹣cosx+2对任意的x≥0恒成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年河北省石家庄市正定中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数的共轭复数在复平面内的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵z1=3+i，z2=1﹣i∴复数z===（3+3i+i+i2）=1+2i因此z的共轭复数=1﹣2i，对应复平面内的点P（1，﹣2），为第四象限内的点故选：D．2．（5分）已知集合P={y|y2﹣y﹣2＞0}，Q={x|x2+ax+b≤0}，若P∪Q=R，则P ∩Q=（2，3]，则a+b=（）A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1【解答】解：集合P={y|y2﹣y﹣2＞0}={y|y＜﹣1或y＞2}，Q={x|x2+ax+b≤0}，P∪Q=R，P∩Q=（2，3]，∴Q={x|﹣1≤x≤3}，∴﹣1，3是方程x2+ax+b=0的两根，由根与系数关系得﹣a=﹣1+3，b=﹣3，解得a+b=﹣5．故选：A．3．（5分）命题“∀n∈N*，∃x∈R，使得n2＜x”的否定形式是（）A．∀n∈N*，∃x∈R，使得n2≥x B．∀n∈N*，∀x∈R，使n2≥xC．∃n∈N*，∃x∈R，使得n2≥x D．∃n∈N*，∀x∈R，使得n2≥x【解答】解：“∀n∈N*，∃x∈R，使得n2＜x”的否定形式是：∃n∈N*，∀x∈R，使得n2≥x，故选：D．4．（5分）已知函数y=f（x+1）的图象关于y轴对称，且函数f（x）在（1，+∞）上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a20），则{a n}的前25项之和为（）A．0 B．C．25 D．50【解答】解：函数y=f（x+1）的图象关于y轴对称，且函数f（x）在（1，+∞）上单调，可得y=f（x）的图象关于x=1对称，由数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a20），可得a6+a20=2，又{a n}是等差数列，所以a1+a25=a6+a20=2，可得数列的前25项和，所以数列的前25项和为25．故选：C．5．（5分）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为【解答】解：将x=代入得：t=sin=，将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P向左平移s个单位，得到P′（﹣s，）点，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则sin（﹣2s）=cos2s=，则2s=+2kπ，k∈Z，则s=+kπ，k∈Z，由s＞0得：当k=0时，s的最小值为，故选：A．6．（5分）若函数f（x）=1++sinx在区间[﹣k，k]（k＞0）上的值域为[m，n]，则m+n等于（）A．0 B．1 C．2 D．4【解答】解：f（x）=1++sinx=3﹣+sinx，f（﹣x）=3﹣+sin（﹣x）=3﹣﹣sinx∴f（x）+f（﹣x）=4，所以f（x）是以点（0，2）为对称中心，所以其最大值与最小值的和m+n=4．故选：D．7．（5分）函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a【解答】解：由f（x）=f（2﹣x）可知，f（x）的图象关于x=1对称，根据题意又知x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，此时f（x）为增函数，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，所以f（3）=f（﹣1）＜f（0）＜f（），即c＜a＜b，故选：B．8．（5分）等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，点M，N分别是AB，BC中点，点P是△ABC（含边界）内任意一点，则•的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[，]【解答】解：以C为坐标原点，CA边所在直线为x轴，建立直角坐标系，则A（1，0），B（0，1），设P（x，y），则且=（﹣1，），=（x﹣，y﹣），则•=﹣x+y+，令t=﹣x+y+，结合线性规划知识，则y=2x+2t﹣当直线t=﹣x+y+经过点A（1，0）时，•有最小值，将（1，0）代入得t=﹣，当直线t=﹣x+y+经过点B时，•有最大值，将（0，1）代入得t=，则•的取值范围是[﹣，]，故选：A．9．（5分）函数的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解由已知得=cos2x﹣log2|x|，令f（x）=0，即cos2x=log2|x|，在同一坐标系中画出函数y=cos2x和y=log2|x|的图象，如图所示，两函数图象有两个不同的交点，故函数f（x）的零点个数为2，故选：B．10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）A．8πB．πC．πD．12π【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上，设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为：2﹣x，∴R2=x2+（）2，R2=12+（2﹣x）2，解得出：x=，R=，该多面体外接球的表面积为：4πR2=π，故选：C．11．（5分）如图，已知点D为△ABC的边BC上一点，，为边AC上的一列点，满足，其中实数列{a n}中，a n ＞0，a1=1，则a5=（）A．46 B．30 C．242 D．161【解答】解：因为=3⇒=，=，设m=，则因为，所以m=a n，m=﹣（3a n+2），+1所以a n=﹣（3a n+2），+1+1=3（a n+1），所以a n+1因为a1+1=2，所以{a n+1}是以2为首项，3为公比的等比数列，所以a n+1=2•3n﹣1，所以a n=2•3n﹣1﹣1．a5=161．故选：D．12．（5分）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”，现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；②若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；③单位圆的“伴随曲线”是它自身；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对于①，若令P（1，1），则其“伴随点”为，而的“伴随点”为（﹣1，﹣1），而不是P，故①错误；对于②，设曲线f（x，y）=0关于x轴对称，则f（x，﹣y）=0与方程f（x，y）=0表示同一曲线，其“伴随曲线”分别为与也表示同一曲线，又曲线与曲线的图象关于y轴对称，所以②正确；对于③，设单位圆上任一点的坐标为P（cosx，sinx），其“伴随点”为P'（sinx，﹣cosx）仍在单位圆上，故③正确；对于④，直线y=kx+b上任一点P（x，y）的“伴随点”为，∴P′的轨迹是圆，故④错误，所以正确的为序号为②③．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f （x）=，其中a∈R，若f（﹣）=f（），则f（5a）的值是﹣．【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，∴f（﹣）=f（﹣）=﹣+a，f（）=f（）=|﹣|=，∴a=，∴f（5a）=f（3）=f（﹣1）=﹣1+=﹣，故答案为：﹣14．（5分）如图，在正方形OABC内，阴影部分是由两曲线y=，y=x2（0≤x ≤1）围成，在正方形内随机取一点，且此点取自阴影部分的概率是a，则函数f（x）=的值域为[﹣1，+∞）．【解答】解：由题意和定积分可得阴影部分面积：S=（﹣x2）dx=（﹣x3）=，∴由几何概型可得此点取自阴影部分的概率P=，即a=．x≥，log3x≥﹣1，x＜，，∴函数f（x）=的值域为[﹣1，+∞）．故答案为：[﹣1，+∞）．15．（5分）已知函数f（x）=3x+cos2x+sin2x，且a=f′（），f′（x）是f（x）的导函数，则过曲线y=x3上一点P（a，b）的切线方程为3x﹣y﹣2=0或3x﹣4y+1=0．【解答】解：由f（x）=3x+cos2x+sin2x，得到：f′（x）=3﹣2sin2x+2cos2x，且由y=x3，得到y′=3x2，则a==3﹣2sin+2cos=1，把x=1代入y′=3x2中，解得切线斜率k=3，且把x=1代入y=x3中，解得y=1，所以点P的坐标为（1，1），若P为切点则由点斜式得，曲线上过P的切线方程为：y﹣1=3（x﹣1），即3x﹣y﹣2=0．若P不为切点，则设切点为（m，n），切线斜率为3m2，则3m2=，n=m3，解得m=﹣，则切线方程为：3x﹣4y+1=0．故答案为：3x﹣y﹣2=0或3x﹣4y+1=0．16．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）上一点C，过双曲线中心的直线交双曲线于A，B两点，设直线AC，BC的斜率分别为k1，k2，则当最小时，双曲线的离心率为．【解答】解：设C（x，y），A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），显然x≠x1，x≠x2．∵点A，C在双曲线上，∴，两式相减得，∴．由，设t=k1k2，则，∴求导得，由得t=2．∴在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增，∴t=2时即k1k2=2时取最小值，∴，∴．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2A+sin2C=sin2B ﹣sinAsinC．（1）求B的大小；（2）设∠BAC的平分线AD交BC于D，AD=2，BD=1，求sin∠BAC的值．【解答】（本小题满分12分）解：（1）在△ABC中，∵sin2A+sin2C=sin2B﹣sinAsinC，∴a2+c2=b2﹣ac，…（2分）∴cosB==﹣=﹣，…（4分）∵B∈（0，π），…（5分）∴B=．…（6分）（2）在△ABD中，由正弦定理：，∴sin∠BAD===，…（8分）∴cos∠BAC=cos2∠BAD=1﹣2sin2∠BAD=1﹣2×=，…（10分）∴sin∠BAC===．…（12分）18．（12分）某中学根据2002﹣2014年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核远拔进入这三个社团成功与否相互独立，2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n．（1）求m与n的值；（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修字分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课字分分数的分布列及期望．【解答】解：（1）由题意，，m＞n∴m=，n=；（2）学分X的取值分别为0，1，2，3，4，5，6，则P（X=0）=，P（X=1）=×=，P（X=2）=×=，P（X=3）=+×=，P（X=4）=×=，P（X=5）==，P（X=6）=．X的分布列期望EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×+6×=．19．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．（Ⅰ）证明：D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABCD是菱形，∴AD=DC，又AE=CF=，∴，则EF∥AC，又由ABCD是菱形，得AC⊥BD，则EF⊥BD，∴EF⊥DH，则EF⊥D′H，∵AC=6，∴AO=3，又AB=5，AO⊥OB，∴OB=4，∴OH==1，则DH=D′H=3，∴|OD′|2=|OH|2+|D′H|2，则D′H⊥OH，又OH∩EF=H，∴D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）解：以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，∵AB=5，AC=6，∴B（5，0，0），C（1，3，0），D′（0，0，3），A（1，﹣3，0），，，设平面ABD′的一个法向量为，由，得，取x=3，得y=﹣4，z=5．∴．同理可求得平面AD′C的一个法向量，设二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角为θ，则|cosθ|=．∴二面角B﹣D′A﹣C的正弦值为sinθ=．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n=t（S n﹣a n+1）（t为常数，且t ≠0，t≠1）．（1）证明：{a n}成等比数列；（2）设，若数列{b n}为等比数列，求t的值；（3）在满足条件（2）的情形下，设c n=4a n+1，数列{c n}的前n项和为T n，若不等式≥2n﹣7对任意的n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．【解答】（1）证明：由S n=t（S n﹣a n+1），当n=1时，S1=t（S1﹣a1+1），得a1=t，当n≥2时，S n=t（S n﹣a n+1），即（1﹣t）S n=﹣ta n+t，（1﹣t）S n﹣1=﹣ta n﹣1+t，∴a n=ta n﹣1，故{a n}成等比数列；（2）由（1）知{a n}成等比数列且公比是t，∴，故，即，若数列{b n}是等比数列，则有，而故[t3（2t+1）]2=（2t2）•t4（2t2+t+1），解得，再将代入b n得：．由知{b n}为等比数列，∴；（3）由，知，，∴，由不等式≥2n﹣7对任意的n∈N*恒成立，得，令，由，当n≤4时，d n+1＞d n，当n≥4时，d n+1＜d n，而，∴d4＜d5，则，得．21．（12分）设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A．已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．【解答】解：（1）由+=，得，即，∴a[a2﹣（a2﹣3）]=3a（a2﹣3），解得a=2．∴椭圆方程为；（2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），设B（x1，y1），M（x0，k（x0﹣2）），∵∠MOA≤∠MAO，∴x0≥1，再设H（0，y H），联立，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0．△=（﹣16k2）2﹣4（3+4k2）（16k2﹣12）=144＞0．由根与系数的关系得，∴，，MH所在直线方程为，令x=0，得，∵BF⊥HF，∴，即1﹣x1+y1y H=，整理得：，即8k2≥3．∴或．22．（12分）设f（x）=cosx+﹣1．（Ⅰ）求证：当x≥0时，f（x）≥0；（Ⅱ）若不等式e ax≥sinx﹣cosx+2对任意的x≥0恒成立，求实数a的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：（x≥0），则f'（x）=x﹣sinx，设φ（x）=x﹣sinx，则φ'（x）=1﹣cosx，…（2分）当x≥0时，φ'（x）=1﹣cosx≥0，即f'（x）=x﹣sinx为增函数，所以f'（x）≥f'（0）=0，即f（x）在x≥0时为增函数，所以f（x）≥f（0）=0．…（4分）（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知x≥0时，sinx≤x，，所以，…（6分）设，则G'（x）=e x﹣x﹣1，设g（x）=e x﹣x﹣1，则g'（x）=e x﹣1，当x≥0时g'（x）=e x﹣1≥0，所以g（x）=e x﹣x﹣1为增函数，所以g（x）≥g（0）=0，所以G（x）为增函数，所以G（x）≥G（0）=0，所以e x≥sinx﹣cosx+2对任意的x≥0恒成立．…（8分）又x≥0，a≥1时，e ax≥e x，所以a≥1时e ax≥sinx﹣cosx+2对任意的x≥0恒成立．…（9分）当a＜1时，设h（x）=e ax﹣sinx+cosx﹣2，则h'（x）=ae ax﹣cosx﹣sinx，h'（0）=a﹣1＜0，所以存在实数x0＞0，使得任意x∈（0，x0），均有h'（x）＜0，所以h（x）在（0，x0）为减函数，所以在x∈（0，x0）时h（x）＜h（0）=0，所以a＜1时不符合题意．综上，实数a的取值范围为[1，+∞）．…（12分）（Ⅱ）解法二：因为e ax≥sinx﹣cosx+2等价于ax≥ln（sinx﹣cosx+2）…（6分）设g（x）=ax﹣ln（sinx﹣cosx+2），则可求，…（8分）所以当a≥1时，g'（x）≥0恒成立，g（x）在[0，+∞）是增函数，所以g（x）≥g（0）=0，即ax≥ln（sinx﹣cosx+2），即e ax≥sinx﹣cosx+2所以a≥1时，e ax≥sinx﹣cosx+2对任意x≥0恒成立．…（9分）当a＜1时，一定存在x0＞0，满足在（0，x0）时，g'（x）＜0，所以g（x）在（0，x0）是减函数，此时一定有g（x）＜g（0）=0，即ax＜ln（sinx﹣cosx+2），即e ax＜sinx﹣cosx+2，不符合题意，故a＜1不能满足题意，综上所述，a≥1时，e ax≥sinx﹣cosx+2对任意x≥0恒成立．…（12分）。
河北省正定中学2016届高三上学期第三次月考(期中)数学
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.复数iz -=12，则复数z 的模是 A.1 B.2 C.3 D.22 【答案】B . 【解析】试题分析：因为22(1)11(1)(1)i z i i i i +===+--+，所以1z i =+==，故应选B . 考点：１、复数的概念；2、复数的四则运算； 2.等比数列{}n a 中，6453=a a ，则=4aA.8B.8-C. 8或8-D.16 【答案】C . 【解析】试题分析：由等比数列的性质知，2354a a a =，所以2464a =，所以48a =或48a =-，故应选C .考点：1、等比数列的性质.3.若命题:01xp x <-,命题2:2q x x <,则p 是q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A .考点：1、充分条件；2、必要条件.4.已知向量(1,2)a =，⊥，则b 可以为A ．(1,2)B ．(1,2)-C ．(2,1)D ．(2,1)- 【答案】D . 【解析】试题分析：设(,)b x y =，则由⊥可得：20x y +=，即2x y =-，满足这个等式的只有选项D ，其中选项A ，2y x =，选项B ，2y x =-，选项C ，2x y =，故应选D . 考点：1、平面向量的数量积；2、平面向量的坐标运算. 5.命题“存在,0R x ∈使得020≤x ”的否定是A.不存在,0R x ∈使得02>x B. 存在,0R x ∈使得020>xC.对任意02,>∈x R xD. 对任意02,≤∈x R x 【答案】C .考点：1、全称命题；2、特称命题.6.已知sin()sin 35παα++=，则7sin()6πα+的值是A. C.45 D.45-【答案】D . 【解析】试题分析: 因为sin()sin 3παα++=sin cos cos sin sin 33ππααα++=即3sin 225αα+=，所以14cos 225αα+=，即4in()65s πα+=，所以74in()in()in()6665s s s πππαπαα+=++=-+=-，所以应选D . 考点：1、两角的正弦公式；2、三角函数的诱导公式. 7.设,x y 均为正实数，且33122x y+=++，则xy 的最小值为A.4B.【答案】D .考点：1、基本不等式的应用.8.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足①对任意的x 都有(4)()f x f x +=成立；②当[0,2]x ∈时，()22|1|f x x =--，则1()||f x x =在[4,4]-上根的个数是 A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C . 【解析】试题分析：因为对任意的x 都有(4)()f x f x +=成立，所以奇函数()f x 是周期为4的周期函数. 当[0,2]x ∈时，2,01()22|1|24,12x x f x x x x ≤≤⎧=--=⎨-+≤≤⎩，则1()||f x x =在[4,4]-上根的个数等价于函数()f x 与函数1||y x =的图像的交点个数.由图可知，其交点的个数为5个，故应选C .考点：1、函数的周期性；2、分段函数；3、函数与方程.【思路点睛】本题主要考查了方程的根的存在性及个数判断、函数的周期性和函数的奇偶性，体现了化归与转化的数学思想，属中档题. 其解题的一般思路为：首先由题意可得奇函数()f x 是周期为4的周期函数，然后将问题“1()||f x x =在[4,4]-上根的个数”转化为“函数()f x 与函数1||y x =的图像的交点个数”，再分别作出两个函数的图像并结合函数图像得出所求的结果即可.9.函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中)2,0πϕ<>A ）的图象如图所示，为了得到x x g ωcos )(=的图象，则只要将)(x f 的图象A.向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C.向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度【答案】A .()sin(2)sin(2(2)cos )3266f x x x x ππππ-==+-+=，由三角函数的图像的变换可知，将函数()f x 向左平移12π个单位长度可得到2()12cos[]cos 26y x x ππ=-=+，故应选A .考点：1、函数sin()y A x ωϕ=+的图像变换；2、三角函数的诱导公式.10.已知数列{}n a 满足110,1n n a a a +==+，则13a =A.143B.156C.168D.195 【答案】C .考点：1、由数列的递推公式求数列的通项公式；2、等差数列.11.已知O 为ABC ∆的外心，2AB = ,4AC =，若y x +=，且42x y +==A ．1B ．2 CD ．4 【答案】B . 【解析】试题分析：画出草图，如下图所示.因为y x +=，所以2AO xAB AO yAC AO =⋅+⋅，又因为O 为ABC ∆的外心，点,D E 分别为,AB AC 的中点，,OD OE 分别为两中垂线，则21cos 22AB AO AB AO DAO AB AD AB ⋅=∠=== ，21cos 82AC AO AC AO OAE AC AE AC ⋅=⋅∠=⋅== ，所以2AO xAB AO yAC AO =⋅+⋅ 282(4)4x y x y =+=+=，所以2OA =，故应选B .考点：1、三角形的外心的性质；2、平面向量数量积的应用；【思路点睛】本题考查了三角形的外心的性质、平面向量数量积的运算和向量模的求解，渗透着转化与化归的数学思想，考查学生综合运用知识的能力和分析计算能力，属中档题. 其解题的一般思路为：首先将已知y x +=变形为2AO xAB AO yAC AO =⋅+⋅，然后根据向量数量积的几何意义分别求出AB AO ⋅ ，AC AO ⋅，进而可得出关于,x y 的代数式，最后利用42x y +=整体求解即可得出所求的结果.12.已知函数222()()(ln 2)f x x a x a =-+-，其中0,x a R >∈，存在0x ，使得04()5f x ≤成立，则实数a 的值为 A.15 B.25 C.12D.1 【答案】A .考点：1、利用导数求曲线上过某点切线的斜率；2、直线方程.【思路点睛】本题考查利用导数求曲线上过某点切线的斜率和直线方程，渗透了数形结合和数学转化思想方法，属中高档题. 其解题的一般思路为：首先把函数()f x 看作是动点2(,ln )M x x 与动点(,2)N a a 之间距离的平方，然后利用导数求出曲线2ln y x =上与直线2y x =平行的切线的切点，进而得到曲线上点到直线距离的最小值，最后结合题意可得只有切点到直线距离的平方等于45，于是由两直线斜率的关系列式即可求出实数a 的值.第Ⅱ卷（共100分）（非选择题共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）13.已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=__________．【答案】2.考点：1、平面向量的数量积的应用.14.若,x y 满足不等式组212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则12z x y =+的最小值是__________．【答案】32. 【解析】试题分析：首先根据已知条件画出其约束条件如下图所示，然后将目标函数12z x y =+进行变形为：12y x z =-+，所以要使得目标函数12z x y =+的最小值，由图可知，当其过点(1,1)B 时，取得最小值，且为min 131122z =⨯+=，故应填32.考点：1、简单的线性规划.15.由直线20x y +-=，曲线3y x =以及x 轴围成的图形的面积为__________． 【答案】34.考点：1、定积分的几何意义；2、微积分基本定理.【思路点晴】本题考查了定积分的几何意义和微积分基本定理，渗透着数形结合的数学思想，属中档题.其解题的一般思路为：首先根据已知条件可画出其所表示的区域，然后对其进行适当分割，转化为求两部分面积即一个是曲边梯形和一个直角三角形的面积之和，再运用微积分基本定理和三角形的面积公式即可求出所求的答案.其解题的关键是正确的表示所求的区域的面积和适当的分割.16.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21()21xx f x -=+，且22014(2)sin 3f a π-=，20142015(2)cos6f a π-=，则2015S =__________． 【答案】4030. 【解析】试题分析：因为22014(2)sinsin 33f a ππ-==-=，20142015(2)cos cos 66f a ππ-===2222221(2)21a a f a ----==+，2014201422014221(2)21a a f a ----==+，解之得222log a -=，201422log a -=，所以2201422(2)(2)log log 0a a -+-=+=，所以220144a a +=，所以1201522014201520152015403022a a a a S ++=⨯=⨯=，故应填4030. 考点：1、等差数列的前n 项和；2、等差数列的性质；3、三角函数求值.【思路点晴】本题主要考查了等差数列的性质、等差数列的前n 项和和三角函数求值，考查学生综合知识运用能力，属中高档题.其解题的一般思路为：首先由已知等式22014(2)sin3f a π-=，20142015(2)cos 6f a π-=，可解出22a -，20142a -的值，进而得出22014a a +的值，然后运用等差数列的性质可知2201412015a a a a +=+可求出所求的结果.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos sin 2sin sin()B A A A B -=-，且12,cos 4a C ==，求b 及ABC ∆的面积.【答案】4b =，122ABC S ∆=⋅=考点：1、三角函数的恒等变换；2、正弦定理；3、余弦定理. 18.（本小题满分12分）某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润50元.供大于求时，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利30元.（1）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：件，*n N ∈）的函数解析式；（2）商店记录了50天该商品的日需求量n （单位：件），整理得下表：若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求该商品一天的利润X 的分布列及平均值.【答案】（1）**60100,110,30200,10,n n n Ny n n n N⎧-≤≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩；（2）利润X 的分布列为：利润X 的平均值为：91131123863804405005305605050105105EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.（2）∵日需求量为8、9、10、11、12的利润分别为380、440、500、530、560. 其概率分别为911311,,,,505010510，∴利润X 的分布列为：利润X 的平均值为：91131123863804405005305605050105105EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.考点：1、频率分布表；2、离散型随机变量的分布列；3数学期望. 19.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知10,1n a a >=，且221,2,n n n a S a +成等比数列，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n nb a =，数列{}n b 前n 项和为n T ，求证2n T <. 【答案】（1）n a n=；（2）21n b n =222111*********(1)23nT n n n =++++<++++⨯⨯-⨯ 1111111(1)222231n n n=+-+-++-=-<- .（2）因为21n b n =，所以211(1)n b n n n =<-，所以222111111111223(1)23n T n n n =++++<++++⨯⨯-⨯ 1111111(1)222231n n n=+-+-++-=-<- 考点：1、等比数列；2、等差数列；3、放缩法证明数列不等式. 20.(本小题满分12分)直三棱柱111ABC A B C -中，11AA AB AC ===，,E F 分别是1,CC BC 的中点，11AE A B ⊥，D 为棱11A B 上的点．（1）证明：DF AE ⊥；（2）是否存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC说明点D 的位置，若不存在，说明理由．【答案】（1）证明：∵11AE A B ⊥，11//,A B AB AE AB ∴⊥，又∵11,AA AB AA AE A ⊥= ∴AB ⊥面11AACC .又∵AC ⊂面11A ACC ，∴AB AC ⊥，以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则有()()()111110,0,0,0,1,,,,0,0,0,1,1,0,1222A E F A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()111,,,D x y z A D A B λ= 且()0,1λ∈，即(),,1(1,0,0)x y z λ-=,则11(,0,1),,,122D DF λλ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭ ∵1110,1,,0222AE DF AE ⎛⎫=∴⋅=-= ⎪⎝⎭，；所以DF AE（2）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC.（2）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC理由，如下：考点：1、直线与直线垂直的判定定理；2、线面垂直的判定定理与性质定理；3、空间向量解立体几何问题的应用.【易错点睛】本题主要考查了直线与直线垂直的判定定理、线面垂直的判定定理与性质定理和空间向量解立体几何问题的应用，属中档题.解决这类空间立体几何问题最容易出现以下几处错误：其一是在运用空间向量求解立体几何问题如证明线线垂直或平行、线面垂直或平行和面面垂直等，不能结合已知条件建立适当地空间直角坐标系，进而导致错误；其二是在求解二面角问题时，不知道怎么判断这个二面角的大小，到底是锐角还是钝角，从而导致错误. 21.(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(22A -，离心率为2，点12,F F 分别为其左右焦点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若24y x =上存在两个点,M N ，椭圆上有两个点,P Q 满足2,,M N F 三点共线，2,,P Q F 三点共线，且PQ MN ⊥,求四边形PMQN 面积的最小值．【答案】（1）2212x y +=；（2）最小值为 【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程以及,,a b c 之间的关系，联立方程组即可得出所求的椭圆的方程；（2）由于直线MN 的斜率存在还是不存在我们并不知道，于是分两类进行讨论：当直线MN 的斜率不存在时，求出其弦长，进而得出四边形的面积；当直线MN 的斜率存在时，设出直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，然后将其方程与抛物线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及四边形的面积公式即可得出所求的结果.考点：1、抛物线的方程；2、椭圆的标准方程；3、直线与圆锥曲线的综合问题.【易错点睛】本题考查了椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的应用，同时考查直线和椭圆相交的综合问题，考查了学生的逻辑思维能力与计算求解能力，属中档题.在求解该题过程中容易出现以下几处错误：其一是第二问中考虑问题不全面，往往漏掉直线的斜率不存在的情形，进而导致出现漏解或错解的情况；其二是在解决直线与圆锥曲线相交的综合问题中计算出现错误，进而导致结果的错误或者得不出结论的情况.22.(本小题满分12分)已知函数2()ln x f x x=.(1)求函数()f x 在区间14[,]e e 上的最值；(2)若244()()ln m mxg x f x x-=+（其中m 为常数），当102m <<时，设函数()g x 的3个极值点为,,a b c ，且a b c <<，证明：021a b c <<<<.【答案】(1) 函数()f x 的最小值为2e ，最大值为2e ；（2）由题意得()222244()ln ln x m x m mx g x x x-+-==,()()2222ln 1ln m x m x x g x x⎛⎫-+- ⎪⎝⎭'=,令()22ln 1m h x x x =+-，有()222x mh x x -'=，所以函数()h x 在()0,m 上单调递减，在(),m +∞上单调递增.因为函数()g x 有三个极值点,,a b c从而min ()()2ln 10,h x h m m m ==+<∴<当102m <<时，(2)2ln 0,(1)210h m m h m =<=-<，从而3个极值点中，有一个为2m ，有一个小于m ，有一个大于1.又a b c <<，0,2,1a m b m c ∴<<=>即0,212ba b m c <<=<<，故021a b c <<<<.试题解析：（1）函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞ ，()()22ln 1ln x x f x x-'=，令()0f x '=可得考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用；2、导数在研究函数的极值或最值中的应用.。
河北省正定中学高三数学上学期第三次月考(期中)试题文
高三质检三文科数学参考答案及评分标准二、填空题13．3 14．13 15． 25-16．1三、解答题17．解：()1设数列{}n b 的公差为d ，Q 3322222731833.6a S q d q S q d d q a +=⎧⎧+==⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨==+=⎪⎩⎩⎪⎩ ⋅L L L L L 3分13n n a -∴=，3n b n = ， ⋅L L L L L 5分()2由题意得：()332n n n S += ， ⋅L L L L L 6分 ()9921113()22311n n c S n n n n ⎛⎫==⋅=- ⎪ ⎪++⎝⎭ ⋅L L L L L 8分1111133[(1)()()]22311n n T n n n =-+-++-=++L ⋅L L L L L 10分 18．解：（1）由题意可得：)6sin(2)cos()sin(3)(πϕωϕωϕω-+=+-+=x x x x f ,…………2分 因为相邻两对称轴间的距离为2π，所以π=T ，2=ω，因为函数为奇函数， 所以6,6ππϕππϕ+==-k k ，因为πϕ<<0，所以6πϕ=，函数为x x f 2sin 2)(=．………4分要使[,]24x ππ∈-时)(x f 单调递减，需满足42,22ππππ-≤≤--≤≤-x x ， 所以函数的减区间为[,]24x ππ∈--．…………6分 （2）由题意可得：)34sin(2)(π-=x x g ，…………8分 ∵]6,12[ππ-∈x ，∴33432πππ≤-≤-x ，∴]3,2[)(,23)34sin(1-∈≤-≤-x g x π， 即函数)(x g 的值域为]3,2[-．⋅L L L L L 12分19．解：（1）方法一：如图，取BC 的中点N ，连接MN 、EN ．在ABC ∆中，M 为AB 的中点，N 为BC 的中点，∴//MN AC ，又因为//DE BC ，且12DE BC CN ==，∴四边形CDEN 为平行四边形，………… 2分 ∴//EN DC ，又∵MN EN N =I ，AC CD C =I ．∴平面//EMN 平面ACDF ，…………4分又∵EM ⊂面EMN ，∴//EM 面ACDF ．…………6分方法二：如图，取AC 的中点P ，连接PM ，PD ．在ABC ∆中，P 为AC 的中点，M 为AB 的中点，∴//PM BC ，且12PM BC =，又∵//DE BC ，12DE BC =,∴//PM DE ，故四边形DEMP 为平行四边形，∴//ME DP ，…………4分又∵DP ⊂平面ACDF ，EM ⊄平面ACDF ，∴//EM 面ACDF ．…………6分（2）∵平面ACDF ⊥平面BCDE ，平面ACDF I 平面BCDE DC =，又AC DC ⊥，∴AC ⊥平面BCDE ，…………9分∴AC BD ⊥， …………10分又BD AD ⊥，BD AD A =I ，∴BD ⊥平面ACDF ．…………12分20．解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则0d >．∵39S =，∴123239a a a a ++==，即23a = ，……2分又12a ，31a -，41a +成等比数列，∴2(2)2(3)(42)d d d +=-+，解得2d =，11a =，∴12(1)21n a n n =+-=-. …………5分（2）由12n nn a b -=，得11211(21)()22n n n n b n ---==-⋅，…………6分则0111111()3()(21)()222n n T n -=⋅+⋅++-⋅L 所以121111111()3()(23)()(21)()22222n nn T n n -=⋅+⋅++-⋅+-⋅L…………8分 两式相减得：1211111112()2()2()(21)()22222n nn T n -=+⋅+⋅++⋅--⋅L1211()21121213122212n n n nn n -----=+-=--- ，故12362n n n T -+=-，因为*n N ∈，所以123662n n n T -+=-<． …………12分21．解：（1）因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AE BB ⊥，又E 是正三角形ABC 的边BC 的中点，所以AE BC ⊥，因此AE ⊥平面11B BCC ，……3分而AE ⊂平面AEF ， 所以平面AEF ⊥平面11B BCC ．…………5分（2）设AB 的中点为D ，连接1,A D CD ，因为ABC ∆是正三角形，所以CD AB ⊥，又三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1CD AA ⊥，因此CD ⊥平面11A AB B ，于是1CA D ∠是直线1A C 与平面11A ABB 所成的角，由题设知145CA D ∠=o，……7分所以1A D CD =33AB ==在1Rt AA D ∆中，2211312AA A D AD =-=-=11222FC AA ==，故三棱锥F AEC -的体积11326332212AEC V S FC =⨯=⨯=．…………12分 22．解：（1）因为()()1e x a f x x x '=+-，0x >， ··············· 2分依题意得(1)0f '=，即2e 0a -=，解得2e a =． ············ 3分所以()2e ()1e x f x x x '=+-，显然()f x '在()0+∞，单调递增且(1)0f '=， 故当()0,1x ∈时，()0f x '<；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>．所以()f x 的递减区间为()0,1，递增区间为()1,+∞． ·········· 5分（2）①当0b ≤时，由（1）知，当1x =时，()f x 取得最小值e ． 又()222b x x -+的最大值为b ，故()()222f x b x x -+≥． ········ 6分 ②当0e b <≤时，设()2()e 2eln 22x g x x x b x x =---+， 所以()()2e ()1e 21x g x x b x x '=+---， ················· 7分令()()2e ()1e 21x h x x b x x =+---，0x >，则()22e ()2e 2x h x x b x '=++-，当(]0,1x ∈时，22e 20b x -≥,()2e 0x x +>，所以()0h x '>，当()1,x ∈+∞时，()2e 20x x b +->，22e 0x >，所以()0h x '>，所以当()0,x ∈+∞时，()0h x '>，故()h x 在(0,)+∞上单调递增，………………．9分 又()10h = ，所以当()0,1x ∈时，()0g x '<； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '>． 所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，()g x 取得最小值(1)e 0g b =-≥， 所以()0g x ≥，即()()222f x b x x -+≥． 综上，当e b ≤时，()()222f x b x x -+≥． ·············· 12分选择题解析： 1．D 【解析】复数12(12)(2)52(2)(2)5i i i i z i i i i +++====--+，所以z 的模为1．故选D ．2． A 【解析】由(2)0x x -<，得02x <<，即{|02}A x x =<<，{|10}{|1}B x x x x =->=<，{|1}R C B x x =≥，所以(){|12}R A C B x x =≤<I ．故选A ．3．B 【解析】命题“0x ∀>，20x x +>”的否定是“20,0x x x ∃>+≤”，故选B ．4． C 【解析】=+b a ρρλ），（λ-11，5|-11|=），（λ，解得λ=3或-1，故选C ．5． A 【解析】由题意可知A 中几何体具备题设要求：三视图分别为正方形，三角形，圆，故选A ．6．D 【解析】因为()sin 222sin 23f x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,函数()2sin 223y f x x πϕϕ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭的图象关于直线0x =对称,函数为偶函数,12πϕ∴=, 故选D ．7．B 【解析】由题意得，因为log 1a b >，则1b a >>或01b a <<<，当1b a >>时，10,0a b a ->->，所以(1)()0a b a -->；当01b a <<<时，10,0a b a -<-<，所以(1)()0a b a -->，故选B ．8．C 【解析】由三视图可知该零件为半球挖去一个同底的圆锥，所以该零件的体积为32141=2-21=4233V πππ⨯⨯⨯⨯．故选C.9．A 【解析】因为当12x x ≠时,()()()12120,f x f x f x x x -<∴-是R 上的单调减函数，0121101,031123a a a a ⎧⎪<-<⎪∴<<∴<≤⎨⎪⎪-≥⎩，故选A ．10．C 【解析】()2324a b c a c b c ++=+++≥=．故选C ．11．A 【解析】当1n =时，1112a =，1 2.a ∴=当2n ≥时，()221121222n n n n n n n T T a ----==-=，所以()2221n n a n n =≥-,综上有()2112121n n a n N n n +==+∈--，所以123a a a >>>L ,即数列{}n a 是单调递减的．(或用()()1202121n n a a n n +--=<+-)．故选A ．12．C 【解析】构造函数()()h x xf x =，∴()()()h x f x x f x ''=+⋅，∵()y f x =是定义在实数集R 上的奇函数，∴()h x 是定义在实数集R 上的偶函数，当x＞0时，()()()0h x f x x f x''=+⋅>，∴此时函数()h x单调递增．∵111()()222a f h==，2(2)2(2)(2)b f f h=--==，111(ln)(ln)(ln)(ln2)(ln2)222c f h h h===-=，又1ln222<<，.a c b∴<<故选C．填空题解析：13．3【解析】作出可行域，如图ABC∆内部（含边界），作出直线:340l x y-=，平移直线l，当它过点(1,0)C时，34z x y=-取得最大值3．14．13【解析】由题意21343S S S=+，即21111114()3()a a q a a a q a q+=+++，∵10,0a q≠≠，∴13q=．15．25-【解析】因为()()2 2.f x f x T+=⇒=所以5911()()2222f f f f⎛⎫⎛⎫-=⇒-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1213||2525m m⇒-=--⇒=-，因此()325(3)(1)1.55f m f f=-=-=-+=-16．16+【解析】因为232cos sin23AA=，所以31cos3A A+=，化简得3sin()32Aπ-=．所以23Aπ=．又因为sin()4cos sinB C B C-=，所以sin cos cos sin6cos sinB C B C B C+=，所以sin 6cos sin A B C =，即22262c a b a c ca +-=⨯，整理得2222330a c b +-=．又2222212()2a b c bc b c bc =+-⋅-=++，所以22250b bc c --=，两边除以2c 得22()50b b c c --=，解得1b c =+．。