经典谐振子与量子谐振子的比较研究
量子力学中的量子振荡器和谐振子
量子力学中的量子振荡器和谐振子量子力学是描述微观世界的一门理论，它涉及到许多重要的概念和现象。
其中，量子振荡器和谐振子是量子力学中的两个基本概念，它们在量子力学的研究中起着重要的作用。
量子振荡器是一种能够在不同能级之间跃迁的系统。
它可以用来描述许多物理系统，比如光子、原子和分子等。
在量子力学中，量子振荡器的能级是量子化的，而不是连续的。
这意味着量子振荡器只能处于特定的能量状态，而不能处于连续的能量状态。
量子振荡器的能级之间的跃迁可以通过吸收或发射能量来实现。
当一个量子振荡器吸收能量时，它会从一个低能级跃迁到一个高能级；当它发射能量时，它会从一个高能级跃迁到一个低能级。
这种能级之间的跃迁是量子力学中的一个基本过程，它与光的发射和吸收有着密切的关系。
谐振子是一种特殊的量子振荡器，它的能级之间的能量差是等差的。
谐振子在量子力学中有着广泛的应用，比如描述原子核的振动和分子的振动等。
谐振子的能级结构可以通过解谐振子的薛定谔方程来得到，其中包含了谐振子的势能和动能。
谐振子的能级之间的跃迁可以通过激发和退激发来实现。
当一个谐振子被激发时，它会从一个低能级跃迁到一个高能级；当它被退激发时，它会从一个高能级跃迁到一个低能级。
谐振子的能级之间的跃迁也是量子力学中的一个基本过程，它与光的散射和吸收有着密切的关系。
量子振荡器和谐振子的能级结构和跃迁过程可以通过量子力学的数学工具来描述。
量子力学使用波函数来描述量子系统的状态，波函数的演化可以通过薛定谔方程来描述。
在量子力学中，波函数的模的平方给出了系统处于不同能级的概率。
量子振荡器和谐振子的能级结构和跃迁过程也可以通过实验来观测和验证。
实验可以利用光的发射和吸收等现象来研究量子振荡器和谐振子的能级结构和跃迁过程。
实验结果与理论预测的一致性可以验证量子力学的有效性和准确性。
总之，量子振荡器和谐振子是量子力学中的两个基本概念，它们在描述微观世界的物理系统中起着重要的作用。
量子振荡器和谐振子的能级结构和跃迁过程可以通过量子力学的数学工具来描述，并可以通过实验来观测和验证。
量子力学中的谐振子模型及其在材料科学研究中的应用
量子力学中的谐振子模型及其在材料科学研究中的应用量子力学是物理学中一门重要的分支，研究微观粒子的行为和性质。
在量子力学中，谐振子是一种经典的模型，广泛应用于各个领域，特别是在材料科学中。
一、量子力学中的谐振子模型谐振子是一个物理学中常见的模型，描述了一种能量随位置变化而呈正弦形式变化的系统。
在量子力学中，谐振子模型可以通过哈密顿算符来描述，形式如下：H = ħω (a†a + 1/2)其中H是系统的哈密顿算符，ħ是普朗克常数的约化常数，ω是谐振子的固有频率，a†和a是创建算符和湮灭算符，满足如下关系：[a, a†] = 1谐振子的能级结构由哈密顿算符的本征值和本征态确定，能级之间的能量差为ħω。
二、谐振子模型在材料科学中的应用谐振子模型在材料科学的研究中有着重要的应用价值，以下将从光学性质和电子结构两个方面探讨其具体应用。
1. 光学性质在材料科学中，研究材料的光学性质对于开发新型光电器件和解释材料行为具有重要意义。
谐振子模型在描述原子或分子的光学性质时非常有效。
例如，对于分子中的振动模式，可以使用谐振子模型来解释在不同频率下的吸收光谱。
谐振子模型可以定量地计算分子的吸收峰位、强度和形状，为实验结果提供了重要的理论依据。
2. 电子结构在材料科学中，了解材料的电子结构对于理解材料的导电性和光电性质具有关键意义。
谐振子模型在描述电子结构中的载流子行为时也有广泛应用。
例如，在固体中，电子在晶体势场中的行为可以用谐振子模型来描述，其中电子的能量就是谐振子的能级。
通过计算谐振子的能级分布，可以得到材料的能带结构和载流子的行为，为解释电导率、磁光性等材料性质提供了重要的理论基础。
三、结论量子力学中的谐振子模型是一个重要的模型，广泛应用于各种领域，特别是在材料科学研究中。
这个模型通过描述系统的能量随位置的变化规律，揭示了物质微观行为的奥秘。
在材料科学的研究中，谐振子模型被成功应用于解释材料的光学性质和电子结构，为实验结果提供了重要的理论支持。
量子力学中的量子振荡与谐振子
量子力学中的量子振荡与谐振子量子力学是描述微观世界的一种物理理论，它与经典力学有着根本的区别。
在量子力学中，粒子的行为不再是连续的，而是离散的。
量子振荡和谐振子是量子力学中的两个重要概念，它们在研究微观粒子的行为和性质时起着关键作用。
首先，让我们来了解一下量子振荡。
在经典力学中，振荡是指物体在平衡位置附近的周期性运动。
而在量子力学中，由于粒子的行为是离散的，振荡的性质也有所不同。
量子振荡是指粒子在量子态之间的跃迁过程，它是量子系统中的一种基本行为。
量子振荡可以通过量子力学中的哈密顿量来描述。
哈密顿量是描述量子系统能量的算符，它包含了粒子的动能和势能。
在哈密顿量的作用下，量子系统的态会发生变化，从一个量子态跃迁到另一个量子态。
这种跃迁过程就是量子振荡。
一个典型的量子振荡系统是谐振子。
谐振子是量子力学中的一种理想化模型，它具有简单而规律的振动行为。
谐振子的哈密顿量包含了粒子的动能和势能项，其中势能项是一个二次函数，对应于弹簧的势能。
谐振子的量子态可以用波函数来描述，波函数的形式是一个高斯函数，它表征了粒子在谐振子势场中的分布。
谐振子的量子态可以通过量子数来描述。
量子数是量子系统的一种特征，它决定了系统的能量和其他性质。
谐振子的量子数包括主量子数、角量子数和磁量子数。
主量子数决定了谐振子的能量级，角量子数决定了谐振子的角动量，磁量子数决定了谐振子在磁场中的行为。
谐振子的量子态之间的跃迁可以通过产生湮灭算符来描述。
产生湮灭算符是量子力学中的一种数学工具，它用来描述粒子的产生和湮灭过程。
在谐振子系统中，产生湮灭算符可以将一个谐振子的量子态变换为另一个谐振子的量子态，从而描述了谐振子的量子振荡。
谐振子的量子振荡还可以通过能谱来研究。
能谱是描述量子系统能量分布的一种方式，它可以用来表示谐振子的不同能级。
谐振子的能谱是离散的，能级之间的间隔是固定的，这与经典力学中连续的能谱有着明显的区别。
谐振子的能谱可以通过解谐振子的薛定谔方程来得到，薛定谔方程是量子力学中描述粒子行为的基本方程。
波函数的时间演化
1 M. Kleber, “Exact solutions for time-dependent phenomena in quantum mechanics” Phys. Rep. 236. No.6 1994.
π
例 2，试用含时波函数讨论谐振子的运动。
解：一维谐振子的能量为
Fu Li-Ping
En
=
⎛ ⎜⎝
n
+
1 2
⎞ ⎟⎠
ω
任意时刻的波函数为
∑ Ψ( x, t) = cn (0)ψ n ( x)e−i(n+1/ 2)ωt
n
对于一个周期T （经典周期T = 2π /ω ）之后，有
∑ Ψ( x,T ) = cn (0)ψ n ( x)e−i(n+1/ 2)2π
)
( )( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ = d dt
Ψ∗ (t )ϕi dτ
ϕi∗Ψ(t)dτ +
Ψ ∗ (t )ϕi dτ
d dt
ϕi∗Ψ(t )dτ
( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ =
⎛ ⎜
⎝
d
Ψ∗(t dt
)ϕi
dτ
⎞ ⎟ ⎠
ϕi∗Ψ(t)dτ +
Ψ∗ (t )ϕi dτ
⎛ ⎜⎝
ϕi∗
d
Fu Li-Ping
The time evolution of the position probability density correspongding to a particle in a harmonic oscillator potential whose wavefanction at t = 0 is the normalized sum of the two lowest energy eigenfunctions.
一维量子谐振子的概率分布.
一维量子谐振子的概率分布摘要：线性谐振子问题作为一种普遍的模型，所以在经典力学中和量子力学中都受到很大关注。
并且谐振子包括很多类型，我们就先研究量子谐振子的问题。
量子谐振子是很多复杂物理模型的基础，量子谐振子在前几个量子态时，概率密度与经典情况相差较多，随着量子数的增加，随之相似性也会增加。
可以通过使用数学软件将量子谐振子的概率分布绘制成图像，从而得出一维量子谐振子的概率分布。
关键词：经典谐振子一维量子谐振子波函数量子谐振子概率分布1.引言：谐振子的振动是一种很常见的物理模型，它在很多方面得到应用。
谐振子大体可分为经典力学和量子力学两部分，谐振在运动学就是简谐振动，这样的振动是物体在某一位置附近往复偏离该振动中心位置，在这样的振动方式下，物体所受到的力的大小总是与它偏离平衡位置的大小成正比关系，并且物体总是受到指向平衡位置的力。
谐振子具有周期运动的物理特征，一些复杂的物理基础可以运用谐振子运动来解决。
通过对经典谐振子的研究，得到经典谐振子的函数关系式。
再利用量子力学中的不确定关系得到量子谐振子的能量最低点，即平衡位置，最后得到谐振子的波函数，从而得到了谐振子的概率。
随着量子数的增加，利用软件Mathematica绘制一维量子谐振子的概率分布。
再和经典的线性谐振子来作比较，得到经典谐振子的关系。
2.经典一维谐振子：首先让我们谐振子在物理中是非常常见的模型，我们很早就已经接触过，并且有了一定的了解。
下面来讨论一维弹性力的一维简谐振子。
例如：质量为m的物体放在光滑的桌面上，在其水平的方向上受到一个弹簧作用，在某一位置处质点所受力的大小为零，则把这一点叫做平衡位置。
弹簧的劲度系数为k，物体m在弹簧弹性力的作用下沿弹簧方向运动，作用于质点的力和质点距离平衡位置的位移成正比，这样受力的质点就是一个典型的一维简谐振子。
大家都知道，质量为m的质点在做简谐振动的过程中用x来表示质点便偏移平衡位置的距离，也就是质点的位置，也是弹簧的伸长或压缩的量。
2.4一维谐振子
§ 2.4 一维谐振子一、能量本征方程 二、级数解法三、本征值和本征波函数平衡位置附近的微振动可近似认为是简谐振动。
例如原子核内质子和中子的振动、原子和分子的振动、固体晶格离子的振动等。
一、能量本征方程取振子的平衡位置为坐标原点22222212ˆx m x m H ω+-=d d)()(21222222x E x x m x m ψ=ψ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-ωd d因为0min =V ，∞→min out V ，所以∞<<E 0，谐振子只有束缚态，0)(lim =ψ±∞→x x 。
设ωαm =引入无量纲量 ⎪⎭⎫⎝⎛==ωλαξ 21,E x能量本征值问题转化成如下定解问题0)()()(222=ψ-+ψξξλξξd d)(lim =ψ±∞→ξξ下面会看到，束缚态条件要求λ只能取特定值,2,1,0,12=+=n n λ这导致能量的量子化。
首先把上述方程转化成可以用级数求解的形式。
考虑±∞→ξ的渐近解。
这时系数为λ的项可以忽略，方程趋近于0222=ψ-ψξξd d渐近通解为2222eeξξ-+≈ψB A ，（±∞→ξ）但因22ξe不满足束缚态的条件，所以渐近解取为22~ξ-ψe把波函数写成)(2ξξu -=ψe代入方程 0)(222=ψ-+ψξλξd d 后，求解ψ的问题则转化成求解u 的方程)1(222=-+-u uu λξξξd d d d这个方程称为Hermite 方程，可以用级数求解。
二、级数解法在原点0=ξ附近，用幂级数kk k a u ξξ∑∞==0)(代入Hermite 方程，得0)1(2)1(01122=-+--∑∑∑∞=-∞=-∞=k k kk k k k k k a ka a k k ξλξξξ把前两项的求和序号改为从0开始0)1(2)1)(2(02=-+-++∑∑∑∞=∞=∞=+k k kk k k k k k a ka a k k ξλξξ由此得到展开系数ka 的递推关系,2,1,0,)1)(2()1(22=++--=+k a k k k a k k λ只要给定0a 或者1a ，就可以把)(ξu 分成只含偶次项和只含奇次项的级数+++=+++=553312442201)()(ξξξξξξξa a a u a a a u而波函数为⎪⎩⎪⎨⎧=ψ--)()()(221222ξξξξξu u e e当∞→k 时)(1ξu 的相邻后项对前项的系数比值的极限为m k k k k a a k k 12)1)(2()1(22=→++--=+λ， ,2,1=m这与2e ξ的幂级数相邻项系数比值11+m 的极限相同。
量子力学中的谐振子模型
量子力学中的谐振子模型谐振子是最简单的物理模型之一，它是许多物理学和工程学研究中的基础。
谐振子模型最初是由赫兹在19世纪初研究弹簧振动得到的。
在量子力学中，谐振子模型被广泛应用于描述原子、分子、晶格等系统的振动。
谐振子模型的基本特征谐振子模型是一个标准量子力学问题，它最初是由薛定谔在1926年提出的。
谐振子模型由一个质量为m的粒子在一个势场V(x)中振动组成。
当此势场是一个二次曲线时，粒子的行为就是谐振子。
这个势场可以用下面的公式来描述：V(x) = 1/2mω²x²这里ω是一个频率，它是振动的夹角频率。
谐振子模型的哈密顿量通过薛定谔方程，我们能够得到谐振子模型的哈密顿量。
这个哈密顿量可以去掉第一项(x)来表示为：H = 1/2(p²/m + ω²x²)这里p是粒子的动量。
哈密顿量包含两个部分：动能和势能。
前者与粒子的速度有关，后者与粒子的位置有关。
我们发现，当位置x 和动量p 等于零时，哈密顿量 H 的值从 0 开始逐渐增加。
谐振子模型的能态由于谐振子的势能是是二次函数的形式，其能级也是均匀分布的。
谐振子模型的能态有无限多个，它们对应于独立的能子态和能量。
各个能级之间的能量差为ℏω，其中ℏ是普朗克常数。
任意谐振子可以写成费米函数形式的线性组合。
费米（Fermi）函数是一组由意大利物理学家费米创立的函数，用于描述费米子体系的基态和激发态。
经典谐振子模型与量子谐振子模型经典谐振子模型与量子谐振子模型是存在区别的，量子谐振子模型存在量子化现象。
经典谐振子的振幅可以是任意值，但量子谐振子仅对于特定离散位置有非零振幅。
在这些位置上，它的“位置波函数”保持相干，因此与经典谐振子的振幅一致。
单谐振子和多谐振子单谐振子和多谐振子是量子谐振子模型的两种形式。
单谐振子模型是指只有一个谐振子的系统，多谐振子模型是指由多个谐振子组成的系统。
在单谐振子模型中，哈密顿量可以表示为：H = ℏω( a† a + 1/2)这里a和a†分别是降算符和升算符，它们是谐振子模型的基础运算符。
量子力学线性谐振子（精品pdf）
６１§2.7线性谐振子(理想模型)重点：线性谐振子问题的本征解难点：结果讨论及其理解一、参考模型无论在经典物理还是在量子物理中线性谐振子都是很有用的模型。
任何体系在稳定平衡点附近的运动都可以近似地看作一维谐振子。
如双原子分子的振动，晶体结构中原子和离子的振动，核振动等等都使用了谐振子模型，辐射场也可以看作线性谐振子的集合。
以双原子分子为例： 双原子分子中两原子间的势能U 是两原子间距离x 的函数，其形状如图所示。
在a x =处势能有一极小值，这是一个稳定平衡点，在这点附近，)x (U 可以展为)a x (−的幂级数，且注意到 0x Ua x =∂∂= 则：....)a x )(a (''U !21)a (U )x (U 2+−+= 若忽略高次项，且令)a (''U k =， 则有：2)a x (k 21)a (U )x (U −+= 再令0)a (U =；a x 'x −=，则有2'kx 21)'x (U =，可以写成： 2kx 21)x (U =(1) 其中2k μω=。
６２ 凡是在势能为2kx 21)x (U =的场中运动的微观体系都称之为线性谐振子。
二、线性谐振子的本征问题1.体系的哈密顿及本征方程 22222x 21dx d 2H ˆμω+μ−=h )x (E )x (]x 21dx d 2[22222ψ=ψμω+μ−h 2.本征方程的求解 方程两边同乘以ωh 2得： ψω=ψμω+ψμω−h h h E 2x dx d 222 令hμω=α；x α=ξ；ω=λh E 2 (2) 得到：0)()()(d d 222=ξψξ−λ+ξψξ(3) 由于方程0)()()(d d 222=ξψξ−λ+ξψξ不能直接求解，可先求±∞→ξ的渐进解，此时由于λ与2ξ相比可以忽略，则方程退化为： 0d d 222=ψξ−ψξ—渐近方程 (4) 其渐进解为：221e )(ξ±∝ξψ 由波函数的有限性(满足0)(⎯⎯→⎯ξψ∞→ξ)知，只能取2/2e )(ξ−∝ξψ６３ 的解，于是可以令方程0)()()(d d 222=ξψξ−λ+ξψξ的一般解为： )(H e )(2/2ξ=ξψξ− (5) 其中待求函数)(H ξ应满足条件：a. 在ξ有限时)(H ξ应为有限；b. 当±∞→ξ时，)(H ξ也必须保证)(ξψ有限，即0)(→ξψ。
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经典谐振子与量子谐振子的比较研究潘 保 平（天水师范学院 物理与信息科学学院 甘肃 天水 741000）摘要：线性谐振子问题在经典力学和量子力学中都是一个倍受关注的问题，他的重要性在于自然界中广泛存在着简谐振动，许多体系都可以近似地看作线性谐振子。
本文从经典和量子两个角度对谐振子问题进行研究和比较，并用不确定度关系探讨了零点能问题。
关键字：谐振子；零点能；不确定度关系；波粒二象性Classics Harmonic Osicillator andQuantum Harmonic OsicillatorPan Baoping(Department of physics Tianshui Normal University Gansu Tianshu)Abstract:This essay discusses the Linear Harmonic scillator from two different aspects Classics and Quantum.It also discusses Zero-point energy by using the uncertainty relation.Key words :harmonic oscillator,zero-point energy,uncertainty relation,wave-particle dualism1、经典力学中的谐振子在经典力学中，谐振子问题可用下面的方式来表述。
一质量为M 的质点沿ox 轴运动，他所受到的回复力()x F可从势函数的微商得到。
势函数()221kxx V = （1）力()x F的表达式为：()ikx dx dvx F-=-=（kook 定律） （2）i 是沿ox 轴的单位矢量。
运动方程可以写成：kx dtx d -=22μ（3）令 μkw =2 （4）（3）式变为：0222=+x w dtx d （5）方程（5）的解具有下列形式：)sin(0o wt x x ϕ+= （6） 它表示一个正弦运动，其振幅为0x ，相位为0ϕ，角频率为0ω，相应的频率是：πν2w =μπk21=（7）ν只与质点的质量μ和恢复力常数k 有关，而振幅0x 和相位o ϕ都与运动初始条件有关。
振子的总能量E 是：PE E E +=0（8）动能e E 和势能P E 的表达式为：)(cos 2)(202222ϕμμ+==wt x w dtdx E e （9）)(sin221022022ϕμ+==wt x w kxE P （10）显然总能量在运动中式不变的2022212kx x w E E E p e ==+=μ且由（9）（10）式知：当00=+μwt 时，势能有最小值0，而此时动能有最大值20221x w μ。
而当20πϕ=+wt 时，势能有最大值20221x w μ，0。
进一步，对于经典振子：)sin(0o wt x x ϕ+= 经典振子的速度V 为;)cos(00ϕ+==wt w x dtdx V利用αα2sin 1cos -=，注意：00)sin(x x wt =+ϕ020()sin 1ϕω+-=wt x V01x x w x -= （11）其中0x 为振幅，平衡点为原点。
当0=x 时，由（11）式知此时经典振子的速度V 有最大值ω0x V =，即经典振子在0=x 处逗留时间最短，出现的几率最小。
2、量子力学中的谐振子在量子力学中，取谐振子的平衡位置为坐标原点，并选原点为势能零点，则一维谐振子的势能可表示为：221)(kxx V =K 为反映谐振子作用强度的参数，谐振子受力kx dx dv F -=-=，设振子质量为μ，令：uk w =则22)(x w x V μ=一维谐振子的能量本征方程为：)()(212222x E x w dx d ϕϕμμ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+- （12） 为方便起见引入没有纲量的变量ξ 代替x ，它们的关系式：μωααμωξ===,x x ；并令：ωλ E 2=（13）则（12）式化简为;)()()(222=-+x d x d ϕξλξϕ (14)这是一个变系数的常微分方程。
ξ（或x ）有限点式微分方程的常点，而±∞=ξ为方程的正则奇点。
考虑方程的解在±∞=ξ处的渐进行为。
当ξ很大时，λ与2ξ相比可以略去，所以方程（14）可写为：)()(222x d x d ϕξξϕ=不难证明它的解围：22~)(ξϕ±e x 。
因为波函数的标准条件要求±∞=ξ时)(x ϕ应有限，所以我们对波函数只取指数上的负号。
不妨令方程（14）的解为：)()(22ξξϕξH e-= (15)（14）代入（15）式课的)(ξH 满足方程:0)()1()(2)(2=-+-ξλξξξξξH d dH d dH用级数解法，把H 展成ξ的幂级数来求解方程的解。
这个级数必须只含有限项，才能在±∞=ξ时，使)(ξϕ有限;而级数只含有限项的条件是λ为奇数：12+=n λ 3,2,1,0=n (16)代入（13）式可得谐振子的能级为：)21(+=n E n ω ， 3,2,1,0=n (17)可见现行谐振子的能量只能取分立值，两相邻的能级间隔为ω ，即ω =-+n n E E 1。
而谐振子的能量本征函数为：)()(222x H eN x n xn n αϕα-= （18）其中21]!2[n N nn ∙=πα是归一化常数 （19）最低的四个能级及相应的波函数如下：ω210=E 241022)(xex απαϕ-=（20）ω231=E 2411222)(xxex ααπαϕ-=（21）ω252=E 22241022)12(21)(xex x αααπϕ--=（22）ω273=E 22221022)132(3)(xex x x αααπαϕ--=（23）3、讨论经典谐振子与量子谐振子有着本质的区别，下面将逐一讨论与比较： 3.1、能级3.1.1、能量取值点由（9）（10）式可知经典谐振子的能量取值是连续的，而由（17）式可知量子谐振子的取值是分立的，即是量子化的，其中n 为量子数。
且能级是等间距的，间距是ω 。
能量取分立值是微观粒子具有波粒二象性这一量子特征的重要体现。
3.1.2、零点能由（9）式可知当0)cos(0=+ϕwt 时经典谐振子的最低动能为零，而由（17）式可知，量子谐振子在基态的能量不为零。
即当n=0时，ω210=E ,称为零点能，这与经典谐振子完全不同。
它与无限势阱总粒子的基态能量（22222man E n π =n=1,2,3…….）不为零是很相似的，这是一种量子效应,是微观粒子波粒二象性的表现。
同样，也可用不确定度关系定性说明。
利用坐标和动量的不确定关系：4)()(222≥∆∙∆p x谐振子的能量不确定度关系：2222222)(21)(8)(212)(x x x p E ∆+∆≥∆+∆=∆μωμμωμ使E ∆极小的2)(x ∆的值可由极值条件：0)(821)()(4222=∆-=∆∆x x d E d μμω可求得，μω2)(2 =∆x ，因此谐振子的零点能：244ωωω =+=∆E可见谐振子的基态是谐振子问题的最小不确定态，这是由其量子本性所决定的。
3.2、波函数在量子力学中波函数)(x ϕ本身无意义，但波函数的绝对值平方：2)(x ϕ与粒子在空间某点出现的几率成正比。
首先我们以基态讨论。
对于量子谐振子的基态：241022)(xex απαϕ-=， ω210=E相应的几率密度为：22200)()(xex x W απαϕ-==易知在x=0处0W 有最大值：πα，即在原点找到粒子的概率最大，由于能量ω210=E ，可知此时的经典回转点为0x m x ==ω。
按经典力学，能量为E 的谐振子所能大到离平衡位置最远的距离是A x m E A x ±===,22ω称为谐振子的经典回转点。
a 、由于经典谐振子在x=0处时能最小，并由（9）（10）式可知，此时的动能必定最大（因为机械能守恒），即谐振子的速度最大，见（11）式，振子在x=0处逗留时间最短，因此经典谐振子在x=0处的几率最小。
而按量子力学计算，见（26）式，在x=0处的几率却是最大的（见图1）.经典与量子刚好相反。
b 、当经典谐振子的能量为ω 21时，经典回转点α1±，经典振子只能处于α1≤x 的区域中。
应为在1=x α处，势能ωα 212121)(22===k kx x V ，即等于总能量。
在这点速度减慢为零，不能再继续往外跑。
而按照量子力学计算，粒子在α1>x 的区域，仍有不为零的几率。
对于基态，概率为：1573.022122==⎰⎰∞-∞ξπϕξd edx x对于第一激发态1ϕ，粒子在经典禁区出现的概率为0.1116.这种明显的量子效应在基态表现的特别突出，对于量子谐振子大约有16%的粒子跑到了α1>x 的区域以外，这是经典不允许的。
当线性谐振子在前几个态时，几率密度与经典情况毫无相似之处，而随着量子数n 增加，相似性也随着增加。
图2和图3画出了n=0及n=10是线性谐振子的几率密度：图中虚线表示经典线性谐振子的几率密度，实线表示量子谐振子的几率密度。
由图3可见当n=10时，量子和经典的情况在平均上已经相当符合，差别只在于20)(x αϕ迅速振荡而已。
在以上讨论中，我们发现经典谐振子与量子谐振子既有严重的分歧又有某些必然的联系，对它的思考将促进人们对量子物理的理解与认识。
参考文献：[1]曾谨严.量子力学教程.科学出版社，2003. [2]宋鹤山.量子力学.大连理工大学出版社，2004. [3]周世勋.量子力学.高等教育出版社，1979. [4]钱伯初.量子力学.高等教育出版社，2006. [5]张林芝.量子力学.东北师范大学出版社，1986.。