2020—2021年高考总复习数学(理)第二次高考模拟试题及参考答案一(精品试题).docx

年高三年级第二次模拟考试

数学试卷（理工类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.

1. i 是虚数单位，已知11+=+bi i

ai ，则b a +为（ ） A ．2- B ．0 C ．2 D ．i -1

2. 执行右图所示的程序框图，则S 的值为（ ）

A ．55

B ．65

C ．36 D

．78 3. 已知双曲线的一个焦点为)0,5(1F 它的

渐近线方程为x y 3

4±=，则该双曲线的方程为( )

A ．191622=-y x

B ． 19162

2=-x y

开 始

,1,0===S i a 12+=i a a

S S +=2+=i i

12

≤i 是

输出S

结束

否

C ． 116922=-y x

D ． 116

92

2=-x y

4. 已知函数x x f ln )(=与e

x x g =)(，则它们的图象交点个数为（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．不确定

5．“2=a ”是“点)0,2(P 不在圆042222=-++-y y a ax x 外”的什么条件（ ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C. 既不充分也不必要条件

D. 充要条件

6. 在三角形ABC 中，A ∠的平分线为AD ，

点D 在边BC 上，3=AD ，4=AC ，2=CD ，则A cos 的值为(

)

A ．32

27 B ．4

3

C ．32

17- D ．32

17

7. 如右图所示，在三角形ABC 中，BC AD ⊥，1=AD , 4=BC ，点E 为AC

的中点，2

15=?BE DC ，则AB 的长度为( )

A ．2

B ．2

3

C ．2

D ．3

8. 已知))(()(b c a c c f --=，其中c b a -=+1且0,0,0≥≥≥b a c ，则()c f 的取值范围为( )

A ．??

????-1,81 B ．[]1,0 C ．??

????41,0 D ．??

?

???-1,91

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中

E

D

C

A

B

横线上.）

9. 某学校的学生人数为高一年级150人，高二年级180人，高三年级210人，为了调查该学校学生视力情况需要抽取72人作为样本，若采用分层抽样的方式，则高一和高二年级一共抽取的人数为 ________． 10. 在53

)2(

x

x -的二项展开式

中，常数项为___________． 11. 如右图所示，一款儿童玩具的 三视图中俯视图是以3为半径的圆， 则该儿童玩具的体积为______． 12. 正弦曲线

x

y sin =与直线

x

y π

2

=

所围成的封闭图形的面积

为 ．

13. 如右图所示，圆O 上的弦AB 不为直径，DA 切圆O 于点A ，点E 在BA 的延长线上且AC DE //， 点C 为BD 与圆交点，若2,6,3===CD DE AE ， 则=AD ________．

14. 已知函数()a a x x f +-=，()24x x g -=，若存在R x ∈使()()x f x g ≥，则a 的取值范围是____________．

·O

A

B

E

D

C

三、解答题：（本大题6个题，共80分） 15. （本小题满分13分）

已知函数)( 4

1-)sin2x 6

2cos()(R x x x f ∈-=π

（1）求函数)(x f 的最小正周期及其单调减区间；

（2）求函数)(x f 在??

??

??-0,4

π上的最大值和最小值．

16. （本小题满分13分）

某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．

（1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率；

（2）在选派的3人中既会法语又会英语的人数ξ的分布列与期望．

17. （本小题满分13分）

如图四棱锥ABCD P -，三角形ABC 为正三角形，边长为2，DC AD ⊥，

1=AD ，PO 垂直于平面ABCD 于O ，O 为AC 的中点，1=PO ．

（1）证明BO PA ⊥； （2）证明//DO 平面PAB ；

（3）平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值．

P B

A C

D

O

18.（本小题满分13分）

椭圆)0( 1:22

22>>=+b a b y a x C 的右顶点为Q ，O 为坐标原点，过OQ 的

中点作x 轴的垂线与椭圆在第一象限交于点A ，点A 的纵坐标为c 2

3，

c 为半焦距．

（1）求椭圆的离心率；（2）过点A 斜率为2

1的直线l 与椭圆交于另一点

B ，以AB 为直径的圆过点

P(2

1，2

9)，求三角形APB 的面积．

19. （本小题满分14分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等差数列，0,11>-=n b b （2≥n ）

22=+n n a S b 且13223a a a +=．

（1） 求{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）设n

n a c 1=

，1112211++?++++=

n n n

c b c b c b T ，证明：2

5

已知函数x x ae x ae x f x x +-

-=2

2

12)(． （1）求函数)(x f 在))2(,2(f 处切线方程； （2）讨论函数)(x f 的单调区间； （3）对任意[]1,0,21∈x x ，1)()(12+≤-

a x f x f 恒成立，求a 的范围．

数学（理）答案

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

答案

B D

C B

D D C A

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，满分30分． 9． 44 10。 80- 11． π54 12。 2

2π

-

13． 4 14。

??? ?

?

∞-817,

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明，演

算步骤或推理过程．

15、（1）

41

)4cos 1(414sin 43412sin 212cos 2sin 23)(2--+=-+=

x x x x x x f )6

4sin(214cos 414sin 43π

-=-=

x x x ……

3分

)

(x f 的最小正周期为

2

42ππ= ……5分 当

)22

3,

22

(

6

4ππ

ππ

π

k k x ++∈-

即

Z k k k x ∈++∈ )2

1125,216(

ππππ

时)

(x f 为单调减

函

数 ……7分 （

2

）

??????--∈-??

?

???-∈ππππ61,6764,0,4x x

……9分

?????

?

-∈-

21,1)64sin(π

x ……11分 最大值为4

1

，最小值为

2

1

-

……13分

16、（1）事件A “选派的三人中恰有2人会法语的概率为

7

4)(371

225=

=C C C A P

……5分

（2）ξ的取值为0、1、2、3，则

354)0(373

4===C C P ξ 3518

)1(37

1324===C C C P ξ

3512)2(372314===C C C P ξ 35

1

)3(3733===C C P ξ 分布列为：

ξ

1

2

3

P

35

4

35

18 3512 35

1 7

93545351335

12235

181==?

+?+?=ξE ……

13分

17、（1）如图以A 为原点建立空间直角坐标系xyz A -

CD BC ACD CD DC AD AC AD ⊥∴=∠=∴⊥==o 30,3,2,1

A （0，0，0）

B （3，-1，0）

C （3，1，0）

D （0，1，0）O （

2

3，2

1

，0） P

（

2

3，

2

1，

1） ……2分

=AP （

23，21

，1） =BO （23-1，2

3

，0）

0=?BO AP

BO PA ⊥ ……5分

P

B

A C

D

O

y

x

z

（2）=AP （

23

，2

1，1），=AB （3，-1，0）设平面APB 法向量为

),,(1οοοz y x n =

??

???=-=++030

2

1

23οοοοοy x z y x 令1=οx ，则=1n （1，3，3-） ……7分

=DO （

23

，2

1-，0） 01=?n DO //DO 平面PAB ……

9分 （3）=DP （

23

，2

1-，1）, =DC （3，0，0） 设平面DPC 法向量为),,(2οοοz y x n =

??

???==+-030

21

23οοοοx z y x 令1=οy ，则=2

n （0，1，21） ……11分

35

105

,cos 2

12121=?>=

35

105 ……13分

18、（1）由已知可知椭圆过点)2

3,2(

c

a A ，代入方程有

149422

22=+b c a a ，222223c b a c b +==∴Θ

2

24c a =，

2

1

=

∴e ……5分

（2）点)2

3,(c c A ，直线c x y l +=2

1:

???????=++=1342

122

22c

y c x c x y 解为)0,2(c B -，由已知0=?PB PA 代入解得2=c …11分

直线042:=+-y x l

)3,2(A )0,4(-B 53=AB d

10

5

9=

-AB P d ，4

271059532121=??==

-?AB P AB APB

d d S ……13分

19、（1）设n b 的公差为d ，1>d ，d b +-=12，)1(1-+-=n d b n

当1=n 时，

d

b a 2

1221=+=

当2≥n 时，22=+n n a S b ①

2112=+--n n a S b ②

由①-②得到11-=n n a d a ，332212

,2,2d

a d a d a ===

由已知

d

d d 24632+=，解为1,2==d d （舍）

{}n b 、{}n a 的通项公式分别为1

21,32-?

?

?

??=-=n n n a n b *∈N n ……

7分（2）12-=n n c 、1

23

21231211111

2+-+?++++++-=

-n n

n T 当2≥n 时，112321232---<+-n n n n ，1

22

3

2232121--+?+++-

2322523---+?++=

n n n S ①n

n n S 2

3

2252321432-+?++=-② 由①-②得到n

n n n S 2

3

2)212121(2432

11432

--+?+++=

-- n

n n n S 23

22

11211812432

13

2--

-?

?

?

??-??+=-- 整理为1

3

2

2

3

22125-----

??

? ??-=n n n n S 2

5

232212513

2

<--

??

? ??-=<∴---n n n n n S T …

…14分

20、（1）)( 1)(R x x ae x ae x f x x ∈+--='

切线斜率1)2(2-='ae f ， 0)2(=f

切

线

方程

0)1(2)1(22=----ae y x ae

……4分

（2）令0)(='x f ，0)1)(1(=--x ae x 即)0(1

ln

,14

3>==a a

x x 当(]0,∞-∈a 时，)(x f 在()1,∞-上为增函数，在),1(+∞上为减

函数

当??

?

??=e a 1,0时，

)(x f 在),1

(ln ),1,(+∞-∞a

上为增函数，

在)1ln ,1(a

上为减函数

当e

a 1=时，)(x f 在R 上恒为增函数

当),1(+∞∈e

a 时，)(x f 在),1(),1ln ,(+∞-∞a

上为增函数，

在

)1,1(ln a

上为减函

数 ……10分

（3）由已知)()(12x f x f -在[]1,0上的最大值小于等于1+a

当]1,(e

a -∞∈时，

)(x f 在[]1,0上单调递增

)()(12x f x f -的最大值为12

1

2)0()1(+≤+

-=-a ae a f f 解为?????

??+∞--∈,)1(21e a ??

?

???--∈∴e e a 1,)1(21 当??

?

??∈1,1e a 时，)(x f 在)1ln ,0(a

上为增函数，在)1,1(ln a

上为

减函数

)()(12x f x f -的最大值为)0()(4f x f -或)1()(4f x f -

122221)0()(4244+≤+-+-=-a a x x f x f 即3221424+-≤x x a

??? ??∈1,1e a ，??

?

???∈+-3,233221424x x （[]1,04∈x ）恒成立

12

1

2221)1()(4244+≤-+-+-=-a ae x x f x f

即2

722

1)1(424+-≤-x x e a

??????∈+-27,227221424x x （[]1,04∈x ）恒成立 ??

?

??∈∴1,1e a 当[)+∞∈,1a 时，)(x f 在[]1,0上单调递减

)()(12x f x f -的最大值为12

1

2)1()0(+≤-

+-=-a ae a f f 解为?

??

?

?

??+∞--∈,)3(23e a [)+∞∈∴,1a 成立 综

上所述

???

?

???+∞--∈,)1(21e a ……14分

（注：学生有其它解法时，请参照以上标准按步骤给分）