湖北省孝感市孝南高级中学高二数学《回归分析的基本思想及其初步应用》教案

探究教学课例—

《回归分析的基本思想及其初步应用》

例题.现收集了一只红铃虫的产卵数y 和温度x 之间的7组观测数据列于下表： 温度x /o C 21 23 25 27 29 32 35

产卵数y /个

7 11 21 24 66 115 325 (1)试建立y 与x 之间的回归方程；并预测温度为28o C 时产卵数目。

(2)你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？

二 教学任务分析

判断它们之间的关系是否近似于某种非线性关系，如x c e c y 21= ，423c x c y +=，若通过观察发现，它们经过变换可以转化为线性回归模型，如在423c x c y +=中，令2x t =，这时y 与t 是线性关系，可以利用线性回归模型的知识建立y 与t 的模型，然后再把2x t = 代入，即得y 与x 的关系。

（3）初步体会不同模型拟合数据的效果。计算不同模型的2R，通过比较2R

的大小来比较不同模型的拟合效果。这只是模型比较的一种方法，当然还有很多其他的方法。

（4）体会数学模型的作用：用来近似产生样本数据的真实模型。

（5）体会统计学的一个目标：寻找近似效果更好的模型。

三教学目标

1、知识与技能

通过本节的学习，了解回归分析的基本思想，会对两个变量进行回归分析，明确建立回归模型的基本步骤，并对具体问题进行回归分析，解决实际应用问题。

2、过程与方法

本节的学习，应该让学生通过实际问题去理解回归分析的必要性，明确回归分析的基本思想，从散点图中点的分布上我们发现直接求回归直线方程存在明显的不足，从中引导学生去发现解决问题的新思路—进行回归分析，进而介绍残差分析的方法和利用R的平方来表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，从中选择较为合理的回归方程，最后是建立回归模型基本步骤。

3、情感、态度与价值观

通过本节课的学习，首先让显示了解回归分析的必要性和回归分析的基本思想，明确回归分析的基本方法和基本步骤，培养我们利用整体的观点和互相联系的观点，来分析问题，进一步加强数学的应用意识，培养学生学好数学、用好数学的信心。加强与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相关系。教学中适当地增加学生合作与交流的机会，多从实际生活中找出例子，使学生在学习的同时。体会与他人合作的重要性，理解处理问题的方法与结论的联系，形成实事求是的严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神。培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力。

四教学重难点

重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转换为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法。

难点：理解数学模型的作用，以及统计学在建模时追求的目标。

五学情分析

由于是普通高中，学生基础普遍不是很好，因此在教学前应提醒学生注意对上节内容加强巩固，同时对新内容注意预习。

六教学设想

希望通过本节的学习，使同学们了解回归分析的基本思想，会对两个变量进行回归分析，明确建立回归模型的基本步骤，并对具体问题进行回归分析，解决实际应用问题。进一步加强数学的应用意识，培养学生学好数学、用好数学的信心。

七教学策略

教学方法：诱思探究教学法。

学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。教学手段：计算器，多媒体辅助教学。

八.教学基本流程

九教学过程设计

师：首先，你能回忆一下建立回归模型的基本步骤吗？

问题设计意图：复习建立线性回归模型的基本步骤。

生1：选变量，画散点图，选模型，估计参数，分析与预测。

师：思考例题中如何选择解释变量与预报变量？

同学们经过分组讨论后得出结论，都一致认为把温度x 做自变量，红铃虫的产卵数y 做因变量，从而形成共识。引导学生自己动手画两个变量的散点图，

师：观察散点图，和学过的函数图像比较，猜想红铃虫的产卵数y 与温度x 具有线性关系吗？除线性关系外，还学过哪些常见的函数关系？产卵数y 和温度x 的可以用什么函数拟合？

（问题设计意图：意在引导学生根据散点图的特点判断两个变量的关系，使学生了解不是任何两个变量都一定是线性关系。）

生2：通过观察，我认为红铃虫的产卵数y 与温度x 具有线性关系。

生3：通过观察比较，我发现红铃虫的产卵数y 与温度x 接近于指数函数关系。 生4：我认为比较像二次函数关系。

生5：我认为也比较像幂函数关系。

老师对学生进行鼓励，经学生思考讨论后得出的结论都有一定的道理，通过散点图的分布特点，再对学生给出的几个函数关系加以比较，认为样本点比较接近二次函数关系和指数函数关系，因此可以建立非线性回归模型，不过在此之前，我们也可以建立线性回归模型来拟合一下，以便加以比较。因此提出了下面几种方案：

方案1（学生实施，建立线性回归模型）：

（1）选择变量，画散点图。

（2）通过计算器求得线性回归方程:y =19.87x -463.73

（3）进行回归分析和预测：

R 2=r 2≈0.8642=0.7464

预测当气温为28o C 时，产卵数为92个。这个线性回归模型中温度解释了74.64%产卵数的变化。

学生6困惑：随着自变量的增加，因变量也随之增加，气温为28 时，估计产卵数应该低于66个，但是从推算的结果来看92个比66个却多了26个，是什么原因造成的呢？

师：这个问题提的非常好，大家一起思考一下，分小组讨论。

生7：样本点并没有发布在某个带状区域内，因此两个变量不呈线性关系，不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系，

师：回答得非常好（带头鼓掌），下面看另外两种方案。

方案2（建立非线性回归模型）：

x c e c y 22=（其中1c 与2c 是待定参数）

方案3（建立非线性回归模型）：

423c x c y +=（其中3c 与4c 是待定参数）

师：两个变量时线性关系时利用最小二乘法得到了两个参数的估计公式，当模型不是线性回归模型时如何估计模型中的参数？问题变为如何估计待定参数3c 与4c 。

（学生思考后都摇摇头，不知问题如何解决）

师：作变换z=lgy ，则变换后的样本点应该分布在直线 a bx z += ()21,ln c b c a ==的周围。这样就可以利用线性回归模型来建立y 关于x 的非线性回归方程了，下面学生画变换后两个变量z 与x 的样本数据表和散点图。 （学生动手操作）

学生8将结果演示如下：

x 21 23 25 27 29 32 35

z 1.946 3.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.7

84

由表中的数据得到线性回归方程

0.272 3.849z x =-

因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为

(1)0.272 3.849x y e -= （1）

计算相关指数R 2≈0.985，这个回归模型中温度解释了98.5%产卵数的变化。 师：大家总结如何估计待定参数1c 与2c ？

生9：因变量与自变量的非线性关系经过变换可以转换为两个新变量的线性关系。再利用最小二乘估计参数b 和a ，然后转化得到1c 与2c 的值。

师（总结）：最小二乘法的思想同样适用于非线性回归模型，但不能给出统一的

公式，多数情况下用数值计算的方法。

另一方面，可以认为图中样本点集中在某二次曲线234y c x c =+的附近，其中3c 和4c 为待定参数．因此可以对温度变量做变换，即令2t x =，然后建立y 与t 之间

的线性回归方程，从而得到y 与x 之间的非线性回归方程．下表是红铃虫的产卵数和对应的温度的平方，从而得到相应的散点图．

t 441 529 625 729 841 1024 122

5

x 7 11 21 24 66 115 325

下面建立y 关于x 的二次回归方程．用线性回归模型拟合表中的数据，得到 y 关于 t 的线性回归方程

(2)0.367202.543y t =-

即 y 关于 x 的二次回归方程为

(2)20.367202.543y x =- （2）

计算相关指数R 2≈0.802这个回归模型中温度解释了80.2%产卵数的变化。

从图中可以看出，y 与t 的散点图并不分布在一条直线的周围，因此不宜用线性回归方程来拟合它，即不宜用二次曲线234y c x c =+来拟合 y 和 x 之间的关系。

师：以上三个模型，哪个能更好的刻画红铃虫的产卵数y 和温度x 的关系？（可引导学生从散点图、相关指数两种方法进行比较。）

生10：从R 2进行比较后获得指数模型拟合得更好。

生11：还可以通过残差来比较两个回归方程（1）和（2）的拟合效果.

师：回答的很好（带头鼓掌）

教师用多媒体演示计算结果：

回归方程（1）和（2）的残差计算公式分别为

(1)(1)0.272 3.849,1,2,,7x i i i i e y y y e i -=-=-=;

(2)(2)20.367202.543,1,2,

,7i i i i e y y y x i =-=-+=. 下表给出了原始数据及相应的两个回归方程的残差．从表中的数据可以看出模型

（1）的残差的绝对值显然比模型（2）的残差的绝对值小，因此模型（1）的拟

在一般情况下，比较两个模型的残差比较困难．原因是在某些样本点上一个模型的残差的绝对值比另一个模型的小，而另一些样本点的情况则相反．这时可以通过比较两个模型的残差平方和的大小来判断模型的拟合效果．残差平方和越小的模型,拟合的效果越好．由上表 容易算出模型（1）和（2）的残差平方和分别为

(1)(2)1550.538,15448.431Q Q ==.

因此模型（1）的拟合效果远远优于模型（2）.

师：下面请学生分组讨论总结本节课的内容。

生12：

练习1：（提示后做练习、作业）研究某灌溉渠道水的流速y与水深x之间的关系，测得一组数据如下：

1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90

2.00 2.10 水深

xm

1.70 1.79 1.88 1.95

2.03 2.10 2.16 2.21 流速

ym/s

（1）求y对x的回归直线方程；

（2）预测水深为1。95m 时水的流速是多少？

练习2：某种书每册的成本费y（元）与印刷册数x（千册）有关，经统计得到数据如下：

(1)画出散点图；

(2)求成本费y（元）与印刷册数x（千册）的回归方程。

十教学设计说明：

高中新课程中增加了有关统计学初步的内容，先后出现在必修3和选修1-2（文科）、选修2-3（理科）。《数学3》中的“统计”一章，给出了运用统计的方法解决问题的思路。“线性回归分析”是其介绍的一种分析整理数据的方法。在这一章中，学习了如何画散点图、利用最小二乘法的思想利用计算器求回归直线方程、利用回归直线方程进行预报等内容。然而在大量的实际问题中，两个变量不一定都呈线性相关关系，他们可能呈指数关系或对数关系等非线性关系，本课时就是在学习了如何建立线性回归模型的基础上，探索如何建立非线性关系的回归模型。

这个内容在人教A版教材中只安排了一道关于“红铃虫”的例题，但是它却代表了一种“回归分析”的类型。如何利用这道例题使学生掌握这类问题的解决方法呢？为此，我设计了“引导发现、合作探究”的教学方法。首先展示“红铃虫”的背景资料来激发学生的学习兴趣；鼓励学生用已有知识解决问题，引导学生检查结果从而发现新问题；通过分组合作来对不同方案进行探索；使学生在合作探索的过程中体会“选择模型——将非线性转化成线性……”方法，体会“化未知为已知、用已知探索未知”思想，同时认识不同模型的效果。培养学生观察、类比联想，以及分析问题的能力。在教学过程中让学生自主探索、动手实践，养成独立思考、积极探索的习惯。

在“选模型”这个环节中，我引导将散点分布和已学函数图像进行比较，从而发现二次函数和指数函数模型。在“转化”这个环节中，通过引导学生观察所选模型，联系已学知识选择“等量变换和对数变换”，从而找到转化的途径。在运算过程中，如求“相关指数”我引导学生使用转化后的数据，利用计算器求其相关系数即为相关指数，使学生体会使用计算器处理数据的方法和技能。

十一案例反思

（1）有条件的学校老师可以再课堂上演示用计算机软件计算参数的最小二乘估计，相关指数，残差平方和和画残差图等。

（2）在教学中应鼓励学生多思考，遇到不同的实际问题应考虑原来的统计方法是否仍然适用，在不能适用的情况下要探索新的统计方法，从而体会统计方法的有效性，局限性和可改进性的特点。

（3）本节内容对回归分析的探讨过程很精彩，学生讨论很热烈，激发了学生的学习热情。但对残差分析学生只能欣赏它的过程，计算量太大，思维的跳跃性太强！