四川省广安市高二上学期期末数学试卷(理科)
四川省广安市高二上学期期末数学试卷（理科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共10题；共20分)
1. （2分）下列关系式中一定成立的是（）
A . 若a＞0，b＞0，则a4+b4≤a3b+ab3
B . + ＞2
C . 若|a|＜1，|b|＜1，则| |＜1
D . a2+b2+c2≤ab+bc+ac
2. （2分） (2017高二下·瓦房店期末) 命题“ ，使得”的否定形式是（）
A . ，使得
B . ，使得
C . ，使得
D . ，使得
3. （2分）已知等比数列的前三项依次为t、t-2、t-3.则（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分）在中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，，则c=（）
A . 28
C .
D .
5. （2分）设x，y满足约束条件，若目标函数z= x+ y（a＞0，b＞0）的最大值为2，则a+b的最小值为（）
A .
B .
C .
D . 2
6. （2分）已知M是△ABC内的一点，且=2，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为， x，y，则+的最小值是（）
A . 20
B . 18
C . 16
D . 9
7. （2分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在X轴上，C与抛物线的准线交于A,B两点，,则C的实轴长为（）
A . 2
C . 4
D .
8. （2分）与椭圆共焦点且过点(5,-2)的双曲线标准方程是（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，M、N分别是BB1和B1C1的中点，则直线AM与CN 所成角的余弦值等于（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分）已知点（4，2）是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则l的方程是（）
A . x-2y=0
B . x+2y-4=0
C . 2x+3y+4=0
D . x+2y-8=0
二、填空题 (共5题；共6分)
11. （1分）(2017·泰州模拟) 已知点F，A是椭圆C：的左焦点和上顶点，若点P是椭圆C上一动点，则△PAF周长的最大值为________．
12. （2分） (2019高三上·新疆月考) 在中，，，点在边上，
，则的长度为________；角 ________．
13. （1分） (2016高二上·阜宁期中) ∀x∈[﹣1，2]使得x2﹣ax﹣3＜0恒成立，则实数a的取值范围为________．
14. （1分） (2016高一下·台州期末) 设Sn是数列{an}的前n项和，若a1=2，Sn=an+1（n∈N*），则a4=________．
15. （1分） (2016高二上·驻马店期中) 若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的取值范围是________．
三、解答题 (共5题；共35分)
16. （10分） (2017高一下·荔湾期末) 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=acosB+bsinA．
（1）求A；
（2）若a=2，b=c，求△ABC的面积．
17. （5分）已知{an}是一个等差数列且a2+a8=﹣4，a6=2
（1）求{an}的通项公式；
（2）求{an}的前n项和Sn的最小值．
18. （5分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．证明：AE⊥平面PAD.
19. （5分） (2017高二下·郑州期中) 已知A，B两地的距离是120km，按交通法规规定，A，B两地之间的公路车速应限制在50～100km/h，假设汽油的价格是6元/升，以xkm/h速度行驶时，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是36元，那么最经济的车速是多少？如果不考虑其他费用，这次行车的总费用是多少？
20. （10分）(2017·抚顺模拟) 已知椭圆C； =1（a＞b＞c）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0）、F2（c，0），过原点O的直线（与x轴不重合）与椭圆C相交于D、Q两点，且|DF1|+|QF1|=4，P为椭圆C上的动点，△PF1F2的面积的最大值为．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若A、B是椭圆C上关于x轴对称的任意两点，设点N（﹣4，0），连接NA与椭圆C相交于点E，直线BE 与x轴相交于点M，试求的值．
参考答案一、单选题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4、答案：略
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题 (共5题；共6分)
11-1、
12-1、
13-1、
14、答案：略
15-1、
三、解答题 (共5题；共35分) 16-1、
16-2、
17-1、
18-1、
19-1、20-1、
20-2、。
四川省广安市_学年高二数学上学期期末试卷理(含解析)【含答案】
2015-2016学年四川省广安市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．直线3x﹣y+1=0的斜率是（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣2．命题“若x＞1，则x＞0”的否命题是（）A．若x≤1，则x≤0B．若x≤1，则x＞0 C．若x＞1，则x≤0D．若x＜1，则x＜03．“x=2”是“（x﹣2）•（x+5）=0”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（）A．50 B．40 C．25 D．205．设点A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），则线段AB的中点与点C的距离为（）A． B． C． D．6．将甲，乙两名同学5次数学测验的成绩用茎叶图表示如图，若甲，乙两人成绩的中位数分别是x甲，x乙，则下列说法正确的是（）A．x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定B．x甲＞x乙；甲比乙成绩稳定C．x甲＞x乙；乙比甲成绩稳定D．x甲＜x乙；甲比乙成绩稳定7．甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是（）A．B．C．D．8．执行如图的程序框图，如果输入的N的值是6，那么输出的p的值是（）A．15 B．105 C．120 D．7209．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A．x±y=0B．x±y=0 C．2x±y=0D．x±2y=010．已知抛物线y2=8x的焦点为F，直线y=k（x﹣2）与此抛物线相交于P，Q两点，则+=（）A．B．1 C．2 D．411．已知点M（﹣4，0），N（4，0），B（2，0），动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C 相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程是（）A．﹣=1（x＞2）B．﹣=1（x＜﹣2）C．﹣=1（x≠±2）D． +=1（x≠±2）12．由点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，A、B是切点，则•的最小值是（）A．6﹣4B．3﹣2C．2﹣3 D．4﹣6二、填空题（每小题5分，共20分）13．双曲线x2﹣2y2=16的实轴长等于．14．一次数学测验后某班成绩均在（20，100]区间内，统计后画出的频率分布直方图如图，如分数在（60，70]分数段内有9人．则此班级的总人数为．15．已知点P是椭圆+=1上任一点，那点P到直线l：x+2y﹣12=0的距离的最小值为．16．已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|= ．三、解答题（本题共5小题，共70分）17．已知圆C经过坐标原点O，A（6，0），B（0，8）．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）过点P（﹣2，0）的直线l和圆C的相切，求直线l的方程．18．下表提供了某新生婴儿成长过程中时间x（月）与相应的体重y（公斤）的几组对照数据（1）如y与x具有较好的线性关系，请根据表中提供的数据，求出线性回归方程： =x+；（2）由此推测当婴儿生长满五个月时的体重为多少？（参考公式和数据： ==﹣，）19．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且|AB|=18（1）求该抛物线的方程（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若=+λ，求λ的值．20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0（1）若a，b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率．（2）若a∈[2，6]，b∈[0，4]，求方程没有实根的概率．21．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，原点到过点A（﹣a，0），B（0，b）的直线的距离是．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．选做题（请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，則按所做的第一题计分．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，△ABC的外接圆为⊙O，延长CB至Q，再延长QA至P，且QA为⊙O的切线（1）求证：QC2﹣QA2=BC•QC（2）若AC恰好为∠BAP的平分线，AB=10，AC=15，求QA的长度．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（其中t为参数）．现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）写出直线l和曲线C的普通方程；（Ⅱ）已知点P为曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最大值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x﹣a|．（Ⅰ）当a=﹣2时，解不等式f（x）≥16﹣|2x﹣1|；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤1的解集为[0，2]，求证：f（x）+f（x+2）≥2a．2015-2016学年四川省广安市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．直线3x﹣y+1=0的斜率是（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣【考点】直线的斜率．【专题】直线与圆．【分析】化直线方程的一般式为斜截式，则直线的斜率可求．【解答】解：由3x﹣y+1=0，得y=3x+1．∴直线3x﹣y+1=0的斜率是3．故选：A．【点评】本题考查了直线的斜率，考查了直线方程的一般式和斜截式的互化，是基础的会考题型．2．命题“若x＞1，则x＞0”的否命题是（）A．若x≤1，则x≤0B．若x≤1，则x＞0 C．若x＞1，则x≤0D．若x＜1，则x＜0 【考点】四种命题．【专题】简易逻辑．【分析】根据否命题的定义：“若p则q”的否命题是：“若￢p，则￢q”，所以应该选A．【解答】解：根据否命题的定义，x＞1的否定是：x≤1；x＞0的否定是：x≤0，所以命题“若x＞1，则x＞0”的否命题是：“若x≤1，则x≤0”．故选A．【点评】考查否命题的定义．3．“x=2”是“（x﹣2）•（x+5）=0”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】操作型；对应思想；简易逻辑；推理和证明．【分析】解方程“（x﹣2）•（x+5）=0”，进而结合充要条件的定义可得答案．【解答】解：当“x=2”时，“（x﹣2）•（x+5）=0”成立，故“x=2”是“（x﹣2）•（x+5）=0”的充分条件；当“（x﹣2）•（x+5）=0”时，“x=2”不一定成立，故“x=2”是“（x﹣2）•（x+5）=0”的不必要条件，故“x=2”是“（x﹣2）•（x+5）=0”的充分不必要条件，故选：B．【点评】本题考查的知识点是充要条件，熟练掌握充要条件的概念，是解答的关键．4．为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（）A．50 B．40 C．25 D．20【考点】系统抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】根据系统抽样的定义，即可得到结论．【解答】解：∵从1000名学生中抽取40个样本，∴样本数据间隔为1000÷40=25．故选：C．【点评】本题主要考查系统抽样的定义和应用，比较基础．5．设点A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），则线段AB的中点与点C的距离为（）A． B． C． D．【考点】空间两点间的距离公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用．【分析】先求出线段AB的中点M，再由两点间距离公式能求出线段AB的中点与点C的距离．【解答】解：∵点A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），∴线段AB的中点M（2，，3），∴线段AB的中点与点C的距离为：|MC|==．故选：D．【点评】本题考查空间中两点间距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．6．将甲，乙两名同学5次数学测验的成绩用茎叶图表示如图，若甲，乙两人成绩的中位数分别是x甲，x乙，则下列说法正确的是（）A．x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定B．x甲＞x乙；甲比乙成绩稳定C．x甲＞x乙；乙比甲成绩稳定D．x甲＜x乙；甲比乙成绩稳定【考点】茎叶图．【专题】数形结合；定义法；概率与统计．【分析】利用茎叶图中的数据和中位数的定义即可得出结论．【解答】解：根据茎叶图中的数据，得甲、乙二人的中位数分别是x甲=79，x乙=82，且在茎叶图中，乙的数据更集中，∴x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定．故选：A．【点评】本题考查了中位数的求法与方差的判断问题，是基础题．解题时要注意茎叶图的性质的灵活运用．7．甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是（）A．B．C．D．【考点】互斥事件的概率加法公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】利用互斥事件概率加法公式求解．【解答】解：∵甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是，乙获胜的概率是，∴乙不输的概率是p==．故选：D．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式的合理运用．8．执行如图的程序框图，如果输入的N的值是6，那么输出的p的值是（）A．15 B．105 C．120 D．720【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型．【分析】根据题中的流程图，依次求出p和k的值，根据k的值判断是否符合判断框中的条件，若不符合，则结束运行，输出p．【解答】解：输入N=6，则k=1，p=1，第一次运行p=1×1=1，此时k=1＜6，第二次运行k=1+2=3，p=1×3=3；第三次运行k=3+2=5，p=3×5=15；第四次运行k=5+2=7，P=15×7=105；不满足条件k＜6，程序运行终止，输出P值为105，故选B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，利用程序框图中框图的含义运行解答．9．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A．x±y=0B．x±y=0 C．2x±y=0D．x±2y=0【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】通过椭圆与双曲线的方程可得各自的离心率，化简即得结论．【解答】解：∵椭圆C1的方程为+=1，∴椭圆C1的离心率e1=，∵双曲线C2的方程为﹣=1，∴双曲线C2的离心率e2=，∵C1与C2的离心率之积为，∴•=，∴==1﹣，又∵a＞b＞0，∴ =，故选：B．【点评】本题考查求椭圆的离心率问题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．10．已知抛物线y2=8x的焦点为F，直线y=k（x﹣2）与此抛物线相交于P，Q两点，则+=（）A．B．1 C．2 D．4【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线y2=8x可得焦点F（2，0），因此直线y=k（x﹣2）过焦点．把直线方程与抛物线方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式即可得出．【解答】解：由抛物线y2=8x可得焦点F（2，0），因此直线y=k（x﹣2）过焦点．设P（x1，y1），Q（x2，y2）．，则，|FQ|=x2+2．联立．化为k2x2﹣（8+4k2）x+4k2=0（k≠0）．∵△＞0，∴，x1x2=4．∴+====．故选A．【点评】本题考查了抛物线的焦点弦问题，属于中档题．11．已知点M（﹣4，0），N（4，0），B（2，0），动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C 相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程是（）A．﹣=1（x＞2）B．﹣=1（x＜﹣2）C．﹣=1（x≠±2）D． +=1（x≠±2）【考点】轨迹方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意画出图形，可见⊙C是△PMN的内切圆，则由切线长定理得|MA|=|MB|、|ND|=|NB|、|PA|=|PD|；此时求|PM|﹣|PN|可得定值，即满足双曲线的定义；然后求出a、b，写出方程即可（要注意x的取值范围）．【解答】解：由题意PM，PN与圆C切于A，D，则可见|MA|=|MB|=6，|ND|=|NB|=2，且|PA|=|PD|，那么|PM|﹣|PN|=（|PA|+|MA|）﹣（|PD|+|ND|）=|MA|﹣|ND|=6﹣2=4＜|MN|，所以点P的轨迹为双曲线的右支（右顶点除外），又2a=4，c=4，则a=2，b2=12，所以点P的轨迹方程为﹣=1（x＞2）．故选A．【点评】本题考查双曲线的基本性质和圆的切线长定理，正确运用双曲线的定义是关键．12．由点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，A、B是切点，则•的最小值是（）A．6﹣4B．3﹣2C．2﹣3 D．4﹣6【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；数形结合；综合法；平面向量及应用．【分析】先画出图形，可设圆心为O，OP=x，从而可以得出，，根据二倍角的余弦公式便可得到，从而可求出，这样根据基本不等式即可求出的最小值．【解答】解：如图，设圆心为O，OP=x，则：PA2=x2﹣1，；∴；∴==；当且仅当，即时取“=”；∴的最小值为．故选：C．【点评】考查直角三角形边的关系，正弦函数的定义，二倍角的余弦公式，清楚圆心和切点的连线与切线的关系，向量数量积的计算公式，以及利用基本不等式求最小值的方法．二、填空题（每小题5分，共20分）13．双曲线x2﹣2y2=16的实轴长等于8 ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】双曲线x2﹣2y2=16，化为标准方程为﹣=1，即可求得实轴长．【解答】解：双曲线x2﹣2y2=16，化为标准方程为﹣=1，∴a2=16，∴a=4，∴2a=8，即双曲线x2﹣2y2=16的实轴长是8．故答案为：8．【点评】本题重点考查双曲线的几何性质，解题的关键是将双曲线方程化为标准方程，属于基础题．14．一次数学测验后某班成绩均在（20，100]区间内，统计后画出的频率分布直方图如图，如分数在（60，70]分数段内有9人．则此班级的总人数为60 ．【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，求出样本容量即可．【解答】解：根据频率分布直方图，得；分数在（60，70]分数段内的频率为0.015×10=0.15，频数为9，∴样本容量是=60；∴此班级的总人数为 60．故答案为：60．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应用频率=进行解答，是基础题．15．已知点P是椭圆+=1上任一点，那点P到直线l：x+2y﹣12=0的距离的最小值为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】运用椭圆的参数方程，设出点P，再由点到直线的距离公式及两角和的正弦公式，结合正弦函数的值域，即可得到最小值．【解答】解：设点P（2cosα， sinα）（0≤α≤2π），则点P到直线x+2y﹣12=0的距离为d==当sin（α+30°）=1时，d取得最小值，且为．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的方程和运用，考查椭圆的参数方程的运用：求最值，考查点到直线的距离公式，考查三角函数的值域，属于中档题．16．已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|= 6 ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】压轴题．【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径．【解答】解：不妨设A在双曲线的右支上∵AM为∠F1AF2的平分线∴=又∵|AF1|﹣|AF2|=2a=6解得|AF2|=6故答案为6【点评】本题考查内角平分线定理；考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用双曲线的定义．三、解答题（本题共5小题，共70分）17．已知圆C经过坐标原点O，A（6，0），B（0，8）．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）过点P（﹣2，0）的直线l和圆C的相切，求直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】（Ⅰ）由题意，圆C的圆心为线段OA、OB中垂线的交点，求得圆心的坐标；再由原点O在圆上，求得圆的半径，从而得到圆C的方程．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线x=﹣2与圆C相切．当直线l不与x轴垂直时，用点斜式设l的方程，再根据圆心到直线的距离等于半径求得斜率k的值，从而求得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意，圆C的圆心为线段OA、OB中垂线的交点，即为直线x=3，y=4的交点，∴圆心为（3，4）．又原点O在圆上，∴圆的半径．∴圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线x=﹣2与圆C相切．当直线l不与x轴垂直时，设l的方程为y=k（x+2），即kx﹣y+2k=0，∴，解这个方程得，∴此时直线l的方程为，即9x+40y+18=0．∴直线l的方程是x=﹣2，或9x+40y+18=0．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，求圆的标准方程，求圆的切线方程，属于中档题．18．下表提供了某新生婴儿成长过程中时间x（月）与相应的体重y（公斤）的几组对照数据（1）如y与x具有较好的线性关系，请根据表中提供的数据，求出线性回归方程： =x+；（2）由此推测当婴儿生长满五个月时的体重为多少？（参考公式和数据： ==﹣，）【专题】函数思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）求出x，y的平均数，代入回归系数方程求出回归系数，得出回归方程．（2）把x=5代入回归方程解出．【解答】解：（1）==1.5， ==4．=02+12+22+32=14，∴==， =4﹣=．∴y关于x的线性回归方程为=x+．（2）当x=5时， =+=6.45．答：由此推测当婴儿生长满五个月时的体重为6.45公斤．【点评】本题考查了线性回归方程的求解和数值估计，属于基础题．19．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且|AB|=18（1）求该抛物线的方程（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若=+λ，求λ的值．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设直线AB的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系可得x1+x2．再利用弦长公式|AB|=x1+x2+p，即可得到p，则抛物线方程可得．（2）由p=8，x2﹣10x+16=0求得A，B坐标，再求得OC的坐标，代入抛物线方程即可解得λ．【解答】解：（1）抛物线y2=2px的焦点F（，0），准线方程为x=﹣．∴直线AB的方程为y=2（x﹣），代入y2=2px可得4x2﹣5px+p2=0∴x A+x B=p，由抛物线的定义可知，|AB|=|AF|+|BF|=x A+x B+p=p=18∴p=8．∴该抛物线的方程为y2=8x；（2）由p=8，x2﹣10x+16=0，∴x1=2，x2=8，∴y1=﹣4，y2=8，从而A（2，﹣4），B（8，8）．设=（x3，y3）=（2，﹣4）+λ（8，8）=（8λ+2，8λ﹣4）又[8λ﹣4）]2=16（8λ+2），解得：λ=0，或λ=2．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．直线与圆锥曲线的综合问题．考查了基本的分析问题的能力和基础的运算能力．20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0（1）若a，b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率．（2）若a∈[2，6]，b∈[0，4]，求方程没有实根的概率．【考点】等可能事件的概率．【专题】计算题．【分析】（1）本题是一个古典概型，用（a，b）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件，基本事件（a，b）的总数有36个满足条件的事件是二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0有两正根，根据实根分布得到关系式，得到概率．（2）本题是一个几何概型，试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，满足条件的事件为：B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a﹣2）2+b2＜16}，做出两者的面积，得到概率．【解答】解：（1）由题意知本题是一个古典概型用（a，b）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件依题意知，基本事件（a，b）的总数有36个二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0有两正根，等价于即“方程有两个正根”的事件为A，则事件A包含的基本事件为（6，1）、（6，2）、（6，3）、（5，3）共4个∴所求的概率为（2）由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，其面积为S（Ω）=16满足条件的事件为：B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a﹣2）2+b2＜16}其面积为∴所求的概率P（B）=【点评】本题考查古典概型和几何概型，几何概型和古典概型是高中必修中学习的，高考时常以选择和填空出现，有时文科会考这种类型的解答题目．21．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，原点到过点A（﹣a，0），B（0，b）的直线的距离是．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】方程思想；分类法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点到直线的距离公式，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线l的斜率是否存在，当直线l的斜率存在时，设直线，联立直线方程和椭圆方程，运用判别式为0，再联立直线方程组，求得P，Q的坐标，求得PQ的长，求出OPQ的面积，化简整理，可得最小值．【解答】解：（1）因为，a2﹣b2=c2，所以a=2b．因为原点到直线AB：的距离，解得a=4，b=2．故所求椭圆C的方程为+=1．（2）当直线l的斜率不存在时，直线l为x=4或x=﹣4，都有．当直线l的斜率存在时，设直线，由消去y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0．因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，所以△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣16）=0，即m2=16k2+4．①又由可得；同理可得．由原点O到直线PQ的距离为和，可得．②将①代入②得，．当时，；当时，．因，则0＜1﹣4k2≤1，，所以，当且仅当k=0时取等号．所以当k=0时，S△OPQ的最小值为8．综上可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的性质：离心率公式和点到直线的距离，考查三角形的面积的最小值，注意讨论直线的斜率是否存在，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，属于中档题．选做题（请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，則按所做的第一题计分．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，△ABC的外接圆为⊙O，延长CB至Q，再延长QA至P，且QA为⊙O的切线（1）求证：QC2﹣QA2=BC•QC（2）若AC恰好为∠BAP的平分线，AB=10，AC=15，求QA的长度．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】证明题；选作题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】（1）由切线定理得QA2=QB•QC，由此能证明QC2﹣QA2=BC•QC．（2）由弦切角定理和角平分线性质得QC2=QA2=15QC，△QCA∽△QAB，由此能求出QA的长度．【解答】证明：（1）∵QA为⊙O的切线，∴QA2=QB•QC，∵QC﹣QB=BC，∴QC2﹣QA2=QC2﹣QB•QC=BC•QC．解：（2）∵QA为⊙O的切线，∴∠PAC=∠ABC，∵AC恰好为∠BAP的平分线，∴∠BAC=∠ABC，∴AC=BC=15，∴QC2=QA2=15QC，①又由△QCA∽△QAB，得，②联合①②，消掉QC，得：QA=18．【点评】本题考查两线段平差等于两线段积的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切线定理、弦切角定理的合理运用．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（其中t为参数）．现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）写出直线l和曲线C的普通方程；（Ⅱ）已知点P为曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）直线l的参数方程k消去参数t得直线l普通方程又由曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，由此能求出曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）曲线C的方程可化为（x﹣1）2+y2=1，设与直线l平行的直线为y=x+b，当直线l与曲线C相切时，，当时，P到直线l的距离达到最大，最大值为两平行线的距离．【解答】选修4﹣4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）由题，直线l的参数方程为（其中t为参数）．消去直线l参数方程中的参数t得直线l普通方程为y=x+2．又由曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，由，得曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x=0．（Ⅱ）曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ可化为（x﹣1）2+y2=1，设与直线l平行的直线为y=x+b，当直线l与曲线C相切时，有，即，于是当时，P到直线l的距离达到最大，最大值为两平行线的距离即．（或先求圆心到直线的距离为，再加上半径1，即为P到直线l距离的最大值）【点评】本题考查极坐标方程、参数方程和普通方程的互化，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的简单性质的合理运用．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x﹣a|．（Ⅰ）当a=﹣2时，解不等式f（x）≥16﹣|2x﹣1|；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤1的解集为[0，2]，求证：f（x）+f（x+2）≥2a．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】选作题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）当a=﹣2时，不等式为|x+2|+|2x﹣1|≥16，分类讨论，去掉绝对值，即可解不等式f（x）≥16﹣|2x﹣1|；（Ⅱ）先求出a，f（x）=|x﹣1|，于是只需证明f（x）+f（x+2）≥2，即证|x﹣1|+|x+1|≥2，利用绝对值不等式，即可证明结论．【解答】（Ⅰ）解：当a=﹣2时，不等式为|x+2|+|2x﹣1|≥16，当x≤﹣2时，原不等式可化为﹣x﹣2﹣2x+1≥16，解之得x≤﹣；当﹣2＜x≤时，原不等式可化为x+2﹣2x+1≥16，解之得x≤﹣13，不满足，舍去；当x＞时，原不等式可化为x+2+2x﹣1≥16，解之得x≥5；不等式的解集为{x|x≤﹣或x≥5}．（Ⅱ）证明：f（x）≤1即|x﹣a|≤1，解得a﹣1≤x≤a+1，而f（x）≤1解集是[0，2]，所以，解得a=1，从而f（x）=|x﹣1|于是只需证明f（x）+f（x+2）≥2，即证|x﹣1|+|x+1|≥2，因为|x﹣1|+|x+1|=|1﹣x|+|x+1|≥|1﹣x+x+1|=2，所以|x﹣1|+|x+1|≥2，证毕．【点评】本题考查绝对值不等式，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．。
四川省广安市2019-2020学年高二上学期期末数学(理)试题
【解析】
根据双曲线的方程得到焦点为 ，渐近线为： ，根据点到直线的距离得到焦点到渐近线的距离为
故答案为A．
5．A
【解析】
【分析】
由表中数据求出 ，代入线性回归方程即得.
【详解】
因为线性回归直线过样本中心点 ，
由表中数据求得 ，
代入线性回归方程得 .
故选： .
【点睛】
本题考查线性回归方程，属于基础题.
8．D
【解析】
【分析】
两个小圆的面积和除以大圆的面积即为所求的概率.
【详解】
由几何概型可得，两个小圆的面积和除以大圆的面积即为所求的概率.
所求的概率为 .
故选： .
【点睛】
本题考查古文化，考查几何概型，属于基础题.
9．B
【解析】
【分析】
模拟程序运行，观察变量值，判断循环条件．
【详解】
程序运行时，变量值为： ，开始循环：
（2） 直线 与两坐标轴的正半轴分别交于 两点，
.令 ，得 ；令 ，得 .
不妨设 ，则 .
，
时， .
【点睛】
本题考查两平行线间的距离和二次函数求最值，属于基础题.
18．（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据 解出 即可；
（2）若“ ”为假命题，且“ ”为真命题，得到 与 一真一假，即可求 的取值范围.
【详解】
（1）若 为真命题，则 ，
解得 .
即实数 的取值范围为 .
（2）若 为真， ，解得 ，
由 是假命题，且 是真命题，得： 、 两命题一真一假，
当 真 假时， 或 ，得 ，
当 假 真时， ，此时无解，
综上 的取值范围为 .
2020-2021学年四川省广安市高二上学期期末数学(理)试题(解析版)
2020-2021学年四川省广安市高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1．若p ：x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ） A ．p ⌝：x ∀∈R ，sin 1x > B ．p ⌝：0x ∃∈R ，0sin 1x > C ．p ⌝：x ∀∈R ，sin 1x ≥ D ．p ⌝：0x ∃∈R ，0sin 1x ≥【答案】B【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可得结果. 【详解】由于全称命题的否定为特称命题， 即x ∀∈R ，sin 1x ≤的否定为0x ∃∈R ，0sin 1x >， 故选：B.2．直线310l y -+=的倾斜角为（ ） A ．0 B ．6πC ．4π D ．3π 【答案】B【分析】由一般式求出直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求得直线的倾斜角． 【详解】解：设直线l 的倾斜角为α，则由直线310l y -+=知，k =所以tan α=． 所以6πα=．故选：B ．3．△ABC 的周长是8，B （﹣1，0），C （1，0），则顶点A 的轨迹方程是（ ） A ．221(3)98x y x +=≠±B ．221(0)98x y x +=≠C ．221(0)43x y y +=≠D ．221(0)34x y y +=≠【答案】A【分析】由周长得AB +AC ＝6，从而知A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，再根据已知条件可求得轨迹方程．注意范围．【详解】解：∵△ABC 的两顶点B （﹣1，0），C （1，0），周长为8，∴BC ＝2，AB +AC ＝6，∵6＞2，∴点A 到两个定点的距离之和等于定值，∴点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，且2a ＝6，c ＝1，b ＝22， 所以椭圆的标准方程是221(3)98x y x +=≠±.故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查求轨迹方程，解题方法是定义法，根据恬条件确定轨迹是椭圆，由已知确定焦距和实轴长，由此易得方程，解题还要注意隐藏条件ABC ，因此要去掉直线BC 上的两点．否则出错．4．“2a =”是“直线22x ay +=与直线21ax y +=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】当2a = 时，经检验，两直线平行，故充分性成立；当两直线平行时，由斜率相等得到2a =±，故必要性不成立．【详解】当2a = 时，直线22x ay +=即1x y +=，直线21ax y +=即221x y +=，显然两直线平行，故充分性成立．当直线22x ay +=与直线21ax y +=平行时， 由斜率相等得22a a=--，24a =，2a =±， 故由直线22x ay +=与直线21ax y +=平行，不能推出2a =，故必要性不成立． 综上，“2a =”是“直线22x ay +=与直线21ax y +=平行”的的充分不必要条件， 故选：A ．【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 5．如图所示，执行如图的程序框图，输出的S 值是( )A ．1B ．10C ．19D ．28【答案】C【分析】逐条执行程序框图即可． 【详解】由程序框图得：1A =,1S =,2A ≤成立， 1910S =+=，112A =+=，2A ≤成立，19919S =++= 1113A =++=2A ≤不成立， 输出：19S =， 故选：C.【点睛】本题主要考查了程序框图知识，只需逐条执行即可看出规律，属于基础题．6．已知圆222212x y 60x y -6y 0C C ++=+=：，：，则两圆的位置关系为 A ．相离 B ．外切C ．相交D ．内切【答案】D【分析】由题意求出两圆的圆心坐标和半径，利用圆心距和两圆的半径之间的关系，即可求解．【详解】由题意，可知圆1C ，即为22((2)1x y +-=，表示以1C 为圆心，半径为1的圆，圆2C ，即为22(3)9x y +-=，表示以1(0,3)C 为圆心，半径为3的圆，2等于两圆的半径之差，所以两圆相内切，故选D. 【点睛】本题主要考查了两圆的位置关系的判定及应用，其中熟记两圆的位置关系的判定的方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．7．甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，1x ，2x 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，1s ，2s 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ）A ．12x x >，12s s <B ．12x x =，12s s <C ．12x x =，12s s >D ．12x x <，12s s >【答案】B【分析】根据茎叶图看出两组数据，先求出两组数据的平均数，再求出两组数据的方差，比较两组数据的方差的大小就可以得到两组数据的标准差的大小． 【详解】由题可知，11(91415151621)156x =+++++=，21(71315151723)156x =+++++=，22222211[(915)(1415)(1515)(1515)(1615)(2115)]12.36S =-+-+-+-+-- 22222221[(715)(1315)(1515)(1515)(1715)(2315)]22.76S -+-+-+-+-+-= 所以12x x =，12s s <． 故选：B ．【点睛】本题考查两组数据的平均数和方差的意义，是一个基础题，解题时注意平均数是反映数据的平均水平，而标准差反映波动的大小，波动越小数据越稳定．8．已知1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点和右焦点，过2F 的直线l 与双曲线的右支交于A ，B 两点，12AF F ∆的内切圆半径为1r ，12BF F ∆的内切圆半径为2r ，若122r r =，则直线l 的斜率为 A ．1 B 2C ．2D ．22【答案】D【详解】设12AF F ∆的内切圆圆心为1,I ，12BF F ∆的内切圆圆心为2,I ，边1212AF AF F F 、、 上的切点分别为M N E 、、， 易见1I E 、 横坐标相等，则1122AM AN F M F E F N F E ===，，， 由122AF AF a -=，即122AM MF AN NF a +-+=（）， 得122MF NF a -=， 即122F E F E a -= ，记1I 的横坐标为0x ，则00Ex （，） ，于是002x c c x a +--=（） ，得0x a =， 同理内心2I 的横坐标也为，a 则有12I I x ⊥轴， 设直线的倾斜角为θ，则22129022OF I I F O θθ∠=∠=︒-，，则211212221tan,tan tan 90222tan 2r r I F O r r F E F E θθθ⎛⎫=∠=︒-=== ⎪⎝⎭，222tan12tan ,tan tan 2221tan 2θθθθθ∴==∴==- 故选D.9．用秦九韶算法计算多项式765432()2236558f x x x x x x x x =++++--+当2x =的值时，其中3v 的值为（ ） A ．15 B ．36C ．41D ．77【答案】B【分析】先将多项式765432()2236558f x x x x x x x x =++++--+，转化为()(((((22)3)6)5)1)5)8f x x x x x x x x =++++--+，再令2x =求解.【详解】765432()2236558f x x x x x x x x =++++--+，(((((22)3)6)5)1)5)8x x x x x x x =++++--+，当2x =时，02v =， 12226v =⨯+=，262315v =⨯+=， 3152636v =⨯+=. 故选：B.10．已知斜率为2的直线l 过抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则p ＝ A ．1 BC ．2D ．4【答案】C【分析】设直线l 的方程为x ＝12y 2p +，与抛物线联立利用韦达定理可得p ．【详解】由已知得F （2p，0），设直线l 的方程为x ＝12y 2p +，并与y 2＝2px 联立得y 2﹣py ﹣p 2＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 的中点C （x 0，y 0）， ∴y 1+y 2＝p ，又线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则y 012=（y 1+y 2）＝12p =，所以p=2,故选C ．【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题，利用韦达定理是解题的关键，属中档题．11．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”（ ）. A ．是对立事件B ．都是不可能事件C ．是互斥事件但不是对立事件D ．不是互斥事件【答案】D【分析】根据互斥事件和对立事件的定义直接判断即可.【详解】事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”能同时发生，即两名学生正好一名男生，一名女生，故两事件既不是对立事件也不是互斥事件. 故选：D【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件的定义，属于基础题.12．已知[],,x R t t R ∈∈表示不大于1的最大整数，如[][][]0.490,0.510,0.491==-=-，(1)(1)f x f x +=-．若[1x ∈-，1]，则1()||2f x x =-，{(D x =，221)|([])4y x t y -+，[1t ∈-，3]}，当(),a b D ∈时()f a b ≤的概率为（ ）A ．1123π+B ．12C ．1125π+D ．1125π- 【答案】C【分析】利用(1)(1)f x f x +=-，得到函数()f x 的周期为2，利用集合{(D x =，221)|([])4y x t y -+，[1t ∈-，3]}得到其对应的图形为五个圆以及圆内部分，半径都是12，作出图象，然后利用几何概型将问题转化为面积之比进行求解即可． 【详解】解：由(1)(1)f x f x +=-，则(2)()f x f x +=， 所以函数()f x 的周期为2，作出函数()f x 的图象如图中折线部分，集合{(D x =，221)|([])4y x t y -+，[1t ∈-，3]}， 其对应的区域是如图所示的五个圆以及圆内部分，半径都是12，由题意可得2155[)24S ππ⎛⎤=⨯⨯= ⎥⎝⎦全，事件()f a b ≤对应的区域为图中阴影部分，所以111111513244422284S πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦阴影，所以由几何概型的公式可得()f a b ≤的概率为5111845254πππ+=+．故选：C ．二、填空题13．若圆22: 0C x y Dx Ey F ++++=关于直线:0l x y +=对称，则D E +=_______________． 【答案】0【分析】将圆C 的方程化为标准方程，求出圆心C ，然后将问题转化为圆心在直线上，求解即可得到答案．【详解】解：圆22:0C x y Dx Ey F ++++=化为标准方程为22224()()224D E D E F x y +-+++=，圆心(,)22D EC --， 因为圆C 关于直线:0l x y +=对称， 所以圆心C 在直线l 上， 则有022D E--=， 所以0D E +=． 故答案为：0．14．将二进制数()21011化为十进制结果为_______ 【答案】11【分析】用每位上的数字乘以权重，累加后即可得到结果.【详解】解：3210(2)10111202121211=⨯+⨯+⨯+⨯=，故答案为：11【点睛】考查二进制转化为十进制的方法，基础题.15．口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65，摸出黄球或白球的概率为0.6，那么摸出白球的概率为__________． 【答案】0.25【详解】设摸出白球、红球、黄球的事件分别为,,A B C ，根据互斥事件概率加法公式()()()0.65P A B P A P B +=+=，()()()0.6P A C P A P C +=+=，()()()()1P A B C P A P B P C ++=++=，解得()0.25P A =.16．在平面直角坐标系xOy 中，过定点()0,1C 作直线与抛物线22x y =相交于,A B 两点，若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，则ANB 面积的最小值为________． 【答案】22【分析】依题意可知点N 的坐标，可设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设出直线AB 的方程，与抛物线联立消去y ，根据韦达定理求得12x x +和的12x x 表达式，代入三角形面积公式中，可得0k =时ANB 面积有最小值，并且求出最小值．【详解】解：依题意得：点N 的坐标为(0,1)N -，可设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 设直线AB 的方程为1y kx =+，直线方程与22x y =联立得221x y y kx ⎧=⎨=+⎩消去y 得2220x kx --=，所以由韦达定理得122x x k +=，122x x =-．由图可得：1212||2ABNBCNACNSSSx x =+=⋅- 2121212||()4x x x x x x =-=+-224822k k =+=+，∴当0k =，()22ABN minS=．故答案为：22三、解答题17．在ABC 中，已知顶点、、A B C 的坐标分别为()()()1,12,0,,,12A B C -.AB 边上的高所在的直线为l . （1）求直线l 的方程；（2）求l 被圆221x y +=截得的弦长.【答案】（1）35y x =-；（2）3105. 【分析】（1）求出AB 所在直线的斜率，可得直线l 的斜率，再由直线方程的点斜式得答案；（2）求出圆心到直线的距离，利用垂径定理、勾股定理求弦长．【详解】（1）AB 边上的高过()1,2C ，因为AB 边上的高所在的直线与AB 所在的直线32x y +=互相垂直，故其斜率为3,直线方程为：35y x =-；（2）直线l 方程为:310x y --= ，圆心O 到直线l 的距离为110d = ，l ∴被圆221x y +=截得的弦长为131021105-=. 18．某商家为了对该城市某种商品加强销售监管,随机选取了1000人就该城市该商品的推行情况进行问卷调查,并将问卷中的这1000人根据其满意度评分值(百分制)按照[)50,60,[)60,70,…,[]90,100分成5组,制成如图所示频率分布直方图.（1）求图中x 的值，并求出满意度评分值在[]90,100的人数；（2）若调查的满意度评分值的平均数、中位数均超过75则可在该城市继续推销该商品，试判断该城市能否继续推销该商品.【答案】（1）0.01x =，100人；（2）能继续推销该商品.【分析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程，能求出x ，由此能求出满意度评分值在[90，100]的人数．（2）由频率分布直方图能求出这组数据的平均数、中位数，由此得到该城市能继续推销该商品．【详解】解：（1）由()0.0050.020.0350.030101x ++++⨯=，0.01,x ∴=则满意度评分值在[90，100]的有10000.0110100⨯⨯=人．（2）这组数据的平均数为550.05650.2750.35850.3950.17775⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=>， 这组数据的中位数为100.005100.02(70)0.0350.5a ⨯+⨯+-⨯=， 解得77.175a ≈>，所以该城市能继续推销该商品．19．已知点()1,0F ，直线:1,l x P =-为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 的直线交轨迹C 于AB 、两点，交直线l 于点M .若1MA AF λ=，212(,)MB BF R R λλλ=∈∈,求12λλ+的值.【答案】（1）24y x =；（2）0.【分析】（1）我们可设出点P 的坐标(,)x y ，由直线:1l x =-，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，则(1,)Q y -，则我们根据QP QF FP FQ ⋅=⋅，构造出一个关于x ，y 的方程，化简后，即可得到所求曲线的方程；（2）由过点F 的直线交轨迹C 于A 、B 两点，交直线l 于点M ，我们可以设出直线的点斜式方程，联立直线方程后，利用设而不求的思想，结合一元二次方程根与系数关系，易求12λλ+的值．【详解】解：（1）设点(,)P x y ，则(1,)Q y -，由QP QF FP FQ ⋅=⋅， 得(1,0)(2,)(1,)(2,)x y x y y +⋅-=-⋅-， 化简得曲线C 的方程为24y x =；（2）由于直线AB 不能垂直于y 轴，且又过x 轴上的定点，设直线AB 的方程为1(0)x my m =+≠，则21,M m⎛⎫-- ⎪⎝⎭，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立方程组241y x x my ⎧=⎨=+⎩，， 消去x 得2440y my --=，2(4)160m ∆=-+>，故121244.y y m y y +=⎧⎨=-⎩， 由1MA AF λ=，2MB BF λ=，得1111121(1)x y x y m λ⎛⎫++=-- ⎪⎝⎭，， 2222221(1)x y x y m λ⎛⎫++=-- ⎪⎝⎭，， 利用对应的纵坐标相等，得1112y y m λ+=-，2222y y mλ+=-，整理得1121my λ=--，2221my λ=--， 所以1212121221122422204y y mm y y m y y m λλ⎛⎫++=--+=--⋅=--⋅= ⎪-⎝⎭.20．2020年是全面建成小康社会目标实现之年,也是全面打赢脱贫攻坚战收官之年,广安市某乡镇在2014年通过精准识别确定建档立卡的贫困户共有255户,结合当地实际情况采取多项精准扶贫措施，每年新脱贫户数如下表： 年份 20152016201720182019年份代码x 1 2 34 5脱贫户数y25 30354560（1）根据2015年至2019年的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+，并预测到2020年底该乡镇255户贫困户是否能全部脱贫；（2）2019年的新脱贫户中有12户五保户，12户低保户,36户扶贫户.该乡镇某干部打算按照分层抽样的方法对2019年新脱贫户中的5户进行回访，了解生产生活、帮扶工作开展情况.为防止这些脱贫户再度返贫，随机抽取这5户中的2户进行每月跟踪帮扶，求抽取的2户中至少有1户是扶贫户的概率.参考公式:()()()1122211ˆˆ,n ni iiii i nniii i x y nxy x x y y bay bx xnxx x ====---===---∑∑∑∑ 【答案】（1）172722y x =+，255户；（2）910. 【分析】（1）求出样本中心坐标，回归直线方程的系数，得到回归直线方程，然后求解当6x =时的预报值，即可判断结论．（2）由题意可得：按分层抽样抽取的5户脱贫户中，有1户五保户a ，1户低保户b ，3户扶贫户c ，d ，e从这5户中选2户的种数，抽取的2户中至少有1户是扶贫户的情况，然后求解概率． 【详解】（1）1(12345)35x =++++=，25303545601953955y ++++===， 51125230335445560670i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，521149162555ii x==++++=∑，67053398517ˆ55-59102b -⨯⨯===⨯，1727ˆ39322a =-⨯=，172722y bx a x =+=+ ，当6x =时，1727ˆˆ664.522y bxa =+=⨯+=. （注意：也可答约为64户或65户） 即预测2020年一年内该乡镇约有64.5贫困户脱贫.预测6年内该乡镇脱贫总户数有253035456064259255,+++++=> 预测到2020年底该乡镇255户贫困户能全部脱贫. （2）由题意可得：按分层抽样抽取的5户脱贫户中，有1户五保户a ，1户低保户,3b 户扶贫户,,c d e ，从这5户中选2户，共有10种情况：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e其中抽取的2户中至少有1户是扶贫户有(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e 共9种情况所以求抽取的2户中至少有1户是扶贫户的概率为910. 21．设椭圆22:1x y C m n+=的左、右焦点分别为12,,F F A 是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF .（1）求椭圆C 的离心率；（2）点M 为圆222x y r +=上任意点，过点M 做圆的切线交椭圆C 于,P Q 两点.探索n 关于r 在0OP OQ ⋅=时的函数关系式. 【答案】（1）22e =；（2）232n r =.【分析】（1）通过点A 在椭圆上，推出2()n m c y m -=，过点O 作1OH AF ⊥，垂足为H ，通过△1F BC ∽△12F F A ，结合1||1||3OH OF =，转化求解椭圆的离心率即可． （2）设点0(M x ，0)y 是圆222x y r +=上任意一点，求出圆在点M 处的切线方程，设点1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，P 、Q 的坐标是方程组2220022x y nx x y y r ⎧+=⎨+=⎩的解，化简，通过韦达定理，结合向量的数量积推出223n r =，得到结果．【详解】（1）因为212AF F F ⊥及1(,0)F c -，2(,0)F c ，不妨设点(,)A c y ，其中0y >， 由于点A 在椭圆上，有221c y m n +=，得2()n m c y m-=，过点O 作1OH AF ⊥，垂足为H ，知112F BC F F A △∽△，又1||1||3OH OF =，所以2212()||2)()0||2222n m c AF m m n m n F F -=⇒=⇒-+=（， 即22112222m n c m e e =⇒=⇒=⇒=； （2）设点()00,M x y 是圆222x y r +=上任意一点，则圆在点M 处的切线方程为200x x y y r +=．设点()11,P x y ，()22,Q x y ，则P Q 、的坐标是方程组2220022x y nx x y y r ⎧+=⎨+=⎩的解当00y ≠时，200r x x y y -= ，所以2220022r x x x n y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 即2222420002)4220x y x r x x r ny +-+-=（ ，于是2012220042r x x x x y +=+，42122200222r ny x x x y -=+， 2242010201222000022r x x r x x r nx y y y y x y ---=⋅=+ ，因为0OP OQ ⋅=， 所以424200121222220000222022r ny r nx x x y y x y x y --+=+=++，所以，4224220032()032023r n x y r nr n r -+=⇒-=⇒= ，当00y =时，必有00x ≠， 同理求得223n r =，所以232n r =. 22．已知曲线12,C C 的参数方程分别为12:2x cos C y sin θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，21:1x t t C y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数) .（1）将12,C C 的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，若直线l 经过1C 与2C 交点，求l 的极坐标方程.【答案】（1）1C ：224x y +=，2C ：224x y -=；（2）0θ=和θπ=.【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； （2）利用方程组的解法求出结果．【详解】解：（1）由22cos sin 1θθ+=得1C 的普通方程为：224x y += 由11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：2222221212x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式作差得2C 的普通方程为：224x y -=；（2）由222244x y x y ⎧+=⎨-=⎩得：20x y =⎧⎨=⎩或20x y =-⎧⎨=⎩，∴所求直线的直角坐标方程为：0y =， ∴所求直线的极坐标方程为：0θ=和θπ=.23．记关于x 的不等式1x a -<的解集为P ，函数()2202xy x x x a =>++的值域为Q .（1）若1a =，求P Q 、；（2）若Q P ⊆，求a 的取值范围.【答案】（1）()0,2P =，104Q ⎛⎤= ⎥⎝⎦，；（2）1a ≥.【分析】（1）由绝对值的定义得出集合P ，根据基本不等式和不等式的性质求得集合Q ； （2）同（1）由绝对值的定义得出集合P ，根据基本不等式和不等式的性质求得集合Q ，然后由集合的包含关系得出参数范围． 【详解】（1）由11x -<，得()0,2P =，由211212x y x x x x==++++；11224x x x x +≥⇒++≥；得104Q ⎛⎤= ⎥⎝⎦， （2）由11x -<，得()1,1P a a =-+，由222122xy a x x a x x==++++； 212||222||a x a x a x x+≥⇒++≥+；得(0,22Q a ⎤=+⎦，由Q P ⊆得10122a a a -≥⎧⎨+≤+⎩，即1a ≥.。
2018-2019学年四川省广安市高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2018-2019学年四川省广安市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择題（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．（5分）已知空间直角坐标系中A（2，﹣1，﹣2），B（3，2，1），则|AB|＝（（）A．B．C．D．2．（5分）直线的倾斜角大小为（）A．30°B．60°C．120°D．150°3．（5分）以x＝1为准线的抛物线的标准方程为（）A．y2＝2x B．y2＝﹣2x C．y2＝4x D．y2＝﹣4x 4．（5分）“若x＜1，则x2﹣3x+2＞0”的否命题是（）A．若x≥1，则x2﹣3x+2≤0B．若x＜l，则x2﹣3x+2≤0C．若x≥1，则x2﹣3x+2＞0D．若x2﹣3x+2≤0，则x≥15．（5分）已知直线l：x+ay+1＝0与圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1相切，则a为（）A．﹣B．C．D．﹣6．（5分）设某高中的学生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i＝1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为＝0.67x ﹣60.9，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该高中某学生身高为170cm，则可断定其体重必为53kgD．若该高中某学生身高增加1cm，则其体重约增加0.67kg7．（5分）“2＜m＜6”是“方程+＝1为椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）从甲、乙两种棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm）组成一个样本，得到如图所示的茎叶图．若甲、乙两种棉花纤维的平均长度分别用，表示，标准差分别用s1，s2表示，则（）A．＞，s 1＞s2B．＞，s1＜s2C．＜，s 1＞s2D．＜，s1＜s29．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，3，则输出v的值为（）A．16B．18C．48D．14310．（5分）小华和小明两人约定在7：30到8：30之间在“思源广场”会面，并约定先到者等候另一人30分钟，过时离去，则两人能会面的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F（0，﹣6），点A（﹣，0），点P为双曲线第二象限内的点，则当点P的位置变化时，△P AF周长的最小值为（）A．16B．7+3C．14+D．1812．（5分）已知A，B是以F为焦点的抛物线y2＝4x上两点，且满足＝5，则弦AB 中点到准线距离为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）把二进制数10011（2）转化为十进制的数为．14．（5分）已知双曲线x2﹣y2＝1，则它的右焦点到它的渐近线的距离是．15．（5分）若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为．16．（5分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，抛物线y2＝4cx（c2＝a2﹣b2且c＞b）与椭圆C在第一象限的交点为P，若cos∠PF1F2＝，则椭圆C的离心率为．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知直线l1：kx﹣2y+k﹣8＝0（k∈R），l2：2x+y+1＝0．（Ⅰ）若l1∥l2，求l1，l2间的距离；（Ⅱ）求证：直线l1必过第三象限．18．（12分）已知命题p：实数m满m2﹣2am﹣3a2＜0，其中a＞0；命题q：点（1，1）在圆x2+y2﹣2mx+2my+2m2﹣10＝0的内部．（Ⅰ）当a＝1，p∧q为真时，求m的取值范围；（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求a的取值范围．19．（12分）已知线段AB的端点B在圆C1：x2+（y﹣4）2＝16上运动，端点A的坐标为（4，0），线段AB中点为M，（Ⅰ）试求M点的轨迹C2方程；（Ⅱ）若圆C1与曲线C2交于C，D两点，试求线段CD的长．20．（12分）随着2018年央视大型文化节目《经典咏流传》的热播，在全民中掀起了诵读诗词的热潮广安某社团调查了广安某校300名学生每天诵读诗词的时间（所有学生诵读时间都在两小时内，并按时间（单位：分钟）将学生分成六个组：[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），[100，120]经统计得到了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值，并估计该校学生每天诵读诗词的时间的平均数和中位数．（Ⅱ）若两个同学诵读诗词的时间x，y满足|x﹣y|＞60，则这两个同学组成一个“Team”，已知从每天诵读时间小于20分钟和大于或等于80分钟的所有学生中用分层抽样的方法抽取了5人，现从这5人中随机选取2人，求选取的两人能组成一个“Team”的概率．21．（12分）已知椭圆C：+y2＝1（a＞0），过椭圆C右顶点和上顶点的直线l与圆x2+y2＝相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2＝2，证明：直线AB过定点．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2（1+sin2θ）＝2．（Ⅰ）求l的直角坐标方程和C的直角坐标方程；（Ⅱ）若l和C相交于A，B两点，求|AB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣1|，g（x）＝|2x﹣4|．（Ⅰ）求不等式f（x）＞g（x）的解集．（Ⅱ）若存在x∈R，使得不等式2f（x+1）+g（x）＜ax+1成立，求实数a的取值范围．2018-2019学年四川省广安市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择題（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．【解答】解：∵空间直角坐标系中A（2，﹣1，﹣2），B（3，2，1），∴|AB|＝＝．故选：B．2．【解答】解：由题意，直线的斜率为k＝，即直线倾斜角的正切值是又倾斜角大于或等于0°且小于180°，故直线的倾斜角为30°，故选：A．3．【解答】解：以x＝1为准线的抛物线，开口向左，可得p＝2，所以抛物线的标准方程为：y2＝﹣4x．故选：D．4．【解答】解：若p则q的否命题为若￢p则￢q，即命题的否命题为：若x≥1，则x2﹣3x+2≤0，故选：A．5．【解答】解：根据题意，直线l：x+ay+1＝0与圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1相切，则有＝1，解可得：a＝﹣；故选：D．6．【解答】解：根据y与x的线性回归方程为＝0.67x﹣60.9，则b＝0.67＞0，y与x具有正的线性相关关系，A正确；回归直线过样本点的中心（），B正确；该高中某学生身高为170cm，则可预测其体重必为53kg，C错误；若该高中某学生身高增加1cm，则其体重约增加0.67kg，D正确．∴不正确的结论是C．故选：C．7．【解答】解：若方程+＝1为椭圆方程，则，解得：2＜m＜6，且m≠4，故“2＜m＜6”是“方程+＝1为椭圆方程”的必要不充分条件，故选：B．8．【解答】解：由茎叶图得：甲的数据相对分散，而乙的数据相对集中于茎叶图的右下方，∴＜，s 1＞s2．故选：C．9．【解答】解：初始值n＝3，x＝3，程序运行过程如下表所示：v＝1i＝2，v＝1×3+2＝5i＝1，v＝5×3+1＝16i＝0，v＝16×3+0＝48i＝﹣1，不满足条件，跳出循环，输出v的值为48．故选：C．10．【解答】解：设记7：30为0，则8：30记为60，设小华到达“思源广场”为x时刻，小明小华到达“思源广场”为y时刻，则0≤x≤60，0≤y≤60，记“两人能会面”为事件A，则事件A：|x﹣y|≤30，由图知：两人能会面的概率是：＝＝，故选：B．11．【解答】解：双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F（0，﹣6），可得，c＝＝6，a＝2，b＝4．双曲线方程为，设双曲线的上焦点为F'（0，6），则|PF|＝|PF'|+4，△P AF的周长为|PF|+|P A|+|AF|＝|PF'|+2a+|P A|+AF，当P点在第二象限时，|PF'|+|P A|的最小值为|AF'|＝7，故△P AF的周长的最小值为14+4＝18．故选：D．12．【解答】解：设BF＝m，由抛物线的定义知AA1＝5m，BB1＝m，∴△ABC中，AC＝4m，AB＝6m，kAB＝，直线AB方程为y＝（x﹣1），与抛物线方程联立消y得5x2﹣26x+5＝0，所以AB中点到准线距离为+1＝+1＝．故选：A．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：10011（2）＝1+1×2+1×24＝19故答案为：1914．【解答】解：双曲线x2﹣y2＝1，可得a＝1，b＝1，c＝，则右焦点（1，0）到它的渐近线y＝x的距离为d＝＝．故答案为：．15．【解答】解：∵命题“∃x0∈R，x+（a﹣1）x0+1＜0”是假命题，∴命题“∀x∈R，x2+（a﹣1）x+1≥0”是真命题，即对应的判别式△＝（a﹣1）2﹣4≤0，即（a﹣1）2≤4，∴﹣2≤a﹣1≤2，即﹣1≤a≤3，故答案为：[﹣1，3]．16．【解答】解：抛物线y2＝4cx的焦点为F2（c，0），如下图所示，作抛物线的准线l，则直线l过点F1，过点P作PE垂直于直线l，垂足为点E，由抛物线的定义知|PE|＝|PF2|，易知，PE∥x轴，则∠EPF1＝∠PF1F2，所以，＝，设|PF1|＝5t（t＞0），则|PF2|＝4t，由椭圆定义可知，2a＝|PF1|+|PF2|＝9t，在△PF1F2中，由余弦定理可得，整理得，解得，或．∵c＞b，则c2＞b2＝a2﹣c2，可得离心率．当时，离心率为，合乎题意；当时，离心率为，不合乎题意．综上所述，椭圆C的离心率为．故答案为：．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解答】解：（Ⅰ）若l1∥l2，直线l1：kx﹣2y+k﹣8＝0（k∈R），l2：2x+y+1＝0，则有＝≠，求得k＝﹣4，故直线l1即：2x+y+6＝0，故l1，l2间的距离为＝．（Ⅱ）证明：直线l1：kx﹣2y+k﹣8＝0（k∈R），即k（x+1）﹣2y﹣8＝0，必经过直线x+1＝0和直线﹣2y﹣8＝0的交点（﹣1，﹣4），而点（﹣1，﹣4）在第三象限，直线l1必过第三象限．18．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1，命题p：m2﹣2m﹣3＜0，﹣1＜m＜3，命题q：点（1，1）在圆x2+y2﹣2mx+2my+2m2﹣10＝0的内部，∴m2﹣4＜0，∴﹣2＜m＜2，∵p∧q为真，∴m的取值范围为（﹣1，3）∩（﹣2，2）＝（﹣1，2）；（Ⅱ）命题p：（m﹣3a）（m+a）＜0，∵a＞0，∴﹣a＜m＜3a，设A＝（﹣a，3a）命题q：﹣2＜m＜2，设B＝（﹣2，2）∵￢p是￢q的充分不必要条件，∴￢p⇒￢q，￢q推不出￢p，∴q⇒p，p推不出q，∴B⊊A，∴，∴a≥2，∴a的取值范围为[2，+∞）．19．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），B（x′，y′），则由题意可得：，解得：，∵点B在圆C1：x2+（y﹣4）2＝16上，∴（x′）2+（y′﹣4）2＝16，∴（2x﹣4）2+（2y﹣4）2＝16，即（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4．∴轨迹C2方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4；（Ⅱ）由方程组，解得直线CD的方程为x﹣y﹣1＝0，圆C1的圆心C1（0，4）到直线CD的距离为，圆C1的半径为4，∴线段CD的长为．20．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得：（a+a+6a+8a+3a+a）×20＝1，解得a＝0.0025．该校学生每天诵读诗词的时间的平均数为：0.05×10+0.05×30+0.3×50+0.4×70+0.15×90+0.05×110＝64．[0，60）的频率为：0.05+0.05+0.3＝0.4，[60，80）的频率为：0.4，∴估计该校学生每天诵读诗词的时间的中位数为：60+＝65．（Ⅱ）从每天诵读时间小于20分钟和大于或等于80分钟的所有学生中用分层抽样的方法抽取了5人，则从每天诵读时间小于20分钟的学生中抽取：5×＝1人，从每天诵读时间大于或等于80分钟的所有学生中抽取：5×＝4人，现从这5人中随机选取2人，基本事件总数n＝＝10，两个同学诵读诗词的时间x，y满足|x﹣y|＞60，则这两个同学组成一个“Team”，选取的两人能组成一个“Team”包含的基本事件个数m＝＝4．∴选取的两人能组成一个“Team”的概率p＝＝＝．21．【解答】解：（1）椭圆C的右顶点（a，0），上顶点（0，1），设直线l的方程为：+y＝1，化为：x+ay﹣a＝0，∵直线l与圆x2+y2＝相切，∴＝，a＞0，解得a＝．∴椭圆C的方程为．（2）当直线AB的斜率不存在时，设A（x0，y0），则B（x0，﹣y0），由k1+k2＝2得，得x0＝﹣1．当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y＝kx+m（m≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），，得，∴，即，由m≠1，（1﹣k）（m+1）＝﹣km⇒k＝m+1，即y＝kx+m＝（m+1）x+m⇒m（x+1）＝y﹣x，故直线AB过定点（﹣1，﹣1）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴l的直角坐标方程为+＝0，∵曲线C的极坐标方程为ρ2（1+sin2θ）＝2，即ρ2+ρ2sin2θ＝2，∴C的直角坐标方程为x2+y2+y2＝2，即＝1．（2）联立，得7x2+12x+4＝0，△＝144﹣4×7×4＝32＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣，x1x2＝，∴|AB|＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（Ⅰ）由|x﹣1|＞|2x﹣4|，得：x2﹣2x+1＞4x2﹣16x+16，解得：＜x＜3，故不等式的解集是（，3）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得不等式2f（x+1）+g（x）＜ax+1成立，即存在x∈R，使得2|x|+|2x﹣4|＜ax+1成立，当x＜0时，﹣4x+4＜ax+1即a＜﹣4在（﹣∞，0）上有解，故a＜﹣4，当x＝0时，4＜1不成立，当0＜x≤2时，4＜ax+1即a＞在（0，2]上有解，故a＞，当x＞2时，4x﹣4＜ax+1即a＞4﹣在（2，+∞）上有解，故a＞，综上，a＞或a＜﹣4．。
四川省广安市2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
四川省广安市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知空间直角坐标系中A(2,−1,−2)，B(3,2，1)，则|AB|=(( )A. √7B. √19C. √11D. √3【答案】B【解析】解：∵空间直角坐标系中A(2,−1,−2)，B(3,2，1)， ∴|AB|=√(2−3)2+(−1−2)2+(−2−1)2=√19． 故选：B ．利用两点间距离公式直接求解．本题考查两点间距离的求法，考查两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2. 直线x −√3y +1=0的倾斜角大小为( )A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘【答案】A【解析】解：由题意，直线的斜率为k =√33，即直线倾斜角的正切值是√33又倾斜角大于或等于0∘且小于180∘， 故直线的倾斜角为30∘， 故选：A ．先由直线的方程求出斜率，再根据倾斜角的正切值等于斜率，再结合倾斜角的范围求出倾斜角．本题以直线为载体，考查由直线的方程求直线的斜率，直线的斜率和倾斜角的关系，应注意直线倾斜角的范围．3. 以x =1为准线的抛物线的标准方程为( )A. y 2=2xB. y 2=−2xC. y 2=4xD. y 2=−4x【答案】D【解析】解：以x =1为准线的抛物线，开口向左，可得p =2， 所以抛物线的标准方程为：y 2=−4x ． 故选：D ．利用抛物线的准线方程，判断抛物线的开口方向，然后求解抛物线方程即可． 本题考查抛物线的简单性质的应用，标准方程的求法，是基本知识的考查．4. “若x <1，则x 2−3x +2>0”的否命题是( )A. 若x≥1，则x2−3x+2≤0B. 若x<l，则x2−3x+2≤0C. 若x≥1，则x2−3x+2>0D. 若x2−3x+2≤0，则x≥1【答案】A【解析】解：若p则q的否命题为若￢p则￢q，即命题的否命题为：若x≥1，则x2−3x+2≤0，故选：A．根据否命题的定义进行判断即可．本题主要考查四种命题之间的关系，根据否命题的定义由若p则q的否命题为若￢p则￢q进行判断即可．5.已知直线l：x+ay+1=0与圆N：(x−1)2+(y−1)2=1相切，则a为()A. −12B. 34C. 12D. −34【答案】D【解析】解：根据题意，直线l：x+ay+1=0与圆N：(x−1)2+(y−1)2=1相切，则有√1+a2=1，解可得：a=−34；故选：D．根据题意，由直线与圆相切的性质可得√1+a2=1，解可得a的值，即可得答案．本题考查直线与圆相切的性质，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题．6.设某高中的学生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i,y i)(i=1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y∧=0.67x−60.9，则下列结论中不正确的是()A. y与x具有正的线性相关关系B. 回归直线过样本点的中心(x,y)C. 若该高中某学生身高为170cm，则可断定其体重必为53kgD. 若该高中某学生身高增加1cm，则其体重约增加0.67kg【答案】C【解析】解：根据y与x的线性回归方程为y∧=0.67x−60.9，则b=0.67>0，y与x具有正的线性相关关系，A正确；回归直线过样本点的中心(x,y)，B正确；该高中某学生身高为170cm，则可预测其体重必为53kg，C错误；若该高中某学生身高增加1cm，则其体重约增加0.67kg，D正确．∴不正确的结论是C．故选：C．根据线性回归方程的意义，逐一判断四个选项得答案．本题考查了线性回归方程的意义与应用问题，是基础题．7. “2<m <6”是“方程x 2m−2+y 26−m =1为椭圆”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：若方程x 2m−2+y 26−m =1为椭圆方程， 则{m −2>06−m >0m −2≠6−m ，解得：2<m <6，且m ≠4， 故“2<m <6”是“方程x 2m−2+y 26−m=1为椭圆方程”的必要不充分条件，故选：B ． 求出方程x 2m−2+y 26−m =1为椭圆方程的充要条件，根据充分必要条件的定义判断即可．本题考查了充分必要条件，考查椭圆的定义，是一道基础题．8. 从甲、乙两种棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度(单位：mm)组成一个样本，得到如图所示的茎叶图.若甲、乙两种棉花纤维的平均长度分别用x 1，x 2表示，标准差分别用s 1，s 2表示，则( )A. x 1>x 2，s 1>s 2B. x 1>x 2，s 1<s 2C. x 1<x 2，s 1>s 2D. x 1<x 2，s 1<s 2【答案】C【解析】解：由茎叶图得：甲的数据相对分散，而乙的数据相对集中于茎叶图的右下方， ∴x 1<x 2，s 1>s 2． 故选：C ．由茎叶图得：甲的数据相对分散，而乙的数据相对集中于茎叶图的右下方，由此能求出结果． 本题考查平均数、标准差的求法，考查茎叶图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，3，则输出v 的值为( )A. 16B. 18C. 48D. 143【答案】C【解析】解：初始值n=3，x=3，程序运行过程如下表所示：v=1i=2，v=1×3+2=5i=1，v=5×3+1=16i=0，v=16×3+0=48i=−1，不满足条件，跳出循环，输出v的值为48．故选：C．由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，v的值，当i=−1时，不满足条件i≥0，跳出循环，输出v的值为48．本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的i，v的值是解题的关键，属于基础题．10.小华和小明两人约定在7：30到8：30之间在“思源广场”会面，并约定先到者等候另一人30分钟，过时离去，则两人能会面的概率是()A. 78B. 34C. 12D. 14【答案】B【解析】解：设记7：30为0，则8：30记为60，设小华到达“思源广场”为x时刻，小明小华到达“思源广场”为y时刻，则0≤x≤60，0≤y≤60，记“两人能会面”为事件A，则事件A：|x−y|≤30，由图知：两人能会面的概率是：多边形ACODFG的面积正方形OBGE的面积=3600−2×12×30×303600=34，故选：B．由几何概型中的面积型，不妨设记7：30为0，则8：30记为60，设小华到达“思源广场”为x 时刻，小明小华到达“思源广场”为y 时刻，则0≤x ≤60，0≤y ≤60，记“两人能会面”为事件A ，则事件A ：|x −y|≤30，再观察图象可得解． 本题考查了几何概型中的面积型，属简单题．11. 双曲线C 的渐近线方程为y =±√24x ，一个焦点为F(0,−6)，点A(−√13,0)，点P 为双曲线第二象限内的点，则当点P 的位置变化时，△PAF 周长的最小值为( )A. 16B. 7+3√13C. 14+√13D. 18【答案】D【解析】解：双曲线C 的渐近线方程为y =±√24x ，一个焦点为F(0,−6)，可得a 2b 2=216，c =√a 2+b 2=6，a =2，b =4√2． 双曲线方程为y 24−x 232=1，设双曲线的上焦点为，则，△PAF 的周长为，当P 点在第二象限时，的最小值为，故△PAF 的周长的最小值为14+4=18．故选：D ．利用已知条件求出a ，b 求出双曲线方程，利用双曲线的定义转化求解三角形的最小值即可． 本题考查双曲线定义的相关知识，双曲线的性质的应用．12. 已知A ，B 是以F 为焦点的抛物线y 2=4x 上两点，且满足AF⃗⃗⃗⃗⃗ =5FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则弦AB 中点到准线距离为( ) A. 185B. 165 C. 145 D. 125【答案】A【解析】解：设BF =m ，由抛物线的定义知 AA 1=5m ，BB 1=m ，∴△ABC 中，AC =4m ，AB =6m ，kAB =√52，直线AB 方程为y =√52(x −1)，与抛物线方程联立消y 得5x 2−26x +5=0， 所以AB 中点到准线距离为 x 1+x 22+1=135+1=185．故选：A ．设BF =m ，由抛物线的定义知AA 1和BB 1，进而可推断出AC 和AB ，及直线AB 的斜率，则直线AB 的方程可得，与抛物线方程联立消去y ，进而跟韦达定理求得x 1+x 2的值，则根据抛物线的定义求得弦AB 的中点到准线的距离．本题主要考查了抛物线的简单性质.考查了直线与抛物线的关系及焦点弦的问题.常需要利用抛物线的定义来解决．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.把二进制数10011(2)转化为十进制的数为______．【答案】19【解析】解：10011(2)=1+1×2+1×24=19故答案为：19本题的考查点为二进制与十进制数之间的转换，只要我们根据二进制转换为十进制方法逐位进行转换，即可得到答案．二进制转换为十进制方法：按权相加法，即将二进制每位上的数乘以权(即该数位上的1表示2的多少次方)，然后相加之和即是十进制数.大家在做二进制转换成十进制需要注意的是：(1)要知道二进制每位的权值；(2)要能求出每位的值14.已知双曲线x2−y2=1，则它的右焦点到它的渐近线的距离是______．【答案】√22【解析】解：双曲线x2−y2=1，可得a=1，b=1，c=√2，则右焦点(1,0)到它的渐近线y=x的距离为d=√2=√22．故答案为：√22．将双曲线的方程化为标准方程，可得a，b，c的值，渐近线方程，运用点到直线的距离公式，计算即可得到所求值．本题考查双曲线的焦点到渐近线的距离，注意运用点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．15.若命题“∃x0∈R，x02+(a−1)x0+1<0”是假命题，则实数a的取值范围为______．【答案】[−1,3]【解析】解：∵命题“∃x0∈R，x 02+(a−1)x0+1<0”是假命题，∴命题“∀x∈R，x2+(a−1)x+1≥0”是真命题，即对应的判别式△=(a−1)2−4≤0，即(a−1)2≤4，∴−2≤a−1≤2，即−1≤a≤3，故答案为：[−1,3]．根据特称命题为假命题，则对应的全称命题为真命题，利用不等式恒成立即可求解a的取值范围．本题主要考查含有量词的命题的应用，以及不等式恒成立问题，比较基础．16.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2，抛物线y2=4cx(c2=a2−b2且c>b)与椭圆C在第一象限的交点为P，若cos∠PF1F2=45，则椭圆C的离心率为______．【答案】4+√79【解析】解：抛物线y2=4cx的焦点为F2(c,0)，如下图所示，作抛物线的准线l，则直线l过点F1，过点P作PE垂直于直线l，垂足为点E，由抛物线的定义知|PE|=|PF2|，易知，PE//x轴，则∠EPF1=∠PF1F2，所以，cos∠EPF1=cos∠PF1F2=|PE||PF1|=|PF2||PF1|=45，设|PF1|=5t(t>0)，则|PF2|=4t，由椭圆定义可知，2a=|PF1|+|PF2|=9t，在△PF1F2中，由余弦定理可得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2−2|PF2|⋅|F1F2|cos∠PF1F2，整理得|F1F2|2−8t|F1F2|+9t2=0，解得|F1F2|=(4+√7)t，或|F1F2|=(4−√7)t．∵c>b，则c2>b2=a2−c2，可得离心率e>√22．当2c=|F1F2|=(4+√7)t时，离心率为e=2c2a =4+√79>√22，合乎题意；当2c=|F1F2|=(4−√7)t时，离心率为e=2c2a =4−√79<√22，不合乎题意．综上所述，椭圆C的离心率为4+√79．故答案为：4+√79．作PE垂直于抛物线的准线l于点E，由抛物线的定义得出cos∠EPF1=|PE||PF1|=|PF2||PF1|=45，并设|PF1|=5t(t>0)，则|PF2|=4t，由椭圆定义可得出2a，在△PF1F2中利用余弦定理可求出2c的值，再由c>b得出离心率e>√22，从而对2c的值分类讨论，可得出椭圆C的离心率的值．本题考查椭圆的性质，考查抛物线的定义以及余弦定理，考查计算能力与推理能力，属于中等题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知直线l1：kx−2y+k−8=0(k∈R)，l2：2x+y+1=0．(Ⅰ)若l1//l2，求l1，l2间的距离；(Ⅱ)求证：直线l1必过第三象限．【答案】解：(Ⅰ)若l1//l2，直线l1：kx−2y+k−8=0(k∈R)，l2：2x+y+1=0，则有k2=−21≠k−81，求得k=−4，故直线l1即：2x+y+6=0，故l 1，l 2间的距离为|6−1|√5=√5．(Ⅱ)证明：直线l 1：kx −2y +k −8=0(k ∈R)，即k(x +1)−2y −8=0， 必经过直线x +1=0和直线−2y −8=0的交点(−1,−4)，而点(−1,−4)在第三象限， 直线l 1必过第三象限．【解析】(Ⅰ)由l 1//l 2求得k 的值，再利用两条平行直线间的距离公式求得l 1，l 2间的距离．(Ⅱ)在直线方程中，分离参数，再令参数的系数等于零，求得x 、y 的值，可得直线经过定点的坐标，再根据此定点在第三象限，得出结论．本题主要考查两条平行直线间的距离公式 应用，注意未知数的系数必需相同，还考查了直线经过定点问题，属于基础题．18. 已知命题p ：实数m 满m 2−2am −3a 2<0，其中a >0；命题q ：点(1,1)在圆x 2+y 2−2mx +2my +2m 2−10=0的内部．(Ⅰ)当a =1，p ∧q 为真时，求m 的取值范围； (Ⅱ)若￢p 是￢q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)当a =1，命题p ：m 2−2m −3<0，−1<m <3， 命题q ：点(1,1)在圆x 2+y 2−2mx +2my +2m 2−10=0的内部， ∴m 2−4<0，∴−2<m <2，∵p ∧q 为真， ∴m 的取值范围为(−1,3)∩(−2,2)=(−1,2)； (Ⅱ)命题p ：(m −3a)(m +a)<0， ∵a >0，∴−a <m <3a ，设A =(−a,3a) 命题q ：−2<m <2，设B =(−2,2) ∵￢p 是￢q 的充分不必要条件， ∴￢p ⇒￢q ，￢q 推不出￢p ， ∴q ⇒p ，p 推不出q ，∴B ⊊A ，∴{3a ≥2−a≤−2，∴a ≥2， ∴a 的取值范围为[2,+∞)．【解析】(Ⅰ)当a =1，命题p ：−1<m <3，命题q ：−2<m <2，由p ∧q 为真，取交集即可；(Ⅱ)命题p ：−a <m <3a ，设A =(−a,3a)，命题q ：−2<m <2，设B =(−2,2)由题意得B ⊊A ，得{3a ≥2−a≤−2， 得a ≥2．本题考查了简易逻辑的判定、一元二次不等式的解法，考查了推理能力，属于基础题．19. 已知线段AB 的端点B 在圆C 1：x 2+(y −4)2=16上运动，端点A 的坐标为(4,0)，线段AB 中点为M ，(Ⅰ)试求M 点的轨迹C 2方程；(Ⅱ)若圆C 1与曲线C 2交于C ，D 两点，试求线段CD 的长． 【答案】解：(Ⅰ)设M(x,y)，B(x′,y′)， 则由题意可得：{x =x ′+42y =y ′2，解得：，∵点B 在圆C 1：x 2+(y −4)2=16上，∴(x′)2+(y′−4)2=16，∴(2x −4)2+(2y −4)2=16，即(x −2)2+(y −2)2=4． ∴轨迹C 2方程为(x −2)2+(y −2)2=4；(Ⅱ)由方程组{x 2+(y −4)2=16(x−2)2+(y−2)2=4，解得直线CD 的方程为x −y −1=0，圆C 1 的圆心C 1(0,4)到直线CD 的距离为d =|−4−1|√2=5√22， 圆C 1 的半径为4，∴线段CD 的长为|CD|=2√42−(5√22)2=√14．【解析】(Ⅰ)设出M 和B 的坐标，由中点坐标公式把B 的坐标用m 的坐标表示，代入圆C 1的方程得答案； (Ⅱ)求出圆C 1的圆心坐标和半径，求出圆心到直线CD 的距离利用勾股定理得答案．本题考查了代入法求圆的方程，考查了直线和圆的关系，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题．20. 随着2018年央视大型文化节目《经典咏流传》的热播，在全民中掀起了诵读诗词的热潮广安某社团调查了广安某校300名学生每天诵读诗词的时间(所有学生诵读时间都在两小时内，并按时间(单位：分钟)将学生分成六个组：[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100)，[100,120]经统计得到了如图所示的频率分布直方图．(Ⅰ)求频率分布直方图中a 的值，并估计该校学生每天诵读诗词的时间的平均数和中位数．(Ⅱ)若两个同学诵读诗词的时间x ，y 满足|x −y|>60，则这两个同学组成一个“Team ”，已知从每天诵读时间小于20分钟和大于或等于80分钟的所有学生中用分层抽样的方法抽取了5人，现从这5人中随机选取2人，求选取的两人能组成一个“Team ”的概率．【答案】解：(Ⅰ)由频率分布直方图得： (a +a +6a +8a +3a +a)×20=1， 解得a =0.0025．该校学生每天诵读诗词的时间的平均数为：0.05×10+0.05×30+0.3×50+0.4×70+0.15×90+0.05×110=64． [0,60)的频率为：0.05+0.05+0.3=0.4， [60,80)的频率为：0.4，∴估计该校学生每天诵读诗词的时间的中位数为： 60+0.5−0.40.4×20=65．(Ⅱ)从每天诵读时间小于20分钟和大于或等于80分钟的所有学生中用分层抽样的方法抽取了5人，则从每天诵读时间小于20分钟的学生中抽取：5×0.050.05+0.2=1人，从每天诵读时间大于或等于80分钟的所有学生中抽取：5×0.20.05+0.2=4人，现从这5人中随机选取2人，基本事件总数n=C52=10，两个同学诵读诗词的时间x，y满足|x−y|>60，则这两个同学组成一个“Team”，选取的两人能组成一个“Team”包含的基本事件个数m=C11C41=4．∴选取的两人能组成一个“Team”的概率p=mn =410=25．【解析】(Ⅰ)由频率分布直方图的性质能求出a，由此能估计该校学生每天诵读诗词的时间的平均数和中位数．(Ⅱ)从每天诵读时间小于20分钟和大于或等于80分钟的所有学生中用分层抽样的方法抽取了5人，则从每天诵读时间小于20分钟的学生中抽取1人，从每天诵读时间大于或等于80分钟的所有学生中抽取4人，现从这5人中随机选取2人，基本事件总数n=C52=10，选取的两人能组成一个“Team”包含的基本事件个数m= C11C41=4.由此能求出选取的两人能组成一个“Team”的概率．本题考查频率分布直方图、平均数、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.已知椭圆C：x2a2+y2=1(a>0)，过椭圆C右顶点和上顶点的直线l与圆x2+y2=23相切．(1)求椭圆C的方程；(2)设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=2，证明：直线AB过定点．【答案】解：(1)椭圆C的右顶点(a,0)，上顶点(0,1)，设直线l的方程为：xa+y=1，化为：x+ay−a=0，∵直线l与圆x2+y2=23相切，∴√1+a2=√23，a>0，解得a=√2．∴椭圆C的方程为x22+y2=1．(2)当直线AB的斜率不存在时，设A(x0,y0)，则B(x0,−y0)，由k1+k2=2得y0−1x0+−y0−1x0=2，得x0=−1．当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=kx+m(m≠1)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，{x22+y2=1y=kx+m⇒(1+2k2)x2+4kmx+2m2−2=0，得x1+x2=−4km1+2k2,x1⋅x2=2m2−21+2k2，∴k1+k2=2⇒y1−1x1+y2−1x2=2⇒(kx2+m−1)x1+(kx1+m−1)x2x1x2=2，即(2−2k)x2x1=(m−1)(x2+x1)⇒(2−2k)(2m2−2)=(m−1)(−4km)，由m≠1，(1−k)(m+1)=−km⇒k=m+1，即y =kx +m =(m +1)x +m ⇒m(x +1)=y −x ，故直线AB 过定点(−1,−1)．【解析】(1)椭圆C 的右顶点(a,0)，上顶点(0,1)，设直线l 的方程为：x a +y =1，化为：x +ay −a =0，由于直线l 与圆x 2+y 2=23相切，可得√1+a 2=√23，a >0，解得a ，即可得出椭圆C 的方程． (2)对直线AB 的斜率分类讨论：当直线AB 的斜率不存在时，利用k 1+k 2=2，及其斜率计算公式即可得出.当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y =kx +m(m ≠1)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线方程与椭圆方程联立化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、直线与圆相切的性质、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、点到直线的距离公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−1+12t y =√32t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2(1+sin 2θ)=2．(Ⅰ)求l 的直角坐标方程和C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若l 和C 相交于A ，B 两点，求|AB|的值．【答案】解：(1)∵直线l 的参数方程为{x =−1+12t y =√32t (t 为参数)， ∴l 的直角坐标方程为√3x −y +√3=0，∵曲线C 的极坐标方程为ρ2(1+sin 2θ)=2，即ρ2+ρ2sin 2θ=2，∴C 的直角坐标方程为x 2+y 2+y 2=2，即x 22+y 2=1． (2)联立{√3x −y +√3=0x 22+y 2=1，得7x 2+12x +4=0， △=144−4×7×4=32>0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−127，x 1x 2=47，∴|AB|=√(1+3)[(−127)2−4×47]=8√27． 【解析】(1)直线l 的参数方程消去参数，能求出l 的直角坐标方程；曲线C 的极坐标方程转化为ρ2+ρ2sin 2θ=2，由此能求出C 的直角坐标方程． (2)联立{√3x −y +√3=0x 22+y 2=1，得7x 2+12x +4=0，利用韦达定理、弦长公式能求出|AB|． 本题考查直线的直角坐标方程、曲线的直角坐标方程、弦长的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23. 设函数f(x)=|x −1|，g(x)=|2x −4|．(Ⅰ)求不等式f(x)>g(x)的解集．(Ⅱ)若存在x ∈R ，使得不等式2f(x +1)+g(x)<ax +1成立，求实数a 的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)由|x−1|>|2x−4|，得：x2−2x+1>4x2−16x+16，<x<3，解得：53,3)；故不等式的解集是(53(Ⅱ)若存在x∈R，使得不等式2f(x+1)+g(x)<ax+1成立，即存在x∈R，使得2|x|+|2x−4|<ax+1成立，−4在(−∞,0)上有解，当x<0时，−4x+4<ax+1即a<3x故a<−4，当x=0时，4<1不成立，在(0,2]上有解，当0<x≤2时，4<ax+1即a>3x，故a>32在(2,+∞)上有解，当x>2时，4x−4<ax+1即a>4−5x，故a>32或a<−4．综上，a>32【解析】(Ⅰ)两边平方求出不等式的解集即可；(Ⅱ)通过讨论x的范围，去掉绝对值，分离参数a，结合x的范围从而求出a的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。
2025届四川省广安市广安中学高二数学第一学期期末统考模拟试题含解析
( yi yˆi )2
来刻画回归的效果，相关指数 R2 的计算公式为： R2
1
i 1 n
( yi y)2
i 1
当 R2 越大时，回归方程的拟合效果越好；当 R2 越小时，回归方程的拟合效果越差，R2 是常用的选择模型的指标之一，
在实际应用中应该尽量选择 R2 较大的回归模型.
【阅读材料 2】
（2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，直线 l 与曲线 C 交于 A ，B 两点，直线 l 与 l 的交点为 P（P 不在曲线 C 上），
且 PA PB PA PB ，设直线 l， l 的斜率分别为 k， k .求证： k k 为定值.
19．（12 分）已知某中学高二物化生组合学生的数学与物理的水平测试成绩抽样统计如下表：
5、D
【解析】设
A( x1 ,
y1
)
、
B(
x2
,
y2
)
，所以
x12 a2
x22
a2
y12 b2
y22 b2
1 ，运用点差法，所以直线
1
AB 的斜率为 k
b2 a2
，设直线方程为
y
b2 a2
(x 3) ，联立直线与椭圆的方程 (a2
b2)x2
6b2 x 9b2
a4
0 ，所以 x1
大的顺序排列成数列，则此数列的第 4 项为（ ）
A.16
B.17
C.18
D. 22
12．命题“存在 x 1,0， x2 x 1 0 ”的否定是（）
A.存在 x 1,0， x2 x 1 0
B.存在 x 1,0， x2 x 1 0
C.对任意 x 1,0， x2 x 1 0
四川省广安市2020-2021学年高二上学期期末考试数学理科试题含答案
秘密★启用前广安市2020年秋高二期末试题数学（理科）注意事项：1.本试卷满分为150分,考试时间为120分钟。
2. 本试卷分为试题卷（1-4页）和答题卡两部分，试题卷上不答题。
请将选择题和非选择题的答案答在答题卡的相应位置。
考试结束，只交答题卡。
第I 卷（选择题,共60分)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若:,sin 1p x R x ∀∈≤,则p ⌝（ ） A ．,sin 1x R x ∀∈> B ．00,sin 1x R x ∃∈> C ．,sin 1x R x ∀∈≥D ．00,sin 1x R x ∃∈≥2.直线310l y -+=的倾斜角为（ ） A ．0 B ．6π C ．4π D ． 3π 3.ABC ∆ 的周长是()()8,1,010,,B C -,则顶点A 的轨迹方程是（ ）A ．()221398x y x +=≠ B ．()221098x y x +=≠ C ．()221043x y y +=≠ D ．()221034x y y +=≠ 4.“2a =”是“直线22x ay +=与直线21ax y +=平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5.如图所示，执行如图的程序框图，输出的S 值是（ ）A ．1B ．10C ．19D ．286.已知圆221:460C x y y +--+=,222:60C x y y +-=,则两圆的位置关系为（ ） A ．相离 B ．外切 C ．相交 D ．内切7.甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，1x ,2x 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数,1S ,2S ,分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差,则（ ）A ．1212,x x S S ><B ．1212,x x S S =<C ．1212,x x S S =>D ．1212,x x S S <>8. 已知12,F F 分别为双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左焦点和右焦点，过2F 的直线l 与双曲线的右支交于,A B 两点,12AF F ∆的内切圆半径为1r ,12BF F ∆的内切圆半径为2r ，若122r r =，则直线l 的斜率为（ ）A ．1BC ．D ．29. 用秦九韶算法计算多项式()7654322236558f x x x x x x x x =++++--+当2x =时的值，其中3v 的值为（ ）A ．15B ．36C ．41D ．7710.已知斜率为2的直线l 过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F ，直线l 与抛物线交于,A B 两点，若线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则p =（ ）A ．1BC ．2D ．411.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛。
四川省广安市烈面中学高二数学理上学期期末试卷含解析
四川省广安市烈面中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 数据5，7，7，8，10，11的标准差是（）A．8 B．4 C．2 D．1参考答案：C2. 有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为在处的导数值，所以是函数的极值点.以上推理中（）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 结论正确参考答案：A3. 执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】循环结构．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，s的值，当k=8时不满足条件k＜8，退出循环，输出s的值为．【解答】解：模拟执行程序框图，可得s=0，k=0满足条件k＜8，k=2，s=满足条件k＜8，k=4，s=+满足条件k＜8，k=6，s=++满足条件k＜8，k=8，s=+++=不满足条件k＜8，退出循环，输出s的值为．故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．4. 在△ABC中，a=3，，A=60°，则cosB=（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】由已知及正弦定理可得：sinB==，由a＞b，可得B为锐角，利用同角三角函数基本关系式即可求得cosB的值．【解答】解：∵a=3，，A=60°，∴由正弦定理可得：sinB===，∵a＞b，B为锐角，∴cosB==．故选：D．【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．5. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）。
A.假设三内角都不大于60度；B.假设三内角都大于60度；C.假设三内角至多有一个大于60度；D.假设三内角至多有两个大于60度。