高中数学 第五章§5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示
第五章 §5.1 平面向量的概念及线性运算-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版
§5.1平面向量的概念及线性运算课标要求1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．知识梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或称模)．(2)零向量：长度为0的向量，记作0．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a ＋b ＝b ＋a ；结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法a －b ＝a ＋(－b )数乘|λa |＝|λ||a |，当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .常用结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2—→＋A 2A 3—→＋A 3A 4—→＋…＋A n －1A n ———→＝A 1A n —→，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．在△ABC 中，D 为BC 的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)．3．在△ABC 中，点P 满足PA →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心，AP →＝13(AB →＋AC →)．4．对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b .(×)(2)单位向量都相等．(×)(3)任一非零向量都可以平行移动．(√)(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．(√)2．下列命题正确的是()A ．零向量是唯一没有方向的向量B ．若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－bC ．向量AB →与BA →是平行向量D ．平行向量不一定是共线向量答案C解析A 项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 错误；B 项，|a |＝|b |说明a ，b 的长度相等，不能判断它们的方向，故B 错误；C 项，向量AB →与BA →方向相反，是平行向量，故C 正确；D 项，平行向量就是共线向量，故D 错误．3．(必修第二册P10T4改编)(多选)下列各式化简结果正确的是()A.AB →＋AC →＝BC→B.AM →＋MB →＋BO →＋OM →＝AM →C.AB →＋BC →－AC →＝0D.AB →－AD →－DC →＝BC →答案BC4．(必修第二册P16T3改编)已知e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，MN →＝2e 1－3e 2，NP →＝λe 1＋6e 2，若M ，N ，P 三点共线，则λ＝________.答案－4解析因为M ，N ，P 三点共线，所以存在实数k 使得MN →＝kNP →，即2e 1－3e 2＝k (λe 1＋6e 2)，又e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，＝kλ，3＝6k ，解得λ＝－4.题型一平面向量的基本概念例1(1)(多选)下列说法正确的是()A ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝cB ．若四边形ABCD 满足AB →＝DC →，则四边形ABCD 是平行四边形C ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cD ．与非零向量a 共线的单位向量为±a |a |答案ABD解析对于A ，由相等向量的定义知，A 正确；对于B ，因为AB →＝DC →，所以AB ∥DC 且AB ＝DC ，则四边形ABCD 是平行四边形，故B 正确；对于C ，若b ＝0，则由a ∥b ，b ∥c ，无法得到a ∥c ，故C 错误；对于D ，由单位向量和共线向量定义可知与非零向量a 共线的单位向量为±a|a |，故D 正确．(2)如图，在等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则下列等式中成立的是()A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF→答案D解析方法一(排除法)AD →，BC →不共线，AC →，BD →不共线，故A ，B 错误；PE →，PF →方向相反，C 错误；故选D.方法二在等腰梯形ABCD 中，AD →，BC →不平行，AC →，BD →不平行，故A ，B 错误；∵AB ∥CD ，∴PD PB ＝CD AB ＝PC PA，∴PB PD ＝PAPC ，则PB ＋PD PD ＝PA ＋PC PC ，即BD PD ＝AC PC ，即PD BD ＝PC AC ，∵EF ∥AB ，∴PE AB ＝PD BD ＝PC AC ＝PF AB，∴PE ＝PF ，即P 为EF 的中点，∴EP →＝PF →，故C 错误，D 正确．思维升华平行向量有关概念的四个关注点(1)非零向量的平行具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．(4)a|a |是与非零向量a 同方向的单位向量．跟踪训练1(1)(多选)下列关于向量的说法正确的是()A ．若|a |＝0，则a ＝0B ．若向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在同一条直线上C ．对于任意向量a ，b ，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |D ．若a ∥b ，则存在唯一实数λ，使a ＝λb 答案AC解析对于A ，若|a |＝0，则a ＝0，故A 正确；对于B ，若向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，故B 错误；对于C ，若a ，b 方向相同，则|a ＋b |＝|a |＋|b |，若a ，b 方向相反，则|a ＋b |<|a |＋|b |，若a ，b 不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边可知|a ＋b |<|a |＋|b |.综上可知对于任意向量a ，b ，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |，故C 正确；对于D ，若a ≠0，b ＝0，则a ∥b ，此时不存在实数λ，使a ＝λb ，故D 错误．(2)(多选)如图所示，四边形ABCD ，CEFG ，CGHD 是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是()A ．|AB →|＝|EF →|B.AB →与FH →共线C.BD →与EH →共线D.CD →＝FG →答案ABD解析由四边形ABCD ，CEFG ，CGHD 是全等的菱形，知|AB →|＝|EF →|，即A 正确；由图形可知AB →与FH →的方向相反，CD →与FG →的方向相同且长度相等，即AB →与FH →共线，CD →＝FG →，故B ，D 正确；而∠BDE 与∠DEH 不一定相等，BD →与EH →不一定共线，故C 错误．题型二平面向量的线性运算命题点1向量加、减法的几何意义例2若|AB →|＝7，|AC →|＝4，则|BC →|的取值范围是()A ．[3,7]B ．(3,7)C ．[3,11]D ．(3,11)答案C解析由题意知|AB →|＝7，|AC →|＝4，且|BC →|＝|AC →－AB →|，当AC →，AB →同向时，|BC →|取得最小值，|BC →|＝|AC →－AB →|＝||AC →|－|AB →||＝|4－7|＝3；当AC →，AB →反向时，|BC →|取得最大值，|BC →|＝|AC →－AB →|＝||AC →|＋|AB →||＝|4＋7|＝11；当AC →，AB →不共线时，3＝||AC →|－|AB →||<|BC →|<||AC →|＋|AB →||＝11，故|BC →|的取值范围是[3,11]．命题点2向量的线性运算例3(2022·新高考全国Ⅰ)在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD ＝2DA .记CA →＝m ，CD →＝n ，则CB →等于()A ．3m －2nB ．－2m ＋3nC ．3m ＋2nD ．2m ＋3n答案B解析因为BD ＝2DA ，所以AB →＝3AD →，所以CB →＝CA →＋AB →＝CA →＋3AD →＝CA →＋3(CD →－CA →)＝－2CA →＋3CD →＝－2m ＋3n .命题点3根据向量线性运算求参数例4(2024·安阳模拟)已知矩形ABCD 的对角线交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2－μ2等于()A ．－12B.79C.3－222D.1＋22答案A 解析如图，在矩形ABCD 中，DO →＝12(DA →＋DC →)，在△DAO 中，DE →＝12(DA →＋DO →)，∴DE →＋12DA →＋12DC ＝34DA →＋14DC →＝14AB →－34AD →，∴λ＝14，μ＝－34，∴λ2－μ2＝116－916＝－12.思维升华平面向量线性运算的解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义．(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来进行比较，求参数的值．跟踪训练2(1)如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是OD 的中点，AE 的延长线交CD 于点F .若AB →＝a ，AD →＝b ，则AF →等于()A.14a ＋b B.13a ＋b C.14a ＋13b D.13a ＋13b 答案B解析在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是OD 的中点，AE 的延长线交CD于点F ，则△DEF ∽△BEA ，所以DF BA ＝DE BE ＝13，则DF BA ＝DF DC ＝13，所以DF →＝13DC →＝13AB →，则AF →＝AD →＋DF →＝13AB →＋AD →＝13a ＋b .(2)(2023·聊城模拟)M 是△ABC 内的一点，若BM →＝13BA →＋λBC →，AM →＝12AB →＋μAC →，则λ＋μ等于()A.76B ．1 C.56D.13答案D解析由AM →－BM →＝AB →，得AB →＝12AB →＋μAC →－13BA →－λBC →，所以16AB →＝μAC →－λBC →，即AB →＝6μAC →－6λBC →＝6μAC →＋6λCB →，又AB →＝AC →＋CB →，故μ＝λ＝16，故λ＋μ＝13.题型三共线定理及其应用例5(1)(2023·徐州模拟)已知向量a ，b 不共线，向量8a －k b 与－k a ＋b 共线，则k ＝________.答案±22解析因为向量a ，b 不共线，向量8a －k b 与－k a ＋b 共线，所以8a －k b ＝t (－k a ＋b )＝－kt a ＋t b ，t ∈R ，＝－kt ，k ＝t ，解得k ＝±2 2.(2)已知△ABC 的重心为G ，经过点G 的直线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若AD →＝λAB →，AE →＝μAC →，则1λ＋1μ＝________.答案3解析如图，延长AG 交BC 于点F ，则F 为BC 的中点，AG →＝23AF →＝13(AB →＋AC →)，又AB →＝1λAD →，AC →＝1μAE →，∴AG →＝13λAD →＋13μAE →，又G ，D ，E 三点共线，∴13λ＋13μ＝1，即1λ＋1μ＝3.思维升华利用向量共线定理解题的策略(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)是判断两个向量共线的主要依据．(2)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(3)已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则A ，P ，B 三点共线的充要条件是m ＋n ＝1.跟踪训练3(1)(2023·绵阳模拟)已知平面向量a ，b 不共线，AB →＝4a ＋6b ，BC →＝－a ＋3b ，CD →＝a ＋3b ，则()A ．A ，B ，D 三点共线B ．A ，B ，C 三点共线C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，C ，D 三点共线答案D解析对于A ，BD →＝BC →＋CD →＝－a ＋3b ＋(a ＋3b )＝6b ，则AB →，BD →不共线，故A 不正确；对于B ，AB →与BC →不共线，故B 不正确；对于C ，BC →与CD →不共线，故C 不正确；对于D ，AC →＝AB →＋BC →＝4a ＋6b ＋(－a ＋3b )＝3a ＋9b ＝3CD →，即AC →∥CD →，又AC →与CD →有公共点C ，则A ，C ，D 三点共线，故D 正确．(2)如图，在△ABC 中，AN →＝12NC →，P 是BN 的中点，若AP →＝mAB →＋14AC →，则实数m 的值是________．答案14解析因为AN →＝12NC →，所以AC →＝3AN →，因为AP →＝mAB →＋14AC →＝mAB →＋34AN →，且B ，P ，N 三点共线，所以m ＋34＝1，所以m ＝14.课时精练一、单项选择题1．(2023·广州模拟)如图，在正六边形ABCDEF 中，AF →－ED →＋EF →＋2AB →等于()A ．0 B.AB →C.AD → D.CF→答案A解析因为六边形ABCDEF 为正六边形，所以AF →－ED →＋EF →＋2AB →＝CD →＋DE →＋EF →＋2AB →＝CF →＋2AB →＝0．2.如图，e 1，e 2为互相垂直的单位向量，向量a ＋b ＋c 可表示为()A ．2e 1－3e 2B ．3e 1－2e 2C ．2e 1＋3e 2D ．3e 1＋2e 2答案D解析由题意得a ＝e 1＋2e 2，b ＝e 1－2e 2，c ＝e 1＋2e 2，所以a ＋b ＋c ＝e 1＋2e 2＋e 1－2e 2＋e 1＋2e 2＝3e 1＋2e 2.3．若a ，b 为非零向量，则“a |a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析依题意，“a |a |＝b|b |”表示与a ，b 同向的单位向量是相等向量，能推出“a ，b 共线”，所以充分性成立；“a ，b 共线”可能同向共线、也可能反向共线，所以“a ，b 共线”不能推出“a |a |＝b|b |”，所以必要性不成立．4．(2024·银川模拟)已知向量a ，b 不共线，且c ＝x a ＋b ，d ＝a ＋(2x －1)b ，若c 与d 方向相反，则实数x 的值为()A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12答案B 解析因为c 与d 方向相反，所以存在k ∈R ，使得d ＝k c ，且k <0，即a ＋(2x －1)b ＝kx a ＋k b ，因为向量a ，b ＝1，＝2x －1，整理可得x (2x －1)＝1，即2x 2－x －1＝0，解得x ＝－12或x ＝1.又k <0，所以x <0，故x ＝－12.5．已知O ，A ，B 三点不共线，点P 为该平面内一点，且OP →＝OA →＋AB →|AB →|，则()A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的延长线上C ．点P 在线段AB 的反向延长线上D ．点P 在射线AB 上答案D 解析由OP →＝OA →＋AB →|AB →|，得OP →－OA →＝AB →|AB →|，所以AP →＝1|AB →|·AB →，所以点P 在射线AB 上．6.如图所示，△ABC 内有一点G 满足GA →＋GB →＋GC →＝0，过点G 作一直线分别交AB ，AC 于点D ，E .若AD →＝xAB →，AE →＝yAC →(xy ≠0)，则1x ＋1y等于()A ．4B ．3C ．2D ．1答案B 解析因为GA →＋GB →＋GC →＝0，所以G 为△ABC 的重心，所以AG →＝13(AB →＋AC →)＝tAD →＋(1－t )AE →＝txAB →＋(1－t )yAC →，所以tx ＝13，(1－t )y ＝13，所以1x ＋1y＝3t ＋3(1－t )＝3.二、多项选择题7．下列各式中能化简为AD →的是()A ．－(CB →＋MC →)－(DA →＋BM →)B ．－BM →－DA →＋MB→C ．(AB →－DC →)－CB→D.AD →－(CD →＋DC →)答案ACD 解析对于A ，－(CB →＋MC →)－(DA →＋BM →)＝－(CB →＋MC →＋DA →＋BM →)＝－(CB →＋BM →＋MC →＋DA →)＝－DA →＝AD →，故A 正确；对于B ，－BM →－DA →＋MB →＝MB →－DA →＋MB →＝AD →＋2MB →，故B 错误；对于C ，(AB →－DC →)－CB →＝AB →－DC →－CB →＝AB →＋CD →＋BC →＝AD →，故C 正确；对于D ，AD →－(CD →＋DC →)＝AD →－0＝AD →，故D 正确．8.如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，且BC→＝3EC →，F 为AE 的中点，则()A.BC →＝－12AB →＋AD →B.AF →＝13AB →＋13AD →C.BF →＝－23AB →＋13AD →D.CF →＝16AB →－23AD →答案ABC 解析∵AB ∥CD ，AB ＝2DC ，∴BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝－12AB →＋AD →，故A 正确；∵BC →＝3EC →，∴BE →＝23BC →＝－13AB →＋23AD →，∴AE →＝AB →＋BE →＝AB →－13AB →＋23AD ＝23AB →＋23AD →，又F 为AE 的中点，∴AF →＝12AE →＝13AB →＋13AD →，故B 正确；∴BF →＝BA →＋AF →＝－AB →＋13AB →＋13AD →＝－23AB →＋13AD →，故C 正确；∴CF →＝CB →＋BF →＝BF →－BC →＝－23AB →＋13AD →－12AB →＋＝－16AB →－23AD →，故D 错误．三、填空题9．已知在四边形ABCD 中，AB →＝12DC →，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 的形状是________．答案等腰梯形解析由AB →＝12DC →，可得AB ∥CD 且AB ＝12DC ，所以四边形ABCD 是梯形，又因为|AD →|＝|BC →|，所以梯形ABCD 的两个腰相等，所以四边形ABCD 是等腰梯形．10．(2023·徐州模拟)已知单位向量e 1，e 2，…，e 2024，则|e 1＋e 2＋…＋e 2024|的最大值是________，最小值是________．答案20240解析当单位向量e 1，e 2，…，e 2024方向相同时，|e 1＋e 2＋…＋e 2024|取得最大值，|e 1＋e 2＋…＋e 2024|＝|e 1|＋|e 2|＋…＋|e 2024|＝2024；当单位向量e 1，e 2，…，e 2024首尾相连时，e 1＋e 2＋…＋e 2024＝0，所以|e 1＋e 2＋…＋e 2024|的最小值为0.11．(2023·佛山模拟)等腰直角△ABC 中，点P 是斜边BC 上一点，若AP →＝4AB →|AB →|＋AC →|AC →|，则△ABC 的面积为________．答案252解析如图，过点P 作AB ，AC 的垂线交AB ，AC 分别于点E ，F ，由于AP →＝4AB →|AB →|＋AC →|AC →|，所以AE →＝4AB →|AB →|，AF →＝AC →|AC →|，则|AE →|＝4，|AF →|＝1，所以在等腰直角△ABC 中，PE ＝1，BE ＝1，所以AB ＝5，故△ABC 的面积S ＝12×5×5＝252.12.(2024·盐城模拟)如图，已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且满足BE →＝EC →，CD →＝2CF →，则|AE →＋AF →|＝________.答案3解析因为BE →＝EC →，所以AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AD →，又因为CD →＝2CF →，所以AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋AD →，所以|AE →＋AF →|＝32|AB →＋AD →|＝32|AC →|，又因为∠BAD ＝120°，所以∠ADC ＝60°，所以△ADC 为等边三角形，所以AC ＝AD ＝2，所以|AE →＋AF →|＝32|AC →|＝32×2＝3.四、解答题13．(2023·青岛模拟)如图，在矩形ABCD 中，DE →＝2EC →，BF →＝2FC →，AC 与EF 交于点N.(1)若CN →＝λAB →＋μAD →，求λ＋μ的值；(2)设AE →＝a ，AF →＝b ，试用a ，b 表示AC →.解(1)依题意，设EN →＝tEF →，CN →＝CE →＋EN →＝CE →＋tEF →＝CE →＋t (CF →－CE →)＝(1－t )CE →＋tCF →＝－(1－t )3AB →－t 3AD →，又CN →＝λAB →＋μAD →，＝－1－t 3，＝－t 3，解得λ＋μ＝－13.(2)因为AC →＝AB →＋AD →，AE →＝23AB →＋AD →，AF →＝AB →＋23AD →，所以AE →＋AF →＝53(AB →＋AD →)＝53AC →，所以AC →＝35a ＋35b .14.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b.(1)用a ，b 表示AE →，BE →；(2)求证：B ，E ，F 三点共线．(1)解在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，则AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12(AC →－AB →)＝12AB →＋12AC →＝12a ＋12b ，故AE →＝23AD →＝13a ＋13b ，BE →＝AE →－AB →＝13a ＋13b －a ＝13b －23a .(2)证明因为BE →＝13b －23a ＝13(b －2a )，BF →＝AF →－AB →＝12b －a ＝12(b －2a )，所以BE →＝23BF →，所以BE →∥BF →，又BE →，BF →有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．15．(2023·扬州模拟)设点O 是面积为4的△ABC 内部一点，且有OA →＋3OB →＋4OC →＝0，则△BOC的面积为()A ．1B.34C.12D.14答案C 解析如图，∵OA →＋3OB →＋4OC →＝0，∴－17OA →＝37OB →＋47OC →，设－17OA →＝OD →，则OD →＝37OB →＋47OC →，即B ，C ，D 三点共线，∴|OD →||AD →|＝S △BOC S △ABC ＝18，∴S △BOC ＝4×18＝12.16.如图，已知A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，CO 与AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________．答案(1，＋∞)解析因为CO 与AB 交于点D ，所以O ，C ，D 三点共线，所以OC →与OD →共线，设OC →＝mOD →，则m >1，因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以mOD →＝λOA →＋μOB →，可得OD →＝λm OA →＋μmOB →，因为A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm＝1，可得λ＋μ＝m >1，所以λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)．。
高中理数课件第五章 第一节 平面向量的概念及线性运算
自学区 抓牢双基· 完成情况
1．向量的线性运算
[基本知识]
向量 运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量 和的运算
交换律：a ＋b ＝
b__＋__a_；结合律：(a ＋ b )＋c＝ a ＋(b ＋c)
求a 与b 的 减法 相反向量－b
的和的运算
a －b ＝a ＋(－b )
向量 运算
定义
法则(或几何意义)
＋
―→ CD
＝
2a
＋
6b
＝
2(a
＋
3b
)
＝
2―A→B ，所以―B→D ，―A→B 共线，又有公共点 B，所以 A，B， D 三点共线．故选 B.
[答案] (1)B (2)B
[方法技巧]
平面向量共线定理的三个应用
对于非零向量 a ，b ，若存在实数 λ，使 证明向量共线
a ＝λb ，则 a 与 b 共线
(1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等， 但它们的模可以比较大小；
(2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特 征与几何特征；
(3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同 一直线上．
[全练题点]
1．给出下列命题： ①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
②λa ＝0(λ 为实数)，则 λ 必为零；
②正确．∵―A→B ＝―D→C ，∴|―A→B |＝|―D→C |且―A→B ∥―D→C ， 又 A，B，C，D 是不共线的四点， ∴四边形 ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形 ABCD 为平行四边形， 则―A→B ∥―D→C 且|―A→B |＝|―D→C |，因此，―A→B ＝―D→C . ③不正确．当 a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到 a
高考数学平面向量考点及知识点总结解析(理科)
平行且|a|＝1，则 a＝a0.假命题的个数是
()
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0 的模相同，
但方向不一定相同，故①是假命题；若 a 与 a0 平行，则 a 与 a0
的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a＝－|a|a0，
故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是 3.
3．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，则图中与 OC 相等 的向量有________．
答案： AB， ED，FO
4．如图，△ABC和△A′B′C′是在各边的
1 3
处相交的两个全等
的等边三角形，设△ABC的边长为a，图中列出了长度均为
a 3
的若干个向量，则
(1)与向量GH 相等的向量有________； (2)与向量GH 共线，且模相等的向量有________； (3)与向量 EA共线，且模相等的向量有________． 解析：向量相等⇔向量方向相同且模相等． 向量共线⇔表示有向线段所在的直线平行或重合． 答案：(1) LB， HC (2) EC， LE ， LB，GB， HC (3) EF ，FB， HA， HK ， KB
HF
＝
1 4
AH ，∴ AH ＝45 AF ， AF ＝ AD＋ DF ＝b＋12a，∴ AH ＝45
b＋12a＝25a＋45b，故选B. 答案：B
4. [考点二] 已知a，b是两个不共线的非零向量，且a与b起点
相同．若a，tb，
1 3
(a＋b)三向量的终点在同一直线上，则t
＝________.
解析：∵a，tb，
与向量 b 相同，且|aa|＝|bb|，所以向量 a 与向量 b 方向相同，故
§5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理
考点二 平面向量基本定理及坐标表示
１．平面向量基本定理 如果 ｅ１ ，ｅ２ 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一
平面内的任意向量 ａ，有且只有一对实数 λ１ ，λ２ ，使ａ ＝ λ１ ｅ１ ＋λ２ ｅ２ ．
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
{∴
８
－λｋ
＝
０， ⇒８
＝
２λ２
⇒λ
＝
±
２．
ｋ－２λ ＝ ０
∴ ｋ ＝ ２λ ＝ ±４．
（３） 证法一：∵ Ｍ、Ｎ、Ｐ 三点共线，
∴ 存在实数 μ，使得Ｍ→Ｐ ＝ μ Ｐ→Ｎ，
∴
Ｏ→Ｐ
＝
Ｏ→Ｍ＋μ Ｏ→Ｎ ＝
１＋μ
１ｍ＋μａ＋１μ＋ｎμｂ．
∵ ａ，ｂ 为不共线的非零向量，
ìïïα ＝ １ｍ＋μ，
∴
í îïïβ
ｙ１ ） ． （２）平面向量共线的坐标表示．若 ａ ＝ （ ｘ１，ｙ１ ），ｂ ＝ （ ｘ２，ｙ２ ），
ｂ≠０，则 ａ 与 ｂ 共线⇔ｘ１ ｙ２ －ｘ２ ｙ１ ＝ ０．
需注意的几点：
①若 ａ ＝ （ ｘ１ ，ｙ１ ） ，ｂ ＝ （ ｘ２ ，ｙ２ ） ，则 ａ∥ｂ 的充要条件不能表示
成 ｘ１ ｘ２
＝
ｙ１ ｙ２
③Ｐ 为△ＡＢＣ 的垂心⇔→ＰＡ·Ｐ→Ｂ ＝ Ｐ→Ｂ·Ｐ→Ｃ ＝ Ｐ→Ｃ·→ＰＡ；
第五章5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理
＋μ ＝ １．
（１） （２０１９ 河北衡水中学五调，８） 如图所示，在正方形
ＡＢＣＤ 中，Ｅ 为 ＢＣ 的中点，Ｆ 为 ＡＥ 的中点，则Ｄ→Ｆ ＝
（ ）
Ａ．－
１ ２
→ＡＢ＋
３ ４
Ａ→Ｄ
Ｂ．
１ ２
→ＡＢ＋
２０１６ 课标全国Ⅰ，１３ ５ 分 填空题 易 平面向量的数量积
数量积的运算
公式法
２０１５ 课标Ⅰ，２
平面向量基本定理及 平面向量的线性坐标
５ 分 选择题 易
公式法
坐标表示
运算
核心素养 数学运算 数学运算 数学运算 数学运算
数学运算
命题规律与趋势
０１ 考查内容 １． 平面向量 线 性 运 算 的 几 何 意 义、 数 量 积
∵ Ａ、Ｐ、Ｍ 三点共线，
∴ 存在唯一实数 λ，使得→ＡＰ ＝ λ Ａ→Ｍ．
又知 Ｍ 为 ＢＣ 的中点，
∴
→ＡＰ ＝
１ ２
λ（ ａ＋ｂ） ．
∵ Ｂ、Ｐ、Ｎ 三点共线，
∴ 存在唯一实数 μ，使得Ｂ→Ｐ ＝ μ Ｂ→Ｎ， 又→ＡＰ ＝ →ＡＢ＋Ｂ→Ｐ ＝ →ＡＢ＋μ Ｂ→Ｎ ＝ →ＡＢ＋μ（ Ａ→Ｎ－→ＡＢ）
现，要求能读懂向量的含义，这种情况我们 一般要么利用向量的几何意义来做，要么 转化为向量的代数运算．
０４ 命题特点 高考对本章内容的考查以基础题为主． 主 要考查三块内容：（ １） 平面向量的线性运算 及几何意义；（ ２） 平面向量的数量积的定义 及长度、角度问题；（ ３） 平面向量的数量积 的坐标表示，一般以选择题、填空题的形式 直接进行考查，难度不大． 解答题中有时与 三角函数、解析几何等内容综合考查，以一 个已知条件的形式出现．
平面向量的概念、运算及坐标表示(讲义及
平面向量的概念、运算及坐标表示（讲义）➢ 知识点睛一、平面向量的基本概念 1. 定义：既有，又有 的量叫做向量．−−→表示：a ， AB−−→模：向量 AB 的叫做向量的模，记作 ．2. 几个特殊的向量：零向量、单位向量、平行（共线）向量、相等向量、相反向量二、平面向量的线性运算1（几何意义）加法 减法 数乘定义求两个向量和的运算向量a 加上向量b 的， 即 a +(-b )=a -b实数与向量的 积是一个向量，记作λa法则法则法则λa = λ a当λ>0 时，λa 与 a 的方向 ； 当λ<0 时，λa 与 a的方向；当λ=0 时，λa =0运算律 交换律：λ(μa )= (λ+μ)a = λ(a +b )= (-λ)a = λ(a -b )=a +b =结合律： a -b =a +(-b )(a +b )+c =λ(μ1a ±μ2b )=λμ1a ±λμ2b三、向量相关定理1.共线向量定理：向量a（a≠0）与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使．扩充：对空间三点P，A，B，可通过证明下列任意一个结论成立来证明三点共线．−−→−−→① PA =λPB ；−−→−−→−−→②对平面任一点O，OP =OA+t AB ；−−→−−→−−→③对平面任一点O，OP =x OA+y OB（x +y =1）．2.平面向量基本定理（1）基底：平面内的向量e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．（2）定理：如果e1，e2 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a= ．四、向量的坐标表示及运算1.坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i，j 作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a=x i+y j．这样，平面内的任一向量a 都可由x，y 唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a 的坐标，记作a= ．2.坐标运算设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a+b= ，a-b= ，λa= ．（1）坐标求法−−→设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB= ．（2）向量位置关系与坐标a∥b ⇔ ⇔ ．➢精讲精练1.下列四个命题：①若a = 0 ，则a 为零向量；②若a =b ，则−−→−−→ a=b 或a=-b；③若a∥b，则a =b ；④若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A，B，C，D 四点共线．其中正确的有（）A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个2.根据图示填空：（1）a+b= ；（2）c-a= ；（3）a+b+d= ；（4）f-a-b= ；（5）c+d+e= ；（6）g-c-d= ．3.若a，b 为非零向量，且a +b =a +b ，则（）A.a∥b，且a 与b 方向相同B.a=bC．a=-bD．a，b 无论什么关系均可−−→−−→−−→4.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA + CD + EF =（）−−→−−→−−→A．0 B．BE C．AD D．CF−−→−−→−−→5.已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a，BC =b，AC =c，则a +b +c =（）A．0 B．3 C． 2 D．2 2−−→−−→−−→−−→6.平面上有A，B，C 三点，设m= AB +BC ，n= AB -BC ，若m，n 的长度恰好相等，则有（）A．A，B，C 三点必在同一直线上B．△ABC 必为等腰三角形且∠B 为顶角C.△ABC 必为直角三角形且∠B=90°D.△ABC 必为等腰直角三角形−−→ −−→ −−→7. 已知AB =a+5b，BC =-2a+8b，CD =3(a-b)，则（）A．A，B，D 三点共线B．A，B，C 三点共线C．B，C，D 三点共线D．A，C，D 三点共线8.在△ABC 中，M 为边BC 上的任意一点，N 为AM 的中点，−−→−−→−−→若AN =λ AB +μ AC ，则λ+μ的值为（）A.12 B.13C.14D．1−−→9.如图，平面内有三个向量OA−−→，OB−−→，OC−−→，其中OA−−→与OB 的−−→−−→−−→−−→夹角为120°，OA 与OC 的夹角为30°，且OA =OB = 1，−−→ OC = 2−−→，若OC−−→=λOA −−→+μOB ，则λ+μ的值为．3λ λ λ +λ 10.已知 D ，E 分别是△ABC 的边 AB ，BC 上的点，且 AD = 1AB ，2 BE = 2BC ．若 −−→−−→ −−→ λ （ ， 为实数），则3 的值为 DE = ．1 AB +λ2AC 1 2 1 2−−→ 11.如图，在△ABC 中，1 −−→ −−→ −−→ −−→ ， ，若 =a ，−−→−−→BD = DC 2AE =3 ED AB AC =b ，则 BE =（）A ． 1 a + 1 bB ． - 1 a + 1 b3 3 24 C ． 1 a + 1 bD ． - 1 a + 1 b2 43 3−−→1 −−→ −−→ 1 −−→ 12.如图，在△AOB 中， OC = OA ，OD 4 = OB ，AD 与 BC 2−−→相交于点 M ，设 OA −−→OM =．−−→=a ， OB=b ，若以 a ，b 为基底，则13. 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A ，B ，C 的坐标分别为 (-2，1)，(-1，3)，(3，4)，则顶点 D 的坐标是．14. 若向量a=(1，1)，b=(-1，1)，c=(4，2)，则c=（）A．3a+b B．3a-bC．-a+3b D．a+3b15. 向量a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa+μb（λ，μ∈R），则λ=．μ16. 已知平面向量a=(1，2)，b=(-2，m)，若a∥b，则2a+3b=（）A．(-5，-10) B．(-4，-8)C．(-3，-6) D．(-2，-4)17. 已知向量a=(2，-1)，b=(-1，m)，c=(-1，2)，若a+b 与c 共线，则m = ．【参考答案】➢知识点睛一、平面向量的基本概念−−→1. 大小，方向，长度，AB二、平面向量的线性运算加法：三角形，平行四边形，b+a，a+(b+c)减法：相反向量数乘：相同，相反，(λμ)a，λa+μa，λa+λb，-(λa)，λa-λb三、向量相关定理1. b=λa2. （1）不共线；（2）λ1e1+λ2e2四、向量的坐标表示及运算1. (x，y)2. (x1+x2，y1+y2)，(x1-x2，y1-y2)，(λx1，λy1)（1）(x2-x1，y2-y1)（2）b=λa，x2 =y2 =λ（x ，y ≠ 0 ）x1y1➢精讲精练1. B2. （1）c；（2）b；（3）f；（4）d；（5）g；（6）e3. A4. D5. D6. C7. A8. A9. 610. 1211. B12. 1 a +3 b7 713. (2，2)14. B15. 416. B17. -11 1。
高中数学知识点总结(第五章 平面向量 第一节 平面向量的概念及线性运算)
第五章 平面向量第一节 平面向量的概念及线性运算一、基础知识1．向量的有关概念(1)向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫做向量．以A 为起点、B 为终点的向量记作AB ―→，也可用黑体的单个小写字母a ，b ，c ，…来表示向量．(2)向量的长度(模)：向量AB ―→的大小即向量AB ―→的长度(模)，记为|AB ―→|. 2．几种特殊向量 名称 定义 备注零向量 长度为0的向量 零向量记作0，其方向是任意的单位向量 长度等于1个单位的向量 单位向量记作a 0，a 0＝a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量(也叫共线向量)0与任意向量共线相等向量 长度相等且方向相同的向量 相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量相反向量长度相等且方向相反的两个向量若a ，b 为相反向量，则a ＝－b单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a 平行的单位向量有两个，即向量a |a|和－a|a|.3．向量的线性运算 向量运算定义 法则(或几何意义) 运算律加法求两个向量和的运算三角形法则 平行四边形法则(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ；(2)结合律：(a ＋b)＋c ＝a ＋(b ＋c)减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差三角形法则a －b ＝a ＋(－b)数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λa|＝|λ||a|；当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa)＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b)＝λa ＋λb多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接，a ＋b ＋c 表示从始点指向终点的向量，只关心始点、终点.4．共线向量定理向量a(a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa. 只有a≠0才保证实数λ的存在性和唯一性.二、常用结论(1)若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)．(2)OA ―→＝λOB ―→＋μOC ―→(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.考点一 平面向量的有关概念[典例] 给出下列命题： ①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ―→＝DC ―→是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③a ＝b 的充要条件是|a|＝|b|且a ∥b ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c. 其中正确命题的序号是________．[解析] ①正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c.②正确．∵AB ―→＝DC ―→，∴|AB ―→|＝|DC ―→|且AB ―→∥DC ―→， 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB ―→∥DC ―→且|AB ―→|＝|DC ―→|，因此，AB ―→＝DC ―→.③不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a ＝b ，故|a|＝|b|且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．④不正确．考虑b ＝0这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是①②. [答案] ①②[解题技法] 向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线． [题组训练] 1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；③λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误的命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D ①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②错误，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.③错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，此时，a 与b 可以是任意向量．故错误的命题有3个，故选D.2．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a|·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a|a 0；③若a 与a 0平行且|a|＝1，则a ＝a 0，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a|a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.考点二 平面向量的线性运算[典例] (1)(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB ―→＝( )A.34AB ―→－14AC ―→B.14AB ―→－34AC ―→C.34AB ―→＋14AC ―→ D.14AB ―→＋34AC ―→(2)如图，在直角梯形ABCD 中，DC ―→＝14AB ―→，BE ―→＝2EC ―→， 且AE―→＝r AB ―→＋s AD ―→，则2r ＋3s ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] (1)作出示意图如图所示．EB ―→＝ED ―→＋DB ―→＝12AD ―→＋12CB ―→＝12×12(AB ―→＋AC ―→)＋12(AB ―→－AC ―→)＝34AB ―→－14AC ―→.故选A. (2)根据图形，由题意可得AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋23BC ―→＝AB ―→＋23(BA ―→＋AD ―→＋DC ―→)＝13AB ―→＋23(AD ―→＋DC ―→)＝13AB ―→＋23⎝⎛⎭⎫AD ―→＋14AB ―→＝12AB ―→＋23AD ―→. 因为AE ―→＝r AB ―→＋s AD ―→，所以r ＝12，s ＝23，则2r ＋3s ＝1＋2＝3.[答案] (1)A (2)C[解题技法] 向量线性运算的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果． (4)与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值．[题组训练]1．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ―→＝3CD ―→，则( ) A ．AD ―→＝－13AB ―→＋43AC ―→B ．AD ―→＝13AB ―→－43AC ―→C ．AD ―→＝43AB ―→＋13AC ―→D ．AD ―→＝43AB ―→－13AC ―→解析：选A 由题意得AD ―→＝AC ―→＋CD ―→＝AC ―→＋13BC ―→＝AC ―→＋13AC ―→－13AB ―→＝－13AB―→＋43AC ―→. 2．(2019·太原模拟)在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，则实数λ＋μ＝________.解析：如图，∵AM ―→＝AB ―→＋BM ―→＝AB ―→＋12BC ―→＝DC ―→＋12BC ―→，①AN ―→＝AD ―→＋DN ―→＝BC ―→＋12DC ―→，②由①②得BC ―→＝43AN ―→－23AM ―→，DC ―→＝43AM ―→－23AN ―→，∴AC ―→＝AB ―→＋BC ―→＝DC ―→＋BC ―→＝43AM ―→－23AN ―→＋43AN ―→－23AM ―→＝23AM ―→＋23AN ―→，∵AC ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，∴λ＝23，μ＝23，λ＋μ＝43.答案：43考点三 共线向量定理的应用[典例] 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3a －3b ， 求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 同向．[解] (1)证明：∵AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3a －3b ， ∴BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b)＝5AB ―→， ∴AB ―→，BD ―→共线． 又∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 同向，∴存在实数λ(λ>0)，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b)， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b. ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b.∵a ，b 是不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k －λ＝0，λk －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝1，λ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，λ＝－1， 又∵λ>0，∴k ＝1.1.向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．[题组训练]1．在四边形ABCD 中，AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－4a －b ，CD ―→＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对解析：选C 由已知，得AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝－8a －2b ＝2(－4a －b)＝2BC ―→，故AD ―→∥BC ―→.又因为AB ―→与CD ―→不平行，所以四边形ABCD 是梯形．2．已知向量e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，若向量a 与向量b 共线，则( ) A ．λ＝0 B ．e 2＝0 C ．e 1∥e 2D ．e 1∥e 2或λ＝0解析：选D 因为向量e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，又因为向量a 和b 共线，存在实数k ，使得a ＝k b ，所以e 1＋λe 2＝2k e 1，所以λe 2＝(2k －1)e 1，所以e 1∥e 2或λ＝0.3．已知O 为△ABC 内一点，且AO ―→＝12(OB ―→＋OC ―→)，AD ―→＝t AC ―→，若B ，O ，D 三点共线，则t ＝( )A.14B.13C.12D.23解析：选B 设E 是BC 边的中点，则12(OB ―→＋OC ―→)＝OE ―→，由题意得AO ―→＝OE ―→，所以AO ―→＝12AE ―→＝14(AB ―→＋AC ―→)＝14AB ―→＋14t AD ―→，又因为B ，O ，D 三点共线，所以14＋14t ＝1，解得t ＝13，故选B.4．已知O ，A ，B 三点不共线，P 为该平面内一点，且OP ―→＝OA ―→＋AB―→|AB ―→|，则( )A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段AB 的延长线上C ．点P 在线段AB 的反向延长线上D ．点P 在射线AB 上解析：选D 由OP ―→＝OA ―→＋AB ―→|AB ―→|，得OP ―→－OA ―→＝AB ―→|AB ―→|，∴AP ―→＝1|AB ―→|·AB ―→，∴点P 在射线AB 上，故选D.[课时跟踪检测]1．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ―→＋FC ―→＝( ) A ．AD ―→B.12AD ―→C.12BC ―→ D ．BC ―→解析：选A 由题意得EB ―→＋FC ―→＝12 (AB ―→＋CB ―→ )＋12 (AC ―→＋BC ―→ )＝12 (AB ―→＋AC ―→)＝AD ―→.2．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：选B 由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使c ＝kd (k ＜0)， 于是λa ＋b ＝k []a ＋2λ－1b .整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b.由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k ＜0，所以λ＜0，故λ＝－12.3．设向量a ，b 不共线，AB ―→＝2a ＋p b ，BC ―→＝a ＋b ，CD ―→＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选B 因为BC ―→＝a ＋b ，CD ―→＝a －2b ，所以BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a －b.又因为A ，B ，D 三点共线，所以AB ―→，BD ―→共线．设AB ―→＝λBD ―→，所以2a ＋p b ＝λ(2a －b)，所以2＝2λ，p ＝－λ，即λ＝1，p ＝－1.4．(2019·甘肃诊断)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ―→＝－4CD ―→，则AD ―→＝( ) A.14AB ―→－34AC ―→ B.14AB ―→＋34AC ―→C.34AB ―→－14AC ―→ D.34AB ―→＋14AC ―→解析：选B 法一：设AD ―→＝x AB ―→＋y AC ―→，由BC ―→＝－4CD ―→可得，BA ―→＋AC ―→＝－4CA―→－4AD ―→，即－AB ―→－3AC ―→＝－4x AB ―→－4y AC ―→，则⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＝－1，－4y ＝－3，解得⎩⎨⎧x ＝14，y ＝34，即AD ―→＝14AB ―→＋34AC ―→，故选B. 法二：在△ABC 中，BC ―→＝－4CD ―→，即－14BC ―→＝CD ―→，则AD ―→＝AC ―→＋CD ―→＝AC ―→－14BC ―→＝AC ―→－14(BA ―→＋AC ―→)＝14AB ―→＋34AC ―→，故选B.5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC ―→＝34OA ―→＋14OB ―→，则|BC ―→||AC ―→|等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D.32解析：选C 因为BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝34OA ―→＋14OB ―→－OB ―→＝34BA ―→，AC ―→＝OC ―→－OA ―→＝34OA ―→＋14OB ―→－OA ―→＝14AB ―→，所以|BC ―→||AC ―→|＝3.故选C.6．已知△ABC 的边BC 的中点为D ，点G 满足GA ―→＋BG ―→＋CG ―→＝0，且AG ―→＝λGD ―→，则λ的值是( )A.12 B ．2 C ．－2D ．－12解析：选C 由GA ―→＋BG ―→＋CG ―→＝0，得G 为以AB ，AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AG ―→＝－2GD ―→，则λ＝－2.故选C.7．下列四个结论：①AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝0；②AB ―→＋MB ―→＋BO ―→＋OM ―→＝0； ③AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→＝0；④N Q ―→＋Q P ―→＋MN ―→－MP ―→＝0， 其中一定正确的结论个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C ①AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝AC ―→＋CA ―→＝0，①正确；②AB ―→＋MB ―→＋BO ―→＋OM ―→＝AB ―→＋MO ―→＋OM ―→＝AB ―→，②错误；③AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→＝CB ―→＋BD ―→＋DC ―→＝CD ―→＋DC ―→＝0，③正确；④N Q ―→＋Q P ―→＋MN ―→－MP ―→＝NP ―→＋PN ―→＝0，④正确．故①③④正确．8.如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，且AM ―→＝34AB ―→，AN ―→＝23AD ―→，AC ，MN 交于点P .若AP ―→＝λAC ―→，则λ的值为( )A.35B.37C.316D.617解析：选D ∵AM ―→＝34AB ―→，AN ―→＝23AD ―→，∴AP ―→＝λAC ―→＝λ(AB ―→＋AD ―→)＝λ⎝⎛⎭⎫43AM ―→＋32AN ―→＝43λAM ―→＋32λAN ―→.∵点M ，N ，P 三点共线，∴43λ＋32λ＝1，则λ＝617.故选D. 9．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________. 解析：因为向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以可设λa ＋b ＝k (a ＋2b)，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，1＝2k ，所以λ＝12.答案：1210．若AP ―→＝12PB ―→，AB ―→＝(λ＋1)BP ―→，则λ＝________.解析：如图，由AP ―→＝12PB ―→，可知点P 是线段AB 上靠近点A 的三等分点，则AB ―→＝－32BP ―→，结合题意可得λ＋1＝－32，所以λ＝－52.答案：－5211．已知平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则DC ―→＝________，BC ―→＝________.(用a ，b 表示)解析：如图，DC ―→＝AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝b －a ，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝－OA ―→－OB ―→＝－a －b.答案：b －a －a －b12．(2019·长沙模拟)在平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点．若AB ―→＝λAM ―→＋μDB ―→，则λ－μ＝________.解析：如图，在平行四边形ABCD 中，AB ―→＝DC ―→，所以AB ―→＝AM ―→＋MB ―→＝AM ―→＋12CB ―→＝AM ―→＋12 (DB ―→－DC ―→ )＝AM ―→＋12(DB ―→－AB ―→ )＝AM―→＋12DB ―→－12AB ―→，所以32AB ―→＝AM ―→＋12DB ―→，所以AB ―→＝23AM ―→＋13DB ―→，所以λ＝23，μ＝13，所以λ－μ＝13.答案：1313．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB ―→＝2e 1－8e 2，CB ―→＝e 1＋3e 2，CD ―→＝2e 1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF ―→＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．解：(1)证明：由已知得BD ―→＝CD ―→－CB ―→＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB ―→＝2e 1－8e 2， ∴AB ―→＝2BD ―→.又∵AB ―→与BD ―→有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．11(2)由(1)可知BD ―→＝e 1－4e 2，∵BF ―→＝3e 1－ke 2，且B ，D ，F 三点共线， ∴存在实数λ，使BF ―→＝λBD ―→， 即3e 1－ke 2＝λe 1－4λe 2， 得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝3，－k ＝－4λ.解得k ＝12.。
平面向量的线性运算,基本定理及坐标表示
平面向量的线性运算,基本定理及坐标表示1、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量.向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。
三点共线共线；2.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1＋e2。
3、实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当>0时，的方向与的方向相同，当<0时，的方向与的方向相反，当＝0时，，注意：≠0。
4、向量的运算：（1）几何运算：（2）坐标运算：设，则：①向量的加减法运算：，。
②实数与向量的积：。
③若，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
⑤向量的模：。
⑥两点间的距离：若，则。
5、向量平行(共线)的充要条件：＝0。
12、向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2），特别地，当同向或有；当反向或有；当不共线(这些和实数比较类似).（3）在中，①若，则其重心的坐标为。
一､选择题:1、已知向量，则用表示为( ) A．B．C．D．2、已知，则的取值范围是( )A． B． C． D．3、已知向量，，，，且，则( )A．B．C．D．4.(2010•四川)设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,=16,|则||=( )A.8B.4C.2D.1解析:由可知,⊥则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线,因此,|选C.5.已知△ABC中,点D在BC边上,且则r+s的值是( )C.-3D.0解析:∵∴∴又∴r=,∴r+s=0.故选D.3.平面向量a,b共线的充要条件是()6.平面向量a,b共线则( )A.a,b方向相同B.a,b两向量中至少有一个为0C.存在λ∈R,使b=λaD.存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0解析:a,b共线时,a,b方向相同或相反,故A错.a,b共线时,a,b不一定是零向量,故B错.当b=λa时,a,b一定共线,若b≠0,a=0.则b=λa不成立,故C错.排除A、B、C,故选D.7．若a＝(2cosα，1)，b＝(sinα，1)，且a∥b，则tanα等于( ) A．2 B. C．－2 D．－解析：∵a∥b，∴a＝λb，∴∴2cosα＝sinα，∴tanα＝2. 答案：A8．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值等于( ) A．1 B. C.D.解析：＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)·(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以＋＝. 答案：B9．设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为( )A．(3,1) B．(1，－1) C．(3,1)或(1，－1) D．无数多个解析：设P(x，y)，则由||＝2||，得＝2或＝－2.＝(2,2)，＝(x－2，y)，即(2,2)＝2(x－2，y)，x＝3，y＝1，P(3,1)，或(2,2)＝－2(x－2，y)，x＝1，y＝－1，P(1，－1)．答案：C10.已知点A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),给出下面的结论:其中正确结论的个数是( )①直线OC与直线BA平行; ②③④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析：kOC＝＝－，kBA＝＝－，∴OC∥BA，①正确；∵∴②错误; ∵∴③正确;∵v (-4,0), ∴④正确．故选C.11．设向量a＝(3，)，b为单位向量，且a∥b，则b＝( )A．(，－)或(－，) B．(，) C．(－，－) D．(，)或(－，－)解析：设b＝(x，y)，由a∥b可得3y－x＝0，又x2＋y2＝1得b＝(，)或b＝(－，－)．答案：D12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且m＝(b－c，cos C)，n＝(a，cos A)，m∥n，则cos A的值等于( )A. B．－ C. D．－解析：∵m∥n，∴(b－c)cos A＝a cos C，∴( sin B－sin C)cos A＝sin A cos C，即sin B cos A＝sin A cos C＋sin C cos A＝sin(A＋C)＝sin B，易知sin B≠0，∴cos A＝. 答案：C二､填空题:13、若，则； .14、若点O是△ABC所在平面内的一点,且满足,则△ABC的形状为________.解析:∴故A､B､C为矩形的三个顶点,△ABC为直角三角形. 15．(2010·陕西)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.解析：由题知a＋b＝(1，m－1)，c＝(－1,2)，由(a＋b)∥c得1×2－(m－1)×(－1)＝m＋1＝0，所以m＝－1. 答案：－116．(2011·天津十二校联考)已知直角坐标平面内的两个向量a＝(1,3)，b＝(m,2m－3)，使平面内的任意一个向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb，则m 的取值范围是________．解析：∵c可唯一表示成c＝λa＋μb，∴a与b不共线，即2m－3≠3m，∴m≠－3. 答案：{m|m∈R，m≠－3}17.如图,平面内有三个向量､､其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,| |=,若=λμ (λ,μ∈R),则λ+μ的值为________.解析:过C作与的平行线与它们的延长线相交,可得平行四边形,由∠BOC=90°,∠AOC=30°,|,得平行四边形的边长为2和4,故λ+μ=2+4=6. 答案:618.如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若则m+n的值为________.解析:由于MN的任意性可用特殊位置法:当MN与BC重合时知m=1,n=1,故m+n=2.答案:2三､解答题:19.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),O为坐标原点.设=b,且(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝m b＋n c的实数m，n.解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，∴，解得.20.已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2)．(1)若a∥b，求tanθ的值； (2)若|a|＝|b|,0＜θ＜π，求θ的值．解：(1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝.(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝12＋22，所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5. 从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin(2θ＋)＝－. 又由0＜θ＜π知，＜2θ＋＜，所以2θ＋＝或2θ＋＝. 因此θ＝或θ＝.。
第五章 平面向量
第一节平面向量的概念与线性运算一、知识梳理1.向量的有关概念(1).向量:既有 ,又有的量叫向量;通常记为 ;长度为的向量是零向量,记作: ; 的向量,叫单位向量.(2).平行向量(或共线向量)记作: ;规定:零向量与任何向量 .(3).相等向量:(4).相反向量:2.向量加法与减法(1).向量加法按法则或法则;向量加运算律:交换律: ;结合律:(2).向量减法作法:3.实数与向量的积(1). 实数与向量a的积是一个向量,记作,它的长度与方向规定如下：长度：方向：(2)．运算律4.共线定理:5.平面向量基本定理:6.基底:二、考点分析考点一：平面向量的基本概念例1．给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a=b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a=b，b=c，则a=c；④a=b的充要条件是|a|=|b|且a//b；⑤若a//b，b//c，则a//c；其中正确的序号是。
例2：设0为单位向量，（1）若为平面内的某个向量，则=||·0;(2) 若与a0平行，则=||·0；（3）若与0平行且||=1，则=0。
上述命题中，假命题个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3考点二：平面向量的线性运算例2：如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若BA=a，BC=b，试用a，b将向考点三：平面向量共线定理例3：如图所示,△ABC 中,点M 是BC 的中点,点N 在AC 边上,且AN=2NC,AM 与BN 相交于点P,求AP ：PM 的值.三、课堂检测1.(2010•四川)设点M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,2BC =16,||||,AB AC AB AC +=-则|AM |=( )A.8B.4C.2D.12.已知△ABC 中,点D 在BC 边上,且2,,CD DB CD r AB sAC ==+则r+s 的值是( )24..33A B C.-3 D.0 3.平面向量a,b 共线的充要条件是( )A.a,b 方向相同B.a,b 两向量中至少有一个为0C.存在λ∈R,使b=λ aD.存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=04.已知O ､A ､B 是平面上的三个点,直线AB 上有一点C,满足20,AC CB +=则OC 等于( )2112.2.2..3333A OA OB B OA OBC OA OBD OA OB --+--+5.设D ､E ､F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点,且2,2,2,DC BD CE EA AF FB ===则AD BE CF ++与()BCA.反向平行B.同向平行C.不平行D.无法判断6.已知a,b 是不共线的向量,AB =λa+b,AC =a+μb,(λ,μ∈R),那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为()A.λ+μ=2B.λ-μ=1C.λμ=-1D.λμ=1 7、关于非零向量，有下列四个命题 ① “||+||=||”的充要条件是“方向相同”； ② “||+||=||”的充要条件是“方向相反”； ③ “||+||=||”的充要条件是“有相等的模”；④“||-||=||”的充要条件是“方向相同”；其中真命题的个数是（A ） 1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个8.若点O 是△ABC 所在平面内的一点,且满足|||2|OB OC OB OC OA -=+-,则△ABC 的形状为________.9.在平行四边形ABCD 中,E ､F 分别是边CD 和BC 的中点,若AC =λAE +u ,AF 其中λ,u∈R,则λ+u=________.10.如图,平面内有三个向量OA ､OB ､,OC 其中OA 与OB 的夹角为120°,OA 与OC 的夹角为30°,且|OA |=|OB |=1,|OC |=若OC =λOA +μOB (λ,μ∈R),则λ+μ的值为_______11.如图,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB,AC 于不同的两点M,N,若,,AB mAM AC nAN ==则m+n 的值为________.第二节 平面向量的基本定理及坐标表示一、知识梳理1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a ， 一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组 ． 2．平面向量的坐标运算(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模： 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝ ，a －b ＝ ， λa ＝ ，|a |＝ (2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝ ， |AB ―→|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔ . 基础检测1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( )2．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2) 3．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．04．已知平行四边形ABCD 中，AD ―→＝(3,7)，AB ―→＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO ―→的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，5B.⎝⎛⎭⎫12，5C.⎝⎛⎭⎫12，－5D.⎝⎛⎭⎫－12，－5 5．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2，k )，且(a ＋2b )∥(3a －b )，则实数k ＝________.6．在▱ABCD 中，AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AN ―→＝3NC ―→，M 为BC 的中点，则MN ―→＝________(用a ，b 表示)．二、考点分析考点一 平面向量基本定理及其应用例1.1.如图，在△ABC 中，BE 是边AC 的中线，O 是边BE 的中点，若AB ＝a ，AC ＝b ，则AO ＝( )A.12a ＋12b B.12a ＋13b C.14a ＋12b D.12a ＋14b2．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则2x －y ＝________.3.如图，已知▱ABCD 的边BC ，CD 的中点分别是K ，L ，且AK ―→＝e 1，AL ―→＝e 2，试用e 1，e 2表示BC ―→，4．如图，以向量OA ―→＝a ，OB ―→＝b 为邻边作▱OADB ，BM ―→＝13BC ―→，CN ―→＝13CD ―→，用a ，b 表示OM ―→，ON ―→，MN ―→.✧ 方法总结1．用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决． (2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．2．应用平面向量基本定理应注意的问题(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组．(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．考点二 平面向量的坐标运算例2.1．若向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,2)，c ＝⎝⎭⎫0，52，则c 可用向量a ，b 表示为( ) A.12a ＋b B ．－12a －b C.32a ＋12b D.32a －12b 2．(2018·江西九校联考)已知O 为坐标原点，向量OA ―→＝(2,3)，OB ―→＝(4，－1)，且AP ―→＝3PB ―→，则|OP ―→|＝________.3．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CA ―→＝c ，且CM ―→＝3c ，CN ―→＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN ―→的坐标．✧ 方法总结平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 考点三 平面向量共线的坐标表示例3.已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB ―→＝2a ＋3b ，BC ―→＝a ＋m b ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．1．平面向量共线的充要条件的2种形式(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)若a ∥b (b ≠0)，则a ＝λb .2．共线问题解含参，列出方程求得解向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．变式3.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( ) A.14 B.12 C ．1 D ．2三、课堂检测1．向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，则b ＝( )A ．(－3,4)B ．(3,4)C ．(3，－4)D ．(－3，－4)2．若向量AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(1,3)，则BC ―→＝( )A ．(1,1)B ．(－1，－1)C ．(3,7)D ．(－3，－7)3．已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( )A ．(－23，－12)B ．(23,12)C ．(7,0)D ．(－7,0)4．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(1,3)，则BD ―→＝( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4)5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ，3b )与n ＝(c os A ，sin B )平行，则A ＝( )A.π6B.π3C.π2D.2π36．在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ，若AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，则PQ ―→＝( )A.13a ＋13b B ．－13a ＋13b C.13a －13b D ．－13a －13b 7．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________． 8．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .9．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________． 10．已知梯形ABCD ，其中AB ∥DC ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1，2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．5．已知A (－3,0)，B (0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC ―→＝λOA ―→＋OB ―→，则实数λ的值为________．3.(1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( ) (3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( ) (4)(a ·b )c ＝a (b ·c )．( )(5)两个向量的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.( ) 2．已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 和b 的夹角为135°，则|b |的值为( ) A ．12 B ．6 C ．3 3D ．33．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝23，a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3，则b ·(2a －b )等于( ) A ．2 B ．－1 C ．－6D ．－184．(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥bD ．|a |＞|b |5．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 6．已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________．二、考点分析考点一 平面向量的数量积的运算1．设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( ) A ．－72 B ．－12 C.32 D.522．已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________. 3．已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________.✧ 方法总结向量数量积的2种运算方法4．(2018·云南第一次统一检测)在▱ABCD 中，|AB ―→|＝8，|AD ―→|＝6，N 为DC 的中点，BM ―→＝2MC ―→，则AM ―→·NM ―→＝( )A ．48B ．36C ．24D ．125．(2018·石家庄质检)在△ABC 中，已知AB ―→与AC ―→的夹角为90°，|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝1，M 为BC 上的一点，且AM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→ (λ，μ∈R)，且AM ―→·BC ―→＝0，则λμ的值为________．6．(2017·北京高考)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO ―→·AP ―→的最大值为________． ✧ 方法总结计算有关平面几何中数量积的方法(1)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a ，b ，然后再根据平面向量的数量积的定义进行计算求解．(2)若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a ，b 的坐标，通过坐标运算法则求得．考点二 平面向量数量积的性质角度(一) 平面向量的模1．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________ 2.如图，在△ABC 中，O 为BC 的中点，若AB ＝1，AC ＝3，AB ―→与AC ―→的夹角为60°，则|OA ―→|＝________.✧ 方法总结 求向量模的常用方法(2)若向量a ，b 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式|a |2＝a 2＝a ·a ，或|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．角度(二) 平面向量的夹角3．(2018·成都二诊)已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且|a |＝1，|b |＝12，则a ＋2b 与b 的夹角是( )A.π6B.5π6C.π4D.3π44．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 ✧ 方法总结求向量夹角问题的方法(1)当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角θ，需求出a ·b 及|a |，|b |或得出它们之间的关系； (2)若已知a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)，则cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. [注意] 〈a ，b 〉∈[0，π]．角度(三) 平面向量的垂直5．(2018·湘中名校联考)已知向量a ＝(x ，3)，b ＝(x ，－3)，若(2a ＋b )⊥b ，则|a |＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．26．已知向量AB ―→与AC ―→的夹角为120°，且|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2.若AP ―→＝λAB ―→＋AC ―→，且AP ―→⊥BC ―→，则实数λ的值为________．✧方法总结1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．变式2.1．(2018·广东五校协作体诊断)已知向量a ＝(λ，1)，b ＝(λ＋2,1)，若|a ＋b |＝|a －b |，则实数λ的值为( )A ．－1B ．2C ．1D ．－22．(2017·山东高考)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．3．已知AB ―→·BC ―→＝0，|AB ―→|＝1，|BC ―→|＝2，AD ―→·DC ―→＝0，则|BD ―→|的最大值为________．考点三 平面向量与三角函数的综合例3.(2017·江苏高考)已知向量a ＝(c os x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．✧ 方法总结平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)给出的向量坐标中含有三角函数，求角的大小，解题思路是运用向量共线或垂直的坐标表示，或等式成立的条件等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出的向量坐标中含有三角函数，求向量的模或者向量的其他表达形式，解题思路是利用向量的运算，结合三角函数在定义域内的有界性或基本不等式进行求解．变式3.已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R. (1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值．三、课堂检测1．(2018·洛阳第一次统一考试)已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3，且(a ＋λb )⊥(2a －b )，则实数λ的值为( )A ．－7B ．－3C ．2D ．32．已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且a ·(a －b )＝2，|a |＝2，则|b |等于( )A. 2 B ．2 3 C ．4 D ．23．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3,1)，c ＝(x,4)，若(a －b )⊥c ，则c ·(a ＋b )＝( ) A ．(2,12) B ．(－2,12) C ．14 D ．104．(2018·湘中名校联考)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1,1)，|b |＝2，则|3a ＋b |等于( ) A ．13＋6 2 B ．2 5 C.30 D.345．若单位向量e 1，e 2的夹角为π3，向量a ＝e 1＋λe 2(λ∈R)，且|a |＝32，则λ＝( )A ．－12 B.32－1 C.12 D.326．(2018·西安八校联考)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量CD ―→在BA ―→方向上的投影是( )A ．－3 5B ．－322C ．3 5 D.3227．已知平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 的夹角的正弦值为________．8．(2018·张掖一诊)已知平面向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ⊥(a －2b )，则|a ＋b |＝________. 9．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则向量m ，n 的夹角的余弦值为________．10.如图所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA ＝OB ＝1，AB ―→＝4AC ―→，则OC ―→·(OB ―→－OA ―→)＝________.11．(2018·惠州三调)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB ―→－OC ―→)·(OB ―→＋OC ―→－2OA ―→)＝0，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形仁荣中学2019届高三文科数学一轮复习导学案------专题五 平面向量11C ．正三角形D ．等腰直角三角形12．(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A ―→·(PB ―→＋PC ―→)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－113．(2017·浙江高考)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O .记I 1＝OA ―→·OB ―→，I 2＝OB ―→·OC ―→，I 3＝OC ―→·OD ―→，则( )A ．I 1<I 2<I 3B ．I 1<I 3<I 2C ．I 3<I 1<I 2D ．I 2<I 1<I 314．(2018·广东五校协作体第一次诊断考试)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，且b 在a 方向上的投影为3，则向量a 与b 的夹角为________．15．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，OA ―→＝a －b ，OB ―→＝a ＋b ，若△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB 的面积为________．16．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°.(1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |；(2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )．17．在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长． (2)设实数t 满足(AB ―→－t OC ―→)·OC ―→＝0，求t 的值．。
高考数学专题复习五-5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示-模拟练习题(附答案)
专题五 平面向量5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示基础篇考点一 平面向量的概念及线性运算1.(2022吉林第三次调研,5)已知向量a =(4,3),则与向量a 垂直的单位向量的坐标为 ( ) A.(45,35) B.(35,−45)C.(−45,−35)或(45,35) D.(35,−45)或(−35,45) 答案 D2.(2022新高考Ⅰ,3,5分)在△ABC 中,点D 在边AB 上,BD =2DA.记CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ,则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.3m -2n B.-2m +3n C.3m +2n D.2m +3n 答案 B3.(2022四川绵阳二模,6)已知平面向量a ,b 不共线,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4a +6b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-a +3b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +3b ,则( )A.A ,B ,D 三点共线B.A ,B ,C 三点共线C.B ,C ,D 三点共线D.A ,C ,D 三点共线 答案 D4.(2022江西宜春4月联考,7)如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =38AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.58AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −38AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B.38AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −58AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C.-58AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +38AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D.58AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +38AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案 C5.(2023届江西宜春月考,7)已知S △ABC =3,点M 是△ABC 内一点且MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则△MBC 的面积为( )A.14B.13C.34D.12答案 C6.(2023届哈尔滨三中月考二,5)在△ABC 中,点D 是线段BC 上任意一点,且满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若存在实数m 和n ,使得BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +nAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则m +n = ( )A.23 B.13 C.-23 D.−13 答案 C7.(2022贵州适应性考试,14)在平行四边形ABCD 中,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ .若CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ= . 答案 23考点二 平面向量基本定理及坐标表示考向一 平面向量基本定理1.(2022江西重点中学联考二,5)设e 1,e 2是两个不共线的平面向量,若a =3e 1-2e 2,b =e 1+ke 2,且a 与b 共线,则实数k 的值为( ) A.-12 B.12 C.−23 D.23 答案 C2.(2022甘肃顶级名校第二次联考,14)如图,在△ABC 中,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x +4y 的值为 .答案 13.(2022东北三省三校联考(二),14)在正六边形ABCDEF 中,点G 为线段DF (含端点)上的动点,若CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCD ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R ),则λ+μ的取值范围是 . 答案 [1,4]考向二 平面向量的坐标运算1.(2022黑龙江齐齐哈尔第一中学一模,3)已知向量a =(3,-2),b =(m ,1),若a ⊥b ,则a -3b = ( )A.(0,5)B.(5,1)C.(1,-5)D.(152,−5) 答案 C2.(2023届四川内江六中9月联考,1)已知向量a =(1,2),b =(1,1),若c =a +kb ,且b ⊥c ,则实数k =( )A.32B.−53C.53D.−32答案 D3.(2021云南统一检测一,7)已知向量a =(32,1),b =(−12,4),则 ( )A.a ∥(a -b )B.a ⊥(a -b )C.(a -b )∥(a +b )D.(a -b )⊥(a +b ) 答案 B4.(2018课标Ⅲ,13,5分)已知向量a =(1,2),b =(2,-2),c =(1,λ).若c ∥(2a +b ),则λ= . 答案 125.(2022合肥二模,13)已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2t ,t +5),若A ,B ,C 三点共线,则t = . 答案 -16.(2021全国甲,14,5分)已知向量a =(3,1),b =(1,0),c =a +kb.若a ⊥c ,则k = . 答案 -1037.(2022河南中原名校4月联考,13)已知向量a =(-1,1),b =(-2,4),若a ∥c ,a ⊥(b +c ),则|c |= . 答案 3√28.(2023届河南安阳调研测试,13)设向量a =(m ,1),b =(1,2),且|a -b |2=|a |2-|b |2,则实数m = . 答案 39.(2019上海,9,5分)过曲线y 2=4x 的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与曲线y 2=4x 交于A 、B ,A 在B 上方,M 为抛物线上一点,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ-2)OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ= . 答案 310.(2022湘豫名校4月联考,13)已知向量a =(-1,3),b =(2x ,-x ),其中x ∈R ,则|a -b |的最小值为 . 答案 √5综合篇考法一 平面向量的线性运算1.(2021贵州安顺模拟,5)如图,在正六边形ABCDEF 中,M 为DE 的中点,设AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.54a -34b B.-34a +54b C.54a +34b D.34a +54b 答案 D2.(2022届江苏南通如皋调研,7)如图,已知OA =2,OB =2,OC =1,∠AOB =60°,∠BOC =90°,若OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x y= ( )A.√3B.12 C.√33D.23答案 C3.(2021皖江名校4月联考,10)在△ABC 中,AC ⊥AB ,AB =2,AC =1,点P ,M 是△ABC 所在平面内一点,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗ |+2AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |,且满足|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则2λ+μ的最小值是 ( )A.3+√2B.5C.1D.3−√2 答案 D4.(2023届河南名校诊断测试一,10)已知△ABC 中,BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,过点O 的直线分别交射线AB ,AC 于不同的两点M ,N ,则△AMN 与△ABC 的面积之比的最小值为 ( )A.2√23B.49C.89 D.2答案 C5.(2022山西大同重点中学4月联考,14)在△ABC 中,若AD 是∠BAC 的平分线,且D 在边BC 上,则有ABAC =BDDC ,称之为三角形的内角平分线定理.已知在△ABC 中,AC =4,BC =6,AB =8,P 是△ABC 的内心,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则xy = . 答案8816.(2022昆明五华模拟,15)如图,在矩形ABCD 中,AB =4,AD =3,以CD 为直径的半圆上有一点P ,若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ的最大值为 .答案 737.(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1,1,√2,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α,且tan α=7,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°.若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +nOB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m ,n ∈R ),则m +n = .答案 3考法二 向量共线问题1.(2021山西孝义二模,6)已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,cos α),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2sin α),若A ,B ,D 三点共线,则tan α=( )A.-2B.-12 C.12 D.2 答案 A2.(2022安徽蚌埠三模,11)如图,在梯形ABCD 中,AB ∥DC 且AB =2DC ,点E 为线段BC 的靠近点C 的一个四等分点,点F 为线段AD 的中点,AE 与BF 交于点O ,且AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x +y 的值为( )A.1B.57C.1417D.56答案 C3.(2022江西九大名校3月联考,9)在△ABC 中,点D 在线段AC 上,且满足|AD |=13|AC |,点Q 为线段BD 上任意一点,若实数x ,y 满足AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则1x+1y的最小值为 ( )A.4B.4√3C.8D.4+2√3 答案 D4.(2021江西上饶2月联考,10)在三角形ABC 中,E 、F 分别为AC 、AB 上的点,BE 与CF 交于点Q ,且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,延长AQ 交BC 于点D ,AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λQD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ的值为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 C5.(2022豫北名校联盟4月联考,14)如图所示,A ,B ,C 是圆O 上的三点,线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外一点D ,若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mOA⃗⃗⃗⃗⃗ +nOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则m +n 的取值范围为 .答案 (-1,0)。