2017-2018年上海市交大附中高一(上)期中数学试卷及参考答案
，利用上述结论，证明： ；
（2）若 证明：
，模仿上述证法并结合（1）的证法， ．
（提示：若 a，b，c∈R+，有
）
20．公元 2222 年，有一种高危传染病在全球范围内蔓延，被感染者的潜伏期可 以长达 10 年，期间会有约 0.05%的概率传染给他人，一旦发病三天内即死亡， 某城市总人口约 200 万人，专家分析其中约有 1000 名传染者，为了防止疾病继 续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者， 由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混 合后一起检测以节约试剂， 已知感染者的检测结果为阳性，末被感染者为阴性，另外检测结 果为阳性的血 样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合 后结果不发生改变． （1）若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发 现结果为阳性，则再在该分组内逐个检测排査，设每个组 x 个人，那么最坏情况 下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测 的次数尽可能少，每个分组的最优人数？ （2）在（1）的检测方案中，对于检测结果为阳性的组来取逐一检测排査的方法 并不是很好，或可将这些组的血样在进行一次分组混合血样检测，然后再进行逐 一排査，仍然考虑最坏的 情况，请问两次要如何分组，使检测总次数尽可能少？ （3）在（2）的检测方案中，进行了两次分组混合血样检测，仍然考虑最坏情况， 若再进行 若干次分组混合血样检测，是否会使检测次数更少？请给出最优的检 测方案． 21．已知函数 f（x）=ax2﹣ x+c（a、c∈R），满足 f（1）=0，且 f（x）≥0 在 x
均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个
命题，可组成的正分）设 a＞0，b＞0，则以下不等式中不恒成立的是（ ）
A．
≥4 B．a3+b3≥2ab2
C．a2+b2+2≥2a+2b D．
≥
三.解答题 17．已知△ABC 为直角三角形，记其两条直角边长分别为 a，b∈R+，记面积为 S，
∈R 时恒成立． （1）求 a、c 的值； （2）若 h（x）= x2﹣bx+ ﹣ ，解不等式 f（x）+h（x）＜0；
（3）是否存在实数 m，使函数 g（x）=f（x）﹣mx 在区间[m，m+2]上有最小值 ﹣5？若存在，请求出 m 的值；若不存在，请说明理由．
2017-2018 学年上海市交大附中高一（上）期中数学试卷
2．（3 分）已知集合 U={1，2，3，4}，集合 A={1，2}，B={2，3}，则（A∩∁ UB） ∪（∁ UA∩B）= {1，3} ． 【解答】解：集合 U={1，2，3，4}，集合 A={1，2}，B={2，3}， ∴∁ UB={1，4}，∁ UA={3，4}， ∴A∩∁ UB={1}， ∁ UA∩B={3}， ∴（A∩∁ UB）∪（∁ UA∩B）={1，3}． 故答案为：{1，3}．
﹣3
﹣4
﹣3
0
g（x）
0
1
0
﹣3
则不等式 f（g（x））≥0 的解集为
．
6．（3 分）关于 x 的不等式
的解集不为空集，则 k 的取值范围
为
．
7．（3 分）已知本张试卷的出卷人在公元 x2 年时年龄为 x﹣8 岁，则出卷人的出
生年份是
（假设出生当年的年龄为 1 岁）
8．（3 分）若对任意 x∈R，不等式|x|≥ax 恒成立，则实数 a 的取值范围是
．
12．（3 分）已知 f（x）=（a2﹣5）x2+2x+2，若不等式 f（x）＞x 的解集为 A，已
知（0，1）⊆ A，则 a 的取值范围为
．
二.选择题 13．（3 分）设 P、Q 为两个非空实数集，定义集合 P+Q={a+b|a∈P，b∈Q}．若 P={0，2，5}，Q={1，2，6}，则 P+Q 中元素的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 14．（3 分）不等式（1+x）（1﹣|x|）＞0 的解集是（ ） A．{x|0≤x＜1}B．{x|x＜0 且 x≠﹣1} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|x＜1 且 x≠ ﹣1} 15．（3 分）已知三个不等式：ab＞0，bc﹣ad＞0， ﹣ ＞0（其中 a、b、c、d
周长为 C，若三角形面积为定值，其周长是否有最值，最大值还是最小值，何时
取到，为多少？（结果用 S 表示）．
18．已知 a∈R，若关于 x 的方程
有实根，求 a 的取值范围．
19 ． 阅 读 下 列 不 等 式 的 证 法 ， 再 解 决 后 面 的 问 题 ． 证 明 ：
证
：
令
，
，故
= ．
（1）若
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一.填空题
1．（3 分）设集合 M={x|0＜x≤3}，集合 N={x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”
的
条件．（用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件”填空）．
2．（3 分）已知集合 U={1，2，3，4}，集合 A={1，2}，B={2，3}，则（A∩∁ UB）
∪（∁ UA∩B）=
．
3．（3 分）函数 f（x）= + 的定义域为
．
4．（3 分）已知集合 A={x||x﹣a|＜1，x∈R}，
，且 A∩
B=∅ ，则实数 a 的取值范围是
．
5．（3 分）已知 y=f（x），y=g（x）是两个定义在 R 上的二次函数，其 x、y 的取
值如表所示：
x
1
2
3
4
f（x）
．
9．（3 分）设常数 a＞0，若 9x+
对一切正实数 x 成立，则 a 的取值范围
为
．
10．（3 分）设函数 （f x）=
，若 （f （f a））=2，则 a=
．
11．（3 分）若二次函数 y=f（x）对一切 x∈R 恒有 x2﹣2x+4≤f（x）≤2x2﹣4x+5
成立，且 f（5）=27，则 f（11）=
参考答案与试题解析
一.填空题 1．（3 分）设集合 M={x|0＜x≤3}，集合 N={x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N” 的 必要不充分 条件．（用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件”填 空）． 【解答】解：由 x∈M 不能推出 x∈N，如 x=3 时，故充分性不成立．根据 N⊆ M 可得，由 x∈N 成立，一定能推出 x∈M，故必要性成立． 故“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件， 故答案为 必要不充分．
【精品】2017-2018学年上海市交大附中高一(上)10月月考数学试卷
设购买商品得到的优惠率 =
，试问：
（ 1）若购买一件标价为 1000 元的商品，顾客得到的优惠率是多少？ （ 2）对于标价在 [ 500，800] （元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品， 可得到不小于 的优惠率？
21．（ 18 分）对于四个正数 x，y，z， w，如果 xw＜ yz，那么称（ x，y）是（ z， w）的 “下位序对 ”， （ 1）对于 2，3， 7，11，试求（ 2，7）的 “下位序对 ”； （ 2）设 a，b，c，d 均为正数，且（a，b）是（c，d）的“下位序对 ”，试判断
当
，时 ? a∈（﹣ ，1）．
综上：实数 a 值范围是
．
给答案为：
．
【点评】 本题考查二次函数的图象和性质的应用， 考查分类讨论思想的应用， 转 化思想的应用．
10．（ 5 分）向 50 名学生调查对 A、B 两事件的态度，有如下结果：赞成 A 的人 数是全体的五分之三；赞成 B 的比赞成 A 的多 3 人；另外，对 A、B 都不赞成的 学生数比对 A、B 都赞成的学生数的三分之一多 1 人．则对 A、 B 都赞成的学生 有 21 人． 【分析】赞成 A 的人数 30，赞成 B 的人数为 33，设对 A、B 都赞成的学生数为 x，
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则对 A、B 都不赞成的学生数 x+1，结合韦恩图求解即可． 【解答】 解：由题意：赞成 A 的人数 30，赞成 B 的人数为 33， 设对 A、B 都赞成的学生数为 x，则对 A、B 都不赞成的学生数 x+1， 如图可得 x+30﹣ x+33﹣ x+ x+1=50 所以 x=21． 故答案为： 21．
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2017-2018年上海市交大附中高一(上)数学期中试卷和答案
2017-2018学年上海市交大附中高一（上）期中数学试卷一.填空题1．（3分）设集合M={x|0＜x≤3}，集合N={x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的条件．（用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件”填空）．2．（3分）已知集合U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（A∩∁U B）∪（∁U A∩B）=．3．（3分）函数f（x）=+的定义域为．4．（3分）已知集合A={x||x﹣a|＜1，x∈R}，，且A∩B=∅，则实数a的取值范围是．5．（3分）已知y=f（x），y=g（x）是两个定义在R上的二次函数，其x、y的取值如表所示：则不等式f（g（x））≥0的解集为．6．（3分）关于x的不等式的解集不为空集，则k的取值范围为．7．（3分）已知本张试卷的出卷人在公元x2年时年龄为x﹣8岁，则出卷人的出生年份是（假设出生当年的年龄为1岁）8．（3分）若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，则实数a的取值范围是．9．（3分）设常数a＞0，若9x+对一切正实数x成立，则a的取值范围为．10．（3分）设函数f（x）=，若f（f（a））=2，则a=．11．（3分）若二次函数y=f（x）对一切x∈R恒有x2﹣2x+4≤f（x）≤2x2﹣4x+5成立，且f（5）=27，则f（11）=．12．（3分）已知f（x）=（a2﹣5）x2+2x+2，若不等式f（x）＞x的解集为A，已知（0，1）⊆A，则a的取值范围为．二.选择题13．（3分）设P、Q为两个非空实数集，定义集合P+Q={a+b|a∈P，b∈Q}．若P={0，2，5}，Q={1，2，6}，则P+Q中元素的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．914．（3分）不等式（1+x）（1﹣|x|）＞0的解集是（）A．{x|0≤x＜1}B．{x|x＜0且x≠﹣1}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|x＜1且x≠﹣1}15．（3分）已知三个不等式：ab＞0，bc﹣ad＞0，﹣＞0（其中a、b、c、d 均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．316．（3分）设a＞0，b＞0，则以下不等式中不恒成立的是（）A．≥4 B．a3+b3≥2ab2C．a2+b2+2≥2a+2b D．≥三.解答题17．已知△ABC为直角三角形，记其两条直角边长分别为a，b∈R+，记面积为S，周长为C，若三角形面积为定值，其周长是否有最值，最大值还是最小值，何时取到，为多少？（结果用S表示）．18．已知a∈R，若关于x的方程有实根，求a的取值范围．19．阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题．证明：证：令，=，故．（1）若，利用上述结论，证明：；（2）若，模仿上述证法并结合（1）的证法，证明：．（提示：若a，b，c∈R+，有）20．公元2222年，有一种高危传染病在全球范围内蔓延，被感染者的潜伏期可以长达10年，期间会有约0.05%的概率传染给他人，一旦发病三天内即死亡，某城市总人口约200万人，专家分析其中约有1000名传染者，为了防止疾病继续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混合后一起检测以节约试剂，已知感染者的检测结果为阳性，末被感染者为阴性，另外检测结果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合后结果不发生改变．（1）若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性，则再在该分组内逐个检测排査，设每个组x个人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数？（2）在（1）的检测方案中，对于检测结果为阳性的组来取逐一检测排査的方法并不是很好，或可将这些组的血样在进行一次分组混合血样检测，然后再进行逐一排査，仍然考虑最坏的情况，请问两次要如何分组，使检测总次数尽可能少？（3）在（2）的检测方案中，进行了两次分组混合血样检测，仍然考虑最坏情况，若再进行若干次分组混合血样检测，是否会使检测次数更少？请给出最优的检测方案．21．已知函数f（x）=ax2﹣x+c（a、c∈R），满足f（1）=0，且f（x）≥0在x ∈R时恒成立．（1）求a、c的值；（2）若h（x）=x2﹣bx+﹣，解不等式f（x）+h（x）＜0；（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．2017-2018学年上海市交大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）设集合M={x|0＜x≤3}，集合N={x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件．（用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件”填空）．【解答】解：由x∈M不能推出x∈N，如x=3时，故充分性不成立．根据N⊆M 可得，由x∈N成立，一定能推出x∈M，故必要性成立．故“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件，故答案为必要不充分．2．（3分）已知集合U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（A∩∁U B）∪（∁U A∩B）={1，3} ．【解答】解：集合U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，∴∁U B={1，4}，∁U A={3，4}，∴A∩∁U B={1}，∁U A∩B={3}，∴（A∩∁U B）∪（∁U A∩B）={1，3}．故答案为：{1，3}．3．（3分）函数f（x）=+的定义域为[﹣1，2）U（2，+∞）．【解答】解：根据题意：解得：x≥﹣1且x≠2∴定义域是：[﹣1，2）∪（2，+∞）故答案为：[﹣1，2）∪（2，+∞）4．（3分）已知集合A={x||x﹣a|＜1，x∈R}，，且A∩B=∅，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2] ．【解答】解：∵集合A={x||x﹣a|＜1，x∈R}={x|a﹣1＜x＜a+1}，={x|＜0}，当a+1＞﹣1时，即a＞﹣2时，B={x|﹣1＜x＜a+1}，A={x|a﹣1＜x＜a+1}，不满足A∩B=∅；当a+1=﹣1，即a=﹣2时，B=∅，满足A∩B=∅；当a+1＜﹣1时，即a＜﹣2，B={x|a+1＜x＜﹣1}，A={x|a﹣1＜x＜a+1}，满足A ∩B=∅．综上，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]．故答案为：（﹣∞，﹣2]．5．（3分）已知y=f（x），y=g（x）是两个定义在R上的二次函数，其x、y的取值如表所示：则不等式f（g（x））≥0的解集为（﹣∞，1]∪[3，+∞）．【解答】解：由题意可知，f（1）=f（3）=﹣3，g（1）=g（3）=0，可知二次函数f（x）与g（x）的对称轴为x=2，又f（2）=﹣4，g（2）=1，∴设f（x）=a（x﹣2）2﹣4，g（x）=m（x﹣2）2+1，把f（4）=0，g（4）=﹣3分别代入两个函数解析式，可得：a（4﹣2）2﹣4=0，m（4﹣2）2+1=﹣3，解得a=1，m=﹣1．∴f（x）=（x﹣2）2﹣4=x2﹣4x，g（x）=﹣（x﹣2）2+1=﹣x2+4x﹣3．由f（g（x））≥0，得g（x）≤0或g（x）≥4．即﹣x2+4x﹣3≤0①，或﹣x2+4x﹣3≥4②，解①得x≤1或x≥3；解②得x∈∅．∴不等式f（g（x））≥0的解集为（﹣∞，1]∪[3，+∞）．故答案为：（﹣∞，1]∪[3，+∞）．6．（3分）关于x的不等式的解集不为空集，则k的取值范围为k＞3或k＜0．【解答】解：k＜0时，f（x）=2kx2+kx+开口向下，符合题意，k=0时，f（x）=，不合题意，k＞0时，只需△=k2﹣4•2k•＞0，解得：k＞3，故答案为：k＞3或k＜0．7．（3分）已知本张试卷的出卷人在公元x2年时年龄为x﹣8岁，则出卷人的出生年份是1989年（假设出生当年的年龄为1岁）【解答】解：设出卷人的出生年份是n，则由题意可得：x2﹣n+1=x﹣8，即n=x2﹣x﹣9．结合实际意义不妨取：取x=44时，x2=1936，n=1883，x2﹣n+1≠x﹣8；取x=45时，x2=2025，n=1989，x2﹣n+1=37=44﹣8=x﹣8，符合题意；取x=46时，x2=2116，n=2061，不合题意．∴出卷人的出生年份是1989年．故答案为：1989年．8．（3分）若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，则实数a的取值范围是[﹣1，1] ．【解答】解：当x＞0时，x≥ax恒成立，即a≤1，当x=0时，0≥a×0恒成立，即a∈R，当x＜0时，﹣x≥ax恒成立，即a≥﹣1，若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，所以﹣1≤a≤1，故答案为：[﹣1，1]．9．（3分）设常数a＞0，若9x+对一切正实数x成立，则a的取值范围为[，+∞）．【解答】解：常数a＞0，若9x+≥a+1对一切正实数x成立，故（9x+）min≥a+1，又9x+≥6a，当且仅当9x=，即x=时，等号成立故必有6a≥a+1，解得a≥故答案为[，+∞）10．（3分）设函数f（x）=，若f（f（a））=2，则a=．【解答】解：设t=f（a），则f（t）=2，若t＞0，则f（t）=﹣t2=2，此时不成立，若t≤0，由f（t）=2得，t2+2t+2=2，即t2+2t=0，解得t=0或t=﹣2，即f（a）=0或f（a）=﹣2，若a＞0，则f（a）=﹣a2=0，此时不成立；或f（a）=﹣a2=﹣2，即a2=2，解得a=．若a≤0，由f（a）=0得，a2+2a+2=0，此时无解；或f（a）=﹣2，即a2+2a+4=0，此时无解，综上：a=，故答案为：．11．（3分）若二次函数y=f（x）对一切x∈R恒有x2﹣2x+4≤f（x）≤2x2﹣4x+5成立，且f（5）=27，则f（11）=153．【解答】解：二次函数y=f（x）对一切x∈R恒有x2﹣2x+4≤f（x）≤2x2﹣4x+5成立，可得x2﹣2x+4=2x2﹣4x+5，解得x=1，f（1）=3，函数的对称轴为x=1，设函数f（x）=a（x2﹣2x）+b，由f（1）=3，f（5）=27，可得﹣a+b=3，15a+b=27，解得a=，b=．f（x）=（x2﹣2x）+，f（11）=（112﹣2×11）+=153．故答案为：153；12．（3分）已知f（x）=（a2﹣5）x2+2x+2，若不等式f（x）＞x的解集为A，已知（0，1）⊆A，则a的取值范围为a≥或a≤﹣．【解答】解：根据题意，f（x）=（a2﹣5）x2+2x+2，则不等式f（x）＞x即（a2﹣5）x2+2x+2＞x变形可得（a2﹣5）x2+x+2＞0，若其解集为A，且（0，1）⊆A，设g（x）=（a2﹣5）x2+x+2，则分3种情况讨论：①、a2﹣5=0，即a=±时，f（x）=2x+2，f（x）＞x即x+2＞0，其解集为（﹣2，+∞），符合题意；②、a2﹣5＜0，即﹣＜a＜时，f（x）＞x即（a2﹣5）x2+x+2＞0，若（0，1）⊆A，必有，解可得a≥或a≤﹣，则此时有：﹣＜a＜﹣或＜x＜，③、当a2﹣5＞0，a＜﹣或a＞，g（x）=（a2﹣5）x2+x+2，g（x）为二次函数，开口向上且其对称轴为x=＜0，又由g（0）=2＞0，此时有a＜﹣或a＞，综合可得：a的取值范围为：a≥或a≤﹣，故答案为：a≥或a≤﹣，二.选择题13．（3分）设P、Q为两个非空实数集，定义集合P+Q={a+b|a∈P，b∈Q}．若P={0，2，5}，Q={1，2，6}，则P+Q中元素的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：∵P={0，2，5}，Q={1，2，6}，P+Q={a+b|a∈P，b∈Q}∴当a=0时，b∈Q，P+Q={1，2，6}当a=2时，b∈Q，P+Q={3，4，8}当a=5时，b∈Q，P+Q={6，7，11}∴P+Q={1，2，3，4，6，7，8，11}故选：C．14．（3分）不等式（1+x）（1﹣|x|）＞0的解集是（）A．{x|0≤x＜1}B．{x|x＜0且x≠﹣1}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|x＜1且x≠﹣1}【解答】解：求不等式（1+x）（1﹣|x|）＞0的解集则分两种情况讨论：情况1：即：则：﹣1＜x＜1．情况2：即：则：x＜﹣1两种情况取并集得{x|x＜1且x≠﹣1}．故选：D．15．（3分）已知三个不等式：ab＞0，bc﹣ad＞0，﹣＞0（其中a、b、c、d 均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：由ab＞0，bc﹣ad＞0可得出﹣＞0．bc﹣ad＞0，两端同除以ab，得﹣＞0．同样由﹣＞0，ab＞0可得bc﹣ad＞0.ab＞0．故选：D．16．（3分）设a＞0，b＞0，则以下不等式中不恒成立的是（）A．≥4 B．a3+b3≥2ab2C．a2+b2+2≥2a+2b D．≥【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴A．≥≥4故A恒成立，B．a3+b3≥2ab2，取，则B不成立C．a2+b2+2﹣（2a+2b）=（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0故C恒成立D．若a＜b则≥恒成立若a≥b，则=2﹣2b=2（﹣）≥0，∴≥故选：B．三.解答题17．已知△ABC为直角三角形，记其两条直角边长分别为a，b∈R+，记面积为S，周长为C，若三角形面积为定值，其周长是否有最值，最大值还是最小值，何时取到，为多少？（结果用S表示）．【解答】解：设三角形ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，可得a2+b2=c2，S=ab，C=a+b+c，可得C=a+b+≥2+=2+2，当且仅当a=b=时，C取得最小值，且为2+2．18．已知a∈R，若关于x的方程有实根，求a的取值范围．【解答】解：由x2+x+|a﹣|+|a|=0得﹣x2﹣x=|a﹣|+|a|，设f（x）=﹣x2﹣x，则f（x）=﹣x2﹣x=﹣（x+）2+，所以要使关于x的方程x2+x+|a﹣|+|a|=0有实根，则|a﹣|+|a|≤，因为|a﹣|+|a|，所以|a﹣|+|a|=，此时0故a的取值范围为：[0，]．19．阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题．证明：证：令，=，故．（1）若，利用上述结论，证明：；（2）若，模仿上述证法并结合（1）的证法，证明：．（提示：若a，b，c∈R+，有）【解答】证明：（1）由，由，可得（x 1+x2）（y1+y2）=[（）2+（）2][（）2+（）2]≥（+）2，即有；（2）先证（x13+x23）（y13+y23）（z13+z23）≥（x1y1z1+x2y2z2）3，设A=，B=，C=，则=+=••+••≤（++）+（++）=（+）+（+）+（+）=×（1+1+1）=1，则（x13+x23）（y13+y23）（z13+z23）≥（x1y1z1+x2y2z2）3，由，（x 1+x2）（y1+y2）（z1+z2）=[（）3+（）3][（）3+（）3][（）3+（）3]≥（+）3，则．20．公元2222年，有一种高危传染病在全球范围内蔓延，被感染者的潜伏期可以长达10年，期间会有约0.05%的概率传染给他人，一旦发病三天内即死亡，某城市总人口约200万人，专家分析其中约有1000名传染者，为了防止疾病继续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混合后一起检测以节约试剂，已知感染者的检测结果为阳性，末被感染者为阴性，另外检测结果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合后结果不发生改变．（1）若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性，则再在该分组内逐个检测排査，设每个组x个人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数？（2）在（1）的检测方案中，对于检测结果为阳性的组来取逐一检测排査的方法并不是很好，或可将这些组的血样在进行一次分组混合血样检测，然后再进行逐一排査，仍然考虑最坏的情况，请问两次要如何分组，使检测总次数尽可能少？（3）在（2）的检测方案中，进行了两次分组混合血样检测，仍然考虑最坏情况，若再进行若干次分组混合血样检测，是否会使检测次数更少？请给出最优的检测方案．【解答】解：（1）设每个组x个人，那么最坏情况下，需要进行+1000x次检测可以找到所有的被感染者，由y=+1000x≥2=4×104，由=1000x，即x≈44.72，由于x为正整数，由x=44，可得y=+44000≈89854.54，由x=45，可得y=+45000≈89444.44，可得在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数为45；（2）设第一次每个组x1人，第二次每个组x2人，可得检测的总次数为++1000x2≥3=3×104，当且仅当==1000x2，即x22=x1，x1=100≈158.74，由x1为正整数，可得x1=159离100，较158离100近，即x1为159；=≈12.6，则13较12与12.6距离近，由x则x2为13，则第一次每个组159人，第二次每个组13人；（3）当进行n次这样的检验，可以达到最优，由+++…+1000x n≥（n+1），由===…=1000x n，可得x n=，由n=18，x18=≈1.49，可取x18=1，即进行这样的检验18次，即可得到总次数更少．21．已知函数f（x）=ax2﹣x+c（a、c∈R），满足f（1）=0，且f（x）≥0在x ∈R时恒成立．（1）求a、c的值；（2）若h（x）=x2﹣bx+﹣，解不等式f（x）+h（x）＜0；（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由f（1）=0，得a+c=，因为f（x）≥0在R上恒成立，所以a＞0且△=﹣4ac≤0，ac≥，即a（﹣a）≥，即（a﹣）2≤0，所以a=c=．（2）由（1）得f（x）=x2﹣x+，由f（x）+h（x）＜0，得x2﹣（b+）x+＜0，即（x﹣b）（x﹣）＜0，所以，当b＜时，原不等式解集为（b，）；当b＞时，原不等式解集为（，b）；当b=时，原不等式解集为空集．（3）g（x）=x2﹣（+m）x+，g（x）的图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线x=2m+1．假设存在实数m，使函数g（x）在区间[m，m+2]上有最小值﹣5．①当2m+1＜m，即m＜﹣1时，函数g（x）在区间[m，m+2]上是增函数，所以g（m）=﹣5，即m2﹣（+m）m+=﹣5，解得m=﹣3或m=，因为m＜﹣1，所以m=﹣3；②当m≤2m+1≤m+2，即﹣1≤m≤1时，函数g（x）的最小值为g（2m+1）=﹣5，即（2m+1）2﹣（+m）（2m+1）+=﹣5，解得m=﹣﹣或m=﹣+，均舍去；③当2m+1＞m+2，即m＞1时，g（x）在区间[m，m+2]上是减函数，所以g（m+2）=﹣5，即（m+2）2﹣（+m）（m+2）+=﹣5，解得m=﹣1﹣2或m=﹣1+2，因m＞1，所以m=﹣1+2．综上，存在实数m，m=﹣3或m=﹣1+2时，函数g（x）在区间[m，m+2]上有最小值﹣5．…（18分）。
2017-2018学年上海市交大附中高一(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年上海市交大附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分） 1. “x ＜2”是“x 2＜4”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件2. 设函数f （x ）={1x <0−1x>0，则(a+b)+(a−b)⋅f(a−b)2（a ≠b ）的值为（ ）A. aB. bC. a ，b 中较小的数D. a ，b 中较大的数3. 如图中，哪个最有可能是函数y =x2x 的图象（ ）A.B.C.D.4. 若定义在R 上的函数f （x ）满足：对任意x 1，x 2∈R 有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）+1，则下列说法一定正确的是（ ） A. f(x)为奇函数 B. f(x)为偶函数 C. f(x)+1为奇函数 D. f(x)+1为偶函数 二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5. 若关于x 的不等式x−ax+1≥0的解集为（-∞，-1）∪[4，+∞），则实数a =______． 6. 设集合A ={x ||x -2|＜1}，B ={x |x ＞a }，若A ∩B =A ，则实数a 的取值范围是______． 7. 一条长度等于半径的弦所对的圆心角等于______弧度．8. 若函数f （x ）=log 2（x +1）+a 的反函数的图象经过点（4，1），则实数a =______． 9. 若f(x)=x 13−x −2，则满足f （x ）＞0的x 的取值范围是______．10. 已知f （x ）={a x ,x ≥1(7−a)x−4a,x<1是（-∞，+∞）上的增函数，那么a 的取值范围是______． 11. 定义在R 上的偶函数y =f （x ），当x ≥0时，f （x ）=lg （x 2+3x +2），则f （x ）在R上的零点个数为______． 12. 设f （x ）=x 4+ax 3+bx 2+cx +d ，f （1）=1，f （2）=2，f （3）=3，则14[f(0)+f(4)]的值为______．13. 设f -1（x ）为f （x ）=4x -2+x -1，x ∈[0，2]的反函数，则y =f （x ）+f -1（x ）的最大值为______． 14. 已知函数f （x ）={(x −a)2，x ≤0x +4x +3a ，x ＞0，且f （0）为f （x ）的最小值，则实数a 的取值范围是______．15.设a、b∈R，若函数f(x)=x+ax+b在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为______．16.已知下列四个命题：①函数f（x）=2x满足：对任意x1，x2∈R，x1≠x2，有f(x1+x22)≤12[f(x1)+f(x2)]；②函数f(x)=log2(x+√x2+1)，g(x)=1+22x−1均为奇函数；③若函数f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称图形，且满足f（4-x）=f（x），那么f（2）=f（2018）；④设x1，x2是关于x的方程|log a x|=k（a＞0，a≠1）的两根，则x1x2=1其中正确命题的序号是______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.解关于x的不等式：(log2x)2+(a+1a )log12x+1＜018.设a∈R，函数f(x)=3x+a3x+1；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若f(x)＜a+33对任意的x∈R成立，求a的取值范围19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=k3x+5（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．20. 已知函数f 1（x ）=e |x -2a +1|，f 2（x ）=e |x -a |+1，x ∈R ．（1）若a =2，求f （x ）=f 1（x ）+f 2（x ）在x ∈[2，3]上的最小值；（2）若|f 1（x ）-f 2（x ）|=f 2（x ）-f 1（x ）对于任意的实数x ∈R 恒成立，求a 的取值范围；（3）当4≤a ≤6时，求函数g （x ）=f 1(x)+f 2(x)2−|f 1(x)−f 2(x)|2在x ∈[1，6]上的最小值．21. 对于定义在[0，+∞）上的函数f （x ），若函数y =f （x ）-（ax +b ）满足：①在区间[0，+∞）上单调递减，②存在常数p ，使其值域为（0，p ]，则称函数g （x ）=ax +b 是函数f （x ）的“逼进函数”．（1）判断函数g （x ）=2x +5是不是函数f （x ）=2x 2+9x+11x+2，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”；（2）求证：函数g （x ）=12x 不是函数f （x ）=（12）x ，x ∈[0，+∞）的“逼进函数” （3）若g （x ）=ax 是函数f （x ）=x +√x 2+1，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”，求a 的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由x2＜4，解得：-2＜x＜2，故x＜2是x2＜4的必要不充分条件，故选：B．先求出x2＜4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题．2.【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=，∴当a＞b时，==b；当a＜b时，=a．∴（a≠b）的值为a，b中较小的数．故选：C．由函数f（x）=，知当a＞b时，==b；当a＜b时，=a．本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数值的合理运用．3.【答案】A【解析】解：y′==，令y′＞0，解得：x＜，令y′＜0，解得：x＞，故函数在（-∞，）递增，在（，+∞）递减，而x=0时，函数值y=0，x→-∞时，y→-∞，x→+∞时，y→0，故选：A．求出函数的导数，得到函数的单调性，从而判断出函数的大致图象即可．本题考查了函数的图象，考查函数的单调性问题，是一道基础题．4.【答案】C【解析】解：∵对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，∴令x1=x2=0，得f（0）=-1∴令x1=x，x2=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）+1，∴f（x）+1=-f（-x）-1=-[f（-x）+1]，∴f（x）+1为奇函数．故选C对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，考察四个选项，本题要研究函数的奇偶性，故对所给的x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1进行赋值研究即可本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．5.【答案】4【解析】解：由，得（x-a）（x+1≥0，故-1，4是方程（x-a）（x+1）=0的根，故a=4，故答案为：4解不等式的解集转化为方程的根，求出a的值即可．本题考查了不等式的解法以及转化思想，是一道基础题．6.【答案】（-∞，1]【解析】解：由|x-2|＜1得1＜x＜3，则A=|{x|1＜x＜3}，∵B={x|x＞a}，且A∩B=A，∴A⊆B，即a≤1，故答案为：（-∞，1]．先求出不等式|x-2|＜1的解集即集合A，根据A∩B=A得到A⊆B，即可确定出a的范围．本题考查了交集及其运算，集合之间的关系，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．7.【答案】π3【解析】解：因为一条长度等于半径的弦，所对的圆心角为弧度．故答案为：．直接利用弧长公式求出圆心角即可．本题考查弧长公式的应用，基本知识的考查．8.【答案】3【解析】解：函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），即函数f（x）=log2（x+1）+a的图象经过点（1，4），∴4=log2（1+1）+a∴4=1+a，a=3．故答案为：3．由题意可得函数f（x）=log2（x+1）+a过（1，4），代入求得a的值．本题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题，属于基础题．9.【答案】（1，+∞）【解析】解：若，则满足f（x）＞0，即-x-2＞0，变形可得：＞1，函数g（x）=为增函数，且g（1）=1，解可得：x＞1，即x的取值范围为（1，+∞）；故答案为：（1，+∞）．根据题意，将f（x）＞0变形为＞1，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查其他不等式的解法，关键是将原不等式转化为整式不等式．10.【答案】[7，7)6【解析】解：根据题意，f（x）=是（-∞，+∞）上的增函数，必有，解可得≤a＜7，即a的取值范围为：故答案为：根据题意，由分段函数的单调性分析可得，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查分段函数的单调性，注意分段函数分段分析．11.【答案】0【解析】解：当x≥0时，f（x）=lg（x2+3x+2），函数的零点由：lg（x2+3x+2）=0，即x2+3x+1=0，解得x（舍去）．因为函数是定义在R上的偶函数y=f（x），所以函数的零点个数为：0个．故答案为：0．利用函数是偶函数求出x≥0时，函数的零点个数，即可得到结果．本题考查函数的零点的个数的求法，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．12.【答案】7【解析】解：f（x）=x4+ax3+bx2+cx+d，f（1）=1，f（2）=2，f（3）=3，可得：，∴b=-6a-25；c=11a+61；d=-6a-36，∴[f（4）+f（0）]=（256+64a+16b+4c+2d）=（128+32a+8b+2c+d）=（128+32a-48a-200+22a+122-6a-36）=×14=7．利用已知条件求出a、b、c、d的关系式，化简所求的表达式，求解即可．本题考查方程的根与函数的零点的求法，待定系数法的应用，考查计算能力．13.【答案】4【解析】【分析】本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题．由f（x）=4x-2+x-1在x∈[0，2]上为增函数可得其值域，得到y=f-1（x）在[-，2]上为增函数，由函数的单调性求得y=f（x）+f-1（x）的最大值【解答】解：由f（x）=4x-2+x-1在x∈[0，2]上为增函数，得其值域为[-，2]，可得y=f-1（x）在[-，2]上为增函数，因此y=f（x）+f-1（x）在[-，2]上为增函数，∴y=f（x）+f-1（x）的最大值为f（2）+f-1（2）=2+2=4．故答案为4．14.【答案】[0，4]【解析】解：若f（0）为f（x）的最小值，则当x≤0时，函数f（x）=（x-a）2为减函数，则a≥0，当x＞0时，函数f（x）=的最小值4+3a≥f（0），即4+3a≥a2，解得：-1≤a≤4，综上所述实数a的取值范围是[0，4]，故答案为：[0，4]若f（0）为f（x）的最小值，则当x≤0时，函数f（x）=（x-a）2为减函数，当x＞0时，函数f（x）=的最小值4+3a≥f（0），进而得到实数a的取值范围．本题考查的知识点是分段函数的应用，熟练掌握并理解二次函数和对勾函数的图象和性质，是解答的关键，属于中档题．15.【答案】（0，1）【解析】解：函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间（1，2）上两个不相等的实根，⇒⇒，如图画出数对（a，b）所表示的区域，目标函数z=f（1）═a+b+1∴z的最小值为z=a+b+1过点（1，-2）时，z的最大值为z=a+b+1过点（4，-4）时∴f（1）的取值范围为（0，1）故答案为：（0，1）函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间（1，2）上两个不相等的实根，⇒⇒画出数对（a，b）所表示的区域，求出目标函数z=f（1）═a+b+1的范围即可．本题是函数零点的考查，涉及到规划问题的结合，属于难题．16.【答案】②③④【解析】解：函数f（x）=2x满足：对任意x1，x2∈R，x1≠x2，f（x1）+f（x2）=2+2＞2=2•2=2f（），故①错误；由x＞0，x=0时，x+＞0成立；由x＜0，x2+1＞x2，可得＞-x，即x+＞0，由f（-x）+f（x）=log2（x2+1-x2）=0，即有f（x）为奇函数；又g（-x）+g（x）=2++=2++=0，可得g（x）为奇函数．函数均为奇函数，故②正确；若函数f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称图形，可得f（x）+f（2-x）=0，且满足f（4-x）=f（x），则f（4-x）=-f（2-x），即f（2+x）=-f（x），可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即f（x）为最小正周期为4的函数，可得f（2018）=f（4×504+2）=f（2），那么f（2）=f（2018），故③正确；设x1，x2是关于x的方程|log a x|=k（a＞0，a≠1）的两根，可得log a x1+log a x2=0，即log a x1x2=0，则x1x2=1，故④正确．故答案为：②③④．由指数的运算性质和基本不等式，可判断①；运用奇偶性的定义和性质，可判断②；由题意可得f（x）+f（2-x）=0，结合条件可得f（x）为最小正周期为4的函数，可得结论，可判断③；由对数的运算性质，可判断④．本题考查函数的性质和运用，主要是函数的奇偶性和对称性、周期性的判断和运用，考查定义法和运算能力，属于中档题．17.【答案】解：关于x 的不等式：(log 2x)2+(a +1a )log 12x +1＜0，即 (log 2x)2-（a +1a ）log 2x +1＜0，即（log 2x -a ）•（log 2x -1a）＜0． 当a ＞1a 时，即a ＞1或-1＜a ＜0时，1a ＜log 2x ＜a ，21a ＜x ＜2a ，原不等式的解集为{x |21a ＜x ＜2a }．当a =1a 时，即a =±1时，不等式即(log 2x −a)2＜0，显然它无解，即解集为∅． 当a ＜1a 时，即0＜a ＜1或a ＜-1时，1a ＞log 2x ＞a ，21a ＞x ＞2a ，原不等式的解集为{x |21a ＞x ＞2a }．【解析】原不等式即（log 2x-a ）•（log 2x-）＜0，分类讨论a 与的大小关系，求得log 2x 的范围，可得x 的范围．本题主要考查一元二次不等式的解法，对数不等式的解法，属于中档题． 18.【答案】解：（1）根据题意，函数f(x)=3x +a 3x +1，其定义域为R ，若f （x ）为奇函数，则f （0）=30+a 30+1=0，解可得a =-1； 故a =-1；（2）根据题意，f(x)＜a+33，即3x +a 3x +1＜a+33， 变形可得：a−13x +1＜a 3，即3（a -1）＜a （3x +1），（①）分3种情况讨论：当a =0时，（①）变形为-3＜0，恒成立，当a ＞0时，（①）变形为3a−3a ＜3x +1， 若3a−3a ＜3x +1恒成立，必有3a−3a ≤1，解可得a ≤32， 此时a 的取值范围为（0，32]，当a ＜0时，（①）变形为3a−3a ＞3x +1，不可能恒成立，综合可得：a 的取值范围为[0，32]．【解析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f（0）==0，解可得a的值，即可得答案；（2）根据题意，变形可得3（a-1）＜a（3x+1），分3种情况讨论，求出a的取值范围，综合可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数恒成立问题，属于综合题．19.【答案】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)=k3x+5．再由C（0）=8，得k=40，因此C(x)=403x+5．而建造费用为C1（x）=6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+C1(x)=20×403x+5+6x=8003x+5+6x(0≤x≤10)（Ⅱ）f′(x)=6−2400(3x+5)2，令f'（x）=0，即2400(3x+5)2=6．解得x=5，x=−253（舍去）．当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值点，对应的最小值为f(5)=6×5+80015+5=70．当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．【解析】（I）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C（0）=8，得k=40，进而得到．建造费用为C1（x）=6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式．（II）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．20.【答案】解：（1）对于a=2，x∈[2，3]，f（x）=e|x-3|+e|x-2|+1=e3-x+e x-1（3分）≥2√e3−x⋅e x−1=2e，当且仅当e3-x=e x-1，即x=2时等号成立，∴f（x）min=2e．（6分）（2）|f1（x）-f2（x）|=f2（x）-f1（x）对于任意的实数x恒成立，即f1（x）≤f2（x）对于任意的实数x恒成立，亦即e|x-2a+1|≤e|x-a|+1对于任意的实数x恒成立，∴|x-2a+1|≤|x-a|+1，即|x-2a+1|-|x-a|≤1对于任意的实数x恒成立．（9分）又|x-2a+1|-|x-a|≤|（x-2a+1）-（x-a）|=|-a+1|对于任意的实数x恒成立，故只需|-a+1|≤1，解得0≤a≤2，∴a的取值范围为0≤a≤2．（12分）（3）g（x）=f1(x)+f2(x)2−|f1(x)−f2(x)|2={f2(x),f1(x)>f2(x)f1(x),f1(x)≤f2(x)（13分）∵f1（x）与f2（x）的底数都同为e，外函数都单调递增∴比较f1（x）与f2（x）的大小关系，只须比较|x-2a+1|与|x-a|+1的大小关系令F1（x）=|x-2a+1|，F2（x）=|x-a|+1，G（x）={F2(x),F1(x)>F2(x)F1(x),F1(x)≤F2(x)其中4≤a≤6，x∈[1，6]（14分）∵4≤a≤6∴2a-1≥a≥1，令2a-1-x=1，得x=2a-2，由题意可以如下图象：（15分）当4≤a≤6时，a≤6≤2a-2，G（x）min=F2（a）=1，g（x）min=e1=e；（18分）【解析】（1）对于a=2，x∈[2，3]，去掉绝对值得f（x）=e3-x+e x-1（3分），利用基本不等式积为定值，和有最小值即可求出函数的最小值，注意等号成立的条件；（2）根据条件可知f1（x）≤f2（x）对于任意的实数x恒成立，转化成|x-2a+1|-|x-a|≤1对于任意的实数x恒成立，然后利用绝对值不等式进行求解即可求出参数a的范围；（3）f1（x）与f2（x）的底数都同为e，外函数都单调递增，比较f1（x）与f2（x）的大小关系，只须比较|x-2a+1|与|x-a|+1的大小关系，则令F 1（x ）=|x-2a+1|，F 2（x ）=|x-a|+1，则G （x ）=其中4≤a≤6，x ∈[1，6]，结合图形可知当4≤a≤6时G （x ）min =F 2（a ）=1，g （x ）min =e 1=e ．本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，以及函数的最值及其几何意义和恒成立问题等有关知识，解决本题的关键是等价转化，以及数形结合，分类讨论的思想，难点是绝对值如何去．21.【答案】解：（1）f （x ）-g （x ）=2x 2+9x+11x+2-（2x +5）=1x+2， 可得y =f （x ）-g （x ）在[0，+∞）递减，且x +2≥2，0＜1x+2≤12，可得存在p =12，函数y 的值域为（0，12]， 则函数g （x ）=2x +5是函数f （x ）=2x 2+9x+11x+2，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”； （2）证明：f （x ）-g （x ）=（12）x -12x ，由y =（12）x ，y =-12x 在[0，+∞）递减，则函数y =f （x ）-g （x ）在[0，+∞）递减，则函数y =f （x ）-g （x ）在[0，+∞）的最大值为1；由x =1时，y =12-12=0，x =2时，y =14-1=-34＜0，则函数y =f （x ）-g （x ）在[0，+∞）的值域为（-∞，1]，即有函数g （x ）=12x 不是函数f （x ）=（12）x ，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”； （3）g （x ）=ax 是函数f （x ）=x +√x 2+1，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”， 可得y =x +√x 2+1-ax 为[0，+∞）的减函数，可得导数y ′=1-a +√x 2+1≤0在[0，+∞）恒成立，可得a -1≥√x 2+1，由x ＞0时，√x 2+1=√1+1x 2≤1，则a -1≥1，即a ≥2；又y =x +√x 2+1-ax 在[0，+∞）的值域为（0，1]，则√x 2+1＞（a -1）x ，x =0时，显然成立；x ＞0时，a -1＜√1+1x 2，可得a -1≤1，即a ≤2．则a =2．【解析】（1）由f（x）-g（x），化简整理，结合反比例函数的单调性和值域，即可判断；（2）由指数函数和一次函数的单调性，可得满足①，说明不满足②，即可得证；（3）由新定义，可得y=x+-ax为[0，+∞）的减函数，求得导数，由不等式恒成立思想，可得a的范围；再由值域为（0，1]，结合不等式恒成立思想可得a 的范围，即可得到a的值．本题考查新定义的理解和运用，考查函数的单调性和值域的求法和运用，考查导数的运用，以及不等式恒成立问题的解法，属于中档题．。
上海市交大附中2017-2018学年高一上学期第一次月考数
上海交通大学附属中学2017-2018学年度第一学期高一数学月考一 试卷一、填空题（1-6题每题4分，7-12题每题5分）1. 用列举法表示方程22320,x x x R --=∈的解集是____________.2. 已知集合2{1,},{1,}A m B m =-=，且A B =，则m 的值为____________.3. 设集合{1,2,6},{2,4},{|15,}A B C x x x R ===-≤≤∈，则()A B C =____________.4. 已知关于x 的一元二次不等式20ax x b ++>的解集为(,2)(1,)-∞-+∞，则a b -=____________.5. 设集合{}3(,)|1,(,)12y U x y y x A x y x ⎧-⎫==+==⎨⎬-⎩⎭，则U A =ð____________.6. 不等式21x≥+____________. 7. 已知x R ∈，命题“若25x <<，则27100x x -+<”的否命题是____________.8. 设[]:13,:1,25x x m m αβ-≤≤∈-+，α是β的充分条件，则m ∈____________.9. 若对任意x R ∈，不等式22(1)(1)10a x a x ----<恒成立，则实数a 值范围是____________.10. 向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人. 问对A 、B 都赞成的学生有____________人11. 设[]x 表示不超过x 的最大整数（例如：[5.5]5,[ 5.5]6=-=-），则2[]5[]60x x -+≤的解集为____________.12. 已知有限集123{,,,,}(2)n A a a a a n =≥. 如果A 中元素(1,2,3,,)i a i n =满足1212n n a a a a a a =+++，就称A 为“复活集”，给出下列结论：①集合⎪⎪⎩⎭是“复活集”； ②若12,a a R ∈，且12{,}a a 是“复活集”，则124a a >； ③若*12,a a N ∈，则12{,}a a 不可能是“复活集”； ④若*i a N ∈，则“复活集”A 有且只有一个，且3n =.其中正确的结论是____________.（填上你认为所有正确的结论序号） 二、选择题（每题5分）13. 若集合P 不是集合Q 的子集，则下列结论中正确的是（ ）A. Q P ⊆B. PQ =∅ C. P Q ≠∅ D. P Q P ≠14. 集合{}*|4|21|A x x N =--∈，则A 的非空真子集的个数是（ ）A. 62B. 126C. 254D. 51015. 已知,,a b c R ∈，则下列三个命题正确的个数是（ ） ①若22ac bc >，则a b >；②若|2||2|a b ->-，则22(2)(2)a b ->-③若0a b c >>>，则a a cb b c+>+； ④若0,0,4,4a b a b ab >>+>>，则2,2a b >>A. 1B. 2C. 3D. 416. 若实数,a b 满足0,0a b ≥≥且0ab =，则称a 与b 互补，记(,)a b a b ϕ=-，那么(,)0a b ϕ=是a 与b 互补的（ ） A. 必要而不充分的条件 B. 充分而不必要的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件三、解答题17. （本题满分14分）已知关于x 的不等式250ax x a-<-的解集为M （1）4a =时，求集合M ；（2）若3M ∈且5M ∉，求实数a 的取值范围18. （本题满分14分）解关于x 的不等式2(2)(21)60a x a x -+-+>19. （本题满分16分）已知函数()|1||2|f x x x =+-- （1）求不等式()1f x ≥的解集；（2）若不等式2()f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围20. （本题满分14分）某商场在促销期间规定：商场内所有商品标价的80%出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：4000.230110⨯+=（元），设购买商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额商品的标价。
上海交通大学附属中学2017-2018学年度第一学期 高一数学月考二试卷
上海交通大学附属中学2019-2019学年度第一学期高一数学月考二试卷一、填空题1.已知集合, , 则____________2.函数的定义域为____________3.已知, , 则____________4.函数的值域为____________5.若抛物线恒在直线上方, 则实数的取值范围为____________6.不等式的解集为, 则实数的取值范围是____________7.若, 则满足的的取值范围____________8.已知函数, , 若的图象关于轴对称, 则____________9.若函数在上的值域为，则____________10.密码学是一种密写技术，即把信息写成代码的技术。
将信息转换成保密语言的过程叫编码；有保密形式语言道出原始信息的过程称作译码。
凯撒（Julius Caesar公元前100~前44年）曾使用过一种密码系统, 现称为凯撒暗码。
按照这种系统的规划, 原始信息的字母都用另一字母代替, 后者在标准字母表中的位置比前者靠后三位（即暗码~原码后移3个位置）。
如: 标准字母表: ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ凯撒暗码表: DEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZABC这样就将信息“Julius Caesar”编码为“Mxolxv Fdhvdu”当你知道所得到的信息使用凯撒暗码写成的密码时, 译码工作很容易, 只需要把上述过程倒过来进行。
当然现在的密写技术要复杂许多, 这里我构造一种编码技术, 请同学根据编码过程自己破译一下：信息字母与编码后暗语字母的对应法则是：暗码=原码后移后得到的字母（为原码字母在语句中的位置即第几个字母, 若移出字母表则在后面续一张字母表, 其中□为取整符号, 空格不计数。
）那么若一句话的暗码为“Jnrzj PKNl”其原码是____________11.已知为无理数, 其代数式的值为整数, 则____________12.已知，其中，若对任意的非零实数总存在唯一的非零实数，使得成立，则实数的取值范围是____________二、选择题13.小明在期中考后, 对混合验血问题非常感兴趣, 于是他来到数学组办公室, 寻找出卷的鲍老师。
上海市交大附中高一(上)期中数学试卷含答案
10. 满足条件{1,3，5} ∪ 퐴 ∪ {3，5，7} = {1，3，5，7，9}的所有集合 A 的个数是______
个．
11.
已知不等式푥푥2
+ +
2푥
2푎
≤
0的解集为
A，且2
∈
퐴，3 ∉ 퐴，则实数 a 的取值范围是
______．
12. 若函数푓(푥) = 푥2−1 + 푎−푥2为偶函数且非奇函数，则实数 a 的取值范围为
푥
+
4 푥
+
3푎,푥
> 0，且푓(0)为푓(푥)的最小值，则实数 a
的取值范围
是______． 16. 若方程푎푥2−(4−푎2)푥 + 2 = 0 在(0,2)内恰有一解，则实数 a 的取值范围为
______．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 60.0 分）
17.
己知集合퐴
2푥 −1 = {푥|푥 + 1 ≤ 1,푥
12.【答案】푎 > 1
【解析】解： ∵ 函数푓(푥) = 푥2−1 + 푎−푥2为偶函数且非奇函数， ∴ 푓(−푥) = 푓(푥)，且푓(−푥) ≠ −푓(푥)，
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{푥2−1 ≥ 0
又 푎−푥2 ≥ 0， ∴ 푎 ≥ 1． 푎 = 1，函数푓(푥) = 푥2−1 + 푎−푥2为偶函数且奇函数， 故答案为：푎 > 1． 利用函数푓(푥) = 푥2−1 + 푎−푥2为偶函数且非奇函数，结合函数的定义域，即可求出
万元．源消耗费用之和． (Ⅰ)求 k 的值及푓(푥)的表达式． (Ⅱ)隔热层修建多厚时，总费用푓(푥)达到最小，并求最小值．
2017-2018学年上海市交通大学附属中学高一上学期期末考数学试卷含详解
上海市交大附中2017-2018学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.“2x ＜”是“24x ＜”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C .充要条件D.既非充分也非必要条件2.设函数1,0(){1,0x f x x ->=<，则()()()()2a b a b f a b a b ++--≠的值为（）A.aB.bC.,a b 中较小的数D.,a b 中较大的数3.如图中，哪个最有可能是函数2xxy =的图象（）A. B.C. D.4.若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意1,x 2x R ∈有1212()()()1f x x f x f x +=++则下列说法一定正确的是A.()f x 为奇函数B.()f x 为偶函数C.()1f x +为奇函数D.()1f x +为偶函数二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.若关于x 的不等式01x ax ->+的解集为()(),14,-∞-+∞ ，则实数=a ________6.设集合{}{}2|,|2A x x a B x x =<=<，若A B A = ，则实数a 的取值范围是_______．7.一条长度等于半径的弦所对的圆心角等于______弧度．8.若函数()2log 1f x x a =++（）的反函数的图象经过点41（，），则实数=a ______．9.若()123f x x x -=-，则满足0f x （）＞的x 的取值范围是______．10.已知()()74,1,1xa x a x f x a x ⎧--<=⎨≥⎩是-∞+∞（，）上的增函数，那么a 的取值范围是______．11.定义在R 上的偶函数y f x =（），当0x ≥时，2lg 32f x x x =++（）（），则()f x 在R 上的零点个数为______．12.设432f x x ax bx cx d （）=++++，11,22,33f f f ===（）（）（），则()()1044f f ⎡⎤+⎣⎦的值为______．13.设1f x -（）为241,[02]x f x x x -=+-∈（），的反函数，则1y f x f x -=+（）（）的最大值为______．14.已知函数()2()0430x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++⎪⎩，，＞，且0f （）为()f x 的最小值，则实数a 的取值范围是______．15.设a b R ∈、，若函数()af x x b x=++在区间12（，）上有两个不同的零点，则1f （）的取值范围为______．16.已知下列四个命题：①函数2x f x =（）满足：对任意1212,x x R x x ∈≠，，有()()1212122x xf f x f x +⎛⎫≤+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭；②函数()(()22log 121xf x xg x =+=+-，均为奇函数；③若函数()f x 的图象关于点（1，0）成中心对称图形，且满足4f x f x -=（）（），那么22018f f =（）（）；④设12x x ，是关于x 的方程log 01a x k a a =≠（＞，）的两根，则121=x x 其中正确命题的序号是______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.解关于x 的不等式：22121(log )log 10x a x a ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭＜18.设a R ∈，函数()331x x af x +=+；（1）求a 的值，使得()f x 为奇函数；（2）若()33a f x +＜对任意的x R ∈成立，求a 的取值范围19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C （x ）=(010),35kx x ≤≤+若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f （x ）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k 的值及f(x)的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．20.已知函数|211x a f x e -+=（）|，12,x a f xe x R -+=∈（）．（1）若2a =，求12f x f x f x =+（）（）（）在[23]x ∈，上的最小值；（2）若1221f x f x f xf x -=-（）（）（）（）对于任意的实数x R ∈恒成立，求a 的取值范围；（3）当46a ≤≤时，求函数()()()()()121222f x f x f x f xg x -+=-在[16]x ∈，上的最小值．21.对于定义在[0+∞，）上的函数()f x ，若函数y f x ax b =-+（）（）满足：①在区间[0+∞，）上单调递减，②存在常数p，使其值域为0]p （，，则称函数g x ax b =+（）是函数()f x 的“逼进函数”．（1）判断函数25g x x =+（）是不是函数()22911,[02x x f x x x ++=∈+∞+，）的“逼进函数”；（2）求证：函数()12g x x =不是函数()1,[02xf x x ⎛⎫=∈+∞ ⎪⎝⎭，），的“逼进函数”（3）若g x ax （）=是函数()[0f x x x =+∈+∞，）的“逼进函数”，求a 的值．上海市交大附中2017-2018学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.“2x ＜”是“24x ＜”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C .充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】B【分析】先求出x 2＜4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．【详解】由x 2＜4，解得：﹣2＜x ＜2，故x ＜2是x 2＜4的必要不充分条件，故选B ．【点睛】本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题．2.设函数1,0(){1,0x f x x ->=<，则()()()()2a b a b f a b a b ++--≠的值为（）A.aB.bC.,a b 中较小的数D.,a b 中较大的数【答案】C【详解】∵函数()1,(0),1,(0)x f x x ->⎧=⎨<⎩∴当a b >时，()()()()()b 22a b a b f a b a b a b ++-⋅-+--==;当a b <时，()()()()()a 22a b a b f a b a b a b ++-⋅-++-==;∴()()()()2a b a b f a b a b ++-⋅-≠的值为a ,b 中较小的数故选C3.如图中，哪个最有可能是函数2x xy =的图象（）A. B.C. D.【答案】A【分析】求出函数的导数，得到函数的单调性，从而判断出函数的大致图象即可．【详解】y ′22221222x x x xx ln xln --==，令y ′＞0，解得：x 12ln ＜，令y ′＜0，解得：x 12ln ＞，故函数在（﹣∞，12ln ）递增，在（12ln ，+∞）递减，而x ＝0时，函数值y ＝0，x →﹣∞时，y →﹣∞，x →+∞时，y →0，故选A ．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.4.若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意1,x 2x R ∈有1212()()()1f x x f x f x +=++则下列说法一定正确的是A.()f x 为奇函数 B.()f x 为偶函数C.()1f x +为奇函数D.()1f x +为偶函数【答案】C【详解】x 1=x 2=0，则()()()0001f f f =++，()01f ∴=-，令x 1=x ，x 2=-x ，则()()()01f f x f x =+-+，所以()()110f x f x ++-+=，即()()11f x f x ⎡⎤+=--+⎣⎦，()1f x +为奇函数，故选C.二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.若关于x 的不等式01x ax ->+的解集为()(),14,-∞-+∞ ，则实数=a ________【答案】4【分析】根据题意得()()10x a x -+=的两根为1-和4，从而可求出结果.【详解】因为关于x 的不等式01x ax ->+的解集为()(),14,-∞-+∞ ，所以不等式()()10x a x -+>的解集为()(),14,-∞-+∞ 即方程()()10x a x -+=的两根为1-和4，所以4a =，故答案为：4.6.设集合{}{}2|,|2A x x a B x x =<=<，若A B A = ，则实数a 的取值范围是_______．【答案】4a ≤【详解】试卷分析：由A B A ⋂=⇔A B ⊂，所以当A φ=时，满足A B ⊂，此时不等式2x a <无解，所以0a ≤，当A φ≠即0a >时，{}|0A x a =<，由A B ⊂可知204a ≤⇒<≤，综上可知实数a 的取值范围是4a ≤.考点：1.集合的运算；2.分类讨论的思想.7.一条长度等于半径的弦所对的圆心角等于______弧度．【答案】3π【分析】直接利用平面性质求出圆心角即可．【详解】由题意可知：△ABC 为等边三角形，所以圆心角等于3π.故答案为3π．【点睛】本题考查圆心角的求法，基本知识的考查．8.若函数()2log 1f x x a =++（）的反函数的图象经过点41（，），则实数=a ______．【答案】3【分析】由题意可得函数f （x ）＝log 2（x +1）+a 过（1，4），代入求得a 的值．【详解】函数f （x ）＝log 2（x +1）+a 的反函数的图象经过点（4，1），即函数f （x ）＝log 2（x +1）+a 的图象经过点（1，4），∴4＝log 2（1+1）+a ∴4＝1+a ，a ＝3．故答案为3．【点睛】本题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题，属于基础题．9.若()123f x x x -=-，则满足0f x （）＞的x 的取值范围是______．【答案】（1，+∞）【分析】根据题意，将f （x ）＞0变形为73x ＞1，解可得x 的取值范围，即可得答案．【详解】若()123f x x x -=-，则满足f （x ）＞0，即1321x x＞，变形可得：73x ＞1，函数g （x ）73x =为增函数，且g （1）＝1，解可得：x ＞1，即x 的取值范围为（1，+∞）；故答案为（1，+∞）．【点睛】本题考查幂函数的图象与性质，属于基础题.10.已知()()74,1,1xa x a x f x a x ⎧--<=⎨≥⎩是-∞+∞（，）上的增函数，那么a 的取值范围是______．【答案】776⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据题意，由分段函数的单调性分析可得()70174a a a a a ⎧-⎪⎨⎪--≤⎩＞＞，解可得a 的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，f （x ）()7411x a x a x a x ⎧--=⎨≥⎩，＜，是（﹣∞，+∞）上的增函数，必有()70174a a a a a⎧-⎪⎨⎪--≤⎩＞＞，解可得76≤a ＜7，即a 的取值范围为：776⎡⎫⎪⎢⎣⎭故答案为776⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查了分段函数的图象与性质，注意三点：第一段单调性，第二段单调性，断点处的函数值的比较，属于中档题.11.定义在R 上的偶函数y f x =（），当0x ≥时，2lg 32f x x x =++（）（），则()f x 在R 上的零点个数为______．【答案】0【分析】求出x ≥0时函数的零点个数，结合奇偶性即可得到结果．【详解】当x ≥0时，f （x ）＝lg （x 2+3x +2），令lg （x 2+3x +2）＝0，即x 2+3x +1＝0，解得x32-±（舍去）．因为函数是定义在R 上的偶函数y ＝f （x ），所以函数的零点个数为：0个．故答案为0．【点睛】本题考查函数的零点的个数的求法，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．12.设432f x x ax bx cx d （）=++++，11,22,33f f f ===（）（）（），则()()1044f f ⎡⎤+⎣⎦的值为______．【答案】7【分析】利用已知条件求出a 、b 、c 、d 的关系式，化简所求的表达式，求解即可．【详解】f （x ）＝x 4+ax 3+bx 2+cx +d ，f （1）＝1，f （2）＝2，f （3）＝3，可得：111684228127933a b c d a b c d a b c d ++++=⎧⎪++++=⎨⎪++++=⎩，∴b ＝﹣6a ﹣25；c ＝11a +61；d ＝﹣6a ﹣36，∴14[f （4）+f （0）]14=（256+64a +16b +4c +2d ）12=（128+32a +8b +2c +d ）12=（128+32a ﹣48a ﹣200+22a +122﹣6a ﹣36）12=⨯14＝7．【点睛】本题考查求函数的值，待定系数法的应用，考查计算能力．13.设1f x -（）为241,[02]x f x x x -=+-∈（），的反函数，则1y f x f x -=+（）（）的最大值为______．【答案】4【分析】由f （x ）＝4x ﹣2+x ﹣1在x ∈[0，2]上为增函数可得其值域，得到y ＝f ﹣1（x ）在[1516-，2]上为增函数，由函数的单调性求得y ＝f （x ）+f ﹣1（x ）的最大值【详解】由f （x ）＝4x ﹣2+x ﹣1在x ∈[0，2]上为增函数，得其值域为[1516-，2]，可得y ＝1f x -（）在[1516-，2]上为增函数，因此y ＝f （x ）+1f x -（）在[0，2]上为增函数，∴y ＝f （x ）+1f x -（）的最大值为f （2）+1f -（2）＝2+2＝4．故答案为4．【点睛】本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题．14.已知函数()2()0430x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++⎪⎩，，＞，且0f （）为()f x 的最小值，则实数a 的取值范围是______．【答案】[0，4]【分析】若f （0）为f （x ）的最小值，则当x ≤0时，函数f （x ）＝（x ﹣a ）2为减函数，当x ＞0时，函数f （x ）43x a x=++的最小值4+3a ≥f （0），进而得到实数a 的取值范围．【详解】若f （0）为f （x ）的最小值，则当x ≤0时，函数f （x ）＝（x ﹣a ）2为减函数，则a ≥0，当x ＞0时，函数f （x ）43x a x=++的最小值4+3a ≥f （0），即4+3a ≥a 2，解得：﹣1≤a ≤4，综上所述实数a 的取值范围是[0，4]，故答案为[0，4]【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，熟练掌握并理解二次函数和对勾函数的图象和性质，是解答的关键，属于中档题．15.设a b R ∈、，若函数()af x x b x=++在区间12（，）上有两个不同的零点，则1f （）的取值范围为______．【答案】（0，1）【分析】函数()af x x b x=++在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x 2+bx +a ＝0在区间（1，2）上两个不相等的实根，利用线性规划知识即可得到结果.【详解】函数()af x x b x=++在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x 2+bx +a ＝0在区间（1，2）上两个不相等的实根，⇒21224010420b b a a b b a ⎧-⎪⎪⎪-⎨⎪++⎪++⎪⎩＜＜＞＞＞⇒242410420b b a a b b a --⎧⎪⎪⎨++⎪⎪++⎩＜＜＞＞＞，如图画出数对（a ，b ）所表示的区域，目标函数z ＝f （1）=a +b +1∴z 的最小值为z ＝a +b +1过点（1，﹣2）时，z 的最大值为z ＝a +b +1过点（4，﹣4）时∴f （1）的取值范围为（0，1）故答案为（0，1）【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．16.已知下列四个命题：①函数2x f x =（）满足：对任意1212,x x R x x ∈≠，，有()()1212122x xf f x f x +⎛⎫≤+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭；②函数()(()22log 121x f x x g x =+=+-，均为奇函数；③若函数()f x 的图象关于点（1，0）成中心对称图形，且满足4f x f x -=（）（），那么22018f f =（）（）；④设12x x ，是关于x 的方程log 01a x k a a =≠（＞，）的两根，则121=x x 其中正确命题的序号是______．【答案】①②③④【分析】由指数的运算性质和基本不等式，可判断①；运用奇偶性的定义和性质，可判断②；由题意可得f （x ）+f （2﹣x ）＝0，结合条件可得f （x ）为最小正周期为4的函数，可得结论，可判断③；由对数的运算性质，可判断④．【详解】函数f （x ）＝2x 满足：对任意x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，f （x 1）+f （x 2）1222x x =+＞=2•1222x x +=2f （122x x +），故①正确；由x ＞0，x ＝0时，x 0成立；由x ＜0，x 2+1＞x 2-x ，即x 0，由f （﹣x ）+f （x ）＝log 2（x 2+1﹣x 2）＝0，即有f （x ）为奇函数；又g （﹣x ）+g （x ）＝2222121x x -++=--22221221x x x ⋅++=--0，可得g （x ）为奇函数．函数()(()22121x f x log x g x =+=+-，均为奇函数，故②正确；若函数f （x ）的图象关于点（1，0）成中心对称图形，可得f （x ）+f （2﹣x ）＝0，且满足f （4﹣x ）＝f （x ），则f （4﹣x ）＝﹣f （2﹣x ），即f （2+x ）＝﹣f （x ），可得f （x +4）＝﹣f （x +2）＝f （x ），即f （x ）为最小正周期为4的函数，可得f （2018）＝f （4×504+2）＝f （2），那么f （2）＝f （2018），故③正确；设x 1，x 2是关于x 的方程|log a x |＝k （a ＞0，a ≠1）的两根，可得log a x 1+log a x 2＝0，即log a x 1x 2＝0，则x 1x 2＝1，故④正确．故答案为①②③④．【点睛】本题考查函数的性质和运用，主要是函数的奇偶性和对称性、周期性的判断和运用，考查定义法和运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.解关于x 的不等式：22121(log )log 10x a x a ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭＜【答案】当a ＞1或-1＜a ＜0时，不等式的解集为122a a x x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭．当1a =±时，解集为∅．当0＜a ＜1或a ＜-1时，不等式的解集为122a a x x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪<<⎨⎨⎬⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭．【分析】原不等式即（log 2x ﹣a ）•（log 2x 1a -）＜0，分类讨论a 与1a 的大小关系，求得log 2x 的范围，可得x 的范围．【详解】关于x 的不等式：()2212110log x a log x a ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭＜，即()222110log x a log x a-++（）＜，即221•0log x a log x a--（）（）＜．当1a a ＞时，即a ＞1或-1＜a ＜0时，21log x a a ＜＜，122a a x ＜＜，原不等式的解集为122a a x x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭．当1a a=时，即1a =±时，不等式即()22log 0x a -<，显然它无解，即解集为∅．当1a a <时，即0＜a ＜1或a ＜-1时，21log x a a ＞＞，122a a x ＞＞，原不等式的解集为122a a x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．【点睛】（1）解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．（2）解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即判别式的符号进行分类，最后当根存在时，再根据根的大小进行分类．18.设a R ∈，函数()331x x a f x +=+；（1）求a 的值，使得()f x 为奇函数；（2）若()33a f x +＜对任意的x R ∈成立，求a 的取值范围【答案】（1）1a =-；（2）302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f （0）00331a +==+0，解可得a 的值，即可得答案；（2）根据题意，()33a f x ＜+变形可得3（a ﹣1）＜a （3x +1），分3种情况讨论，求出a 的取值范围，综合可得答案．【详解】（1）根据题意，函数()331x x a f x +=+，其定义域为R ，若f x （）为奇函数，则()0030031a f +==+，解可得1a （经检验适合）=-；故1a =-；（2）根据题意，()33a f x +＜，即33313x x a a ++<+，变形可得：1313x a a ＜-+，即3131x a a -+（）＜（），（①）分3种情况讨论：当a =0时，（①）变形为-3＜0，恒成立，当a ＞0时，（①）变形为3331x a a -+＜，若3331x a a -+＜恒成立，必有331a a -≤，解可得32a ≤，此时a 的取值范围为（0，32]，当a ＜0时，（①）变形为3331x a a ->+，不可能恒成立，综合可得：a 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数恒成立问题，属于综合题．19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C （x ）=(010),35k x x ≤≤+若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f （x ）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k 的值及f(x)的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．【答案】40k =，因此40()35C x x =+.,当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．【详解】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为cm x ，由题设，每年能源消耗费用为()35k C x x =+.再由(0)8C =，得40k =，因此40()35C x x =+.而建造费用为1()6C x x=最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为140800()20()()2066(010)3535f x C x C x x x x x x =+=⨯+=+≤≤++（Ⅱ）22400'()6(35)f x x =-+，令'()0f x =，即224006(35)x =+.解得5x =，253x =-（舍去）.当05x 时，'()0f x ，当510x 时，'()0f x ，故5x =是()f x 的最小值点，对应的最小值为800(5)6570155f =⨯+=+．当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．20.已知函数|211x a f x e -+=（）|，12,x a f x e x R -+=∈（）．（1）若2a =，求12f x f x f x =+（）（）（）在[23]x ∈，上的最小值；（2）若1221f x f x f xf x -=-（）（）（）（）对于任意的实数x R ∈恒成立，求a 的取值范围；（3）当46a ≤≤时，求函数()()()()()121222f x f x f x f xg x -+=-在[16]x ∈，上的最小值．【答案】(1)32(2)12a ≤≤(3)27min 71,(1),27(){,(4),2,(46).a a g x e a e a -≤<=≤<≤≤【详解】（1）32；（2）即12()()f x f x ≤恒成立，得211x a x a -+≤-+，即211x a x a -+--≤对x R ∈恒成立，因211x a x a a -+--≤-，故只需11a -≤，解得02a ≤≤，又16a ≤≤，故a 的取值范围为12a ≤≤．（3）112212(),()(),(){(),()().f x f x f xg x f x f x f x ≤=>①当12a ≤≤时，由（2）知211()()x a g x f x e -+==，当21[1,3]x a =-∈时，min ()1g x =．②当2<6a ≤时，(21)10a a a --=->，故21a a ->．x a ≤时，(21)112()()x a x a f x e e f x -+--++=>=，12()()x a g x f x e -+==；21x a ≥-时，(21)112()()x a x a f x e e f x ---+=<=，211()()x a g x f x e-+==；21a x a <<-时，由(21)112()()x a x a f x e e f x -+--+=≤=，得322a x -≥，其中32212a a a -<<-，故当32212a x a -≤<-时，|21|1()()x a g x f x e -+==；当322a a x -<<时，12()()x a g x f x e -+==.因此，当2<6a ≤时，1232(),,2(){32(),.2a f x x g x a f x x -≥=-<令211()x a f x e e -+==，得1222,2x a x a =-=，且32222a a -<-，如图，(ⅰ)当622a a ≤≤-，即46a ≤≤时，min 2()()g x f a e ==；(ⅱ)当22621a a -<≤-，即742a ≤<时，27min 1()(6)a g x f e -==；(ⅲ)当216a -<，即722a <<时，min 1()(21)1g x f a =-=．综上所述，27min 71,(1),27(){,(4),2,(46).a a g x e a e a -≤<=≤<≤≤21.对于定义在[0+∞，）上的函数()f x ，若函数y f x axb =-+（）（）满足：①在区间[0+∞，）上单调递减，②存在常数p，使其值域为0]p （，，则称函数g x ax b =+（）是函数()f x 的“逼进函数”．（1）判断函数25g x x =+（）是不是函数()22911,[02x x f x x x ++=∈+∞+，）的“逼进函数”；（2）求证：函数()12g x x =不是函数()1,[02xf x x ⎛⎫=∈+∞ ⎪⎝⎭，），的“逼进函数”（3）若g x ax （）=是函数()[0f x x x =+∈+∞，）的“逼进函数”，求a 的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2.【分析】（1）由f （x ）﹣g （x ），化简整理，结合反比例函数的单调性和值域，即可判断；（2）由指数函数和一次函数的单调性，可得满足①，说明不满足②，即可得证；（3）由新定义，可得y ＝x -ax 为[0，+∞）的减函数，求得导数，由不等式恒成立思想，可得a 的范围；再由值域为（0，1]，结合不等式恒成立思想可得a 的范围，即可得到a 的值．【详解】（1）229112x x f x g x x ++-=+（）（）1252x x （）-+=+，可得y f x g x =-（）（）在[0，+∞）递减，且22x +≥，11022x ≤+＜，可得存在12p =，函数y 的值域为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，则函数25g x x （）=+是函数()229112x x f x x ++=+，[0x ，）∈+∞的“逼进函数”；（2）证明：1122x f x g x x -=-（）（）（，由12x y =（，12y x =-在[0，+∞）递减，则函数y f x g x =-（）（）在[0，+∞）递减，则函数y f x g x =-（）（）在[0，+∞）的最大值为1；由1x =时，11022y =-=，2x =时，131044y ＜=-=-，则函数y f x g x =-（）（）在[0，+∞）的值域为（-∞，1]，即有函数12g x x =（）不是函数12x f x =（）（），x ∈[0，+∞）的“逼进函数”；（3）g x ax =（）是函数()f x x =+，[0x ，）∈+∞的“逼进函数”，可得y x ax =+为[0，+∞）的减函数，可得导数'10y a =-≤在[0，+∞）恒成立，可得1a -≥，由x ＞01=≤，则11a -≥，即2a ≥；又y x ax =+在[0，+∞）的值域为（0，1]，()1a x >-，x =0时，显然成立；x ＞0时，1a -，可得11a -≤，即2a ≤．则a =2．【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查函数的单调性和值域的求法和运用，考查导数的运用，以及不等式恒成立问题的解法，属于中档题．。
上海市上海中学2017-2018学年度高一上学期期中考试数学试卷及答案
上海中学2017-2018学年上学期高一期中数学卷一、填空题1.设集合{}0,2,4,6,8,10A =，{}4,8B =，则A C B =___________2.已知集合{}2A x x =<，{}1,0,1,2,3B =-，则A B =___________3“若1x =且1y =，则2x y +=”的逆否命题是____________4.若2211()f x x x x +=+，则(3)f =___________ 5.不等式9x x>的解是___________ 6.若不等式2(1)0ax a x a +++<对一切x R ∈恒成立，则a 的取值范围是___________7.不等式2(3)30x --<的解是____________8.已知集合{}68A x x =-≤≤，{}B x x m =≤，若A B B ≠且AB ≠∅，则m 的取值范围是_____________9.不等式1()()25a x y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为_________ 10.设0,0a b >>，且45ab a b =++，则ab 的最小值为____________11.已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[1,1]-内至少存在一个实数c ，使()0f c >，则实数p 的取值范围是_____________12.已知0a >，0b >，2a b +=，则2221a b a b +++的最小值为___________ 二、选择题13..不等式x x x <的解集是（ ）（A ）{}01x x << （B ）{}11x x -<<（C ）{}011x x x <<<-或 （D ）{}101x x x -<<>或14.若A B ⊆，A C ⊆，{}0,1,2,3,4,5,6B =，{}0,2,4,6,8,10C =，则这样的A 的个数为（ ）（A ）4 （B ）15 （C ）16 （D ）3215.不等式210ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b -=（ ）（A ）7- （B ）7 （C ）5- （D ）516.已知函数2()f x x bx =+，则“0b <”是“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”的（ ）条件（A ）充分不必要 （B ）必要不充分 （C ）充要 （D ）既不充分也不必要三、解答题17.解不等式： （1）2234x x -+-<； （2）2232x x x x x -≤--18.已知,,,a b c d R ∈，证明下列不等式：（1）22222()()()a b c d ac bd ++≥+； （2）222a b c ab bc ca ++≥++19.已知二次函数2()1,,f x ax bx a b R =++∈，当1x =-时，函数()f x 取到最小值，且最小值为0；（1）求()f x 解析式；（2）关于x 的方程()13f x x k =+-+恰有两个不相等的实数解，求实数k 的取值范围；。
上海交通大学附属中学第一学期.高一数学期终试卷解答
高一数学试卷(满分100分，90分钟完成。
答案一律写在答题纸上)一.填空题：(本大题共12题，每题3分，满分36分)1、设p: |x-1|<1 , q :丄上0，则p是q的_______________ 条件(充分必要性)。
2x 12、若一个数集中任何一个元素的倒数仍在该集合中，则称该集合是“可倒”的数集，请你写出一个“可倒”的数集 _______________ 。
3、在与2010角终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数是________________ 。
4、若方程x2-5x+m=0 与x2-nx+15=0 的解集分别为A、B，且A B={3}，贝U m+n= __________ 。
2 x 1 x 05、设函数f(x)= ，若f(x0)>1，则X0的取值范围是 _____________ 。
V x x 06、若函数y=f(x)为奇函数，且当x<0 时，f(x)=x+lg|x|，贝U f(10)= ___________ 。
7、函数y=ln(4+3x-/)的单调减区间为______________ 。
&已知函数f(x)= 2x a在［-1，c］上为奇函数，则f(丄)？c的值为___________________ 。
x bx 1 29、不等式(x-2) J x2 x 6 0的解集为________________ 。
10、已知函数f(x)= a x的反函数f -1(x)的图像的对称中心是(b，3)，则实数a+b为_______________ 。
x a 111、定义：区间［x1，X2］( x1<x2)的长度为X2-X1，已知函数y= |log 0.5x|的定义域为［a，b］，值域为［0，2］，则区间［a，b］的长度的最大值为________ 。
12、设函数f(x)的定义域为D，若对于任意的X1 D,存在唯一X2 D的使丄血 ^^=5。
2 为常数)，则称函数f(x)在D上的均值为C。
交大附中2017-2018高一上期末数学卷(含答案)
往年模考题目，一模还是二模忘了 很多学校考过
20.（1）证明略；（2）是“逼近数列”；；（3） a = 2 .
可参考 2018 届（今年）青浦区高三一模最后一题
年的隔热层， 厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元。该建筑物 年的能源消耗费用 C （单位：万元）与隔热层厚度
x （单位：cm ）满足关系: C(x) =
k 3x +
5
(0
≤
x
≤ 10), 若不建隔热层，
年能源消耗费用为 8 万元.设 f (x) 为隔热
层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和.
（1）求 k 的值及 f (x) 的表达式.
（1）求证：函数 g(x) = 1 x 不是函数 f (x) = (1 )x ， x ∈[0,+∞) 的“逼近函数”；
2
2
（2）判断函数
g(x)
=
2x
+
5 是不是函数
f
(x)
=
2x2
+ 9x +11 x+2
，
x ∈[0,+∞)
的“线性替代函数”；
（3）若 g(x) = ax 是函数 f (x) = x + x2 +1 ， x ∈[0,+∞) 的“线性替代函数”，求 a 的值.
(x) =
2x
满足：对任意
x1, x2
∈ R, x1
≠
x2
，有
f
x1
+ x2 2
<
1[f
2
(x1 ) +
f
(x2 )]；
( ) ②函数 f (x) = log2 x +
x2