三角形三线定理
初中数学-暑假第2讲-三线合一-学生版
三线合一知识讲授等腰三角形的“三线合一”性质应用十分广泛，可以利用它来巧妙地证明角相等、线段相等或直线垂直等问题．1．三角形的“三线”是指三角形中的高线、中线及角平分线。
2．“三线合一”定理在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合。
简记为“三线合一”。
（前提一定是在等腰三角形中，其它三角形不适用）（1）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，求证：∠BAD=∠CAD，BD=CD。
证明：∵AB=AC，AD⊥BC，AD=AD∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL）∴∠BAD=∠CAD，BD=CD总结：等腰三角形中，底边的高线，既是顶角平分线也是底边中线。
（2）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，求证：AD⊥BC，BD=CD。
证明：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD∴△ADB≌△ADC（SAS）∴∠BDA=∠CDA，BD=CD又∵∠BDA+∠CDA=180°∴∠BDA=∠CDA=90°∴AD⊥BC，BD=CD总结：等腰三角形中，顶角平分线，既是底边高线也是底边中线。
（3）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD=CD，求证：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD。
证明：∵AB=AC，BD=CD，AD=AD∴△ADB≌△ADC（SSS）∴∠BDA=∠CDA，∠BAD=∠CAD又∵∠BDA+∠CDA=180°∴∠BDA=∠CDA=90°∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD总结：等腰三角形中，底边中线，既是底边高线也是顶角平分线。
3．“三线合一”逆定理在三角形中，高线、中线、角平分线中只要两线重合，则可推出这条线也是第三条线，且这个三角形为等腰三角形。
简言之：两线合一，必等腰。
（1）如图，在△ABC中，BD=CD，AD⊥BC，求证：AB=AC，∠BAD=∠CAD。
证明：∵BD=CD，AD⊥BC，AD=AD∴△ADB≌△ADC（SAS）∴AB=AC，∠BAD=∠CAD总结：在三角形中，高线和中线重合，则这条线也为角平分线，且三角形为等腰三角形。
数学北师大版八年级下册等腰三角形三线合一定理的应用
等腰三角形“三线合一”定理的初步应用成都市文翁实验中学张荣华一、教学目标1.理解等腰三角形“三线合一”的条件及结论，能准确书写；2.掌握“三线合一”定理“由一推二”的特点，了解该性质的常见用处，即：证明两线垂直、两线段相等、两角相等；3.掌握等腰三角形中常作的辅助线（有三线用三线，无三线作辅线）；4.鼓励学生参与课堂，通过自主钻研、合作探究等方式解决数学问题，提升数学能力。
二、学情分析本校处在城郊结合部，学生有一半来自本地，另一半来自进城务工人员家庭。
孩子们基础较为薄弱，课后自主学习性较差，主要依靠课堂学习来培养数学能力。
本节内容是《生活中的轴对称》的一部分，在讲本节内容之前，学生已学习了全等三角形的性质与判定，同时对等腰三角形的定义及性质进行了初步的学习。
三、教学重难点重点：理清“三线合一”的条件及结论，能熟练分析和解决问题，并能正确书写；难点：“三线合一”定理的正确书写、辅助线的作法。
四、教学方法1.“三个一”教学法，即：一例一练一提高；2.“点对点”分块教学。
五、教学过程（一）复习引入1.等腰三角形三线合一定理：（由一推）如图：在△ABC中，∵∴∵∴∵∴2.等腰三角形“三线合一”定理常用来证明什么？两线垂直、两线段相等、两角相等（二）例与练例1.如图所示，在等腰△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD上。
求证：BE=CE。
归纳：见等腰，想三线，有三线，用三线B练习. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是△ABC 外一点，且BD=CD 。
求证：AD 垂直平分BC 。
提高：已知，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD ，垂足为E ，BF ∥AC 交CE 的延长线于F ，说明AB 垂直平分DF 的理由。
例2. 已知：如图，B 、D 、E 、C 在同一条直线上，AB=AC ，AD=AE 。
求证：BD=CE 。
归纳：见等腰，想三线，无三线，作辅线练习.如图：ΔABC 中AB ＝AC ，D 在BC 的中点，D E ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。
三角形三线合一
三角形三线合一三角形三线合一 1三条线合一，即在等腰三角形中，顶角平分线、底边中线、底边高线，三条线重合。
比如，已知等腰三角形的中线和底边的高度相同，那么可以说这条线段就是底边对应顶点的角平分线。
应用三条线合一是等腰三角形。
分别是，一个与顶角、顶角平分线有关，另外两个与底边有关(不是腰，是等边三角形比较特殊)。
一个是底边的高度，一个是底边的中垂线。
这是等腰三角形的一个特殊性质，可以用来处理很多平面几何问题。
三线合一逆命题①如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
②如果三角形中有一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
③如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。
三角形三线合一 41.等腰三角形的两个底角度数相等(简写成“等边对等角”)。
2.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合(简写成“三角形三线合一1”)。
3.等腰三角形两底角的平分线相等(两腰中线相等，两腰高度相等)。
4.等腰三角形底边上的中垂线与两个腰的距离相等。
5.等腰三角形的一个腰高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上的任意一点到两个腰的距离之和等于一个腰的高度(用等面积法证明)。
7.一般的等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
但等边三角形(特殊的等腰三角形)有三条对称轴。
每个角的角平分线所在的直线，三条中线所在的直线，和高所在的直线就是等边三角形的对称轴。
8.等腰三角形中腰长的平方等于底边高的平方加上底边平方的一半(勾股定理)。
9.等腰三角形的腰与它的高的关系：腰大于高;腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。
三角形顶点和中点连线的定义和性质
三角形顶点和中点连线的定义和性质
(1)等腰三角形顶角平分线三线合一(即等腰三角形顶角的平分线也是底边的中线及垂线)性质定理的逆定理：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的垂线，则这条平分线也是对边的中线，这个三角形是等腰三角形”．
(2)“等腰三角形三线合一定理”的下述逆命题也是正确的：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的中线，则这个三角形是等腰三角形，这条平分线垂直于对边”．
(3)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．
如下：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小(等边三角形）。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数。
5、三角形内到三边距离之积最大的点。
介绍
三角形重心是三角形三条中线的交点。
当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。
三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）。
等腰直角三角形三线合一定理
等腰直角三角形三线合一定理
等腰直角三角形三线合一定理是指，在一个等腰直角三角形中，中线、高线和斜边构成一条直线。
这个定理可以用数学公式来表示：设三角形ABC是一个等腰直角三角形，其中AB=AC，∠BAC=90°，D、E分别是BC的中点和AB的垂足，则DE与AC重合。
这个定理的证明可以用几何推导来说明。
首先，我们可以证明BD=DC，因为∠BAC=90°，所以BD=AD，又因为AB=AC，所以AD=DC，于是得到BD=DC。
接着，我们可以证明∠ABD=∠EDC，因为AB=DC，所以∠ABD=∠DCB，又因为AC=BC，所以∠EDC=∠DCB，于是得到∠ABD=∠EDC。
最后，我们可以证明DE与AC重合，因为∠ABD=∠EDC，所以三角形ABD与三角形EDC相似，又因为BD=DC，所以DE是BC的中点，于是得到DE与AC重合。
这个定理在实际应用中有一定的意义。
例如，在工程中设计一个等腰直角三角形的支架时，可以利用这个定理来计算支架的稳定性和承重能力，从而保证工程质量。
此外，这个定理也是学习几何学的基础知识之一，可以帮助学生更好地理解几何学中的一些概念和定理。
- 1 -。
初中数学巧用“三线合一”定理解几何题学法指导
初中数学巧用“三线合一”定理解几何题学法指导杨玲等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，这是等腰三角形的性质定理，也称为“三线合一”定理。
它在几何计算和论证过程中有着很重要的应用，若能巧妙地利用这个性质解题，将起到事半功倍的效果。
例1 等腰三角形顶角为α，一腰上的高与底边所夹的角是β，则β与α的关系式为β=_________。
图1分析与解；如图1，AB=AC ，BD ⊥AC 于D ，作底边BC 上的高AE ，E 为垂足，则可知∠EAC=∠EAB=α21，又∠EAC=︒90C ∠-，∠β=C 90∠-︒，所以∠EAC=β，αβ21=。
例2 已知：如图2，AB ∥CD ，M 为AD 的中点，并且AB+CD=BC ，求证：CM 平分∠BCD ，CM ⊥BM 。
图2分析：要证待证的结论，需延长BM 与CD 的延长线交于点E ，构造△CBE 由“三线合一”定理，只需证CE CB =，BM=EM 。
易证DEM ABM △△≅，可得BM=EM ，AB=DE ，又BC=AB+CD=DE+CD=CE ，从而本题得证。
证明：请同学们自己写出。
例3 如图3，AB=AE ，∠ABC=∠AED ，BC=ED ，点F 是CD 的中点。
图3（1）求证：AF ⊥CD ；（2）在你连结BE 后，还能得出什么新的结论，请至少写出三个（不要求证明）（1）证明：连结AC 、AD ，∵AB=AE ，∠ABC=∠AED ，BC=ED ，∴△ABC AED △≅。
∴AC=AD 。
又CF=DF ，∴AF ⊥CD 。
（2）例如：①BE ∥CD ，②AF ⊥BE ，③△ACF ADF △≅，④∠BCF=∠EDF ，⑤五边形ABCDE 是以直线AF 为对称轴的轴对称图形等。
例4 已知：如图4，在Rt △ABC 中，∠ACB=︒90，AC=BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD ，垂足为点E ，BF ∥AC 交CE 的延长线于点F 。
几何法巧解三角形“三线”问题(两篇)2024
引言概述：三角形是初中数学中的重要内容，涉及到许多性质和定理。
其中一个重要的问题是三角形的“三线”问题。
通过几何方法解决三角形的“三线”问题可以帮助我们更深入地理解三角形的性质和关系。
本文将以几何方法巧解三角形“三线”问题为主题，通过分析和推导，介绍解决这一问题的具体方法和步骤。
正文内容:1. 角平分线1.1 定义角平分线就是从一个角的顶点出发，将角平分为两个相等角的直线。
1.2 性质三角形的内角平分线相交于三角形内部的一点，称为内心，且与三个角的顶点连线相交于三边的中点。
1.3 求解方法通过给定的三角形，我们可以利用角平分线的性质简化求解。
首先，画出三角形的三边，然后利用直尺和圆规，将三个角的角平分线画出，并延长到三边上。
连接三个角平分线的交点，就是三角形的内心。
2. 中位线2.1 定义中位线是指连接一个三角形的两个非对顶顶点的中点的直线。
2.2 性质三角形的三条中位线交于一点，称为三角形的质心，且质心到三个顶点的距离相等，即三条中位线的交点是三角形重心。
2.3 求解方法同样地，通过给定的三角形，我们可以利用中位线的性质求解。
首先，根据给定的三角形，求出三个顶点的坐标，然后根据坐标计算出中位线的中点坐标，并连接这些中点。
通过求解三个中线的交点即可得到三角形的质心。
3. 垂心线3.1 定义垂心线是指从一个三角形的顶点作出垂直于对边的直线。
3.2 性质三角形的三条垂心线交于一点，称为三角形的垂心，且垂心到三边的距离相等。
3.3 求解方法在给定的三角形中，我们可以通过直尺和圆规画出垂心线的步骤。
首先，选取一个顶点，在对边上找一个点，使得与该顶点与对边上的点连线垂直。
然后，用圆规以该垂直线段为半径，画个弧与其他两条边交于两点，连接这两点与原始顶点，就得到了三条垂心线的交点。
4. 重心线4.1 定义重心线是指从一个三角形的顶点分别作出三角形的对边的中垂线，即垂直于对边的直线并且通过对边的中点。
4.2 性质三角形的三条重心线交于一点，称为三角形的重心，且重心到三边的距离与各边的长度成正比。
三线垂直定理
三线垂直定理1. 引言三线垂直定理是几何学中的一个重要原理，用于描述三角形内部各个线段之间的关系。
它是基础几何学中的一个重要概念，不仅在数学教育中被广泛教授，也在实际问题中有着广泛的应用。
本文将对三线垂直定理进行全面详细、完整且深入的讨论。
2. 三线垂直定理的表述三线垂直定理又称为欧拉定理，它描述了三角形内部几条特殊线段之间的关系。
具体而言，对于任意一个三角形ABC，它的三条特殊线段：高、中线和垂心连线，在一个点上相交，并且相交点与三个顶点连成的线段互相垂直。
图1：欧拉定理示意图（图片来源：维基百科）3. 欧拉定理证明3.1 高与中线相交于垂心首先证明高与中线相交于垂心。
设高所在直线为AD（D为BC的垂足），中线所在直线为BE（E为AC的中点）。
我们需要证明AD与BE相交于一个点O，并且AO与BO互相垂直。
考虑△ABC，由于D是BC的垂足，所以AD⊥BC。
又因为E是AC的中点，所以BE平分∠CBA。
假设AD与BE相交于点O，我们需要证明AO⊥BO。
由于△ADC和△BEC是等腰三角形（AD = CD，BE = CE），所以∠DAC = ∠DCA 和∠EBC = ∠ECB。
又因为∠ABC = ∠ADC + ∠BEC（内角和等于外角）, 所以∠ABC = (∠DAC + ∠DCA) + (∠EBC + ∠ECB) = 180°。
根据反证法可知，若AO不⊥BO，则∠ABC ≠ 180°，与前述结论矛盾。
因此，AO⊥BO成立。
3.2 垂心连线接下来证明垂心连线也经过点O。
设垂心所在直线为CF（F为AB的垂足），我们需要证明CF经过点O。
考虑△ABC，由于F是AB的垂足，所以CF⊥AB。
同样地，根据前述证明可知CO⊥AB。
我们需要证明CF经过点O，即证明CO⊥CF。
假设CO与CF不垂直，则存在一条直线DE与CO和CF分别相交于点D和E，并且CD ≠ CE。
考虑△ABC，由于F是AB的垂足，所以∠ACF = 90°。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
B
D.
E
FC
总结归纳
• 1、三角形中的三条线段是:
•
高线、角平分线、中线
• 2、三角形中的高、角平分线、中线都是线段
• 3、锐角三角形的三条高交与一点，此点在三角形 的内部；直角三角形的三条高交与直角顶点；钝 角三角形 的三条高也交与一点，此点在三角形
• 外部
• 4、三角形的一条中线分成的两个三角形面积相等
.
A
∵BE是△ABC的角平分线
1 ∴∠ABE=_∠_C_B_E_ = 2
_∠_A_B_C_
F
E
O
∵CF是△ABC的角平分线
B
∴∠ACB=2__∠__A_C_F=2__∠_B_C_F_
D
C
三角形的角平分线与角的
思
平分线有什么区别？
考
三角形的角平分线是一条线段 , 角 的平分线是一条射线. .
基础练习
1、点D是△ABC的BC边上的一点。 A ∵BD=CD，
∴线段AD是△ABC的中__线_
B
D
C
∵∠BAD=∠CAD，
A
∴线段AD是△ABC的角__平__分_ 线
B
D
C
∵∠ADC=90°，
∴线段AD是△ABC的_高__
.
A
B
D
C
2、如图，AD、AM、AH分别是△ABC的角平分线、中 线、高。
（1）∵AD是△ABC的角平分线，
1
∴∠ BAD =∠ DAC
=
.B
D
C
三角形的高
(2)怎样画下面三角形的高线？（画法
）A
A
A
G
F
B
E
CB
D
F
CB
CD E
.
三角形的中线
在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段
叫做这个三角形这边的中,线 .
A 重心
●
∵AD是△ ABC的中线
F
E O
∴BD=CD= 12BC（中线的定义B）
●
D
C
三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的内部.
∠ BAC
2
。
(2) ∵AM是△ABC的中线，
∴ BM = CM = 1 BC 。
A
2
（3）∵AH是△ABC的高，
∴∠AHC=∠ AHB =90°
B
MDH C
.
迁移提升
5、如图，BD=DE=EF=FC。 AD是△A__B_E_的中线，
_A__F_是△AEC的中线，
A
AE是△A__B_C_和△_A__D_F_的中线。
.
三角形的角平分线
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，
这个角的顶点与交点之间的线段 叫做三角形的角平分线。
,
A
∵AD是 △ ABC的角平分线
●
∴∠ BAD = ∠ CAD = ２１∠BAC （角平分线的定义）
B
︶
●
D
C
三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三 角形的内部。
.
角平分线的理解
三角பைடு நூலகம்的高
从三角形的一个顶点 向它的对边 所在直线作垂线，顶点 和垂足 之间的线段 叫做三角形这边的高，
简称三角形的高。 B
如图, 线段AD是BC边上的高.
A
0
1
01 23 4 5
2
3
4
5
6
7
8
9
10
01 23 4 5
D
C
任意画一个锐角△ABC,
A
请你画出BC边上的高.
注意 ! 标明 垂直的记号 和垂足的字母.