【中考专题复习】2018中考数学学案精华 第14讲 三角形的基础知识
第14讲 三角形的基础知识
,知识清单梳理)
三角形的边角关系
(1)边与边：三角形任何两边的和__大于__第三边；任何两边的差小于第三边．
(2)角与角：三角形三个内角的和等于__180°__，外角和等于__360°__；一个外角等于__与它不相邻的两个内角的和__，大于__任何一个与它不相邻的内角__．
三角形的分类
(1)按边的大小分
三角形⎩⎪⎨⎪
⎧不等边三角形等腰三角形⎩⎪⎨⎪⎧底和腰不等的等腰三角形等边三角形 (2)按角的大小分
三角形⎩⎪⎨⎪
⎧ 直角 三角形斜三角形⎩
⎪⎨⎪⎧锐角三角形钝角三角形
三角形的高、中线与角平分线
1．三角形的角平分线、中线、高各有3条，它们都是__线段__．
2．三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；三角形的高线与求三角形的面积有关．
3．三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于__它的一半__．
4．角平分线的性质与判定：角平分线上的点到角两边的距离__相等__；到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
5．三角形具有稳定性，四边形没有稳定性．
,云南省近五年高频考点题型示
例)
三角形内角和定理及角平分线的性质
【例1】(2012云南中考)如图，在△ABC 中，∠B ＝67°，∠C ＝33°，AD 是△ABC 的角平分线，则∠CAD 的度数为( )
A ．40°
B ．45°
C ．50°
D ．55°
【解析】首先利用三角形内角和定理求得∠BAC 的度数，然后利用角平分线的性质求得∠CAD 的度数即可．
【答案】A
(2014云南中考)如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD ⊥AC 于点D ，则∠CBD ＝__18°__．
三角形中位线定理
【例2】(2015昆明中考)如图，在△ABC 中，AB ＝8，点D ，E 分别是BC ，CA 的中点，连接DE ，则DE ＝________．
【解析】∵△ABC 中，点D ，E 分别是BC ，CA 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线．∵AB ＝8，∴DE ＝12AB ＝1
2×8＝4.
【答案】4
,近五年遗漏考点及社会热点与创新题)
遗漏考点
三角形的有关知识
【例1】下列各组数可能是一个三角形的边长的是()
A．1，2，4 B．4，5，9
C．4，6，8 D．5，5，11
【解析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作出判断．
【答案】C
【例2】如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A＝75°，则∠1＋∠2＝() A．150°B．210°
C．105°D．75°
【解析】借助三角形的外角性质，连接AA′，利用整体思想可证∠1＋∠2＝2∠A.
【答案】A
三角形的高、中线与角平分线
【例3】不一定在三角形内部的线段是()
A．三角形的角平分线B．三角形的中线
C．三角形的高D．三角形的中位线
【解析】根据三角形的高、中线、角平分线的性质解答．
【答案】C
三角形内角和定理与外角性质的综合运用
【例4】将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则∠1的度数为()
A．75°B．65°C．45°D．30°
【解析】方法一：∠1的对顶角所在的三角形中另两个角的度数分别为60°，45°，∴∠1＝180°－(60°＋45°)＝75°.
方法二：∠1可看作是某个三角形的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和计算．故选A.
【答案】A
【例5】(2017绍兴中考)在探索“尺规三等分角”这个数学命题的过程中，曾利用了如图图形，四边形ABCD 是矩形，E 是BA 延长线上一点，F 是CE 上一点，∠ACF ＝∠AFC ，∠FAE ＝∠FEA.若∠ACB ＝21°，则∠ECD 的度数是( )
A ．7°
B ．21°
C ．23°
D ．24°
【解析】设∠AEF ＝x ，∵∠FAE ＝∠FEA ，∴∠AFC ＝2x ，∵∠ACF ＝∠AFC ，∴∠ACF ＝2x ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°，∴∠ACB ＋∠ACF ＋∠AEF ＝90°，∴21°＋x ＋2x ＝90°，∴x ＝23°，故选C .
【答案】C
【例6】(2017盐城中考)在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1＝________°.
【解析】由三角形的外角的性质可知，∠1＝90°＋30°＝120°，故答案为120. 【答案】120
,课内重难点真题精练及解题方法总结)
1.(2017嘉兴中考)长度分别为2，7，x 的三条线段能组成一个三角形，x 的值可以是( C )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．9
【方法总结】由三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之和小于第三边得到第三边的取值范围，把各项代入不等式符合的即为答案．
2．(2017济宁中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1，将Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为BD ︵
，则图中阴影部分的面积是( A )
A .π6
B .π3
C .π2－12
D .12
【方法总结】试题考查扇形面积的计算、等腰直角三角形、旋转的性质，关键是用特殊图形表示阴影部分面积，S 阴影＝S △ADE ＋S 扇形ABD －S △ABC ＝S 扇形ABD .
,(第2题图))
,(第3题图))
3．如图，点P 在等边△ABC 的内部，且PC ＝6，PA ＝8，PB ＝10，将线段PC 绕点C
顺时针旋转60°得到P′C ，连接AP′，则sin ∠PAP ′的值为__3
5__．
请完成精练本第16页作业。
2018中考数学总复习 基础知识梳理 第5单元 三角形 5.5 相似三角形
则线段AB的黄金分割点大约在距一个端点的0.618处.
K12课件
5
5.5.2 比例的性质
（1）比例的基本性质：a：b=c：d，bc=ad.特别地：a：b=b：c等
价于b2=ac.
（2）合比性质：如果a/b=c/d，那么
ab b
cd
d.
（3）等比性质：如果a/b=c/d=…=e/f，并且b+d+…+f≠0，那么=
K12课件
3
知识体系图
相似多边形
概念 性质
相似三角形
相似三角形
判定 性质
位似图形
概念 性质 位似变换
K12课件
4
5.5.1 比例线段
（1）比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的
比与另外两条线段的比相等，如a/b=c/d（即ad=bc）那么这四条线 段叫做成比例线段. （2）黄金分割：如果把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC）， 并且AC是AB和BC的比例中项（即AB:AC=AC：BC），那么C点叫 做线段AB的黄金分割点，AC：AB=BC：AC= 5 1 ≈0.618.若AB=1，
K12课件
13
【例3】如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示
意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后
刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2
米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是
米．
K12课件
14
【解析】由题意可得：∠APE=∠CPE， ∴∠APB=∠CPD， ∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABP=∠CDP=90°， ∴△ABP∽△CDP，
2024_2025学年八年级数学上学期期中核心考点专题01三角形的基础含解析新人教版
期中考点专题01 三角形的基础重点突破三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。
三角形特性三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。
三角形按边分类：等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。
等边三角形：底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形，即三边都相等。
三角形三边的关系（重点（1）三角形的随意两边之和大于第三边。
三角形的随意两边之差小于第三边。
（这两个条件满意其中一个即可）用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。
（2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b三角形的分类：三角形按边的关系分类如下：三角形按角的关系分类如下：三角形的稳定性➢三角形具有稳定性➢四边形及多边形不具有稳定性要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。
考查题型考查题型一三角形的个数问题典例1．（2024·西林县期中）如图所示，其中三角形的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】D【提示】依据三角形的定义解答即可，由不在同始终线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.【详解】图中的三角形有：△ABC，△BCD，△BCE，△ABE，△CDE共5个.故选D.【名师点拨】本题考查了三角形的概念，由不在同始终线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻边的公共端点叫做三角形的顶点.相邻两条边组成的角，叫做三角形的内角，简称为三角形的角.变式1-1．（2024·秦皇岛市期中）图中三角形的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】D【解析】图中的三角形有: △ABD, △ADE, △AEC, △ABE, △ADC, △ABC,共6个.故选D.变式1-2．（2024·洛阳市期末）图中三角形的个数是（）A．4个B．6个C．8个D．10个【答案】C【提示】依据三角形的定义即可得．【详解】图中的三角形是，共8个故选：C．【名师点拨】本题考查了三角形的定义，驾驭理解三角形的概念是解题关键．变式1-3．（2024·恩施市期中）如图，图中三角形的个数有（）A．6个B．8个C．10个D．12个【答案】B【解析】试题解析：以O为一个顶点的有△CBO、△CDO、△ABO、△ADO，不以O为顶点的三角形有△CAD、△CBA、△BCD、△BAD，共有8个．故选B.考查题型二三角形的分类典例2（2024·石家庄市期末）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形态是（）A．等边三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．钝角三角形【答案】D【解析】试题提示：依据三角形的内角和定理求出∠C，即可判定△ABC的形态．解：∵∠A=20°，∠B=60°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣20°﹣60°=100°，∴△ABC是钝角三角形．故选D．变式2-1．（2024·黄冈市期中）一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形肯定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】试题提示：依据三角形的内角和为180°，可知最大角为90°，因式这个三角形是直角三角形.故选B.变式2-2．（2024·深圳市期中）在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：3：5，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．形态不确定【答案】C【提示】依据∠A：∠B：∠C=1：3：5，可设∠A=x°，∠B=3x°，∠C=5x°，再依据三角形内角和为180°可得方程x+3x+5x=180，解方程算出x的值，即可推断出△ABC的形态．【详解】解：∵∠A：∠B：∠C=1：3：5，∴设∠A=x°，∠B=3x°，∠C=5x°，∴x+3x+5x=180，解得：x=20，∴∠C=5×20°=100°，∴△ABC是钝角三角形．故选：C．【名师点拨】本题考查三角形内角和定理，关键是利用方程思想列出三个角的关系式．变式2-3．（2024·石家庄市期末）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能确定三角形类型的是（）A．B．C．D．【答案】A【提示】依据三角形按角分类的方法一一推断即可．【详解】视察图象可知：选项B，D的三角形是钝角三角形，选项C中的三角形是锐角三角形，选项A中的三角形无法判定三角形的类型．故选A．【名师点拨】本题考查了三角形的分类，解题的关键是娴熟驾驭基本学问，属于中考常考题型．考查题型三构成三角形的条件典例3．（2024·宜兴市期末）下列各组线段不能组成三角形的是 ( )A．4cm、4cm、5cm B．4cm、6cm、11cmC．4cm、5cm、6cm D．5cm、12cm、13cm【答案】B【提示】依据三角形的随意两边之和大于第三边对各选项提示推断后利用解除法求解.【详解】A 、4485+=>，∴445cm cm cm 、、能组成三角形，故本选项错误；B 、461011+=<，∴4611cm cm cm 、、不能组成三角形，故本选项正确；C 、5496+=>，∴456cm cm cm 、、能组成三角形，故本选项错误；D 、5121713+=>，∴51213cm cm cm 、、能组成三角形，故本选项错误.故选：B .【名师点拨】本题考查了三角形的三边关系，是基础题，熟记三边关系是解题的关键.变式3-1．（2024·太仓市）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）A ．12B ．15C ．12或15D ．18【答案】B【解析】试题提示：依据题意，要分状况探讨：①、3是腰；②、3是底．必需符合三角形三边的关系，随意两边之和大于第三边．解：①若3是腰，则另一腰也是3，底是6，但是3+3=6，∴不构成三角形，舍去．②若3是底，则腰是6，6．3+6＞6，符合条件．成立．∴C=3+6+6=15．故选B ．变式3-2．（2024·兰州市期末）等腰三角形的一边长为4，另一边长为9，则这个三角形的周长为( )A ．22B ．17C ．13D ．17或22【答案】A【提示】分4是腰长和底边两种状况探讨求解即可．【详解】解：4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、9，∵4+4=8＜9，∴不能组成三角形，4是底边时，三角形的三边分别为4、9、9，能组成三角形，周长=4+9+9=22，综上所述，该等腰三角形的周长为22．故选A ．【名师点拨】本题主要考查了三角形三边关系，难点在于分状况探讨并利用三角形的三边关系推断是否能组成三角形．cm cm长的两根木棒首尾相接成一个三角形的变式3-3．（2024·哈尔滨市期中）下列长度的四根木棒中，能与49，是（）A．4cm B．5cm C．9cm D．13cm【答案】C【提示】依据三角形三边关系：三角形随意两边之和大于第三边，逐一推断选项，即可.【详解】∵4+4<9，cm cm长的木棒首尾相接，不能组成三角形，∴4cm，49，∴A错误；∵5+4=9，cm cm长的木棒首尾相接，不能组成三角形，∴5cm，49，∴B错误；∵9+4>9，cm cm长的木棒能组成三角形，∴9cm，49，∴C正确；∵4+9=13，cm cm长的木棒，不能组成三角形，∴13cm，49，∴D错误；故选C.【名师点拨】本题主要考查三角形的三边关系，驾驭“三角形随意两边之和大于第三边”，是解题的关键.m-=，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，变式3-4．（2024·濮阳市期末）若实数m，n满意20则△ABC的周长是( )A．12 B．8 C．10 D．10或8【答案】C【提示】依据非负数的性质求出,m n的值，依据等腰三角形的性质求解即可.m-=【详解】20m n∴==2,4,当三角形的腰长为2时，224+=，构不成三角形；++=.当三角形的腰长为4时，三角形的周长为：44210故答案选：C.【名师点拨】考查非负数的性质以及等腰三角形的性质，驾驭三角形的三边关系是解题的关键.考查题型四三角形第三边的取值范围典例4．（2024·三明市期末）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（）A．1 B．2 C．8 D．11【答案】C【提示】依据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可确定出第三边的范围，据此依据选项即可推断. 【详解】设第三边长为x，则有7-3<x<7+3，即4<x<10，视察只有C选项符合，故选 C.【名师点拨】本题考查了三角形三边的关系，娴熟驾驭三角形三边之间的关系是解题的关键.a的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）变式4-1．（2024·龙岩市期中）若长度分别为,3,5A．1 B．2 C．3 D．8【答案】C【提示】依据三角形三边关系可得5﹣3＜a＜5+3，解不等式即可求解．【详解】由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，即2＜a＜8，由此可得，符合条件的只有选项C，故选C．【名师点拨】本题考查了三角形三边关系，能依据三角形的三边关系定理得出5﹣3＜a＜5+3是解此题的关键，留意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．变式4-2．（2024·齐齐哈尔市期末）已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为A．2 B．3 C．5 D．13【答案】B【提示】依据“三角形两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边”，可得x的取值范围，一一推断可得答案. 【详解】解：依据“三角形两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边”可得:13-2<x<13+2,即11<x<15,因为取正整数,故x的取值为12、13、14,即这样的三角形共有3个.故本题正确答案为B.【名师点拨】本题主要考查构成三角形的三边的关系.变式4-3．（2024·广州市期中）一个三角形的两边长为3和8，第三边长为奇数，则第三边长为（）A ．5或7B ．7或9C ．7D ．9【答案】B 【详解】依据三角形三边关系可得：5＜第三边＜11，依据第三边长为奇数，则第三边长为7或9．故选B.考查题型五 三角形三边关系的应用典例5．（2024·德州市期末）已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数 ，则该三角形的周长为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【提示】依据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再依据第三边是整数，从而求得周长．【详解】设第三边为x ，依据三角形的三边关系，得：4-1＜x ＜4+1，即3＜x ＜5，∵x 为整数，∴x 的值为4．三角形的周长为1+4+4=9．故选C.【名师点拨】此题考查了三角形的三边关系．关键是正确确定第三边的取值范围．变式5-1．（2024·汕头市期中）已知a b c 、、是ABC ∆的三边长，化简a b c b a c +----的值是（ ）A ．2c -B ．22b c -C ．22a c -D ．22a b - 【答案】B【提示】依据三角形的三边关系“随意两边之和大于第三边，随意两边之差小于第三边”，得到a+b-c ＞0，b -a -c ＜0，再依据肯定值的性质进行化简计算.【详解】依据三角形的三边关系，得a+b-c>0，b -a -c <0.∴原式= a+b-c −(a +c −b)= 22b c -.故选择B 项.【名师点拨】本题考查三角形三边关系和肯定值，解题的关键是娴熟驾驭三角形三边关系.变式5-2．（2024·保定市期末）如图，为估计池塘岸边A ，B 的距离，小明在池塘的一侧选取一点O ，测得OA=15米，OB=10米，A ，B 间的距离可能是（ ）A．30米B．25米C．20米D．5米【答案】C【解析】设A，B间的距离为x．依据三角形的三边关系定理，得：15-10＜x＜15+10，解得：5＜x＜25，所以，A，B之间的距离可能是20m．故选C．变式5-3．（2024·滨州市期末）若（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（）A．12 B．15 C．12或15 D．18【答案】B【提示】依据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，可得a、b的值，依据等腰三角形的判定，可得三角形的腰，依据三角形的周长公式，可得答案．【详解】由（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，得a﹣3＝0，b﹣6＝0．则以a、b为边长的等腰三角形的腰长为6，底边长为3，周长为6+6+3＝15，故选B．【名师点拨】本题考查了非负数的性质，利用非负数的和为零得出每个非负数同时为零是解题关键．变式5-4．（2024·南开区期末）假如一等腰三角形的周长为27，且两边的差为12，则这个等腰三角形的腰长为（）A．13 B．5 C．5或13 D．1【答案】A【详解】设等腰三角形的腰长为x，则底边长为x﹣12或x+12，当底边长为x﹣12时，依据题意，2x+x﹣12=27，解得x=13，∴腰长为13；当底边长为x+12时，依据题意，2x+x+12=27，解得x=5，因为5+5＜17，所以构不成三角形，故这个等腰三角形的腰的长为13，故选A．考查题型六三角形的稳定性典例6．（2024·路北区期中）下列图形具有稳定性的是（）A．B．C．D．【答案】A【提示】依据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行推断即可得．【详解】A、具有稳定性，符合题意；B、不具有稳定性，故不符合题意；C、不具有稳定性，故不符合题意；D、不具有稳定性，故不符合题意，故选A．【名师点拨】本题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，正确驾驭三角形的性质是解题关键．变式6-1．（2024·乌鲁木齐市期末）为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是（）A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．三角形具有稳定性D．两直线平行，内错角相等【答案】C【解析】试题提示：三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形态就不会变更．解：这样做的道理是三角形具有稳定性．故选：C．变式6-2．（2024·安阳市期末）王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（）．A．0根B．1根C．2根D．3根【答案】B【解析】三角形具有稳定性，连接一条对角线，即可得到两个三角形，故选B变式6-3．（2024·济南市期末）如图，窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，其所运用的几何原理是（）A．三角形的稳定性B．垂线段最短C．两点确定一条直线D．两点之间，线段最短【答案】A【提示】依据点A、B、O组成一个三角形，利用三角形的稳定性解答．【详解】解：一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，正好形成三角形的形态，所以，主要运用的几何原理是三角形的稳定性．故答案选A.【名师点拨】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用．变式6-4．（2024·深圳市期末）如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的依据是( )A．两点之间的线段最短B．长方形的四个角都是直角C．三角形有稳定性D．长方形是轴对称图形【答案】C【详解】用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形的依据是三角形具有稳定性．故选：C．【名师点拨】本题考查了三角形具有稳定性在实际生活中的应用，是基础题．变式6-5．（2024·抚顺市期中）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（）A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．两直线平行，内错角相等D．三角形具有稳定性【答案】D【提示】依据三角形的稳定性解答即可．【详解】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，故选：D．【名师点拨】此题考查三角形的性质，关键是依据三角形的稳定性解答．。
初中数学讲义初二上册《三角形》全章复习与巩固—知识讲解(提高)
《三角形》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系.2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题．3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用．5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．2.三角形按“边”分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形 3.三角形的重要线段：（1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.（2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线，要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.（3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.要点二、三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．要点三、三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．推论：1.直角三角形的两个锐角互余2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°.要点四、多边形及有关概念1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n 条边就叫做n 边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；(2)n边形共有(3)2n n-条对角线．要点五、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公式的应用：①已知外角度数，求正多边形边数；②已知正多边形边数，求外角度数.(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：①n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.要点六、镶嵌的概念和特征1.定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)．这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同.要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边.(2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用.【典型例题】类型一、三角形的三边关系1.（2016•长沙模拟）一个三角形的三边长分别是3，2a-1，6,则整数a的值可能是( )．A．2,3 B．3,4 C．2,3，4 D．3,4，5【思路点拨】直接利用三角形三边关系，得出a的取值范围.【答案】B【解析】解：∵一个三角形的三条边长分别为3，2a-1，6,∴21 219 aa-⎧⎨-⎩＞3＜解得：2＜a＜5，则整数a的值可能是3,4，故选B.【总结升华】主要考察了三角形三边关系，正确得出a的取值范围是解题关键.举一反三：【变式】（2014秋•孝感月考）已知a、b、c是三角形三边长，试化简：|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|﹣|a-b+c|．【答案】解：∵a、b、c是三角形三边长，∴b+c-a＞0，b-c-a＜0，c-a-b＜0，a-b+c＞0，∴|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|-|a-b+c|，=b+c-a-b+c+a-c+a+b-a+b-c=2b．2.如图，O是△ABC内一点，连接OB和OC．(1)你能说明OB+OC＜AB+AC的理由吗?(2)若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能写出OB+OC的取值范围吗?【答案与解析】解：(1)如图，延长BO交AC于点E，根据三角形的三边关系可以得到，在△ABE中，AB+AE＞BE；在△EOC中，OE+EC＞OC，两不等式相加，得AB+AE+OE+EC＞BE+OC．由图可知，AE+EC＝AC，BE＝OB+OE．所以AB+AC+OE＞OB+OC+OE，即OB+OC＜AB+AC．(2)因为OB+OC＞BC，所以OB+OC＞7．又因为OB+OC＜AB+AC，所以OB+OC＜11，所以7＜OB+OC＜11．【总结升华】充分利用三角形三边关系的性质进行解题．【高清课堂：与三角形有关的线段例1】类型二、三角形中的重要线段3.在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长．【思路点拨】因为中线BD的端点D是AC边的中点，所以AD＝CD，造成两部分不等的原因是BC边与AB、AC边不等，故应分类讨论．【答案与解析】解：如图(1)，设AB＝x，AD＝CD＝12 x．(1)若AB+AD＝12，即1122x x+=，所以x＝8，即AB＝AC＝8，则CD＝4．故BC＝15-4＝11．此时AB+AC＞BC，所以三边长为8，8，11．(2)如图(2)，若AB+AD＝15，即1152x x+=，所以x＝10．即AB＝AC＝10，则CD＝5．故BC＝12-5＝7．显然此时三角形存在，所以三边长为10，10，7．综上所述此三角形的三边长分别为8，8，11或10，10，7．【总结升华】BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，哪部分是12cm，哪部分是15cm，问题中没有交代，因此，必须进行分类讨论．【高清课堂：与三角形有关的线段例5、】举一反三：【变式】有一块三角形优良品种试验田，现引进四个品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的方案供选择.【答案】解：方案1：如图（1），在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，连接AE、AD、AF．方案2：如图(2)，分别取AB、BC、CA的中点D、E、F，连接DE、EF、DF．方案3：如图(3)，取AB中点D，连接AD，再取AD的中点E，连接BE、CE．方案4：如图(4)，在 AB取点 D，使DC＝2BD，连接AD，再取AD的三等分点E、F，连接CE、CF．类型三、与三角形有关的角4.（2015春•石家庄期末）已知△ABC中，AE平分∠BAC（1）如图1，若AD⊥BC于点D，∠B=72°，∠C=36°，求∠DAE的度数；（2）如图2，P为AE上一个动点（P不与A、E重合，PF⊥BC于点F，若∠B＞∠C，则∠EPF=是否成立，并说明理由．【思路点拨】（1）利用三角形内角和定理和已知条件直接计算即可；（2）成立，首先求出∠1的度数，进而得到∠3的度数，再根据∠EPF=180°﹣∠2﹣∠3计算即可．【答案与解析】证明：（1）如图1，∵∠B=72°，∠C=36°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=72°；又∵AE平分∠BAC，∴∠1==36°，∴∠3=∠1+∠C=72°，又∵AD⊥BC于D，∴∠2=90°，∴∠DAE=180°﹣∠2﹣∠3=18°．（2）成立．如图2，∵AE平分∠BAC，∴∠1===90°﹣，∴∠3=∠1+∠C=90°﹣+，又∵PF⊥BC于F，∴∠2=90°，∴∠EPF=180°﹣∠2﹣∠3=．【总结升华】本题考查了三角形的内角以及角平分线的性质，准确识别图形是解题的关键．举一反三：【高清课堂：与三角形有关的角练习（3）】【变式】如图，AC⊥BC,CD⊥AB,图中有对互余的角？有对相等的锐角？【答案】3,2．类型四、三角形的稳定性5. 如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且实用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？【答案与解析】解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离。
《三角形》全章复习与巩固(基础)知识讲解教案
《三角形》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 理解三角形有关的概念,掌握三角形内角和定理的证明，能应用内角和定理进行相关的计算及证明问题.2. 理解并会应用三角形三边关系定理；3.了解三角形中三条重要的线段并能正确的作图.4.了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式，而且要用利用图形全等的解决实际生活中存在的问题.5. 掌握常见的尺规作图方法，并根据三角形全等判定定理利用尺规作一个三角形与已知三角形全等.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．要点二、三角形的分类【高清课堂：与三角形有关的线段三角形的分类】1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形 要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.2.按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形 要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;③等边三角形：三边都相等的三角形.要点三、三角形的三边关系1.定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．2.三角形的重要线段：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，这点称为三角形的重心．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.要点四、全等三角形的性质与判定1.全等三角形的性质全等三角形对应边相等，对应角相等.2.全等三角形的判定定理全等三角形判定1——“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）. “全等三角形判定2——“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）.全等三角形判定3——“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）全等三角形判定4—— “边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：（1）如何选择三角形证全等，可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.要点五、用尺规作三角形1.基本作图利用尺规作图作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，并利用全等三角形的知识作一个三角形与已知三角形全等；要点诠释：要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达.【典型例题】类型一、三角形的内角和1．在△ABC中，∠B＝20°+∠A，∠C＝∠B－10°，求∠A的度数.【思路点拨】由三角形的内角和，建立方程解决.【答案与解析】∵∠C＝∠B－10°＝∠A+10°，由三角形的内角和定理，得∠A+∠B+∠C＝∠A+∠A+20°+∠A+10°＝180°，∴∠A＝50°.【总结升华】本题根据三角形的内角和定理列出以∠A为未知数的方程，解方程即可求得∠A.建立方程求解，是本章求解角度数的常用方法.举一反三【变式】若∠C=50°，∠B-∠A=10°，那么∠A=________，∠B=_______【答案】60°，70°.类型二、三角形的三边关系及分类2.一个若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值范围是_______.【思路点拨】三角形的两边a、b，那么第三边c的取值范围是│a-b│＜c＜a+b.【答案与解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c的取值范围是│2-7│＜c＜2+7,即5＜c＜9．【总结升华】三角形任意两边之差小于第三边，若这两边之差是负数时需加绝对值．举一反三（2015•泉州）已知△ABC中，AB=6，BC=4，那么边AC的长可能是下列哪个值（）【变式】A．11 B．5C．2D．1【答案】B．解：根据三角形的三边关系，6﹣4＜AC＜6+4，即2＜AC＜10，符合条件的只有5.3.一个三角形的三个内角分别是75°、30°、75°，这个三角形是（）A 锐角三角形B 等腰三角形C 等腰锐角三角形【答案】C举一反三【变式】一个三角形中，一个内角的度数等于另外两个内角的和的2倍，这个三角形是（）三角形A 锐角B 直角C 钝角 D无法判断【答案】C【解析】利用三角形内角和是180°以及已知条件，可以得到其中较大内角的度数为120°，所以三角形为钝角三角形.类型三、三角形的重要线段4.（2015•常德）如图，在△ABC中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=．【思路点拨】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得∠DAC+∠ACF=（∠B+∠B+∠1+∠2）；最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数．【答案】70°．【解析】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF；又∵∠B=40°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形内角和定理），∴∠DAC+∠ACF=（∠B+∠2）+（∠B+∠1）=（∠B+∠B+∠1+∠2）=110°（外角定理），∴∠AEC=180°﹣（∠DAC+∠ACF）=70°．故答案为：70°．【总结升华】此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，熟练应用角平分线的性质是解题关键．举一反三【变式】在△ABC中,∠B=60°,∠C=40°,AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线, 则∠DAE 的度数为_________.【答案】10°.类型四、全等三角形的性质和判定5.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；(2)证明：DC⊥BE .【思路点拨】△ABE与△ACD中，已经有两边，夹角可以通过等量代换找到，从而证明△ABE ≌△ACD；通过全等三角形的性质，通过倒角可证垂直.【答案与解析】解：（1）△ABE≌△ACD证明：∠BAC＝∠EAD＝90°∠BAC ＋∠CAE＝∠EAD ＋∠CAE即∠BAE＝∠CAD又AB＝AC，AE＝AD，△ABE≌△ACD（SAS）（2）由（1）得∠BEA＝∠CDA，又∠COE＝∠AOD∠BEA＋∠COE ＝∠CDA＋∠AOD＝90°则有∠DCE＝180°－ 90°＝90°，所以DC⊥BE.【总结升华】我们可以试着从变换的角度看待△ABE与△ACD，后一个三角形是前一个三角形绕着A点逆时针旋转90°得到的，对应边的夹角等于旋转的角度90°，即DC⊥BE.举一反三【变式】如图，已知：AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE.【答案】证明：∵AE⊥AB，AD⊥AC，∴∠EAB＝∠DAC＝90°∴∠EAB＋∠DAE＝∠DAC＋∠DAE ，即∠DAB＝∠EAC.在△DAB与△EAC中，DAB EACAB ACB C∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DAB≌△EAC （ASA）∴BD＝CE.6.己知：在ΔABC中，AD为中线.求证：AD＜()12AB AC+【答案与解析】证明：延长AD至E，使DE＝AD，∵AD为中线，∴BD＝CD在△ADC与△EDB中DC DBADC BDEAD ED=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC≌△EDB（SAS）∴AC＝BE在△ABE中，AB＋BE＞AE，即AB＋AC＞2AD∴AD＜()12AB AC+.【总结升华】用倍长中线法可将线段AC，2AD，AB转化到同一个三角形中，把分散的条件集中起来.倍长中线法实际上是绕着中点D旋转180°.举一反三【变式】若三角形的两边长分别为5和7, 则第三边的中线长x的取值范围是( )A.1 ＜x＜ 6B.5 ＜x＜ 7C.2 ＜x＜ 12D.无法确定【答案】A ；提示：倍长中线构造全等三角形，7－5＜2x＜7＋5，所以选A选项.类型五、全等三角形判定的实际应用7.如图，小叶和小丽两家分别位于A、B两处隔河相望，要测得两家之间的距离，请你设计出测量方案．【答案与解析】本题的测量方案实际上是利用三角形全等的知识构造两个全等三角形，是一个三角形在河岸的同一边，通过测量这个三角形中与AB相等的线段的长，从而得知两家的距离．解：在点B所在的河岸上取点C，连结BC，使CD=CB，利用测角仪器使得∠B=∠D，且A、C、E三点在同一直线上，测量出DE的长，就是AB的长．在△ABC和△ECD中B DCD CBACB ECD∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△ABC≌△ECD（ASA）∴AB=DE．【总结升华】对于实际应用问题，首先要能将它化成数学模型，再根据数学知识去解决．由已知易证△ABC≌△ECD，可得AB=DE，所以测得DE的长也就知道两家的距离是多少．类型六、用尺规作三角形8.作图：请你作出一个以线段a为底边，以∠α为底角的等腰三角形（要求：用尺规作图，并写出已知，求作，保留作图痕迹，不写作法和结论）已知：求作：【思路点拨】可先画线段BC=a，进而在BC的同侧作∠MBC=∠α，∠NCB=∠α，MB，CN交于点A，△ABC就是所求的三角形．【答案与解析】解：已知：线段a，∠α．求作：△ABC，使BC=a，AB=AC，∠ABC=∠α．△ABC就是所求作的三角形．【总结升华】考查等腰三角形的画法；会作一个角等于已知角是解决本题的突破点；注意画图的顺序为边，角，角．举一反三【变式】作图题：（要求：用直尺、圆规作图，保留作图痕迹，不写作法．）已知：线段a与线段b．求作：线段AB，使AB=2a﹣b．【答案】解：如图所示：作线段AB即为所求．。
2018年中考数学专题复习第13讲 (全等)三角形及其性质
第13讲（全等）三角形及其性质☞【基础知识归纳】☜☞归纳1. 三角形中的三条主要线段⑴三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做⑵在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做⑶从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做（简称）☞归纳2. 三角形的中位线三角形的中位线平行于，并且等于．☞归纳3. 三角形的三边关系三角形三边关系：任意两边之和第三边；任意两边之差第三边．☞归纳4. 三角形的内角和⑴三角形内角和：三角形三内角之和等于．⑵三角形外角的性质：①三角形的一个外角任何一个和它不相邻的内角；②三角形的一个外角与它不相邻的两内角之和．☞归纳5. 全等三角形⑴能够完全重合的两个三角形就是⑵全等三角形的对应边，对应角⑶全等三角形的对应线段(对应边上的中线、对应边上的高、对应角的平分线)⑷全等三角形的周长，面积☞归纳6. 三角形全等的判定定理：①边边边定理：（可简写成）②边角边定理：（可简写成）③角边角定理：（可简写成）④角角边定理：（可简写成）⑤直角三角形全等的判定：（斜边、直角边定理）（可简写成）☞【常考题型剖析】☜☺题型一、三角形的边和角【例1】（2014广东）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A. 17B. 15C. 13D. 13或17【例2】(2012广东) 已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（）A. 5B. 6C. 11D. 16【例3】(2014广东）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=6，则DE=【举一反三】1. (2017扬州) 若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是（）A. 6B. 7C. 11D. 122. (2017南宁) 如图，△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，则∠C等于（）(第2题图) (第3题图)A. 100°B. 80°C. 60°D. 40°3. (2017黔东南) 如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（）A. 120°B. 90°C. 100°D. 30°4. (2017成都) 在△ABC中，∠A :∠B :∠C=2: 3: 4，则∠A的度数为______________5. (2017南通) 如图，DE是△ABC的中位线，若BC=8，则DE=☺题型二、全等三角形的性质和判定【例4】(2015广东) 如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长交BC于点G，连接AG.(1) 求证：△ABG≌△AFG；(2) 求BG的长.【例5】(2011广东) 如图，E，F在AC上，AD∥CB且AD=CB，∠D=∠B．求证：AE=CF【举一反三】6. (2006广东) 若△OAD≌△OBC，且∠O=65°，∠C=20°，则∠OAD=(第6题图) (第7题图)7. (2007广东) 两块含30°角的相同直角三角板，按如图位置摆放，使得两条相等的直角边AC、C1A1共线．⑴问图中有多少对相似三角形，多少对全等三角形? 并将它们写出来；⑵选出其中一对全等三角形进行证明．(△ABC≌△A l B l C1除外)☞【巩固提升自我】☜1. (2017舟山) 长度分别为2, 7, x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（）A. 4B. 5C. 6D. 92. (2017长春) 如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE//BC，若∠A=62°，∠AED=54°，则∠B的大小为（）(第2题图) (第3题图)A.54°B. 62°C. 64°D. 74°3. (2017黔东南) 如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB=CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件, 使得△ABC≌△DEF．4. (2017怀化) 如图，AC=DC，BC=EC，请你添加一个适当的条件：，使得△ABC≌△DEC．5. (2017广州) 如图，点E，F在AB上，AD=BC，∠A=∠B，AE=BF．求证：△ADF≌△BCE．第13讲（全等）三角形及其性质☞【基础知识归纳】☜☞归纳1. 三角形中的三条主要线段⑴三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做角平分线⑵在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做中线⑶从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高（简称高）☞归纳2. 三角形的中位线三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半☞归纳3. 三角形的三边关系三角形三边关系：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．☞归纳4. 三角形的内角和⑴三角形内角和：三角形三内角之和等于180°．⑵三角形外角的性质：①三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；②三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和．☞归纳5. 全等三角形⑴能够完全重合的两个三角形就是全等三角形⑵全等三角形的对应边相等，对应角相等⑶全等三角形的对应线段(对应边上的中线、对应边上的高、对应角的平分线)相等⑷全等三角形的周长相等，面积相等☞归纳6. 三角形全等的判定定理：①边边边定理：（可简写成SSS ）②边角边定理：（可简写成SAS ）③角边角定理：（可简写成ASA ）④角角边定理：（可简写成AAS ）⑤直角三角形全等的判定：（斜边、直角边定理）（可简写成HL ）。
2018中考数学三角形分类汇总
2018中考数学三角形分类汇总
新一轮中考复习备考周期正式开始，中考网为各位初三考生整理了各学科的复习攻略，主要包括中考必考点、中考常考知识点、各科复习方法、考试答题技巧等内容，帮助各位考生梳理知识脉络，理清做题思路，希望各位考生可以在考试中取得优异成绩！下面是《2018中考数学三角形分类汇总》，仅供参考！
序号
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1
2018中考数学知识点：相似三角形
2
2018中考数学知识点：三角形的三边关系定理及推论
3
2018中考数学知识点：三角形的三边关系
4
2018中考数学知识点：解直角三角形的函数值列举
5
2018中考数学知识点：相似三角形的判定方法
6
2018中考数学知识点：与三角形有关的线段
7
2018中考数学知识点：与三角形有关的角
8
2018中考数学知识点：三角形的稳定性
9
2018中考数学知识点：角平分线的性质及判定
10
2018中考数学知识点：全等图形、全等三角形
11
2018中考数学知识点：全等三角形的判定
12
2018中考数学知识点：区分三角形的中位线和中线
13
2018中考数学知识点：三角形的中位线
14
2018中考数学知识点：三角形的内角
15
2018中考数学知识点：三角形的外角
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2018中考数学三角形全等的证明极易出错典型例题（图片版）
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2018苏科版等腰三角形练习题（图片版）
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2018苏科版三角形练习题（图片版）。
中考数学专题复习第4章三角形第14讲等腰三角形和直角三角形含答案
第14讲 等腰三角形和直角三角形☞【基础知识归纳】☜☞归纳 一、等腰三角形1.等腰三角形的定义： 有两条边相等 的三角形是等腰三角形．2.等腰三角形的性质①等腰三角形两个底角 相等 ；②等腰三角形 顶角的平分线 、 底边上的中线 、 底边上的高 互相重合， 简称：“三线合一”③等腰三角形是轴对称图形，有 1 条对称轴． 3.等腰三角形的判定方法①定义判定：一个三角形中，如果有两条边 相等 ，那么这个三角形是等腰三角形． ②判定定理：等角对等边；即一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边 相等 ．4.等边三角形的性质①等边三角形的各角都 相等 ，并且每—个角都等于 60 度； ②等边三角形是轴对称图形，有 3 条对称轴． 5.等边三角形的判定①三边都 相等 的三角形是等边三角形； ②三个角都 相等 的三角形是等边三角形； ③有一个角等于 60 度的等腰三角形是等边三角形.☞归纳二、直角三角形 1.直角三角形的定义 有一个角是 直角 的三角形叫做直角三角形 2.直角三角形的性质①直角三角形的两个锐角 互余 ；②在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的 一半 ； ③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的 一半 3.直角三角形的判定①两个内角和为 90° 的三角形是直角三角形；②一边上的中线等于这条边的 一半 的三角形是直角三角形 4.勾股定理及逆定理【勾股定理】如果直角三角形两条直角边分别为,a b ，斜边为c ，那么222a b c += 【逆定理】如果三角形三边长,,a b c 满足222a b c +=，那么这个三角形是 直角 三角形☞【常考题型剖析】☜☺ 题型一、等腰三角形【例1】(2016贺州) 一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（ ）A. 12B. 16C. 20D. 16或20【答案】C【分析】当等腰三角形的三边为4, 4, 8时，因为4+4=8，不符合题意，舍去；当等腰三角形的三边为4, 8, 8时，因为4+8>8符合题意，此时它的周长为4+8+8=20【例2】（2016邵阳）如图所示，点D是△ABC的边AC上一点（不含端点），AD=BD，则下列结论正确的是（）A. AC＞BCB. AC=BCC.∠A＞∠ABCD. ∠A=∠ABC 【答案】A【解答】∵AD=BD，∴∠A=∠ABD，∴∠ABC＞∠A，所以C选项和D选项错误；∴AC＞BC，所以A选项正确；B选项错误．【举一反三】1. (2016湘西州) 一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（）A. 13cmB. 14cmC. 13cm或14cmD. 以上都不对【答案】c【分析】当等腰三角形的三边为4, 4, 5时，因为4+4>5，符合题意，此时它的周长为4+4+5=13cm;当等腰三角形的三边为4, 5, 5时，因为4+5>5符合题意，此时它的周长为4+5+5=142. (2016通辽) 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为【答案】69°或21°【解答】分两种情况讨论：①若∠A＜90°，如图1所示：∵BD⊥AC，∴∠A+∠ABD=90°，∵∠ABD=48°，∴∠A=90°﹣48°=42°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=69°；②若∠A＞90°，如图2所示：同①可得：∠DAB=90°﹣48°=42°，∴∠BAC=180°﹣42°=138°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=21°；综上所述：等腰三角形底角的度数为69°或21°．3. (2016淮安) 已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的 周长是 【答案】10【分析】当等腰三角形的三边为2,2,4时，因为2+2=4，不符合题意，舍去；当等腰三角形的三边为2,4,4时，因为2+4>4符合题意， 此时它的周长为2+4+4=104. (2016随州) 已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程28150x x -+=的根， 则该等腰三角形的周长为 【答案】19或21或23【解答】解方程28150x x -+=得x=3或x=5，当等腰三角形的三边长为9、9、3时，其周长为21； 当等腰三角形的三边长为9、9、5时，其周长为23；当等腰三角形的三边长为9、3、3时，3+3＜9，不符合三角形三边关系定理，舍去； 当等腰三角形的三边长为9、5、5时，其周长为19； 综上，该等腰三角形的周长为19或21或23，5. (2016安顺) 已知实数,x y 满足480x y --=，则以,x y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）A. 20或16B. 20C. 16D. 以上答案均不对 【答案】B【分析】根据非负数的意义列出关于x 、y 的方程并求出x 、y 的值，再根据x 是腰长和底边长两种情况讨论求解．【解答】解：根据题意得4080x y -=⎧⎨-=⎩，解得48x y =⎧⎨=⎩， （1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=20．6. (2016荆门) 已知3是关于x 的方程2(1)20x m x m -++=的一个实数根，并且这个 方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为（ ） A. 7 B. 10 C. 11 D. 10或11 【答案】D【分析】把x=3代入已知方程求得m 的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC 的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．【解答】解：把x=3代入方程得9﹣3（m+1）+2m=0，解得m=6，则原方程为27120x x -+=，解得123,4x x ==，因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长，①当△ABC 的腰为4，底边为3时，则△ABC 的周长为4+4+3=11； ②当△ABC 的腰为3，底边为4时，则△ABC 的周长为3+3+4=10． 综上所述，该△ABC 的周长为10或11．7. (2016荆门) 如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是∠BAC 的平分线．已知AB=5，AD=3， 则BC 的长为（ ）A. 5B. 6C. 8D. 10 【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质得到AD ⊥BC ，BD=CD ，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：∵AB=AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD ⊥BC ，BD=CD ，∵AB=5，AD=3，∴22AB AD -，∴BC=2BD=8，☺ 题型二、直角三角形【例3】(2015毕节) 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）3,4,523【答案】B【分析】如果三角形三边长,,a b c 满足222a b c +=，那么这个三角形是 直角 三角形；因为 22212)3)+=，所以能够组成直角三角形【例4】(2016南充) 如图，在Rt△ABC 中，∠A=30°，BC=1，点D ，E 分别是直角边BC ，AC 的中点，则DE 的长为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 1+3 【答案】A【解析】如图，∵在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，∴BC=12AB, 又∵BC=1 ∴AB=2BC=2．又∵点D 、E 分别是AC 和BC 的中点， ∴DE 是△ACB 的中位线，∴DE=12AB=1．故选A ．【举一反三】1. (2015来宾) 下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（ ）A. 1, 2, 3B. 2, 3, 4C. 4, 5, 6D. 1,2,3 【答案】D【分析】如果三角形三边长,,a b c 满足222a b c +=，那么这个三角形是 直角 三角形；因为 2221(2)(3)+=，所以能够组成直角三角形2. (2016甘孜州) 直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3， 则此直角三角形的面积为 ． 【答案】6【分析】∵直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，∴另一直角边长为4．该直角三角形的面积S =12×3×4=63. (2016泉州) 如图3，在Rt △ABC 中，E 是斜边AB 的中点，若AB=10，则CE= ．图3 图4 【答案】5【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CE= 12AB=1102⨯=5.4. (2016百色) 如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（ ） A. 6 B. 62 C. 63 D.12 【答案】A【解答】∵∠C=90°，∠A=30°，AB=12，∴BC=12sin30°=12×12=6，5. (2016深圳龙岭期中) 如图，在△ABC 中，AB=AC ，DE∥BC， 则下列结论中不正确的是（ ）A. AD=AEB. DB=ECC. ∠ADE=∠CD. DE=12BC 【答案】D【分析】由DE 与BC 平行，得到△ADE ∽△ABC ，由相似得比例，根据AB=AC ，得到AD=AE ，进而确定出DB=EC ，再由两直线平行同位角相等，以及等腰三角形的底角相等，等量代换得到∠ADE=∠C， 而DE 不一定为中位线，即DE 不一定为BC 的一半，即可得到正确选项．☞【巩固提升自我】☜1. (2014广东) 一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ） A. 17 B. 15 C. 13 D. 13或17 【答案】A【分析】①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17．2. (2015广州) 已知2是关于x 的方程2230x mx m -+=的一个根，并且这个方程的 两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为（ ） A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 8或10 【答案】B【分析】解：将x=2代入方程，得：4﹣4m+3m=0，解得：m=4．当m=4时，原方程为28120x x -+=， 解得：122,6x x ==，∵2+2=4＜6，∴此等腰三角形的三边为6、6、2， ∴此等腰三角形的周长C=6+6+2=14．3. (2016广州) 如图3，已知△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，DE 是AC 的垂直平分线， DE 交AB 于点D ，连接CD ，则CD=（ ）图3 图4A. 3B. 4C. 4.8D. 5【答案】D【解答】∵AB=10，AC=8，BC=6， ∴222BC AC AB +=，∴△ABC 是直角三角形， ∵DE 是AC 的垂直平分线，∴AE=EC=4，DE ∥BC ，且线段DE 是△ABC 的中位线，∴DE=3， ∴AD=DC=22AE DE +=5．4. (2015南宁) 如图4，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠B=70°，则∠C 的度数为（ ） A. 35° B. 40° C . 45° D . 50° 【答案】A若测得AM 的长为1.2km ，则M ，C 两点间的距离为（ ）图5 图6A. 0.5kmB. 0.6kmC. 0.9kmD. 1.2km【答案】D解：∵△ABD 中，AB=AD ，∠B=70°， ∴∠B=∠ADB=70°，∴∠ADC=180°﹣∠ADB=110°， ∵AD=CD ，∴∠C=（180°﹣∠ADC ）÷2=（180°﹣110°）÷2=35°【分析】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点，∴MC=12AB=AM=1.2km6. (2015丹东) 如图6，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A. 15°B. 17.5°C. 20°D. 22.5°【答案】A解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠ACE=∠A+∠ABC，即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，∴2∠1=2∠3+∠A，∵∠1=∠3+∠D，∴∠D=12∠A=12×30°=15°7. (2016海南) 如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD 对折，点C落在点E的位置．如果BC=6，那么线段BE的长度为（）A. 6B. 62332【答案】D解：根据折叠的性质知，CD=ED，∠CDA=∠ADE=45°，∴∠CDE=∠BDE=90°，∵BD=CD，BC=6，∴BD=ED=3，即△EDB是等腰直角三角形，∴×3=。
2018年中考数学常考知识点整理
2018年中考数学常考知识点整理三角形知识点三角形的定义三角形是多边形中边数最少的一种.它的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三条线段不在同一条直线上的条件,如果三条线段在同一条直线上,我们认为三角形就不存在.另外三条线段必须首尾顺次相接,这说明三角形这个图形一定是封闭的.三角形中有三条边,三个角,三个顶点.三角形中的主要线段三角形中的主要线段有：三角形的角平分线、中线和高线.这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上,通过作图加以熟练掌握.并且对这三条线段必须明确三点：(1)三角形的角平分线、中线、高线均是线段,不是直线,也不是射线.(2)三角形的角平分线、中线、高线都有三条,角平分线、中线,都在三角形内部.而三角形的高线在当△ABC是锐角三角形时,三条高都是在三角形内部,钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上,这两条高在三角形的外部,直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边.(3)在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点.在以后我们可以给出具体证明.今后我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,三条中线的交点叫做三角形的重心,三条高的交点叫做三角形的垂心.三角形的按边分类三角形的三条边,有的各不相等,有的有两条边相等,有的三条边都相等.所以三角形按边的相等关系分类如下：等边三角形是等腰三角形的一种特例.判定三条边能否构成三角形的依据△ABC的三边长分别是a、b、c,根据公理“连接两点的所有线中,线段最短”.可知：③a+bgt;c,①a+cgt;b,②b+cgt;a定理：三角形任意两边的和大于第三边.由②、③得b―a―c故|a―b|lt;c,同理可得|b―c|lt;a,|a―c|lt;b.lt; p=gt;......lt;lt;点击查阅详情gt;gt;圆的重点知识点一集合：圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合二轨迹：1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆;2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线;3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线;4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线三位置关系：1、点与圆的位置关系:点在圆内 dlt;r 点c在圆内lt;= p=gt;点在圆上 d=r 点B在圆上点在此圆外 dgt;r 点A在圆外2、直线与圆的位置关系:直线与圆相离 dgt;r 无交点直线与圆相切 d=r 有一个交点直线与圆相交 dlt;r p= 有两个交点lt;=gt;3、圆与圆的位置关系:外离(图1) 无交点 dgt;R+r外切(图2) 有一个交点 d=R+r相交(图3) 有两个交点 R-rlt;dlt;r+rlt; p=gt;内切(图4) 有一个交点 d=R-r内含(图5) 无交点 dlt;r-rlt; p=gt;......lt;lt;点击查阅详情gt;gt;反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线（hyperbola）,反比例函数图象中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（y≠0）。
中考数学专题复习学案 三角形中位线 (含答案)
中考复习之三角形中位线定义：：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线一、与中点有关的概念三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半二、常见的题型题型一:求线段的长例1、已知：如图，E、D、F分别为AB、BC、CA的中点.（1）若AC=10cm，则DE= 5 cm. （2）若EF=6cm，则CB= 12 cm.（3）若AB=10，AC=12，BC=8，则△DEF的周长 15练习：1.已知△ABC的周长为50cm，中位线DE=8cm，中位线EF=10cm，则另一条中位线DF的长是（）A.5cmB. 7cmC. 9cmD. 10cm【答案】B3.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为（）A.50°B. 60°C. 70°D. 80°【答案】C3.如图，在△ABC中，E，D，F分别是AB、BC、CA的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF的周长是（）A. 10B. 20C. 30D. 40【答案】B4.如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于H，FD=8，则HE等于（）A. 20B. 16C. 12D. 8 【答案】D题型二：证明线段的倍分问题例1.如图,△ABC 中,AB=AC,AD 是中线,BE=CF.(1)求证: △BDE ≌△CDF;(2)当∠B=60°时,G 、H 分别是AB 、AD 的中点,求证:GH=14AB证明：(1)∵AB=AC ∴∠ B=∠ C ∵AD 为中线，∴BD=CD 又∵EB=FC ∴△BDE ≌△CDF(2)∵AB=AC ∴△ABC 为等腰三角形，又∵∠B=60°，∴△ABC 为等边三角形 ∴BC=AB ∵G 、H 分别是AB 、AD 的中点 ∴GH=21BD=14BC 又∵BC=AB 所以GH=41AB. 练习：如图,在△ABC 中,AB=AC,延长AB 到D,使BD=AB,E 为AB 中点,连结CE 、CD ， 求证：CD=2EC证明：延长CE 使EF=CE=1/2CF 即 CF=2CE ∵∠AEC=∠BEF E 是AB 中点，即AE=BE CE=EF∴△ACE ≌△BFE(SAS) ∴BF=AC ∠FBE=∠A ∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB∵∠FBC=∠FBE+∠ABC=∠A+∠ABC ∠DBC=∠A+∠ACB ∴∠FBC=∠DBC∵BD=BA∴BF=BD∵BC=BC∠FBC=∠DBC∴△BCF≌△BCD(SAS)∴CF=CD∴CD=2CE题型三：常规辅助线的添加一：利用角平分线+垂直，构造等腰三角形如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．【解析】1）证明：在△ABN和△ADN中，∵12AN ANANB AND ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABN≌△ADN，∴BN=DN．（2）解：∵△ABN≌△ADN，∴AD=AB=10，DN=NB，又∵点M是BC中点，∴MN是△BDC的中位线，∴CD=2MN=6，故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．1.如图所示，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB=8，MN=3，则AC的长是（）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】B2.如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（）A．1 B．2 C． 3 D．7【答案】A3.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，且AD⊥BD，E为AC的中点，AD=6cm，BD=8cm，BC=16cm，则DE的长为（）cm．【答案】3如图，△ABC中，AB=8cm，AC=5cm，AD平分∠BAC，且AD⊥CD，E为BC中点，则DE=（）A.3 B.5 C.2.5 D.1.5【答案】D二：取中点构造中位线如图，在四边形ABCD 中，AD=BC ，20,110,,,CBD BDA E F P ∠=︒∠=︒分别是AB 、CD 、BD 的中点，探索PF 与EF 的数量关系.证明：连接PE ，20,11090CBD BDA EPF ∠=︒∠=︒⇒∠=︒，易得EF =.三：借助平行四边形的性质1. 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是线段AO ，BO 的中点．若AC+BD=24cm ，△OAB 的周长是18cm ，则EF 的长为________cm ．【答案】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，又∵AC+BD=24厘米，∴OA+OB=12厘米，∵△OAB的周长是18厘米，∴AB=6厘米，∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，∴EF是△OAB的中位线，∴EF=1/2AB=3厘米．题型三借助平行四边形的性质边AB、BC的中点，G、H为AC的两个三等分点，连接EG、例3.如图，（1）E,F为ABCFH，并延长交于D，连接AD、CD.求证：四边形ABCD是平行四边形.【答案】如图，E、F分别为△ABC的边AB、BC的中点，G、H是AC上的三等分点。
中考数学复习学案课件(全国通用)：第四单元 三角形(共145张PPT)【状元学案】
第21课时 直角三角形与勾股定理 第22课时 相似三角形及其应用 第23课时 锐角三角函数 第24课时 解直角三角形及其应用
第17课时┃ 几何初步及平行线、 相交线
第17课时┃ 中考解读
2 3 4 5
n n－1 n 条直线最多有________ 2 个交点
平面内有 n 条直线，最多可以把平面分成 n n＋1 平面的份数 ____________ ＋1 个部分 2
第17课时┃ 考点聚焦
考点4 互为余角、互为补角
90° ，则这两个角 如果两个角的和等于 ________
互余
互为 定义 余角
邻补角 定义
第17课时┃ 考点聚焦
考点6 “三线八角”的概念
同位 角 内错 角 同旁 内角 如果两个角在截线 l 的同侧，且在被截直线 a、 b 的同一方向叫做同位角(位置相同)．∠1 和∠ 5，∠4 和∠8，∠2 和∠6，∠3 和∠7 是同位角 如果两个角在截线 l 的两旁(交错 )， 在被截线 a、 b 之间 (内 )叫做内错角 (位置在内且交错 )．∠ 2 和∠8，∠3 和∠5 是内错角 如果两个角在截线 l 的同侧，在被截直线 a、b 之间(内 )叫做同旁内角．∠5 和∠2，∠3 和∠8 是同旁内角
第17课时┃ 考点聚焦 考点3 几何计数
1 数直线的 条数 数线段的 条数 数角的 个数 数交点的 个数 数直线分 过任意三个不在同一直线上的 n 个点中的两个 n n－1 点可以画________ 2 条直线 线段上共有 n 个点(包括两个端点)时，共有线 n n－1 段________ 2 条 n n－1 从一点出发的 n 条直线可组成______ 2 个角