2020年上海市静安区高考数学二模试卷(理科)含答案解析
2020年上海市静安区高考数学二模试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．计算：=．2．设复数z满足（3﹣4i）z=5（i是虚数单位），则z=．3．若原点（0，0）和点（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是．4．函数y=cos2x，x∈[0，π]的递增区间为．5．如图是一个算法流程图，则输出的k的值是6．抛物线y2=x上一点M到焦点的距离为1，则点M的横坐标是．7．一盒中装有12个同样大小的球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1个球，则取出的1个球是红球或黑球或白球的概率为．8．关于θ的函数f（θ）=cos2θ﹣2xcosθ﹣1的最大值记为M（x），则M（x）的解析式为．9．如图，正四棱锥P﹣ABCD的底面一边AB长为，侧面积为，则它的体积为10．已知双曲线x2﹣=1（m＞0）的渐近线与圆x2+（y+2）2=1没有公共点，则该双曲线的焦距的取值范围为．11．已知△ABC外接圆O的半径为2，且，||=||，则=．12．（坐标系与参数方程选做题）如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2+y2﹣x=0的参数方程为．13．已知数列{a n}满足a1=81，a n=（k∈N*），则数列{a n}的前n项和S n的最大值为．14．设关于x的实系数不等式（ax+3）（x2﹣b）≤0对任意x∈[0，+∞）恒成立，则a2b=．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．下列不等式一定成立的是（）A．lg（x2+）＞lgx（x＞0）B．sinx+≥2（x≠kx，k∈Z）C．x2+1≥2|x|（x∈R）D．（x∈R）16．在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=117．若函数F（x）=f（x）+x2为奇函数，且g（x）=f（x）+2，若f（1）=1，则g（﹣1）的值为（）A．1B．﹣3C．2D．﹣218．袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5．现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为ξ，则Eξ等于（）A．4B．4.5C．4.75D．5三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．已知F1，F2分别是椭圆C：=1（其中a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆C过点（﹣，1）且与抛物线y2=﹣8x有一个公共的焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点且斜率为1的直线l与椭圆交于A、B两点，求线段AB的长度．20．设点E，F分别是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点．如图，以C为坐标原点，射线CD、CB、CC1分别是x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系．（1）求向量与的数量积；（2）若点M，N分别是线段D1E与线段C1F上的点，问是否存在直线MN，MN⊥平面ABCD？若存在，求点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，A、B是海岸线OM、ON上的两个码头，海中小岛有码头Q到海岸线OM、ON 的距离分别为2km、km．测得tan∠MON=﹣3，OA=6km．以点O为坐标原点，射线OM为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系．一艘游轮以18km/小时的平均速度在水上旅游线AB航行（将航线AB看作直线，码头Q在第一象限，航线AB经过Q）．（1）问游轮自码头A沿方向开往码头B共需多少分钟？（2）海中有一处景点P（设点P在xOy平面内，PQ⊥OM，且PQ=6km），游轮无法靠近．求游轮在水上旅游线AB航行时离景点P最近的点C的坐标．22．已知函数y=f（x），若在区间I内有且只有一个实数c（c∈I），使得f（c）=0成立，则称函数y=f（x）在区间I内具有唯一零点．（1）判断函数f（x）=在区间（0，+∞）内是否具有唯一零点，并说明理由；（2）已知向量=（，），=（sin2x，cos2x），x∈（0，π），证明f（x）=+1在区间（0，π）内具有唯一零点；（3）若函数f（x）=x2+2mx+2m在区间（﹣2，2）内具有唯一零点，求实数m的取值范围．+3n（n≥2，n∈N*），首项a1=3．23．已知数列{a n}满足a n=3a n﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）数列{b n}满足b n=log3，记数列{}的前n项和为T n，A是△ABC的内角，若sinAcosA＞对于任意n∈N*恒成立，求角A的取值范围．2020年上海市静安区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．计算：=\frac{1}{12}．【考点】极限及其运算．【分析】化简=，从而求得．【解答】解：==；故答案为：．2．设复数z满足（3﹣4i）z=5（i是虚数单位），则z=\frac{3}{5}+\frac{4}{5}．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：∵（3﹣4i）z=5，∴（3+4i）（3﹣4i）z=5（3+4i），∴25z=5（3+4i），∴z=．故答案为：．3．若原点（0，0）和点（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是（0，2）．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】因为原点O和点P（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，所以（﹣a）•（1+1﹣a）＜0，由此能求出a的取值范围．【解答】解：因为原点O和点P（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，所以（﹣a）•（1+1﹣a）＜0，解得0＜a＜2，故答案为：（0，2）．4．函数y=cos2x，x∈[0，π]的递增区间为[\frac{π}{2}，π]．【考点】复合三角函数的单调性．【分析】先由整体法解2kπ+π≤2x≤2kπ+2π可得函数的所有单调递增区间，取在x∈[0，π]的即可．【解答】解：由2kπ+π≤2x≤2kπ+2π可解得kπ+≤x≤kπ+π，k∈Z，故函数y=cos2x的递增区间为[kπ+，kπ+π]，k∈Z，又∵x∈[0，π]，∴函数的单调递增区间为：[，π]故答案为：[，π]．5．如图是一个算法流程图，则输出的k的值是5【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可得进入循环的条件为不满足条件k2﹣4k＞0，模拟程序的运行结果，即可得到输出的k值．【解答】解：模拟执行程序，可得k=1不满足条件k2﹣4k＞0，执行循环体，k=2不满足条件k2﹣4k＞0，执行循环体，k=3不满足条件k2﹣4k＞0，执行循环体，k=4不满足条件k2﹣4k＞0，执行循环体，k=5满足条件k2﹣4k＞0，退出循环，输出k的值为5．故答案为：5．6．抛物线y2=x上一点M到焦点的距离为1，则点M的横坐标是\frac{3}{4}．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线方程，求出焦点F（，0）．设M（x0，y0），由|MF|=1结合两点的距离公式，列式并解之即可得到点M的横坐标．【解答】解：∵抛物线方程为y2=x，∴抛物线的焦点F（，0）设点M（x0，y0），得|MF|==1将y02=x0代入，得+x0=1，解之得x0=（舍负）故答案为：．7．一盒中装有12个同样大小的球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1个球，则取出的1个球是红球或黑球或白球的概率为\frac{11}{12}．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从12个球中任取一球，满足条件的事件是取出的一球是红球或黑球或白球，根据古典概型公式得到结果【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从12个球中任取一球共有12种结果；满足条件的事件是取出的一球是红球或黑球或白球共有11种结果，故概率为．故答案为：．8．关于θ的函数f（θ）=cos2θ﹣2xcosθ﹣1的最大值记为M（x），则M（x）的解析式为\left\{\begin{array}{l}{2x}&{x≥0}\\{﹣2x}&{x＜0}\end{array}\right.．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】将函数配方，得到对称轴为x，再由cosθ∈[﹣1，1]，判断对称轴与区间的位置关系，离对称轴最远的点对应的函数值为最大值．【解答】解：∵f（θ）=cos2θ﹣2xcosθ﹣1=（cosθ﹣x）2﹣1﹣x2，∵cosθ∈[﹣1，1]，∴当x≥0时，f（θ）的最大值为cosθ=﹣1时f（θ）max=（﹣1﹣x）2﹣1﹣x2=2x，当x＜0时，f（θ）的最大值为cosθ=1时f（θ）max=（1﹣x）2﹣1﹣x2=﹣2x，∴M（x）=故答案为：9．如图，正四棱锥P﹣ABCD的底面一边AB长为，侧面积为，则它的体积为4【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】作出棱锥的高PO，则O为底面中心，作OE⊥AB于E，根据侧面积计算PE，利用勾股定理计算PO，带入体积公式计算体积．【解答】解：过P作底面ABCD的垂线PO，则O为底面正方形ABCD的中心，过O作OE⊥AB于E，连结PE．则OE==．∵PO⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PO⊥AB，又AB⊥OB，PO⊂平面POE，OE⊂平面POE，PO∩OE=O，∴AB⊥平面POE，∵PE⊂平面POE，∴AB⊥PE．∴正四棱锥的侧面积S=4S△PAB=4×=8，侧解得PE=2．∴PO==1．∴正四棱锥的体积V=S•PO=（2）2×1=4．正方形ABCD故答案为：4．10．已知双曲线x2﹣=1（m＞0）的渐近线与圆x2+（y+2）2=1没有公共点，则该双曲线的焦距的取值范围为（2，4）．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程，圆的圆心和半径，由直线和圆没有公共点，可得d＞r，解不等式可得m的范围，进而得到所求范围．【解答】解：双曲线x2﹣=1（m＞0）的渐近线为y=±mx，圆x2+（y+2）2=1的圆心为（0，﹣2），半径为1，由直线和圆没有公共点，可得d＞r，即为＞1，解得0＜m＜，双曲线x2﹣=1（m＞0）的焦距为：2c=2∈（2，4）．故答案为：（2，4）．11．已知△ABC外接圆O的半径为2，且，||=||，则=12．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用平面向量的三角形法则，以及外心的特点，可得O为BC的中点，三角形ABC 为直角三角形，再由勾股定理和向量的数量积定义，即可求出结果．【解答】解：如图所示，△ABC的外接圆的半径为2，且，∴（﹣）+（﹣）=2，∴+=2+2=，∴O为BC的中点，即AB⊥AC；又||=||，∴△ABO为等边三角形，且边长为2，由勾股定理得，AC==2，则•=||•||•cos∠ACB=2×4×=12．故答案为：12．12．（坐标系与参数方程选做题）如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2+y2﹣x=0的参数方程为\left\{\begin{array}{l}{x=co{s}^{2}θ}\\{y=cosθ•sinθ}\end{array}\right.，θ∈R，且θ≠\frac{π}{2}．【考点】圆的参数方程．【分析】将圆的方程化为标准方程，找出圆心与半径，利用三角函数定义表示出OP，进而表示出x与y，即为圆的参数方程．【解答】解：将圆方程化为（x﹣）2+y2=，可得半径r=，∴OP=2r•cosθ=cosθ，∴x=OP•cosθ=cos2θ，y=OP•sinθ=sinθcosθ，则圆的参数方程为，θ∈R，且θ≠．故答案为：，θ∈R，且θ≠13．已知数列{a n}满足a1=81，a n=（k∈N*），则数列{a n}的前n项和S n的最大值为127．【考点】数列的函数特性．【分析】数列{a n}满足a1=81，a n=（k∈N*），可得n=2k（k∈N*）；n=2k+1时a2k+1=．因此a2k+1==，a2k=时，a2k=﹣1+log3a2k﹣1．于是数列{a n}的奇数项成等比数列，公比为；偶数项成等差数列，公差为﹣1．分﹣1+a2k﹣2类讨论求和，再利用数列的单调性即可得出．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=81，a n=（k∈N*），∴n=2k（k∈N*）时，a2k=﹣1+log3a2k，a2=3；n=2k+1时a2k+1=．﹣1∴a2k+1==，a2k=﹣1+a2k．﹣2∴数列{a n}的奇数项成等比数列，公比为；偶数项成等差数列，公差为﹣1．∴S n=S2k=（a1+a3+…+a2k）+（a2+a4+…+a2k）﹣1=+3k+=﹣+≤127．（k=5时取等号）．S n =S 2k ﹣1=S 2k ﹣2+a 2k ﹣1=﹣++≤111，k=5时取等号．综上可得：数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为127． 故答案为：127．14．设关于x 的实系数不等式（ax+3）（x 2﹣b ）≤0对任意x ∈[0，+∞）恒成立，则a 2b= 9 ． 【考点】一元二次不等式的解法．【分析】利用换元法设f （x ）=ax+3，g （x ）=x 2﹣b ，根据一元一次函数和一元二次函数的图象和性质进行判断求解即可． 【解答】解：∵（ax+3）（x 2﹣b ）≤0对任意x ∈[0，+∞）恒成立， ∴当x=0时，不等式等价为﹣3b ≤0，即b ≥0，当x →+∞时，x 2﹣b ＞0，此时ax+3＜0，则a ＜0， 设f （x ）=ax+3，g （x ）=x 2﹣b ， 若b=0，则g （x ）=x 2＞0，函数f （x ）=ax+3的零点为x=﹣，则函数f （x ）在（0，﹣）上f （x ）＞0，此时不满足条件；若a=0，则f （x ）=3＞0，而此时x →+∞时，g （x ）＞0不满足条件，故b ＞0； ∵函数f （x ）在（0，﹣）上f （x ）＞0，则（﹣，+∞））上f （x ）＜0， 而g （x ）在（0，+∞）上的零点为x=，且g （x ）在（0，）上g （x ）＜0，则（，+∞）上g （x ）＞0， ∴要使（ax+3）（x 2﹣b ）≤0对任意x ∈[0，+∞）恒成立， 则函数f （x ）与g （x ）的零点相同，即﹣=，∴a 2b=9．故答案为：9．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．下列不等式一定成立的是（）A．lg（x2+）＞lgx（x＞0）B．sinx+≥2（x≠kx，k∈Z）C．x2+1≥2|x|（x∈R）D．（x∈R）【考点】不等式比较大小．【分析】由题意，可对四个选项逐一验证，其中C选项用配方法验证，A，B，D三个选项代入特殊值排除即可【解答】解：A选项不成立，当x=时，不等式两边相等；B选项不成立，这是因为正弦值可以是负的，故不一定能得出sinx+≥2；C选项是正确的，这是因为x2+1≥2|x|（x∈R）⇔（|x|﹣1）2≥0；D选项不正确，令x=0，则不等式左右两边都为1，不等式不成立．综上，C选项是正确的．故选：C．16．在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1【考点】简单曲线的极坐标方程；圆的切线方程．【分析】利用圆的极坐标方程和直线的极坐标方程即可得出．【解答】解：如图所示，在极坐标系中圆ρ=2cosθ是以（1，0）为圆心，1为半径的圆．故圆的两条切线方程分别为（ρ∈R），ρcosθ=2．故选B．17．若函数F（x）=f（x）+x2为奇函数，且g（x）=f（x）+2，若f（1）=1，则g（﹣1）的值为（）A．1B．﹣3C．2D．﹣2【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由于函数F（x）=f（x）+x2为奇函数，可得F（﹣x）+F（x）=f（﹣x）+x2+f（x）+x2=0．代入即可得出．【解答】解：∵函数F（x）=f（x）+x2为奇函数，∴F（﹣x）+F（x）=f（﹣x）+x2+f（x）+x2=0．∴f（﹣1）+2+f（1）=0．∴f（﹣1）+2=﹣f（1）=﹣1．∴g（﹣1）=f（﹣1）+2=1．故选：A．18．袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5．现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为ξ，则Eξ等于（）A．4B．4.5C．4.75D．5【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】由题意ξ的可能取值为3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出Eξ．【解答】解：∵袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5．现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为ξ，∴ξ的可能取值为3，4，5，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，P（ξ=5）==，∴Eξ==4.5．故选：B．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．已知F1，F2分别是椭圆C：=1（其中a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆C过点（﹣，1）且与抛物线y2=﹣8x有一个公共的焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点且斜率为1的直线l与椭圆交于A、B两点，求线段AB的长度．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由抛物线方程求得焦点坐标，进一步得到椭圆左焦点坐标，把（﹣，1）代入椭圆方程，结合隐含条件求得a，b的答案；（2）写出直线l的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系得到A，B的横坐标的和与积，代入弦长公式求得线段AB的长度．【解答】解：（1）抛物线y2=﹣8x的焦点为（﹣2，0），∴椭圆的左焦点为（﹣2，0），c=2，b2=a2﹣4．又，得a4﹣8a2+12=0，解得a2=6（a2=2舍去）．故椭圆C的方程为．（2）直线l的方程为y=x﹣2．联立方程组，消去y并整理得2x2﹣6x+3=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．故x1+x2=3，．则=．20．设点E，F分别是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点．如图，以C为坐标原点，射线CD、CB、CC1分别是x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系．（1）求向量与的数量积；（2）若点M，N分别是线段D1E与线段C1F上的点，问是否存在直线MN，MN⊥平面ABCD？若存在，求点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】空间向量的数量积运算；用向量证明垂直．【分析】（1）在给定空间直角坐标系中，求出，，由此能求出向量与的数量积．（2）若MN⊥平面ABCD，则与平面ABCD的法向量（0，0，1）平行，由此利用向量法能求出点M，N的坐标．【解答】解：（1）在给定空间直角坐标系中，相关点及向量坐标为C1（0，0，2），F（2，2，1），=（2，2，﹣1），……所以．…（2）存在唯一直线MN，MN⊥平面ABCD．…若MN⊥平面ABCD，则与平面ABCD的法向量（0，0，1）平行，所以设…又因为点M，N分别是线段D1E与线段C1F上的点，所以，即，…（a﹣2，a，m﹣2）=（﹣λ，2λ，﹣2λ），（a，a，n﹣2）=（2t，2t，﹣t），所以且，解得所以点M，N的坐标分别是，．…21．如图，A、B是海岸线OM、ON上的两个码头，海中小岛有码头Q到海岸线OM、ON的距离分别为2km、km．测得tan∠MON=﹣3，OA=6km．以点O为坐标原点，射线OM为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系．一艘游轮以18km/小时的平均速度在水上旅游线AB航行（将航线AB看作直线，码头Q在第一象限，航线AB经过Q）．（1）问游轮自码头A沿方向开往码头B共需多少分钟？（2）海中有一处景点P（设点P在xOy平面内，PQ⊥OM，且PQ=6km），游轮无法靠近．求游轮在水上旅游线AB航行时离景点P最近的点C的坐标．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）由已知得：A（6，0），直线ON的方程为y=﹣3x，求出Q（4，2），得直线AQ的方程，从而求出水上旅游线AB的长，由此能求出游轮在水上旅游线自码头A沿方向开往码头B共航行时间．（2）点P到直线AB的垂直距离最近，则垂足为C，分别求出直线AB的方程和直线PC的方程，联立直线AB和直线PC的方程组，能求出点C的坐标．【解答】解：（1）由已知得：A（6，0），直线ON的方程为y=﹣3x，…1分设Q（x1，2），（x1＞0），由及x1＞0，得x1=4，∴Q（4，2），…3分∴直线AQ的方程为y=﹣（x﹣6），即x+y﹣6=0，…5分由，得，即B（﹣3，9），…6分∴AB==9，即水上旅游线AB的长为9km．游轮在水上旅游线自码头A沿方向开往码头B共航行30分钟时间．…8分（2）点P到直线AB的垂直距离最近，则垂足为C．…10分由（1）知直线AB的方程为x+y﹣6=0，P（4，8），则直线PC的方程为x﹣y+4=0，…12分联立直线AB和直线PC的方程组，得点C的坐标为C（1，5）．…14分22．已知函数y=f（x），若在区间I内有且只有一个实数c（c∈I），使得f（c）=0成立，则称函数y=f（x）在区间I内具有唯一零点．（1）判断函数f（x）=在区间（0，+∞）内是否具有唯一零点，并说明理由；（2）已知向量=（，），=（sin2x，cos2x），x∈（0，π），证明f（x）=+1在区间（0，π）内具有唯一零点；（3）若函数f（x）=x2+2mx+2m在区间（﹣2，2）内具有唯一零点，求实数m的取值范围．【考点】分段函数的应用；函数零点的判定定理．【分析】（1）利用分段函数，分类讨论函数的单调性，从而得出结论．（2）两个向量的数量积共公式以及三角恒等变换，化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的性质得出结论．（3）利用二次函数的性质，分类讨论，求得m的范围．【解答】解：（1）函数在区间（0，+∞）内具有唯一零点．理由：当x=1时，有f（1）=0，且当0＜x＜1时，有f（x）=x2﹣1＜0；当x＞1时，f（x）=log2x是增函数，有f（x）=log2x＞log21=0．（2）因为，所以，f（x）=0的解集为．因为I=（0，π），∴，所以在区间（0，π）内有且只有一个实数，使得成立，因此在开区间（0，π）内具有唯一零点．（3）函数f（x）=x2+2mx+2m在开区间（﹣2，2）内具有唯一零点，该二次函数的对称轴为x=﹣m．以下分﹣m与区间（﹣2，2）的位置关系进行讨论．①当﹣m≤﹣2即m≥2时，f（x）=x2+2mx+2m在开区间（﹣2，2）是增函数，只需，解得m＞2．②当﹣2＜﹣m＜2即﹣2＜m＜2时，若使函数在开区间（﹣2，2）内具有唯一零点，2m﹣m2＜0，所以m＜0．再分三种情形讨论：当m=0时，符合题意；当0＜m＜2时，空集；当﹣2＜m＜0时，只需解得．③当﹣m≥2即m≤﹣2时，f（x）=x2+2mx+2m在区间（﹣2，2）是减函数，只需，解得m≤﹣2．综上讨论，实数m的取值范围是或m=0或m＞2．+3n（n≥2，n∈N*），首项a1=3．23．已知数列{a n}满足a n=3a n﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）数列{b n}满足b n=log3，记数列{}的前n项和为T n，A是△ABC的内角，若sinAcosA＞对于任意n∈N*恒成立，求角A的取值范围．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）通过在两边同时除以3n，进而可知数列是首项为、公差为1的等差数列，计算即得结论；（2）通过（1），利用错位相减法计算即得结论；（3）通过（1）计算可知，进而利用错位相减法计算可知T n=1﹣，利用T n＜1及二倍角公式化简可知，结合A∈（0，π）计算即得结论．【解答】解：（1）数列{a n}满足（n≥2，n∈N*），∴，又∵3n≠0，∴为常数，∴数列是首项为、公差为1的等差数列，∴=n，∴（n∈N*）；（2）由（1）可知，，两式错位相减，得：﹣2S n=3+32+33+…+3n﹣n•3n+1=﹣n•3n+1=﹣﹣•3n+1，∴S n=+•3n+1；（3）由（1）可知，∵数列{b n}满足，∴，∴=，∴=，又∵恒成立，且对于任意n∈N*，T n＜1成立，∴，即，又A∈（0，π），即2A∈（0，2π），∴，即．2020年7月14日第21页（共21页）。
2020届二模理数答案
1分
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2023年上海市静安区高考数学二模试卷+答案解析(附后)
2023年上海市静安区高考数学二模试卷1. 若集合，，且，则______ .2. 已知是公比为q的等比数列，且、、成等差数列，则______ .3. 若复数为虚数单位，则______ .4. 已知两点在对称轴为坐标轴的椭圆上，则椭圆的标准方程为______ .5. 已知，且，则______ .6. 已知中，，且，则面积的最大值为______ .7. 已知函数为偶函数，则函数的值域为______ .8.已知向量，且，的夹角为，，则在方向上的投影向量等于______ .9. 某运动生理学家在一项健身活动中选择了10名男性参与者，以他们的皮下脂肪厚度来估计身体的脂肪含量，其中脂肪含量以占体重单位：的百分比表示.得到脂肪含量和体重的数据如下：个体编号体重脂肪含量1892828827366244592359329673257822987725910030106723建立男性体重与脂肪含量的回归方程为：______ 结果中回归系数保留三位小数10. 如图，正方体中，E为AB的中点，F为正方形的中心，则直线EF与侧面所成角的正切值是______ .11. 今年是农历癸卯兔年，一种以兔子形象命名的牛奶糖深受顾客欢迎.标识质量为500g 的这种袋装奶糖的质量指标X是服从正态分布的随机变量.若质量指标介于含至含之间的产品包装为合格包装，则随意买一包这种袋装奶糖，是合格包装的可能性大小为______ 结果保留一位小数已知，，表示标准正态分布的密度函数从到x的累计面积12.若，其中x，，则的最小值为______ .13. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是( )A. ，B. ，C. ，D. ，14. 摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如静安大悦城的“SkyRing”摩天轮是上海首个悬臂式屋顶摩天轮.摩天轮最高点离地面高度106米，转盘直径56米，轮上设置30个极具时尚感的4人轿舱，拥有360度的绝佳视野.游客从离楼顶屋面最近的平台位置进入轿舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，若在，时刻，游客距离地面的高度相等，则的最小值为( )A. 6B. 12C. 18D. 2415. 设直线：与关于直线l：对称，则直线的方程是( )A. B.C. D.16. 函数( )A. 严格增函数B. 在上是严格增函数，在上是严格减函数C. 严格减函数D. 在上是严格减函数，在上是严格增函数17. 已知各项均为正数的数列满足，正整数求证：数列是等比数列；求数列的前n项和18. 如图，在五面体ABCDEF中，平面ABCD，，，若，求五面体ABCDEF的体积；若M为EC的中点，求证：平面平面19. 已知双曲线其中，的左、右焦点分别为、其中若双曲线过点且一条渐近线方程为；直线l的倾斜角为，在y轴上的截距为直线l与该双曲线交于两点A、B，M为线段AB的中点，求的面积；以坐标原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为过P作圆的切线，若切线的斜率为，求双曲线的离心率.20. 概率统计在生产实践和科学实验中应用广泛.请解决下列两个问题.随着中小学“双减”政策的深入人心，体育教学和各项体育锻炼迎来时间充沛的春天.某初中学校学生篮球队从开学第二周开始每周进行训练，第一次训练前共有6个篮球，其中3个是新球即没有用过的球，3个是旧球即至少用过一次的球每次训练，都是从中不放回任意取出2个篮球，训练结束后放回原处.设第一次训练时取到的新球个数为，求随机变量的分布和期望.由于手机用微波频率信号传递信息，那么长时间使用手机是否会增加得脑瘤的概率？研究者针对这个问题，对脑瘤病人进行问卷调查，询问他们是否总是习惯在固定的一侧接听电话？如果是，是哪边？结果有88人喜欢用固定的一侧接电话.其中脑瘤部位在左侧的病人习惯固定在左侧接听电话的有14人，习惯固定在右侧接听电话的有28人；脑瘤部位在右侧的病人习惯固定在左侧接听电话的有19人，习惯固定在右侧接听电话的有27人.根据上述信息写出下面这张列联表中字母所表示的数据，并对患脑瘤在左右侧的部位是否与习惯在该侧接听手机电话相关进行独立性检验显著性水平习惯固定在左侧接听电话习惯固定在右侧接听电话总计脑瘤部位在左侧的病a b42人脑瘤部位在右侧的病c d46人总计88参考公式及数据：，其中，，21. 已知函数其中a为常数若，求曲线在点处的切线方程；当时，求函数的最小值；当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由.答案和解析1.【答案】【解析】解：，，，，则，又，，，，故答案为：根据，求出a，b的值，从而确定本题考查集合的运算，属于基础题．2.【答案】1【解析】解：因为是公比为q的等比数列，且、、成等差数列，所以，即，所以，则故答案为：由已知结合等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解．本题主要考查了等差数列的性质及等比数列通项公式的应用，属于基础题．3.【答案】【解析】解：，则故答案为：根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．4.【答案】【解析】解：根据题意，设要求椭圆的标准方程为，则有，解可得，则要求椭圆的方程为：，变形可得其标准方程为故答案为：根据题意，设要求椭圆的标准方程为，将点的坐标代入方程，求出m、n的值，变形可得答案．本题考查椭圆的标准方程，涉及椭圆的几何性质，属于基础题．5.【答案】【解析】解：因为，所以，整理可得，解得或舍去故答案为：利用二倍角的余弦公式化简已知等式可得，解方程即可求解的值．本题考查了二倍角的余弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．6.【答案】3【解析】解：已知中，，由正弦定理得：，故即面积的最大值为故答案为：直接利用正弦定理和三角形的面积公式求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理和三角形的面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．7.【答案】【解析】解：函数的定义域为R，因为为偶函数，所以，即，解得舍负，所以，当且仅当，即时，等号成立，又，所以的值域为故答案为：利用为偶函数，求得，化简可得，再结合基本不等式，得解．本题考查函数奇偶性的应用，值域的求法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．8.【答案】【解析】解：向量，则，，则，即，解得，故在方向上的投影向量等于故答案为：根据已知条件，结合平面向量的数量积公式，求出，再结合投影向量的公式，即可求解．本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．9.【答案】【解析】解：由表可知，，，，，所以，，所以男性体重与脂肪含量的回归方程为故答案为：根据回归系数的公式，计算与的值，即可得解．本题考查线性回归方程的求法，考查运算求解能力，属于基础题．10.【答案】【解析】解：连接，平面，则为直线EF与侧面所成的角，设，则，，则，则直线EF与侧面所成角的正切值是故答案为：由直线与平面所成角的作法可得为直线EF与侧面所成的角，然后求解即可．本题考查了直线与平面所成角的作法，重点考查了直线与平面所成角的求法，属基础题．11.【答案】【解析】解：因为X是服从正态分布，所以，则故答案为：根据正态分布的对称性及标准正态分布的概率取值情况即可得所求答案．本题考查正态分布的应用，属于基础题．12.【答案】【解析】解：，，当且仅当，即时，等号成立，两边平方得：，，即，，，当且仅当，时，等号成立，即的最小值为故答案为：由题意可知，再利用基本不等式求解即可．本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．13.【答案】C【解析】解：直线l的方向向量为，平面的法向量为，，，在A中，，，，故A错误；在B中，，，，故B错误；在C中，，，，故C正确；在D中，，，，故D错误．故选：由，得，由此能求出结果．本题考查线面平行的条件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意线面平行的性质的合理运用．14.【答案】B【解析】解：在转动一周的过程中，高度h关于时间t的函数解析式是：，当时，h取得最大值，所以，时刻，游客距离地面的高度相等，、关于对称，所以的最小值是，选项B正确．故选：根据高度h 关于时间t 的函数解析式求出对称轴，从而求出的最小值．本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．15.【答案】A【解析】解：直线：的斜率，直线的斜率为，直线l ：的斜率，由于直线与直线关于直线l 对称，利用到角公式：，解得，由于，解得，故直线的方程为，整理得故选：直接利用到角公式求出直线的斜率，进一步利用二元一次方程组求出交点的坐标，最后利用点斜式求出直线的方程．本题考查的知识要点：直线的方程的求法，到角公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．16.【答案】D【解析】解：函数的定义域为，求导得，令得，所以在上，y 单调递减，在上，y 单调递增，故选：函数的定义域为，求导得，分析的符号，进而可得的单调性．本题考查利用导数分析函数的单调性，解题中需要理清思路，属于中档题．17.【答案】证明：已知各项均为正数的数列满足，正整数，则，又，即数列是以4为首项，2为公比的等比数列；解：由可得，即，则【解析】由已知可得，然后求证即可；由可得，然后结合等比数列前n项和的公式求解即可．本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了等比数列前n项和的公式，属基础题．18.【答案】解：因为，，取AD中点N，连接EN，CN，因为，所以，，，又平面ABCD，平面ABCD，，所以平面ABCD，又因为，即，，AB，平面FAB，所以平面FAB，所以为底面是等腰直角三角形的直棱柱，高等于1，三棱锥的高等于1，底面是等腰直角三角形，所以五面体ABCDEF的体积=棱柱的体积+棱锥的体积，即：证明：以A为坐标原点，以为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，点，所以，所以，所以，，又，AD，平面AMD，所以平面AMD，又平面CDE，所以平面平面【解析】取AD中点N，连接EN，CN，易证得平面ABCD，五面体ABCDEF的体积等于棱柱的体积+棱锥的体积，分别求出棱柱的体积和棱锥的体积即可得出答案．以A为坐标原点，以为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，由垂直向量的坐标运算可证得，，即可得出平面AMD，再由面面垂直的判定定理即可证明．本题考查了几何体体积的计算，考查了面面垂直的证明，属于中档题．19.【答案】解：双曲线过点且一条渐近线方程为，则①，双曲线过点，则②，联立①②解得，，，故双曲线的方程为，直线l的倾斜角为，在y轴上的截距为，则l的方程为，代入双曲线方程可得，，设，，，则，M为线段AB的中点，则，，即，，的面积为；由题意可知，圆的方程为，联立，解得，，即，切线的斜率为，则，化简整理可得，，故，即，解得，故双曲线的离心率为【解析】根据已知条件，结合渐近线的定义，推得，再结合双曲线过点，即可求出双曲线的方程，再与直线l联立，并结合韦达定理，即可求解；先求出圆的方程，再与双曲线联立，求出点P的坐标，再结合斜率公式，以及离心率公式，即可求解．本题主要考查直线与双曲线的综合，考查转化能力，属于难题．20.【答案】解：第一次训练时所取的球是从6个球新，3旧中不放回取出2个球，所以可取的值为0，1，2，，则分布列如下：0 1 2P则期望为；由题目条件可得列联表如下：习惯固定在左侧接听电话习惯固定在右侧接听电话总计脑瘤部位在左侧的病人 14 28 42脑瘤部位在右侧的病人 19 27 46总计 33 55 88则，故长时间使用手机与是否得脑瘤没有显著关系． 【解析】由题可知可取的值为0，1，2，后结合题目条件可得分布列与相应期望；由题目条件可将列联表补充完整，后由列联表数据计算，比较其与大小即可判断长时间使用手机与是否得脑瘤有无显著关系．本题考查了离散型随机变量的分布列与期望和独立性检验，属于中档题．21.【答案】解：当时，可得，可得，所以且，所以切线方程为，即，所以曲线在点处的切线方程为解：由函数，可得函数的定义域为，又由，令，解得，，当时，与在区间的情况如下表：x 1-0+极小值所以函数的极小值为，也是函数的最小值，所以当时，函数的最小值为；解：当时，，令，解得，舍去所以函数在上有一个零点；当时，与在区间的情况如下表：x a 1+0-0+极大值极小值所以函数在单调递增，在上单调递减，此时函数的极大值为，所以函数在上没有零点；又由且函数在上单调递增，且当时，，所以函数在上只有一个零点，综上可得，当时，在上有一个零点．【解析】当时，求得，得到且，进而求得切线方程；求得，利用导数求得函数的单调性和极值，即可求解；当时，求得在上有一个零点；当时，利用导数求得函数的单调性和极值，进而得出函数零点的个数．本题考查了导数的几何意义以及利用导数研究函数的最值和零点问题，属于中档题．。
上海市静安区达标名校2020年高考二月仿真备考数学试题含解析
上海市静安区达标名校2020年高考二月仿真备考数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知i 是虚数单位，则(2)i i +=（ ） A ．12i +B ．12i -+C ．12i --D ．12i -2．已知实数0,1a b >>满足5a b +＝，则211a b +-的最小值为（ ） A ．3224+ B ．3424+ C ．3226+ D ．3426+ 3．某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（ ）A ．月收入的极差为60B ．7月份的利润最大C ．这12个月利润的中位数与众数均为30D ．这一年的总利润超过400万元4．设i 是虚数单位，若复数103m i++（m R ∈）是纯虚数，则m 的值为（ ） A ．3-B ．1-C ．1D ．35．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若(,)CA CE DB R λμλμ=+∈，则λ＋μ的值为（ ）A ．65B ．85C ．2D ．837．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A ．240，18B ．200，20C ．240，20D ．200，188．函数()2xx e f x x=的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．若复数z 满足(23i)13i z +=，则z =（ ） A ．32i -+B ．32i +C ．32i --D ．32i -10．已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>≤，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在区间(,)43ππ上单调，则ω的最大值是（ ）A ．12B ．11C ．10D ．911．执行如下的程序框图，则输出的S 是（ ）A ．36B ．45C ．36-D ．45-12．已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为(),f x π的图象向左平移6π个单位长度后关于y 轴对称，则()6f x π-的单调递增区间为( )A ．5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦B ．,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦D ．,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020上海市静安区高考数学考试试题
2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A {x x 0}︱=>，2B {x x x b 0}=-+=︱，若{3}A B ⋂=，则b =（ ） A ．6-B ．6C ．5D ．5-2．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ）A ．5 B ．5 C ．10 D ．10 3．已知集合{}|26Mx x =-<<，{}2|3log 35N x x =-<<，则MN =（ ）A ．{}2|2log 35x x -<<B ．{}2|3log 35x x -<<C ．{}|36x x -<<D ．{}2|log 356x x <<4．在等差数列{}n a 中，若244,8a a ==，则7a =（ ） A ．8B ．12C ．14D ．105．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ）A ．10000立方尺B ．11000立方尺C ．12000立方尺D ．13000立方尺6．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（ ） A ．120种B ．240种C ．480种D ．600种7．数列{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ∈[1，2]，且a 4+λa 10+a 16＝15，则实数λ的最大值为（ ） A ．72B ．5319C ．2319-D ．12-8．已知非零向量,a b 满足a b λ=，若,a b 夹角的余弦值为1930，且()()23a b a b -⊥+，则实数λ的值为（ ） A ．49-B ．23C ．32或49-D ．329．已知P 是双曲线22221x y a b-=渐近线上一点，1F ，2F 是双曲线的左、右焦点，122F PF π∠=，记1PF ，PO ，2PF 的斜率为1k ，k ，2k ，若1k ，-2k ，2k 成等差数列，则此双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．62C ．3D ．610．当输入的实数[]230x ∈，时，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率是（ ）A ．914B ．514C ．37D ．92811．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ） A ．B ．C ．1D ．212．已知i 是虚数单位，若z211i i=+-，则||z =（ ） A 2B ．2C 10D ．10二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷二模试卷高三数学理科
上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷二模试卷高三数学理科一、选择题：本大题共8小题，每小题5分共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{0,1,2,3}A =，{2,3,4}B =，那么()UA B =（A ）{0,1} （B ）{2,3} （C ）{0,1,4}（D ）{0,1,2,3,4}2．在复平面内，复数1z 的对应点是1(1,1)Z ，2z 的对应点是2(1,1)Z -，则12z z ⋅= （A ）1（B ）2（C ）i -（D ）i3．在极坐标系中，圆心为(1,)2π，且过极点的圆的方程是 （A ）2sin =ρθ（B ）2sin =-ρθ（C ）2cos =ρθ（D ）2cos =-ρθ4．如图所示的程序框图表示求算式“235917⨯⨯⨯⨯” 之值， 则判断框内可以填入 （A ）10k ≤ （B ）16k ≤ （C ）22k ≤（D ）34k ≤5．设122a =，133b =，3log 2c =，则 （A ）b a c << （B ）a b c << （C ）c b a <<（D ）c a b <<6．对于直线m ，n 和平面α，β，使m ⊥α成立的一个充分条件是 （A ）m n ⊥，n ∥α（B ）m ∥β，⊥βα （C ）m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α（D ）m n ⊥，n ⊥β，⊥βα7．已知正六边形ABCDEF 的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是（A ）4（B ）2（C （D ）8．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数．若关于x 的方程()f x kx k =+有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是（A ）111[1,)(,]243-- （B ）111(1,][,)243-- （C ）111[,)(,1]342-- （D ）111(,][,1)342--第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．右图是甲，乙两组各6名同学身高（单位：则 x 甲______x 乙． （填入：“>”，“=10．5(21)x -的展开式中3x 项的系数是______．（用数字作答）11．在△ABC 中，2BC =，AC =，3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．12．如图，AB 是半圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD C ，AD PD ⊥．若4PC =，2PB =，则CD =______．13．在等差数列{}n a 中，25a =，1412a a +=，则n a =______；设*21()1n n b n a =∈-N ，则数列{}n b 的前n 项和n S =______． 14．已知正数,,a b c 满足a b ab +=，a b c abc ++=，则c 的取值范围是______． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且,)62ππ∈(α．将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B ．记),(),,(2211y x B y x A ．（Ⅰ）若311=x ，求2x ；（Ⅱ）分别过,A B 作x 轴的垂线，垂足依次为,C D ．记△AOC 的面积为1S ，△BOD 的面积为2S ．若122S S =，求角α的值． 16．（本小题满分13分）某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．（Ⅰ）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；（Ⅱ）记X 为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X 的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）如图1，四棱锥ABCD P -中，⊥PD 底面ABCD ，面ABCD 是直角梯形，M 为侧棱PD 上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示．（Ⅰ）证明：⊥BC 平面PBD ； （Ⅱ）证明：AM ∥平面PBC ；（Ⅲ）线段CD 上是否存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为43？若存在，找到所有符合要求的点N ，并求CN 的长；若不存在，说明理由． 18．（本小题满分13分）如图，椭圆22:1(01)y C x m m+=<<的左顶点为A ，M是椭圆C 上异于点A 的任意一点，点P 与点A 关于点M 对称．（Ⅰ）若点P 的坐标为9(,55，求m 的值；（Ⅱ）若椭圆C 上存在点M ，使得OP OM ⊥，求m 的取值范围． 19．（本小题满分14分）已知函数322()2(2)13f x x x a x =-+-+，其中a ∈R ．（Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[2,3]上的最大值和最小值． 20．（本小题满分13分）已知集合1212{(,,,)|,,,n n n S x x x x x x =是正整数1,2,3,,n 的一个排列}(2)n ≥，函数对于12(,,)n n a a a S ∈…，定义：121()()(),{2,3,,}i i i i i b g a a g a a g a a i n -=-+-++-∈，10b =，称i b 为i a 的满意指数．排列12,,,n b b b 为排列12,,,n a a a 的生成列；排列12,,,n a a a 为排列12,,,n b b b 的母列．（Ⅰ）当6n =时，写出排列3,5,1,4,6,2的生成列及排列0,1,2,3,4,3--的母列；（Ⅱ）证明：若12,,,n a a a 和12,,,n a a a '''为n S 中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（Ⅲ）对于n S 中的排列12,,,n a a a ，定义变换τ：将排列12,,,n a a a 从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：一定可以经过有限次变换τ将排列12,,,n a a a 变换为各项满意指数均为非负数的排列．参考答案及评分标准一、1．C ；2．B ； 3．A ； 4．C ；5．D ； 6．C ； 7．B ； 8．B ．二、9．>；10．80；11．3，2； 12．125； 13．21n +，4(1)n n +；14．4(1,]3．注：11、13题第一空2分，第二空3分. 三、15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由三角函数定义，得 1cos x =α，2cos(x =2分 因为 ,)62ππ∈(α，1cos 3=α， 所以 sin 3==α．………………3 所以 21cos()cos 32x π=+==αα-α（Ⅱ）解：依题意得 1sin y =α，2sin()3y π=+α． 所以111111cos sin sin 2224S x y ==⋅=ααα， ………………7分 2221112||[cos()]sin()sin(2)223343S x y πππ==-+⋅+=-+ααα．……………9分依题意得 2sin 22sin(2)3π=-+αα， 整理得 cos20=α．…11分因为 62ππ<<α， 所以 23π<<πα，所以 22π=α， 即 4π=α．…13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ，………………1分则 2334A 1()A 4P A ==，故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为14．…4分（Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为0,5,10,15,20．………………5分1(0)4P X ==， 2224A 1(5)A 6P X ===，222344A 11(10)A A 6P X ==+=， 122234C A 1(15)A 6P X ⋅===，3344A 1(20)A 4P X ===．………10分 所以，随机变量X 的分布列为:………………11分11111051015201046664EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．………………13分17．（本小题满分14分）【方法一】（Ⅰ）证明：由俯视图可得，22BD BC +所以 BD BC ⊥．……1分又因为 ⊥PD 平面所以 PD BC ⊥…3分所以⊥BC 平面PBD （Ⅱ）证明：取PC 上一点Q ，使:1:4PQ PC =分由左视图知 4:1:=PD PM ，所以 MQ ∥CD ，14MQ CD =． (6)分在△BCD 中，易得60CDB ︒∠=，所以 30ADB ︒∠=．又 2=BD ， 所以1AB =，AD =又因为 AB ∥CD ，CD AB 41=，所以 AB ∥MQ ，AB MQ =．所以四边形ABQM 为平行四边形，所以 AM ∥BQ ．………………8分 因为 ⊄AM 平面PBC ，BQ ⊂平面PBC ， 所以直线AM ∥平面PBC ．………………9分（Ⅲ）解：线段CD 上存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为43．证明如下：………10分因为 ⊥PD 平面ABCD ，DC DA ⊥，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -．所以 )3,0,0(),0,4,0(),0,1,3(),0,0,3(),0,0,0(M C B A D ． 设 )0,,0(t N ，其中40≤≤t ．…11分所以)3,0,3(-=AM ，)0,1,3(--=t BN ．要使AM 与BN 所成角的余弦值为43，则有||34||||AM BN AM BN ⋅=， ………………12分 所以43)1(332|3|2=-+⋅t ，解得 0=t 或2，均适合40≤≤t ．………………13分故点N 位于D 点处，此时4CN =；或CD 中点处，此时2CN =，有AM 与BN 所成角的余弦值为43．…14分 18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，M 是线段AP所以 点M 的坐标为2(5由点M 在椭圆C 上，所以41212525m+=7…5分（Ⅱ）解：设00(,)M x y ，则 2201y x m+=，且011x -<<．①………………6分因为 M 是线段AP 的中点，所以 00(21,2)P x y +．…7分 因为 OP OM ⊥，所以 2000(21)20x x y ++=．②…8分由 ①，② 消去0y ，整理得 20020222x xm x +=-．………………10分所以00111622(2)82m x x =+≤-++-+， ………………12分当且仅当 02x =-时，上式等号成立．所以 m 的取值范围是1(0,24-．…13分 19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为R ， 且 2()242f x x x a '=-+-．………………2分当2a =时，1(1)3f =-，(1)2f '=-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 12(1)3y x +=--，即6350x y +-=．4分（Ⅱ）解：方程()0f x '=的判别式为8a =∆．（ⅰ）当0a ≤时，()0f x '≥，所以()f x 在区间(2,3)上单调递增，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是7(2)23f a =-；最大值是(3)73f a =-．………………6分（ⅱ）当0a >时，令()0f x '=，得 11x =，或21x =．()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调增区间为(,1-∞，(1)++∞；单调减区间为(1+． …8分① 当02a <≤时，22x ≤，此时()f x 在区间(2,3)上单调递增，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是7(2)23f a =-；最大值是(3)73f a =-．………………10分② 当28a <<时，1223x x <<<，此时()f x 在区间2(2,)x 上单调递减，在区间2(,3)x 上单调递增，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是 25()33f x a =--． (11)分因为 14(3)(2)3f f a -=-， 所以 当1423a <≤时，()f x 在区间[2,3]上的最大值是(3)73f a =-；当1483a <<时，()f x 在区间[2,3]上的最大值是7(2)23f a =-．………………12分 ③当8a ≥时，1223x x <<≤，此时()f x 在区间(2,3)上单调递减，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是(3)73f a =-；最大值是7(2)23f a =-．………………14分 综上，当2a ≤时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是723a -，最大值是73a -；当1423a <≤时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是533a --，最大值是73a -；当1483a <<时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是533a --，最大值是723a -； 当8a ≥时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是73a -，最大值是723a -．20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当6n =时，排列3,5,1,4,6,2的生成列为0,1,2,1,4,3--； ………………2分排列0,1,2,3,4,3--的母列为3,2,4,1,6,5．………………3分（Ⅱ）证明：设12,,,n a a a 的生成列是12,,,n b b b ；12,,,n a a a '''的生成列是与12,,,nb b b '''．从右往左数，设排列12,,,n a a a 与12,,,n a a a '''第一个不同的项为k a 与k a '，即：n na a '=，11n n a a --'=，，11k k a a ++'=，k k a a '≠． 显然 n nb b '=，11n n b b --'=，，11k k b b ++'=，下面证明：k k b b '≠．………………5分由满意指数的定义知，i a 的满意指数为排列12,,,n a a a 中前1i -项中比i a 小的项的个数减去比i a 大的项的个数．由于排列12,,,n a a a 的前k 项各不相同，设这k 项中有l 项比k a 小，则有1k l --项比k a 大，从而(1)21k b l k l l k =---=-+．同理，设排列12,,,n a a a '''中有l '项比k a '小，则有1k l '--项比k a '大，从而21kb l k ''=-+． 因为 12,,,k a a a 与12,,,k a a a '''是k 个不同数的两个不同排列，且k k a a '≠， 所以 l l '≠， 从而 k k b b '≠．所以排列12,,,n a a a 和12,,,n a a a '''的生成列也不同．………………8分 （Ⅲ）证明：设排列12,,,n a a a 的生成列为12,,,n b b b ，且k a 为12,,,n a a a 中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 1210,0,,0,1k k b b b b -≥≥≥≤-．………………9分进行一次变换τ后，排列12,,,n a a a 变换为1211,,,,,,k k k n a a a a a a -+，设该排列的生成列为12,,,nb b b '''． 所以 1212()()n n b b b b b b '''+++-+++ 22k b =-≥．………………11分因此，经过一次变换τ后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加2．因为i a 的满意指数1i b i ≤-，其中1,2,3,,i n =，所以，整个排列的各项满意指数之和不超过(1)123(1)2n nn -++++-=，创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01即整个排列的各项满意指数之和为有限数，所以经过有限次变换 后，一定会使各项的满意指数均为非负数．………………13分创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01。
2020年上海市静安区高考数学二模试卷
2020年上海市静安区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共11题，每题6分，共66分）1．（6分）若sin x =√63，则cos （π﹣2x ）的值为 ．2．（6分）若幂函数y ＝f （x ）的图象经过点(18，2)，则f(−18)的值为 ．3．（6分）若（x +1x ）n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项的值为 ．4．（6分）若函数y ＝f （x ）（x ∈R ）是偶函数，在区间（﹣∞，0]上是增函数，x ＝2是其零点，则f （x ）＞0的解集为 ．5．（6分）现从5男4女共9名学生中选派3名学生参加志愿者活动，则选派3名学生中至少有一名男生的概率为 ．6．（6分）在平面直角坐标系xOy 上，由不等式组{0≤x ≤√2，y ≤2，x ≤√2y所确定的区域为D ，若M（x ，y ）为区域D 上的动点，点A （√2，1），则z =OM →•OA →的最大值为 ．7．（6分）已知A ，B 是球心为O 的球面上的两点，在空间直角坐标系中，它们的坐标分别为O （0，0，0），A （√2，﹣1，1），B （0，√2，√2），则A ，B 两点的球面距离为 ．8．（6分）设由复数组成的数列{a n }满足：对任意的n ∈N *，都有a n+1a n =i （i 是虚数单位），则数列{a n }的前2020项和的值为 ．9．（6分）一个水平放置的等轴双曲线型的拱桥桥洞如图所示，已知当前拱桥的最高点离水面5米时，量得水面宽度AB ＝30米，则当水面升高1米后，水面宽度为 米．（精确到0.1米）10．（6分）设A n （n ，y n ）（n ∈N *）是函数y ＝2x +1x 的图象上的点，直线x ＝n +1与直线y＝y n 的交点为B n ，△A n B n A n +1的面积为S n ，则lim n→∞S n 的值为 ． 11．（6分）如图，直线MN 是互相垂直的异面直线MP 和NQ 的公垂线，若MN ＝1，PQ ＝2，则四面体PMNQ 的体积的最大值为 ．二、选择题（本大题共3题，每题6分，共18分）12．（6分）设x ∈R ，则“x 2﹣5x ＜0”是“|x ﹣1|＜1”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13．（6分）方程2x 2﹣9xy +8y 2＝0的曲线C 所满足的性质为（ ）①不经过第二、四象限；②关于x 轴对称；③关于原点对称；④关于直线y ＝x 对称．A ．①③B ．②③C ．①④D ．①②14．（6分）当急需住院人数超过医院所能收治的病人数量时就会发生“医疗资源挤兑”现象．在新冠肺炎爆发期间，境外某市每日下班后统计住院人数，从中发现：该市每日因新冠肺炎住院人数均比前一天下班后统计的住院人数增加约25%，但每日大约有200名新冠肺炎患者治愈出院．已知该市某天下班后有1000名新冠肺炎患者住院治疗，该市的医院共可收治4000名新冠肺炎患者．若继续按照这样的规律发展，该市因新冠肺炎疫情发生“医疗资源挤兑”现象，只需要约（ ）A ．7天B ．10天C ．13天D ．16天三、解答题（本大题共有4题，共66分）15．（14分）如图所示，圆锥的底面⊙O 半径为2，A 是圆周上的定点，动点B 在圆周上逆时针旋转，设∠AOB ＝θ（0＜θ＜2π），C 是母线SB 的中点．已知当θ=π2时，AC 与底面所成角为arctan √155． （1）求该圆锥的侧面积；（2）若AC ⊥OB ，求θ的值．16．（14分）若函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0≤φ＜π）满足下列条件：①f（x ）的图象向左平移π个单位时第一次和原图象重合；对任意的x ∈R 都有f （x ）≤f （π6）＝2成立．（1）求f （x ）的解析式；（2）若锐角△ABC 的内角B 满足f （B ）＝1，且∠B 的对边b ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．17．（19分）已知抛物线Γ：y 2＝4x 的焦点为F ，若△ABC 的三个顶点都在抛物线Γ上，且FA →+FB →+FC →=0→，则称该三角形为“核心三角形”．（1）是否存在“核心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为（0，0）和（1，2）？请说明理由；（2）设“核心三角形”ABC 的一边AB 所在直线的斜率为4，求直线AB 的方程；（3）已知△ABC 是“核心三角形”，证明：点A 的横坐标小于2．18．（19分）设无穷数列{a n }的每一项均为正数，对于给定的正整数k ，b n ＝a n •a n +k （n ∈N *），若{b n }是等比数列，则称{a n }为B （k ）数列．（1）求证：若{a n }是等比数列，则{a n }是B （k ）数列；（2）请你写出一个不是等比数列的B （1）数列的通项公式；（3）设{a n }为B （1）数列，且满足a 22＝a 1•a 3，请用数学归纳法证明：{a n }是等比数列．。
上海市2020年高考理科数学模拟试题及答案(二)
上海市2020年高考理科数学模拟试题及答案（二）（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知集合M ＝{x|x 2﹣2x ﹣3≤0}，N ＝{x|y ＝lg （x ﹣2）}，则M∪N ＝（ ）A. [﹣1，+∞）B. （﹣1，+∞）C. （2，3]D. （1，3）2. 若复数（2﹣i ）（a+i ）的实部与虚部互为相反数，则实数a ＝（ ）A. 3B.C.D. ﹣33．若，则“”是“”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4．已知()()4,f x g x =-函数()g x 是定义在R 上的奇函数,若(2017)2017,f =则(-2017)f = （ ）。
A ．-2017B ．-2021C ．-2025D ．20255. 已知过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心距离等于球半径的一半，且AC ＝BC ＝6，AB ＝4，则球面面积为（ ） A. 42πB. 48πC. 54πD. 60π6是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．()1,8B ．()1,+∞C ．()4,8D ．[)4,87. 已知α为第二象限角,sin cos αα+=,则cos2α= ( ) A．B．CD8. 如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有（ ）A. 24B. 48C. 96D. 1209. 定义运算：32414321a a a a a a a a -=，将函数xx x f ωωcos 1sin 3)(=（0>ω）的图像向左平移32π 个单位所得图像对应的函数为偶函数，则ω的最小值是（ ） A.45 B.41 C.47 D.43 10.设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ，若目标函数y ax z 3+=仅在点（1,0）处取得最小值，则a的取值范围（ ）A.（-6，-3）B.（-6,3）C.（0,3）D.（-6,0]11.已知过点A （a ，0）作曲线C ：y ＝x•e x的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是（ ） A. （﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B. （0，+∞） C. （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D. （﹣∞，﹣1）12.在平面直角坐标系中，已知双曲线的左焦点为F ，点B 的坐标为(0，b)，若直线BF 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，且，则双曲线C 的离心率为（ ） A.B.C.D. 2二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市静安区、青浦区2025届高三第二次模拟考试数学试卷含解析
上海市静安区、青浦区2025届高三第二次模拟考试数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知F 为抛物线24y x =的焦点，点A 在抛物线上，且5AF =，过点F 的动直线l 与抛物线,B C 交于两点，O 为坐标原点，抛物线的准线与x 轴的交点为M .给出下列四个命题： ①在抛物线上满足条件的点A 仅有一个；②若P 是抛物线准线上一动点，则PA PO +的最小值为213； ③无论过点F 的直线l 在什么位置，总有OMB OMC ∠=∠；④若点C 在抛物线准线上的射影为D ，则三点B O D 、、在同一条直线上. 其中所有正确命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．在复平面内，复数21(1)ii +-对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．记M 的最大值和最小值分别为max M 和min M ．若平面向量a 、b 、c ，满足()22a b a b c a b c ==⋅=⋅+-=，则（ ） A ．max372a c+-=B ．max372a c-+=C ．min372a c+-= D ．min372a c-+=4．已知函数()(),12,1x e x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()10f x mx --=恰有两个不同实根，则正数m 的取值范围为（ ）A ．()1,11,12e e -⎛⎫-⎪⎝⎭B ．(]1,11,12e e -⎛⎫-⎪⎝⎭C ．()1,11,13e e -⎛⎫-⎪⎝⎭D ．(]1,11,13e e -⎛⎫-⎪⎝⎭5．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．6．设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 作圆222x y a +=的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点,P Q ，若2||QF PQ =，则双曲线渐近线的斜率为（ ） A ．±1B ．()31±-C ．()31±+D ．5±7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过右顶点A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点，MF 的中点恰好在双曲线C 上，则C 的离心率为（ ） A ．51-B ．2C ．3D ．58．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e xf x x =+，则32(2)a f =-,2(log 9)b f =，(5)c f =的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>9．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，12a =，且139,,a a a 成等比数列，则8S =（ ） A ．56B ．72C ．88D ．4010．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3578122()3()66a a a a a ++++=，则14S = A ．56 B ．66 C ．77D ．7811．已知集合{}{}2|1,|31x A x x B x ==<，则()RAB =（ ）A ．{|0}x x <B ．{|01}x xC ．{|10}x x -<D ．{|1}x x -12．点,,A B C 是单位圆O 上不同的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点M ，若,(0,0),2OC mOA nOB m n m n =+>>+=，则AOB ∠的最小值为（ ）A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市十三校2020年联考高考数学二模试卷(理科)含答案解析
上海市十三校2020年联考高考数学二模试卷（理科）（解析版）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．若行列式，则x=．2．二次项（2x﹣）6展开式中的常数项为．3．若椭圆的焦点在x轴上，焦距为2，且经过，则椭圆的标准方程为．4．若集合A={x||x﹣3|＜2}，集合B={x|}，则A∩B=．5．△ABC中，，BC=3，，则∠C=．6．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学至少有一名女同学的概率是．7．若不等式a2+b2≥2kab对任意a、b∈R都成立，则实数k的取值范围是．8．已知直角坐标系中，曲线C参数方程为（0≤α≤2π），现以直角坐标系的原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程是．9．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AA1的中点，则点C1到平面BDE 的距离为．10．函数f（x）=（）x+x﹣5的零点为x1、x2，函数g（x）=log x+x﹣5的零点为x3、x4，则x1+x2+x3+x4的值为．11．对于数列{a n}满足：a1=1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N+），其前n项和为S n，记满足条件的所有数列{a n}中，S5的最大值为a，最小值为b，则a﹣b=．12．定义在R上的奇函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）=0，则不等式xf （x﹣1）≥0的解集为．13．已知正四面体A1A2A3A4，点A5，A6，A7，A8，A9，A10分别是所在棱的中点，如图，则当1≤i≤10，1≤j≤10，且i≠j时，数量积的不同数值的个数为．14．设函数f（x）的定义域为D，记f（X）={y|y=f（x），x∈X⊆D}，f﹣1（Y）={x|f（x）∈Y，x∈D}，若f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），D=[0，π]，且f（f﹣1（[0，2]）=[0，2]，则ω的取值范围是．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（）A．系数行列式D≠0B．比例式C．向量不平行D．直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行16．设M、N为两个随机事件，如果M、N为互斥事件，那么（）A．是必然事件B．M∪N是必然事件C．与一定为互斥事件D．与一定不为互斥事件17．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A．26，16，8，B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，918．点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆 C．双曲线的一支 D．直线三、解答题（共5小题，满分60分）19．用铁皮制作一个容积为cm3的无盖圆锥形容器，如图，若圆锥的母线与底面所称的角为45°，求制作该容器需要多少面积的铁皮（铁皮街接部分忽略不计，结果精确到0.1cm2）20．已知复数z1=2sinθ﹣i，z2=1+（2cosθ）i，i为虚数单位，θ∈[，]．（1）若z1z2为实数，求sec2θ的值；（2）若复数z1，z2对应的向量分别是，，存在θ使等式（λ﹣）（﹣λ）=0成立，求实数λ的取值范围．21．已知{a n}是等差数列，a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}是等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=b n cosnπ，求数列{c n}的前n项和S n，并判断是否存在正整数m，使得S m=2020？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．22．已知抛物线ρ：x2=4y，P（x0，y0）为抛物线ρ上的点，若直线l经过点P且斜率为，则称直线l为点P的“特征直线”．设x1、x2为方程x2﹣ax+b=0（a，b∈R）的两个实根，记r（a，b）=．（1）求点A（2，1）的“特征直线”l的方程（2）己知点G在抛物线ρ上，点G的“特征直线”与双曲线经过二、四象限的渐进线垂直，且与y轴的交于点H，点Q（a，b）为线段GH上的点．求证：r（a，b）=2（3）已知C、D是抛物线ρ上异于原点的两个不同的点，点C、D的“特征直线”分别为l1、l2，直线l1、l2相交于点M（a，b），且与y轴分别交于点E、F．求证：点M在线段CE上的充要条件为r（a，b）=（其中x c为点C的横坐际）．23．已知μ（x）表示不小于x的最小整数，例如μ（0.2）=1．（1）设A={x|μ（x+log2x）＞m}，B=（，2），若A∩B≠∅，求实数m的取值范围；（2）设g（x）=μ（xμ（x）），g（x）在区间（0，n）（n∈N+）上的值域为M n，集合M n中的元素个数为a n，求证：；（3）设g（x）=x+a，h（x）=，若对于x1，x2（2，4]，都有g（x1）＞h（x2），求实数a的取值范围．2020年上海市十三校联考高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．若行列式，则x=2．【分析】先根据行列式的计算公式进行化简，然后解指数方程即可求出x的值．【解答】解：∵，∴2×2x﹣1﹣4=0即x﹣1=1∴x=2故答案为：2【点评】本题主要考查了行列式的基本运算，同时考查了指数方程，属于基础题．2．二次项（2x﹣）6展开式中的常数项为﹣20．【分析】根据二次项展开式的通项公式，写出含x项的指数，令指数为0求出r的值，再计算二项展开式中的常数项．【解答】解：二次项（2x﹣）6展开式中的通项公式为：T r+1=（2x）6﹣r=26﹣r x6﹣2r，由6﹣2r=0得：r=3；∴二项展开式中的常数项为：23=﹣20．故答案为：﹣20．【点评】本题考查了二项式系数的性质问题，利用二项展开式的通项公式求出r的值是解题的关键，是基础题．3．若椭圆的焦点在x轴上，焦距为2，且经过，则椭圆的标准方程为．【分析】先根据椭圆的焦点位置，求出半焦距，经过的椭圆的长半轴等于，可求短半轴，从而写出椭圆的标准方程．【解答】解：由题意知，椭圆的焦点在x轴上，c=1，a=，∴b2=4，故椭圆的方程为为故答案为：．【点评】本题考查椭圆的性质及标准方程的求法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．用待定系数法求椭圆的标准方程是一种常用的方法．4．若集合A={x||x﹣3|＜2}，集合B={x|}，则A∩B=[4，5）．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：﹣2＜x﹣3＜2，解得：1＜x＜5，即A=（1，5），由B中不等式变形得：x（x﹣4）≥0，且x≠0，解得：x＜0或x≥4，即B=（﹣∞，0）∪[4，+∞），则A∩B=[4，5），故答案为：[4，5）【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．5．△ABC中，，BC=3，，则∠C=．【分析】由A的度数，求出sinA的值，设a=BC，c=AB，由sinA，BC及AB的值，利用正弦定理求出sinC的值，由c小于a，根据大边对大角得到C小于A的度数，得到C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．【解答】解：由，a=BC=3，c=，根据正弦定理=得：sinC==，又C为三角形的内角，且c＜a，∴0＜∠C＜，则∠C=．故答案为：【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，正弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，同时注意判断C的范围．6．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学至少有一名女同学的概率是．【分析】先求出基本事件总数，由选到的2名同学至少有一名女同学的对立事件为选到的2名同学都是男同学，利用对立事件概率计算公式能求出选到的2名同学至少有一名女同学的概率．【解答】解：从3名男同学，2名女同学中任意2人参加体能测试，基本事件总数n=，选到的2名同学至少有一名女同学的对立事件为选到的2名同学都是男同学，∴选到的2名同学至少有一名女同学的概率：p=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．7．若不等式a2+b2≥2kab对任意a、b∈R都成立，则实数k的取值范围是[﹣1，1] ．【分析】化简a2+b2﹣2kab=（a﹣kb）2+b2﹣k2b2，从而可得b2﹣k2b2≥0恒成立，从而解得．【解答】解：∵a2+b2﹣2kab=（a﹣kb）2+b2﹣k2b2，∴对任意k，b，都存在a=kb；∴不等式a2+b2≥2kab对任意a、b∈R都成立可化为：b2﹣k2b2≥0恒成立，即1﹣k2≥0成立，故k∈[﹣1，1]，故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查了学生的化简运算能力及恒成立问题的应用．8．已知直角坐标系中，曲线C参数方程为（0≤α≤2π），现以直角坐标系的原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程是ρ=4sinθ．【分析】求出C的直角坐标系方程，然后根据极坐标方程进行转化即可．【解答】解：，曲线C的标准方程为x2+（y﹣2）2=4，即x2+y2﹣4y+4=4，则x2+y2﹣4y=0，则ρ2﹣4ρsinθ=0即ρ=4sinθ，故答案为：ρ=4sinθ【点评】本题主要考查参数方程，极坐标方程和普通方程之间的转化，根据相应的转化公式是解决本题的关键．9．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AA1的中点，则点C1到平面BDE 的距离为．【分析】连接AC，与BD交于O，连接OE，作C1F⊥OE，证明C1O即为所求．【解答】解：如图所示，连接AC，与BD交于O，连接OE，作C1F⊥OE．∵BD⊥平面A1C1CA，BD⊂平面BDE∴平面BDE⊥平面A1C1CA，∵平面BDE∩平面A1C1CA=OE，C1F⊥OE，∴C1F⊥平面BDE．△C1OE中，C1E=3，C1O=，EO=，∴C1O2+EO2=C1E2，∴C1O⊥OE，即O，F重合，∴点C1到平面BDE的距离为．故答案为：．【点评】本题考查点C1到平面BDE的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10．函数f（x）=（）x+x﹣5的零点为x1、x2，函数g（x）=log x+x﹣5的零点为x3、x4，则x1+x2+x3+x4的值为10．【分析】由函数与方程的关系转化为图象的交点问题，根据同底的指数函数和对数函数互为反函数，图象关于y=x对称的性质进行转化求解．【解答】解：由f（x）=（）x+x﹣5=0得（）x=5﹣x，由g（x）=log x+x﹣5的得log x=5﹣x，分别作出函数y=（）x，y=5﹣x和y=log x的图象，∵y=（）x和y=log x的图象关于y=x对称，则（）x=5﹣x，与log x=5﹣x的根关于y=x对称，由得，即两直线的交点坐标为（，），则=，=，即x1+x3=5，x2+x4=5，则x1+x2+x3+x4=10，故答案为：10．【点评】本题主要考查函数与零点的应用，结合指数函数和对数函数的对称性是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．11．对于数列{a n}满足：a1=1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N+），其前n项和为S n，记满足条件的所有数列{a n}中，S5的最大值为a，最小值为b，则a﹣b=16．【分析】由a1=1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N+），分别令n=2，3，4，5，求得{a n}的前5项，观察得到最小值b=1+2+3+4+5，a=1+2+4+8+16，计算即可得到a﹣b的值．【解答】解：由a1=1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N+），可得a2﹣a1=a1，解得a2=2a1=2，又a3﹣a2∈{a1，a2}，可得a3=a2+a1=3或2a2=4，又a4﹣a3∈{a1，a2，a3}，可得a4=a3+a1=4或5；a4=a3+a2=5或6；或a4=2a3=6或8；又a5﹣a4∈{a1，a2，a3，a4}，可得a5=a4+a1=5或6或7；a5=a4+a2=6或7或8；a5=a4+a3=7或8或9或10或12；a5=2a3=8或10或12或16．综上可得S5的最大值a=1+2+4+8+16=31，最小值为b=1+2+3+4+5=15．则a﹣b=16．故答案为：16．【点评】本题考查数列的和的最值，注意运用元素与集合的关系，运用列举法，考查判断能力和运算能力，属于中档题．12．定义在R上的奇函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）=0，则不等式xf （x﹣1）≥0的解集为[﹣1，0]∪[1，3] ．【分析】根据奇函数的性质求出f（﹣2）=0，由条件画出函数图象示意图，结合图象并对x 分类列出不等式组，分别利用函数的单调性求解即可求出不等式的解集．【解答】解：∵f（x）为奇函数，且f（2）=0，在（﹣∞，0）是减函数，∴f（﹣2）=﹣f（2）=0，f（x）在（0，+∞）内是减函数，函数图象示意图：其中f（0）=0，∵xf（x﹣1）≥0，∴或，解得﹣1≤x≤0或1≤x≤3，∴不等式的解集是[﹣1，0]∪[1，3]，故答案为：[﹣1，0]∪[1，3]．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，正确画出函数的示意图是解题的关键，考查分类讨论思想和数形结合思想．13．已知正四面体A1A2A3A4，点A5，A6，A7，A8，A9，A10分别是所在棱的中点，如图，则当1≤i≤10，1≤j≤10，且i≠j时，数量积的不同数值的个数为9．【分析】设出已知正四面体的棱长，求出四个面上的每一个顶点与对边中点的连线长，每一对相对棱的中点连线得长，然后分别求i=1，j自1取到10，所得数量积的不同数值，同理求得i=2，j自1取到10，所得数量积的不同数值，…i=10，j自1取到10，所得数量积的不同数值，比较结果后得答案．【解答】解：∵四面体A1A2A3A4是正四面体，∴四面体的所有棱长相等，设为a，四个面上的每一个顶点与对边中点的连线长均为，每一对相对棱的中点连线相等均为．当i=1，j自1取到10，所得数量积的不同数值有：=a2，，，，，，，，．当i=2，j自1取到10时，依次求得数量积的不同数值，…i=10，j自1取到10，依次求得数量积的不同数值，比较结果后得数量积的不同数值有，0，共9个．故答案为：9．【点评】本题考查向量在几何体中的应用，考查了平面向量的数量积运算，考查空间想象能力和思维能力，属中档题．14．设函数f（x）的定义域为D，记f（X）={y|y=f（x），x∈X⊆D}，f﹣1（Y）={x|f（x）∈Y，x∈D}，若f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），D=[0，π]，且f（f﹣1（[0，2]）=[0，2]，则ω的取值范围是[，+∞）．【分析】由题意可得≤ωx+≤ωπ+，2sin（ωx+）∈[0，2]，可得ωπ+≥2π+，由此求得ω的范围．【解答】解：由题意得，D=[0，π]，f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的定义域为D，∵f﹣1（[0，2]）={x|f（x）∈[0，2]，x∈R}，故2sin（ωx+）∈[0，2]．∵ω＞0，x∈[0，π]，∴≤ωx+≤ωπ+，∴由2sin（ωx+）∈[0，2]，可得ωπ+≥2π+，∴ω≥，故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查了对应关系的应用，以及函数的定义域与值域的关系的应用，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（）A．系数行列式D≠0B．比例式C．向量不平行D．直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行【分析】利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，即可得到A，B，C为充要条件，对于选项的，直线分共面和异面两种情况．【解答】解：当两直当两直线共面时，直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行，二元一次方程组存在唯一解当两直线异面，直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行，二元一次方程组无解，故直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行是二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件．故选：D．【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，以及空间两直线的位置关系，属于基础题．16．设M、N为两个随机事件，如果M、N为互斥事件，那么（）A．是必然事件B．M∪N是必然事件C．与一定为互斥事件D．与一定不为互斥事件【分析】有M、N是互斥事件，作出相应的示意图，即可得．【解答】解：因为M、N为互斥事件，如图：，无论哪种情况，是必然事件．故选A．【点评】本题考查借助示意图判断事件间的关系，考查互斥事件的定义，属于基础题17．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A．26，16，8，B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，9【分析】根据系统抽样的方法的要求，先随机抽取第一数，再确定间隔．【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12为公差的等差数列，故可分别求出在001到300中有25人，在301至495号中共有17人，则496到600中有8人．故选B【点评】本题主要考查系统抽样方法．18．点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆 C．双曲线的一支 D．直线【分析】根据题意“点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离”，将平面内到定圆C的距离转化为到圆上动点的距离，再分点A现圆C的位置关系，结合圆锥曲线的定义即可解决．【解答】解：排除法：设动点为Q，1．当点A在圆内不与圆心C重合，连接CQ并延长，交于圆上一点B，由题意知QB=QA，又QB+QC=R，所以QA+QC=R，即Q的轨迹为一椭圆；如图．2．如果是点A在圆C外，由QC﹣R=QA，得QC﹣QA=R，为一定值，即Q的轨迹为双曲线的一支；3．当点A与圆心C重合，要使QB=QA，则Q必然在与圆C的同心圆，即Q的轨迹为一圆；则本题选D．故选D．【点评】本题主要考查了轨迹方程，以及分类讨论的数学思想，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）19．用铁皮制作一个容积为cm3的无盖圆锥形容器，如图，若圆锥的母线与底面所称的角为45°，求制作该容器需要多少面积的铁皮（铁皮街接部分忽略不计，结果精确到0.1cm2）【分析】求出圆锥的侧面积即为答案．【解答】解：设圆锥形容器的底面半径为r，则圆锥的高为r，圆锥的母线为．∵V==，∴r=10cm．∴圆锥形容器的侧面积S==100cm2≈444.3cm2．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，面积，体积计算，属于基础题．20．已知复数z1=2sinθ﹣i，z2=1+（2cosθ）i，i为虚数单位，θ∈[，]．（1）若z1z2为实数，求sec2θ的值；（2）若复数z1，z2对应的向量分别是，，存在θ使等式（λ﹣）（﹣λ）=0成立，求实数λ的取值范围．【分析】（1）利用复数的乘法化简复数，通过复数是实数求出θ，然后求解即可．（2）化简复数z1，z2对应的向量分别是，，然后利用向量的数量积求解即可．【解答】解：复数z1=2sinθ﹣i，z2=1+（2cosθ）i，i为虚数单位，θ∈[，]．（1）z1z2=2sinθ+2cosθ+（4sinθcosθ﹣）i，z1z2为实数，可得4sinθcosθ﹣=0，sin2θ=，解得θ=．sec2θ==﹣2．（2）复数z1=2sinθ﹣i，z2=1+（2cosθ）i，复数z1，z2对应的向量分别是，，=（2sinθ，﹣），=（1，2cosθ），（λ﹣）（﹣λ）=0，∵2+2=（2sinθ）2+（﹣）2+1+（2cosθ）2=8，=（2sinθ，﹣）（1，2cosθ）=2sinθ﹣2cosθ，∴（λ﹣）（﹣λ）=λ（2+2）﹣（1+λ2）=8λ﹣（1+λ2）（2sinθ﹣2cosθ）=0，化为sin（θ﹣）=，∵θ∈[，]，∴（θ﹣）∈[0，]，∴sin（θ﹣）∈[0，]．∴0≤≤，解得λ≥或λ≤2﹣．实数λ的取值范围是（﹣∞，2﹣]∪[2+，+∞）．【点评】熟练掌握z1z2∈R⇔虚部=0、复数的几何意义、向量的数量积、一元二次不等式的解法是解题的关键21．已知{a n}是等差数列，a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}是等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=b n cosnπ，求数列{c n}的前n项和S n，并判断是否存在正整数m，使得S m=2020？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）可求得d==3，{b n﹣a n}是等比数列，公比q=2，从而求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）化简c n=b n cosnπ=（3n+2n﹣1）cosnπ，从而分类讨论以确定数列{c n}的前n项和S n，可求得S n=，从而讨论即可．【解答】解：（1）∵{a n}是等差数列，a1=3，a4=12，∴d==3，∴a n=3n，∵{b n﹣a n}是等比数列，且b1﹣a1=4﹣3=1，b4﹣a4=20﹣12=8，∴q=2，∴b n﹣a n=12n﹣1，∴b n=3n+2n﹣1；（2）c n=b n cosnπ=（3n+2n﹣1）cosnπ，故①当n为奇数时，S n=﹣（3+1）+（6+2）﹣（9+4）+…+（3（n﹣1）+2n﹣2）﹣（3n+2n﹣1）=（﹣3+6﹣9+…+3（n﹣1））﹣3n+（﹣1+2﹣4+…﹣2n﹣1）=3×﹣3n+ [（﹣2）n﹣1]=﹣（n+1）+ [（﹣2）n﹣1]=﹣[（n+1）+（2n+1）]，②当n为偶数时，S n=﹣（3+1）+（6+2）﹣（9+4）+…﹣（3（n﹣1）+2n﹣2）+（3n+2n﹣1）=（﹣3+6﹣9+…﹣3（n﹣1）+3n）+（﹣1+2﹣4+…+2n﹣1）=3×+ [（﹣2）n﹣1]=n+（2n﹣1），综上所述，S n=，若S m=2020，故m一定是偶数，故m+（2m﹣1）=2020，故（2m﹣1）=2020﹣m，而（214﹣1）＞2020，（212﹣1）＜2020﹣×12，故m值不存在．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的应用，同时考查了数列前n项和的求法及分类讨论的思想应用．22．已知抛物线ρ：x2=4y，P（x0，y0）为抛物线ρ上的点，若直线l经过点P且斜率为，则称直线l为点P的“特征直线”．设x1、x2为方程x2﹣ax+b=0（a，b∈R）的两个实根，记r（a，b）=．（1）求点A（2，1）的“特征直线”l的方程（2）己知点G在抛物线ρ上，点G的“特征直线”与双曲线经过二、四象限的渐进线垂直，且与y轴的交于点H，点Q（a，b）为线段GH上的点．求证：r（a，b）=2 （3）已知C、D是抛物线ρ上异于原点的两个不同的点，点C、D的“特征直线”分别为l1、l2，直线l1、l2相交于点M（a，b），且与y轴分别交于点E、F．求证：点M在线段CE上的充要条件为r（a，b）=（其中x c为点C的横坐际）．【分析】（1）求得特征直线的斜率，哟哟点斜式方程即可得到所求方程；（2）求出双曲线的渐近线方程，可得点G的“特征直线”的斜率为2，求得G的坐标，解方程可得较大的根，进而得到证明；（3）设C（m，n），D（s，t），求得直线l1、l2的方程，求得交点M，解方程可得两根，再由向量共线的坐标表示，即可得证．【解答】解：（1）由题意可得直线l的斜率为1，即有直线l的方程为y﹣1=x﹣2，即为y=x﹣1；（2）证明：双曲线的渐近线为y=±x，可得点G的“特征直线”的斜率为2，即有G的横坐标为4，可设G的坐标为（4，4），可得点G的“特征直线”方程为y﹣4=2（x﹣4），即为y=2x﹣4，点Q（a，b）为线段GH上的点，可得b=2a﹣4，（0≤a≤4），方程x2﹣ax+b=0的根为x=，即有较大的根为===2，可得r（a，b）=2；（3）设C（m，n），D（s，t），即有直线l1：y+n=mx，l2：y+t=sx，联立方程，由n=m2，t=s2，解得x=（m+s），y=ms，即有a=（m+s），b=ms，则方程x2﹣ax+b=0的根为x1=m，x2=s．可得E（0，﹣m2），点M在线段CE上，则b=ma﹣m2=ms，则=λ（λ≥0），即（m+s）﹣m=λ（0﹣（m+s）），即有（s﹣m）（m+s）≤0，即s2≤m2，即|s|≤|m|，则r（a，b）=；以上过程均可逆，即有点M在线段CE上的充要条件为r（a，b）=．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查抛物线的切线的方程的求法和运用，考查向量共线的坐标表示，化简整理的运算能力，属于中档题．23．已知μ（x）表示不小于x的最小整数，例如μ（0.2）=1．（1）设A={x |μ（x +log 2x ）＞m }，B=（，2），若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围； （2）设g （x ）=μ（x μ（x ）），g （x ）在区间（0，n ）（n ∈N +）上的值域为M n ，集合M n 中的元素个数为a n ，求证： ；（3）设g （x ）=x +a ，h （x ）=，若对于x 1，x 2（2，4]，都有g （x 1）＞h （x 2），求实数a 的取值范围．【分析】（1）根据μ（x ）的定义，A ∩B ≠∅，可得μ（x +log 2x ）的最大值为3，可得m ＜3；（2）由g （x ）=μ（x μ（x ）），依次求出数列{a n }的前5项，再归纳出a n =a n ﹣1+n ，利用累加法求出a n ，运用数列的极限的计算公式，即可得证；（3）对于x 1，x 2∈（2，4]，都有g （x 1）＞h （x 2），即有g （x 1）＞h （x 2）max ，由二次函数的最值和正弦函数的值域，可得g （x ）的最大值为4，讨论x ∈（2，3]，当x ∈（3，4]，结合新定义和分离参数，由二次函数的最值的求法，即可解得a 的范围．【解答】解：（1）由题意可得x ＞0，且x +log 2x 在（，2）递增，即有﹣1＜x +log 2x ＜3，可得μ（x +log 2x ）的最大值为3，由A ∩B ≠∅，可得m ＜μ（x +log 2x ）的最大值，即有m ＜3，即m 的范围是（﹣∞，3）；（2）证明：由题意易知：当n=1时，x ∈（0，1]，所以μ（x ）=1，所以μ（x μ（x ））=1，所以M 1={1}，a 1=1；当n=2时，x ∈（1，2]，所以μ（x ）=2，所以μ（x μ（x ））∈（2，4]，所以M 2={1，3，4}，a 2=3；当n=3时，x ∈（2，3]，所以μ（x ）=3，所以μ（x μ（x ））=μ（3x ）∈（6，9]， 所以M 3={1，3，4，7，8，9}，a 3=6；当n=4时，因为x ∈（3，4]，所以μ（x ）=4，所以μ（x μ（x ））=μ（4x ）}∈（12，16]，所以M 4={1，3，4，7，8，9，13，14，15，16}，a 4=10；当n=5时，因为x ∈（4，5]，所以μ（x ）=5，所以μ（x μ（x ））=μ（5x ）∈（20，25]， 所以M 5={1，3，4，7，8，9，13，14，15，16，21，22，23，24，25}，a 5=15， 由此类推：a n =a n ﹣1+n ，所以a n ﹣a n ﹣1=n ，=n，即a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，a4﹣a3=4，…，a n﹣a n﹣1以上n﹣1个式子相加得，a n﹣a1=，解得a n=，可得===；（3）对于x1，x2∈（2，4]，都有g（x1）＞h（x2），即有g（x1）＞h（x2）max，由g（x）=，当x=时，x2﹣5x+7取得最小值，sinπx+2取得最大值1+2=3，即有g（x）取得最大值4．当x∈（2，3]，有μ（x）=3，可得x+﹣2＞4，即有3a＞x（6﹣x），当x=3时，x（6﹣x）取得最大值9，可得3a＞9，即为a＞3：当x∈（3，4]，有μ（x）=3，可得x+﹣2＞4，即有4a＞x（6﹣x），当x=3时，x（6﹣x）取得9，可得4a＞9，即为a＞．综上可得a＞3．【点评】本题考查新定义的理解和应用，归纳推理，累加法求数列的通项公式，以及不等式恒成立问题的解法，难度较大．。
2020-2021学年上海市高考数学二模试卷2及答案解析
上海市高考数学二模试卷一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知集合A={x|x＞﹣1，x∈R}，集合B={x|x＜2，x∈R}，则A∩B= ．2．已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i为虚数单位），则|z|= ．3．函数f（x）=的最小正周期是．4．已知双曲线﹣=1（a＞0）的一条渐近线方程为y=2x，则a= ．5．若圆柱的侧面展开图是边长为4cm的正方形，则圆柱的体积为cm3（结果精确到0.1cm3）6．已知x，y满足，则z=2x+y的最大值是．7．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的交点个数是．8．已知函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（）= ．9．设f（x）=1+x+（1+x）2+…+（1+x）n（x≠0，n∈N*）的展开式中x项的系数为T n，则= ．10．生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p，每道工序产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p= ．11．已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为．12．对于给定的实数k＞0，函数f（x）=的图象上总存在点C，使得以C为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为1，则k的取值范围是．二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）13．设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞1且b＞3”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件14．如图，P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1中AC1与BD1的交点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（）A．①②③④B．①③C．①④D．②④15．如图，AB为圆O的直径且AB=4，C为圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（+）•的最小值是（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣116．设x1，x2，…，x10为1，2，…，10的一个排列，则满足对任意正整数m，n，且1≤m＜n≤10，都有x m+m≤x n+n成立的不同排列的个数为（）A．512 B．256 C．255 D．64三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。