专题二 利用非负数性质解题
走进中考-----巧用“非负性解题”
走进中考--------巧用“非负性解题”非负性的含义是指大于或等于零。
在初中阶段，我们主要学习了绝对值的非负性；平方的非负性；二次根式的双重非负性，即它的被开方数和它的值都是非负的；一元二次方程有实根的条件，即根的判别式为非负；以及方差的非负性。
下面从六个方面举例说明它们的运用：一、利用绝对值的非负性解题【例1】的值。
求已知32,012y x y x -=+++解析 由绝对值的非负性知，.01,02≥+≥+y x 要这两个非负数之和为0，只有每一个非负数都为0，即，.01,02=+=+y x 从而01,02=+=+y x ，所以1,2-=-=y x ，所以()().514123232=+=---=-y x 练习1： ()的值。
求已知2017,0201712017ab b a =+++ 二、利用平方的非负性解题【例2】若()0542=-++-y x x ，计算：=++4322y xy y x ________________。
解析 根据绝对值和平方的非负性质，得⎩⎨⎧=-+=-0504y x x ，解得⎩⎨⎧==14y x ， 所以294114144322322=+⨯+⨯=++y xy y x 。
练习2：已知(),012,2=++-y x y x 满足则=-y x三、利用二次方根的被开方数的非负性解题【例3】已知2133+-+-x x y ，化简144122+---y y y 。
解析 因为2133+-+-x x y ，由二次根式的被开方数为非负性知：0-303≥≥-x x 且，从而x=3，所以21 y 。
故有()()021211212144122=---=---=+---y y y y y y y 。
练习3：若a,b 为实数，且()2015,011ab b a 求=-++的值。
四、利用算术平方根的非负性解题【例4】设x 、y 为实数，且0742=++-y x ，求y x -的值。
解析 根据算术平方根的非负性知，07,042≥+≥-y x ，又因为它们的和为0。
数学解题方法谈6∶用非负数方法解几种常见形式题
数学解题方法谈6∶用非负数方法解几种常见形式题数学解题方法谈6∶用非负数方法解几种常见形式题非负数之和为零,则每个非负数都是零,用这个方法可解决很多的问题:非负数常见有三种形式：二次格式、绝对值和平方.如：、｜a｜和特别是非负数之和为零的形式：＋｜b｜＋和＝0则有a=0且b=0且c=0(一)、求值题:(1)在某种好像缺一个条件下，求多个字母值的时候必须使用这一原则例1、已知求的值∴=例2、已知：2＋2a＋4＋4ab＋1=0求(a＋3b)2＋a＋44ab＋=0。
则(a＋2)＋(a－2b)=0∴a＋2=0且a－2b=0∴a=－2且b=－1(a＋3b)]=25例、已知实数满足=（）试求：的值解：已知条件可化∴∴原式=2（1+2+3+…+2006）=2016×2017=4066272b=求－的值.解:由已知得:a=2－b=2＋∴0＜a＜b∴原式=|a＋b|＋|a－b|(二)解某一些方程(组)和求作方程∶例、解方程解：∵则方程可化为：可解得x=y=3且z=0解：得即得故方程的实数解为:例、已知a、b、c均为整数，且满足则以a+b和c-b为根的一元二次方程是（）（A）（B）（C）（D）解：由条件知：a、b、c均为整数，∴c=1且b=2且a=1则故可选的方程为（C）－求证:不论a为何值,总有y=x证明:∵|2y－a|=－axy－x－∴|2y－a|＋(x－ay)2y－ax－aya且x=ay∴x=ay=a=x例、a、b、c是⊿ABC的三边，且方程有等根求证：⊿ABC是等边三角形证明：∵方程有等根∴⊿=0即得由非负数性质知则⊿ABC是等边三角形。
有理数中的“非负性”问题
有理数中的“非负性”问题我们知道：有理数中，任何数的绝对值和偶次方都是一个“非负数”，即≥0，≥0（n为整数）。
我们称其具有非负性。
这两条性质常作为求解很多有理数问题的隐含条件，我们要熟练掌握。
一、绝对值的非负性例1 若m、n满足，则－ｍ·ｎ= 。
解：∵，又∴3m－６＝０ｎ+４＝０∴ｍ＝２ｎ＝－４∴—ｍｎ＝－２×（－４）＝８。
例2 若，求：的值解：∵，又∴a－１＝０ａｂ－２＝０∴ａ＝１ｂ＝２原式＝＝＝１－＝二、偶次幂的非负性例３已知，求：⑴；⑵解：∵，又∴ｘ－２＝０３－ｙ＝０∴ｘ＝２ｙ＝３⑴＝＝８⑵＝由上面三道例题，我们可以看出：绝对值、偶次幂的非负性通常都是作为隐含条件出现的。
解答这类问题的一般步骤是：①先根据绝对值或偶次幂的非负性，求出有关字母的值；②再将所求得的字母值代入相应的代数式。
求解时，还要注意突出分析过程，而不能直接赋值计算。
学会一口诀括号巧去添在数学解题过程中，去（添）括号作为解题的一个重要的中间环节，对此题最终结果的正确与否将产生重要影响。
但在现实的学习中，由于某些原因，一部分学生存在法则记不住，或因缺乏对法则的正确理解而导致使用时频频出错等问题，严重挫伤了广大中学生学习的数学积极性。
针对这一普遍现状，笔者从广大中学生的认知水平出发，对教材上去（添）括号法则进行了深入的研究，发明了一个简单口诀，现与同学们一起分享。
去（添）括号口诀：负全变正照抄，差符号补正号。
为了方便广大学生对口诀的深入理解，笔者结合以下两例，详细介绍一下法则的使用方法：一、用法则去括号：例1 去括号：①②③分析与简解：在①中我们发现，括号外为“－”号，依法则“负全变”可知去掉括号和前面的“－”号后，括号内每一项全变号，所以；在②中我们发现，括号外为“＋”号，依法则“正照抄”可知去掉括号和前面的“＋”号后，括号内每一项照抄，所以；在③中我们依据前两题的结果可知，此时有：的结果为：，此时发现的前面差一个符号，依法则可知应该补上“+”号，故：=＋，余下请同学们自己完成。
初二上竞赛辅导资料2(第二讲--非负数的应用)
初二上竞赛辅导资料2第二讲 非负数的应用知识要点：非负数通常是以绝对值、偶次乘方、偶次根式的形式出现的．非负数的用途很广，了解、掌握和熟悉非负数的实质对提高解题能力很有好处，它是一个常考不衰的热点问题之一．1．非负数的概念，在实数范围内，非负数指的是零和正数．(1)绝对值是非负数因为一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零，所以绝对值是非负数．(2)算术根是非负数因为正数的正的方根叫做算术根，零的算术根是零，所以算术根是非负数．(3)一个实数的偶次幂是非负数．(4)在数轴上，原点和原点右边的点都表示非负数．2．非负数的性质和运算(1)有限个非负数的和仍然是非负数．(2)两个非负数的差不一定是非负数．如当被减数小于减数时，其差就是负数．(3)有限个非负数的积(包括乘方)仍然是非负数．(4)非负数的商仍然是非负数(除数不为零)．(5)如果有限个非负数的和等于零，那么每一个加数都必为零．(6)无最大的非负数而有最小的非负数，最小的非负数是零．(7)非负数大于一切负数．例1.已知,,a b c 满足2224222a b a c ac -+++=+，求a b c -+的值.例2.整数,x y 满足不等式22122x y x y ++≤+，则x y +的值有（ ）. A .1个 B . 2个 C .3个 D . 4个练习，已知整数,,a b c 满足2224398a b c ab b c +++≤++，求,,a b c 的值.例3.已知2y =，求22x y +的值.例 4.若m 满足关系式.求m 的值.能力训练一、选择题1.若,x y 为实数，且20x +=，则2009()x y的值为（ ）. A .1 B .-1 C . 2 D . -22.若2(a 与1b -互为相反数，则1b a-的值为（ ）.A B 1 C .1 D .13.若112x -≤≤ ）. A .43x -+ B . 5 C .23x + D .43x +4.已知11a a -=，则1a a+的值为（ ）.A .B .C .15.2()x y =+，则x y -的值为（ ）.A .-1B . 1C . 2D .3二、填空题6.若实数,x y 满足0xy ≠，则y x m x y =+的最大值是_______.7.已知实数,,a b c 21()02c -=，则=()a b c +=___________.8.方程480x -+，当0y >时，m 的取值范围是_________.9.若22(4)0a c --=，则a b c -+=_____.10.设,a b 为实数，那么222a ab b a b ++--的最小值是___________.三、解答题11.2(2)0ab -=，求111(1)(1)(2010)(2010)ab a b a b ++⋅⋅⋅+++++的值。
中考数学考点专题复习 应用非负性质解题
应用非负性质解题
在初中代数中出现的非负数主要有三类：
1. 绝对值：任何一个实数的绝对值都是非负数，即。
2. 平方：任何一个实数的平方都是非负数，即。
3. 算术平方根：任何一个非负数的算术平方根都是一个非负数，即。
解题过程中巧用以上三个非负性质可以简捷地处理许多问题。
现举例说明如下。
例1. 已知a 、b 为实数，且满足，求ab 的值。
分析：解决本题只需从已知等式中求出a 、b 值即可。
应用中的非负性质可以立即求出b 的值，从而进一步得到a 的值。
解：由题意可知且
例2. 若a 、b 、c 满足，求的值。
解：由非负数的性质可知，且，且
例3. 已知，求的值。
解：已知等式可化为
a ≥0a 20≥a a ≥≥00()a
b b =-+-+21121a a ≥0210b -≥120-≥b ∴=⨯=ab 11212a b
c a b c -++⎛⎝ ⎫⎭⎪+-+=312402a c a b -+a -=301202
b c +⎛⎝ ⎫⎭⎪=40a b c -+=()x y x y ++-=12x y +()x y x y +-+-=2
20
()()∴+++-=+≥∴++>∴+-=∴+=∴+=x y x y x y x y x y x y x y 1200
10
20
2
4。
4. 利用非负数的性质解题 教师版
强化训练之利用非负数性质解题1、若5-+y x 与2)1(--y x 互为相反数，则22y x -的值为【分析】根据相反数性质列出关系式，再利用非负数的性质求出x 与y 的值，即可确定出原式的值．【解答】解：由题意得：|x+y ﹣5|+（x ﹣y ﹣1）2＝0，∴，则原式＝（x+y ）（x ﹣y ）＝5，【点评】此题考查了解二元一次方程组，相反数，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2、如果|x +y ﹣1|和2（2x +y ﹣3）2互为相反数，那么x ，y 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据两个非负数互为相反数，判断两个非负数必定都是0，列方程组解答即可．【解答】解：根据两个非负数互为相反数，判断两个非负数必定都是0，所以有，解得．故选：C ．【点评】考查了绝对值和平方数的非负性．互为相反数的两个数相加等于0，|x+y ﹣1|和2（2x+y ﹣3）2都是非负数，所以这个数都是0．3、若|x +y +1|与（x ﹣y ﹣2）2互为相反数，则（3x ﹣y ）3的值为【分析】先根据相反数的定义列出等式|x+y+1|+（x ﹣y ﹣2）2＝0，再由非负数的性质求得x 、y 的值，然后将其代入所求的代数式（3x ﹣y ）3并求值．【解答】解：∵|x+y+1|与（x ﹣y ﹣2）2互为相反数，∴|x+y+1|+（x ﹣y ﹣2）2＝0，∴，解得，，∴（3x ﹣y ）3＝（3×+）3＝27．【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解法、非负数的性质﹣﹣绝对值、非负数的性质﹣﹣偶次方．解题的关键是利用互为相反数的性质列出方程，再由非负数是性质列出二元一次方程组．4、若|a +b ﹣1|+（a ﹣b +3）2＝0，则a b ＝【分析】根据非负数的性质以及方程组的解法即可求出答案．【解答】解：由题意可知：解得：原式＝（﹣1）2＝1故答案为：1【点评】本题考查二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题型5、若|x+y﹣6|+（x﹣y+3）2＝0，则3x﹣y＝【分析】先根据非负数的性质列出方程组，求出x、y的值，然后代入3x﹣y中求解即可．【解答】解：由题意，得，解得：．因此3x﹣y＝3×﹣＝0．【点评】初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．6、若（a+b+5）2+|2a﹣b+1|＝0，求（b﹣a）2017的值．【分析】首先根据（a+b+5）2+|2a﹣b+1|＝0，可得：a+b+5＝0，2a﹣b+1＝0，据此求出a、b的值各是多少；然后把求出的a、b的值代入（b﹣a）2017，求出算式的值是多少即可．【解答】解：∵（a+b+5）2+|2a﹣b+1|＝0，∴①+②，可得：3a+6＝0，解得a＝﹣2，把a＝﹣2代入①，解得b＝﹣3，∴（b﹣a）2017＝[﹣3﹣（﹣2）]2017＝（﹣1）2017＝﹣1．【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，以及非负数的性质和应用，要熟练掌握，注意加减法和代入法的应用．。
初中数学重点梳理：非负数
非负数知识定位知道常见的几种非负数，偶次根式，绝对值，二次方程有根的判别系数，常见的题型主要是利用非负数的性质建立方程，不等式，从而求值或证明。
知识梳理非负数：正数和零统称为非负数1、几种常见的非负数（1）实数的绝对值是非负数，即|a|≥0在数轴上，表示实数a的点到原点的距离叫做实数a的绝对值，用|a|来表示设a为实数，则绝对值的性质：①绝对值最小的实数是0②若a与b互为相反数，则|a|＝|b|；若|a|＝|b|，则a＝±b③对任意实数a，则|a|≥a，|a|≥－a④|a·b|＝|a|·|b|，(b≠0)⑤||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|（2）实数的偶次幂是非负数如果a为任意实数，则≥0（n为自然数），当n＝1时，≥0（3）算术平方根是非负数，即≥0，其中a≥0.算术平方根的性质：（a≥0）＝2、非负数的性质（1）有限个非负数的和、积、商（除数不为零）是非负数（2）若干个非负数的和等于零，则每个加数都为零（3）若非负数不大于零，则此非负数必为零3、对于形如的式子，被开方数必须为非负数；例题精讲◆专题一：利用非负数的性质解题： 【试题来源】【题目】已知实数x 、y 、z 满足，求x ＋y ＋z 的平方根。
【答案】0 【解析】∵，∴.∵|x-y|>=0， ， ，∴解得x ＋y ＋z =0所以求x ＋y ＋z 的平方根为0 【知识点】非负数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2【试题来源】【题目】已知()0446222=+-+++y xy x y x ，则的值为______________；【答案】2【解析】（x+y-6）²≥0, 2244y xy x +- ≥0,（x+y-6）²+ 2244y xy x +- =0,两个非负数的和为0,只能都是0.所以x+y-6 =0,x²-4xy+4y²=(x-2y)²=0, 即x+y-6 =0, x-2y =0, 解得x=4,y=2. ∴x-y=2,【知识点】非负数 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3【试题来源】 【题目】若，的值【答案】【解析】解：因为，所以，从而.所以【知识点】非负数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】设a 、b 、c 是实数，若，求a 、b 、c 的值【答案】1130===c ,b ,a 【解析】,,,,,【知识点】非负数 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3◆专题二：对于 的应用【试题来源】【题目】已知x 、y 是实数，且 ；【答案】81 【解析】根据题意32112+-+-=x x y ，知012≥-x 且021≥-x ，所以21=x ，y=381=y x【知识点】非负数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】 【题目】已知、、适合关系式：y x y x z y x z y x --+-+=-++--+20152015223 ，求z y x -+3 的平方根。
非负数的性质专项训练(含答案)-
非负数的性质专项训练一、选择题1．一个数的相反数与该数的倒数的和等于0，则这个数的绝对值等于（） A．2 B．-2 C．1 D．-12．若│x-12│+（2y+1）2=0，则x2+y2等于（）A．38B．12C．-18D．-383．一个有理数和它的相反数之积（）A．一定大于0 B．一定小于0 C．一定不大于0 D．一定不小于0 4．两个不为0的数相除，如果交换它们的位置，商不变，那么（）A．两个数相等 B．两个数互为相反数C．两个数互为倒数 D．两个数相等或互为相反数5．若│a│=2，-b=3，则a+b的值是（）A．-1 B．5 C．-1或-5 D．1或-56．-27的倒数与绝对值等于23的数的和等于（）A．251725208 (666212121)B C D8或-或-7．若│x│=5，│y│=3，则│x+y│等于（）A．8 B．±8 C．8或2 D．±8或±28．负16与正21的和的相反数可以列式为（）A．-16+21 B．-（16-21） C．-（-16+21） D．16+21 二、填空题9．-23的相反数与-4的绝对值的差是_______．10．若两个数的差为0，且这两个数互为相反数，则这两个数是_____．11．一个数与它的倒数相等，这个数是________．12．一个数的倒数的相反数是315，这个数是_______．13．平方得64的数是_______，立方得64的数是_______．三、解答题14．已知a ，b 互为相反数，且都不为0，c ，d 互为倒数，x 的绝对值是5，求2007（a+b ）+cdx+2a b的值．15．已知（x-1）2+│y-2│+│z-3│=0，求x 2+y 2+z 2的值．16．已知x 是最小的正整数，y ，z 是有理数，且有│2+y │+（3x+2z ）=0， 求式子2244xy z x y +-++ 的值．17．设M=（12005）2005×（-2005）2006，N=（-5）10×（-6）11×（-130）10=-1998， 求（M+N ）2007的值．答案:1．C [提示：±1的相反数与该数的倒数的和等于0，但±1的绝对值都是1，故选C．]2．B [提示：可根据x-12=0，2y+1=0得x=12，y=-12，所以x2+y2=（12）2+（-12）2=14+14=12．]3．C [提示：0的相反数是0，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，所以一个有理数和它的相反数之积一定不大于0，故选C．]4．D [提示：相等两个数的商为1，互为相反数的商为-1，交换了分子、•分母的位置，商仍为1或-1，故选D．]5．C [提示：│a│=2，-b=3，所以a=±2，b=-3，所以当a=2时，a+b=2+（-3）=-1；当a=-2时，a+b=-2+（-3）=-5，故选C．]6．B [提示：-27的倒数是-72，绝对值等于23的数是±23．所以它们的和是-72+23或-72+（-23），即-172566或-，故选B．]7．C [提示：因为│x│=5，│y│=3，所以x=±5，y=±3．当x=5，y=3时，│x+y│=│5+3│=8；当x=5，y=-3时，│x+y│=│5-3│=2；当x=-5，y=3时，│x+y│=│-5+3│=2；•当x=-5，y=-3时，│x+y│=│-5-3│=8，所以│x+y│=8，2，故选C．]8．C [提示：认真读题即可，故选C．]9．-103[提示：根据题意得-（-23）-│-4│=23-4=-103．]10．011．±1 [提示：0不能作除数，所以要除掉0．]12．-516[提示：315=165，它的相反数是-165，-165的倒数是-516，所以这个数是-516．]13．±8 414．解：因为a，b互为相反数，且都不为0，所以a+b=0，ab=-1．又因为c，d互为倒数，│x│=5，所以cd=1，x=±5．所以当x=5时，2007（a+b）+cdx+2ab=2007×0+1×5+2×（-1）=•5-2=3．当x=-5时，2007（a+b）+cdx+2ab=2007×0+1×（-5）+2×（-1）=-5-2=-7．15．解：因为（x-1）2+│y-2│+│z-3│=0，且（x-1）2≥0，│y-2│≥0，│z-3│≥0，•所以x-1=0，y-2=0，z-3=0，所以x=1，y=2，z=3，所以x 2+y 2+z 2=12+22+32=1+4+9=14．16．解：因为x 是最小的正整数，所以x=1，又因为│2+y │+（3x+2z ）2=0，且│2+y │≥0，（3x+2z ）2≥0， 所以2+y=0，3x+2z=0．所以y=-2，3×1+2z=0，z=-32． 所以2244xy z x y +-++=22341(2)()1921(2)414⨯⨯-+-=--+-+． 17．解：M=（12005）2005（-2005）2006=（12005）2005×（2005）2005×2005 =（12005×2005）2005×2005=12005×2005=1×2005=2005． N=（-5）10×（-6）11×（-130）10-1998=510×（-6）11×（130）10-1998 =510×（-6）×610×（130）10-1998=（5×6）10×（-6）×（130）10-1998 =（30×130）10×（-6）-1998=-6-1998=-2004． 所以（M+N ）2007=（2005-2004）2007=12007=1．。
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专题二 利用非负数的性质解题
一．考点知识：
1．初中学过的几种非负数：
⑴实数的绝对值是非负数. 若a 是实数，则0a ≥.
⑵实数的偶数次幂是非负数. 若0a ≥是实数，则20n a
≥（n 是正整数）.
⑶算术平方根是非负数，且被开方数也是非负数.
若a 0;0.a ≥≥
⑷一元二次方程有实数根时，根的判别式是非负数，反过来也成立.
若二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个实数根， 则240b ac -≥. 若2
40(0)b ac a -≥≠， 则二次方程20ax bx c ++=有两个实数根. ⑸数轴上，原点和它的右边所表示的数是非负数，几何中的距离，图形中的线段、面积、体积的量数也都是非负数.
2．非负数的性质：
⑴非负数集合里，有一个最小值，它就是零.
⑵如果一个数和它的相反数都是非负数，则这个数就是零.
⑶有限个非负数的和或积仍是非负数.
⑷若几个非负数的和等于零，则每一个非负数也都只能是零.
【例1】已知320x y -+-=，求x y +的值 分析：由于a o ≥所以已知条件可以分成四种情况（分类讨论思想）。
讨论：①
00+= × ②0+= × ③00+
= × ④000+= √
解：由题意得
{30
20x y -=-= ∴{3020x y -=-=
3x =，2y =；
答: x y +的值为5.
【例2】已知()()22
24130x y ++-=，求2x y +的值
分析：因为20a ≥；所以本题变成了两个非负数相加的形式，和例1的解题思路相同了。
解：由题意得 240x +=；130y -=；
答: 2x y +的值为53
-. 【例3
0=，求,x y 的值
0≥；由例1解题思路可解。
解：由题意得
答：x 的值为32；y 的值为34
-。
结论：由前面三个例子可得到几个非负数的和为零，则这几个非负数都为零。
也就是若()2
0b c +=；则有0a b c ===。
【例4】 若(
)2130a b -++=； 则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=+=-0120)3(012c b a 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-0120301c b a ∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-==5.031c b a .
【例5】求证：方程42
3260x x x +++=没有实数根
证明：把方程左边分组配方，得
即222(1)(1)4;x x +++=-
∵22(1)0x +>，2(1)0x +≥，
∴222(1)(1)0x x +++≥.
但右边是－4.
∴不论x 取什么实数值， 等式都不能成立.
∴方程423260x x x +++=没有实数根.
【例6】a 取什么值时，根式)1)(2()1)(2(a a a a --+--有意义
解：∵二次根式的被开方数(2)(1)a a --与(2)(1)a a --都是非负数，
且(2)(1)a a --与(2)(1)a a --是互为相反数， ∴(2)(1)0a a --=. （非负数性质2）
∴20;a -=或10a -=。
答：当2a =或1a =或1a =-时，原二次根式有意义.
【例7
】要使等式2
1203x ⎛⎫-+= ⎪⎝
⎭成立，x 的值是＿＿＿＿. （1991年泉州市初二数学双基赛题） 解：要使原等式成立∵2
1203x ⎛⎫-≥ ⎪⎝
⎭，
0≤。
∴41,(40)44x x x x -==--≠-- ∴21213x ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，且40x -<. 即⎪⎩
⎪⎨⎧<-=041)3122x x －（ 解得⎩⎨⎧<=493x x x 或＝ ∴3x = .
答：x 的值是3.
【例8】当,a b 取什么实数时，方程()2222(1)34420x a x a ab b ++++++=有实数根
（1987年全国初中数学联赛题）
解：∵当0∆≥时，方程有实数根.
解如下不等式：
（a+2b ）2+(a －1)2≤0 ①
∵2(2)0a b +≥且()2
10a -≥， 得()2
2(2)10a b a ++-≥ ② ∴只有当2(2)0a b +=且()2
10a -= 不等式①和②才能同时成立. 答：当1a =且12
b =-
时，方程()2222(1)34420x a x a ab b ++++++=有实数根. 练习题： 1．已知在实数集合里x x -+-33有意义，则x =____.
2．要使不等式()2
10a +≤成立，实数a =_____.
3．已知01212=+++-b b a ，则 a =＿＿, b =＿＿, 100101a b =____. 4. 已知,a b 是实数且2
111+-+-≤b b a . 化简1214422+--+-ab b a ab a 后的值是＿＿＿＿.
(1990年泉州市初二数学双基赛题)
5. 当x =____.(x +有最大值＿＿＿.
（1986年泉州市初二数学双基赛题）
6. 已知： ,141=-+-c a 且a -1, 4-c 都是整数.求,a c 的值.
（1989年全国初中数学联赛题）
7. 求方程2222640x y x y xy ++++=的实数解.。