泰勒公式及其应用(数学考研)

第2章 预备知识

前面一章我们介绍了一下泰勒和他的成就，那他的主要杰作泰勒公式究竟在数学中有多大的用处呢？那么从这一章开始我们就要来学习一下所谓的泰勒公式，首先来了解一下它是在什么样的背景下产生的．

给定一个函数)(x f 在点0x 处可微，则有：

)()()()(000x x x f x f x x f ∆+∆'+=∆+ο

这样当1<<∆x 时可得近似公式

x x f x f x x f ∆'+≈∆+)()()(000

或

))(()()(000x x x f x f x f -'+=，10<<-x x

即在0x 点附近，可以用一个x 的线形函数（一次多项式）去逼近函数f ，但这时有两个问题没有解决：

（1） 近似的程度不好，精确度不高．因为我们只是用一个简单的函数—一次多项式去替代可能是十分复杂的函数f ．

（2）近似所产生的误差不能具体估计，只知道舍掉的是一个高阶无穷小量

)(0x x -ο，如果要求误差不得超过410-，用))(()(000x x x f x f -'+去替代)(x f 行吗？因

此就需要用新的逼近方法去替代函数．

在下面这一节我们就来设法解决这两个问题．

2.1 T aylor 公式

首先看第一个问题，为了提高近似的精确程度，我们可以设想用一个x 的n 次多项式在0x 附近去逼近f ，即令

n n x x a x x a a x f )(...)()(0010-++-+= （2.1）

从几何上看，这表示不满足在0x 附近用一条直线（曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的切线）去替代)(x f y =，而是想用一条n 次抛物线n n x x a x x a a x f )(...)()(0010-++-+=去替代它．

我们猜想在点))(,(00x f x 附近这两条曲线可能会拟合的更好些．那么系数0a ，1a …

n a 如何确定呢？

假设f 本身就是一个n 次多项式，显然，要用一个n 次多项式去替代它，最好莫过它自身了，因此应当有

n

n x x a x x a a x f )

(...)()(0010-++-+=

于是得：)(00x f a =

第2章 预备知识

2

求一次导数可得：)(01x f a '= 又求一次导数可得：!

2)(02x f a ''=

这样进行下去可得：

!3)(03x f a '''=

，!

4)

(0)

4(4x f

a =

，… ，!

)

(0)

(n x f

a n n =

因此当f 是一个n 次多项式时，它就可以表成：

k

n

k k n

n x x k x f

x x n x f

x x x f x f x f )(!

)

()(!

)

(...))(()()(00

0)

(00)

(000-=

-+

+-'+=∑

= （2.2）

即0x 附近的点x 处的函数值)(x f 可以通过0x 点的函数值和各级导数值去计算．通过这个特殊的情形，我们得到一个启示，对于一般的函数f ，只要它在0x 点存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式

n

n n x x n x f

x x x f x x x f x f x T )(!)

(...)(!

2)())(()()(00)

(2

00000-+

+-''+

-'+=

称为函数)(x f 在点0x 处的泰勒多项式，)(x T n 的各项系数

!

)

(0)

(k x f

k ),...,3,2,1(n k = ，称

为泰勒系数．因而n 次多项式的n 次泰勒多项式就是它本身．

2.2 Taylor 公式的各种余项

对于一般的函数，其n 次Taylor 多项式与函数本身又有什么关系呢？函数在某点0

x 附近能近似地用它在0x 点的n 次泰勒多项式去替代吗？如果可以，那怎样估计误差呢？下面的Taylor 定理就是回答这个问题的．

定理1]10[ (带拉格朗日型余项的Taylor 公式)

假设函数)(x f 在h x x ≤-||0上存在直至1+n 阶的连续导函数，则对任一

],[00h x h x x +-∈,泰勒公式的余项为

1

0)

1()

()!

1()

()(++-+=

n n n x x n f

x R ξ

其中)(00x x x -+=θξ为0x 与x 间的一个值.即有

1

0)

1(00)

(000)

()!

1()

()(!

)

(...))(()()(++-++

-+

+-'+=n n n

n x x n f

x x n x f

x x x f x f x f ξ (2.3)

推论1]10[ 当0=n ，（2.3）式即为拉格朗日中值公式：

))(()()(00x x f x f x f -'=-ξ

所以，泰勒定理也可以看作是拉格朗日中值定理的推广． 推论2]10[ 在定理1中,若令