弹塑性力学问题的微分提法与基本解法

解 平面外法向的方向余弦：
l1
1
12 32 12
1 11
百度文库
l2
3
12 32 12
3 11
l3
1
12 32 12
1 11
平面上的应力：
5 px σ xl1 τ xyl2 τ xzl3 11
7 py τ yxl1 σ yl2 τ yzl3 11
pz τ zxl1 τ zyl2 σ zzl3
张量概念
张量：在三维空间坐标系中，需要用满足一定坐标变换关系的
3n个有序数才能确定的量
张量的分量（n = 张量的阶数）
标量 (n=0) 零阶张量
矢量 (n=1) 一阶张量
应力 应变
(n=2)
二阶张量
应力张量
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张量概念
张量的下标记法：采用带下标的字母符号表示张量的所有分量
三维空间中任一点的坐标：
2
张量概念
标量：用数表示的物理量，与坐标系的选取无关
质量
温度
湿度
长度
矢量：既有大小又有方向性的物理量
x3=z
u3e3 u
力
速度、加速度
e3=k
分量记法/下标记法：
3
u u1e1 u2e2 u3e3 uiei e1=i i 1
x1=x 2020/10/25
p
u1e1
e2=j
u2e2 x2=y 3
工程弹塑性力学
第1章 应力状态理论
本章学习要点：
理解张量概念，掌握张量下标记法 深刻理解应力及点的应力状态的概念，掌握物体内任
一点、任意微分面上的总应力、正应力和剪应力的计 算 掌握应力张量的特性 理解应力张量分解、八面体应力和应力强度的意义 掌握平衡微分方程和静力边界条件
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yzl2
zl3
x
pi jil j
微分四面体单元
物体内任意一点的9个应力分量与 通过该点的各微分面上的应力之间的关系
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1.2 一点的应力状态
剪应力互等定理
力矩 平衡
Mx My
0 0
条件 M z 0
xy yz
yx zy
zx xz
ij ji
Cauchy应力的定义：
pn
lim
S 0
Pn S
极限内力集度
应力表示内力在截面上某一点的分布集度
应力是矢量，有大小、方向 与点的位置、通过点的截面的方向有关
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1.1 力与应力的概念
正应力 剪应力
pn nn ns
n pn n
n pn s
p2
2 n
总应力
pz
py px
在直角坐标系里分解： pn pxi py j pz k
Cauchy公式 pi jil j
pi ijl j
对称张量 6个独立分量
Cauchy公式
px
xl1
yxl2
zxl3
py xyl1 yl2 zyl3
pz
xzl1
yzl2
zl3
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物体内任一点、任意微分面上的总应力、正应力和剪应力：
p
n
px2
p
2 y
pz2
p n = xl12 yl22
zl32
2 xyl1l2
2 yzl2l3
2
zxl3l1
n
p2
2 n
n pili ijlil j
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1.2 一点的应力状态
0 1 2
例 物体中一点的应力张量为 1 2 0 MPa, 求作用在过此点的平面
2 0 1
x 3y z 1 上的正应力和剪应力。
z
z
z
zx
zy
yx
xy
x
yz
y yz
xz
xz
xy
yx
y
x zy
zx
z
y
zx
yx
xy
xz
yz
xy x
zy
zy
x
yz
xz yx
y
zx
o
x
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z
o
y
x
z
y
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1.2 一点的应力状态
体力作用下的平衡条件 X 0
z C
n
px S
xSx
xy y
xz yz
zx zy z
三个相互垂直的微分面上应力矢量的分解
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1.2 一点的应力状态
应力分量的正负号：
正应力符号：以拉应力为正、压应力为负
剪应力符号：
当应力作用面外法线与坐标轴正方向一致，沿坐标轴正向的剪应力为正
当应力作用面外法线与坐标轴负方向一致，沿坐标轴正向的剪应力为负
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1.1 力与应力的概念
外力
作用在物体内部体积上的外力
• 重力
体力 • 惯性力
• 电磁力
• 风力
面力 • 液体压力
• 接触力
作用在物体表面上的外力
内力
可变形固体在外力等作用下，其内部 各部分之间的相互作用力
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1.1 力与应力的概念
应力
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固体截面上微小面元的内力
yxS y
zxSz
1 3
X
S h
0
pz
Sx S y
S S
l1 l2
Sz
S
l3
h 0
px xl1 yxl2 zxl3
y
yx xy
px
yz M zy
xz zx
x
py
B y
Cauchy公式
A
z
px
xl1
yxl2
zxl3
py xyl1 yl2 zyl3
pz
xzl1
ii 11 22 33
Sij Sij
S121 S122
S123
S
2 21
S
2 22
S223 S321 S322
S
2 33
ui,i
ui xi
u1 x1
u2 x2
u3 x3
ij, j
ij
x j
i1 i2
x1 x2
i3
x3
哑下标：重复出现的下标 自由下标：仅出现一次的下标
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1.2 一点的应力状态
物体内同一点各个微分面上的应力情况
px xxi xy j xzk
px
py yxi yy j yzk
pz zxi zy j zz k
应力矢量作 应力分量 用面的方向 的指向
研究结构强度问题
py
pz
应力张量：描绘一点处的应力状态
ij yxx
（下标个数 = 张量阶数）
(x, y, z)
x1 x, x2 y, x3 z
xi (i 1,2,3)
物体内任一点的位移矢量：
(u, v, w)
u1 u, u2 v, u3 w
ui (i 1,2,3)
二阶应力/应变张量：
x xy xz yx y yz zx zy z
11 x
12 xy
13
xz
x xy xz
ij
yx y yz zx zy z
ij
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张量概念
爱因斯坦求和约定：
在同一项中，一个字母下标出现两次，表示在其取值范围内求和 （三维空间按1~3求和，二维空间按1~2求和）
Ai Bi A1B1 A2B2 A3B3