解三角形中的数学思想

专题讲座解三角形问题中的数学思想1.转化思想 (2)练习一 (4)2.方程思想 (4)练习二 (6)3.函数思想 (6)练习三 (7)4、数形结合思想 (7)练习4 (8)练习题答案 (9)中国数学解题研究会齐建民1.转化思想常见的转化方式 （1） 边与角的互化方式（I ）：在等式的两边或分式的上下可同时进行下列双向的转化：sin ,sin ,sin a A b B c C ↔↔↔;如：22sin sin sin a b c A C B =+↔=+；例 （2014陕西理16）△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a ，b ，c ，（1）若a ，b ，c 成等差数列，证明：sinA+sinB=2sin （A+C ）；（2），若a ，b ，c 成等比数列，求cosB 的最小值 例：（2014江苏14）若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值是解析：因为C B A sin 2sin 2sin =+，故由正弦定理可知2a c =，所以2a c =，又由余弦定理可知222222223(2cos 2244)2a a b a b a b cC abab ab +-+++-===-44-=≥（当且仅当2232a b =，即b =，可设2,1a b c ===，验证等号成立） 方式（2）：用余弦定理实现边与角的互化：例1：在三角形中，求证：cos cos b c A a C =+分析：左边是边，很自然地要把右边的两个余弦用余弦定理表示出来，实现角与边的互化：22222222222222cos cos 22222b c a a b c b c a a b c b c A a C c a b bc ab b b b+-+-+-+-+=+=+==；例2：在三角形中，三边,,a b c 成等差数列， 求证：3B π≤分析：要证明的问题是关于角的，而条件是关于边的，将边化为角是自然的；由已知得2a c b +=，则22222222111()(332)(62)1444cos 22222a c a c a c ac ac ac a cb B ac ac ac ac +-++--+-===≥=，当且仅当a c =时去等号，即1cos 2B ≥，故3B π≤方式（3）：用诱导公式实现角度的转化sin sin()A B C =+，cos cos()A B C =-+方式（4）：用内角的关系实现减元，角度的转化； 如：若6A π=，则56B C π=- 应用：三角形中，3A π=，求sin sinC B +的最大值例1在△ABC 中，若22a b bc =+，求证:2A B =法1：我们采用分析法，要证明2A B =，我们需要什么条件？容易想sin sin2A B =，即222sin 2sin cos 2cos 22a c b A B B a b B a bac +-=⇔=⇔=，即2222223()a c b a c b ba bc b =+-=+-，即2223222()()a c ba bc b a c b b c b -=-⇔-=-，若c b =，则易知90,45A B =︒=︒,满足2A B =；若c b ≠，则可得22a b bc =+； 以上是分析法得出思路，再用综合法写出过程即可；法2：条件与余弦定理的结构相似，可考虑从余弦定理入手.解：因为22a b bc =+222cos b c bc A =+-，所以22cos bc c bc A =-，即2cos b c b A =-，由正弦定理得sin sin 2sin cos sin()2sin cos sin()B C B A A B B A A B =-=+-=-，因为0,A B π<<，所以B A B =-，即2A B =点评：本题很关键一点是从条件的结构入手，在解题过程中，又先后运用了化边为角，消元等思想，体现了解题过程要不断向目标努力，找到,A B 的关系，所以要消去C例2 在△ABC 中，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C =，求b方法1：条件222a c b -=与余弦定理相似，条件sin cos 3cos sin A C A C =与两角和差正弦类似，所以有下面的思路：由222a c b -=与2222cos a b c bc A =+-可得2cos 2b c A =+①；对条件sin cos 3cos sin A C A C =，可以联想到两角和差公式，可得sin()4cos sin A C A C +=，即sin 4cos sin B A C =，所以4cos b c A =②， 由①②可得4b =方法2：本题共2个条件，一个是边的，一个是角度，而角的可以化为边的，因此产生下面的解法：解：因为sin cos 3cos sin A C A C =，所以222222322a b c b c a a c ab bc+-+-⋅=⋅，得22222b c a +=①，又222a c b -=，即222a c b =+②，联立①②，得24b b =，所以4b =练习一1、已知cos sin a C C b c +=+，求A 2.（2013新课标Ⅱ）△在内角的对边分别为,已知.(Ⅰ)求;（2）若,求△面积的最大值3. （2012大纲）ABC ∆中,已知cos()cos 1,2A C B a c -+==,求C . 4、（2014大纲）ABC ∆中，已知3cos 2cos a C c A =，1tan 3A =，求B 5、已知C b B c A a cos cos cos 3+=.（1）求A cos 的值；(2)若332cos cos ,1=+=C B a ，求边c 的长 6、在锐角中，则的值等于 ,AC 的取值范围为 . 7、（08重庆）ABC ∆中A =60o，3c b =，求a c的值8.ABC ∆中，2a =，求cosC ccosB b +的值9、（2010江苏）在锐角ABC ∆中，6cos b a C a b +=，则tan tan tan tan C CA B+=________ 10 、在ABC ∆中，已知9,16AB AC AB BC ==-u u u r u u u r u u u r u u u rg g ,求：（1）AB 的值；（2）sin()sin A B C-的值.2.方程思想方程（组）思想，这主要在求值时应用，比如要求1个（2个）量，我们就要思考，如何得到含这1（2）个未知量的方程或方程组，必须注意到，绝大多数情况下，未知数的数量应该等于方程的数量；ABC ∆1,2,BC B A ==cos ACA例1ABC ∆的周长为20，面积是60A =︒，求BC 的长解：由条件易得201sin 2a b c bc A ++=⎧⎪⎨=⎪⎩2040a b c bc ++=⎧⎨=⎩，三个未知数，两个方程显然是不能解出a 的，必须再找一个方程！由2221cos 22c b a A bc +-==，加上这个，三个条件就够了，现在的条件即222204040a b c bc c b a ⎧++=⎪=⎨⎪+-=⎩，解这个方程还需要一定的技巧；2222(20)2(20)80b c a bc a +=--=--代入22240c b a +-=解得7a =例2（08辽宁）在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3C π=． （Ⅰ）若ABC △a b ，；（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．第一问分析：要求,a b ，就要找到两个含有,a b 的方程联立，已知2c =，3C π=，可以通过余弦定理建立一个方程，再利用面积构造第二个解：由余弦定理及已知条件得，224a b ab +-=①又因为ABC △所以1sin 2ab C =得4ab =②，将①②联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，，解得2a =，2b =．第二问分析：要求三角形面积，由于C 已知，所以只需求出ab （整体思路）或a 与b 的值，而条件是关于角的，可以借助正弦定理化为边的关系；解：由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=， 即sin cos 2sin cos B A A A =， 当cos 0A =时，2A π=，6B π=，a =b =当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，解得a =b =．综上，所以ABC △的面积1sin 2S ab C ==．练习二1、锐角ABC ∆中，31sin(),sin()55A B A B +=-=， （1）求证：tan 2tan A B =；（2）设3AB =，求AB 边上的高2、（08全国）设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且cos 3a B =，sin 4b A =． （Ⅰ）求边长a ；（Ⅱ）若ABC △的面积10S =，求ABC △的周长l ． 3、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且2,3c C π==。

（1）若ABC ∆3,a b 的值； （2）若sin 2sin B A =，求ABC ∆的面积。

4、ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若223a b bc -=，sin 23C B =，则A =。

3.函数思想函数思想，往往用在求某个变量的最值或范围的题目中，我们要求目标z 的范围，可以考虑选取一个自变量t ，设法得到目标函数()z t 的表达式，进而将问题转化为求一个函数的值域（最值）问题，这种思想广泛用于高中数学中。

例1（2011浙江） 在ABC ∆中，若sin sin sin ()A C p B p R +=∈，且214ac b =，若B 为锐，求p 的取值范围. 解：因为sin sin sin ()A C p B p R +=∈，由正弦定理可得a c pb +=，又22222222112cos ()22cos cos 22b a c ac B a c ac ac B b p b b B =+-=+--=--，即231cos 22p B =+，因为cos (0,1)B ∈，所以23(,2)2p ∈，依题意0p >，于是62)p ∈ 例2ABC ∆中，,433B AC π==D 为BC 上一点，若AB AD =，求△ADC 的周长的最大值解：,3AB AD B π==，所以△ABD 为正三角形，△ADC 中，根据正弦定理可得432sin sin sin()33AD DC C C ππ==-，因为8sinC AD =,8sin()3DC C π=-，△ADC的周长为8sin 8sin()3AD DC AC C C π++=+-+，118(sinC sin )8(sinC )22C C C =+-+=++，8sin()3C π=++，因为23ADC π∠=，所以03C π<<，所以2333C πππ<+<，当32C ππ+=，即6C π=时，△ADC 的周长取得最大值8+练习三1、ABC ∆中c =，30C =︒，求a b +的最值2、ABC ∆中，32C ππ<<，且sin 2sin sin 2b Ca b A C=--， （1）判断三角形的形状；（2）若||2BA BC +=u u u r u u u r，求BA BC ⋅u u u r u u u r 的取值范围3、（2010辽宁）△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.4、数形结合思想例 （2013新课标）如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=1,P 为△ABC内一点,∠BPC=90°(1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA[练习4如图所示，在四边形ABCD 中， AB DA ⊥，7CE =，23ADC π∠=；E 为AD 边上一点，1DE =，2EA =，3BEC π∠=.（Ⅰ）求sin ∠CED 的值； （Ⅱ）求BE 的长．15．（本小题共13分）（Ⅰ）设CED α∠=.在CED ∆中，由余弦定理，得2222cos CE CD DE CD DE CDE =+-⨯⨯∠ …………………2分得CD 2＋CD －6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)． …………………4分 在CED ∆中，由正弦定理，得21sin CED ∠=…………………6分 （Ⅱ）由题设知03πα∈（，），所以27cos α= …………………8分 而23AEB πα∠=-，所以 222cos cos =cos cos sin sin 333AEB πππααα∠=-+（） 131273217=cos sin 22αα-+=-⨯+⨯=. ………………11分 在Rt EAB ∆中，247cos BE AEB==∠. …………………13分D ACBE练习题答案练习一1.由正弦定理可得sin cos sin sin sin A C A C B C +=+，即sin cos sin sin()sin sin cos cos sin sin A C A C A C C A C A C C +=++=++，cos 1A A -=，即2sin()16A π-=，因为0A π<<，所以3A π= 2、（1）已知得由已知及正弦定理得sin sin cos sin sin A B C C B =+①，又sin sin()sin cos cos sinC A B C B C B =+=+②，由①②和(0,)C π∈得sin cos B B =，则4B π=;（2） 三角形面积1sin 2S ac B ==，由已知及余弦定理得2242cos 4a c ac π=+-，又222a c ac +≥，故ac ≤a c =13、由正弦定理及2a c=可得sin 2sin A C= ①，而cos()cos cos()cos()2sin sin A C B A C A C A C -+=--+=，已知即2sin sin 1A C =②，联立①②即得1sin 2C =，因为2a c c =>,故02C π<<,所以1sin 2C =,故6C π=. 4、解：3sin cos 2sin cos ,A C C A =得1tan 2C =,tanB tan()1A C =-+=-,得135B ??．5、 答案：解：（1）1cos 3A =； （2）可得：sinC = ,sin sin a C c A == 6、答案 2，7、解：由余弦定理得2222cos a b c b A =+-＝2221117()2,3329c c c c c +-=g g g故3a c=8、解：用余弦定理可得原式的值为29、解：226cos 6cos b a C ab C a b a b+=⇒=+，2222262a b c ab a b ab +-⋅=+，化简可得， 2tan tan sin cos sin sin cos sin sin()1sin tan tan cos sin sin cos sin sin cos sin sin C C C B A B A C A B CA B C A B C A B C A B+++=⋅=⋅=⋅由正弦定理，22232c a b +=得：上式=22222214113cos ()662c c c c C ab a b =⋅===+⋅. 10.法1：注意到已知向量的关系，可得下面的解法：由9,16AB AC AB BC ==-u u u r u u u r u u u r u u u rg g ，则91625AB AC AB BC -=+=u u u r u u u r u u u r u u u r g g ，即()25AB AC CB +=u u u r u u u r u u u r ，即225AB =u u u r ，故5AB =;法2：求的是边，所以设法将已知条件向边转化： 由已知得cos 9,cos 16bc A ac B ==，由余弦定理得22222211()9,()1622b c a c a b +-=+-=，两式相加得225,5c c ==； （2）2sin()sin cos cos sin cos cos cos cos sin sin A B A B A B a B b A ac B bc AC C c c ----===2169725c -== 练习二1、（1）将已知两个式子展开可以求得21sin cos ,cos sin 55A B A B ==,两式相除即可； （2）由3sin()5A B +=可得3tan()4A B +=,结合tan 2tan A B =，可以求得tan 2tan A B =+=,设AB 边上的高为h ，则3tan tan h h A B+=,得2h =+2、解：（1）要求a ，就要得到一个含a 的方程（组），题目里出现了sin A ，所以从正弦定理入手，sin 4sin sin b A a B B==; 下面我们思考，如何求出sin B ，看看现在我们已经有了什么条件22cos 3sin 4sin cos 1a B a B B B ⎧=⎪=⎨⎪+=⎩，3个未知数，3个等式，每一个都是可以解出的，易得3cos 5B =，4sin 5B =，5a =． （2）由1sin 2S ac B =，得到5c =． 由222cos 2a c b B ac+-=，解得：b =最后10l =+．3、解：（1）因为11sin sin 2234ABC S ab C ab ab π∆====4ab =， 又由余弦定理：222242cos3a b ab a b ab π=+-=+-，上述两式联立解得2a b ==。