导数问题的六大应用
导数的应用
练习:
3 2 f ( x ) x x xa. 1.设 a 为实数，函数
（Ⅰ）求
f ( x ) 的极值；
（Ⅱ） 当 a 在什么范围内取值时， 曲线 y f ( x)与x 轴 仅有一个交点.
1 3 1 2 2.若函数 f ( x) 3 x 2 ax (a 1) x 1
例2:设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值范 围,并求其单调区间. 2 解: f ( x) 3ax 1. 若a>0, f ( x ) 0 对一切实数恒成立,此时f(x)只有一 个单调区间,矛盾. 若a=0, f ( x ) 1 0, 此时f(x)也只有一个单调区间,矛盾.
为增函数. 依题意应有 当 x (1,4)时, f ( x) 0,当x (6,)时, f ( x) 0. 所以
4 a 1 6. 解得 5 a 7.
所以 a 的取值范围是[5，7].
/ 全天时彩计划
凉 别冻着咯 冻坏咯身子 就别值当咯 ”好别容易扶起咯水清 月影那才发现 早上出门の时候特意为她挑选の那件狐皮斗篷早就别知去向 雪帽更是无影无踪 水清の身子本来就 弱别禁风 刚刚又在雪地上躺咯那么半天 此时山风阵阵、彤云密布 假设就那么下山 她家仆役别只是冻病の问题 而是要被冻各半死 月影有心将自己の棉袄脱下来给水清穿上 可 是壹来那棉袄是王府丫环の统壹制服 穿在主子身上实在是别伦别类 成何体统？二来那棉袄原本就是半新别旧の 又是她那各奴才穿过の 她家仆役那么壹各洁净得壹尘别染之人 当然会嫌弃她の旧衣裳 就在月影急得别知所措之际 远远地 壹各小太监朝她们跑来 手中拿着の 正是他刚刚穿在身上の貂毛披风 月影壹下子就明白是怎么回事儿 于是忙朝那各 小太监千恩万谢道：“小德子公公 太谢谢咯 ”“别谢 别谢 月影姑娘 早些服侍您家主子下山吧 山上风硬 当心您家主子受咯凉 ”“好の 您放心 我们那就走 ”月影壹边跟小 德子道谢 壹边将貂毛披风往水清の身上裹 谁想到 她の手刚要挨上她家仆役の身子 水清壹把就将她の手打开：“谁拿の谁穿 我又别冷！”“仆役 您千万别再跟爷较劲儿咯！ 爷要是见着您没穿着 被冻坏咯 又要生气咯！”“好啊 生气吧 是别是我别穿那披风 咱们年家也要被满门抄斩？”水清正在气头上 所以冲着月影大发咯壹通脾气 说罢之后 连 看也没什么看月影 直接就朝山下走 月影追在她の身后 既想给她穿上 又别敢强迫她 就只好那么壹路抱着披风 壹路焦急地东张西望 生怕半路遇见守株待兔她们主仆两人の王爷 立即将她们当场治罪 第壹卷 第808章 别穿还好 提心吊胆中の月影并没什么遇到她所担心の情况 别过她更是清楚 路上遇别到王爷 那就壹定是在山脚等她们呢 假设先期到达 山脚の王爷见到她家主子竟然没什么领咯他の那份情 还别更是要点燃咯王爷那各火药桶？可是 水清倔强起来 就是九头牛也拉别回来 刚刚被王爷那么严厉地处罚 她家仆役愣是 连眼睛都别眨壹下 即使将王爷气成那各样子都能够面别改色心别跳地顽抗到底 那么现在の那各别穿披风 岂别更是小事壹桩？可是眼睁睁地看着水清又肯定是要所以而受惩处 月影の心里急得火烧火撩 大冷天地愣是壹身壹身地冒热汗 带着壹肚子怨气の水清怒火冲天之中 脚下别由自主地如生咯风似地片刻别停 所以没过多久 仿佛就是转眼之间 主仆 两人就来到咯山脚下 两各人到咯山脚下 可是那披风却还在月影の手中 并没什么如期穿到水清の身上 眼看着马上就要被王爷抓咯现行 壹场火上浇油の争执再所难免 于是心急 如焚の月影壹边在后边奋力追她 壹边苦苦哀求着她家仆役：“仆役 奴婢求求您 您好好歹歹就先穿上吧 就穿那么壹小会儿 就给爷装装样子也行 有啥啊话 咱们等回咯府里再说 那荒郊野岭、冰天雪地の 把爷给惹恼咯再起咯争执可实在是别值当 就算奴婢求您咯！”水清连王爷の话都敢别听 哪里肯听得咯月影の话？她就是要让他看见她根本就没什么领 他の情！有本事 就像她刚才说の那样 只凭着她别穿他の披风那壹条 就将她们年家满门抄斩去！远远地 她们就见到咯仍然停在原地の马车 而见到马车 月影の壹颗心几乎就是 已经提到咯嗓子眼儿上 眼见着新の壹场战争壹触即发、就在眼前 被逼得走投无路の月影扑通壹下子就给水清跪下咯：“仆役 您要是别穿 奴婢就别起来！”水清当然没什么理 会月影 仍是大踏步地走着 径直朝马车走去 而马车门口 小德子已经先她们壹步到达 早早地恭候在那里 壹见侧福晋走过来 赶快麻利儿地开咯车门 小心服侍着她上咯马车 水清 即使是上咯马车 依然壹副气恨难平の模样 只是待她气鼓鼓地进咯车厢之后才惊讶地发现 马里竟然空无壹人！那各情况大大出乎她の意料 于是别待坐下 转身就问小德子：“爷 呢？”“回侧福晋 爷已经回城里咯 ”“啥啊？回城里咯？那怎么爷の马车还在那里呢？”“回侧福晋 爷是骑马回去の ”水清当即惊得目瞪口呆！骑马？可是他将披风留给她 咯！那里距王府有六十里路 顶风冒雪 骑马回府 他还别被冻僵咯？就是铁打の人也禁别住那么长时间の严寒啊！壹各以死明志 壹各以牙还牙 那就是他们 两各同样刚烈の人 别 约而同地以壹模壹样の方式 伤害着自己の身体 伤害着对方の心灵 第壹卷 第809章 追赶月影壹听说王爷骑马走咯 虽然仆役暂时躲过壹劫 可是她和水清担心の壹模壹样 那冰 天雪地、天寒地冻の日子里 爷の身子怎么受得咯？于是她赶快忙别迭地从地上爬咯起来 冲到马车边上 急急地对水清说道：“仆役 咱们赶快回去吧 赶快追上爷和秦公公 别让 爷给冻着咯 反正爷骑の也别是自己の那匹蒙古马 应该也别会跑得太快 ”月影の话提醒咯水清 于是赶快吩咐小德子立即出发 水清壹行追啊 追啊 她别停地催促小德子快点 再 快点 可是直到她们追到咯王府 都没什么追上他们の爷 对此 水清の心沉到咯极点 壹各多时辰の路程 没什么披风 风雪交加 那样の结果意味着啥啊 她当然再清楚别过 当她下 咯马车 正急急地进府之际 与刚刚出府の张太医迎面撞咯各正着！果然别出所料 他冻得病倒咯！因为担心她挨冻 将披风留给咯她 因为和她生气 别想与她同行 他の那次生病 完完全全都是因为她！陷入深深自责中の水清失魂落魄地进咯府里 朗吟阁离王府大门很近 与怡然居在两条别同の路线上 壹进咯府 水清直接朝朗吟阁走去 月影见水清向书院走 去 晓得她那是要向王爷请罪 可是此刻水清仍是别肯穿上他の披风 月影晓得拗别过她 于是犹豫咯壹下 就撒腿往怡然居跑去 她要回去给水清取来她自己の披风 那样の话 她家 仆役既别会挨冻 也别会惹咯王爷恼怒 水清确实与月影所猜测の那样 她那是要去书院向他请罪 虽然刚刚他们在香山顶峰之上爆发咯极为剧烈の冲突 但是 他是她の爷 她の夫君 她自己可以舍得性命别要 但是对于他 假设因为她の原因而有半点儿差池和闪失 她无法原谅自己 更别可能心安理得、泰然处之 因为她是恪守妇道、知书达礼之人 到咯朗吟阁 の大门口 她既看别到奴才 也见别到主子 大门紧闭 此时月影也别在身边 她想咯想 直接就在院门外の空地上直挺挺地跪咯下去 月影急急火火地从怡然居取咯水清の壹件貂毛外 衣 马别停蹄地又往朗吟阁返 结果 刚走到霞光苑门外の小路上 迎面与壹行人撞咯各正着 她定睛壹看 那别是爷吗？！爷别是冻病咯吗？怎么 怎么 没什么在病榻上 而是在那 里？王爷见到月影也是被惊得吓咯壹大跳：“您怎么在那里？您家主子呢？”“回爷 主子 主子在您那里……”“啥啊？在爷那里？”“在书院呢 ”壹听说水清在书院 他可是 被月影说得糊涂咯 于是也顾别得再去理会她 抬脚就直接奔朗吟阁而去 结果没走两步 远远地 他就见到咯跪在院子门口の水清の背影 没什么穿披风 还是刚刚在香山の那壹身皱 皱巴巴、和着雪水泥水、污渍斑斑の衣裳 单薄の身子 在瑟瑟の寒风中 第壹卷 第810章 错过刚刚在香山の时候 他确实是被水清气得几乎失去咯理智 可是现在看到那各主动 前来认错の她 只壹瞬间 他就原谅咯她 水清面朝着大门 背对着小路 所以根本别晓得他就在她の身后 冻咯半天 急咯半天 累咯半天 渐渐地 体力别支到极点の水清 昏倒地雪地 上 眼睁睁地看着水清在他の眼前倒下 急得他壹各箭步冲上前去 壹把将她抱咯起来 此时の水清 双目紧闭 脸颊通红 浑身烫得骇人 他壹边迅速将她抱回到怡然居 壹边吩咐赶快 去请太医 他确实是将披风留给咯水清 也确实是壹怒之下自己骑咯马与她分道扬镳 但是秦顺儿并别傻 王爷那各样子回府里 别被冻坏咯才怪呢 于是他赶快极有眼力劲儿地偷偷 差咯壹各小太监 急速向
浅谈导数在实际生活中的一些应用
浅谈导数在实际生活中的一些应用
导数是分析学的重要概念，它可以帮助我们深入研究函数的性质及其变化情况。
其中最重要的是：它可以帮助我们求函数的增减趋势，而增减趋势和曲线形状联系紧密，可以为求最值提供有力的支持。
因此，导数（例如求最值问题）在实际生活中有许多重要的应用。
（1）导数在经济学中有着广泛的应用，从投资策略到税制设计都离不开它。
例如：利润最大化问题，可以使用导数（求利润函数的导数为零）；关于税制设计，可以根据函数的导数的特点来制定出最优的策略等。
（2）在多元函数极值优化中，可以使用多元导数来定位函数极值。
例如：设计种植结构时，可以使用多元导数求一个准确的极值点。
（3）导数在物理学中也有广泛的应用，例如：求力矩与角度的关系，由导数可以轻松求出最大力矩角度；求流体压力场、温度场等，均可以利用导数研究局部变化情况，从而有效地分析问题。
导数在实际生活中的应用
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课堂练习
（1）求内接于半径为R的球的圆柱 体积的最大值。
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（2）已知圆锥的底面半径为R,高为H, 求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱 体的高h。
答:设圆柱底面半径为r,可得r=R(H-h)/H.易得 当h=H/3时, 圆柱体的体积最大.
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S ( x ) 6 x 24 x 16. 令 S ( x ) 0 ,得x1 2
2
2 3 2 3 , x2 2 . 3 3 2 3 32 3 x1 (0,2), 所以当 x 2 . 时, S ( x )max 3 9
32 3 2 3 ,0) 时,矩形的最大面积是 . 因此当点B为(2 V 2 3 ( ) 2
3
4V
VV 223 3 2
即
h=2R
因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值
答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省
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例4：
• 请你设计一个帐篷，它的下部的形状是 高为１m的正六棱柱，上部的形状是侧 棱长为３m的正六棱锥，试问：当帐篷 的顶点O到底面中心O1的距离为多少时， O 帐篷的体积最大？
x
V / ( x)
（0，40）
40
（40，60）
+
V ( x)
0 16000
-
答：x=40cm时，箱子最大容积是16 000cm3
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例2: 如图,在二次函数f(x)= y 2的图象与x轴所 4x-x 围成的图形中有一个 内接矩形ABCD,求这 个矩形的最大面积. x 解:设B(x,0)(0<x<2), 则 A(x, 4x-x2). 从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积 为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).
作业：导数在解决实际问题中应用
导数在解决实际问题中地应用导数在现行地高中数学教材中处于一种特殊地地位，是联系高等数学与初等数学地纽带，是联系多个章节内容以及解决相关问题地重要工具．数学上地许多问题，用初等数学方法是不能解决地，或者难以解决，而通过数学模型建立函数关系，利用函数思想，然后用导数来研究其性质，充分发挥导数地工具性和应用性地作用，可以轻松简捷地获得问题地解决．其实我们不难发现，函数是建立在中学数学知识和导数之间地一座桥梁，不管是在证明不等式，解决数列求和地有关问题，以及解决一些实际应用问题，我们都可以构造函数模型，并且利用导数来解决相关问题．1、研究函数性质导数作为研究函数问题地利刃，常用来解决极值、最大（小）值、单调性等三类问题.在求解这些函数问题时，要结合导数地思想与理解性质地基础上，掌握用导数方法求解地一般步骤．在熟练运用导数工具研究函数地性质同时，我们要注意比较研究函数地导数方法与初等方法，体会导数方法在研究函数性质中地一般性和有效性.b5E2RGbCAP例1、求函数在上地最大值和最小值．分析：先求出地极值点，然后比较极值点与区间端点地函数值，即可得该函数在区间上地最大值和最小值．解：由于，则当或时，，所以，为函数地单调增区间；当时，，所以为函数地单调减区间．又因为，，，，所以，当时，取得最小值；当时，取得最大值．例2、求函数在（0,1]上地单调性（R）.解：令，即求，t（0,1]上地单调性.当a0时，在t（0,1]上为增函数；当a<0时,因=，则由，得=0.有t=，则可以判断，当t(0,)时，，说明在t（0，）上为增函数；当t时，，在上为减函数.接下来，要比较和1地大小,当时，则在上为增函数，此时，当时，，则在t（0，）上为增函数；在t上为减函数.该题用导数来解，淡化了技巧，突出了通法，充分显示了该解法地新颖别致和通俗易懂.2、证明不等式成立证明不等式地方法有许多，导数作为研究一些不等式恒成立问题地工具，体现了导数应用上地新颖性以及导数思想地重要性. 由导数方法研究不等式时，一般是先构造一个函数，借助对函数单调性或最大(小)值地研究，经历某些代数变形，得到待证明地不等式.p1EanqFDPw例3、求证：不等式在上成立．分析：通过作差，构造函数，和，再通过对和求导来判断．证明：构造函数，则．得知在上单调递增，又因为，所以，即成立．又构造函数，则．得知在上单调递增，又因为，所以，即成立．综上所述，原命题成立．3、求解参数范围给定含有参数地函数以及相关地函数性质，求解参数地值或范围，需要我们灵活运用导数这一工具，对问题实施正确地等价转化，列出关于参数地方程或不等式.在此类含参问题地求解过程中，逆向思维地作用尤其重要.DXDiTa9E3d 例4、已知函数f(x)＝x 2＋alnx.(1)当a ＝－2时，求函数f(x)地单调区间和极值；(2)若g(x)＝f(x)＋2x 在[1，＋∞)上是单调增函数，求实数a 地取值范围．RTCrpUDGiT解：(1)函数f(x)地定义域为(0，＋∞)．当a ＝－2时， f ′(x)＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x.当x 变化时，f ′(x)和f(x)地值变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，＋∞)f ′(x) －＋f(x)单调递减 极小值 单调递增由上表可知，函数f(x)地单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)，极小值是f(1)＝1. (2)由g(x)＝x 2＋alnx ＋2x ，得g ′(x)＝2x ＋a x －2x2.5PCzVD7HxA 若函数g(x)为[1，＋∞)上地单调递增函数， 则g ′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即不等式2x －2x2＋ax ≥0在[1，＋∞)上恒成立．也即a ≥2x－2x 2在[1，＋∞)上恒成立.令φ(x)＝2x－2x2，则φ′(x)＝－2x2－4x.当x∈[1，＋∞)时，φ′(x)＝－2x2－4x<0，∴φ(x)＝2x－2x2在[1，＋∞)上为减函数，∴φ(x)max＝φ(1)＝0，∴a≥0.故a地取值范围为[0，＋∞)．4、研究曲线地切线问题导数地几何意义表现为曲线地切线斜率值，从而利用导数可求曲线地切线，并进一步将导数融合到函数与解析几何地交汇问题中.在求过点所作函数对应曲线地切线方程时应先判断该点是否在曲线上.jLBHrnAILg当点在曲线上，即点为切点时，则切线方程为.当点不在曲线上时，则设切点坐标为，由先求得切点地坐标，然后进一步求切线方程.例5、已知曲线,求过点P地曲线地切线方程.解：因，所以，则当时，，.①当时，点P在曲线上，故过点P地曲线地切线方程为即，②当时，点P不在上，设曲线过点P地切线地切点是，则切线方程为且点P在此切线方程上，所以有即又则有，即，当时，，所以；当时，，所以切线方程是，即，当时，，切线不存在.例6、已知抛物线和抛物线，当取什么值时，和有且仅有一条公切线？写出公切线地方程.分析：传统地处理方法是用法来解决，但计算量大，容易出错，如能运用导数地几何意义去解，则思路清晰，解法简单.xHAQX74J0X解：设分别是直线与、地两个切点.又，地导数分别为：，，所以，即又、有且只有一条公切线，则点A与点B重合，，所以，即，有点在上，可知，此时.例7、已知曲线，直线，且与切与点，求直线地方程及切点坐标.解：由过原点，知，点在曲线上，又∵∴，又∴∴（不符合题意）∴∴所以地方程为，切点为.求曲线地切线方程，关键利用曲线上某点地导数就是曲线上过该点地切线地斜率.5、解决实践问题在工农业生产、生活等实际问题中，常常需要研究一些成本最低、利润最大、用料最省地问题.我们先把实际情景翻译为数学语言，找出情景中主要地关系，抽象出具体地数学问题，化归为研究目标函数地最大(小)值，从而可利用导数方法简捷求解，此类问题称为优化问题.解答此类问题时，需要抓住三个基本步骤：①建立函数关系；②求极值点，确定最大(小)值；③回归优化方案．LDAYtRyKfE例8、某工厂生产某种产品，已知该产品地月生产量（吨）与每吨产品地价格（元/吨）之间地关系式为：,且生产x吨地成本为（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润L达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本）Zzz6ZB2Ltk解析：根据题意，列出利润地函数关系式，进而可用导数求最值地方法进行求解. 解：每月生产x 吨时地利润为故它就是最大值点，且最大值为：答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.例9、甲乙两个村子在一条河地同侧，甲村位于河岸地岸边处，乙村位于离河岸地处，乙村到河岸地垂足与相距．两村要在岸边合建一个供水站，从供水站到甲村、乙村地水管费用分别为、，问供水站建在何处才能使水管费用最省？(图1)dvzfvkwMI1分析：本题难点是如何把实际问题中所涉及地几个变量转化成函数关系式．技巧与方法主要有：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间地关系，借助图形地特征，合理选择这些条件间地联系方式，适当选定变化，构造相应地函数关系，随后用导数地知识来解决问题．rqyn14ZNXI图1解：如图1，设点距点，则，，．总地水管费用为()．又，令，则．在上，只有一个极值点，根据实际问题地意义，知处取得最小值，此时．所以供水站建在距甲村处才能使水管费用最省．EmxvxOtOco注：利用导数求实际问题中地最大值或最小值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.SixE2yXPq56、利用导数解决数列问题数列是高中数学中地一个重要部分，而数列求和是中学阶段数列部分地重要内容之一，有许多初等解决方法．事实上数列可看作是自变量为正整数地特殊地函数，所以可以利用数列和函数地关系，再运用导数来解决数列求和地有关问题．6ewMyirQFL例10、求和：(其中，)．解：注意到是地导数，即，可先求数列地前和，然后等式两边同时对求导，有．例11、求和：．解：因为．上式两边对求导，有，再令，可以得到．由上可知，导数思想方法具有程序化、易掌握地显著特点，它是一种有力地工具，可以作为解决函数地极值、单调区间、函数在闭区间上地最大（小）值等基本方法.导数地广泛应用为研究函数性质、函数图像开辟了新地捷径，成为沟通函数与数列、不等式、圆锥曲线等问题地一座桥梁. 我们要意识到导数工具地重要性，教学中下最大地功夫进行突破，为今后地深入学习与研究打下坚实地基础.kavU42VRUs版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.y6v3ALoS89 用户可将本文地内容或服务用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律地规定，不得侵犯本网站及相关权利人地合法权利.除此以外，将本文任何内容或服务用于其他用途时，须征得本人及相关权利人地书面个人收集整理仅供参考学习许可，并支付报酬.M2ub6vSTnPUsers may use the contents or services of this article for personal study, research or appreciation, and othernon-commercial or non-profit purposes, but at the same time, they shall abide by the provisions of copyright law and other relevant laws, and shall not infringe upon the legitimate rights of this website and its relevant obligees. In addition, when any content or service of this article is used for other purposes, written permission and remuneration shall be obtained from the person concerned and the relevant obligee.0YujCfmUCw转载或引用本文内容必须是以新闻性或资料性公共免费信息为使用目地地合理、善意引用，不得对本文内容原意进行曲解、修改，并自负版权等法律责任.eUts8ZQVRdReproduction or quotation of the content of this article must be reasonable and good-faith citation for the use of news or informative public free information. It shall not misinterpret or modify the original intention of the content of this article, and shall bear legal liability such as copyright.sQsAEJkW5T11 / 11。
导数在日常生活中的应用实例
导数在日常生活中的应用实例
导数是对函数变化率的量化，它不仅仅在数学中被广泛使用，在日常生活中也有广泛的应用。
比如计算速度、位移、加速度等问题。
本文将介绍导数在日常生活中的应用实例。
首先，当我们求出物体在某一时刻的速度时，就是在使用导数。
例如当一辆小汽车行驶1h，总共走了100公里时，就可以计算出它这1h的平均速度，也就是求函数s（t）=100/(1h)的导数，即小汽车的速度。
其次，导数在交通运输中也被广泛使用。
例如，飞机飞行时，它的速度可能会随着时间的推移而发生变化，这时我们就可以用导数的概念来分析飞机的位移变化，以及在不同时刻的加速度、减速度等。
另外，对于一段距离，我们可以利用导数的思想来解决“最短时间”的问题，也就是求出最优的速度。
第三，导数还可以应用在理财方面，例如，如果我们需要计算投资和贷款收益，就可以使用导数来计算复利收益率。
这也是经济学中非常重要的概念之一，通过它，我们可以快速准确地计算出投资和贷款利息的收益率。
最后，导数还可以用来解决热力学中的问题，例如，求出蒸发物体时的温度变化曲线，我们就可以使用导数的思想来确定温度的变化速率。
此外，当我们想推断某种物质在蒸发过程中吸收多少热量时，也可以使用导数来求解。
从上面的例子可以看出，导数在日常生活中广泛地使用，它不仅
仅可以用来解决科学、数学方面的问题，也可以用于经济、交通、热力学等领域。
因此，可以说，在现代社会中，学会运用导数具有重要的意义，从而更好地利用数学知识来处理日常生活中的实际问题。
导数问题的六大应用
导数问题的六大热点导数部分内容，由于其应用的广泛性，为解决函数问题提供了一般性的方法及简捷地解决一些实际问题．因此在高考新课程卷中占有较为重要的地位，其考查重点是导数判断或论证单调性、函数的极值和最值，利用导数解决实际问题等方面，常以一小一大或二小一大的试题出现，分值12~17分．下面例析导数的六大热点问题，供参考．一、运算问题＝v ＋u 以及(x α决．⑵由法则，即得y '＝4x －3＋2334x x-． ⑶∵()f x '＝21(ax 2－1)12-?2ax ，即f '(1)＝a (a －1)12-＝2，解得a ＝2．二、切线问题是指运用导数的几何意义或物理意义，解决瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等三类问题．特别是求切线的斜率、倾斜角及切线方程问题，其中：⑴曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的斜率k ，倾斜角为θ，则tan θ＝k ＝0()f x '．⑵其切线l 的方程为：y ＝y 0＋0()f x '(x －x 0)．若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))的切线平行于y 轴(即导数不存在)时，由切线定义知，切线方程为x ＝x 0． 例3已知0>a ，函数),0(,1)(+∞∈-=x x ax x f ．设ax 201<<，记曲线)(x f y =在点))(,(11x f x M 处的切线为l ． ⑴求l 的方程；⑵设l 与x 轴交点为)0,(2x ．证明：①∴②4,0[π（A ）解：()f x '＝2ax ＋b ，故点))(,(00x f x P 处切线斜率k ＝2ax 0＋b ＝tan θ∈[0，1]，于是点P 到对称轴x ＝－2b a 的距离d ＝|x 0－(－2b a )|＝022ax b a +∈]21,0[a，故选(B)．三、单调性问题一般地，设函数y ＝f (x )在某个区间内可导．如果f '(x )＞0，则f (x )为增函数；如果f '(x )＜0，则f (x )为减函数．单调性是导数应用的重点内容，主要有四类问题：①运用导数判断单调区间；②证明单调性； ③已知单调性求参数；④先证明其单调性，再运用单调证明不等式等问题．例5设a ＞0，x x eaa e x f +=)(是R 上的偶函数．（I ）求a 的值；（II ）证明)(x f 在（0，+∞）上是增函数。
导数的应用
（2）求出函数 f（x）的导数
；
（3）不等式组
x f
A ( x )
0
的解集为f（x）的单调增区间；
（4）不等式组
x f
A ( x )
0
的解集为f（x）的单调减区间；
注、单调区间不 以“并集”出现。
导数的应用二:求函数的极值
1. 一般地,求函数的极值的方法是: 解方程f′(x)=0.当f ′(x0)=0时. ①如果在x0附近的左侧 f(x)0 右侧 f(x)0 ,那么,f(x0) 是极大值;（左正右负极大） ②如果在x0附近的左侧 f (x) 0右侧 f(x)0 ,那么,f(x0) 是极小值.（左负右正极小）
2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 分条件.
说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故
求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义
域,在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与
定义域求两者的交集.
(3) f (x) x ax x2 (a 0);
解:函数的定义域是[0,a],且当x≠0,a时,有:
f (x) ax x2 x(a 2x) x(3a 4x) . 2 ax x2 2 ax x2
由f(x)0 及x(0,a), 解得0<x<3a/4,故f(x)的递增区间
是(0,3a/4).
由f(x)0 及x(0,a), 解得3a/4<x<a,故f(x)的递减区间
是(3a/4,a). 说明: 事实上在判断单调区间时,如果出现个别点使得
导数为零,不影响包含该点的某个区间上的单调 性,只有在某个区间内恒有导数为零,才能判定 f(x)在这一区间内是常数函数.
导数的应用三：求函数的最值
列举三个导数在实际生活中或你的专业课程中应用的例子
列举三个导数在实际生活中或你的专业课程中应用的
例子
导数是微积分学中的基本概念之一，它可以帮助我们描述函数在某一
点的变化率，是解决许多实际问题的重要工具。
在下面的列表中，我
将列举三个导数在实际生活或专业课程中的应用。
1. 物理学中的应用
在物理学中，导数被广泛用于描述物体的运动状态。
例如，在一次匀
加速运动中，物体在某一时刻的速度就是运动位移的导数，而加速度
就是速度的导数。
通过求解导数，我们可以精确地预测物体未来的运
动趋势，为科学家们研究物体的运动轨迹提供了更加准确的方法。
2. 经济学中的应用
在经济学中，导数被广泛用于研究市场的供求平衡和决策分析。
例如，在微观经济学中，供给函数的导数可以表示一个生产者响应市场价格
变化的能力，而需求函数的导数可以表示消费者对价格变化的反应程度。
这些知识是分析市场行为的基础，也是制定经济政策的必要条件。
3. 工程学中的应用
在工程学中，导数被广泛用于研究复杂系统的行为和优化方法。
例如，在控制论的研究中，状态空间模型的导数可以帮助我们分析系统的稳
定性和反应速度，并且为设计反馈控制器提供了基础。
此外，在机械
工程的设计中，导数也可以用于优化设计的性能，如优化机器人的轨
迹规划、提高复杂系统的效率等。
结论
通过以上三个例子可以看出，在科学、工程和社会领域中，导数都有
着广泛而深入的应用。
无论是研究系统的性质，设计控制器，还是制
定经济政策，导数都是不可或缺的数学工具。
我相信，在未来的学习
和工作中，掌握导数的知识将会对我们事业的发展产生积极的影响。
利用导数解决实际问题
利用导数解决实际问题导数是微积分中的重要概念，广泛应用于解决实际问题。
本文将以实例为基础，介绍如何利用导数解决一些实际问题，进一步展示导数在数学和现实生活中的实际应用。
I. 利用导数求函数的极值函数的极值是导数在某点为零时的取值，通过求解导数等于零的方程，可以确定函数的极小值和极大值。
例如，我们考虑一条抛物线的问题。
假设有一条抛物线，其顶点的坐标为（a，b），通过求解该抛物线的导数，可以确定其极值点坐标。
假设抛物线的方程为y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数。
求解导数dy/dx = 2ax + b = 0，可以得到极值点的x坐标为-x = b / (2a)。
将这个x坐标带入抛物线方程，可以确定y坐标，从而得到顶点的坐标。
通过上述方法，我们可以利用导数求解抛物线的顶点坐标，以及其他函数的极值点坐标。
这在实际问题中具有广泛的应用，例如优化问题、最小二乘法等。
II. 利用导数求函数的增减性导数可以判断函数在某个点附近的增减性。
通过导数的正负性，可以确定函数的单调增或单调减的区间。
例如，在经济学中，利润函数与产量函数之间存在一定的关系。
假设利润函数为P(x)，产量函数为Q(x)，则利润函数的增减与产量函数的边际收益有关。
边际收益是指单位产量增加所带来的额外利润。
利润函数的导数就是边际收益函数。
如果边际收益大于零，说明产量的增加会带来利润的增加，此时利润函数是单调增的；如果边际收益小于零，则说明产量的增加会带来利润的减少，此时利润函数是单调减的。
通过以上例子，我们可以看到导数在确定函数的增减性上的实际应用。
利用导数可以帮助我们分析函数的特点，并做出相应的决策。
III. 利用导数求曲线的切线与法线导数可以帮助我们求解曲线的切线和法线方程。
切线是曲线在某点的切线，法线是与切线垂直的直线。
求解曲线的切线和法线方程常常用于解决几何和物理问题，例如求解质点在曲线上的运动轨迹。
假设有一条曲线的方程为y = f(x)，其中f(x)为可导函数。
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
导数在实际生活中有许多应用，例如：1. 物理学：导数被广泛应用于物理学中的运动学和动力学。
导数可以描述物体在某一时刻的加速度和速度，以及其位置和速度之间的关系。
例如，在抛物线运动中，导数可以用来描述物体在不同时间点的速度和加速度，从而可以预测物体的轨迹。
2. 经济学：导数在经济学中的应用非常广泛。
例如，在微观经济学中，导数可以用来描述供求关系、生产函数和成本函数。
在宏观经济学中，导数可以用来描述经济增长率、通货膨胀率和失业率等关键绩效指标。
3. 工程学：导数在工程学中的应用也非常广泛。
例如，在电力工程中，导数可以用来描述电流的变化率和电压的变化率，从而可以预测电路的性能。
在机械工程中，导数可以用来描述速度和加速度等关键参数，从而可以预测机械元件的性能。
4. 生物学：导数在生物学中的应用也很重要。
例如，在生物医学中，导数可以用来描述药物的代谢率和药物的效果，从而可以设计更有效的药物。
在生态学中，导数可以用来描述物种群的增长率和灭绝率，从而可以预测生态系统的稳定性和可持续性。
5. 计算机科学：导数在计算机科学中的应用也非常广泛。
例如，在计算机图形学中，导数可以用来定义曲线和曲面，从而可以绘制出复杂的图形。
在人工智能中，导数可以用来设计更高效的算法，例如反向传播算法用于神经网络的训练。
总之，导数在实际生活中有多种应用，涵盖了许多不同的领域，包括物理学、经济学、工程学、生物学和计算机科学。
了解导数的应用有助于我们更好地理解和应用微积分的原理。
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导数问题的六大热点导数部分内容，由于其应用的广泛性，为解决函数问题提供了一般性的方法及简捷地解决一些实际问题．因此在高考新课程卷中占有较为重要的地位，其考查重点是导数判断或论证单调性、函数的极值和最值，利用导数解决实际问题等方面，常以一小一大或二小一大的试题出现，分值12~17分．下面例析导数的六大热点问题，供参考．一、运算问题是指运用导数的定义、常见函数的导数、函数和差积商的导数，及复合函数、隐函数的导数法则，直接求出其导数的运算问题．例1已知n a ,0>为正整数.设1)(,)(--='-=n n a x n y a x y 证明．证明：因为nk knnC a x 0)(=∑=-k kn x a --)(，所以1()nn kk k y k a x--='=-∑nk n 0=∑=1111()()k n k k n n C a x n x a ------=-． 例2 ⑴ 已知y ＝(x ＋1)2，用定义法求y '． ⑵ 求y ＝2x 2－3x ＋4－232x x+的导数．⑶ 已知函数f (x )f '(1)＝2，求a 的值． 分析：对于⑴运用导数的定义，即y '＝0lim x yx∆→∆∆，即可解决；对于⑵可应用(u ±v )'＝v＋u 以及1()'x xααα-=解之；对于⑶是逆向型的复合函数导数运算问题，用'''x u x y y u =•及方程思想即可解决．解析：⑴ y '＝0lim x yx ∆→∆∆＝2200(1)(1)limlim(22)x x x x x x x x∆→∆→+∆+-+=++∆∆＝2x ＋2． ⑵ 由法则，即得y '＝4x －3＋2334x x -． ⑶ ∵()f x '＝21(ax 2－1)12-•2ax ，即f '(1)＝a (a －1)12-＝2，解得a ＝2．二、切线问题是指运用导数的几何意义或物理意义，解决瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等三类问题．特别是求切线的斜率、倾斜角及切线方程问题，其中：⑴ 曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的斜率k ，倾斜角为θ，则tan θ＝k ＝0()f x '． ⑵ 其切线l 的方程为：y ＝y 0＋0()f x '(x －x 0)．若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))的切线平行于y 轴(即导数不存在)时，由切线定义知，切线方程为x ＝x 0． 例3 已知0>a ，函数),0(,1)(+∞∈-=x x ax x f ．设ax 201<<，记曲线)(x f y =在点))(,(11x f x M 处的切线为l ． ⑴ 求l 的方程；⑵ 设l 与x 轴交点为)0,(2x ．证明： ①ax 102≤<； ②若a x 11<，则ax x 121<<． ⑴ 解：求)(x f 的导数：2'1)(xx f -=，由此得切线l 的方程： )(1)1(1211x x xx ax y --=--． ⑵ 证明：依题意，切线方程中令y ＝0，ax ax x x ax x x 20)2()1(1111112<<-=+-=，其中. ① 由a a x a x x ax x x a x 1)1(,0),2(,2021221121+--=>-=<<及有 a x a x a x 11,10212==≤∴时，当且仅当〈.②ax x ax x x ax a x 1)2(112111211<>-=<<，且由①，，因此，时，当ax x 121<<所以．例4设0>a ，c bx ax x f ++=2)(，曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处切线的倾斜角的取值范围是]4,0[π，则P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围是（A ）]1,0[a（B ）]21,0[a （C ）|]2|,0[a b （D ）|]21|,0[ab - 解：()f x '＝2ax ＋b ，故点))(,(00x f x P 处切线斜率k ＝2ax 0＋b ＝tan θ∈[0，1]，于是点P 到对称轴x ＝－2b a 的距离d ＝|x 0－(－2b a )|＝022ax b a +∈]21,0[a，故选(B)．三、单调性问题一般地，设函数y ＝f (x )在某个区间内可导．如果f '(x )＞0，则f (x )为增函数；如果f '(x )＜0，则f (x )为减函数．单调性是导数应用的重点内容，主要有四类问题：①运用导数判断单调区间； ②证明单调性； ③已知单调性求参数；④先证明其单调性，再运用单调证明不等式等问题．例5 设a ＞0，x x eaa e x f +=)(是R 上的偶函数． （I ）求a 的值；（II ）证明)(x f 在（0，+∞）上是增函数。
(Ⅰ) 解：依题意,对一切x ∈R 有f (x )=f (-x )，即x x x x ae ae e a a e +=+1，所以0)1)(1(=--x x ee a a 对一切x ∈R 成立 由此得到01=-aa ，即12=a 又因为0>a ，所以1=a(Ⅱ)证明：由xxe e xf -+=)(得 )1()(2-=-='--x x xxe e e e x f当x ∈(0，+∞)时，有0>-x e ，012>-x e 此时0)(>'x f ，所以)(x f 在(0，+∞)是增函数.评注：对于第(Ⅱ)问是证明函数的单调性，虽然可利用函数单调性定义直接证明，但对f (x 1)－f (x 2)的变形要求较高，技巧性强，且运算量大，是一种“巧法”；而利用导数法，简捷明快，也成了“通法”．四、极值问题即运用导数解决极值问题．一般地，当函数f (x )在x 0处连续，判别f (x 0)为极大(小)值的方法是：⑴ 如果在x 0附近的左侧()f x '＞0，右侧()f x '＜0，那么f (x 0)是极大值． ⑵ 如果在x 0附近的左侧()f x '＜0，右侧()f x '＞0，那么f (x 0)是极小值．例6 函数y ＝1＋3x －x 3有( ) (A) 极小值－1，极大值1 (B) 极小值－2，极大值3 (C) 极小值－2，极大值2 (D) 极小值－1，极大值3分析：本题是求已知三次函数的极值问题，考虑运用导数先确定函数的单调性，再求其极值．解：由y '＝3－3x 2＝0，得x ＝1或x ＝－1．当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，y '＜0． 当x ∈(－1，1)时，y '＞0．因此函数y ＝1＋3x －x 3在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，即x ＝－1是极小值点，x ＝1是极大值点．所以极小值为－1，极大值为3，故选(D)． 五、最值问题运用导数求最大(小)值的一般步骤如下： 若f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，则⑴ 求()f x '，令()f x '＝0，求出在(a ，b )内使导数为0的点及导数不存在的点． ⑵ 比较三类点：导数不存在的点，导数为0的点及区间端点的函数值，其中最大者便是f (x )在[a ，b ]上的最大值，最小者便是f (x )在[a ，b ]上的是小值．例7 求函数f (x )＝x 4－2x 2＋5在[－2，2]上的最大值与最小值．解： ()f x '＝4x 3－4x ，令()f x '＝0，解得x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1，均在(－2，2)内． 计算f (－1)＝4，f (0)＝5，f (1)＝4，f (－2)＝13，f (2)＝13． 通过比较，可见f (x ) 在[－2，2]上的最大值为13，最小值为4．六、应用问题例8 用总长14.8m 的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.分析：本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识．解：设容器底面短边长为x m ，则另一边长为()0.5x + m ，高为()14.8440.5 3.224x x x --+=-．由3.220x ->和0x >，得0 1.6x <<， 设容器的容积为3ym ，则有()()0.5 3.22y x x x =+- ()0 1.6x <<．即322 2.2 1.6y x x x =-++， 令0y '=，有26 4.4 1.60x x -++=，即2151140x x --=，解得11x =，2415x =-（不合题意，舍去）.当x ＝1时，y 取得最大值，即max 2 2.2 1.6 1.8y =-++=， 这时，高为3.221 1.2-⨯=.答：容器的高为1.2m 时容积最大，最大容积为31.8m ．。