2014年普通高等学校招生全国统一考试_大纲全国_数学(理)
2014年(大纲全国卷)数学(理科) 高考真题及答案解析
函数是( ).
A.y=g(x) B.y=g(-x) C.y=-g(x) D.y=-g(-x)
【答案】D
【解析】因为函数 y=f(x)的图像与函数 y=g(x)的图像关于直线 x+y=0 对称,
而函数图像与其反函数的图像关于直线 y=x 对称,
所以这两个函数的反函数图像也关于直线 x+y=0 对称.
设函数 y=f(x)的反函数图像上任一点 P(x,y),
62
是
.
【答案】(-∞,2]
4
【解析】f(x)=cos 2x+asin x=1-2sin2x+asin x.
令 t=sin x,∵x∈
π,π
62
,∴t∈
1 2
,1
,
∴g(t)=1-2t2+at=-2t2+at+1
1 2
<
t
<
1
,
由题意知2×(-2)
≤
1 ,∴a≤2,
2
∴a 的取值范围为(-∞,2].
11.(2014 大纲全国,理 11)已知二面角α-l-β为 60°,AB⊂α,AB⊥l,A 为垂足,CD⊂β,C∈l,∠ACD=135°,则
异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为( ).
A.1
B. 2
C. 3
D.1
4
4
4
2
【答案】B
【解析】如图,在平面α内过 C 作 CE∥AB,
则∠ECD 为异面直线 AB 与 CD 所成的角或其补角,
【答案】C
【解析】∵a=sin 33°,b=cos 55°=sin 35°,c=tan 35°=csoins3355°°, ∴csoins3355°°>sin 35°>sin 33°. ∴c>b>a,选 C.
2014年高考全国卷1理科数学试题及标准答案-(word版)
2０14年普通高等学校招生全国统一考试全国课标1理科数学注意事项：1． 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分。
答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮搽干净后,再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.３. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,答在本试题上无效.4． 考试结束,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一.选择题：共12小题，每小题５分，共６0分。
在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。
1． 已知集合A ＝｛x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x <2=,则A B ⋂= A .[-2,-1] B .[-1,２) C .[-1,1］ D ．[1，２)２. 32(1)(1)i i +-＝ A ．1i + B ．1i - C .1i -+ D .1i --3. 设函数()f x ，()g x 的定义域都为R,且()f x 时奇函数,()g x 是偶函数，则下列结论正确的是 A .()f x ()g x 是偶函数 B .|()f x ｜()g x 是奇函数C .()f x ｜()g x ｜是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数4. 已知F 是双曲线C :223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 A .3 B ．３ C .3m D .3m5. ４位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D .78６． 如图,圆O 的半径为1，A 是圆上的定点,P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为７. 执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203B .165C .72D .1588. 设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈,且1sin tan cos βαβ+=，则 A .32παβ-= B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+= 9． 不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题:1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥,3P :(,),23x y D x y ∀∈+≤,4p :(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A ．2p ,3PB .1p ,4pC .1p ,2pD .1p ，3P10. 已知抛物线C :28y x =的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个焦点,若4FP FQ =,则||QF =A .72B .52C .３D .2 11. 已知函数()f x =3231ax x -+,若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0,则a 的取值范围为A .(２,＋∞)B ．(-∞，-2）C .(1，+∞）D .(-∞，-1)12． 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为A .62B .42C .6D .4第Ⅱ卷。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．学科网在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N =A. {0,1}B. {1,0,2}-C. {1,0,1,2}-D. {1,0,1}-2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z=A. 34i -+B. 34i --C. 34i +D. 34i -3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值学科网和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.5B.6C.7D.84．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A. 焦距相等 B. 实半轴长相等 C. 虚半轴长相等 D. 离心率相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1） 6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，学科网为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则学科网下面结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。
2014年高考理科数学全国卷2(含答案解析)
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷2）理科数学使用地区：海南、宁夏、黑龙江、吉林、新疆、云南、内蒙古、青海、贵州、甘肃、西藏注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|(1)4,}M x x x =-<∈R ,{1,0,1,2,3}N =-,则MN = ( )A .{0,1,2}B .{1,0,1,2}-C .{1,0,2,3}-D .{0,1,2,3} 2.设复数z 满足(1i)2i z -=,则z =( )A .1i -+B .1i --C .1i +D .1i -3.等比数列{}n a 的前n 项和为n S .已知32110S a a =+,59a =,则1a =( )A .13B .13-C .19D .19-4.已知m ,n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足l m ⊥,l ⊥n ,l α⊄,l β⊄,则( )A .αβ∥且l α∥B .αβ∥且l β⊥C .α与β相交,且交线垂直于lD .α与β相交,且交线平行于l5.已知5(1)(1)ax x ++的展开式中的2x 的系数为5,则a = ( )A .4-B .3-C .2-D .1-6.执行如图的程序框图,如果输入的10N =,则输出的S = ( ) A .11112310++++B .11112!310++++！！C .11112311++++ D .11112311++++！！！7.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为( )8.设3log 6a =,5log 10b =,7log 14c =,则( )A .c b a >>B .b a c >>C .a c b >>D .a b c >>9.已知0a >,x ,y 满足约束条件1,3,(3).x x y y a x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥若2z x y =+的最小值为1,则a = ( )A .14B .12C .1D .210.已知函数32()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是( )A .0x ∃∈R ,0()0f x =B .函数()y f x =的图象是中心对称图形C .若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减D .若0x 是()f x 的极值点,则0()0f x '=11.设抛物线C :22(0)y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,||5MF =.若以MF 为直径的圆过点(0,2),则C 的方程为( )A .24y x =或28y x =B .22y x =或28y x =C .24y x =或216y x = D .22y x =或216y x =12.已知点(1,0)A -,(1,0)B ,(0,1)C ,直线(0)y ax b a =+>将ABC △分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是( )A .(0,1)B .21(1,)22-C .21(1,]23-D .11[,)32第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD =________. 14.从n 个正整数1,2,,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为114,则n =________.15.设θ为第二象限角,若π1tan()42θ+=,则sin cos θθ+=________. 16.等差数列{}n a 的前n 项和为n S .已知100S =,1525S =,则n nS 的最小值为________.三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）ABC △在内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知cos sin a b C c B =+.（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2b =,求ABC △面积的最大值. 18.（本小题满分12分） --------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________如图,直棱柱111ABC A B C -中,D ,E 分别是AB ,1BB 的中点,122AA AC CB AB ===. （Ⅰ）证明：1BC ∥平面1A CD ； （Ⅱ）求二面角1D AC E --的正弦值.19.（本小题满分12分）经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t 该产品获利润500元,未售出的产品,每1t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品.以X (单位：t ,100150X ≤≤)表示下一个销售季度内的市场需求量,T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. （Ⅰ）将T 表示为X 的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率；（Ⅲ）在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量[100,110)X ∈,则取105X =,且105X =的概率等于需求量落入[100,110)的频率),利润T 的数学期望.20.（本小题满分12分）平面直角坐标系xOy 中,过椭圆M :22221(0)x y a b a b+=>>右焦点的直线30x y +-=交M 于A ,B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12.（Ⅰ）求M 的方程；（Ⅱ）C ,D 为M 上的两点,若四边形ABCD 的对角线CD AD ⊥,求四边形ABCD 面积的最大值.21.（本小题满分12分）已知函数()e ln()xf x x m =-+.（Ⅰ）设0x =是()f x 的极值点,求m ,并讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）当2m ≤时,证明:()0f x >.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做，则按做的第一题积分.作答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲如图,CD 为ABC △外接圆的切线,AB 的延长线交直线CD 于点D ,E ,F 分别为弦AB 与弦AC 上的点,且BC AE DC AF =,B ,E ,F ,C 四点共圆.（Ⅰ）证明：CA 是ABC △外接圆的直径；（Ⅱ）若DB BE EA ==,求过B ,E ,F ,C 四点的圆的面积与ABC △外接圆面积的比值.23.（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程已知动点P ,Q 都在曲线C ：2cos ,2sin x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）上,对应参数分别为=t α与=2t α(02π)α<<,M 为PQ 的中点.（Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程；（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点.24.（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲设a ,b ,c 均为正数,且1a b c ++=.证明： （Ⅰ）13ab bc ca ++≤；（Ⅱ）2221a b c b c a++≥.2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷2）理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】解不等式2(14)x -<，得13x <<-，即|13{}M x x =<<-，而1,0,1,,3{}2N =-，所以0,}2{1,M N =，故选A ．【提示】求出集合M 中不等式的解集，确定出M ，找出M 与N 的公共元素，即可确定出两集合的交集．【考点】集合的基本运算（交集），解一元二次不等式． 2.【答案】A【解析】2i 2i 1i 22i 1i 1i 1i 21+i z (+)-+====-(-)(+)-． 【提示】根据所给的等式两边同时除以1i -，得到z 的表示式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到结果． 【考点】复数代数形式的四则运算． 3.【答案】C【解析】设数列{}n a 的公比为q ，若1q =，则由59a =，得19a =，此时327S =，而219+109a a =，不满足题意，因此1q ≠.∵1q ≠时，33111(1)1+10a S a a q q q --==，∴3+0111q qq =--，整理得29q =.（步骤1） ∵4519a a q ==，即1819a =，∴119a =．（步骤2） 【提示】设等比数列{}n a 的公比为q ，利用已知和等比数列的通项公式即可求出． 【考点】等比数列的通项和前n 项和． 4.【答案】D【解析】因为m α⊥，l m ⊥，l α⊄，所以l α∥．同理可得l β∥．又因为m ，n 为异面直线，所以α与β相交，且l 平行于它们的交线．故选D ．【提示】由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．【考点】直线与平面的位置关系． 5.【答案】D【解析】因为5(1+)x 的二项展开式的通项为5C 0)5(r rr r x ≤≤∈Z ，，则含x 2的项为221552C +C )0+5(1x ax x a x =，所以10+55a =，1a =-.【提示由题意利用二项展开式的通项公式求得展开式中2x 的系数为221552C +C )0+5(1x ax x a x =，由此解得a 的值．【考点】二项式定理 6.【答案】B【解析】由程序框图知，当1k =，0S =，1T =时，1T =，1S =；当2k =时，12T =，11+2S =； 当k =3时，123T =⨯，111+223S =+⨯；当k =4时，1234T =⨯⨯，1111+223234S =++⨯⨯⨯；；（步骤1）当k =10时，123410T =⨯⨯⨯⨯，1111+2!3!10!S =+++，k 增加1变为11，满足k N >，输出S ，所以B 正确．（步骤2）【提示】从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能． 【考点】循环结构的程序框图． 7.【答案】A【解析】如图所示，该四面体在空间直角坐标系O －xyz 的图象为下图：第7题图则它在平面zOx 上的投影即正视，故选A ．【提示】由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx 平面为投影面，则得到正视图即可． 【考点】空间直角坐标系，三视图． 8.【答案】D【解析】根据公式变形，lg6lg 21lg3lg3a ==+，lg10lg 21lg5lg5b ==+，lg14lg 21lg 7lg 7c ==+，因为lg 7lg 5g 3l >>，所以lg2lg2lg2lg7lg5lg3<<，即c b A <<．故选D ． 【提示】利用log ()log log (0)a a a xy x y x y =+>、，化简a ，b ，c 然后比较3log 2，5log 2，7log 2大小即可．【考点】对数函数的化简和大小的比较． 9.【答案】B【解析】由题意作出1,3x x y ≥⎧⎨+≤⎩所表示的区域如图阴影部分所示，作直线2+1x y =，因为直线2+1x y =与直线1x =的交点坐标为(1,)1-，结合题意知直线(3)y a x =-过点(1,)1-，代入得12a =，所以12a =．第9题图【提示】先根据约束条件画出可行域，设2z x y =+，再利用z 的几何意义求最值，只需求出直线2zx y=+过可行域内的点B 时，从而得到a 值即可． 【考点】二元线性规划求目标函数的最值．10.【答案】C【解析】由于2()32f x x ax b '=++是二次函数，()f x 有极小值点0x ，必定有一个极大值点1x ，若10x x <，则()f x 在区间0(,)x -∞上不单调递减，C 不正确．【提示】利用导数的运算法则得出()00f x '∆>∆≤，分与讨论，即可得出． 【考点】利用导数求函数的极值． 11.【答案】C【解析】设点M 的坐标为00(,)x y ，由抛物线的定义，得052|+MF x p ==|，则052x p =-．（步骤1）又点F 的坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以以MF 为直径的圆的方程为00+0()()2p x y x x y y ⎛⎫⎪-- ⎝⎭-=.（步骤2）将0x =，2y =代入得00+840px y -=，即02+2480y y -=，所以04y =. 由0202y px =，得16252p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解之得2p =，或8p =.（步骤3）所以C 的方程为24y x =或216y x =．故选C ．【提示】已知抛物线焦点到抛物线上点的线段的距离和以这条线段为直径的圆上的一点，求出抛物线的方程．【考点】抛物线的定义和抛物线的标准方程． 12.【答案】B【解析】根据题意画出图形，如图（1），由图可知，直线BC 的方程为1x y +=．由1,,x y y ax b +=⎧⎨=+⎩解得1,11b a b M a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭． 可求()0,N b ，,0b D a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．直线y ax b =+将△ABC 分割为面积相等的两部分，∴12S S =△△BDM ABC ．又12BOC ABC S S =△△，CMN ODN S S ∴=△△，即111(1)221b b b b a a -⎛⎫⨯-⨯=-⨯ ⎪+⎝⎭．整理得22(1)1b b a a -=+． 22(1)1b ab a-+∴=，11b ∴-=，11b =即b =，可以看出，当a 增大时，b 也增大．当a →+∞时，12b →，即12b <．当0a →时，直线+y ax b =接近于y b =．当y b =时，如图（2），2222(1)112CDM ABC S CN b S CO -===△△．1b ∴-1b =1b ∴>-． 由上分析可知1122b -<<，故选B ．第12题图（1） 第12题图（2）【提示】已知含有参数的直线将三角形分割为面积相等的两部分和点的坐标，求出参数的取值范围．【考点】函数单调性的综合应用．第Ⅱ卷二、填空题 13.【答案】2【解析】以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A 的坐标为(0,0)，点B 的坐标为(2,0)，点D 的坐标为(0,2)，点E 的坐标为(1,2)，则1(),2AE =，)2(2,BD =-，所以2AE BD =．第13题图【提示】结合几何的关系，求出向量的数量积． 【考点】平面向量的数量积运算． 14.【答案】8【解析】从1，2，…，n 中任取两个不同的数共有2C n 种取法，两数之和为5的有(1,4)，(2,3)2种，所以221C 14n =，即24111142n n n n ==(-)(-)，解得8n =.【提示】列出从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数的所有取法种数，求出和等于5的种数，根据取出的两数之和等于5的概率为114列式计算n 的值． 【考点】古典概型，排列组合的应用．15.【答案】 【解析】由π1tan 1tan 41tan 2θθθ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，得tan 13θ=-，即1s 3in cos θθ-=．（步骤1）将其代入22sin +cos 1θθ=，得210cos 19θ=．因为θ为第二象限角，所以10cos θ-=0in 1s θ=，sin +cos 5θθ=-．（步骤2）【提示】已知等式利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出tan θ的值，再根据θ为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出sin cos θθ与的值，即可求出sin cos θθ+的值．【考点】两角和与差的正切，同角三角函数的基本关系． 16.【答案】49-【解析】设数列{}n a 的首项为a 1，公差为d ，则110110910+210+450S a d d a =⨯==，① 1151151415215+10525a d a d S =⨯==+.②（步骤1） 联立①②，得13a =-，23d =，所以2(1)211032333n n n n n n S -=-+⨯=-．（步骤2）令()n f n nS =，则32110()33f n n n =-，220()3f n n n '=-．令()0f n '=，得0n =或203n =．（步骤3）当203n >时，()0f n '>，200<<3n 时，()0f n '<，所以当203n =时，()f n 取最小值，而n ∈N ＋，则(6)48f =-，(7)49f =-，所以当7n =时，()f n 取最小值－49.（步骤4）【提示】已知等差数列前10项和与前15项和，求出n 与前n 项和乘积的最小值． 【考点】等差数列的前n 项，利用导数求函数的最值． 三、解答题 17.【答案】（1）π4（2【解析】（1）由已知及正弦定理得sin sin cos +sin sin A B C C B =．①又()+A B C π=-，故sin sin +sin cos +co )s i (s n A B C B C B C ==．②由①，②和π()0,C ∈得sin cos B B =，即tan 1B =，又π()0,B ∈，所以π4B =．（步骤1） （2）△ABC的面积1sin 2S ac B ==． 由已知及余弦定理得22π2cos 44+ac a c =-．（步骤2）又22+2a c ac ≥，故ac ≤，当且仅当a c =时，等号成立．因此△ABC．（步骤3）【提示】（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，求出tan B 的值，由B 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B 的度数；（2）利用三角形的面积公式表示出三角形ABC 的面积，把sin B 的值代入，得到三角形面积最大即为ac 最大，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出ac 的最大值，即可得到面积的最大值．【考点】正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，两角和与差的正弦． 18.【答案】（1）连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点． 又D 是AB 中点，连结DF ，则1BC DF ∥．因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD ．（步骤1） （2）由AC CB AB ==，得AC BC ⊥ 以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz ．设2CA =，则()1,1,0D ，()0,2,1E ，12,()0,2A ，(1),1,0CD =，(0),2,1CE =，12,0,2()CA =． 设111,(),n x y z =是平面A 1CD 的法向量，则10,0,n CD n CA ⎧=⎪⎨=⎪⎩即1111+0,2+20.x y x z =⎧⎨=⎩ 可取1),(,11n =--．（步骤2）同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，则10,0,m CE m CA ⎧=⎪⎨=⎪⎩可取2,1(),2m =-．（步骤3）从而3cos ,3||||n m m n n m <>==，故6sin ,3m n <>= 即二面角D －A 1C －E ．（步骤4）第18题图（1）【提示】（1）通过证明1BC 平行平面1ACD 内的直线DF ，利用直线与平面平行的判定定理证明11BC ACD 平面∥ （2）．由AC CB AB ==，得AC BC ⊥以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz ．设2CA =，111,(),n x y z =是平面A 1CD 的法向量，同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，由3cos ,3||||n m m n n m <>==，故6sin ,3m n <>=【考点】直线与平面的判定，空间直角坐标系，空间向量及其运算．19.【答案】（1）80039000,100130,65000,130150.X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩ （2）0.7（3）59400【解析】（1）当100[),130X ∈时，50030013()080039000T X X X =--=-，当130[],150X ∈时，50013065000T =⨯=. 所以80039000,10013065000,130150X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩（步骤1）（2）由（1）知利润T 不少于57000元当且仅当120150X ≤≤.由直方图知需求量120[],150X ∈的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7（步骤2）（3所以450000.1+530000.2+610000.3+650000.459400ET =⨯⨯⨯⨯=.（步骤3）【提示】（1）由题意先分段写出，当100[),130X ∈时，当130[],150X ∈时，和利润值，最后利用分段函数的形式进行综合即可．（2）由（1）知，利润T 不少于57000元，当且仅当120150X ≤≤再由直方图知需求量120[],150X ∈的频率为0.7，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T 不少于57000元的概率的估计值．（3）利用利润T 的数学期望=各组的区间中点值x 该区间的频率之和即得．【考点】频率分布直方图，分段函数的模型，离散型随机变量的数学期望．20.【答案】（1）22163x y +=（2 【解析】（1）设11(),A x y ，22(),B x y ，00(),P x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，21211y y x x -=--，由此可得22121221211b x x y y a y y x x (+)-=-=(+)-． 因为120+2x x x =，120+2y y y =，0012y x =，所以222a b =（步骤1）又由题意知，M的右焦点为，故223a b -=. 因此26a =，23b =.所以M 的方程为22163x y +=．（步骤2） （2）由220,1,63x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩因此||AB =．（步骤3） 由题意可设直线CD的方程为3y x n n ⎛=+-<< ⎝，设33(),C x y ，44(),D x y ．由22,163y x n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得223+4+260x nx n -=.于是3,4x （步骤4） 因为直线CD 的斜率为1，所以43|||x x CD - 由已知，四边形ACBD 的面积186||||29S CD AB ==．当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为．所以四边形ACBD ．（步骤5）【提示】（1）把右焦点(,0)c 代入直线可解得C ．设11(),A x y ，22(),B x y ，线段AB 的中点00(),P x y ，利用“点差法”即可得到a ，b 的关系式，再与222a bc =+联立即可得到a ，b ，c ．（2）把直线0x y +=与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长||AB ，由CD AB ⊥，可设直线CD 的方程为y x n =+，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长||CD ．利用1||||2ACBD S AB CD =四边形即可得到关于n 的表达式，利用二次函数的单调性即可得到其最大值．【考点】椭圆的方程、椭圆的简单几何性质、点差法的应用和直线与椭圆的位置关系． 21.【答案】（1）1()e x f x x m=-+． 由0x =是()f x 的极值点得(0)0f '=，所以1m =.于是ln +)1(()xf e x x =-，定义域为()1,+-∞，1()e 1xf x x =-+．（步骤1）函数1()e 1x f x x =-+在()1,+-∞单调递增，且(0)0f '=.因此当,0()1x ∈-时，()0f x '<； 当+()0,x ∈∞时，()0f x '>.所以()f x 在()1,0-单调递减，在(0,+)∞单调递增．（步骤2）（2）当2m ≤，,()+x m ∈-∞时，l ()()n +ln +2x m x ≤，故只需证明当2m =时，()0f x >. 当2m =时，函数1()e 2x f x x =-+在()2,+-∞单调递增． 又1()0f '-<，(0)0f '>，故()0f x '=在()2,+-∞有唯一实根x 0，且0)0(1,x ∈-．（步骤3） 当2+(),x ∈-∞时，()0f x '<；当0(),+x x ∈∞时，()0f x '>，从而当0x x =时，()f x 取得最小值．由0()0f x '=得001e 2x x =+，00ln +2()x x =-，故200000()()+11022f x f x x x x x ≥)=+++=(>. 综上，当2m ≤时，()0f x >.（步骤4）【提示】（1）求出原函数的导函数，因为0x =是函数()f x 的极值点，由极值点处的导数等于0求出m 的值，代入函数解析式后再由导函数大于0和小于0求出原函数的单调区间； （2）证明当2m ≤时，()0f x >，转化为证明当2m =时()0f x >求出当2m =时函数的导函数，可知导函数在(2,)-+∞上为增函数，并进一步得到导函数在(1,0)-上有唯一零点0x ，则当0x x =时函数取得最小值，借助于0x 是导函数的零点证出0()0f x >，从而结论得证． 【考点】利用导数求函数的单调区间和极值，利用导数解决不等式问题． 22.【答案】（1）因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以DCB A ∠=∠，由题设知BC DCFA EA=，故CDB AEF △∽△，所以DBC EFA ∠=∠．（步骤1）因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以CFE DBC ∠=∠，故90EFA CFE ∠=∠=︒．所以90CBA ∠=︒，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．（步骤2）（2）连结CE ，因为90CBE ∠=︒，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由DB BE =，有CE DC =，又222BC DB BA DB ==，所以222 2.4+6CA DB BC DB ==而2223DC DB D CE DA B ===，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12． （步骤3）第22题图【提示】（1）已知CD 为ABC △外接圆的切线，利用弦切角定理可得DCB A ∠=∠，及BC DCFA EA=，可知CDB AEF △∽△，于是DBC EFA ∠=∠．利用B 、E 、F 、C 四点共圆，可得CFE DBC ∠=∠，进而得到90EFA CFE ∠=∠=︒即可证明CA 是ABC △外接圆的直径；（2）要求过B 、E 、F 、C 四点的圆的面积与ABC △外接圆面积的比值．只需求出其外接圆的直径的平方之比即可．由过B 、E 、F 、C 四点的圆的直径为CE ，及DB BE =，可得CE DC =，利用切割线定理可得222BC DB BA DB ==，222 2.4+6CA DB BC DB ==，都用DB 表示即可．【考点】弦切角，圆内接四边形的性质．23.【答案】（1）cos cos 2,sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩0()2παα<<为参数， （2）d (02π)α<< M 的轨迹过坐标原点【解析】（1）依题意有2cos (n )2si P αα，，2cos2,2si 2()n Q αα，因此cos +cos2,sin +i ()s n2M αααα．M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩0()2παα<<为参数，．（步骤1）（2）M 点到坐标原点的距离d =(02π)α<<．当πα=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．（步骤2）【提示】（1）根据题意写出P ，Q 两点的坐标：2cos (n )2si P αα，，2cos2,2si 2()n Q αα，再利用中点坐标公式得PQ 的中点M 的坐标，从而得出M 的轨迹的参数方程；（2）利用两点间的距离公式得到M 到坐标原点的距离d 证当πα=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点． 【考点】参数方程，轨迹方程．24.【答案】（1）由22+2b a ab ≥，22+2b c bc ≥，22+2c a ca ≥，得222++++a b c ab bc ca ≥．（步骤1）由题设得21)++(a b c =，即222+++2+2+21a b c ab bc ca =.所以3+(+)1ab bc ca ≤，即1++3ab bc ca ≤．（步骤2） （2）因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a+≥，故222(++(2))a b c a b c a b c b c a +++++≥，（步骤3）即222++a b c a c a c b b ++≥． 所以2221a b c b c a++≥（步骤4）【提示】（1）依题意，由21)++(a b c =，即222+++2+2+21a b c ab bc ca =，利用基本不等式可得3+(+)1ab bc ca ≤，从而得证；（2）利用基本不等式可证得：22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥，三式累加即可证得结论．【考点】不等式证明，均值不等式．。
2014年高考理科数学大纲卷-答案
【考点】两直线的夹角与到角问题
16.【答案】
【解析】 ，令 ，则原函数为
∵ 时分 减函数，则 在 上是减函数，
∵ 的图象开口向下，且对称轴方程为 ∴ ，解得： ，
所以a的取值范围是
【提示】给出三角函数解析式且给出单调区间求解析式未知量的取值范围
【考点】三角函数，单调函数
【考点】离散型随机变量的期望与方差，相互独立事件的概率乘法公式
21.【答案】（1）
（2） 或
【解析】（1）设 ，代入由 中得 ，所以 ， ，由题设得 ，解得 （舍去）或
所以C的方程为
（2）依题意知直线 与坐标轴不垂直，故可设直线 的方程为 ， 代入 中得 ，
设 ， ，则 ， ，故AB的中点为 ，
，有直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ，将上式代入 中，并整理得 .设 ， ，
3.【答案】C
【解析】 ，故有 故选C
【提示】给出三个三角函数比较大小
【考点】三角函数的单调性
4.【答案】B
【解析】因为 ，所以 即 因为 即 又因为 所以 ，即 因为 ，所以 ，
【提示】给出约束条件求向量
【考点】向量的基本运算.
5.【答案】C
【解析】从6名男医生中选出2名有 种不同选法，从5名女医生种选出1名有 种不同选法，根据分布计数乘法原理可得，组成的医疗小组共有 种不同选法
【解析】约束条件的可行域如图 所示当目标函数过点A（1，1）时， 取最大值
【提示】给出约束条件，应用数行结合思想画出不等式组所表示的平面区域，求出线性目标函数的最大值
【考点】简单线性规划
15.【答案】
【解析】已知圆的圆心 ，半径 ，则 与 的距离为 ．
院校资料-2014年普通高等学校招生全国统一考试(新课标1) 理科数学 解析版
2014年普通高等学校招生全国统一考试(新课标1) 理科数学解析版2014年普通高等学校招生全国统一考试（课标I 卷）数学（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}22|,032|22．=-+23)1()1(i i （）A. i +1 B. i -1 C. i +-1 D. i --13．设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（）A ．)()(x g x f 是偶函数B ．)(|)(|x g x f 是奇函数C.．|)(|)(x g x f 是奇函数D ．|)()(|x g x f 是奇函数【答案】C 【解析】试题分析：设()()()H x f x g x =，则()()()H x f x g x -=--，因为)(x f 是奇函数，)(x g是偶函数，故()()()()H x f x g x H x -=-=-，即|)(|)(x g x f 是奇函数，选C ．【考点定位】函数的奇偶性．4．已知F 为双曲线C :)0(322>=-m m my x 的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（） A.3 B. 3 C. m 3 D. m 35．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（） A ．81 B ．83 C ．85 D ．876．如图，图O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数)(x f ，则],0[)(π在x f y =的图像大致为（）【答案】C 【解析】7．执行右面的程序框图，若输入的k b a ,,分别为1，2，3，则输出的M=（） A. 320 B.27 C.516 D.815【答案】D 【解析】试题分析：程序在执行过程中，1,2,3a b k ===，1n =；1331,2,b ,2222M a n =+====；28382,,b ,33323M a n =+====；3315815,,b ,428838M a n =+====，程序结束，输出158M =．【考点定位】程序框图．8．设(0, ),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则（）（A ）32παβ-= （B ）32παβ+=（C ）22παβ-=（D ）22παβ+=【答案】C 【解析】9.不等式组1,24,x y x y +≥??-≤?的解集为D,有下面四个命题：1:(x,y)D,x 2y 2p ?∈+≥-，2:(x ,y )D ,x 2y 2 p ?∈+≥，3:(x,y)D,x 2y 3p ?∈+≤ 4:(x ,y ) D ,x 2y 1p ?∈+≤-，其中的真命题是（）A ．23,p pB ．12,p pC ．13,p pD ．14,p p10．已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 得一个焦点，若FQ PF 4=，则=QF （） A.27 B. 3 C. 25D. 2 【答案】B【答案】C 【解析】试题分析：当0a =时，2()31f x x =-+，函数()f x 有两个零点3和3-，不满足题意，舍去；当0a >时，'2()36f x ax x =-，令'()0f x =，得0x =或2x a=．(,0)x ∈-∞时，'()0f x >；2(0,)x a ∈时，'()0f x ∈+∞时，'()0f x >，且(0)0f >，此时在(,0)x ∈-∞必有零点，故不满足题意，舍去；当0a ∈-∞时，'()0f x 2(,0)x a∈时，'()0f x >；(0,)x ∈+∞时，'()0f x ，要使得()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，只需2()0f a>，即24a >，则2a 考点：1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性．12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）（A ）（B ）6 （C ）（D ）4【考点定位】三视图．第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．()()8x y x y -+的展开式中27x y 的系数为________.（用数字填写答案）【答案】20-【解析】试题分析：由题意，8()x y +展开式通项为8k k18C y k k T x -+=，08k ≤≤．当7k =时，777888T C xy xy ==；当6k =时，626267828T C x y x y ==，故()()8x y x y -+的展开式中27x y 项为726278(y)2820x xy x y x y ?+-?=-，系数为20-．【考点定位】二项式定理．14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过C B A ,,三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市. 丙说：我们三个去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为__________【解析】试题分析：由2=a ，且()C b c B A b s i n )()s i n (s i n 2-=-+，故(ab )(s i n A s +-=-，又根据正弦定理，得(a b)()(c b)a b c +-=-，化简得，22b c a bc +-=，故222b c a 1cosA 2bc 2+-==，所以0A 60=，又22b c 4bc bc +-=≥，故1S bcsinA 2BAC ?=≤ 【考点定位】1、正弦定理和余弦定理；2、三角形的面积公式．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数，（I ）证明：2n n a a λ+-=；（II ）是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由.所以21n a n =-，12n n a a +-=．因此存在4λ=，使得{}n a 为等差数列．【考点定位】1、递推公式；2、数列的通项公式；3、等差数列．（18）（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(新课标Ⅰ,含解析)
2014年高招全国课标1（理科数学解析版）第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={}22x x -≤<，则A B ⋂=A .[-2,-1]B .[-1,2）C .[-1,1]D .[1,2）【答案】：A【解析】：∵A={x |2230x x --≥}={}13x x x ≤-≥或，B={}22x x -≤<，∴A B ⋂={}21x x -≤≤，选A..2.32(1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i --【答案】：D【解析】：∵32(1)(1)i i +-=2(1)12i i i i +=---，选D..3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数【答案】：C【解析】：设()()()F x f x g x =，则()()()F x f x g x -=--，∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴()()()()F x f x g x F x -=-=-，()F x 为奇函数，选C.4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A B .3 C D .3m【答案】：A【解析】：由C ：223(0)x my m m -=>，得22133x y m -=，233,c m c =+设)F，一条渐近线y x =，即0x =，则点F 到C 的一条渐近线的距离d =A. .5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18 B .38 C .58 D .78【答案】：D【解析】：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有4216=种，周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况：①一天一人一天三人有11428C A =种；②每天2人有246C =种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为867168+=；或间接解法：4位同学都在周六或周日参加公益活动有2种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1627168-=；选D.6.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为【答案】：B【解析】：如图：过M 作MD ⊥OP 于Ｄ，则 PM=sin x ，OM=cos x ,在Rt OMP ∆中，MD=cos sin 1x xOM PM OP =cos sin x x =1sin 22x =，∴()f x 1sin 2(0)2x x π=≤≤，选B. .7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203 B .165 C .72 D .158【答案】：D【解析】：输入1,2,3a b k ===；1n =时：1331,2,222M a b =+===； 2n =时：28382,,3323M a b =+===；3n =时：3315815,,28838M a b =+===；4n =时：输出158M = . 选D.8.设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则 A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=【答案】：Ｂ【解析】：∵sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，∴sin cos cos cos sin αβααβ=+ ()sin cos sin 2παβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，,02222ππππαβα-<-<<-<∴2παβα-=-，即22παβ-=，选B9.不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3PB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3P【答案】：C【解析】：作出可行域如图：设2x y z +=，即122zy x =-+，当直线过()2,1A -时，min 220z =-+=，∴0z ≥，∴命题1p 、2p 真命题，选C.10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =A .72 B .52C .3D .2 【答案】：C【解析】：过Q 作QM ⊥直线L 于M ，∵4FP FQ = ∴34PQPF =，又344QM PQ PF ==，∴3QM =，由抛物线定义知3Q F Q M== 选C11.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）【答案】：B【解析1】：由已知0a ≠，2()36f x ax x '=-，令()0f x '=，得0x =或2x a=， 当0a >时，()22,0,()0;0,,()0;,,()0x f x x f x x f x a a ⎛⎫⎛⎫'''∈-∞>∈<∈+∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 且(0)10f =>，()f x 有小于零的零点，不符合题意。
2014年普通高等学校招生全国统一考试辽宁卷理科数学(2014年辽宁省高考理科数学)
2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(理科)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集U ＝R ，A ＝{x|x ≤0}，B ＝{x|x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝( ). A ．{x|x ≥0} B ．{x|x ≤1} C ．{x|0≤x ≤1} D ．{x|0<x<1} 答案：D解析：∵A ∪B ＝{x|x ≤0或x ≥1}，∴∁U (A ∪B )＝{x|0<x<1}.故选D ． 2.设复数z 满足(z ﹣2i)(2﹣i)＝5，则z ＝( ). A ．2＋3i B ．2﹣3i C ．3＋2i D ．3﹣2i 答案：A解析：∵(z ﹣2i)(2﹣i)＝5，∴z ﹣2i ＝52﹣i.∴z ＝2i ＋52﹣i＝2i ＋5(2＋i )(2﹣i )(2＋i )＝2i ＋2＋i ＝2＋3i .故选A ．3.已知a ＝2﹣13，b ＝log 213，c ＝lo g 1213，则( ).A ．a>b>cB ．a>c>bC ．c>a>bD ．c>b>a答案：C 解析：∵0<a ＝2﹣13<20＝1，b ＝log 213<log 21＝0，c ＝lo g 1213>lo g 1212＝1，∴c>a>B ．故选C ．4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面.下列说法正确的是( ). A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α 答案：B解析：对A ：m ，n 还可能异面、相交，故A 不正确.对C ：n 还可能在平面α内，故C 不正确.对D ：n 还可能在α内，故D 不正确.对B ：由线面垂直的定义可知正确.5.设a ，b ，c 是非零向量.已知命题p ：若a ·b ＝0，b·c ＝0，则a·c ＝0;命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，则下列命题中真命题是( ). A ．p ∨q B ．p ∧q C ．( p )∧( q )D ．p ∨( q )答案：A解析：对命题p 中的a 与c 可能为共线向量，故命题p 为假命题.由a ，b ，c 为非零向量，可知命题q 为真命题.故p ∨q 为真命题.故选A ．6.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ). A ．144 B ．120 C ．72 D ．24 答案：D 解析：插空法.在已排好的三把椅子产生的4个空档中选出3个插入3人即可.故排法种数为A 43＝24.故选D ．7.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( ). A ．8﹣2π B ．8﹣π C ．8﹣π2 D ．8﹣π4答案：B解析：由三视图知，原几何体是棱长为2的正方体挖去两个底面半径为1，高为2的四分之一圆柱，故几何体的体积为8﹣2×π×2×14＝8﹣π.故选B ．8.设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ). A ．d<0 B ．d>0 C ．a 1d<0 D ．a 1d>0 答案：C解析：∵数列{2a 1a n }为递减数列，∴2a 1a n >2a 1an ＋1，n ∈N *，∴a 1a n >a 1a n ＋1，∴a 1(a n ＋1﹣a n )<0.∵{a n }为公差为d 的等差数列，∴a 1d<0.故选C ．9.将函数y ＝3sin (2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( ).A ．在区间[π12，7π12]上单调递减B ．在区间[π12，7π12]上单调递增C ．在区间[﹣π6，π3]上单调递减D ．在区间[﹣π6，π3]上单调递增 答案：B解析：设平移后的函数为f (x )，则f (x )＝3sin [2(x ﹣π2)＋π3]＝3sin (2x ＋π3﹣π)＝﹣3sin (2x ＋π3).令2k π﹣π2≤2x＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得f (x )的递减区间为[kπ﹣5π12，kπ＋π12]，k ∈Z ，同理得递增区间为[kπ＋π12，kπ＋7π12]，k ∈Z .从而可判断得B 正确.10.已知点A (﹣2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( ).A．12B．23C．34D．43答案：D解析：由题意可知准线方程x＝﹣p2＝﹣2，∴p＝4，∴抛物线方程为y2＝8x.由已知易得过点A与抛物线y2＝8x相切的直线斜率存在，设为k，且k>0，则可得切线方程为y﹣3＝k(x＋2).联立方程{y﹣3＝k(x＋2)，y2＝8x，消去x得ky2﹣8y＋24＋16k＝0.(*)由相切得Δ＝64﹣4k(24＋16k)＝0，解得k＝12或k＝﹣2(舍去)，代入(*)解得y＝8，把y＝8代入y2＝8x，得x＝8，即切点B的坐标为(8，8)，又焦点F为(2，0)，故直线BF的斜率为43.11.当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是().A．[﹣5，﹣3]B．[﹣6，﹣98]C．[﹣6，﹣2]D．[﹣4，﹣3]答案：C解析：∵当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2＋4x＋3≥0恒成立，即当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3≥x2﹣4x﹣3(*)恒成立.(1)当x＝0时，a∈R.(2)当0<x≤1时，由(*)得a≥x2﹣4x﹣3x3＝1x−4x2−3x3恒成立.设f(x)＝1x −4x2−3x3，则f'(x)＝﹣1x2＋8x3＋9x4＝﹣x2＋8x＋9x4＝﹣(x﹣9)(x＋1)x4.当0<x≤1时，x﹣9<0，x＋1>0，∴f'(x)>0，∴f(x)在(0，1]上单调递增.当0<x≤1时，可知a≥f(x)max＝f(1)＝﹣6.(3)当﹣2≤x<0时，由(*)得a≤1x −4x2−3x3.令f'(x)＝0，得x＝﹣1或x＝9(舍).∴当﹣2≤x<﹣1时，f'(x)<0，当﹣1<x<0时，f'(x)>0，∴f(x)在[﹣2，﹣1)上递减，在(﹣1，0)上递增.∴x∈[﹣2，0)时，f(x)min＝f(﹣1)＝﹣1﹣4＋3＝﹣2.∴可知a≤f(x)min＝﹣2.综上所述，当x∈[﹣2，1]时，实数a的取值范围为﹣6≤a≤﹣2.故选C．12.已知定义在[0，1]上的函数f(x)满足：①f(0)＝f(1)＝0;②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f(x)﹣f(y)|<12|x﹣y|.若对所有x，y∈[0，1]，|f(x)﹣f(y)|<k恒成立，则k的最小值为().A．12B．14C．12πD．18答案：B解析：不妨令0≤x<y≤1，则|f(x)﹣f(y)|<12|x﹣y|.法一：2|f(x)﹣f(y)|＝|f(x)﹣f(0)＋f(x)﹣f(y)﹣[f(y)﹣f(1)]|≤|f(x)﹣f(0)|＋|f(x)﹣f(y)|＋|f(y)﹣f(1)|<12|x﹣0|＋12|x ﹣y|＋12|y ﹣1|＝12x ＋12(y ﹣x )＋12(1﹣y )＝12，即得|f (x )﹣f (y )|<14，对所有x ，y ∈[0，1]，|f (x )﹣f (y )|<k 恒成立，只需k 大于|f (x )﹣f (y )|的最大值即可.故k ≥14.因此k 的最小值为14.法二：当|x ﹣y|≤12时，|f (x )﹣f (y )|<12|x ﹣y|≤14，当|x ﹣y|>12时，|f (x )﹣f (y )|＝|[f (x )﹣f (1)]﹣[f (y )﹣f (0)]|≤|f (x )﹣f (1)|＋|f (y )﹣f (0)|<12|x ﹣1|＋12|y ﹣0|＝12(1﹣x )＋12y ＝12＋12(y ﹣x )<14，对所有x ，y ∈[0，1]，|f (x )﹣f (y )|<k 恒成立，只需k 大于|f (x )﹣f (y )|的最大值即可.故k ≥14.因此k 的最小值为14.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13.执行右侧的程序框图，若输入x ＝9，则输出y ＝__________. 答案：299解析：输入x ＝9，则y ＝5，|y ﹣x|＝4>1，执行否，x ＝5，y ＝113，|y ﹣x|＝43>1，执行否，x ＝113，y ＝299，|y﹣x|＝49<1，执行是，输出y ＝299.14.正方形的四个顶点A (﹣1，﹣1)，B (1，﹣1)，C (1，1)，D (﹣1，1)分别在抛物线y ＝﹣x 2和y ＝x 2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是__________. 答案：23解析：由题意可知空白区域的面积为∫1﹣1[x 2﹣(﹣x 2)]d x ＝23x 3|﹣11＝43.又正方形的面积为4，∴阴影部分的面积为4﹣43＝83，∴所求概率为834＝23.15.已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN的中点在C 上，则|AN|＋|BN|＝__________. 答案：12 解析：如图，设MN 的中点为P ，则由F 1是AM 的中点，可知|AN|＝2|PF 1|.同理可得可知|BN|＝2|PF 2|. ∴|AN|＋|BN|＝2(|PF 1|＋|PF 2|).根据椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， ∴|AN|＋|BN|＝12.16.对于c>0，当非零实数a ，b 满足4a 2﹣2ab ＋4b 2﹣c ＝0且使|2a ＋b|最大时，3a−4b＋5c的最小值为__________. 答案：﹣2解析：要求|2a ＋b|最大值，只需求(2a ＋b )2的最大值.∵4a 2﹣2ab ＋4b 2﹣c ＝0，∴4a 2＋b 2＝c ＋2ab ﹣3b 2.∴(2a ＋b )2＝4a 2＋b 2＋4ab ＝c ＋2ab ﹣3b 2＋4ab ＝c ＋6ab ﹣3b 2＝c ＋3b (2a ﹣b )＝c ＋32·2b (2a ﹣b )≤c ＋32[2b ＋(2a ﹣b )2]2＝c ＋32(2a ＋b2)2，即(2a ＋b )2≤85c ，当且仅当2b ＝2a ﹣b ，即3b ＝2a 时取到等号，即(2a ＋b )2取到最大值. 故3b ＝2a 时，|2a ＋b|取到最大值.把3b ＝2a ，即b ＝2a3代入4a 2﹣2ab ＋4b 2﹣c ＝0，可得c ＝409a 2.∴3a −4b ＋5c ＝3a −423a＋5409a2＝3a −6a ＋98a 2＝98(1a 2﹣83a )＝98(1a ﹣43)2﹣2.∴当1a＝43时，3a−4b＋5c取到最小值﹣2.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a>C ．已知BA⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值;(2)cos(B ﹣C )的值.解：(1)由BA⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2，得c ·a cos B ＝2. 又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ． 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.解{ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2. 因a>c ，所以a ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中，sin B ＝√1﹣cos 2B ＝√1﹣(13)2＝2√23，由正弦定理，得sin C ＝cb sin B ＝23·2√23＝4√29. 因a ＝b>c ，所以C 为锐角， 因此cos C ＝√1﹣sin 2C ＝√1﹣(4√29)2＝79. 于是cos(B ﹣C )＝cos B cos C ＋sin B sin C＝13·79＋2√23·4√29＝2327. 18.(本小题满分12分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率; (2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E (X )及方差D (X ). 解：(1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，A 2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”.因此P (A 1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P (A 2)＝0.003×50＝0.15，P (B )＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X 可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为P (X ＝0)＝C 30·(1﹣0.6)3＝0.064， P (X ＝1)＝C 31·0.6(1﹣0.6)2＝0.288， P (X ＝2)＝C 32·0.62(1﹣0.6)＝0.432， P (X ＝3)＝C 33·0.63＝0.216.分布列为因为X~B (3，0.6)，所以期望E (X )＝3×0.6＝1.8，方差D (X )＝3×0.6×(1﹣0.6)＝0.72.19.(本小题满分12分)如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F 分别为AC ，DC 的中点. (1)求证：EF ⊥BC ;(2)求二面角E ﹣BF ﹣C 的正弦值.(1)证明：(方法一)过E 作EO ⊥BC ，垂足为O ，连OF ，由△ABC ≌△DBC 可证出△EOC ≌△FOC ．图1所以∠EOC ＝∠FOC ＝π2，即FO ⊥BC ． 又EO ⊥BC ，因此BC ⊥面EFO. 又EF ⊂面EFO ， 所以EF ⊥BC ．图2(方法二)由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系.易得B (0，0，0)，A (0，﹣1，√3)，D (√3，﹣1，0)，C (0，2，0)，因而E (0，12，√32)，F (√32，12，0)，所以，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√32，0，﹣√32)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，2，0)，因此EF⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0. 从而EF⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以EF ⊥BC ． (2)解：(方法一)在图1中，过O 作OG ⊥BF ，垂足为G ，连EG.由平面ABC ⊥平面BDC ，从而EO ⊥面BDC ． 又OG ⊥BF ，由三垂线定理知EG ⊥BF . 因此∠EGO 为二面角E ﹣BF ﹣C 的平面角.在△EOC 中，EO ＝12EC ＝12BC ·cos30°＝√32， 由△BGO ∽△BFC 知，OG ＝BOBC ·FC ＝√34，因此tan ∠EGO ＝EOOG＝2.从而sin ∠EGO ＝2√55，即二面角E ﹣BF ﹣C 正弦值为2√55. (方法二)在图2中，平面BFC 的一个法向量为n 1＝(0，0，1).设平面BEF 的法向量n 2＝(x ，y ，z ). 又BF⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√32，12，0)，BE⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，12，√32). 由{n 2·BF ⃗⃗⃗⃗ ＝0，n 2·BE⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0得其中一个n 2＝(1，﹣√3，1).设二面角E ﹣BF ﹣C 大小为θ，且由题意知θ为锐角，则cosθ＝|cos <n 1，n 2>|＝|n 1·n 2|n 1||n 2||5.因此sinθ＝√52√55，即所求二面角正弦值为2√55. 20.(本小题满分12分)圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图).双曲线C 1：x 2a 2−y 2b 2＝1过点P 且离心率为√3.(1)求C 1的方程;(2)椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点.若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程.解：(1)设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则切线斜率为﹣x 0y 0，切线方程为y ﹣y 0＝﹣x0y 0(x ﹣x 0)，即x 0x ＋y 0y＝4.此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S ＝12·4x 0·4y 0＝8x0y 0.由x 02＋y 02＝4≥2x 0y 0，知当且仅当x 0＝y 0＝√2时x 0y 0有最大值，即S 有最小值.因此点P 的坐标为(√2，√2).由题意知{2a 2﹣2b 2＝1，a 2＋b 2＝3a 2.解得a 2＝1，b 2＝2.故C 1方程为x 2﹣y 22＝1.(2)由(1)知C 2的焦点坐标为(﹣√3，0)，(√3，0)，由此设C 2的方程为x 23＋b 12＋y 2b 12＝1，其中b 1>0.由P (√2，√2)在C 2上，得23＋b 12＋2b 12＝1，解得b 12＝3.因此C 2方程为x 26＋y 23＝1.显然，l 不是直线y ＝0.设l 的方程为x ＝my ＋√3，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由{x ＝my ＋√3，x 26＋y 23＝1得(m 2＋2)y 2＋2√3my ﹣3＝0. 又y 1，y 2是方程的根，因此{y 1＋y 2＝﹣2√3mm 2＋2， ①y 1y 2＝﹣3m 2＋2.②由x 1＝my 1＋√3，x 2＝my 2＋√3，得{x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2√3＝4√3m 2＋2， ③x 1x 2＝m 2y 1y 2＋√3m (y 1＋y 2)＋3＝6﹣6m 2m 2＋2.④因为AP⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√2﹣x 1，√2﹣y 1)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√2﹣x 2，√2﹣y 2). 由题意知AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0， 所以x 1x 2﹣√2(x 1＋x 2)＋y 1y 2﹣√2(y 1＋y 2)＋4＝0.⑤将①，②，③，④代入⑤式整理，得 2m 2﹣2√6m ＋4√6﹣11＝0. 解得m ＝3√62﹣1或m ＝﹣√62＋1.因此直线l 的方程为x ﹣(3√62﹣1)y ﹣√3＝0或x ＋(√62﹣1)y ﹣√3＝0. 21.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(cos x ﹣x )(π＋2x )﹣83(sin x ＋1)，g (x )＝3(x ﹣π)cos x ﹣4(1＋sin x )ln (3﹣2x π).证明：(1)存在唯一x 0∈(0，π2)，使f (x 0)＝0;(2)存在唯一x 1∈(π2，π)，使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1<π.证明：(1)当x ∈(0，π2)时，f'(x )＝﹣(1＋sin x )(π＋2x )﹣2x ﹣23cos x<0，函数f (x )在(0，π2)上为减函数.又f (0)＝π﹣83>0，f (π2)＝﹣π2﹣163<0， 所以存在唯一x 0∈(0，π2)，使f (x 0)＝0.(2)考虑函数h (x )＝3(x ﹣π)cosx 1＋sinx ﹣4ln (3﹣2πx)，x ∈[π2，π].令t ＝π﹣x ，则x ∈[π2，π]时，t ∈[0，π2]. 记u (t )＝h (π﹣t )＝3tcost 1＋sint﹣4ln (1＋2πt)，则u'(t )＝3f (t )(π＋2t )(1＋sint ).由(1)得，当t ∈(0，x 0)时，u'(t )>0.当t∈(x0，π2)时，u'(t)<0.在(0，x0)上u(t)是增函数.又u(0)＝0，从而当t∈(0，x0]时，u(t)>0.所以u(t)在(0，x0]上无零点.在(x0，π2)上u(t)为减函数，由u(x0)>0，u(π2)＝﹣4ln2<0，知存在唯一t1∈(x0，π2)，使u(t1)＝0.所以存在唯一的t1∈(0，π2)，使u(t1)＝0.因此存在唯一的x1＝π﹣t1∈(π2，π)，使h(x1)＝h(π﹣t1)＝u(t1)＝0.因为当x∈(π2，π)时，1＋sin x>0，故g(x)＝(1＋sin x)h(x)与h(x)有相同的零点，所以存在唯一的x1∈(π2，π)，使g(x1)＝0，因为x1＝π﹣t1，t1>x0，所以x0＋x1<π.请考生在第22，23，24三题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22.(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径;(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED．证明：(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD．由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA．又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA，所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PF A．由于AF⊥EP，所以∠PF A＝90°.于是∠BDA＝90°.故AB是直径.(2)连接BC，DC．由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而Rt△BDA≌Rt△ACB．于是∠DAB＝∠CBA．又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC ∥AB ．由于AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角.于是ED 为直径.由(1)得ED ＝AB ．23.(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C ．(1)写出C 的参数方程;(2)设直线l ：2x ＋y ﹣2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得{x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 12＋y 12＝1，得x 2＋(y 2)2＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1. 故C 的参数方程为{x ＝cost y ＝2sint(t 为参数). (2)由{x 2＋y 24＝1，2x ＋y ﹣2＝0，解得{x ＝1，y ＝0，或{x ＝0，y ＝2. 不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为(12，1)，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y ﹣1＝12(x ﹣12)， 化为极坐标方程，并整理得2ρcosθ﹣4ρsinθ＝﹣3，即ρ＝34sinθ﹣2cosθ.24.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲设函数f (x )＝2|x ﹣1|＋x ﹣1，g (x )＝16x 2﹣8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N.(1)求M ;(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14.解：(1)f (x )＝{3x ﹣3，x ∈[1，＋∞)，1﹣x ，x ∈(﹣∞，1)，当x ≥1时，由f (x )＝3x ﹣3≤1得x ≤43，故1≤x ≤43;当x<1时，由f (x )＝1﹣x ≤1得x ≥0，故0≤x<1.所以f (x )≤1的解集为M ＝{x |0≤x ≤43}.(2)证明：由g (x )＝16x 2﹣8x ＋1≤4，得16(x ﹣14)2≤4，解得﹣14≤x ≤34.因此N＝{x|﹣14≤x≤34}.故M∩N＝{x|0≤x≤34}.当x∈M∩N时，f(x)＝1﹣x，于是x2f(x)＋x·[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]＝x·f(x)＝x(1﹣x)＝14−(x﹣12)2≤14.。
2014年普通高等学校招生全国统一考试四川理科数学试题及答案解析(Word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）一. 选择题1. 已知集合2{|20},A x x x B =--≤集合为整数集，则A B =（ A ）A ．{-1,0,1,2} B.{-2,-1,0,1} C.{0,1} D.{-1,0} 2.在6(1)x x +的展开式中，含3x 的系数的为（ C ） A ．30 B.20 C.15 D.10 解析：即求6226(1)15x x C +=中的系数为.3.为了得到函数sin(21)y x =+的图像，只需把函数sin 2y x =的图像上所有的点（ A ）A.向左平移12个单位长度 B.向右平移12个单位长度C.向左平移1个单位长度D.向右平移1个单位长度解析：1sin(21)=sin 2()2y x x =++，将sin 2y x =向左平移12个单位长度. 4.若0,0,a b c d >><<则一定有（ D ）A.a b c d > B. a b c d < C. a b d c > D. a b d c<解析：（1）特殊值法：取2,1,2,1a b c d ===-=-即可； （2）利用不等式的性质：110,0,c d c d d c<<∴->->->- 又0,0,a b a ba b d c d c >>∴->->∴<5.执行如图的程序框图，如果输入的,x y R ∈， 那么输出的S 的最大值为（ C ） A ．0 B.1C ．2 D.3解析：本题将程序框图和线性规划结合起来，有一定的新颖性，摆脱了传统的线性规划考题模式，关键是能够理解程序框图表达的含义，将原题转化为：已知001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，求解2S x y =+的最大值. 作图易知，S 在(1,0)处取得最大值2.6.六个人从左自右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法有（ B ） A ．192种 B. 216种 C ．240种 D.288种 解析：由甲，乙的位置分两种情况：（1）最左端排甲，有5!120=种；（2）最左端排乙，有44!96⨯=种. 共120+96=216种. 7.平面向量(1,2),(4,2),a b c ma b ===+，且c a c b 与的夹角等于与的夹角，则m=（ D ） A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析：==a cb cc a c b a b⋅⋅⇔与的夹角与的夹角 8.在正方体1111ABCD A BC D -中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BDαα的夹角为，则sin 的取值范围是（ B ）A.3B. 3C.3D. [,1]3结束输出S S=1S=2x+y否是x≥0，y≥0,x+y≤1？输入x,y开始C解析：设棱长为1，则11111AC AC AO OC OC =====所以1111111cos ,sin 333AOC AOC AOC AOC ====. 9.已知()ln(1)ln(1),(1,1)f x x x x =+--∈-. 现有下列命题： ①()()f x f x -=-；②22()2()1xf f x x=+；③()2f x x ≥ 其中所有的正确命题序号是（ C ）A. ①②③B. ②③C. ①③D. ①② 解析：①()()f x f x -=-显然成立；②左边22()1xf x+中的x 只是不能为1，右边()f x 中的(1,1)x ∈-，故不对；③由于左右两边均为偶函数，只需判断()2,(0,1)f x x x ≥∈即可， 记()()2,(0,1)g x f x x x =-∈，则22'()20,(0,1)1g x x x =->∈-，故()(0)0g x g >=，于是③成立.10.已知F 为抛物线2y x =的焦点，点,A B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=. 则ABO AFO ∆∆与面积之和的最小值是 A ．2 B.3D.10 解析：由题意得22112211221(,0),(,),(,),,,4F A x y B x y y x y x ==设则由2OA OB ⋅=得，22121212122x x y y y y y y +=+=，于是1221y y =-或，又点,A B 位于x 轴的两侧，故122y y =-. 所以2212211122111111122428ABO AFO S S x y x y y y y y y y ∆∆+=⨯-+⨯⨯=-+12111111121293888y y y y y y y y =-+=++=+≥. 注：已知原点1122,(,),(,)O A x y B x y ，设过点A ，B 的直线斜率为k ，则 直线AB 为211121()y y y x x y x x -=-+-，所以1112122122111222ABOx y S x x y x yx y ∆=-=-=. 二．填空题11.复数221ii-=+2i-12.设()f x是定义在R上的周期为2的函数，当[1,1)x∈-时，242,10,(),01,x xf xx x⎧-+-≤<=⎨≤<⎩则3()2f=113.从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的府角分别是67,30，此时气球的高度是46m，则河流的宽度BC约等于60 m(四舍五入将结果精确到个位.参考数据：sin670.92,cos670.39,sin370.60,cos37 1.73≈≈≈≈≈) 解析：解三角形的实际问题，利用正弦定理即可.14.设m R∈，过定点A的动直线0x my+=和过定点B的动直线30mx y m--+=交于点(,)P x y，则PA PB⋅的最大值是 5解析：由题意得(0,0),(1,3)A B，消去m得P点方程为：2230x y x y+--=上，所以点P 在以AB为直径的圆上，且PA PB⊥，故222522PA PB ABPA PB+⋅≤==.15.以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数()xϕ组成的集合：对于函数()xϕ，存在一个正数M，使得函数()xϕ的值域包含于区间[,]M M-. 例如，当312(),()sinx x x xϕϕ==时，12(),()x A x Bϕϕ∈∈. 现有如下命题①设函数()f x的定义域为D，则“()f x A∈”的充要条件是“,,()b R a D f a b∀∈∃∈=”；②函数()f x B∈的充要条件是()f x有最大值和最小值；③若函数(),()f xg x的定义域相同，且(),(),f x Ag x B∈∈则()()f xg x B+∉；④若函数2()ln(2)(2,)1xf x a x x a R x =++>-∈+有最大值，则()f x B ∈. 其中证明题有_________________________解析：①集合A 的特点是：函数是满射；②()x ϕ一定有上下确界，不一定有最值； ③正确；④要使函数()f x 取到最大值，则必有0a =，故2()1xx B x =∈+. 三．解答题16.已知函数()sin(3)4f x x π=+（1）求()f x 的单调递增区间； （2）若α是第二象限角，4()cos()cos 2,cos sin 354f απαααα=+-求的值. 解：（1）由232242k x k πππππ-≤+≤+得()f x 的单调递增区间为：22[,],34312k k k Z ππππ-+∈；（2）由4()cos()cos 2354f απαα=+得4sin()cos()cos 2454ππααα+=+整理得25(cos sin )4αα-=，又α是第二象限角，所以cos sin 0αα-<，故cos sin 2αα-=-. 17.击鼓游戏规则如下，每盘游戏都需要击鼓三次，没次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获10分，出现2次音乐获20分，出现三次音乐获100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得-200分）. 设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立. (1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； （2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发. 若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少. 请运用概率统的相关知识分析分数减少的原因.解析：（1）X 的可能取值为-200，10，20，100，所以X 的分布列为(2) 至少有一盘出现音乐的概率是311()8-=511512； （3）54EX =-，说明获得分数X 的均值为负，因此多次游戏后分数减少的可能性更大. 18.三棱锥A BCD -及其侧视图，俯视图如图所示. 设,M N 分别为线段,AD AB 的中点，P 为线段BC 上的点，且MN NP ⊥.俯视图11侧视图1BC（1）证明：P 是线段BC 的中点； （2）求二面角A NP M --的余弦值.519.设等差数列{}n a 的公差为d,点(,)n n a b 在函数()2xf x =的图像上（*n N ∈） （1）若12a =-，点87(,4)a b 在函数()f x 的图像上，求数列{}n a 的前n 项和n S ； （2）若11a =，函数()f x 的图像在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln 2-，求数列{}n nab 的前n 项和n T . 解析： 点(,)n n a b 在函数()2xf x =的图像上，∴ 2n an b =（1）点87(,4)a b 在函数()f x 的图像上，∴8742ab =，即872722a a b -==，所以87872,2a a d a a -==-=，故{}22n a -是首项为，公差为的等差数列.因此，2(1)2232n n n S n n n -=-+⨯=-； （2）由'()2ln 2xf x =得，函数()f x 的图像在点22(,)a b 处的切线为：2222ln 2()a y x a b =-+，其在x 轴上的截距为：22221122ln 2ln 2ln 2a b a a -=-=-， 所以22a =，故{}11n a 是首项为，公差为的等差数列，=,2n n n a n b =由=2n n n a nb 得，12311231++++22222n n n n n T --=⋅⋅⋅+ ①234111231++++222222n n n n nT +-=⋅⋅⋅+ ② ①-②得，12311111[1()]11111222++12222222212n n n n n n n n n T +++-+=+⋅⋅⋅+-=-=-- 所以222n n nT +=-.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的的一个端点构成正三角形，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设F 是椭圆C 的左焦点， T 为直线x=-3上任意一点，过F 做TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ，（i ）证明：OT 平分线段PQ ；（ii ）当TP PQ最小时，求点T 的坐标.解析：（1）由题意得24,c a ==，解得a b ==所以椭圆C 的标准方程为：22162x y +=；21.已知函数2()1x f x e ax bx =---，其中,a b R ∈（1）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]的最小值； （2）若(1)0f =，函数()f x 在区间（0,1）内有零点，求a 的取值范围. 解：（1）()'()2,[0,1],'()2xxg x f x e ax b x g x e a ==--∈=-则 当0a ≤时，'()0g x >，min ()(0)1g x g b ==-； 当0a >时，令'()0g x =得ln 2x a =,(i)当10ln 202a a <≤≤时，，()g x 在[0,1]上单调递增， min ()(0)1g x g b ==-；（ii ）当1ln 2122ea a <<<<时，0，()g x 在[0,ln 2]a 上单调递减，在[ln 2,1]a 上单调递增，所以min ()(ln 2)2(ln 2)g x g a ab a a ==--； （iii ）当ln 212ea a ≥≥时，，()g x 在[0,1]上单调递减，所以 min ()(1)2g x g e a b ==--.综上所述，min11,21()2(ln 2),222,2b a e g x a b a a a e e a b a ⎧-≤⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩（2）由(1)0f =得，1b e a =--注意到(0)(1)0f f ==，()f x 在区间[0,1]内连续， (i)当102a <≤时，min ()120g x b a e =-=+-<；。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(四川卷,含答案)
2014年普通高等学校招生全国统一考试理科（四川卷）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ⋂= A ．{1,0,1,2}- B ．{2,1,0,1}-- C ．{0,1} D ．{1,0}- 【答案】A【解析】{|12}A x x =-≤≤，B Z =，故A B ⋂={1,0,1,2}- 2．在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为 A ．30 B ．20 C ．15 D ．10 【答案】C【解析】含3x 项为24236(1)15x C x x ⋅=3．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上 所有的点 A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 【答案】A【解析】因为1sin(21)sin[2()]2y x x =+=+，故可由函数sin 2y x =的图象上所有的点向左平行移动12个单位长度得到4．若0a b >>，0c d <<，则一定有 A ．a b c d > B ．a b c d < C ．a b d c > D ．a b d c< 【答案】D【解析】由1100c d d c<<⇒->->，又0a b >>，由不等式性质知：0a b d c ->->，所以a bd c< 5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【解析】当001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，函数2S x y =+的最大值为2.6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 A ．192种 B ．216种 C ．240种 D ．288种 【答案】B【解析】当最左端为甲时，不同的排法共有55A 种；当最左端为乙时，不同的排法共有14C 44A 种。