1.1-菱形的性质与判定(1)菱形的性质作业课件(含答案)
【初中数学++】菱形的性质与判定分层+课件+北师大版九年级数学上册
定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
符号语言： ∵四边形ABCD是平行四边形 AB=BC
∴四边形ABCD是菱形
D
A
O
C
B
想一想
菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四 边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗？
菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线 互相平分，是中心对称图形。
菱形还具有哪些特殊的性质？请你与同伴交 流。
演绎证明
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD, 对角线AC与BD相交于点O.
求证：（1）AB=BC=CD=AD； （2）AC⊥BD.
结论：
菱形是特殊的平行四边形，它除具有 平行四边形的所有性质外，还有平行四边 形所没有的特殊性质：
定理 菱形的四条边都相等。 定理 菱形的两条对角线互相垂直。
检验效果：
做一做
请同学们用菱形纸片折 一折，回答下列问题：
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几 条对称轴？
（2）对称轴之间有什么位置关系？ 结论：菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是菱 形两条对角线所在的直线。两条对称轴互相垂直。
做一做
（3）通过折叠发现，菱形中有哪些相等的线段？ 结论：菱形的邻边相等，对边相等，四条边都相等。
第一章 特殊平行四边形
1.1.1菱形的性质与判定
教学目标：1.理解菱形的概念及其与平行四边形的关系． 2．体会菱形的轴对称性，利用折纸等活动探索菱形的性质．
复习引入
1.什么叫平行四边形？它有哪些性质和判定？ 2.如果平行四边形的一组邻边相等，会出
现一个什种平行四边形 特殊在哪里？你能给菱形下定义吗？ 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
课堂练习（C班）
4.已知：菱形ABCD中，AC=6，BD=8 求：AB的长
1.1 菱形的性质与判定(一).1 菱形的性质与判定(1)课件
如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么 这个平行四边形成为怎样的四边形？
定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形
AB=BC ABCD
．
四边形ABCD是菱形
想一想
菱形是特殊的平行四边形， 它具有一般平行四边形的所有性质。你 能列举一些这样的性质吗？
菱形的对边平行且相等，对角相 等，对角线互相平分。
§1.1
菱形的性质与判定
菱形
情 景 创 设
前面我们学习了平行 四边形，如果从边的角 度,将平行四边形特殊化, 让它的一组邻边相等， 会得到什么特殊的四边 形呢?
在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅 改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程 中，哪些关系没变？哪些关系变了？
平行四边形 邻边相等
A B
D
菱形的性质2：
菱形的两条对角线互相垂 直平分，并且每一条对角 线平分一组对角。
C
性质1 菱形的四条边都相等。 性质2 菱形的两条对角线互相垂直。
已知：如图1-1，在菱形ABCD中，AB=AD, 对角线AC与BD相交于点O. 求证：（1）AB=BC=CD=AD； （2）AC⊥BD.
已知：如图1-1，在菱形ABCD 中，AB=AD,对角线AC与BD相交 于点O. 求证：（1）AB=BC=CD=AD； （2）AC⊥BD.
解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
AE
∴∠AED=900, DE
1 1 BD 10 5cm . 2 2 AD2 DE 2 132 52 12cm.
B
A
∴AC=2AE=2×12=24(cm). (2)菱形ABCD的面积=
1 BD AC 2 1 10 24 120 cm 2 . 2
1.菱形的性质与判定第1课时菱形的性质PPT课件(北师大版)
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2．如图，菱形ABCD的边长为4 cm，对角线AC，BD 交于O，∠BAD＝60°.求对角线AC，BD的长．
解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∵∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB＝4 cm ∴BO＝2 cm，∴AO＝2 3 cm，∴AC＝4 3 cm
第1课时 菱形的性质
第1课时 菱形的性质
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知识点3：对角线平分对角
【例3】如图，菱形ABCD中，O是对角线AC上一点，
连接OB，OD，求证：OB＝OD.
【例3】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，∠DAO＝∠BAO AD＝AB
在△ADO和△ABO中， ∠DAO＝∠BAO ， AO＝AO
∴△ADO≌△ABO(SAS)，∴OB＝OD.
第1课时 菱形的性质
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（一）基础呈现 菱形的定义：有一组邻边 相等 的 平行四边形 叫做 菱形． 菱形的性质 （1）菱形具有平行四边形的所有性质； （2）菱形不同于一般平行四边形的性质： ①四条边都 相等 ； ②两条对角线 垂直平分 ，并且每条对角线平分对角． ③菱形是轴对称图形，有 2 条对称轴．
（2）平行四边形的对角
相等
.
（3）平行四边形的对角线 互相平分 .
第1课时 菱形的性质
知识回顾
几何语言 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴（边）__如__A__B_＝__C_D_________________________； （角）____∠__A__＝__∠__C_________________________； （对角线）__O_A__＝__O_C_，__O__B_＝__O_D__等______________.
第1课时 菱形的性质
北师大版数学九年级上册1.1菱形的性质与判定课件(共17张PPT)
1
1
OB=OD= 2 BD = 2 ×6=3(菱形的对角线互相平分) 在等腰三角形ABC中，
A
O
C
∵∠BAD=60°， D
∴△ABD是等边三角形.
∴AB = BD = 6.
三、运用新知
在RtΔAOB中，由勾股定理，得
B
OA 2 +OB 2=AB 2，
O
∴OA = AB2 OB2 = 62 32= 3 3 .
∴CB=CD， CA平分∠BCD.
∴∠BCE=∠DCE.
又 CE=CE，
C
∴△BC E≌△COB（SAS）.
B F
E
A
∴∠CB E=∠CDE.
D
∵在菱形ABCD中，AB∥CD，
∴∠AFD=∠FDC.
∴∠AFD=∠CBE.
五、归纳小结
1. 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2. 菱形的性质：①菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在 的直线；
观察 发现
观察下列图中的这些平行四边形，你能发现它 们有什么样的共同特征？
一、创设情境，引入新知
菱形的定义： 与一般的平行四边形相比较，这种平行四边形特殊在
哪里？你能给菱形下定义吗？
平行四边形
菱形
菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形的性质：
二、合作交流，探究新知
想一想: 1. 菱形与平行四边形有什么关系？
二、合作交流，探究新知 32 C.
对称轴之间有什么位置关系？ 求证：∠AFD=∠CBE.
为BC，CD的中点，那么∠EAF 的度数是（ ） 菱形中已知边长或对角线，求相关长度问题，一般利用菱形的对角线垂直平分，再结合勾股定理解题. ∴AB = BD = 6.
北师版九年级上册数学作业课件(BS) 第一章 特殊平行四边形 菱形的性质与判定 第2课时 菱形的判定
知识点三： 四边相等的四边形是菱形 7．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能 得到四边形ABCD是菱形的依据是( B )
A.一组邻边相等的四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
8．(兰州中考)如图，AC＝8，分别以A，C为圆心，以长度5为半径作弧， 两条弧分别相交于点B和D.依次连接点A，B，C，D，连接BD交AC于 点O. (1)判断四边形ABCD的形状并说明理由； (2)求BD的长．
北师版
第一章 特殊平行四边形
1．1 菱形的性质与判定
第2课时 菱形的判定
知识点一：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 1．如图，要使▱ABCD成为菱形，下列添加的条件正确的是( B ) A．AC＝AD B．BA＝BC C．∠ABC＝90° D．AC＝BD
2 ． 如 图 ， 在 ▱ ABCD 中 ， AE 是 ∠ DAB 的 平 分 线 ， 且 交 BC 于 点 E ， EF∥AB交AD于点F，则四边形ABEF一定是__菱__形___．
10．如图，已知点E，F，G，H分别是任意四边形ABCD中AD，BD， BC ， AC 的 中 点 ， 当 四 边 形 ABCD 的 边 至 少 满 足 条 件 ： ______A_B_＝__C__D_(_答__案__不__唯__一__)_________时，四边形EFGH是菱形．
11．(教材P9“随堂练习”T2变式)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°， 点D，E分别是边BC，AB的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE， 连接CE，AF. (1)求证：AF＝CE； (2)当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF的形状，并说明理由．
北师大版九年级上册1.1菱形的性质与判定(第1课时)课件
结
定理(对角线的性质): 菱形的对角线互相
垂直.
所有对角线互相垂直的四边形的面积都 等于其两条对角线乘积的一半.
教学过程
分层作业
课
第一层：第4页习题1、2题.
后
巩
第二层：第4页习题1、2、3、4题.
固
教学过程
结 束
感谢聆听
新
课
定理(对角线的性质): 菱形的对角线互相垂直. 有两条对称轴，它们互相垂直.
将△ABO沿点A到点C的方向平移, 通过上面的折纸活动，我们可以发现：
已知：如图 ，在菱形 ABCD 中，AB = AD，对角线 AC 与 BD 相交于点O.
精 得到△A'B'O'.当点A'与点C重合 定理(边的性质): 菱形的四条边相等. 析 时,点A与点B'之间的距离为 如图,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC=4,BD=16,将△ABO沿点A到点C的方向平移,得到△A'B'O'.
A
授 （2)AC⊥BD.
B
O
C
D
教学过程
证一证
用菱形纸片折一折，回答下列问题：
你能列举一些这样的性质吗？
菱形的四条边相等，对角线互相垂直.
证明：（1）∵四边形 ABCD 是菱形， 定理(边的性质): 菱形的四条边相等.
通过上面的折纸活动和证明，菱形有如下的性质： （2）菱形中有哪些相等的线段？
新 ∴AB=CD，AD=BC（菱形的对边相等）. 定理(边的性质): 菱形的四条边相等.
新 对称图形.
授
定理(边的性质): 菱形的四条边相等.
定理(对角线的性质): 菱形的对角线互相
垂直.
《菱形的性质》PPT课件
平行四边形
邻边相等
菱形
定义：
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
菱形是特殊的平行四边形， 平行四边形不一定是菱形
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？ 根据上述方法动手试试吧！
平行四边形的性质又是从哪几方面来探究的呢？
边 角 对角线
对称性 面积
两组对边平行且相等 对角相等；邻角互补
1.每一条对角线 不平分 一组对角 2.两条对角线互相平分 中心对称图形：对称中心是两条对角线的交点
底×高
情景引入
欣赏下面图片，图片中的图形是你熟悉的吗？它们和 平行四边形有哪些不同之处？
讲授新课
那么线段CD的长是( A )
A.4
B.8
C.12
D.16
6.如图1-1-3,P是菱形ABCD的对角线BD上一点,PE⊥AB于点
E,PE=5 cm,则点P到BC的距离是 5cm .
7.菱形的两条对角线长分别是10和24,则此菱形的周长是( D )
A.15
B.20
C.36
D.52
8.菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形的面积是( B )
归纳总结
有一组邻边相等的平行四边形是菱形ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
边 角 对角线
对称性 面积
两组对边平行且相等 对角相等；邻角互补
1.每一条对角线 不平分 一组对角 2.两条对角线互相平分 中心对称图形：对称中心是两条对角线的交点
底×高
在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图形(如图）， 并回答以下问题:
北师大九上数学菱形的性质和判定课堂讲义及练习(含答案)
1.1菱形的性质和判定【菱形的性质】1．菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.符号语言：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，∴四边形ABCD是菱形 .温馨提示：①菱形必须满足两个条件:一是平行四边形;二是一组邻边相等；②菱形是特殊的平行四边形,即当一个平行四边形满足一组邻边相等时,该平行四边形是菱形,不能错误地认为有一组邻边相等的四边形就是菱形；③菱形的定义既提供了菱形的基本性质,也提供了基本判定方法。
2.菱形的性质（1）菱形具有平行四边形的所有性质.（2）菱形的四条边都相等.（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.（4）菱形是轴对称图形,它有两条对称轴,对角线所在直线就是它的对称轴.菱形又是中心对称图形,对角线的交点为对称中心.菱形中相等的线段：AB = CD = AD = BC．OA = OC ，OB = OD．菱形中相等的角：∠AOB = ∠DOC = ∠AOD = ∠BOC = 90°．∠ADC=∠ABC．∠DAB=∠DCB∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4，∠5 = ∠6 = ∠7 = ∠8．菱形中的全等三角形：全等的等腰三角形有：，全等的直角三角形有：点拨：有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决(转化思想).温馨提示：①菱形具有平行四边形的一切性质；②“菱形的对角线互相垂直”这一性质可用来证明两条线段互相垂直,“菱形的每一条对角线平分一组对角”这一性质可用来证明角相等；③菱形的两条对角线分菱形为四个全等的直角三角形。
1、下列四边形中不一定为菱形的是（）A. 对角线相等的平行四边形B. 对角线平分一组对角的平行四边形C. 对角线互相垂直的平行四边形D. 用两个全等的等边三角形拼成的四边形2.如图,菱形的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD的周长是。
3.菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，则它的周长和面积分别为（）A. 28、48B.20、24C.28、24D.20、484.如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠B：∠BCD=1：2，则对角线AC等于（）A. 5B. 10C. 15D. 205.如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为( )A. 2B. 2C. 4D. 4第2题第3题第4题第5题6.如图，已知四边形ABCD是菱形，DE⊥AB，DF⊥BC，求证：△ADE≌△CDF．7.如图，已知E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF ．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若四边形AECF是菱形，且BC=10，∠BAC=90°，求BE的长．8.如图，在菱形ABCD中，AC和BD相交于点O，过点O的线段EF与一组对边AB，CD分别相交于点E，F．（1）求证：AE=CF；（2）若AB=2，点E是AB中点，求EF的长．【菱形的判定】1. 菱形的判定定理（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 .（3）四边相等的四边形是菱形 .①证明一个四边形是菱形,一般情况下,先证明它是一个平行四边形,然后要么证明“一组邻边相等”,要么证明“对角线互相垂直”.若要直接证明一个四边形是菱形,只要证明“四条边相等”即可；②对角线互相垂直平分的四边形是菱形；③对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。
1.菱形的性质与判定第2课时 菱形的判定PPT课件(北师大版)
第2课时 菱形的判定
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变式训练 1.如图，CE是△ABC外角∠ACD的平分线，AF∥CD 交CE于点F，FG∥AC交CD于点G. 求证：四边形ACGF是菱形． 证明：∵AF∥CD，FG∥AC， ∴四边形ACGF是平行四边形，∠2＝∠3， ∵CE平分∠ACD，∴∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3，∴AC＝AF， ∴四边形ACGF是菱形．
，
∠EOD＝∠FOB
∴△DOE≌△BOF(ASA)；∴OE＝OF，又∵OB＝OD，
∴四边形EBFD是平行四边形， ∵EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形．
第2课时 菱形的判定
新知导航
3.将Rt△ACB沿直角边AC所在直线翻折180°，得到Rt△ACE
（如图所示），点D与点F分别是斜边AB，AE的中点，连接
第2课时 菱形的判定
轻松过招
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，DE 垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E. 点F在DE的延长线上，且AF＝CE. 求证：四边形ACEF是菱形． 证明：∵AC⊥BC，DE垂直平分BC， ∴DE∥AC∴点E是BA中点，∴在Rt△ACB中，CE＝AE 又∵∠BAC＝60°，∴△ACE是等边三角形 ∴AC＝CE＝AE，又∵AF＝CE，∴AF＝AE 又∵DF∥AC，∴∠FEA＝∠CAE＝60° ∴△AEF为等边三角形，∴EF＝AF. ∴CE＝AC＝AF＝EF，∴四边形ACEF是菱形
第2课时 菱形的判定
轻松件是（ B ）
A. AC＝AD B．BA＝BC C．∠ABC＝90° D．AC＝BD
第2课时 菱形的判定
轻松过招
2．（202X·宁夏）如1题图，四边形ABCD的两条对
角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不
菱形的性质和判定(人教版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：菱形的定义是什么？问题2：菱形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？问题3：菱形有哪些性质？问题4：菱形的判定有哪些？问题5：一条对角线平分一组对角的四边形是菱形吗？以下是问题及答案，请对比参考:问题1：菱形的定义是什么？答：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．问题2：菱形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？答：菱形是轴对称图形，两条对角线均为对称轴；是中心对称图形，对角线的交点为对称中心．问题3：菱形有哪些性质？答：边：菱形的四条边都相等；对角线：菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；面积：菱形对角线乘积的一半．问题4：菱形的判定有哪些？答：边：四条边都相等的四边形是菱形；对角线：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．问题5：一条对角线平分一组对角的四边形是菱形吗？答：本结论错误．一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．举反例：菱形的性质和判定（人教版）一、单选题(共11道，每道9分)1.下列说法错误的是( )A.菱形的对边互相平行B.菱形的对角相等C.菱形的对角线相等D.菱形的每一条对角线平分一组对角答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：菱形的性质2.菱形具有而平行四边形不具有的性质是( )A.对角线互相平分B.邻角互补C.每条对角线平分一组对角D.对角相等答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：菱形的性质3.下列说法正确的是( )A.对角线相等的平行四边形是菱形B.有一组邻边相等的平行四边形是菱形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.有一个角是直角的平行四边形是菱形答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：菱形的判定4.如图，在平行四边形ABCD中，添加下列条件不能判断平行四边形ABCD是菱形的是( )A.AB=BCB.AC⊥BDC.BD平分∠ABCD.AC=BD答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：菱形的判定5.菱形ABCD的周长为8，高为1，则该菱形两邻角度数比为( )A.3:1B.4:1C.5:1D.6:1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：菱形的性质6.如图，已知E是菱形ABCD的边BC上一点，且AE=AD，若∠B=80°，则∠CDE的度数为( )A.30°B.25°C.20°D.35°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：菱形的性质7.如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6，8，AE⊥BC于点E，则AE的长是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：菱形的性质8.在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若，则∠EAF的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.75°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：菱形的性质9.如图，在菱形ABCD中，∠ADC=50°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数为( )A.40°B.50°C.60°D.80°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：垂直平分线的性质10.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是( )A.AB=BCB.AC=BCC.∠B=60°D.∠ACB=60°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：菱形的判定11.如图，四边形ABCD是菱形，过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E，则下列结论错误的是( )A.DA=DEB.∠EAC=90°C.BD+AD=CED.∠ABC=2∠E答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平行四边形的性质与判定。