迭代矩阵谱半径的上界

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线性代数方程组的数值解法讨论

线性代数方程组的数值解法讨论解线性方程组的方法，主要分为直接方法和迭代方法两种。

直接法是在没有舍入误差的假设下能在预定的运算次数内求得精确解。

而实际上，原始数据的误差和运算的舍入误差是不可以避免的，实际上获得的也是近似解。

迭代法是构造一定的递推格式，产生逼近精确解的序列。

对于高阶方程组，如一些偏微分方程数值求解中出现的方程组，采用直接法计算代价比较高，迭代法则简单又实用，因此比较受工程人员青睐。

小组成员本着工程应用，讨论将学习的理论知识转变为matlab 代码。

讨论的成果也以各种代码的形式在下面展现。

1 Jacobi 迭代法使用Jacobi 迭代法，首先必须给定初始值，其计算过程可以用以下步骤描述：步骤1 输入系数矩阵A ，常熟向量b ，初值(0)x ，误差限ε，正整数N ，令1k =.步骤2 (0)11ni i ij jj ii j i x b a x a =≠⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑，(0)j x 代表(0)x 的第j 个分量。

步骤3 计算11ni i ij j j ii j i y b a x a =≠⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑，判断1max i i i n x y ε≤≤-<，如果是，则结束迭代，转入步骤5；否则，转入步骤4。

步骤4 判断k N =？如果是，则输出失败标志；否则，置1k k =+，i i x y ⇐，1,2,,i n =，转入步骤2。

步骤5 输出12,,n y y y 。

雅可比迭代代码function [x,k]=Fjacobi(A,b,x0,tol)% jacobi 迭代法计算线性方程组% tol 为输入误差容限，x0为迭代初值max1= 300; %默认最多迭代300，超过要300次给出警告 D=diag(diag(A)); L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1); B=D\(L+U); f=D\b; x=B*x0+f;k=1; %迭代次数while norm(x-x0)>=tol x0=x;x=B*x0+f; k=k+1;if(k>=max1)disp('迭代超过300次，方程组可能不收敛'); return; end%[k x'] %显示每一步迭代的结果 End2 高斯赛德尔迭代由Jacobi 迭代法中，每一次的迭代只用到前一次的迭代值，若每一次迭代充分利用当前最新的迭代值，即在计算第i 个分量(1)k i x +时，用最新分量11()k x +，12()k x +…(1)1k i x +-代替旧分量)1(k x ', )2(k x …)3(k x 就得到高斯赛德尔迭代格式，其数学表达式为：1(1)(1)()111(1,2,,)i n k k k ii ij j ij j j j i ii xb a x a x i n a -++==+⎛⎫=--= ⎪⎝⎭∑∑具体形式如下：()()()(1)()()()11221331111(1)(1)()()22112332222(1)(1)(1)(1)(1)112233,11111k k k k n n k k k k n n k k k k k n n n n n n n n nnx a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a ++++++++--=----+=----+⋯⋯⋯⋯⋯⋯=-----+矩阵形式表示为：()(1)1(1)()(0,1,2,,),k k k k n +-+=++=x D Lx Ux b将(1)(1)()(0,1,2,,)k k k k n ++=++=Dx Lx Ux b 移项整理得： (1)1()1()()(0,1,2,,))k k x D L Ux D L b k n +--=-+-=记11(),()--=-=-M D L U g D L b ，则(1)()k k x x +=+M g高斯塞德尔迭代function [x,k]=Fgseid(A,b,x0,tol)%高斯-塞德尔迭代法计算线性方程组 % tol 为误差容限max1= 300; %默认最高迭代300次D=diag(diag(A)); L=-tril(A,-1); U=-triu(A,1); G=(D-L)\U; f=(D-L)\b; x=G*x0+f;k=1; while norm(x-x0)>=tol x0=x;x=G*x0+f; k=k+1;if(k>=max1)disp('迭代次数太多，可能不收敛'); return; end% [k,x'] %显示每一步迭代结果 End3 超松弛迭代法在工程中最常遇到的问题便是线性代数方程组的求解,而线性代数方程组的求解一般可以分为两类,一类是直接法(精确法),包括克莱姆法则方法、LD 分解法等，另一类是迭代法（近似法），包括雅克比迭代法、高斯迭代法、超松弛迭代法等。

新的L-矩阵线性方程组的预条件AOR迭代法

新的L-矩阵线性方程组的预条件AOR迭代法李园;韩海山【摘要】在预条件矩阵Pa=(I+Sa)和Pαβ=(I+Sαβ)的基础上提出一个新的预条件矩阵为Pαβ=(I+Sαβ)的预条件AOR迭代法,建立了新的预条件AOR迭代法与经典的AOR迭代法的比较定理,数值试验表明预条件AOR迭代法更为有效.【期刊名称】《湖北民族学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(030)001【总页数】6页(P39-44)【关键词】计算数学;预条件;线性方程组;AOR迭代法;谱半径;L-矩阵【作者】李园;韩海山【作者单位】内蒙古民族大学数学学院,内蒙古通辽028043;内蒙古民族大学数学学院,内蒙古通辽028043【正文语种】中文【中图分类】O241.6本文考虑如下线性方程组：Ax=b，(1)其中:A∈Rn×n为非奇异矩阵，b∈Rn为已知向量，x∈Rn为未知量.预条件方法通常是找到合适的预条件算子P，将Ax=b等价地转化为如下预条件线性方程组:PAx=Pb，其中P∈Rn为非奇异预条件矩阵.文献[1]中给出了预条件矩阵为Pα=I+Sα的预条件AOR迭代法，其中:α是参数.文献[2]中改进了上述迭代法，给出了预条件矩阵为Pαβ=I+Sαβ的预条件AOR迭代法，该预条件也是文献[3]中预条件的推广，其中:(2)α，β是参数，当β=0时，Sαβ=Sα.本文给出了预条件为的预条件AOR迭代法，其中:α，β，σ=(σ1,σ2,…,σn-1)T是参数，当σ=(σ1,σ2,…,σn-1)T=(0,0,…,0)T时，本文建立了新的预条件AOR迭代法与文献[1]和文献[2]以及经典的AOR迭代法的比较定理.通过比较定理，得出本文提出的预条件方法比文献[1]和文献[2]以及经典的AOR迭代法更有效.为方便起见，令A=I-L-U，其中I是单位矩阵，-L和-U分别是矩阵A的严格下三角和严格上三角矩阵，则线性方程组(1)相应的预条件AOR方法的迭代矩阵为：Lγω=(I-γL)-1[(1-ω)I+(ω-γ)L+ωU]，(3)其中：ω和γ是参数，ω≠0.记本文讨论的预条件线性系统为:(4)其中:令其中Sαβ为式(2)，若记SαβU=DS+ES,RL=DR+FR，其中DS和ES分别为SαβU的对角和严格下三角矩阵，DR和FR分别为RL的对角和严格下三角矩阵，则有:I-L+Sαβ-(U-R+RU)-DS-ES-DR-FR=(I-DS-DR)-(L+ES+FR-Sαβ)-(U-R+RU)=其中:则预条件AOR方法的迭代矩阵为：1 预备知识为方便起见，本文给出如下记号.设A=(aij)∈Rn×n为n×n实矩阵.diag(A)为矩阵A的对角元素aii(i=1,2,…,n)构成的n×n对角矩阵.对于任意矩阵A=(aij)，B=(bij)∈Rn×n，称A≥B，如果对所有i,j=1,2,…,n，成立aij≥bij.若矩阵A的每一个元素aij≥0，i,j=1,2,…,n，则称矩阵矩阵A是非负矩阵，记作A≥0.称A-B≥0当且仅当A≥B.对于n维向量也有类似的定义，ρ(·)表示矩阵的谱半径.定义1[3] 矩阵A=(aij)∈Rn×n，1)若aij≤0，i≠j，i,j=1,2,…,n，则称矩阵A为Z-矩阵；2)若A∈Z且aii≥0，i=1,2,…,n，则称A为L-矩阵；3)若A∈Z非奇异且A-1≥0，则称A为M-矩阵.定义2[4] 设矩阵M∈Rn×n非奇异，矩阵分裂A=M-N称为：1)收敛的，如果ρ(M-1N)<1；2)正则分裂，如果M-1≥0且N≥0；3)弱正则分裂，如果M-1≥0且M-1N≥0；4)M-分裂，如果M是M-矩阵且N≥0.定义3[5] 矩阵A=(aij)∈Rn×n称为可约的，如果存在n×n阶置换矩阵P，使得:其中:A11是r×r阶矩阵，A22是(n-r)×(n-r)阶矩阵，1rn.如果矩阵A不是可约的，则称A不可约.引理1[5](Perron-Frobenius) 若矩阵A=(aij)∈Rn×n为非负不可约矩阵，则:1)ρ(A)为矩阵A的一个正特征值；2)对于ρ(A)，相应地存在一个正的特征向量x>0；3)ρ(A)是矩阵A的一个单特征值；4)ρ(A)随矩阵A的任一元素增加而增加.引理2[6] 如果矩阵A是一个L-矩阵，则A是M-矩阵当且仅当存在一个正的向量x>0，使得Ax>0.引理3[7] 设A=(aij)∈Rn×n为非负矩阵，则：1)若存在x≥0，x≠0满足Ax≥αx，则ρ(A)≥α，进一步地，若Ax>αx，则ρ(A)>α；2)若存在x≥0，x≠0满足Axβx，则ρ(A)≤β，进一步地，若Ax<βx，则ρ(A)<β；3)若A不可约并且有0≠αx≤Ax≤βx，αx≠Ax和Ax≠βx对某一非负向量x成立，则α<ρ(A)<β且x是一个正向量.引理4[8] 设A=M-N是M-分裂，则ρ(M-1N)<1当且仅当A是非奇异M-矩阵.2 主要结论本文的证明需要用到下面的定理：定理1 设矩阵A∈Rn×n是一个M-矩阵，且A的元素满足0<a1nan1<1，1-σiai,i+1ai+1,i>0(i=1,2,…,n-1)，则也是M-矩阵.证明设则有：因为A是M-矩阵，aij≤0，i≠j，且aii=1，所以当i=1,2,…,n-1；j=1,2,…,n时，aij-σiai,i+1ai+1,j≤0.又因为可以得到所以：；j=2,…,n-1，并且由已知1-σiai,i+1ai+1,i>0，i=j=1,2,…,n-1，因此也是L-矩阵.因为A是M-矩阵，由引理2知，存在向量x>0，满足Ax>0，所以再根据引理2得是M-矩阵.根据定理1，可以建立下面的比较定理：定理2 设A∈Rn×n为非奇异的L-矩阵，Lγω和分别是线性方程组(1)和(4)相应的AOR方法的迭代矩阵.若0≤γ≤ω≤1(ω≠0,γ≠1)且：α>1，β∈∩，σi∈[0,1](i=1,2,…,n-1)，矩阵A的元素满足0<a1nan1<1，1-σiai,i+1ai+1,i>0(i=1,2,…,n-1)，则有：(i)若ρ(Lγω)<1，则(ii)若A为不可约矩阵，那么或证明 (i)令：因为A为非奇异L-矩阵，且0≤γ≤ω≤1(ω≠0,γ≠1)，即是非奇异M-矩阵，F≥0，所以A=E-F是M-分裂，由引理4知，ρ(Lγω)<1，又因为A为非奇异M-矩阵，由定理1知也是非奇异的M-矩阵.又因为所以因此(ii)设A=I-L-U是不可约矩阵，因为：Lγω=(I-γL)-1[(1-ω)I+(ω-γ)L+ωU]=(1-ω)I+ω(1-γ)L+ωU+T，其中：T=(I-γL)-1γL[ω(1-γ)L+ωU]≥0，可知Lγω是不可约矩阵，由引理1，存在一个向量x>0，使得Lγωx=λx，其中λ=ρ(Lγω)，则有：[(1-ω)I+(ω-γ)L+ωU]x=λ(I-γL)x，上式等价于： [(1-ω-λ)I+(ω-γ-λγ)L+ωU]x=0和：(λ-1)(I-γL)x=ω(L+U-I)x，于是：(ω-γ+λγ)(L+ES+FR-Sαβ)+ω(U-R+RU)]x=ωU-(1-ω-λ)(DS+DR)+(ω-γ+λγ)(ES+FR-Sαβ)+ω(RU-R)]x=(-γ)-1[(λ-1)(DS+DR)+γ(λ-1)(ES+FR-Sαβ)+ω(DS+DR+ES+FR-Sαβ+RU-R)]x=(-γ)-1[(λ-1)(DS+DR)+γ(λ-1)(ES+FR-Sαβ)+ω(R+Sαβ)(L+U-I)]x=(-γ)-1[(λ-1)(DS+DR)+γ(λ-1)(ES+FR-Sαβ)+(λ-1)(R+Sαβ)(I-γL)]x=(-γ)-1[(λ-1)(DS+DR)+γ(λ-1)(ES+FR-Sαβ-RL)+(λ-1)(R+Sαβ)]x=(-γ)-1[(λ-1)DS+(λ-1)DR+γ(λ-1)(ES-DR-Sαβ)+(λ-1)(R+Sαβ)]x=(-γ)-1[(λ-1)DS+(λ-1)DR+γ(λ-1)(ES-Sαβ)-γ(λ-1)DR+(λ-1)(R+Sαβ)]x=γ(λ-1)(ES-Sαβ)+(λ-1)(R+Sαβ)]x=(-γ)-1(λ-1)[DS+(1-γ)DR+γES+(1-γ)Sαβ+R]x若λ<1，则即由引理3，得若λ>1，则即由引理3，得由上述定理可得如下推论：当ω=γ时，AOR迭代法即为超松弛(SOR)迭代法，相应地有如下结论：推论1 设A∈Rn×n为非奇异的L-矩阵，Lω和分别是线性方程组(1)和(4)相应的SOR方法的迭代矩阵.若0<ω<1且α>矩阵A的元素满足0<a1nan1<1，1-σiai,i+1ai+1,i>0(i=1,2,…,n-1)，则有：(i)若ρ(Lω)<1，则(ii)若A为不可约矩阵，那么或当ω=1，γ=0时，AOR迭代法即为雅可比(Jacobi)迭代法，相应地有如下结论：推论2 设A∈Rn×n为非奇异的L-矩阵，L和分别是线性方程组(1)和(4)相应的Jacobi方法的迭代矩阵.若α>矩阵A的元素满足0<a1nan1<1，1-σiai,i+1ai+1,i>0(i=1,2,…,n-1)，则有：(i)若ρ(Lγω)<1，则(ii)若A为不可约矩阵，那么ρ(Lγω)<1或3 数值举例运用文献[2]中的例子，将本文的新算法与已知算法进行比较，来说明新算法更为有效.文献[2]中线性方程组(1)的系数矩阵为：表1 几种预条件AOR迭代法迭代矩阵谱半径的比较Tab.1 The comparison of the iterative matrices′ spectral rad ius for preconditioned AOR iterative methodsωγαβρ(Lγω)ρ(L～γω)ρ(L′γω)ρ(L＾γω)0．90．82-0．081．28881．30171．30911．37060．70．63-0．121．18811．19311．19951．23330．60．54-0．161．14871．15151．15801．18260．50．45-0．21．11491．11651．12171．1402表2 几种预条件SOR迭代法迭代矩阵谱半径的比较Tab.2 The comparison of the iterative matrices′ spectral radius for preconditioned SOR iterative methodsωγαβρ(Lγω)ρ(L～γω)ρ(L′γω)ρ(L＾γω)0．90．92-0．071．31851．33351．34101．41520．60．63-0．121．16121．16551．17101．2000表3 几种预条件Jacobi迭代法迭代矩阵谱半径的比较Tab.3 The comparison of the iterat ive matrices′ spectral radius for preconditioned Jacobi iterative methodsωγαβρ(Lγω)ρ(L～γω)ρ(L′γω)ρ(L＾γω)102-0．081．17671．18241．18561．2067103-0．151．17671．18041．18641．2075用和分别表示经典的预条件AOR迭代法、文献[1-2]以及本文所提出的预条件AOR 迭代法中迭代矩阵的谱半径.取σ=(σ1,σ2,σ3,σ4,σ5)T=(0.9,0.8,0.7,0.6,0.5)T，表1给出了当ω和γ取不同值时新的预条件AOR迭代法与文献[1]和文献[2]以及经典的AOR迭代法的迭代矩阵谱半径之间的大小关系.表2和表3分别给出了新的预条件AOR迭代法中当ω和γ取特定值时相应的预条件SOR迭代法、预条件Jacobi迭代法与文献[1]和文献[2]以及经典的预条件SOR迭代法、预条件Jacobi 迭代法的迭代矩阵谱半径之间的大小关系.由表1～3，当ω和γ取不同值时，可以看出本文所提出的预条件AOR迭代法、预条件SOR迭代法和Jacobi迭代法的收敛速度更快，这也正好验证了本文的结论.参考文献:[1] Li Y T，Li C X，Wu S L.Improvements of preconditioned AOR iterative methods forL-matrices[J].J Comput Appl Math，2007，206：656-665. [2] Wang H J，Li Y T.A New preconditioned AOR iterative methods for L-matrices[J]. J Comput Appl Math，2009，229：47-53.[3] Li Y T，Wang H J，Zhang C Y. New preconditioned AOR iterative methods for Linear System[J]. SEAMS Bull Math，2007，31：295-306. [4] Young D M. Iterative Solution of Large Linear Systems[M].London：Academic Press，NY，1971.[5] Varga R S. Matrix Iterative Analysis[M].NY：Prentice-Hall，Englewood Cliffs，1962.[6] 陈景良，陈向晖.特殊矩阵[M].北京：清华大学出版社，2001.[7] Gunawardena A D，Jain S K，Snyder L.Modified Iterative Method for Consintent Linear System[J].Linear Algebra Appl，1991，154/156：123-143.[8] Andreas F，Daniel B S.H-splitting and two-stage iterativemethods[J].Numer Math，1992，63：345-356.。

解线性方程组的一种新的迭代法

ＬｎｉｎｕｏｇＪａｈｉ（ｔｅａｃｎｈｓｓｅａｍｎ，ｕｉｎｖｒｉｆｅｈｏｇ，ｕｈｕ３００，ｈｎ）ＭａｍｔｓｄＰｙｉｐｒｅｔＦｊｎＵｉｓｙｏＴｃｎｌｈｉａｃＤｔａｅｔｏＦｚｏ５１８Ｃｉａｙ
ｏｒｄｃｂｅｗｅｋｄａｏａｏｎｔｍａｒｙｒＷＳｏｙｍｌｔｅｐｓｉｅｄｆｉｔｘＵｐｅｒｉｅｕｉｌａｉｎｌｄｍｉａｔｘｂＯｒｓｎｅｒｏｉｖｅｎｔｍａｒ．ｒｇｎｉｉｔｉｅｉｐｒｂｕｄｆｒｅｓｅｔｌａｉｓｏｅｉｒｔｅｍｅｈｄｉｉｅ．Ｎｕｒｃｌｅｕｔｈｗｔａｅｍｅｈｏｎｐｃｒｄｕｆｅａｉｔｏｇｖｎｏｔｈａｒｈｔｔｖｓｍｅｉａｓｌｓｏｔｈｔｏｒｓｈｔｄｗｔｈｒｐｒｃｏｃｆｔｅｐｒｍｅｅａｏｖｒｅｒｐｄｙｉｔｅｐｏｅｈｉｅｏａａｔｒｃｎｃｎｅｇａｉｌ．ｈｈＫｅｗｏｄ：ｌｅｒｓｓｅ；ｉｒｔｅｍｅｈｄｏｖｒｅｃｌｇｒｔｍｙｒｓｉａｙｔｍｎｔａｉｔｏ；ｃｎｅｇｎｅ；ａｏｈｅｖｉ
Ａ＝Ｍ一Ⅳ （）２
其中，＝ｄａ（，ＡｉｇＡ）假定ｄｔＤ）≠ ０Ｌ是严格ｅ（；下三角矩阵；是严格上三解矩阵。令Ｍ＝Ｕ
１１
（一∞ ，＝【１一∞）＋∞ ，，可得Ｄ）Ｎ（Ｄ【】则

2.2 迭代法的一般形式与收敛性定理

设aii0 (i=1,2,,n)，并将A写成三部分
0 a11 a 21 0 a 22 A a n 1 ,1 a n 1 , 2 0 a nn a n 2 a n , n 1 a n1 0 a12 a1,n1 a1n 0 a 2 , n 1 a 2 n 0 a n 1, n 0 D LU. 0
则
k
B ( H )
k
两边取对数得: k ln ( H ) ln k
ln ln ( H )
定义:
ln ( H )
为迭代法(2.2.3)的渐近收敛速度。
解线性方程组的迭代法
线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 an1 x1 an 2 x2 a1n xn b1 a2 n xn b2 ann xn bn
复习：矩阵的谱半径设λ是矩阵A相应于特征向量x的特征值，即 Ax＝λx 向量-矩阵范数的相容性，得到 |λ| || x ||=||λx|| =|| Ax|| ≤ || A || ||x|| 从而，对A的任何特征值λ均成立 |λ|≤|| A || （ 3）
设n阶矩阵A的n个特征值为λ1,λ2，…λn，称 ( A) max i
x ( k 1) x* H ( x ( k ) x* )
由此递推：x ( k 1) x* H k 1 ( x ( 0) x* ), k 0,1,2,
x 是线性方程组Ax=b的解
x* Hx* g
x
k 1
*

α—严格对角占优矩阵与迭代法的收敛性定理

α—严格对角占优矩阵与迭代法的收敛性定理第3O卷第1期2O10年3月辽宁石油化工大学J0URNAIOFIAAONINGSHIHUAUNIVERSITYV o1.30No.1Mar.201O文章编号:1672—6952(2010)01—0081一O3一严格对角占优矩阵与迭代法的收敛性定理宋岱才,魏晓丽,赵晓颖(辽宁石油化工大学理学院,辽宁抚顺113001)摘要:针对线性方程组的系数矩阵为口一严格对角占优矩阵和双严格对角占优矩阵的情况,讨论了线性方程组求解时常用的几种迭代方法的收敛性,给出了迭代法收敛性定理,解决了以往估计迭代矩阵谱半径的问题.结果不仅适用于这两类矩阵,还适用于广义严格对角占优矩阵类,最后举例说明了所给结果的优越性.关键词:一严格对角占优矩阵;双严格对角占优矩阵;迭代法;收敛性中图分类号:O241.6;O151.2文献标识码:Adoi:10.3696/j.issn.1672—6952.2010.01.022—DiagonalStrictlyDominanceMatrixandConvergence TheoremofIterationMethodsSONGDai—cai,WEIXiao—li,ZHAOXiao—ying(SchoolofSciences,LiaoningShihuaUniversity,FushunLiaoning113001,P.R.China)Received25March2009;revised12October2009;accepted13November2009 Abstract:Someiterationmethodsforsolvinglinearsystemwerestudied,whencoefficientma trixisa—diagonalstrictly dominanceordoublydiagonalstrictlydominance,andsomeconvergencetheoremsweregiv en.ResultsobtainedwereapplicabletOa—diagonalstrictlydominancematrixordoublydiagonalstrictlydominancematrix,andimpro vedtheknownresultsandweresuitedtOextendedmatrices.Finally,annumericalexamplesweregivenforillustratinga dvantageofresults.Keywords:a—diagonalstrictlydominancematrix;Doublydiagonalstrictlydominancematrix;Iterationme thod;ConvergencetheoremrCorrespondingauthor.Te1.:+86—413—6860821;fax:+86—413—6860766;e--mail:*************1基本概念及引理给定线性方程组Ax—b,其中A∈为非奇异矩阵,b为维列向量.在用迭代法解此方程组的问题中,常常需要研究其迭代矩阵谱半径的界限,这对于研究迭代法的收敛性以及收敛速度等是非常有意义的.文献[1—7]对于迭代矩阵为严格对角占优矩阵,a一严格对角占优矩阵和双a一严格对角占优矩阵等情形分别讨论了常用的几种迭代法的谱半径的上界估计问题.然而很少见有针对系数矩阵来研究迭代法收敛的问题.本文的主要工作是:针对方程组的系数矩阵A为a一严格对角占优矩阵以及双严格对角占优矩阵,讨论了几种常用迭代法的收敛性,得到了几个从未见过的结论,解决了估计迭代矩阵谱半径的界限问题.最后举例说明这一结果的使用性.设方程组的系数矩阵A分解为A—D—L—u,其中D—diag(aa.,…,a),一L是矩阵A 的严格下三角矩阵,一u是矩阵A的严格上三角矩阵.三种常用的迭代法分别如下:Jacobi迭代法:-z针=Bar+f,B=D(L+u)'厂一Db(1)Gauss—Seidel迭代法:.z抖一A+g,M一(D—L)'.u,一(D—L)b(2)JOR迭代法:¨===Mz+-厂,M一D[(1一∞)D+(L+U)](3)收稿日期:2009—03—25作者简介:宋岱才(1954一),男,山东济南市,教授.基金项目:辽宁省教育厅高校科研项目(2004F100);辽宁石油化工大学重点学科建设资助项目(K20o409).82辽宁石油化工大学第3O卷其中,f=ob;称为松弛因子;矩阵B,M,M分别称为Jacobi,Gauss—Seidel及JOR迭代法的迭代矩阵.设A一(口)∈C,记R(A)一∑JaJ;S(A)一∑J&,J,i∈N一(1,2,…,).定义1E.]:设A一(口)EC,若对任意的i∈N,d∈E0,1],皆有laI>R?(A)s～(A),则称A为a一严格对角占优矩阵,记为A∈D.若存在正对角矩阵d—diag(d,d.,…,d)使得AdED,则称A为广义口一严格对角占优矩阵,记为AEGD.定义2[]:设A一()EC,若Jah.a,,J>足(A)R,(A),Vi,JEN成立,则称A为双严格对角占优矩阵,记为A∈D.若存在正对角矩阵d—diag(d,d,…,d),使得AdED,则称A为广义双严格对角占优矩阵,记为AEGD.引理1Esl:设A一(口)∈C",若A∈D或AEGD,则A为非奇异矩阵.引理2E]:设A一(&)EC,若A∈JD或AEGD,则A为非奇异矩阵.引理3设是一个常数,0<叫≤1,则当l1≥1时,总有l一1+叫1≥叫.证明当≥l时,有一1+≥≤一l肘,有一1+≤--2+,注意到O<≤1,所以得一】+C.O一2+≤一1≤--OJ.综上得l一1+I≥.2主要结论定理1若A∈D.或A∈D,则对任意初始向量解线性方程组A.r—b的Jacobi迭代法都收敛.证明:首先证明当A∈D.时,Jacobi迭代法收敛.设为B—D(L+u)的任一特征值,则det(;tI--B)一det[2I--D_1(L+(,)]一0,(为单位矩阵),即:detEXD一(L+u)]一0(4)由于A∈D,所以有faI>R(A)s(A)=:=(L+【,)S～(L+【,),i∈N成立.假设B存在一个特征值ff≥1,则由上式得到:fff&f>R(A)S-口(A)一R(L+)S(L+),iEN成立.这说明一(L+u)∈D.由引理1知,一(L+u)非奇异.与(4)式矛盾.所以B的特征值全满足f入f<1,即此时总有Jacobi迭代法迭代矩阵的谱半径小于1,所以收敛.其次,证明当A∈D时,Jacobi迭代法收敛.由于A∈D,则知,对Vi,JEN,falia,f>R(A)R,(A)成立,即:laa,,I>R(A)R,(A)一R(L+U)R,(L+U)假设B存在一个特征值li≥1,同样,上式右边乘以ff.,得到对Vi,JEN,总有f口af>R(A)R(A)一R.(L+u)R,(L+u)成立,说明一(L+u)ED.由引理2知,～(L+u)非奇异.与式(4)矛盾.所以B的特征值全满足fI<1,得Jacobi迭代法收敛.定理2若A∈D.或A∈D,则对任意初始向量解线性方程组一6的Gauss—Seidel 迭代法收敛.证明首先证明A∈D.时,Gauss—Seidel迭代法收敛.设为Gauss—Seidel迭代矩阵(D～L)u的任意特征值,则det(卜一(D—L)u)一0,即det(2I一(D一L)(,)一0.(5)假设M一(D—L)【,至少存在一个特征值≥1.因为A∈D.,即有ViEN,{口f>尺(A)S(A)一R(L+u)S(L+u)两边同时乘以ll,并注意到ll≥1,得:ifiaf>flR?(L+【,)?ff卜.s(L+u)一[1iR(L+u)]?[IlS(L+u)]卜.≥(儿+【,)?S卜口(旭+【,)说明(D—L)一u为a一严格对角占优矩阵,由引理1得到(D—L)一u非奇异,与(5)式矛盾.所以11≥1不是M一(.D—L)叫【,的特征值,结论成立.其次,证明当A∈D时,Gauss—Seidel迭代法收敛.由于A∈D,则知,对Vi,JEN,la//o~,,i>尺(A)R(A)成立,又由定理1的证明过程及矩阵L和的构成知R(A)一R(L+U)一R:(L)+R(【,),所以对ViEN,即有:第1期宋岱才等.a一严格对角占优矩阵与迭代法的收敛性定理83『alial>JR(L)+R(【,)]?[R(L)+R,(u)]成立.假设M=(D—L)u至少存在一个特征值lJ≥1.上式两边同时乘以l}得:lIIaiiaI>II[R(L)+R(u)]?II[R,(L)十R,(【,)]≥[I『R(L)+R(u)]?[IIR,(L)+R,(u)]一[R(儿)+R(【,)]?[R,(儿)+R(u)]一R(儿+【,)?R(儿+u)上式说明(D—L)一u为严格a一对角占优矩阵,得到A(D—L)一u非奇异,与(5)式矛盾.综上得,若A∈D或A∈D,Gauss—Seidel迭代矩阵的特征值总有lf<1.从而Gauss —Seidel迭代法收敛.定理3若A∈D或A∈D,且∞满足O<叫≤1,则对任意初始向量解线性方程组一6的JOR迭代法收敛.证明当一1时,JOR迭代矩阵M一D(L+u)一B,所以JOR迭代法即为Jacobi迭代法,结论成立.以下证明O<<1时,JOR迭代法收敛.首先,若为迭代矩阵M的任一特征值,则有det(AI--M.)一0,从而有:det{AD一[(1一∞)D+(L+u)]}==:0(6)其次,当时A∈D,知IaJ>R;(A)s～(A)一R(L+u)S.(L+【,)(7)成立.假设存在一个特征值JJ≥1,叉O<≤1,则由引理3得J一1+J≥.式(7)左边乘以J一1+∞I,右边乘以得:『一1+JIal>cU.R?(L+u)(OI-~s(L+u)一R?[(L+【,)]s[(L+【,)]得知一[(I一∞)D+cu(L+u)]∈D.,由引理1得到一[(1一)D+(L+【,)]非奇异,与(6)式矛盾.再证明当A∈D时,JoR迭代法收敛.由于A∈D,并由定理2的证明过程知,所以Vi∈N,laa,,{>R(A)R,(A)一R(L+U)R,(L+u)(8)假设』Ⅵ存在一个特征值『I≥1,由上知,I一1+I.≥叫.(8)式左边乘以I一1+cUl.,右边乘以∞得:』—I+』.fn口』>∞.R(A)R,(A)一(L+U)oA~,(L+)一R叫(L+【,)]R,[(L+【,)]. 这就说明hi)一[(1一)D+∞(L+u)]∈D,由引理2知一[(1一(￡,)D+(U(L+u)]非奇异,这与(6)式矛盾.综上得,若A∈D或A∈D,且0<≤1时,有JOR迭代矩阵的特征值『J=【I<1.从而JOR迭代法收敛.定理得证.在上述的结论中,若矩阵A不满足A∈D.或A∈D,但矩阵A满足A∈GD.或A∈(TD,则上述结论仍然成立,其证明过程与以上证明类似,所以结论还适用于系数矩阵A为广义对角占优矩阵类的情形.3数值例子f4.5321Il1设A===I142I,取口一÷时,满足A∈D,且A∈D,所以由以上定理知,解一b的以上三种迭l1—15J代法收敛都收敛.事实上,经计算得,lD()一O.495;10(M)一0.261;若取叫一0.8,得:ID(M)一0.5961.但若A—f415—]一f_2]～f=O6-41一M一～(下转第95页)第1期刘一丁等.模糊评价法在房地产投资风险评价中的应用95[1]E2]I-3-1[4][5]I-6][7][8]参考文献辜寄蓉,吴合镇.房地产市场参与者的博弈关系I-J].集团经济研究,2007(12):30—40.杜海鹏.房地产投资风险与决策I-M].北京:经济科学出版社,2003.阮萍.对住宅市场中空置问题本质的认识I-J].云南财贸学院,2000(4):82—84.赵树宽,马力.大型房地产项目投资风险评价体系的研究I-J].科技进步与对策,2002(4):18一ll9.薛小荣.房地产开发风险多因素层次决策支持系统运用探讨[J].西安建筑科技大学:自然科学版,2005,37(4):561—565.粟国敏.房地产项目投资风险评价研究[J].工业技术经济,2003(6):78—81.李庆东.企业竞争力评价指标体系与评价方法研究I-J].辽宁石油化工大学,2004,24(1):93～96.叶义成,柯丽华.系统综合评价技术及其应用i-M-].北京:冶金工业出版社,2006. 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研究生数值分析(12)高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法

得
X (k1) (D L)1UX (k ) (D L)1b
令
BG (D L)1U
（称为高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代矩阵），
fG (D L)1b
则得 X (k 1) BG X (k ) fG 为高斯-赛德尔迭代法的矩阵表示形式。
我们用定理2来判断高斯-赛德尔迭代公式是否
x (k) n

b1)

x2(k
1)

1 a11
(a21 x1( k 1)

a23 x3( k )

a2n xn(k) b2 )

xi
(
k
1)

1 aii
(ai1 x1( k 1)

a x (k1) i2 2

a x (k1) i,i1 i1

a x (k) i,i1 i1
如在例8例9中，由于系数矩阵A是严格对角占优，由定理4立即可断定用雅可比迭代法与高斯 -赛德尔迭代法求解时，迭代过程都收敛。
4 2 2
又如矩阵
A

2
2 3
2 3 14
是对称正定阵（实对称阵是正定阵的，如果实二次型
f (x1, x2 , , xn ) X T AX
我们先引入一个叫矩阵谱半径的概念的模的最大值称为矩阵a的谱半径记作前面我们在应用雅可比迭代法与高斯赛德尔迭代法解一阶线性方程组时判断各迭代公式是收敛还是发散都要计算雅可比迭代矩阵bj与高斯赛德尔迭代矩阵bg的特征值
2 高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法
研究雅可比迭代法，我们发现在逐个求 X (k1)

数值分析实验报告-清华大学--线性代数方程组的数值解法

数值分析实验报告-清华大学--线性代数方程组的数值解法(总15页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--线性代数方程组的数值解法实验1. 主元的选取与算法的稳定性问题提出：Gauss 消去法是我们在线性代数中已经熟悉的。

但由于计算机的数值运算是在一个有限的浮点数集合上进行的，如何才能确保Gauss 消去法作为数值算法的稳定性呢？Gauss 消去法从理论算法到数值算法，其关键是主元的选择。

主元的选择从数学理论上看起来平凡，它却是数值分析中十分典型的问题。

实验内容：考虑线性方程组 n n n R b R A b Ax ∈∈=⨯,,编制一个能自动选取主元，又能手动选取主元的求解线性方程组的Gauss 消去过程。

实验要求：（1）取矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1415157,6816816816 b A ，则方程有解T x )1,,1,1(* =。

取n=10计算矩阵的条件数。

让程序自动选取主元，结果如何？（2）现选择程序中手动选取主元的功能。

每步消去过程总选取按模最小或按模尽可能小的元素作为主元，观察并记录计算结果。

若每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元，结果又如何？分析实验的结果。

（3）取矩阵阶数n=20或者更大，重复上述实验过程，观察记录并分析不同的问题及消去过程中选择不同的主元时计算结果的差异，说明主元素的选取在消去过程中的作用。

（4）选取其他你感兴趣的问题或者随机生成矩阵，计算其条件数。

重复上述实验，观察记录并分析实验结果。

程序清单n=input('矩阵A 的阶数:n=');A=6*diag(ones(1,n))+diag(ones(1,n-1),1)+8*diag(ones(1,n-1),-1); b=A*ones(n,1);p=input('计算条件数使用p-范数,p='); cond_A=cond(A,p) [m,n]=size(A);Ab=[A b];r=input('选主元方式(0:自动;1:手动)，r=');Abfor i=1:n-1switch rcase(0)[aii,ip]=max(abs(Ab(i:n,i)));ip=ip+i-1;case (1)ip=input(['第',num2str(i),'步消元，请输入第',num2str(i),'列所选元素所处的行数：']);end;Ab([i ip],:)=Ab([ip i],:);aii=Ab(i,i);for k=i+1:nAb(k,i:n+1)=Ab(k,i:n+1)-(Ab(k,i)/aii)*Ab(i,i:n+1);end;if r==1Abendend;x=zeros(n,1);x(n)=Ab(n,n+1)/Ab(n,n);for i=n-1:-1:1x(i)=(Ab(i,n+1)-Ab(i,i+1:n)*x(i+1:n))/Ab(i,i);endx运行结果(1)n=10，矩阵的条件数及自动选主元Cond(A,1) =×103Cond(A,2) = ×103Cond(A,inf) =×103程序自动选择主元（列主元）a.输入数据矩阵A的阶数:n=10计算条件数使用p-范数,p=1选主元方式(0:自动;1:手动)，r=0b.计算结果x=[1，1，1，1，1，1，1，1，1，1]T(2)n=10，手动选主元a. 每步消去过程总选取按模最小或按模尽可能小的元素作为主元矩阵A 的阶数:n=10计算条件数使用p-范数,p=1选主元方式(0:自动;1:手动)，r=1(1)(1)61786115[]861158614A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第1步消元，请输入第1列所选元素所处的行数：1(2)(2) 6.0000 1.00007.00004.6667 1.0000 5.66678.0000 6.000015.0000[]8.00001.000015.00006.0000 1.00008.0000 6.0000 1.000015.00008.0000 6.000014.0000A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第2步消元，请输入第2列所选元素所处的行数：2…（实际选择时，第k 步选择主元处于第k 行）最终计算得x=[, , , , , , , , , ]Tb. 每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元矩阵A 的阶数:n=10计算条件数使用p-范数,p=1选主元方式(0:自动;1:手动)，r=1(1)(1)61786115[]861158614A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第1步消元，请输入第1列所选元素所处的行数：2(2)(2)8.0000 6.0000 1.000015.0000-3.50000.7500-4.250008.0000 6.0000 1.000015.0000[]8.0000 6.000015.00008.0000 1.00006.0000 1.000015.00008.0000 6.000014.0000A b ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第2步消元，请输入第2列所选元素所处的行数：3…（实际选择时，第k 步选择主元处于第k+1行）最终计算得x=[1，1，1，1，1，1，1，1，1，1]T(3)n=20，手动选主元a. 每步消去过程总选取按模最小或按模尽可能小的元素作为主元矩阵A 的阶数:n=20计算条件数使用p-范数,p=1选主元方式(0:自动;1:手动)，r=1(1)(1)61786115[]861158614A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第1步消元，请输入第1列所选元素所处的行数：1(2)(2) 6.0000 1.00007.00004.6667 1.0000 5.66678.0000 6.000015.0000[]8.00001.000015.00006.0000 1.00008.0000 6.0000 1.000015.00008.0000 6.000014.0000A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第2步消元，请输入第2列所选元素所处的行数：2…（实际选择时，第k 步选择主元处于第k 行）最终计算得x=[，，，，，，，，，，，，，，，，，，，]T b. 每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元矩阵A 的阶数:n=20计算条件数使用p-范数,p=1选主元方式(0:自动;1:手动)，r=1(1)(1)61786115[]861158614A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第1步消元，请输入第1列所选元素所处的行数：2(2)(2)8.0000 6.0000 1.000015.0000-3.50000.7500-4.250008.0000 6.0000 1.000015.0000[]8.0000 6.000015.00008.0000 1.00006.0000 1.000015.00008.0000 6.000014.0000A b ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第2步消元，请输入第2列所选元素所处的行数：3…（实际选择时，第k步选择主元处于第k+1行）最终计算得x=[1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1]T(4)A分别为幻方矩阵，Hilbert矩阵，pascal矩阵和随机矩阵简要分析计算(1)表明：对于同一矩阵，不同范数定义的条件数是不同的；Gauss消去法在消去过程中选择模最大的主元能够得到比较精确的解。

雅可比迭代矩阵的谱半径求法

雅可比迭代矩阵的谱半径求法迭代矩阵（IterativeMatrix）是数值分析中常用的数学工具，用于解决各类非线性方程组问题。

雅可比迭代矩阵理论研究了不同类型的矩阵，以及它们的迭代求解方法，尤其是求解谱半径的方法。

谱半径是迭代矩阵的重要特征，可以反映出迭代矩阵的收敛性。

本文阐述了使用雅可比迭代矩阵求解谱半径的方法，旨在提供有关谱半径求法的参考资料。

一、什么是谱半径谱半径（Spectral Radius）是指一个实矩阵的最大特征值的绝对值。

在数值分析中，谱半径是一个重要的特征，可以反映迭代矩阵的收敛性。

一般来说，谱半径小于1时，迭代矩阵才能达到收敛，这意味着解就能收敛到一个唯一的解。

二、雅可比迭代矩阵的谱半径求法雅可比迭代矩阵的谱半径是指一个特定的实矩阵的最大特征值的绝对值。

雅可比迭代矩阵的谱半径求法是通过迭代矩阵的特征和特征向量对谱半径进行求解的方法。

（1）计算特征值的绝对值首先，我们需要求出雅可比迭代矩阵的所有特征值，然后计算出每个特征值的绝对值。

比如，如果有一个雅可比迭代矩阵A，它的特征值为α，则α的绝对值为|α|。

（2）求解谱半径在计算出每个特征值的绝对值之后，我们可以计算出雅可比迭代矩阵的谱半径。

谱半径即为所有特征值绝对值的最大值。

比如，如果特征值的绝对值分别为|1 |，|α2 |，|α3 |，|α4 |，那么谱半径的值就是max（|α1 |，|α2 |，|α3 |，|α4 |）。

（3）计算特征向量当求出雅可比迭代矩阵的谱半径之后，我们还需要求出它的特征向量。

特征向量是指与特征值相对应的向量，用来表示特征值的方向。

比如，如果特征值为α，我们可以求出它的特征向量v，使得Av=αv。

这样，我们就可以求出雅可比迭代矩阵的谱半径和特征向量了。

三、结论以上就是使用雅可比迭代矩阵求解谱半径的方法。

谱半径是迭代矩阵的重要特征，可以反映出迭代矩阵的收敛性。

雅可比迭代矩阵的谱半径求法通过迭代矩阵的特征和特征向量来求解。

数值分析实验报告--实验6--解线性方程组的迭代法

1 / 8数值分析实验六：解线性方程组的迭代法2016113 张威震1 病态线性方程组的求解1.1 问题描述理论的分析表明，求解病态的线性方程组是困难的。

实际情况是否如此，会出现怎样的现象呢？实验内容：考虑方程组Hx=b 的求解，其中系数矩阵H 为Hilbert 矩阵，,,1(),,,1,2,,1i j n n i j H h h i j n i j ⨯===+-这是一个著名的病态问题。

通过首先给定解（例如取为各个分量均为1）再计算出右端b 的办法给出确定的问题。

实验要求：（1）选择问题的维数为6，分别用Gauss 消去法、列主元Gauss 消去法、J 迭代法、GS 迭代法和SOR 迭代法求解方程组，其各自的结果如何？将计算结果与问题的解比较，结论如何？（2）逐步增大问题的维数（至少到100），仍然用上述的方法来解它们，计算的结果如何？计算的结果说明了什么？（3）讨论病态问题求解的算法1.2 算法设计首先编写各种求解方法的函数，Gauss 消去法和列主元高斯消去法使用实验5中编写的函数myGauss.m 即可，Jacobi 迭代法函数文件为myJacobi.m ，GS 迭代法函数文件为myGS.m ，SOR 方法的函数文件为mySOR.m 。

1.3 实验结果1.3.1 不同迭代法球求解方程组的结果比较选择H 为6*6方阵，方程组的精确解为x* = (1, 1, 1, 1, 1, 1)T ，然后用矩阵乘法计算得到b ，再使用Gauss 顺序消去法、Gauss 列主元消去法、Jacobi 迭代法、G-S 迭代法和SOR 方法分别计算得到数值解x1、x2、x3、x4，并计算出各数值解与精确解之间的无穷范数。

Matlab 脚本文件为Experiment6_1.m 。

迭代法的初始解x 0 = (0, 0, 0, 0, 0, 0)T ，收敛准则为||x(k+1)-x(k)||∞<eps=1e-6，SOR方法的松弛因子选择为w=1.3，计算结果如表1。

Toeplitz系数矩阵方程组的迭代解法

Toeplitz系数矩阵方程组的迭代解法方雅敏【摘要】主要讨论系数矩阵为非对称正定的Toeplitz的迭代求解,运用以系数矩阵的一个对称、反对称分裂为基础的SSS迭代方法.特别地分裂是一个中心对称分裂,可以利用中心对称矩阵的可约性来减少计算量和存储量.再通过几个数值例子验证了此方法的有效性.【期刊名称】《丽水学院学报》【年(卷),期】2008(030)002【总页数】4页(P25-28)【关键词】Toeplitz矩阵;迭代方法;矩阵分裂;谱半径;中心对称矩阵【作者】方雅敏【作者单位】丽水学院,数理学院,浙江,丽水,323000【正文语种】中文【中图分类】O241.80 引言考虑线性方程组Ax=b(1)的迭代求解，其中A∈Rn×n是非对称正定的Toeplitz矩阵，b∈Rn已知。

构造求解(1)的迭代方法需要系数矩阵A的有效的矩阵分袭。

例如Jacobi’s方法[1]和Gauss-seidel迭代方法[1]，在这几种方法中A=D-L-U，其中D为对角矩阵，-L 为A的严格下三角部分，-U为A的严格上三角部分。

在广义的CG方法[2]和广义的Lanczos方法[3]中矩阵A的分裂为A=H+S，其中是矩阵A的共轭转置,而SSS迭代方法用的矩阵分裂是A=F-G，(2)这里表示矩阵A的转置。

定义1[1] (1)方阵A=M-N称为A的一个分裂，如果|M|≠0。

(2)如方阵的各对角线上的元素分别都相等，则称此矩阵为Toeplitz矩阵。

定义2[2] 方阵A如满足JAJ=A，称其为中心对称矩阵；若JAJ=-A，则称其为反中心对称矩阵。

这里J仅次对角线元为1的其余元为0的方阵。

在分裂(2)中，由Toeplitz矩阵、中心对称矩阵及反中心对称矩阵的定义可知：F 是一个对称的Toeplitz矩阵，即其为一个中心对称矩阵；G是一个反对称的Toeplitz矩阵，则其为一个反中心对称矩阵。

对中心对称矩阵和反中心对称矩阵的可约性质，为了简单起见只考虑n=2m的情况。

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给定线性方程组Ａ－ｂ其中Ａ∈ｃｆ为非奇异矩阵，ａ一，ｂ为维列向量。解此类方程组常采用迭代法求
解。迭代法核心问题之一就是要研究相应迭代矩阵谱半径的界限，对于研究迭代法的收敛性以及收敛速这度等是非常有意义的。文献［ —６１］对于迭代矩阵为严格对角占优阵、双严格对角占优矩阵、一严格对角占ａ优矩阵和双ａ一严格对角占优矩阵等情形分别讨论了其谱半径的上界估计。本文的主要工作是：针对系数矩阵Ａ是ａ一严格对角占优矩阵以及广义ａ一严格对角占优矩阵时，出了常用的几种迭代方法其迭代矩阵给
ｓｒｃｌｏｍｉａｎｅａｎｗｐｐｒｂｎｏｈｅｓｃｒｌｒｄｉｆｔｔｒｔｖｔｉｔｙｄｎｃ，ｅｕｅｏｕｄｆｒｔｐｅｔａａｕｓｏｈｅｉｅａｉｅｍａｔｉｅａｅｅｔｄＰａａｅｅｓｉａｉｏｒｃｓｗｓｐｒｓｎｅ．ｒｍｔｒｅｔｍｔｏｎｆｒ
维普资讯
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２００８年９月
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Ｖｏ．ＯＦＩＡＡＯＮＩＮＧＮＩＲＳＴＹＥＴＲＯＬＵＶＥＩＯＦＰＥＵＭ＆ＣＨＥＭＩＣＡｌＴＥＣＨＮＯＩＯＧＹＳｐ０８ｅ．２０
给出了迭代矩阵谱半径新的上界。并讨论了ＪＲ方法参数的选取范围。结果不仅适用于ｏ严格对角占优矩阵，Ｏｒ一还适用于广义ａ一严格对角占优矩阵，改进了已有结论。最后用数值例子说明了所给结果的优越性。
文章编号：６２６５（０８０ —０７ —０１７ — ９２２０）３０９４
迭代矩阵谱半径的上界
田秋菊，宋岱才
（宁石油化Ｔ大学理学院，辽宁抚顺１３０）辽１０１
摘要：针对大型线性方程组求解时常用的几种迭代方法，于系数矩阵Ａ为ａ严格对角占优矩阵的情况，对一
ＪｔｏｓｄｓｕｓｄＲｅｕｔｒｐｌａｌｏｎｙｆｒｏ— ｄａｏａｓｒｃｌｏｎｎｅＯＲｍｅｈｄｗａｉｃｓｅ．ｓｌａｅａｐｉｂｅｎｔｏｌｏｓｃｒｉｇｎｌｔｉｔｙｄｍｉａｃ，ｂｔａｓｏｅｅａｉｄａｕｌｏｆｒｇｎｒｌｅ — ｚ
关键词：迭代法；ａ严格对角占优；谱半径；收敛性一
中图分类号：０２１６０１１２４．；５．
文献标识码：Ａ
ＵｐｅｕｎｆＳｐｃｒｌＲａｕｆＩｅａｉｅＭａｒｃｓｐｒＢｏｄｏｅｔａｄｉｓｏｔｒｔｖｔｉｅ
ＴＩＡＮｕｊＱｉ — ｕ，ＳｏＮＧｉｃｉＤａ — ａ
（ｃｏｌｆｃｅｃｓＳｈｏＳｉｎｅ。ＬｉｏｉｇＵｎｖｒｉｙｏｔｏｅｍ＆ＣｈｍｉａｃｎｌｇｏａｎｎｉｅｓｔｆＰｅｒｌｕｅｃｌＴｅｈｏｏｙ．
＊Ｃｏｒｓｏｄｎｕｈｒｒｅｐｎｉｇａｔｏ．Ｔｅ．＋８ — ４３６６８１ａ４８ — ４ — ６６８１ — ｍａｌｓｃ＠１３ｃｍ１：６１ — ８０２；ｆｘ：－６１３８０２；ｅｉ：ｄ１．ｏ６
１基本概念及引理
ｄａｎａｔｉｔｙｄｏｉｎｍａｉｅ．Ｔｈｋｎｉｇｏｌｓｒｃｌｍｎａｔｔｃｓｒｅｏｗｎｏｎｌｓｏｎｗａｉｐｒｖｅ．Ｆｉｌｙ，ｔｎｕｅｉａａｐｅｗｅｅｉｎｏｃｃｕｉｓｍｏｄｎａｌｗｏｍｒｃｌｅｘｍｌｓｒｇｖｅｆｒｉｌｔａｉｇａｖａｔｇｅｏｆｒｓｌｓｌｕｓｒｔｎｄｎａｅｕｔ．ＫｅｒｓＩｅａｉｅｈｙｗｏｄ：ｔｒｔｏｎｍｔｏｄ；ａ— ｄｉｇａｌｓｒｃｌｏｍｉｎｅ；Ｓｐｃｒａｕａｏｎｔｉｔｙｄｎａｃｅｔａｌｒｄｉｓ；Ｃｏｎｅｇｅｅｖｒｎｃ
Ｆｕｈｕａｏｎ１３ｓｎＬｉｎｉｇ００Ｉ。Ｐ．１Ｒ．Ｃｈｉａ）ｎＲｅｅｖｄ２ｃｉｅ２Ｎｏｖｍｂｒ２０７；ｒｖｓｄｐｒｌ０８；ａｃｐｔｄ２ａｙ２８ｅｅ０ｅｉｅ１Ａ０ｉ２０ｃｅｅ０Ｍ００Ａｂｔａｔｓｒｃ：ＡｃｏｒｎＯｓｖｒｌｉｅａｉｎｍｅｈｏｆｒｓｖｎａｇｅｌｎａｙｔｍ，ｗｈｅｏｆｉｉｎａｒｘｉ — ｄｉｇａｃｄｉｇｔｅｅａｔｒｔｏｔｄｓｏｏｌｉｇｌｒｉｅｒｓｓｅｎｃｅｆｃｅｔｍｔｉｓｏｆｏｒａｏｎｌ