【精品】山东省高三数学专题复习函数之应用题

2020届山东省新高考高三优质数学试卷分项解析专题04 一元函数导数及其应用(解析版)

专题4 一元函数导数及其应用从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力.预测2020年高考命题将保持稳定.主观题应用导数研究函数的性质，备考的面要注意做到全覆盖，如导数几何意义的应用、单调性问题、极（最）值问题、零点问题、不等式的证明、参数范围的确定等.一、单选题1．（2020届山东省烟台市高三上期末）函数sin y x x =+的部分图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由题,x ∈R ,设()sin f x x x =+,则()()sin sin f x x x x x -=-+-=-,故函数不具有奇偶性,可排除A 、B ；当02x π>>时,()sin f x x x =+,所以()1cos 0f x x '=+>,则()sin 0f x x ''=-<,即在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()f x 图像向上凸. 故选D2．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）函数sin x xx xy e e -+=+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】因为sin ()x x x xy f x e e -+==+，所以()sin sin ()x xx x x x x x f x e e e e---+----==++，得()()f x f x =--，所以sin x xx xy e e -+=+为奇函数，排除C ；设()sin g x x x =+，'()1cos 0g x x ∴=-≥恒成立，所以在[0,)+∞，()sin g x x x =+单调递增，所以()0sin 00g x ≥+=，故sin 0x xx xy e e-+=≥+在[0,)+∞上恒成立，排除AD ，故选：B.3．（2020届山东师范大学附中高三月考）已知()21ln 2f x x a x =-在区间()0,2上有极值点，实数a 的取值范围是（） A ．()0,2 B ．()()2,00,2-UC ．()0,4D ．()()4,00,4-U【答案】C 【解析】2()a x a f x x x x -'=-=,由于函数()f x 在(0,2)上有极值点，所以()f x '在(0,2)上有零点.所以02a a >⎧⎪，解得(0,4)a ∈. 故选：D.4．（2020届山东师范大学附中高三月考）已知偶函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其导函数为()f x '，当02x π<<时，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<成立，则关于x 的不等式()2cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭的解集为（）A ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．,0,442πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】根据题意设()()cos f x g x x =，则2()cos ()sin ()cos f x x f x x g x x'+'=，又当02x π<<时，()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则有()0g x '<，所以()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是偶函数，所以()()()()cos()cos f x f x g x g x x x--===-，所以()g x是偶函数，所以()()4()cos 4cos 4cos cos 4f f x f x f x x x x ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭<→<⇒<⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4g x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，又()g x 为偶函数，且在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，且定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则有||4x π>，解得24x ππ-<<-或42x ππ<<，即不等式的解集为,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B.5．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知0.5log 5a =、3log 2b =、0.32c =、212d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从这四个数中任取一个数m ，使函数()32123x mx x f x =+++有极值点的概率为（） A ．14B ．12C ．34D ．1【答案】B 【解析】f ′（x ）＝x 2+2mx +1，若函数f （x ）有极值点，则f ′（x ）有2个不相等的实数根，故△＝4m 2﹣4＞0，解得：m ＞1或m ＜﹣1，而a ＝log 0.55＜﹣2，0＜b ＝log 32＜1、c ＝20.3＞1，0＜d ＝（12）2＜1，满足条件的有2个，分别是a ，c ，故满足条件的概率p 2142==，故选：B ．6．（2020届山东实验中学高三上期中）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=-，且当2x >时，有()()()()2,11xf x f x f x f ''+>=若，则不等式()12f x x <-的解集是（） A ．(2,3) B ．(),1-∞C ．()()1,22,3⋃D ．()(),13,-∞⋃+∞【答案】A 【解析】根据题意，设()(2)()g x x f x =-，则()()111g f =-=-，则有(2)(2)g x xf x +=+，(2)(2)g x f x -=--，即有(2)(2)g x g x +=--，故函数()g x 的图象关于(2,0)对称，则有()()311g g =-=，当2x >时，()(2)()g x x f x =-，()(2)()()g x x f x f x '=-'+，又由当2x >时，()()2()x f x f x f x ''+>g ，即当2x >时，()0g x '>，即函数()g x 在区间(2,)+∞为增函数，由1()2f x x <-可得(2)()1x f x -<，即()()13g x g <=， 23x ∴<<，Q 函数()g x 的图象关于(2,0)对称，∴函数()g x 在区间(,2)-∞为增函数，由1()2f x x <-可得(2)()1x f x ->，即()1g x >，此时x 不存在，故选：A ．7．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）当直线10()kx y k k --+=∈R 和曲线E ：325(0)3y ax bx ab =++≠交于112233()()()A x y B x y C x y ，，，，，123()x x x <<三点时，曲线E 在点A ，点C 处的切线总是平行的，则过点()b a ，可作曲线E 的切线的条数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C 【解析】直线()10kx y k k R --+=∈过定点()1,1 由题意可知：定点()1,1是曲线()325:03E y ax bx b =++≠的对称中心， 51313a b b a ⎧++=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得131a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以曲线3215:33E y x x =-+，()1,13b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， f′（x ）=22x x - ，设切点M （x 0，y 0），则M 纵坐标y 0=32001533x x -+，又f′（x 0）=2002x x -， ∴切线的方程为：()()322000015y 233x x x x x x ⎛⎫--+=-- ⎪⎝⎭又直线过定点113⎛⎫- ⎪⎝⎭，()()322000011521333x x x x x ⎛⎫∴--+=--- ⎪⎝⎭，得30x ﹣03x -2=0，()()300210xx x --+=，即()()2000120x x x +--=解得：021x =-或故可做两条切线故选C8．（2020届山东省济宁市高三上期末）已知函数()()()ln 10f x x a x a a =+-+>,若有且只有两个整数12,x x 使得()10f x >,且()20f x >,则a 的取值范围是( )A ．3ln 30,2+⎛⎫⎪⎝⎭ B ．()0,2ln 2+C ．3ln 3,2ln 22+⎡⎫+⎪⎢⎣⎭ D ．2ln 243ln 3,32++⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】()()()ln 10f x x a x a a =+-+>，()()1'1f x a x=+-，()()1ln111f a a =+-+= 当1a ≤时，函数单调递增，不成立；当1a >时，函数在10,1a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调递增，在1,1a ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭上单调递增；有且只有两个整数12,x x 使得()10f x >,且()20f x >，故()20f >且()30f ≤ 即ln 2220,ln 22a a a +-+>∴<+；ln 33ln 3330,2a a a ++-+≤∴≥ 故选：C . 二、多选题9.(2020届山东省潍坊市高三上学期统考）函数()()1,1,ln 1,1,x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩若函数()()g x f x x a =-+只有一个零点，则a 可能取的值有（） A ．2 B ．2- C ．0 D ．1【答案】ABC 【解析】∵()()g x f x x a =-+只有一个零点， ∴函数()y f x =与函数y x a =-有一个交点，作函数函数()()1,1,ln 1,1,x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩与函数y x a =-的图象如下，结合图象可知，当0a ≤时；函数()y f x =与函数y x a =-有一个交点；当0a >时，ln(1)y x =-，可得11y x '=-，令111x =-可得2x =，所以函数在2x =时，直线与ln(1)y x =-相切，可得2a =.综合得：0a ≤或2a =. 故选：ABC.10．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知函数2,0()(1),0x x e mx m x f x e x x -⎧++<=⎨-≥⎩（e 为自然对数的底），若()()()F x f x f x =+-且()F x 有四个零点，则实数m 的取值可以为（） A ．1 B ．e C ．2e D ．3e【答案】CD 【解析】因为()()()F x f x f x =+-，可得()()F x F x =-，即()F x 为偶函数，由题意可得0x >时，()F x 有两个零点，当0x >时，0x -<，()2xf x e mx m -=-+即0x >时，()22xxxxF x xe e e mx m xe mx m =-+-+=-+，由()0F x =，可得20x xe mx m -+=，由(),21xy xe y m x ==-相切，设切点为(),tt te ，x y xe =的导数为(1)x y x e '=+，可得切线的斜率为(1)t t e +，可得切线的方程为(1)()tty te t e x t -=+-，由切线经过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得1(1)2t tte t e t ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，解得：1t =或12-（舍去），即有切线的斜率为2e ，故22,m e m e >∴>，故选：CD.11．（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数2()ln f x x x x =+，0x 是函数()f x 的极值点，以下几个结论中正确的是（） A ．010x e<C ．00()20f x x +<D ．00()20f x x +>【答案】AC 【解析】函数2()l (),n 0f x x x x x =+>,()ln 12f x x x '∴=++,∵0x 是函数()f x 的极值点，∴()'00f x =，即00ln 120x x ∴++=，120f e e'⎛⎫∴=> ⎪⎝⎭,0,()x f x '→→-∞Q ,010x e∴<<,即A 选项正确,B 选项不正确;()()()2000000000002ln 2l 21n 0f x x x x x x x x x x x +=++==-+++<,即C 正确,D 不正确.故答案为:AC.12．（2020届山东实验中学高三上期中）设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ⎧⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()x g x e a =-(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（）A ．12B C ．2e D【答案】BCD 【解析】Q 令函数21()()2T x f x x =-，因为2()()f x f x x -+=，22211()()()()()()()022T x T x f x x f x x f x f x x ∴+-=-+---=+--=，()T x ∴为奇函数，当0x „时，()()0T x f x x '='-<， ()T x ∴在(],0-∞上单调递减， ()T x ∴在R 上单调递减．Q 存在0{|()(1)}x x T x T x ∈-…， ∴得00()(1)T x T x -…，001x x -„，即012x „，()x g x e a =-Q ；1()2x „， 0x Q 为函数()y g x =的一个零点； Q当12x „时，()0x g x e '=-„， ∴函数()g x 在12x „时单调递减，由选项知0a >，取12x =<，又0g e⎛=> ⎝Q ，∴要使()g x 在12x „时有一个零点，只需使102g a ⎛⎫= ⎪⎝⎭„，解得a ，a ∴的取值范围为⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭，故选：BCD ．13．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）关于函数()2ln f x x x=+，下列判断正确的是（） A ．2x =是()f x 的极大值点 B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点 C ．存在正实数k ，使得()f x kx >成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若()()12f x f x =，则124x x +>. 【答案】BD 【解析】A .函数的的定义域为（0，+∞），函数的导数f ′（x ）22212x x x x-=-+=，∴（0，2）上，f ′（x ）＜0，函数单调递减，（2，+∞）上，f ′（x ）＞0，函数单调递增，∴x ＝2是f （x ）的极小值点，即A 错误；B .y ＝f （x ）﹣x 2x =+lnx ﹣x ，∴y ′221x x =-+-1222x x x-+-=＜0，函数在（0，+∞）上单调递减，且f （1）﹣12=+ln 1﹣1=1>0，f （2）﹣21=+ln 2﹣2= ln 2﹣1<0，∴函数y ＝f （x ）﹣x 有且只有1个零点，即B 正确； C .若f （x ）＞kx ，可得k 22lnx x x +＜，令g （x ）22lnx x x =+，则g ′（x ）34x xlnxx-+-=，令h （x ）＝﹣4+x ﹣xlnx ，则h ′（x ）＝﹣lnx ，∴在x ∈（0，1）上，函数h （x ）单调递增，x ∈（1，+∞）上函数h （x ）单调递减， ∴h （x ）⩽h （1）＜0，∴g ′（x ）＜0， ∴g （x ）22lnxx x=+在（0，+∞）上函数单调递减，函数无最小值， ∴不存在正实数k ，使得f （x ）＞kx 恒成立，即C 不正确； D .令t ∈（0，2），则2﹣t ∈（0，2），2+t ＞2，令g （t ）＝f （2+t ）﹣f （2﹣t ）22t =++ln （2+t ）22t ---ln （2﹣t ）244t t =+-ln 22t t+-，则g ′（t ）()22222222222244822241648(4)2(2)(4)4(4)t t t t t t t t t t t t t ----++---=+⋅=+=-+----＜0， ∴g （t ）在（0，2）上单调递减，则g （t ）＜g （0）＝0，令x 1＝2﹣t ，由f （x 1）＝f （x 2），得x 2＞2+t ，则x 1+x 2＞2﹣t +2+t ＝4，当x 2≥4时，x 1+x 2＞4显然成立，∴对任意两个正实数x 1，x 2，且x 2＞x 1，若f （x 1）＝f （x 2），则x 1+x 2＞4，故D 正确故正确的是BD ，故选：BD ．14．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知定义在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()00f =，()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则下列判断中正确的是( )A ．624f f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．ln03f π⎛⎫> ⎪⎝⎭C ．63f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．43f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】CD 【解析】令()()cos f x g x x =，0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则2()cos ()sin ()cos f x x f x xg x x'+'=，因为()cos ()sin 0f x x f x x '+<，所以2()cos ()sin ()0cos f x x f x x g x x '+'=<在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立，因此函数()()cos f x g x x =在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，因此64g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即64cos cos64f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>，即624f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错；又()00f =，所以(0)(0)0cos0f g ==，所以()()0cos f x g x x =≤在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立，因为ln0,32ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以ln 03f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，故B 错；又63g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以63coscos63f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭>，即63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；又43g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以43coscos43f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭>，即43f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确；故选：CD.15．（2020届山东省临沂市高三上期末）已知函数()sin cos f x x x x x =+-的定义域为[)2,2ππ-，则（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 在[)0,π上单调递增C ．()f x 恰有4个极大值点D ．()f x 有且仅有4个极值点【答案】BD 【解析】因为()f x 的定义域为[)2,2ππ-，所以()f x 是非奇非偶函数，()sin cos f x x x x x =+-Q()()1cos cos sin 1sin f x x x x x x x '∴=+--=+，当[)0,x Îp 时，()0f x '>，则()f x 在[)0,p 上单调递增. 显然()00f '≠，令()0f x '=，得1sin x x=-，分别作出sin y x =，1y x=-在区间[)2,2ππ-上的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间[)2,2ππ-上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故()f x 在区间[)2,2ππ-上的极值点的个数为4，且()f x 只有2个极大值点.故选：BD .16．（2020届山东省泰安市高三上期末）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()1x f x e x =+，则下列命题正确的是（）A ．当0x >时，()()1xf x e x -=--B ．函数()f x 有3个零点C ．()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃D ．12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -< 【答案】BCD 【解析】（1）当0x >时，0x -<，则由题意得()()1xf x e x --=-+，∵ 函数()f x 是奇函数，∴ ()00f =，且0x >时，()()f x f x =--()1x ex -=--+()1x e x -=-，A 错；∴ ()()()1,00,01,0x x e x x f x x e x x -⎧+<⎪==⎨⎪->⎩，（2）当0x <时，由()()10xf x e x =+=得1x =-，当0x >时，由()()10xf x ex -=-=得1x =，∴ 函数()f x 有3个零点1,0,1-，B 对；（3）当0x <时，由()()10xf x e x =+<得1x <-，当0x >时，由()()10xf x ex -=-<得01x <<，∴ ()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃，C 对；（4）当0x <时，由()()1xf x e x =+得()()'2x f x e x =+，由()()'20xf x ex =+<得2x <-，由()()'20x f x e x =+≥得20x -≤<，∴ 函数()f x 在(],2-∞-上单调递减，在[)2,0-上单调递增， ∴函数在(),0-∞上有最小值()22f e --=-，且()()1xf x ex =+()0011e <⋅+=，又∵ 当0x <时，()()10xf x ex =+=时1x =-，函数在(),0-∞上只有一个零点，∴当0x <时，函数()f x 的值域为)2,1e -⎡-⎣，由奇函数的图象关于原点对称得函数()f x 在R 的值域为()221,,1e e --⎤⎡-⋃-⎦⎣()1,1=-， ∴ 对12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -<，D 对；故选：BCD ．三、填空题17．（2020·全国高三专题练习（文））设点P 是曲线2x y e x =+上任一点，则点P 到直线10x y --=的最小距离为__________．【解析】由题,过点P 作曲线2x y e x =+的切线,则2xy e x '=+,设点()00,P x y ,则002xk e x =+,当切线与直线10x y --=平行时点P 到该直线距离最小,则0021xe x +=,即00x =,所以点P 为()0,1,则点P 到直线10x y --==,18．（2020届山东省滨州市高三上期末）曲线(1)xy x e =+在点(0,1)处的切线的方程为__________．【答案】21y x =+ 【解析】(2)212,21x y x e k y x y x =+∴=∴=='-+Q19．（2020届山东省九校高三上学期联考）直线y x =与曲线()2ln y x m =+相切，则m =__________. 【答案】22ln 2- 【解析】函数()2ln y x m =+的导函数2y x m'=+，设切点坐标00(,)x y ，则()0002ln 21x x m x m=+=+⎧⎪⎨⎪⎩，解得：02ln 2,22ln 2x m ==-. 故答案为：22ln 2-20．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知函数()()()212ln f x a x x =---.若函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，则a 的最小值为________.【答案】24ln 2- 【解析】因为()0f x <在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立不可能，故要使函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，只要对任意的10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x >恒成立，即对任意的10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2ln 21x a x >--恒成立.令()2ln 21x l x x =--，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()222ln 2'1x x l x x +-=-，再令()22ln 2m x x x =+-，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()22212'20x x x xm x ---==+<，故()m x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，于是()122ln 202m x m ⎛⎫>=->⎪⎝⎭，从而()'0l x >，于是()l x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，所以()124ln 22l x l ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭，故要使2ln 21xa x >--恒成立，只要[)24ln 2,a ∈-+∞，综上，若函数()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上无零点，则a 的最小值为24ln 2-.故答案为：24ln 2-21．（2020届山东省泰安市高三上期末）设函数()f x 在定义域(0，+∞)上是单调函数，()()0,,x x f f x e x e ⎡⎤∀∈+∞-+=⎣⎦，若不等式()()f x f x ax '+≥对()0,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】(],21e -∞- 【解析】由题意可设()xf x e x t -+=，则()xf x e x t =-+，∵()xf f x e x e ⎡⎤-+=⎣⎦，∴()ttf t e t t e e =-+==，∴1t =，∴()1xf x e x =-+，∴()1xf x e '=-，由()()f x f x ax '+≥得11x x e x e ax -++-≥，∴21xe a x≤-对()0,x ∈+∞恒成立，令()21xe g x x =-，()0,x ∈+∞，则()()221'x e x g x x-=，由()'0g x =得1x =，∴()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增， ∴()()121g x g e ≥=-， ∴21a e ≤-，故答案为：(],21e -∞-．22．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）关于函数()2ln f x x x=+，下列判断正确的是（） A ．2x =是()f x 的极大值点 B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点 C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则124x x +> 【答案】BD 【解析】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()'22x f x x -=，所以()f x 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增，所以2x =是()f x 的极小值点.故A 选项错误.（2）构造函数()()()2ln 0g x f x x x x x x =-=+->，()()2'22x x g x x --+=2217240x x⎡⎤⎛⎫--+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=<，所以()g x 在()0,∞+上递减.而()1ln 210g =+>，()2ln 210g =-<，()()120g g ⋅<.所以()g x 有且只有一个零点.故B 选项正确.（3）构造函数()()()2ln 0,0h x f x kx x kx x k x =-=+->>.()2'22kx x h x x-+-=，由于0k -<，22y kx x =-+-开口向下，0x →和x →+∞时，220y kx x =-+-<，即()2'220kx x h x x-+-=<，x →+∞时()0h x <，故不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立，C 选项错误.（4）由（1）知，()f x 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增， 2x =是()f x 的极小值点.由于任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，()()12f x f x =，故1202x x <<<.令211x t x =>，21x tx =.由()()12f x f x =得121222ln ln x x x x +=+，即2121212ln x x x x x x -⋅=，即()11112ln t x t x tx -⋅=⋅，解得()121ln t x t t-=⋅，则()2121ln t t x tx t t -==⋅.所以21222ln t x x t t-+=⋅.要证124x x +>，即证1240x x +->，即证2222224ln 40ln ln t t t t t t t t----=>⋅⋅，由于1t >，所以ln 0t t >，故即证()2224ln 01t t t t -->>①.构造函数()()2224ln 1h t t t t t =--≥（先取1t ≥），()10h =；()'44ln 4h t t t =--，()'10h =；()()''41440t h t t t-=-=>.所以()'h t 在[)1,+∞上为增函数，所以()()''10h t h ≥=，所以()h t 在[)1,+∞上为增函数，所以()()10h t h ≥=.故当1t >时，()0h t >.即证得①成立，故D 选项正确. 故选：BD.23．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知函数()ex x f x =（e是自然对数的底数），则函数()f x 的最大值为______；若关于x 的方程()()22210f x tf x t ++-=⎡⎤⎣⎦恰有3个不同的实数解，则实数t 的取值范围为______. 【答案】1e e 11,2e 2-⎛⎫⎪⎝⎭ 【解析】（1）()f x 的定义域为R ，()'1xx f x e -=，故()f x 在(),1-∞上递增，在()1,+∞上递减，所以()11f e=是()f x 的极大值也即是最大值.（2）由（1）知()f x 在(),1-∞上递增，在()1,+∞上递减，最大值为()11f e=. 当0x >时()0f x >，当0x =时，()0f x =，当0x <时，()0f x <. 由()()22210f x tf x t ++-=⎡⎤⎣⎦，即()()2110f x t f x +-+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦. 由上述分析可知()()10,1f x f x +==-有一个解1x .故需()()210,12f x t f x t +-==-有两个不同的解，由上述分析可知1012t e <-<，解得1122e t e -<<.所以实数t 的取值范围是e 11,2e 2-⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：（1）1e ；（2）e 11,2e 2-⎛⎫⎪⎝⎭. 四、解答题24．（2020届山东省临沂市高三上期末）已知函数()()2ln 1sin 1f x x x =+++，函数()1ln g x ax b x =--（,,0a b ab ∈≠R ）. （1）讨论()g x 的单调性；（2）证明：当0x ≥时，()31f x x ≤+. （3）证明：当1x >-时，()()2sin 22exf x x x <++.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】（1）解：()g x 的定义域为()0,∞+，()a g x x bx'=-，当0a >，0b <时，()0g x '>，则()g x 在()0,∞+上单调递增；当0a >，0b >时，令()0g x '>，得b x a >，令()0g x '<，得0b x a <<，则()g x 在0,b a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在,b a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增；当0a <，0b >时，()0g x '<，则()g x 在()0,∞+上单调递减；当0a <，0b <时，令()0g x '>，得0b x a <<，令()0g x '<，得b x a >，则()g x 在0,b a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在,b a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减；（2）证明：设函数()()()31h x f x x =-+，则()2cos 31x x h x '=+-+. 因为0x ≥，所以(]20,21x ∈+，[]cos 1,1x ∈-，则()0h x '≤，从而()h x 在[)0,+∞上单调递减，所以()()()()3100h x f x x h =-+≤=，即()31f x x ≤+. （3）证明：当1a b ==时，()1ln g x x x =--.由（1）知，()()min 10g x g ==，所以()1ln 0g x x x =--≥，即1ln x x ≥+.当1x >-时，()210x +>，()2sin 1e 0x x +>，则()()22sin sin 1e 1ln 1e xx x x ⎡⎤++≥+⎣⎦，即()()2sin 1e 2ln 1sin 1x x x x ++++≥，又()()22sin sin 22e1e xx x x x ++>+，所以()()2sin 22e2ln 1sin 1xx x x x ++>+++，即()()2sin 22exf x x x <++.25．（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数()32112f x x x ax =-++．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若函数()1f x x =在处有极小值，求函数()f x 在区间32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值．【答案】（1）210x y -+=；（2）4927. 【解析】（1）当2a =时，321()212f x x x x =-++，2()32f x x x '=-+，所以(0)2f '=，又(0)1f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处切线方程为12y x -=，即210x y -+=. （2）因为2()3f x x x a '=-+，因为函数()1f x x =在处有极小值，所以(1)202f a a '=+=⇒=-，所以2()32f x x x '=-- 由()0f x '=，得23x =-或1x =，当23x <-或1x >时，()0f x '>，当213x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在22,3⎛⎫--⎪⎝⎭，31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上是减函数，因为249327f ⎛⎫-=⎪⎝⎭，3124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()f x 的最大值为249327f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 26．（2019·夏津第一中学高三月考）已知函数()()11ln f x x m x m R x x ⎛⎫=+-+∈ ⎪⎝⎭．（1）当1m >时，讨论()f x 的单调性；（2）设函数()()1m g x f x x-=+，若存在不相等的实数1x ，2x ，使得()()12g x g x =，证明：120m x x <<+．【答案】（1）见解析；（2）详见解析. 【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.'21()1m m f x x x -=+-2221(1)[(1)]x mx m x x m x x-+----==，因为1m >，所以10m ->，①当011m <-<，即12m <<时，由()0f x '>得1x >或1x m <-，由()0f x '<得11m x -<<，所以()f x 在()0,1m -，()1,+∞上是增函数，在()1,1m -上是减函数； ②当11m -=，即2m =时()0f x '≥，所以()f x 在()0,∞+上是增函数；③当11m ->，即2m >时，由()0f x '>得1x m >-或1x <，由()0f x '<得11x m <<-，所以()f x 在()0,1，()1,m -+∞.上是增函数，在()1,1m -.上是减函综上可知：当12m <<时()f x 在()0,1m -，()1,+∞上是单调递增，在()1,1m -上是单调递减；当2m =时，()f x 在()0,∞+.上是单调递增；当2m >时()f x 在()0,1，()1,m -+∞上是单调递增，在()1,1m -上是单调递减. （2）1()()ln m g x f x x m x x -=+=-，()1mg x x'=-，当0m ≤时，()0g x '> ，所以()g x 在()0,∞+上是增函数，故不存在不相等的实数1x ，2x ，使得()()12 g x g x =，所以0m >.由()()12 g x g x =得1122ln ln x m x x m x -=-，即()2121ln ln m x x x x -=-，不妨设120x x <<，则21210ln ln x x m x x -=>-，要证12m x x <+，只需证211221ln ln x x x x x x -<+-，即证212112ln ln x xx x x x -<-+，只需证2122111ln 1x x x x x x -<+，令211x t x =>，只需证1ln 1t t t -<+，即证10l 1n t t t -->+，令1()ln (1)1t h t t t t -=->+，则222121()0(1)(1)t h t t t t t +'=-=>++，所以()h t 在()1,+∞上是增函数，所以()(1)0h t h >=，从而10l 1n t t t -->+，故120m x x <<+. 27．（2020届山东省泰安市高三上期末）已知函数()xf x e ax =-． (1)当0a >时，设函数()f x 的最小值为()g a ，证明：()1g a ≤； (2)若函数()()212h x f x x =-有两个极值点()1212,x x x x <，证明：()()122h x h x +>．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）()()0xf x e a a '=->，令()0f x '=，解得ln x a =，当ln x a >时，()0f x '>，当ln x a <时，()0f x '<，()()min ln ln f x f a a a a ∴==-，()()ln 0g a a a a a ∴=->，令()()ln 0g x x x x x =->，则()ln g x x '=-，令()0g x '=，解得1x =，∴当()0,1x ∈时，()0g x '>，当()1x ∈+∞，时，()0g x '<，()()max 11g x g ∴==，()1g x ∴≤，∴当0a >时，()1g a ≤；（2）()212xh x e ax x =--，()x h x e a x '=--，令()xx e a x ϕ=--，则()1xx e ϕ'=-，令()0x ϕ'=，解得0x =，当0x >时，()0x ϕ'>，当0x <时，()0x ϕ'<，()()min 01x a ϕϕ∴==-，又函数()h x 有两个极值点，则10a -<，1a ∴>，且120x x <<，∴当()1x x ∈-∞，时，()h x 单调递增，当()10x x ∈，时，()h x 单调递减，∴当()0x ∈-∞，时，()()1h x h x ≤，又()2,0x -∈-∞，()()21h x h x ∴-≤，()()()()22212222x x h x h x h x h x e e x -∴+≥-+=+-，令()()20xxm x e ex x -=+-≥，则()12x x m x e x e'=--，令()()n x m x '=，则()120xx n x e e'=+-≥， ()n x ∴在[)0,+∞上单调递增，()()()00m x n x n '∴=≥=， ()m x ∴在[)0,+∞上单调递增，()()02m x m ∴≥=，20x >Q ，()222222x x m x e e x -∴=+->，即()()222h x h x -+>，()()122h x h x ∴+>．28．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）设函数()()ln 1f x ax bx =++，()()2g x f x bx =-.（1）若1a =，1b =-，求函数()f x 的单调区间；（2）若曲线()y g x =在点()1,ln3处的切线与直线1130x y -=平行. ①求a ，b 的值；②求实数()3k k ≤的取值范围，使得()()2g x k x x >-对()0,x ∈+∞恒成立.【答案】（1）()f x 的单调增区间为()1,0-，单调减区间为()0,+?（2）①23a b =⎧⎨=-⎩②[]1,3k ∈【解析】（1）当1a =，1b =-时，()()()ln 11f x x x x =+->-，则()111'1xx xx f --=++=.当()'0f x >时，10x -<<；当()'0f x <时，0x >；所以()f x 的单调增区间为()1,0-，单调减区间为()0,+?.（2）①因为()()()()22ln 1g x f x bx ax b x x=-=++-，所以()()'121a g x b x ax =+-+，依题设有()()()1ln 111'13g a g =+⎧⎪⎨=⎪⎩，即()ln 1ln 31113a a b a+=⎧⎪⎨-=⎪+⎩. 解得23a b =⎧⎨=-⎩.②()()()2ln 123g x x x x=+--，1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭. ()()2g x k x x >-对()0,x ∈+∞恒成立，即()()20g x k x x -->对()0,x ∈+∞恒成立. 令()()()2F x g x k x x =--，则有()()2431'12k x k F x x-+-=+. 当13k ≤≤时，当()0,x ∈+∞时，()'0F x >，所以()F x 在()0,+?上单调递增.所以()()00F x F >=，即当()0,x ∈+∞时，()()2g x k x x >-；当1k <时，当x ⎛∈ ⎝时，()'0F x <，所以()F x在⎛ ⎝上单调递减，故当x ⎛∈ ⎝时，()()00F x F <=，即当()0,x ∈+∞时，()()2g x k x x >-不恒成立. 综上，[]1,3k ∈.29．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知函数()()245x af x x x a R e=-+-∈. ()Ⅰ若()f x 在(),-∞+∞上是单调递增函数，求a 的取值范围；()Ⅱ设()()x g x e f x =，当m 1≥时，若()()()122g x g x g m +=，且12x x ≠，求证：122x x m +<.【答案】（1）[)2,a e ∈+∞（2）见解析【解析】解：()1 Q ()f x 在(),-∞+∞上是单调递增函数,∴在x R ∈上，()240x af x x e=-+≥'恒成立，即：()42x a x e ≥-∴设()()42x h x x e =- R x ∈ ∴ ()()22x h x x e =-'，∴当(),1x ∈-∞时()0h x '>，∴ ()h x 在(),1x ∈-∞上为增函数， ∴当()1,x ∈+∞时()0h x '<，∴ ()h x 在()1,x ∈+∞上为减函数， ∴ ()()max 12h x h e ==Q ()max42xa x e ⎡⎤≥-⎣⎦∴ 2a e ≥，即[)2,a e ∈+∞ .()2方法一：因为()()245x g x e x x a =-+-，所以()()2'10x g x e x =-≥，所以()g x 在(),-∞+∞上为增函数，因为()()()122g x g x g m +=，即()()()()12g x g m g m g x -=-，()()()()12g x g m g m g x --和同号，所以不妨设12x m x <<,设()()()()22(1)h x g m x g x g m x m =-+->≥，…8分所以()()()222'211m x x h x e m x e x -=---+-，因为2m x x e e -<，()()()()2221122220m x x m m x ----=--≤，所以()'0h x >，所以()h x 在(),m +∞上为增函数，所以()()0h x h m >=，所以()()()()222220h x g m x g x g m =-+->，所以()()()()22122g m x g m g x g x ->-=，所以212m x x ->，即122x x m +<. 方法二：Q ()()()245x x g x e f x x x e a ==-+-()()()122g x g x g m += [)1,m ∈+∞，∴ ()()()12222112245452452x x m x x e a x x e a m m e a -+-+-+-=-+- ∴ ()()()1222211224545245x x m x x e x x e m m e -++-+=-+∴设()()245x x x x e ϕ=-+ x R ∈，则()()()122x x m ϕϕϕ+=， ∴ ()()210x x x e ϕ'=-≥ ∴ ()x ϕ在x R ∈上递增且()10ϕ'=令()1,x m ∈-∞，()2,x m ∈+∞设()()()F x m x m x ϕϕ=++-, ()0,x ∈+∞，∴ ()()()2211m x m x F x m x e m x e +----'=+- Q 0x >∴ 0m x m x e e +->>，()()()22112220m x m x m x +----=-≥ ∴ ()0F x '>， ()F x 在()0,x ∈+∞上递增， ∴ ()()()02F x F m ϕ>=，∴ ()()()2m x m x m ϕϕϕ++->，()0,x ∈+∞令1x m x =-∴ ()()()112m m x m m x m ϕϕϕ+-+-+>即：()()()1122m x x m ϕϕϕ-+> 又Q()()()122x x m ϕϕϕ+=，∴ ()()()()12222m x m x m ϕϕϕϕ-+->即：()()122m x x ϕϕ-> Q ()x ϕ在x R ∈上递增∴ 122m x x ->，即：122x x m +<得证.30．（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知函数()()2(,)1xf x ae x a Rg x x =--∈=.(1)讨论函数()f x 的单调性;(2)当0a >时，若曲线()1:1C y f x x =++与曲线()2:C y g x =存在唯一的公切线，求实数a 的值;(3)当1,0a x =≥时，不等式()()1f x kxln x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）见解析（2）24a e =（3）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】(1)()1xf x ae '=-，当0a ≤时，()'0f x <恒成立，()f x 在()-∞+∞，上单调递减，当0a >时，由()'0f x =，解得x lna =-，由于0a >时，导函数()1xf x ae '=-单调递增，故 ()x lna ∈-∞-，，()()0,f x f x '<单调递减， ()()(),,0,x lna f x f x '∈-+∞>单调递增. 综上，当0a ≤时()f x 在()-∞+∞，上单调递减; 当0a >时， ()f x 在()lna -∞-，上单调递减，在,()lna -+∞上单调递增. . (2)曲线11:x C y ae =与曲线222:C y x =存在唯一公切线，设该公切线与12,C C 分别切于点()()12122,,,x x ae x x ，显然12xx ≠.由于12','2xy ae y x ==，所以11222122x x ae x ae x x x -==-，1222212222222x x x x ae x x x -=-=- ， 2122222x x x x ∴-=由于0a >，故20x >，且21220x x =-> 因此11x >，此时()111214(2 1)1x x x x a x e e -==>，设()()1 4()1xx F x x e =>-问题等价于直线y a =与曲线()y F x =在1x >时有且只有一个公共点，又()4(2 )xx F x e-'=，令()'0F x =，解得2x =，则()F x 在()1,2上单调递增，(2,)+∞上单调递减，而()()242,10F F e==，当x →+∞时，()0F x → 所以()F x 的值域为240,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦. 故24a e =. (3)当1a =时，()1xf x e x =--，问题等价于不等式()11x e x kxln x --≥+，当0x ≥时恒成立.设()()110()xh x e x kxln x x =---+≥，()00h =，又设()()()' 1 11) 0(xx m x h x e k ln x x x ⎡⎤==--++≥⎢⎥+⎣⎦则()()211'11xm x e k x x ⎡⎤=-+⎢⎥++⎢⎥⎣⎦而()'012m k =-. (i)当120k -≥时，即12k ≤时，由于0,1xx e ≥≥，()()2211111112111k x x x x ⎡⎤⎡⎤+≤+≤⎢⎥⎢⎥++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦此时()()'0,m x m x ≥在[0,)+∞上单调递增. 所以()()00m x m ≥=即()'0h x ≥，所以()h x 在[0,)+∞上单调递增所以()()00h x h ≥=，即()110xe x kxln x ---+≥，故12k ≤适合题意.(ii)当12k >时，()'00m <，由于()()21111xm x e k x x ⎡⎤'=-+⎢⎥++⎢⎥⎣⎦在[0,)+∞上单调递增，令()20x ln k =>，则()()211'222201ln 21ln 2m ln k k k k k x x ⎡⎤=-+>-=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，故在()0,ln 2k 上存在唯一o x ，使()'0o m x =，因此当()00,x x ∈时，()()'0,m x m x <单调递减，所以()()00m x m <=，即()()'0,h x h x ≤在()00,x 上单调递减，故()()00h x h <=，亦即()1 10xe x hxln x ---+<，故12k >时不适合题意，综上，所求k 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 31．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知函数()ln(2)f x x a =+(0,0)x a >>，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线在y 轴上的截距为2ln 33-. （1）求a ；（2）讨论函数()()2g x f x x =-(0)x >和2()()21xh x f x x =-+(0)x >的单调性；（3）设12,5a =()1n n a f a +=，求证：1521202n nn a +-<-<(2)n ≥. 【答案】（1）1a = （2）()()2g x f x x =-(0)x >为减函数，2()()12xh x f x x=-+(0)x >为增函数. （3）证明见解析【解析】（1）对()ln(2)f x x a =+求导，得2()2f x x a'=+.因此2(1)2f a'=+.又因为(1)ln(2)f a =+，所以曲线()y f x =在点(1,(1)f 处的切线方程为2ln(2)(1)2y a x a -+=-+，即22ln(2)22y x a a a=++-++. 由题意，22ln(2)ln 323a a +-=-+. 显然1a =，适合上式. 令2()ln(2)2a a aϕ=+-+(0)a >，求导得212()02(2)a a a ϕ'=+>++，因此()a ϕ为增函数：故1a =是唯一解.（2）由（1）可知，()ln(21)2g x x x =+-(0),x >2()ln(21)21xh x x x =+-+(0)x >，因为24()202121xg x x x '=-=-<++，所以()()2g x f x x =-(0)x >为减函数. 因为222()21(21)h x x x '=-++240(21)xx =>+，所以2()()12xh x f x x =-+(0)x >为增函数.（3）证明：由12,5a =()()1ln 21n n n a f a a +==+，易得0n a >.15212225n nn nn a a +-<-⇔< 由（2）可知，()()2g x f x x =-ln(21)2x x =+-在(0,)+∞上为减函数. 因此，当0x >时，()(0)0g x g <=，即()2f x x <. 令1(2)n x a n -=≥，得()112n n f a a --<，即12n n a a -<. 因此，当2n ≥时，21121222n n n n a a a a ---<<<⋅⋅⋅<25n=.所以152122n n na +-<-成立.。

山东省济宁市高三数学一轮复习专项训练幂函数、二次

幂函数、二次函数1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 ( )． A ．y ＝1x(x ∈R ，且x ≠0)B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(x ∈R )C ．y ＝x (x ∈R )D ．y ＝－x 3(x ∈R )解析对于f (x )＝－x 3，∵f (－x )＝－(－x )3＝－(－x 3)＝－f (x )，∴f (x )＝－x 3是奇函数，又∵y ＝x 3在R 上是增函数，∴y ＝－x 3在R 上是减函数．答案 D2．如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是 ( )．A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D ．①y ＝x 3，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －1解析因为y ＝x 3的定义域为R 且为奇函数，故应为图①；y ＝x 2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B 正确．答案 B3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于 ( )．A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析 f (a )＋f (1)＝0⇔f (a )＋2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，2a ＋2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＋1＋2＝0，解得a ＝－3. 答案 A4．若f (x )是幂函数，且满足f 4f 2＝3.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________.解析设f (x )＝x α，由f 4f 2＝3，得4α2α＝3，解得α＝log 23，故f (x )＝x log 23，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝2－log 23＝2log 213＝13.答案 135．幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值为 ( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析设f (x )＝x n ，∴f (4)＝12，即4n＝12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＝4－n ＝2.答案 B6．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )．A.12B ．1C.32D ．2解析 ∵f (x )＝k ·x α是幂函数，∴k ＝1.又f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，∴α＝12，∴k ＋α＝1＋12＝32.答案 C7、已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则log 4f (2)的值为( )．A.14 B ．－14C ．2D ．－2 解析：设f (x )＝x α，由图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22＝1212⎛⎫⎪⎝⎭⇒α＝12，log 4f (2)＝4log 122＝14. 答案：A8、函数y ＝13x的图象是( )．解析：显然f(－x)＝－f(x)，说明函数是奇函数，同时由当0＜x＜1时，x31＞x；当x＞1时，x31＜x，知只有B选项符合．答案B9、如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的是( )．A．②④ B．①④C．②③ D．①③解析因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1,2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，④正确．答案 B10、若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．审题路线f(0)＝1求c→f(x＋1)－f(x)＝2x比较系数求a，b→构造函数g(x)＝f(x)－2x－m→求g(x)min→由g(x)min＞0可求m的范围．解(1)由f(0)＝1，得c＝1.∴f(x)＝ax2＋bx＋1.又f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可． ∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0得，m <－1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1).11、求函数f (x )＝－x (x －a )在x ∈[－1,1]上的最大值．[规范解答] 函数f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋a24的图象的对称轴为x ＝a 2，应分a 2＜－1，－1≤a 2≤1，a 2＞1，即a ＜－2，－2≤a ≤2和a ＞2三种情形讨论． (2分)(1)当a ＜－2时，由图(1)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝－1－a ； (5分)(2)当－2≤a ≤2时，由图(2)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a24； (8分)(3)当a ＞2时，由图(3)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (1)＝a －1. (11分)综上可知，f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧－a －1，a ＜－2，a24，－2≤a ≤2，a －1，a ＞2.(12分)12．幂函数的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，则它的单调递增区间是( )． A ．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(－∞，＋∞)解析设幂函数y ＝x α，则2α＝14，解得α＝－2，所以y ＝x －2，故函数y ＝x －2的单调递增区间是(－∞，0)．答案 C13．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( )． A ．f (－2)＜f (0)＜f (2) B ．f (0)＜f (－2)＜f (2) C ．f (2)＜f (0)＜f (－2) D ．f (0)＜f (2)＜f (－2)解析函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x 都有f (1＋x )＝f (－x )．可知函数f (x )图象的对称轴为x ＝12，又函数图象开口向上，自变量离对称轴越远函数值越大．答案 D14．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )．A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x 为增函数，由于f (x )是奇函数，故f (x )在R 上为增函数．由f (2－a 2)＞f (a )得2－a 2＞a ，解得－2＜a ＜1.故实数a 的取值范围是(－2,1)．答案 C15．已知函数y ＝－x 2＋4ax 在区间[1,3]上单调递减，则实数a 的取值范围是________．解析根据题意，得对称轴x ＝2a ≤1，所以a ≤12.答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，x －13，x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．解析将方程有两个不同的实根转化为两个函数图象有两个不同的交点．作出函数f (x )的图象，如图，由图象可知，当0<k <1时，函数f (x )与y ＝k 的图象有两个不同的交点，所以所求实数k 的取值范围是(0,1)．答案 (0,1)17．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，求函数的最小值g (a )．解 ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴对称轴为直线x ＝1，而x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，应进行讨论．当－2<a <1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ；当a ≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2<a <1，－1，a ≥1.18．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象：(1)写出函数f (x )(x ∈R )的增区间； (2)写出函数f (x )(x ∈R )的解析式；(3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2(x ∈[1,2])，求函数g (x )的最小值．解 (1)f (x )在区间(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增．(2)设x ＞0，则－x ＜0，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ， ∴f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋2×(－x )＝x 2－2x (x ＞0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2xx ＞0，x 2＋2xx ≤0.(3)g (x )＝x 2－2x －2ax ＋2，对称轴方程为x ＝a ＋1，当a ＋1≤1，即a ≤0时，g (1)＝1－2a 为最小值；当1＜a ＋1≤2，即0＜a ≤1时，g (a ＋1)＝－a 2－2a ＋1为最小值；当a ＋1＞2，即a ＞1时，g (2)＝2－4a 为最小值．综上，g (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a a ≤0，－a 2－2a ＋10＜a ≤1，2－4a a ＞1.。

2023届山东省高三数学春考一轮复习《函数的应用》课件

3.5函数的应用
CONTENTS
01
02
03
04
05
考纲解读知识点回顾
典型例题解题步骤
历年真题
检测题
考纲解读
1.分析简单实际问题中的数量关系，并建立相应的数学模型 2.能够运用一次函数、二次函数的模型解决某些简单的实际问题
知识点回顾
解函数应用题的一般步骤： 1.审题:阅读题目，准确理解题意，弄清每一个词语的含义，把所求的量设成未知数. 2.建模:理清题目中各种数量之间的关系，联想归结为自己熟悉的某种数量关系，构成函数模型，关注题目中的各种限制条件. 3.求解:利用所学的数学知识，进行恒等变形求解。 4.作答:根据限制条件给出最终答案。
历年真题
（2014）有一块边长为6cm的等边三角形钢板，要从中截取一块矩形材料，如图所示，求所截得的矩形的最大面积。
检测题
1.某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元。为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售。经调查，每件每降价1元，平均每天可多卖出2件。（1）若商场要求该服装部每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最大？
典型例题
例1：
已知A，B两地相距150千米，某人开车以50千米╱时的速度从A地到B地，在B地停留一小时后，再以60千米╱时的速度返回A地。 1.试写出汽车离开A地的距离，y（千米）与时间x（小时）的函数关系式，并画出函数图像 2.经过5.5小时后，汽车离A地多少千米？
典型例题例2：老张想利用足够长的一面旧墙围一个矩形的养鸡场，他现有篱笆材料180米。怎样围才能使养鸡场的面积最大？最大面积是多少？
历年真题

山东省济宁市高三数学一轮复习专项训练函数的应用(含解析)

山东省济宁市高三数学一轮复习专项训练函数的应用（含解析）1．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为( )． A ．45.606万元B ．45.6万元C ．45.56万元D ．45.51万元解析依题意可设甲销售x 辆，则乙销售(15－x )辆，总利润S ＝L 1＋L 2，则总利润S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30＝－0.15(x －10.2)2＋0.15×10.22＋30(x ≥0)，∴当x ＝10时，S max ＝45.6(万元)．答案 B2．(12分)为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x (分)与通话费y (元)的关系分别如图①、②所示．(1)分别求出通话费y 1，y 2与通话时间x 之间的函数关系式；(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜？解 (1)由图象可设y 1＝k 1x ＋29，y 2＝k 2x ，把点B (30,35)，C (30,15)分别代入y 1，y 2得k 1＝15，k 2＝12. ∴y 1＝15x ＋29，y 2＝12x . (2)令y 1＝y 2，即15x ＋29＝12x ，则x ＝9623. 当x ＝9623时，y 1＝y 2，两种卡收费一致；当x <9623时，y 1>y 2，即使用“便民卡”便宜；当x >9623时，y 1<y 2，即使用“如意卡”便宜． 3．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.解析由已知条件y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 8，0<x ≤3，8＋2.15x －3＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋2.85x －8＋1，x >8，由y ＝22.6解得x ＝9.答案 94．某类产品按质量可分10个档次，生产最低档次(第1档次为最低档次，第10档次为最高档次)，每件利润为8元，如果产品每提高一个档次，则利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件产品，则生产第________档次的产品，所获利润最大．解析设生产第x 档次的产品，1≤x ≤10，则利润y ＝[60－3(x －1)][2(x －1)＋8]＝(63－3x )(2x ＋6)＝6(－x 2＋18x ＋63)＝6[－(x －9)2＋144]．当x ＝9时，y 取到最大值，故应生产第9档次的产品．答案 9。

山东省高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编11 函数的应用问题

一、填空题1 ．（山东省临朐七中2014届高三暑假自主学习效果抽测（二）数学试题）某工厂8年来某产品产量y与时间t年的函数关系如下图,则:O ty3 8①前3年总产量增长速度增长速度越来越快;②前3年中总产量增长速度越来越慢;③第3年后,这种产品停止生产;④第3年后,这种产品年产量保持不变.以上说法中正确的是__________________.【答案】①④二、解答题2 ．（山东省淄博第五中学2014届高三10月份第一次质检数学（理）试题）某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t,P),点(t,P)落在下图中的两条线段上,该股票在30天内(包括30天)的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如右表所示.(1)根据提供的图象,写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式;(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式;(3)在(2)的结论下,用y(万元)表示该股票日交易额,写出y关于t的函数关系式,并求出这30天中第几日交易额最大,最大值为多少?【答案】(1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≤<+-∈≤<+=.,3020,8101.,200,251**NNttttttP(2)设)30,10()36,4(),,(与将为常数babatQ+=的坐标代入,得.40,1.3010,364=-=⎩⎨⎧=+=+bababa解得日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式为.,300,40*N∈≤<-=tttQ(3)由(1)(2)可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-⨯+-≤<-⨯+=.3020),40()8101(.200),40()251(t t t t t t y即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≤<+-∈≤<++-=.,3020,32012101.,200,80651*2*2N N t t t t t t t t y当125,15,200max ==≤<y t t 时当时; 当(]30,2032012101,30202在时+-=≤<t t y t 上是减函数, .125)15()20(=<<y y y所以,第15日交易额最大,最大值为125万元 3 ．（山东省烟台市莱州一中2014届高三10月阶段测试数学试题（理））已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)万元,且()22110.8,010*********,103x x R x x xx ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩ (1)写出年复兴W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大. (注:年利润=年销售收入-年总成本)【答案】.4 ．（山东省文登市2014届高三上学期期中统考数学（理）试题）新晨投资公司拟投资开发某项新产品,市场评估能获得101000万元的投资收益.现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y (单位:万元)随投资收益x (单位:万元)的增加而增加,且奖金不低于1万元,同时不超过投资收益的20%.(Ⅰ)设奖励方案的函数模型为()f x ,试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型()f x 的基本要求.(Ⅱ)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型: ①()2150xf x =+; ②()4lg 2.f x x =- 试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求.【答案】解:(Ⅰ)由题意知,公司对奖励方案的函数模型()f x 的基本要求是: 当[]10,1000x ∈时,①()f x 是增函数;②()1f x ≥恒成立;③()5xf x ≤恒成立 (Ⅱ)①对于函数模型()2150xf x =+:当[]10,1000x ∈时,()f x 是增函数,则()1f x ≥显然恒成立而若使函数()21505x xf x =+≤在[]10,1000上恒成立,整理即29300x ≥恒成立,而min (29)290x =,∴()5xf x ≤不恒成立.故该函数模型不符合公司要求.②对于函数模型()4lg 2f x x =-:当[]10,1000x ∈时,()f x 是增函数,则()()min 104lg10221f x f ==-=>. ∴()1f x ≥恒成立设()4lg 25x g x x =--,则()4lg 15e g x x '=-. 当10x ≥时,()24lg 12lg 1lg 10555e e e g x x --'=-≤=<,所以()g x 在[]10,1000上是减函数,从而()()104lg10220g x g ≤=--=. ∴4lg 205x x --≤,即4lg 25x x -≤,∴()5xf x ≤恒成立. 故该函数模型符合公司要求5 ．（山东省潍坊市诸城一中2014届高三10月阶段性测试数学（理）试题）已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元,每生产千件需另投入2.7万元,设该企业年内共生产此种产品x 千件,并且全部销售完,每千件的销售收入为f(x)万元,且()()22110.8010301081000103x x x xx ⎧-<≤⎪⎪⎨⎪->⎪⎩ (I)写出年利润P(万元)关于年产品x(千件)的函数解析式;(II)年产量为多少千件时,该企业生产此产品所获年利润最大? (注:年利润=年销售收入—年总成本)【答案】6 ．（山东省实验中学2014届高三上学期第二次诊断性测试数学（理）试题）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)万元,且()22110.8,010301081000,103x x R x x xx ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩(I)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;(II)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得年利润最大. 【答案】7 ．（山东省日照市第一中学2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时.研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v 是车流密度x 的一次函数.(1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式;(2)当车流密度x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时)【答案】解:(1)由题意:当0≤x≤20时,v(x)=60;当20≤x≤200时,设v(x)=ax+b,再由已知得200a+b=0,20a+b=60,解得a=-13,b=2003.故函数v(x)的表达式为60, 0x<20v(x)=1(200x), 20x 2003≤⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩(2)依题意并由(1)可得60x, 0x<20f(x)=1x(200x), 20x 2003≤⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩.当0≤x≤20时,f(x)为增函数,故当x=20时,其最大值为60×20=1200;当20≤x≤200时,1f(x)=x(200x)3-≤21x+200x 10000f(x)=()323-=, 当且仅当x=200-x,即x=100时,等号成立.所以,当x=100时,f(x)在区间[20,200]上取得最大值100003. 综上,当x=100时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值100003≈3333,即当车流密度为100辆/千米时 ,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/小时. 8 ．（山东省青岛市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交(13)a a ≤≤元的管理费,预计当每件商品的售价为(79)x x ≤≤元时,一年的销售量为2(10)x -万件.(Ⅰ)求该连锁分店一年的利润L (万元)与每件商品的售价x 的函数关系式()L x ; (Ⅱ)当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L 最大,并求出L 的最大值.【答案】解: (Ⅰ)由题得该连锁分店一年的利润L (万元)与售价x 的函数关系式为2()(4)(10),[7,9]L x x a x x =---∈ (Ⅱ)2()(10)2(4)(10)L x x x a x '=-----(10)(1823),x a x =-+-令'()0L x =,得263x a =+或10x = 20213,6833a a ≤≤∴≤+≤.①当2673a +≤,即312a ≤≤时,[7,9]x ∴∈时,()0L x '≤,()L x 在[7,9]x ∈上单调递减,故max ()(7)279L x L a ==-②当2673a +>,即332a <≤时, 2[7,6]3x a ∴∈+时,'()0L x >;2[6,9]3x a ∈+时,()0L x '<()L x ∴在2[7,6]3x a ∈+上单调递增;在2[6,9]3x a ∈+上单调递减,故3max 2()(6)4(2)33a L x L a =+=-答:当312a ≤≤每件商品的售价为7元时,该连锁分店一年的利润L 最大,最大值为279a -万元; 当332a <≤每件商品的售价为263a +元时,该连锁分店一年的利润L 最大,最大值为34(2)3a -万元 9 ．（山东省临沂市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）某厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求110x ≤≤),每小时可获得的利润是310041x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭元. (I)要使生产该产品1小时获得的利润不低于1200元,求x 的取值范围;(II)要使生产120千克该产品获得的利润最大,问:该厂应该选取何种生产速度?并求此最大利润.【答案】10．（山东省临朐七中2014届高三暑假自主学习效果抽测（二）数学试题）某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层.每层2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x( 单位:元).为使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=建筑总面积购地总费用)【答案】设楼房每平方米的平均综合费为f(x)元,则()()2160100001080056048560482000f x x x x x⨯=++=++()10,x x Z +≥∈ ()21080048f x x '=-, 令 ()0f x '= 得 15x = 当 15x > 时,()0f x '> ;当 015x <<时,()0f x '< 因此当15x =时,f(x)取最小值()152000f =;答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为15层. 11．（山东省聊城市东阿一中2014届高三10月模块测试数学（理）试题）时下,网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为学生们课外学习的一种趋势,假设某网校的套题每日的销售量y (单位:千套)与销售价格x (单位:元/套)满足的关系式()2462m y x x =+--,其中26x <<,m 为常数.已知销售价格为4元/套时,每日可售出套题21千套. (1)求m 的值;(2)假设网校的员工工资,办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数),试确定销售价格x 的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留1位小数) 【答案】所以103x =是函数)(x f 在()2,6内的极大值点,也是最大值点, 所以当103.33x =≈时,函数)(x f 取得最大值.故当销售价格为3.3元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大.12．（山东省桓台第二中学2014届高三第二次阶段性测试数学试题）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x (单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米,/小时,研究表明:当20200x ≤≤时,车流速度v 是车流密度x 的一次函数.(Ⅰ)当0200x ≤≤时,求函数()v x 的表达式;(Ⅱ)当车流密度x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时))()(x v x x f •=可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时【答案】(1)由题意:当020x ≤≤时,()60v x =;当20200x ≤≤时,设().v x ax b =+再由已知得2000, 2060.a ba b+=⎧⎨+=⎩解得1,3200.3ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故函数v(x)的表达式为60, 020,()1(200), 20200.3xv xx x≤≤⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩13．（山东省德州市平原一中2014届高三9月月考数学（理）试题）本小题满分12分某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距m米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为256万元;距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+x)x万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其它因素.记余下工程的费用为y万元.(1)试写出y关于x的函数关系式;(2)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小?【答案】14．（山东省德州市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数为3138(0120)12800080y x x x =-+<<. (1)当64x =千米/小时时,要行驶100千米耗油量多少升?(2)若油箱有22.5升油,则该型号汽车最多行驶多少千米?【答案】解:(1)当64x =千米/小时时,要行驶100千米需要100256416=小时要耗油(313256464811.95()1280008016⨯-⨯+⨯=）升 (2)设22.5升油该型号汽车可行驶a 千米,由题意得313(822.512800080a x x x -⨯+⨯=）222.518312800080a x x ∴=+-设2183()12800080h x x x =+- 则当()h x 最小时,a 取最大值, 由332221880()6400064000x h x x x x-'=-= 令()080h x x '=⇒=当(0,80)x ∈时,()0h x '<,当(80,120)x ∈时,()0h x '>故当(0,80)x ∈时,函数()h x 为减函数,当(80,120)x ∈时,函数()h x 为增函数所以当80x =时,()h x 取得最小值,此时a 取最大值为222.5200183801280008080a ∴==⨯+-答:若油箱有22.5升油,则该型号汽车最多行驶200千米.15．（山东省单县第五中学2014届高三第二次阶段性检测试题(数理)）某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距m 米,余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+x )x 万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为y 万元.(1)试写出y 关于x 的函数关系式;(2)当m =640米时,需新建多少个桥墩才能使y 最小【答案】解:(1)设需要新建n 个桥墩,(n +1)x =m ,即n =m x-1(0<x <m ),所以y =f (x )=256n +(n +1)(2+x )x =256⎝ ⎛⎭⎪⎫m x －1+m x (2+x )x=256m x+m x +2m-256 (0<x <m ) (2)由(1)知f ′(x )=-256m x 2+xm 2, 令f ′(x )=0,得23x =512,所以x =64.当0<x <64时,f ′(x )<0,f (x )在区间(0,64)内为减函数;当64<x <640时,f ′(x )>0,f (x )在区间(64,640)内为增函数,所以f (x )在x =64处取得最小值,此时,n =m x -1=64064-1=9.故需新建9个桥墩才能使y 最小16．（山东省滨州市北镇中学2014届高三10月阶段性检测数学（理）试题）某民营企业生产A.B 两种产品,根据市场调查与预测,A 产品的利润与投资成正比,其关系如图甲,B 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图乙(注:利润与投资单位:万元)(1)分别将A.B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式,并写出它们的函数关系式;(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A.B 两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少万元?(甲) (乙)【答案】解:(1)设投资为x 万元,A 产品的利润为 f (x ) 万元,B 产品的利润为 g (x ) 万元由题设x k x g x k x f 21)(,)(== 由图知4141)1(1=∴=k f )0(45)()0(41)(,45,25)4(2≥=≥=∴=∴=x x x g x x x f k g 又 (2)设A 产品投入x 万元,则B 产品投入10-x 万元;设企业利润为y 万元.75.342510,1665,25)100(1665)25(4145410,10)100(,10454)10()(max 22=-===≤≤+--=+-==-≤≤∴-+=-+=x y t t t t t y t x x x x x g x f y 此时时当则令答:当A 产品投入3.75万元,B 产品投入6.25万元时,企业获得最大利润约1665万元. 17．（山东省（中学联盟）济宁一中2014届高三10月月考数学（理）试题）某时令蔬菜,由历年市场行情得知,从二月一日起的300天内,市场售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示;种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示.(1)写出图1表示的市场售价与时间的函数关系)(t f P =;写出图2表示种植成本与时间的函数关系式)(t g Q =;(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市纯收益最大?(注:市场售价和种植成本的单位:元kg 210/,时间单位:天)【答案】解:由图象求出函数解析式并明确收益与售价和成本的关系: (Ⅰ)由图1可得市场售价与时间的函数关系为:3000200()2300,200300t t f t t t -≤≤⎧=⎨-<≤⎩，,由图2可得种植成本与时间的函数关系为:)3000(100)150(2001)(2≤≤+-=t t t g(Ⅱ)设t 时刻的纯收益为)(t h ,则由题意得:)()()(t g t f t h -=,即:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-=3002002102527200120002175212001)(22t t t t t t t h ，，,当)2000(≤≤t 时,配方整理得:100)50(2001)(2+--=t t h ,所以,当50=t 时,)(t h 取得区间]200,0[上的最大值100.当300200≤<t 时,配方整理得:100)350(2001)(2+--=t t h所以,当300=t 时,)(t h 取得区间]300,200[上的最大值5.87. 综上所述,在区间]300,0[上可以取得最大值100,此时50=t , 即从二月一日开始的第50天时,上市纯收益最大.。

2020届山东省新高考高三优质数学试卷分项解析专题04 一元函数导数及其应用(原卷版)

专题4 一元函数导数及其应用从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力.预测2020年高考命题将保持稳定.主观题应用导数研究函数的性质，备考的面要注意做到全覆盖，如导数几何意义的应用、单调性问题、极（最）值问题、零点问题、不等式的证明、参数范围的确定等.一、单选题1．（2020届山东省烟台市高三上期末）函数sin y x x =+的部分图象可能是（）A ．B ．C ．D ．2．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）函数sin x xx xy e e-+=+的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．3．（2020届山东师范大学附中高三月考）已知()21ln 2f x x a x =-在区间()0,2上有极值点，实数a 的取值范围是（） A ．()0,2B ．()()2,00,2-UC ．()0,4D ．()()4,00,4-U4．（2020届山东师范大学附中高三月考）已知偶函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其导函数为()f x '，当02x π<<时，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<成立，则关于x 的不等式()cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭的解集为（） A ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．,0,442πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知0.5log 5a =、3log 2b =、0.32c =、212d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从这四个数中任取一个数m ，使函数()32123x mx x f x =+++有极值点的概率为（） A ．14B ．12C ．34D ．16．（2020届山东实验中学高三上期中）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=-，且当2x >时，有()()()()2,11xf x f x f x f ''+>=若，则不等式()12f x x <-的解集是（） A ．(2,3) B ．(),1-∞C ．()()1,22,3⋃D ．()(),13,-∞⋃+∞7．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）当直线10()kx y k k --+=∈R 和曲线E ：325(0)3y ax bx ab =++≠交于112233()()()A x y B x y C x y ，，，，，123()x x x <<三点时，曲线E 在点A ，点C 处的切线总是平行的，则过点()b a ，可作曲线E 的切线的条数为（） A ．0B ．1C ．2D ．38．（2020届山东省济宁市高三上期末）已知函数()()()ln 10f x x a x a a =+-+>,若有且只有两个整数12,x x 使得()10f x >,且()20f x >,则a 的取值范围是( )A ．3ln 30,2+⎛⎫⎪⎝⎭ B ．()0,2ln 2+C ．3ln 3,2ln 22+⎡⎫+⎪⎢⎣⎭ D ．2ln 243ln 3,32++⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、多选题9.(2020届山东省潍坊市高三上学期统考）函数()()1,1,ln 1,1,x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩若函数()()g x f x x a =-+只有一个零点，则a 可能取的值有（） A ．2B ．2-C ．0D ．110．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知函数2,0()(1),0x x e mx m x f x e x x -⎧++<=⎨-≥⎩（e 为自然对数的底），若()()()F x f x f x =+-且()F x 有四个零点，则实数m 的取值可以为（） A ．1B ．eC ．2eD ．3e11．（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数2()ln f x x x x =+，0x 是函数()f x 的极值点，以下几个结论中正确的是（） A ．010x e<C ．00()20f x x +<D ．00()20f x x +>12．（2020届山东实验中学高三上期中）设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ⎧⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()x g x e a =-(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（）A ．12B C ．2e D13．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）关于函数()2ln f x x x=+，下列判断正确的是（） A ．2x =是()f x 的极大值点 B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点 C ．存在正实数k ，使得()f x kx >成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若()()12f x f x =，则124x x +>. 14．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知定义在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()00f =，()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则下列判断中正确的是( )A ．64f f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．ln03f π⎛⎫> ⎪⎝⎭C ．63f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．43f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15．（2020届山东省临沂市高三上期末）已知函数()sin cos f x x x x x =+-的定义域为[)2,2ππ-，则（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 在[)0,π上单调递增C ．()f x 恰有4个极大值点D ．()f x 有且仅有4个极值点16．（2020届山东省泰安市高三上期末）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()1x f x e x =+，则下列命题正确的是（）A ．当0x >时，()()1xf x e x -=--B ．函数()f x 有3个零点C ．()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃D ．12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -< 三、填空题17．（2020·全国高三专题练习（文））设点P 是曲线2x y e x =+上任一点，则点P 到直线10x y --=的最小距离为__________．18．（2020届山东省滨州市高三上期末）曲线(1)x y x e =+在点(0,1)处的切线的方程为__________．19．（2020届山东省九校高三上学期联考）直线y x =与曲线()2ln y x m =+相切，则m =__________. 20．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知函数()()()212ln f x a x x =---.若函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，则a 的最小值为________.21．（2020届山东省泰安市高三上期末）设函数()f x 在定义域(0，+∞)上是单调函数，()()0,,x x f f x e x e ⎡⎤∀∈+∞-+=⎣⎦，若不等式()()f x f x ax '+≥对()0,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是______．22．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）关于函数()2ln f x x x=+，下列判断正确的是（） A ．2x =是()f x 的极大值点 B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点 C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则124x x +> 23．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知函数()e xx f x =（e是自然对数的底数），则函数()f x 的最大值为______；若关于x 的方程()()22210f x tf x t ++-=⎡⎤⎣⎦恰有3个不同的实数解，则实数t 的取值范围为______. 四、解答题24．（2020届山东省临沂市高三上期末）已知函数()()2ln 1sin 1f x x x =+++，函数()1ln g x ax b x =--（,,0a b ab ∈≠R ）. （1）讨论()g x 的单调性；（2）证明：当0x ≥时，()31f x x ≤+. （3）证明：当1x >-时，()()2sin 22exf x x x <++.25．（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数()32112f x x x ax =-++．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若函数()1f x x =在处有极小值，求函数()f x 在区间32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值．26．（2019·夏津第一中学高三月考）已知函数()()11ln f x x m x m R x x ⎛⎫=+-+∈ ⎪⎝⎭．（1）当1m >时，讨论()f x 的单调性；（2）设函数()()1m g x f x x-=+，若存在不相等的实数1x ，2x ，使得()()12g x g x =，证明：120m x x <<+．27．（2020届山东省泰安市高三上期末）已知函数()xf x e ax =-．(1)当0a >时，设函数()f x 的最小值为()g a ，证明：()1g a ≤； (2)若函数()()212h x f x x =-有两个极值点()1212,x x x x <，证明：()()122h x h x +>． 28．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）设函数()()ln 1f x ax bx =++，()()2g x f x bx =-. （1）若1a =，1b =-，求函数()f x 的单调区间；（2）若曲线()y g x =在点()1,ln3处的切线与直线1130x y -=平行. ①求a ，b 的值；②求实数()3k k ≤的取值范围，使得()()2g x k x x >-对()0,x ∈+∞恒成立.29．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知函数()()245xaf x x x a R e =-+-∈. ()Ⅰ若()f x 在(),-∞+∞上是单调递增函数，求a 的取值范围；()Ⅱ设()()x g x e f x =，当m 1≥时，若()()()122g x g x g m +=，且12x x ≠，求证：122x x m +<.30．（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知函数()()2(,)1xf x ae x a Rg x x =--∈=.(1)讨论函数()f x 的单调性;(2)当0a >时，若曲线()1:1C y f x x =++与曲线()2:C y g x =存在唯一的公切线，求实数a 的值; (3)当1,0a x =≥时，不等式()()1f x kxln x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围.31．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知函数()ln(2)f x x a =+(0,0)x a >>，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线在y 轴上的截距为2ln 33-. （1）求a ；（2）讨论函数()()2g x f x x =-(0)x >和2()()21xh x f x x =-+(0)x >的单调性；（3）设12,5a =()1n n a f a +=，求证：1521202n nn a +-<-<(2)n ≥. 32．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知函数()(1ln )xf x e m x =+，其中0m >，()f x '为()f x 的导函数，设()()xf x h x e '=，且()52h x ≥恒成立. （1）求m 的取值范围；（2）设函数()f x 的零点为0x ，函数()f x '的极小值点为1x ，求证：01x x >. 33．（2020届山东省九校高三上学期联考）已知函数()2x x f x e e =-，()2ln 2ag x x x x x =-- （1）求()f x 的极值；（2）若()1,x ∈+∞时，()f x 与()g x 的单调性相同，求a 的取值范围；（3）当10,a e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，函数()y g x =，(]0,x e ∈有最小值，记()g x 的最小值为()h a ，证明：()12eh a -<≤-. 34．（2020届山东省济宁市高三上期末）已知函数()()sin ,ln f x x a x g x x m x =-=+. (1)求证:当1a ≤时,对任意()()0,,0x f x ∈+∞>恒成立; (2)求函数()g x 的极值; (3)当12a =时,若存在()12,0,x x ∈+∞且12x x ≠,满足()()()()1122f x g x f x g x +=+,求证:12249x x m <. 35．（2020届山东省日照市高三上期末联考）某公司准备投产一种新产品，经测算，已知每年生产()515x x ≤≤万件的该种产品所需要的总成本()32231630910x C x x x =-++（万元），依据产品尺寸，产品的品质可能出现优、中、差三种情况，随机抽取了1000件产品测量尺寸，尺寸分别在[)25.26,25.30，[)25.30,25.34，[)25.34,25.38，[)25.38,25.42，[)25.42,25.46，[)25.46,25.50，[]25.50,25.54（单位：mm ）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示.产品的品质情况和相应的价格m （元/件）与年产量x 之间的函数关系如下表所示. 产品品质立品尺寸的范围价格m 与产量x 的函数关系式优[)25.34,25.4634m x =-+中[)25.26,25.34 3255m x =-+差 []25.46,25.543205m x =-+以频率作为概率解决如下问题：（1）求实数a 的值；（2）当产量x 确定时，设不同品质的产品价格为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列；（3）估计当年产量x 为何值时，该公司年利润最大，并求出最大值. 36．（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知函数()ln x f x x=，()xg x e =. （1）若函数()()()21112h x ax x a f x =+-+⎡⎤⎣⎦有唯一的极小值点，求实数a 的取值范围；（2）求证：()()11f x g x +≤-.37．（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数22()(24)ln 4(f x ax x x ax x a R =+--∈且a≠0）．（1）求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（2）若函数f （x ）的极小值为1a，试求a 的值． 38．（2020届山东省烟台市高三上期末）已知函数2213()ln 224f x x ax x ax x ⎛⎫=-+-⎪⎝⎭，其中0a e <<.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）讨论函数()f x 零点的个数；（3）若()f x 存在两个不同的零点12,x x ，求证：212x x e <.39．（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数3()sin (),2f x ax x a R =-∈且在,0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为32π-，（1）求函数f (x )的解析式；(2)判断函数f (x )在（0，π）内的零点个数，并加以证明40．（2020届山东师范大学附中高三月考）设函数()sin xf x e a x b =++.（Ⅰ）当1a =，[)0,x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，求b 的范围；（Ⅱ）若()f x 在0x =处的切线为10x y --=，且方程()2m xf x x-=恰有两解，求实数m 的取值范围. 41．（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数()ln f x x ax =-．（1）当1a =时，判断函数()f x 的单调性；（2）若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围；（3）已知0a b e <<<，证明b a a b <．42．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知()sin ()f x a x a =∈R ，()x g x e =.（1）求()g x 在0x =处的切线方程；（2）若1a =，证明()()ln G x f x x =+在(0,1)上单调递增；（3）设()()()(0)f x g x F x a a ⋅=≠对任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()F x kx ≥成立求实数k 的取值范围. 43．（2020届山东省德州市高三上期末）已知函数()()2ln 22f x x ax a x =+-++（a 为常数）. （1）若()f x 在()()1,1f 处的切线与直线30x y +=垂直，求a 的值；（2）若0a >，讨论函数()f x 的单调性；（3）若a 为正整数，函数()f x 恰好有两个零点，求a 的值.44．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）2018年森林城市建设座谈会在深圳举行.会上宣读了国家森林城市称号批准决定，并举行授牌仪式，滕州市榜上有名，被正式批准为“国家森林城市”.为进一步推进国家森林城市建设，我市准备制定生态环境改造投资方案，该方案要求同时具备下列两个条件：①每年用于风景区改造的费用y 随每年改造生态环境总费用x 增加而增加；②每年用于风景区改造的费用y 不得低于每年改造生态环境总费用x 的15%，但不得高于每年改造生态环境总费用x 的25%.若每年改造生态环境的总费用至少1亿元，至多4亿元；请你分析能否采用函数模型()31416100y x x =++作为生态环境改造投资方案.45．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知函数()()211e 22x f x x ax ax =+++（e 是自然对数的底数）.（Ⅰ）讨论()f x 极值点的个数；（Ⅱ）若()002x x ≠-是()f x 的一个极值点，且()22e f -->，证明：()01f x ≤.。

专题3 函数及其应用--《2021届新高考山东优质数学试卷分项解析》【解析版】

专题3 函数及其应用1.关于函数图象的考查：（1）函数图象的辨识与变换；（2）函数图象的应用问题，运用函数图象理解和研究函数的性质，数形结合思想分析与解决问题的能力； 2.关于函数性质的考查：以考查能力为主，往往以常见函数（二次函数、指数函数、对数函数）为基本考察对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；3.常见题型，除将函数与导数相结合考查外，对函数独立考查的题目，不少于两道，近几年趋向于稳定在选择题、填空题，易、中、难的题目均有可能出现.预测2021年将保持对数形结合思想的考查，主要体现在对函数图象、函数性质及其应用的考查，客观题应特别关注分段函数相关问题，以及与数列、平面解析几何、平面向量、立体几何的结合问题.主观题依然注意与导数的结合.1．（2020·天津高考真题）设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<. 故选：D.2．（2020·全国高考真题（理））若242log 42log a ba b +=+，则（）A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <【答案】B【解析】设2()2log x f x x =+，则()f x 为增函数，因为22422log 42log 2log a b ba b b +=+=+ 所以()(2)f a f b -=2222log (2log 2)a b a b +-+=22222log (2log 2)b bb b +-+21log 102==-<，所以()(2)f a f b <，所以2a b <.2()()f a f b -=22222log (2log )a b a b +-+=222222log (2log )b b b b +-+=22222log b b b --，当1b =时，2()()20f a f b -=>，此时2()()f a f b >，有2a b >当2b =时，2()()10f a f b -=-<，此时2()()f a f b <，有2a b <，所以C 、D 错误. 故选：B.3.（2020·全国高考真题（文））设函数331()f x x x=-,则()f x （） A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A 【解析】因为函数()331f x x x =-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数．又因为函数3y x =在0,上单调递增，在,0上单调递增，而331y x x-==在0,上单调递减，在,0上单调递减，所以函数()331f x x x=-在0,上单调递增，在,0上单调递增．故选：A ．4.（2020·山东海南省高考真题）基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （） A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天 D ．3.5天【答案】B 【解析】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =，所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天. 故选：B.5.（2020·天津高考真题）已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（） A ．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞【答案】D 【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点. 因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2yx 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得22k =（负值舍去），所以22k >. 综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞.故选：D.一、单选题1．（2020·山东高三期中）已知f (x )=-1x x e e a+是定义在R 上的奇函数，则不等式f (x -3)<f (9-x 2)的解集为（）A ．(-2,6)B ．(-6,2)C ．(-4,3)D ．(-3,4)【答案】C 【解析】因为()1x x e f x e a-=+是定义在R 上的奇函数，所以()()011f f +-=，即11101e e e a a e--+=++，解得1a =，即()12111x x xe f x e e -==-++，易知()f x 在R 上为增函数. 又()()239f x f x -<-，所以239x x-<-，解得43x -<<.故选：C.2．（2020·山东省招远第一中学月考）已知函数()f x 的定义域为R ，(1)f x -是奇函数，(1)f x +为偶函数，当11x -≤≤时，13131x x +-+，则以下各项中最小的是（）A ．()2018fB ．()2019fC ．()2020fD ．()2021f【答案】D 【解析】(1)f x -是奇函数，即(1)f x -关于(0,0)对称，()f x ∴的图象关于点(1,0)-对称，即(2)()0f x f x --+=．又)1(f x +为偶函数，即(1)f x +关于0x =对称，()f x ∴的图象关于直线1x =对称，即(2)()f x f x -=．(2)(2)0f x f x --+-=，(2)(2)0f x f x ∴-++=，即(8)()f x f x +=，函数()y f x =的周期为8，(2018)(2)(0)1f f f ∴===，(2019)(3)(1)0f f f ==-=，(2020)(4)(2)(0)1f f f f ==-=-=-，(2021)(5)(3)(1)2f f f f ==-=-=-，故(2021)f 最小．故选：D3．（2020·泰安市泰山国际学校高三月考）下列函数中是偶函数，且在区间(0，+∞)上是减函数的是（） A ．1y x =+ B ．2yx C ．1y x x=- D ．2x y =【答案】B【解析】A.()1f x x =+,()()1f x x f x -=-+=,函数是偶函数，在()0,+∞上是增函数，故不正确；B. 2y x -=,是偶函数，()()()2-f x x f x --==，在区间()0,+∞上是减函数，故正确；C. 1y x x =-，()()1f x x f x x-=-+=-，是奇函数，故不正确； D. 2x y =，()()2xf x f x --==，是偶函数，但是在()0,+∞上是增函数，故不正确；故答案为B.4．（2020·泰安市泰山国际学校高三月考）函数(1)()f x x R -∈是偶函数，且函数()f x 的图象关于点(1,0)成中心对称，当[1,1]x ∈-时，()1f x x ，则(2019)f =( )A ．B ．C ．0D ．2【答案】D 【解析】根据题意，函数(1)()f x x R -∈是偶函数，则函数()f x 的对称轴为1x =-，则有()(2)f x f x =--，又由函数()f x 的图象关于点(1,0)成中心对称，则()(2)f x f x =--，则有(2)(2)f x f x --=--，即(4)()f x f x +=-，变形可得(8)()f x f x +=，则函数是周期为8的周期函数，(2019)(32528)(3)(1)(11)2f f f f =+⨯==--=---=；故选D ．函数的对称性：（1）若()(2)f x f a x ，则()f x 的对称轴是：x a =；（2）若()(2)2f x f a x b +-=，则()f x 的对称中心是(,)a b .5．（2020·山东师范大学附中高三月考）已知0.60.22,0.6a b ==，0.6log 0.2c =则（） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D 【解析】因为0.20.6b =0.22<0.62a <=122<=，20.60.60.62log 0.6log 0.36log 0.2c ==<=，所以c a b >>. 故选：D.6．（2020·山东省东明县实验中学月考）函数()()2lg 31f x x =++的定义域是（） A ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】由函数()()2lg 31f x x =++，知 10310x x ->⎧⎨+>⎩解之得：113-<<x 故选：B7．（2020·山东师范大学附中高三月考）当强度为x 的声音对应的等级为()f x 分贝时，有0()10lgxf x A =（其中0A 为常数）.装修电钻的声音约为100分贝，普通室内谈话的声音约为60分贝.则装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（） A ．53B ．5310C ．410D ．4e【答案】C 【解析】设装修电钻的声音强度为1x ，普通室内谈话的声音强度为2x ，由题意，()()111001062202010010lg 10106010lg x f x A x A x x A f x A ⎧==⎪⎧=⎪⇒⎨⎨=⎩⎪==⎪⎩，所以装修电钻的声音强度和普通室内谈话的声音强度比值为10401620101010A x x A ==. 故选：C8．（2020·山东潍坊·月考）已知函数()()()310,log 20,x ax f x x x -⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩若()()16f f -=，那么实数a 的值是（）A ．4B ．2CD【答案】C 【解析】由已知(1)314f -=+=，所以((1))(4)log 426a f f f -==+=，解得a =故选：C ．9．（2020·山东省东明县实验中学月考）某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，可以把细颗粒物进行处理．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为21200800002y x x =-+，则每吨细颗粒物的平均处理成本最低为（） A ．100元 B ．200元 C ．300元D ．400元【答案】B 【解析】依题意，300600x ≤≤，记每吨细颗粒物的平均处理成本为()t x ，则21200800001800002()2002x x y t x x x x x-+===+-．∵1800004002x x +≥，当且仅当1800002x x=，即400x =时取等号，∴当400x =时，()t x 取最小值，最小值为400200200-=（元）. 故选：B.10．（2020·山东省东明县实验中学月考）已知函数21,0()1,0xx x f x a x ->⎧=⎨+≤⎩，若()13f -=，则不等式()5f x ≤的解集（） A ．[]2,1- B ．[]3,3-C ．[]22-,D ．[]2,3-【答案】D 【解析】因为(1)3f -=，所以113a -+=，所以12a =，所以21,0()11,02xx x f x x ->⎧⎪=⎨⎛⎫+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，当0x >时，由215x -≤，解得3x ≤，所以03x <≤；当0x ≤时，由1215x⎛⎫ ⎪⎝⎭+≤，解得20x -≤≤，故()5f x ≤的解集为[]2,3-．故选：D.11．（2020·山东省东明县实验中学月考）若log 2log 20a b <<，则（） A ．01a b <<> D ．1b a >>【答案】B 【解析】∵log 2lo 1g 20log a b a <<=，∴0＜a ＜1，0＜b ＜1，∵2＞1，要使log b 2＜0 ∴0＜b ＜1，∵log 2log 20a b <<，∴a ＞b ，且0＜a ＜1，∴01b a <<<．故选B ．12．（2020·山东省东明县实验中学月考）函数222()1x x f x x --=-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由210x -≠得()f x 的定义域为{}|1x x ≠±，因为222222()()()11x x x xf x f x x x -----==-=----，所以函数()f x 为奇函数，排除A ，D ；由题易知，图中两条虚线的方程为1x =±，则当2x =时，5(2)04f =>，排除C ，所以B 选项符合. 故选：B13．（2020·枣庄市第三中学月考）已知函数()x xf x e e -=-，()0.32a f =，()0.20.3b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c b a <，0.200.31<<，0.3log 20< 所以()()()0.30.20.320.3log 2f f f >>即c b a <<故选：A14．（2020·枣庄市第三中学月考）函数21log y x=+的定义域为（）A ．(]0,2B ．110,,222⎛⎫⎛⎤⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦C ．()2,2-D ．[]22-,【答案】B 【解析】要使函数有意义，则2240010x x log x ⎧-⎪>⎨⎪+≠⎩，得22012x x x ⎧⎪-⎪>⎨⎪⎪≠⎩，即102x <<或122x <，即函数的定义域为110,,222⎛⎫⎛⎤ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，故选：B ．15．（2020·博兴县第三中学月考）己知()f x 是定义域为R 的奇函数，若(5)f x +为偶函数，(1)1f =，则(2019)(2020)f f +=（）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】B 【解析】(5)f x +为偶函数，且(5)f x +可由()f x 向左平移5个单位得到，()f x ∴关于5x =轴对称，即(5)(5)f x f x +=-，又()f x 为R 上的奇函数，(5)(5)f x f x ∴+=--，且(0)0f =，(20)(10)[()]()f x f x f x f x ∴+=-+=--=，()f x ∴是一个周期为20的周期函数，(2019)(201011)(1)(1)1f f f f ∴=⨯-=-=-=-，(2020)(20101)(0)0f f f =⨯==，(2019)(2020)1f f ∴+=-.故选：B .16．（2020·山东新泰市第一中学高三月考）设0.52a =，4log 3b =，3cos 4c π=，则（） A ．c a b >> B ．b a c >> C ．a b c >> D ．a c b >>【答案】C 【解析】 0.50221a =>=，由4440log 1log 3log 41=<<=，即01b <<，3cos42c π==-，所以a b c >>. 故选：C17．（2021·潍坊市潍城区教育局月考）已知函数()()()200x xe e xf x x x -⎧->⎪=⎨-≤⎪⎩，若0.015a =，33log 22b =，2log 0.9c =，则有（）A ．()()()f b f a f c >>B ．()()()f a f b f c >>C ．()()()f a f c f b >>D ．()()()f c f a f b >>【答案】B 【解析】因为当0x >时，()xxf x e e -=-为增函数，当0x ≤时，()2f x x =-为增函数，所以()f x 在R 上为增函数.又因为0.01551a =>=，323333log 2log 2log 2b ===01b <<，22log 0.9log 10c =<=，所以a b c >>.故()()()f a f b f c >>. 故选：B18．（2020·山东省招远第一中学月考）函数()22()ln xx f x ee x -=+的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】根据题意，函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，因为()()2222()ln ||ln ()xx x x f x ee x e e xf x ---=+-=+=，所以()f x 为偶函数，则其图像关于y 轴对称，所以排除B 选项，当1x >时，()0f x >；当01x <<时，()0f x <，排除A ，C 选项．故选：D19．（2020·山东日照·高三月考）若定义域为R 的奇函数()f x 在(),0-∞内单调递减，且()30f =，则满足()10xf x -≥的x 的取值范围是（） A ．[][)1,14,-⋃+∞ B ．[][]2,10,1--C ．[][)1,01,-+∞D ．[][]2,01,4-⋃【答案】D 【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()30f =，所以()f x 在()0,∞+上也是单调递减，且()30f -=，()00f =，所以当()(),30,3x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当()()3,03,x ∈-+∞时，()0f x <，所以由()10xf x -≥可得：0310x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0013x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x =，解得20x -≤≤或14x ≤≤，所以满足()10xf x -≥的x 的取值范围是[][]2,01,4-⋃. 故选：D.20．（2020·山东青岛·高三开学考试）若()f x 为偶函数，满足()()32020f x f x ⋅+=，()11f -=，则()2020f 的值为（）A ．0B ．1C ．1010D ．2020【答案】D 【解析】函数为偶函数，∴(1)(1)1f f =-=，又2020(3)()f x f x +=， ∴20202020(6)()2020(3)()f x f x f x f x +===+，∴()f x 同周期函数，且周期为6，又2020(4)2020(1)f f ==， ∴()()()20206336442020f f f =⨯+==．故选：D ．21．（2020·山东青岛·高三开学考试）一种药在病人血液中的量保持1500mg 以上才有效，而低于500mg 病人就有危险．现给某病人注射了这种药2500mg ，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：1g20.301=，1g30.4771=，答案采取四舍五入精确到0.1h ）A ．2.3小时B ．3.5小时C ．5.6小时D ．8.8小时【答案】A【解析】设从现在起经过x 小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．则25000.81500x ⨯=，0.80.6x =，lg 0.8lg 0.6x=，lg 0.8lg 0.6x =，6lglg 0.6lg 2lg310.3010.4771110 2.38lg 0.83lg 2130.3011lg 10x +-+-====≈-⨯-．故选：A ．22．（2020·中山大学附属中学期中）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D 【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.23．（2020·山东省实验中学高三月考）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x 满足()()00f x f x -=-，则称函数()f x 为“倒戈函数”．设()31xf x m =+-（m ∈R ，0m ≠）是定义在[]1,1-上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是（）A ．2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．21,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(),0-∞【答案】A 【解析】()31x f x m =+-是定义在[1,1]-上的“倒戈函数，∴存在0[1,1]x ∈-满足00()()f x f x -=-，003131x x m m -∴+-=--+， 002332x x m -∴=--+，构造函数00332x x y -=--+，0[1,1]x ∈-，令03x t =，1[,3]3t ∈，1122()y t t t t=--+=-+在1[,1]3单调递增，在(1,3]单调递减，所以1t =取得最大值0，13t =或3t =取得最小值43-，4[,0]3y ∴∈-，4203m ∴-<，032m ∴-<，故选：A ．24．（2020·山东潍坊·月考）函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()4f x f x =+，当[]0,2x ∈时，()[](],0,12,1,2x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈⎪⎩，()()1g x f x =+．则下列四个判断不正确的是（）A ．函数()()y g x f x =+的最小值为1-B ．函数()()y g x f x =+的图像关于2x =对称C ．对于任意的正整数n ，140ni i f n =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑D ．对于任意的正整数n ，存在()1k R k ∈≠，使得1440ni i i g k f n n =⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑成立【答案】B 【解析】()()4f x f x=+，()f x∴是以4为周期的函数，则()()1g x f x=+也是以4为周期的函数，故()()y g x f x=+也是以4为周期的函数，故只需考虑()()y g x f x=+在[]0,4的情况，可知当[]0,4x∈时，(),012,122,234,34x xx xf xx xx x≤<⎧⎪-≤<⎪=⎨-≤<⎪⎪-≤≤⎩，()1,011,123,233,34x xx xg xx xx x-≤<⎧⎪-≤<⎪=⎨-≤<⎪⎪-≤≤⎩，则()()1,0132,121,2327,34xx xy g x f xxx x≤<⎧⎪-≤<⎪=+=⎨-≤<⎪⎪-≤≤⎩，画出()()y g x f x=+图象如下，由图可知，()()y g x f x=+的最小值为1-，故A正确；()()y g x f x=+的图象关于2x=不对称，故B错误；对于C，因为函数()f x是定义域为R的奇函数，且()()4f x f x=+，所以()()40f x f x-++=，()()1414484ninif f f f fn n n n=-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑，因为()()400f f==，所以()141448ninif f f fn n n n=-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑，则()()() 1414241448420 nin n nif f f f f f fn n n n n n n =⎧⎫⎧⎫⎧⎫---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎩⎭⎩⎭∑，所以14niifn=⎛⎫=⎪⎝⎭∑，故C正确；对于D，当0k=时，()111444400n n ni i ii i i ig k f g f fn n n n===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑恒成立，故D正确.故选：B.25．（2020·山东月考）已知函数()f x 的定义域为R ，()1f x -是奇函数，()1f x +为偶函数，当11x -≤≤，()13131x xf x +-=+，则以下各项中最小的是（）. A ．()2018f B ．()2019fC ．()2020fD ．()2021f【答案】D 【解析】∵()1f x -是奇函数，∴()f x 的图象关于点()1,0-对称，即()()2 0f x f x --+=. 又∵()1f x +为偶函数，∴()f x 的图象关于直线1x =对称，即()()2f x f x -=.∵()()220f x f x --+-=， ∴()()2 20f x f x -++=，∴()()8 f x f x +=，即函数()y f x =的周期为8， ∴()()()2018 201f f f ===，()()()2019310f f f ==-=，()()()()202042 01f f f f ==-=-=-， ()()()()20215312f f f f ==-=-=-，故()2021f 最小. 故选：D26．（2020·鱼台县第一中学高三月考）已知函数()f x 满足：①对任意1x 、()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-；②对定义域内的任意x ，都有()()f x f x =-，则符合上述条件的函数是（）A ．()21f x x x =++B ．()1f x x x=- C ．()ln 1f x x =+ D ．()cos f x x =【答案】A 【解析】由题意得：()f x 是偶函数，在(0,)+∞单调递增，对于A ，()()f x f x -=，是偶函数，且0x >时，2()1f x x x =++，对称轴为12x =-，故()f x 在(0,)+∞递增，符合题意；对于B ，函数()f x 是奇函数，不合题意；对于C ，由10x +=，解得：1x ≠-，定义域不关于原点对称，故函数()f x 不是偶函数，不合题意；对于D ，函数()f x 在(0,)+∞无单调性，不合题意；故选：A27．（2021·山东滕州市第一中学新校高三月考）设20192020log log a ==120202019c =，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C 【解析】220192019201920191111log 2019log log 2020log 201912222a =<==<=；2020202020201110log log 2019log 2020;222b <==<=120202019 1.c =>故选：C.28．（2020·济南市历城第二中学高三月考）已知函数()ln(1f x x =+，若正实数 a b ,满足(4)(1)2f a f b +-=，则11a b+的最小值为（） A ．4B ．8C ．9D ．13【答案】C 【解析】由函数()ln(1f x x =+，设()(ln g x x =，知()()g x g x -=-，所以()g x 是奇函数，则()()2f x f x +-=，又因为正实数a ，b 满足(4)(1)2f a f b +-=，，所以41a b +=，114()(4)5549a ba b a b b a ++=+++=，当且仅当16a =，13b =时取到等号．故选：C ．29．（2020·枣庄市第三中学月考）定义在R 上的函数()y f x =是奇函数，()2y f x =-为偶函数，若()11f =，则()()()201920202021f f f ++=（）A ．2-B ．0C ．2D ．3【答案】B 【解析】()2y f x =-为偶函数，()()22f x f x ∴+=-，即函数()f x 的图象关于2x =对称， ()f x 是奇函数，()()()222f x f x f x ∴+=-=--，且()00f =，∴()()4f x f x +=-，∴()()()84f x f x f x +=-+=， ∴函数的周期是8，∴()()()()201925283311f f f f =⨯+===，()()()()202025284400f f f f =⨯+==-=， ()()()()202125285511f f f f =⨯+==-=-，∴()()()2019202020211010f f f ++=+-=，故选：B ．30．（2020·山东潍坊·月考）已知符号函数()1,?0sgn 0,?01,?0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，()2f x x =，若()(3)()x f x f x ϕ=-，则（）A ．()2sgn f x x x =B ．()2sgn f x x x =-C ．[][]sgn ()sgn ()f x x ϕ=D ．[][]sgn ()sgn ()f x x ϕ=-【答案】C【解析】根据题意，()2f x x =，()(3)()624x f x f x x x x ϕ=-=-=，当0x >时，可知()0f x >，()0x ϕ>，则[][]sgn ()sgn ()1f x x ϕ==，当0x =时，可知()0f x =，()0x ϕ=，则[][]sgn ()sgn ()0f x x ϕ==，当0x <时，可知()0f x <，()0x ϕ<，则[][]sgn ()sgn ()1f x x ϕ==-，则有1,0[()][()]0,01,0x sgn f x sgn x x x ϕ->⎧⎪===⎨⎪<⎩，所以[][]sgn ()sgn ()f x x ϕ=.故选：C.二、多选题31．（2020·山东新泰市第一中学高三月考）已知()f x 是定义域为R 的函数，满足()()4f x f x =-，()()22f x f x +=-，当02x ≤≤时，()2f x x x =-，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 的最小正周期为4C ．当04x ≤≤时，函数()f x 的最小值为12-D ．方程()3log f x x =有10个根【答案】ABD【解析】()f x 是定义域为R 的函数，由()()22f x f x +=-，则()()4f x f x =-，即()()4f x f x =-，又()()4f x f x =-，所以()()44f x f x -=-，即()()44f x f x --=-⎡⎤⎣⎦，所以()()f x f x -=，所以函数()f x 是偶函数，故A 正确；由()()4f x f x =-，根据周期的定义可知函数的最小正周期为4，故B 正确；当02x ≤≤时，()2f x x x =-，函数的最小值为11112424f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由()()22f x f x +=-，所以2x =为对称轴，所以当04x ≤≤时，函数()f x 的最小值为14-，故C 不正确；作出0x >时()y f x =与3log y x =的图像，由图像可知0x >时，函数有5个交点，又()y f x =与3log y x =为偶函数，由对称性可知方程()3log f x x =有10个根，故D 正确.故选：ABD32．（2020·泰安市泰山国际学校高三月考）已知函数()f x 满足()()110f x f x ++-=，且()1f x -是奇函数，则下列说法正确的是（）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是周期函数C ．()10f =D ．()1f x +是奇函数【答案】BCD【解析】()()110f x f x ++-=, ∴()f x 关于点(1,0)对称，令0x =, 有(1)0f =，且(1)f x +是由()f x 向左平移1个单位得到，()1f x ∴+关于(0,0)对称，所以(1)f x +是奇函数；又(1)f x -是奇函数，所以()f x 关于(1,0)-对称，所以(3)(1)0f x f x -+-=, 则(3)(1)f x f x -=+,所以()(4)f x f x =+, 即()f x 是以4为一个周期的函数，综上，选项BCD 正确，A 错误.故选：BCD.33．（2020·高邮市第一中学高三月考）定义：若函数()F x 在区间[]a b ，上的值域为[]a b ，，则称区间[]a b ，是函数()F x 的“完美区间”，另外，定义区间()F x 的“复区间长度”为()2b a -，已知函数()21f x x =-，则（）A ．[]0,1是()f x 的一个“完美区间”B ．⎣⎦是()f x 的一个“完美区间”C ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3D ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+【答案】AC【解析】对于A ，当[]0,1x ∈时，()2211f x x x =-=-，则其值域为[]0,1，满足定义域与值域的范围相同，因而满足“完美区间”定义，所以A 正确；对于B ，因为函数()210f x x =-≥，所以其值域为[)0,+∞，而102-<，所以不存在定义域与值域范围相同情况，所以B 错误；对于C ，由定义域为[]a b ，，可知0a b ≤<，当1b ≤时，[][]0,1a b ，，此时()2211f x x x =-=-，所以()f x 在[]a b ，内单调递减，则满足()()2211f a a b f b b a⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，化简可得22a a b b -=-，即221122a b ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1122a b -=-或1122a b -=-，解得a b =（舍）或1a b +=，由211a b a b +=⎧⎨+=⎩解得1b =或0b =（舍），所以10a b =-=，经检验满足原方程组，所以此时完美区间为[]0,1，则“复区间长度”为()22b a -=；当1b >时，①若01a ≤<，则[]1a b ∈，，此时()()min 10f x f ==.当()f x 在[]a b ，的值域为[]a b ，，则()0,a f b b ==，因为1b > ，所以()21f b b b =-=，即满足210b b --=，解得12b +=，b =.所以此时完美区间为⎡⎢⎣⎦，则“复区间长度”为()221b a -==+； ②若1a ≤，则()21f x x =-，[]x a b ∈，，此时()f x 在[]a b ，内单调递增，若()f x 的值域为[]a b ，，则()()2211f a a a f b b b⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，则,a b 为方程210x x --=的两个不等式实数根，解得112x -=，212x +=，所以12a b ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，与1a ≤矛盾，所以此时不存在完美区间. 综上可知，函数()21f x x =-的“复区间长度”的和为213++=C 正确，D 错误；故选：AC.34．（2020·山东潍坊·月考）已知函数()1e x xf x =+，2(),?0()2,?0f x xg x x x a x ≤⎧=⎨-+>⎩，且(1)0g =，则关于x 的方程()()10g g x t --=实根个数的判断正确的是（）A ．当2t <-时，方程()()10g g x t --=没有相应实根B ．当110t e -+<<或2t =-时，方程()()10g g x t --=有1个相应实根C ．当111t e <<+时，方程()()10g g x t --=有2个相异实根D ．当111t e -<<-+或01t <≤或11t e =+时，方程()()10g g x t --=有4个相异实根【答案】AB【解析】由(1)0g =得120a -+=，则1a =；所以()2(),0()1,0f x xg x x x ≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，故()0g x ≥，当0x ≤时，()()11ex x x g x f x xe --==+=-，则()()1x x x g x e xe e x '=--=-+，由()0g x '>得1x <-；由()0g x '<得10x -<<；则max 1()(1)1g x g e=-=+，又(0)(0)1g f ==，x →-∞时，()1g x →；即0x ≤时，1()1,1g x e⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦；当0x >时，()2()10g x x =-≥；由()()10g g x t --=解得()g x t =或()2g x t =+；A 选项，当2t <-时，()g x t =与()2g x t =+都无解，故没有相应实根；故A 正确；B 选项，当110t e-+<<或2t =-时，方程()()10g g x t --=有1个相应实根，即()2g x t =+只要一个根，则只需20t +=或121t e +>+，解得2t =-或11t e>-+；故B 正确； C 选项，当111t e <<+时，()g x t =有三个根，()2g x t =+有一个根，所以方程()()10g g x t --=有4个相异实根；故C 错；D 选项，11t e =+时，方程()g x t =有两个解；()2g x t =+有一个解，共三个解；当01t <≤时，方程()g x t =有两个解；()2g x t =+有一个解，共三个解；当111t e-<<-+时，方程()g x t =无解；方程()2g x t =+有三个解，共三个解；故D 错. 故选：AB.35．（2020·枣庄市第三中学月考）已知函数()(),22x x x xe e e ef xg x ---+==，则()f x 和()g x 满足（） A ．()()()(),f x f x g x g x -=--=B ．()()()()23,23f f g g -<-<C ．()()()22f x f x g x =⋅D ．()()221f x g x -=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 【答案】ABC【解析】选项A:()()()(),222x x x x x xe e e e e ef x f xg x g x -----+-==-=--==.故A 正确; 选项B:()f x 为增函数，则()()23f f -<成立，()()()22332,3222e e e e g g g --++-==>-，故B 正确; 选项C: ()()()2222222222x x x x x xe e e e e ef xg x f x ----+-⋅=⨯⋅=⨯=，故C 正确; 选项D:()()()()()()()22.1x x f x g x f x g x f x g x e e --=+-=⋅-=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,故D 错误. 故选：ABC36．（2020·枣庄市第三中学月考）已知函数()21,0log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，下列是关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的判断，其中正确的是（）A ．当0k >时，有3个零点B ．当k 0<时，有2个零点C ．当0k >时，有4个零点D ．当k 0<时，有1个零点【答案】CD【解析】当0k >时, ()21,0log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩的图像为此时()10f f x +=⎡⎤⎣⎦即()1f f x =-⎡⎤⎣⎦有()()()121,0,2f x f x ∈-∞=两种情况. 又()()1,0f x =-∞有两根, ()212f x =也有两根,故()10f f x +=⎡⎤⎣⎦有4个零点. 当k 0<时,()21,0log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩的图像为此时()10f f x +=⎡⎤⎣⎦即()1f f x =-⎡⎤⎣⎦只有()12f x =一种情况,此时()12f x =仅有一个零点. 故当0k >时,有4个零点.当k 0<时,有1个零点故选CD 37．（2020·山东济南外国语学校高三月考）已知函数()e e x x f x -=-，()e e x x g x -=+，则以下结论错误的是（）A ．任意的1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<- B ．任意的1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()12120g x g x x x -<- C ．()f x 有最小值，无最大值D ．()g x 有最小值，无最大值【答案】ABC【解析】对A, ()e e x x f x -=-中e x y =为增函数,e x y -=为减函数.故()e e x x f x -=-为增函数.故任意的1x ,2x ∈R 且12x x ≠,都有()()12120f x f x x x ->-.故A 错误.对B,易得反例11(1)e e g -=+,11(1)(1)e e g g --=+=.故()()12120g x g x x x -<-不成立.故B 错误.对C, 当因为()e e x x f x -=-为增函数,且当x →-∞时()f x →-∞,当x →+∞时()f x →+∞.故()f x 无最小值,无最大值.故C 错误.对D, ()e e 2x x g x -=+≥=,当且仅当e e =x x -即0x =时等号成立. 当x →+∞时()g x →+∞.故()g x 有最小值,无最大值.故选：ABC38．（2021·山东滕州市第一中学新校高三月考）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(3)(1)f x f x +=-，若当[0,2]x ∈时，()21x f x =-，则下列结论正确的是（）A ．当[2,0]x ∈-时，()21x f x -=-B ．(2019)1f =C ．()y f x =的图像关于点(2,0)对称D ．函数2()()log g x f x x =-有3个零点【答案】ABD【解析】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(3)(1)f x f x +=-，即该函数周期为4，由题：[0,2]x ∈时，()21xf x =-，当[2,0]x ∈-时，[0,2]x -∈，()()21x f x f x -=-=-，所以A 选项正确； ()()()(2019)45051111f f f f =⨯-=-==，所以B 选项正确；()y f x =的图象关于点(2,0)对称，则()(3)10f f +=，但是()()(3)111f f f =-==，()(3)10f f +≠与()(3)10f f +=矛盾，所以C 选项错误；作出函数2(),log y f x y x ==的图象即可得到，函数2()()log g x f x x =-有3个零点，所以D 选项正确.故选：ABD39．（2021·山东滕州市第一中学新校高三月考）己知3515a b ==，则,a b 可能满足的关系是（）A ．4a b +>B ．4ab >C ．()()22112a b -+->D ．228a b +<【答案】ABC【解析】由3515a b ==，可得()315b a b =，()515a b a =，∴315ab b =，515ab a =，∴351515ab ab b a =⋅⋅，即1515ab a b +=，∴a b ab +=，依题意知,a b 为不相等的正数，∴2a b ab +> ∴2ab ab >4ab >，∴4a b ab +=>，故AB 正确；又()()()22221122b b b a a a -=+-+-+-，∵222a b ab +>，而a b ab +=，∴()2220a b a b +-+>，即()()221012a b -+-->，故C 正确；∵222,4a b ab ab +>>，∴228a b +>，故D 错误.故选：ABC.40．（2020·山东省东明县实验中学月考）定义在R 上的奇函数()f x 满足(3)()f x f x -=-，当[0,3]x ∈时，2()3f x x x =-，下列等式成立的是（）A ．(2019)(2020)(2021)f f f +=B ．(2019)(2021)(2020)f f f +=C ．2(2019)(2020)(2021)f f f +=D ．(2019)(2020)(2021)f f f =+【答案】ABC【解析】由已知可得()f x 是周期为6的函数，结合奇偶性和已知解析式，即可求出函数值，逐项验证即可.【详解】由(3)()f x f x -=-知()f x 的周期为6， (2019)(33663)(3)0f f f =⨯+==，(2020)(33762)(2)(2)2f f f f =⨯-=-=-=，(2021)(33761)(1)(1)2f f f f =⨯-=-=-=.故选:ABC.41．（2020·山东省东明县实验中学月考）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（）A ．x y e -=B ．3y x =C ．ln y x =D ．y x =【答案】BD【解析】对于A 选项，101e <<，所以，函数1x x y e e -⎛⎫== ⎪⎝⎭是定义域为R 的减函数；对于B 选项，函数3y x =是定义域为R 的增函数；对于C 选项，函数ln y x =是定义域为()0,∞+的增函数；对于D 选项，函数y x =是定义域为R 的增函数.故选：BD.42．（2020·山东潍坊·月考）已知正实数x ，y 满足21211log log 22x yx y ⎛⎫⎛⎫+<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论正确的是（） A ．11x yD ．122x y-<【答案】BC 【解析】原不等式可变形为2211log log 22x y x y ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设21()log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()()f x f y <，又2log y x =是增函数，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，∴21()log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是增函数，∴x y <．即0x y <<．则11x y >，A 错；33x y <，B 正确；11y x -+>，ln(1)0y x -+>，C 正确； 0x y -<，0221x y-<=，不能得出122x y-<，例如1x =，32y =，则1212222x y--==>，D 错．故选：BC ．43．（2020·山东月考）已知实数a ，b ，c 满足10a b c >>>>，则下列结论正确的是（） A ．a b c c > B ．log log a b c c >C ．1313log a a <D ．2233a b <【答案】BC 【解析】A 选项：x y c =为单调减函数，所以a b c c <；B 选项：log ay x =与log b y x =，当1x >时0log log a b x x <<，当01x <<时0log log a b x x >>，所以log log a b c c >； C 选项：13log y x =在1x >时13log 0x <，而13y x =在1x >时131x >，所以1313log a a <； D 选项：23y x =在0x >上单调递增，所以2233a b >；故选：BC.44．（2020·山东师范大学附中高三月考）x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数.十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”．则下列命题中正确的是（） A ．[]1,0x ∀∈-，[]1x =- B ．x ∃∈R ，[]1x x ≥+C ．,x y ∀∈R ，[][][]x y x y +≤+D ．函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[)0,1【答案】CD 【解析】对于A ，[]01,0∈-，而[]001=≠-，故A 错误；对于B ，因为[]1x x -<，所以[]1x x <+恒成立，故B 错误；对于C ，,x y ∀∈R ，[]01x x ≤-<，[]01y y ≤-<，所以[][]02x x y y ≤-+-<，当[][]12x x y y ≤-+-<时，[][][]1x y x y ++=+，此时[][][]x y x y +<+；当[][]01x x y y ≤-+-<时，[][][]x y x y +=+，此时[][][]x y x y +=+，所以,x y ∀∈R ，[][][]x y x y +≤+，故C 正确；对于D ，根据定义可知，[]01x x ≤-<，所以函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[)0,1，故D 正确. 故选：CD.45．（2020·山东日照·高三月考）已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()2f x f x =-．若()11f = ，则下列判断正确的是（）A ．()31f =B ．4是()f x 的一个周期C ．()()()2018201920201f f f ++=-D ．()f x 必存在最大值【答案】BC 【解析】因为()()2f x f x =-且()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，所以()()2f x f x =--，故()()()42f x f x f x +=-+=，故()f x 为周期函数且周期为4，故B 正确. 又()()()1311f f f -==-=-，故A 错.又()()()()()()()20182019202021011f f f f f f f ++=+-+=-=-，故C 正确.设[]1,1x ∈-时，()[)(]1,1,00,10,0x f x x x ⎧∈-⋃⎪=⎨⎪=⎩，且()()2f x f x =-，则()f x 的图象如图所示，()f x 为R 上的奇函数，但()f x 没有最大值，故选：BC.三、填空题46．（2020·山东高三期中）已知函数()212,034log ,0xx x f x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+>⎩，则()()8f f =_______.【答案】5 【解析】因为2(8)4log 8431f =-+=-+=-，所以11((8))(1)253f f f -⎛⎫=-=+= ⎪⎝⎭.故答案为：547．（2021·潍坊市潍城区教育局月考）一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个整数为a ，当[]2,2019a ∈时，符合条件的a 共有_____个．【答案】135 【解析】由题设a=3m+2=5n+3,m,n ∈N*,则3m=5n+1 当m=5k,n 不存在；当m=5k+1，n 不存在当m=5k+2,n=3k+1，满足题意当m=5k+3,n 不存在；当m=5k+4,n 不存在；故2≤a=15k+8≤2019,解620111515k -≤≤则k=0,1,2…134,共135个故答案为13548．（2020·泰安市泰山国际学校高三月考）方程22log (95)log (32)2x x-=-+的解是_____________.【答案】1x = 【解析】22log (95)log (32)2x x -=-+，即222log (95)log (32)log 4x x -=-+，22log (95)log 4(32)x x -=⋅-，即954(32)x x -=⋅-，设3x t =，0t >，250t ->，20t ->，即t >2548t t -=-，解得3t =或1t =（舍去），即33x =，1x =. 故答案为：1x =.49．（2020·泰安市泰山国际学校高三月考）已知定义在[1,1]-上的奇函数2()sin 21x x mf x x -=++，若(23)(21)f x f m +<-，则实数x 的取值范围是______.【答案】[2,1)-- 【解析】因为()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，所以1(0)02mf -==，则1m =；又因为21212121x x x y -==-++与sin y x =在[1,1]-上递增，所以由(23)(1)f x f +<可得：1231231x x -≤+≤⎧⎨+<⎩，。

山东省临沂市数学高考复习专题03：函数的应用

山东省临沂市数学高考复习专题03：函数的应用姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共15分)1. （2分）已知函数，把函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前nn项的和,则＝（）A . 45B . 55C .D .2. （2分）设函数仅有一个负零点，则m的取值范围为（）A . {m|－3≤m≤0}B . {m|－3＜m＜0}C . ＜{m|－3≤m＜0}D . {m|m=1或－3≤m≤0}3. （2分）如果二次函数y＝x2＋mx＋(m＋3)有两个不同的零点，则m的取值范围是（）A . （－2，6）B . ［－2，6］C . {－2，6}D . （－∞，－2）∪（6，＋∞）4. （2分） (2019高三上·安顺月考) 若函数在上有零点，则的取值范围是（）A .B .C .D .5. （2分）函数零点的个数（）A . 不存在B . 有一个C . 有两个D . 有三个6. （2分）已知函数f（x）=m（x﹣）﹣2lnx（m∈R），g（x）=﹣，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，则实数m的范围是（）A . （﹣∞，]B . （﹣∞，）C . （﹣∞，0]D . （﹣∞，0）7. （1分）已知两个函数f（x）和g（x）的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其函数对应关系如表：x123f（x）231x123g（x）321则方程g（f（x））=x的解集为________．8. （2分）方程的实数解落在的区间是（）A .B .C .D .二、解答题 (共7题；共50分)9. （5分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过C点．已知AB=3米，AD=2米．（I）设AN=x（单位：米），要使花坛AMPN的面积大于32平方米，求x的取值范围；（Ⅱ）若x∈[3，4）（单位：米），则当AM，AN的长度分别是多少时，花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积．10. （15分） (2018高一上·北京期中) 若函数满足：在区间内有且仅有一个实数，使得成立，则称函数具有性质M ．（1）判断函数是否具有性质M，说明理由；（2）若函数具有性质M，求实数a的取值范围；（3）若函数具有性质M，求实数m的取值范围．11. （10分） (2019高一上·包头月考)（1）二次函数满足 ,且 ,求的解析式；（2）已知 ,求的解析式.12. （5分） (2016高二上·上海期中) 某城市上年度电价为0.80元/千瓦时，年用电量为a千瓦时．本年度计划将电价降到0.55元/千瓦时～0.75元/千瓦时之间，而居民用户期望电价为0.40元/千瓦时（该市电力成本价为0.30元/千瓦时）经测算，下调电价后，该城市新增用电量与实际电价和用户期望电价之差成反比，比例系数为0.2a．试问当地电价最低为多少时，可保证电力部门的收益比上年度至少增加20%．13. （5分）某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为吨，（0≤t≤24）（1）从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？（2）若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．14. （5分）某网店经营的一红消费品的进价为每件12元，周销售量p（件）与销售价格x（元）的关系，如图中折线所示，每周各项开支合计为20元．（1）写出周销售量p（件）与销售价格x（元）元的函数关系式；（2）写出利润周利润y（元）与销售价格x（元）的函数关系式；（3）当该消费品销售价格为多少元时，周利润最大？并求出最大周利润．15. （5分） (2016高一上·承德期中) 某学校拟建一块周长为400m的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？三、填空题 (共4题；共5分)16. （1分）(2018·如皋模拟) 已知函数，且在上的最大值为，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为________.17. （1分）关于x的方程x3﹣3x2﹣a=0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________18. （2分） (2020高一上·长春期末) 已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围（）A . (0, )B .C .D . （0,1）19. （1分）(2017·成都模拟) 已知函数，若函数h（x）=f（x）﹣mx﹣2有且仅有一个零点，则实数m的取值范围是________．参考答案一、单选题 (共8题；共15分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、解答题 (共7题；共50分)9-1、10-1、10-2、10-3、11-1、11-2、12-1、13-1、14-1、15-1、三、填空题 (共4题；共5分) 16-1、17-1、18-1、19-1、第11 页共11 页。

山东省济宁市高三数学一轮复习专项训练指数函数(含

指数函数1、已知函数f (x )＝2x－2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( )．解析 (1)y ＝2x ―――→向下平移2个单位y ＝2x －2――――――→把x 轴下方的部分翻折上去y ＝|f (x )|.答案：B2、下列各式比较大小正确的是( )．A ．1.72.5>1.73B ．0.6－1>0.62C ．0.8－0.1>1.250.2D ．1.70.3<0.93.1(2)A 中，∵函数y ＝1.7x 是增函数，2.5<3∴1.72.5<1.73.B 中，∵y ＝0.6x 是减函数，－1<2，∴0.6－1>0.62.C 中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．∵y ＝1.25x 是增函数，0.1<0.2，∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2. D 中，∵1.70.3>1,0.93.1<1，∴1.70.3>0.93.1.答案B3、已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数． (1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0.解 (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a ＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a.解得a ＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1. 由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(此外可用定义或导数法证明函数f (x )在R 上是减函数)．又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)．因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解不等式可得⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫t ⎪⎪⎪ t >1或t <－13. 4、(2012·山东卷)若函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.[解析] 若a ＞1，有a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意．若0＜a ＜1，有a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意． [答案] 145．函数y ＝a x －1a(a ＞0，a ≠1)的图象可能是( )．解析当a ＞1时单调递增，且在y 轴上的截距为0＜1－1a＜1时，故A ，B 不正确；当0＜a ＜1时单调递减，且在y 轴上的截距为1－1a＜0，故C 不正确；D 正确．答案 D6．函数y ＝2x －2－x 是( )．A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减C ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增D ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减解析令f (x )＝2x －2－x ，则f (－x )＝2－x －2x ＝－f (x )，所以函数是奇函数，排除C ，D.又函数y ＝2x ，y ＝－2－x 都是R 上的增函数，由增函数加增函数还是增函数的结论可知f (x )＝2x －2－x是R 上的增函数．答案 A7．(2014·济南一模)若a ＝30.6，b ＝log 30.2，c ＝0.63，则( )．A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．c ＞b ＞aD ．b ＞c ＞a解析 30.6＞1，log 30.2＜0,0＜0.63＜1，所以a ＞c ＞b ，选A.答案 A8．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于( )． A.10 B ．10 C ．20 D ．100解析 ∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. ∴m ＝10.答案 A9．函数y ＝a x －b (a ＞0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a b 的取值范围为( )．A ．(1，＋∞) B．(0，＋∞)C ．(0,1)D ．无法确定解析函数经过第二、三、四象限，所以函数单调递减且图象与y 轴的交点在负半轴上．而当x ＝0时，y ＝a 0－b ＝1－b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ＜1，1－b ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ＜1，b ＞1，所以a b∈(0,1)．答案 C10．已知函数f (x )＝a －x (a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________．解析因为f (x )＝a －x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ，且f (－2)＞f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增，所以1a＞1，解得0＜a ＜1.答案 (0,1)11．函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．解析当0＜a ＜1时，a －a 2＝a 2，∴a ＝12或a ＝0(舍去)．当a ＞1时，a 2－a ＝a 2，∴a ＝32或a ＝0(舍去)．综上所述，a ＝12或32. 答案 12或3212．设f (x )＝e －x a ＋a e －x 是定义在R 上的函数． (1)f (x )可能是奇函数吗？ (2)若f (x )是偶函数，求a 的值．解 (1)假设f (x )是奇函数，由于定义域为R ，∴f (－x )＝－f (x )，即e x a ＋ae x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫e －xa ＋a e －x ，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a (e x ＋e －x )＝0，即a ＋1a ＝0，即a 2＋1＝0，显然无解．∴f (x )不可能是奇函数．(2)因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即e xa ＋a e x ＝e －x a ＋ae －x ，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a (e x －e －x)＝0，又∵对任意x ∈R 都成立，∴有a －1a ＝0，得a ＝±1.13．设a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．解令t ＝a x (a ＞0且a ≠1)，则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2(t ＞0)．①当0＜a ＜1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上为增函数．所以f (t )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12＝16，所以a ＝－15或a ＝13.又因为a ＞0，所以a ＝13.②当a ＞1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上是增函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(a ＝－5舍去)．综上得a ＝13或3.。

山东省数学高考复习专题03：函数的应用

山东省数学高考复习专题03：函数的应用姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）若方程的根在区间上，则k的值为（）A . -1B . 1C . -1或2D . -1或12. （2分） (2019高三上·天津月考) 下列命题中是假命题的是（）A . ，使是幂函数B . ，使C . ，函数都不是偶函数D . ，函数有零点3. （2分）若函数是偶函数，则图象的对称轴是（）A .B .C .D .4. （2分）(2019·枣庄模拟) 有如下命题：①函数y=sinx与y=x的图象恰有三个交点；②函数y=sinx与y= 的图象恰有一个交点；③函数y=sinx与y=x2的图象恰有两个交点；④函数y=sinx与y=x3的图象恰有三个交点，其中真命题的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 45. （2分） (2019高一上·绵阳期中) 在用二次法求方程3x+3x-8=0在（1，2）内近似根的过程中，已经得到f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）A .B .C .D . 不能确定6. （2分）已知函数，若a、b、c互不相等，且，则a＋b＋c的取值范围是（）A . （1，2014）B . （1，2015）C . （2，2015）D . [2，2015]7. （2分） (2019高一上·厦门期中) 已知函数（其中），若的图像如右图所示，则函数的图像大致为（）A .B .C .D .8. （2分）的值为（）A . 0B .C . 2D . 49. （2分）函数f（x）=ax﹣1+2的图象恒过定点（）A . （3，1）B . （0，2）C . （1，3）D . （0，1）10. （2分） (2019高二上·湖北期中) 若，则方程与所表示的曲线可能是图中的（）A .B .C .D .11. （2分）已知集合M={x|﹣2＜x＜3}，N={x|2x+1≥1}，则M∩N等于（）A . （﹣2，﹣1]B . （﹣2，1]C . [1，3）D . [﹣1，3）12. （2分） (2019高一下·赤峰期中) 在正项等比数列{ }中，，则=（）A . 2B . 4C . 6D . 8二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）若函数f（x）=（x2﹣x﹣2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=1对称，则f（x）的最小值是________14. （1分）若函数f（x）=loga（x﹣1）+4（a＞0且a≠1）的图象过定点（m，n），则logmn=________15. （1分）某厂2011年的产值为a万元，预计产值每年以7%的速度增加，则该厂到2022年的产值为________万元．16. （1分）(2019·东北三省模拟) 若是偶函数，当时，，则=.________.三、解答题 (共3题；共30分)17. （15分） (2018高一上·浙江期中) 已知二次函数满足，且．（1）求函数的解析式；（2）求在区间上的最大值和最小值；（3）当时，恒成立，求a的取值范围．18. （5分） (2020高一上·黄陵期中) 某公司在甲乙两地同时销售一种奢侈品，利润（单位：万元）分别为和，其中为销售量（单位：件）．若该公司在两地共销售18件，则能获得的最大利润为多少万元？19. （10分） (2019高一上·南充期中) 经市场调查，某门市部的一种小商品在过去的20天内的日销售量（件）与价格（元）均为时间（天）的函数，且日销售量近似满足函数（件），而且销售价格近似满足于（元）.（1）试写出该种商品的日销售额与时间的分段函数表达式；（2）求该种商品的日销售额的最大值.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共3题；共30分)答案：17-1、答案：17-2、答案：17-3、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：。

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