四川省内江市高中2022届第一次模拟考试数学(文)试题(含答案)
四川省高中2022届毕业班“ 名校联盟 ” 测试(一)文科数学试题 Word版含答案
绝密★启用前四川省高中2022届毕业班“兴唐·名校联盟”测试（一）数学（文史类）本试题卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）。
第I卷1至2页，第II卷2至4 页，共4页。
满分1 50分。
考试时间1 20分钟。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题共50分）留意事项：必需使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
本卷共1 0小题。
一．选择题：本大题共10个小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)复数z满足z(1+i)=2i（i为虚数单位），则z的虚部为(A) -1 (B)l (C) 一i (D)i(2)已知集合P={x|0≤x≤2），Q= {x|- 3<x<a}，若l∈P∩Q，3∈P∪Q，则a的取值范围是(A)(1,3] (B) (D)(1,3)(3)若向量 =(1，λ)与向量=(-2，0)的夹角为120°，则=(A) (B)2 (C)4 (D)(4)在如图所示的程序框图中，若输入曲线E1：=1，曲线E2：y=2x2。
曲线E1，E2的离心率分别为e1、e2，则输出的结果为(A)12 (B)1(C)32（D)52(5)在平面区域D=内随机取点P(x，y)，使x+y>l的概率为 (A)14 (B)12 (C)34 (D)45(6)实数a，b，c，d满足a>b，c<d，设命题p:∃ x∈(b，a)，ax< bx，命题q：∀x∈(c，d)，cx< dx，若p∧q为真命题，则下列结论肯定正确的是(A) ac<ad (B) ac<bc (C) ad<bd (D) bc>bd(7)若函数f(x)=12cos（xω+1）的最小正周期T=π，则函数g(x) =|ω|sin2x+23sinxcosx的最大值为(A)3 (B)2 (C)1 (D) -1(8)若函数f(x)=1+是R上的偶函数，则f (l)的值为(A)一2 (B)1 (C)23 (D)一2或23(9)在如图所示的三棱锥P-ABC中，PA=，BC =1，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，该锥体在以平面PBC为投影面的正视图的面积为32，则三棱锥P-ABC的体积为(A)322 (B) 2(C)22 (D)24(10)设函数f(x)=一4x，g(x)=2x；，若f (m)=g(n)，则n-m的最小值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)1第II卷（非选择题共100分）留意事项：必需使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。
2022-2023学年四川省内江市高二年级下册学期第一次月考数学(文)试题【含答案】
2022-2023学年四川省内江市高二下学期第一次月考数学（文）试题一、单选题1．命题“”的否定是（ ）20,10x x ∃>->A ．B ．20,10x x ∃≤->20,10x x ∃>-≤C ．D ．20,10x x ∀>-≤20,10x x ∀≤->【答案】C【分析】由特称命题的否定是全称命题即可得出答案.【详解】命题“”的否定是:.20,10x x ∃>->20,10x x ∀>-≤故选：C.2．椭圆的离心率是（ ）22124x y +=A B C D 【答案】A【分析】根据题意求，再求离心率即可.,,a b c【详解】由题意可得：y 轴上，则2,a b ==c ==故椭圆的离心率是22124x y +=c e a =故选：A.3．下列说法正确的是（ ）A ．若为假命题，则p ，q 都是假命题p q ∨B ．“这棵树真高”是命题C ．命题“使得”的否定是：“，”R x ∃∈2230x x ++<R x ∀∈2230x x ++>D ．在中，“”是“”的充分不必要条件ABC A B >sin sin A B >【答案】A【分析】若为假命题，则p ，q 都是假命题，A 正确，“这棵树真高”不是命题，B 错误，否定是：p q ∨“，”，C 错误，充分必要条件，D 错误，得到答案.R x ∀∈2230x x ++≥【详解】对选项A ：若为假命题，则p ，q 都是假命题，正确；p q ∨对选项B ：“这棵树真高”不是命题，错误；对选项C ：命题“使得”的否定是：“，”，错误；R x ∃∈2230x x ++<R x ∀∈2230x x ++≥对选项D ：，则，，故，充分性；若，则A B >a b >22a b R R >sin sin A B >sin sin A B >，，则，必要性，故是充分必要条件，错误.2sin 2sin R A R B ⋅>⋅a b >A B >故选：A4．在如图所示的正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ）1111ABCD A B C D -1A B 1B CA ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【分析】根据异面直线所成角的定义及正方体的特征求解【详解】连接，，如图，1A D DB因为正方体中，11//A D B C 所以就是与所成的角，1BA D ∠1A B 1B C 在中，.1BA D 11A D A B BD ==∴.160BA D ∠=︒故选：C5．已知双曲线的两条渐近线相互垂直，焦距为，则该双曲线的虚轴长为()222210,0x y a b a b -=>>12（ ）A ．B ．C ．D ．6【答案】B【分析】分析可得，求出的值，即可得出双曲线的虚轴长.b a =b 【详解】双曲线的渐近线方程为，()222210,0x y a b a b -=>>b y x a =±由题意可知，可得，所以，，则1b ba a -⋅=-b a =6c ===b =因此，该双曲线的虚轴长为2b =故选：B.6．若直线与焦点在x 轴上的椭圆总有公共点，则n 的取值范围是（ ）2y mx =+2219x y n +=A ．B ．C ．D ．(]0,4()4,9[)4,9[)()4,99,∞⋃+【答案】C【分析】由题得直线所过定点在椭圆上或椭圆内，代入椭圆得到不等式，再结合椭圆焦点在()0,2轴上即可.x 【详解】直线恒过定点，若直线与椭圆总有公共点，2y mx =+()0,2则定点在椭圆上或椭圆内，，解得或，()0,241n ∴≤4n ≥0n <又表示焦点在轴上的椭圆，故，，2219x y n += x 09n <<[)4,9n ∴∈故选：C.7．已知，分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上一点，满足，1F 2F 22145x y -=M 12MF MF ⊥则的面积为（ ）12F MF △A ．B ．CD ．510【答案】A 【分析】由可以求得M 在以原点为圆心，焦距为直径的圆周上，写出圆的方程，与双曲12MF MF ⊥线的方程联立求得M 的坐标，进而得到所求面积.【详解】设双曲线的焦距为，则.2c 2459c =+=因为，所以为圆与双曲线的交点.12MF MF ⊥M 229x y +=联立，解得，22229145x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩53y =±所以的面积为.12F MF △156523⨯⨯=故选:A.【点睛】本题考查与双曲线有关的三角形面积最值问题，利用轨迹方程法是十分有效和简洁的解法.8．已知椭圆的左､右焦点分别为，过坐标原点的直线交于两点，2222:1(0)x y E a b a b +=>>12,F F E ,P Q 且，且，则椭圆的标准方程为（ ）22PF F Q⊥2224,6PF Q S PF F Q =+= E A ．B ．22143x y +=22154x y +=C ．D ．22194x y +=22195x y +=【答案】C【分析】根据椭圆的定义可求，结合三角形的面积可求，进而可得答案.3a =c 【详解】如图，连接，由椭圆的对称性得四边形为平行四边形，11,PF QF 12PFQF 所以，得.222126PF F Q PF PF a +=+==3a =又因为，所以四边形为矩形，设，22PF F Q ⊥12PFQF 22,==PF m QF n 则，所以得或；2142PF QS mn == 6,8,m n mn +=⎧⎨=⎩ 42m n =⎧⎨=⎩24m n =⎧⎨=⎩则，12F F =2224c b ac ==-=椭圆的标准方程为.E 22194x y +=故选:C.9．当双曲线的焦距取得最小值时，双曲线M 的渐近线方程为222:1(20)26x y M m m m -=-≤<+（ ）A ．y ＝B ．y ＝xC ．y ＝±2xD ．y ＝±x12【答案】C【解析】求得关于的函数表达式，并利用配方法和二次函数的性质得到取得最小值时的值，2c m m 进而得到双曲线的标准方程，根据标准方程即可得出渐近线方程【详解】由题意可得c 2＝m 2＋2m ＋6＝(m ＋1)2＋5，当m ＝－1时，c 2取得最小值，即焦距2c 取得最小值，此时双曲线M 的方程为，所以渐近线方程为y ＝±2x .2214y x -=故选：C ．【点睛】本题考查双曲线的标准方程与几何性质，属基础题，掌握双曲线的基本量的关系是,,a b c 关键.由双曲线的方程：的渐近线可以统一由得出.22(0,0)Ax By AB λλ+=<≠220Ax By +=10．已知，是椭圆C 的两个焦点，P 为C 上一点，，若C ，则1F 2F 122PF PF =（ ）12F PF ∠=A ．B ．C ．D ．150︒120︒90︒60︒【答案】B【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理、椭圆离心率的公式进行求解即可.【详解】解：记，，由，及，得，，又由余弦定11r PF =22r PF =122r r =122r r a +=143r a =223r a=理知，得.2221212122cos 4r r r r F PF c +-⋅∠=222122016cos 499a a F PF c -⋅∠=由，从而，∴.c e a ==2279c a =2212168cos 99a a F PF ⋅∠=-121cos 2F PF ∠=-∵，∴.120180F PF ︒<∠<︒12120F PF ∠=︒故选:B11．吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种埙的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆.半椭圆（，且为常数）和半圆组成的曲线22221y x a b +=0y ≥0a b >>()2220x y b y +=<如图2所示，曲线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，点是半圆上任意一点，C C x A y G M 当点的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是（）M 12⎫-⎪⎪⎭AGM A ．B ．()2241032x y y +=≥()22161093x y y +=≥C ．D ．()22241033x y y +=≥()22421033x y y +=≥【答案】D【分析】由点在半圆上，可求，然后求出G ，A ，根据已知的面积最大的条12M ⎫-⎪⎪⎭b AGM 件可知，，即，代入可求，进而可求椭圆方程OM AG ⊥1OM AGk k ⋅=-a 【详解】由点在半圆上，所以，12M ⎫-⎪⎪⎭b=(0,),(,0)G a A b -要使的面积最大，可平行移动AG ，当AG 与半圆相切于时，M 到直线AG 的AGM 12M ⎫-⎪⎪⎭距离最大， 此时，即，OM AG ⊥1OM AGk k ⋅=-又,OM AG ak k b ===1,a a b =-∴==所以半椭圆的方程为()22421033x y y +=≥故选：D12．已知，为椭圆与双曲线的公共焦点，1F 2F ()221112211:10x y C a b a b +=>>()222222222:10,0x y C a b a b -=>>是它们的一个公共点，且，，分别为曲线，的离心率，则的最小值为M 12π3F MF ∠=1e 2e 1C 2C 12e e （ ）ABC ．1D ．12【答案】A【分析】由题可得，在中，由余弦定理得112212MF a a MF a a =+⎧⎨=-⎩12MF F △，结合基本不等式得，即可解决.2221212122cos3F F MF MF MF MF π=+-⋅⋅222121243c a a a =+≥【详解】由题知，，为椭圆与双曲线的1F 2F ()221112211:10x y C a b a b +=>>()222222222:10,0x y C a b a b -=>>公共焦点，是它们的一个公共点，且，，分别为曲线，的离心率，M 123F MF π∠=1e 2e 1C 2C 假设，12MF MF >所以由椭圆，双曲线定义得，解得，12112222MF MF a MF MF a +=⎧⎨-=⎩112212MF a a MF a a =+⎧⎨=-⎩所以在中，，由余弦定理得12MF F △122F F c =，即222121212π2cos3F F MF MF MF MF =+-⋅⋅，()()()()22212121212π42cos3c a a a a a a a a =++--+⋅-化简得，2221243=+c a a 因为，222121243c a a a =+≥所以，212c a a ≥=12≥e e 当且仅当时，取等号，12a =故选：A二、填空题13．过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点2241x y +=1F 构成的的周长为__________2F 【答案】4【分析】先将椭圆的方程化为标准形式，求得半长轴的值，然后利用椭圆的定义进行转化即可求a 得.【详解】解：椭圆方程可化为，显然焦点在y 轴上，，22114x y +=1a =根据椭圆定义，121222AF AF a BF BF a+=+=，所以的周长为．2ABF 121244AF AF BF BF a +++==故答案为4．14．若命题“，”为假命题，则a 的取值范围是______．x ∀∈R 210ax ax ++≥【答案】(,0)(4,)-∞+∞ 【分析】先求得命题为真时的等价条件，取补集即可得到为假命题时的参数取值范围.【详解】当时，命题为“，”，该命题为真命题，不满足题意；0a =x ∀∈R 10≥当时，命题，可得到，解得，0a ≠R x ∀∈210ax ax ++≥2Δ400a a a ⎧=-≤⎨>⎩04a <≤故若命题“，”是假命题，则R x ∀∈210ax ax ++≥(,0)(4,)a ∈-∞+∞ 故答案为：(,0)(4,)-∞+∞ 15．已知椭圆C ：，，为椭圆的左右焦点．若点P 是椭圆上的一个动点，点A 的坐2212516x y +=1F 2F 标为（2，1），则的范围为_____．1PA PF +【答案】[10【分析】利用椭圆定义可得，再根据三角形三边长的关系可知，当共线时即1210PF PF =-2,,A P F 可取得最值.1PA PF +【详解】由椭圆标准方程可知，5,3a c ==12(3,0),(3,0)F F -又点P 在椭圆上，根据椭圆定义可得，所以12210PF PF a +==1210PF PF =-所以1210PA PF PA PF +=+-易知，当且仅当三点共线时等号成立；222AF PA PF AF -≤-≤2,,A P F=10+即的范围为.1PA PF +[10+故答案为：[1016．己知，是双曲线C 的两个焦点，P为C 上一点，且，，若1F 2F 1260F PF ∠=︒()121PF PF λλ=>C ，则的值为______．λ【答案】3【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理求解即可.12,PF PF 【详解】由及双曲线的定义可得，12(1)PF PF λλ=>122(1)2PF PF PF aλ-=-=所以，，因为，在中，221aPF λ=-121a PF λλ=-1260F PF ∠=︒12F PF △由余弦定理可得，222222442242cos 60(1)(1)11a a a ac λλλλλλ=+-⨯⋅⋅︒----即，所以，2222(1)(1)c a λλλ-=-+2222217(1)4c e a λλλ-+===-即，解得或（舍去）.231030λλ-+=3λ=13λ=故答案为：3三、解答题17．已知，，其中m ＞0．2:7100p x x -+<22430q :x mx m -+<(1)若m ＝4且为真，求x 的取值范围；p q ∧(2)若是的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．q ⌝p ⌝【答案】(1)()4,5(2)5,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）解不等式得到，，由为真得到两命题均为真，从而求出:25p x <<q :412x <<p q ∧的取值范围；x （2）由是的充分不必要条件，得到是的充分不必要条件，从而得到不等式组，求出实q ⌝p ⌝p q数m 的取值范围.【详解】（1），解得：，故，27100x x -+<25x <<:25p x <<当时，，解得：，故，4m =216480x x +<-412x <<q :412x <<因为为真，所以均为真，p q ∧,p q 所以与同时成立，:25p x <<q :412x <<故与求交集得：，25x <<412x <<45x <<故的取值范围时；x ()4,5（2）因为，，解得：，0m >22430x mx m -+<3m x m <<故，:3q m x m <<因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，q ⌝p ⌝p q即，但，:25:3p x q m x m <<⇒<<:3q m x m <<⇒:25p x <<故或，0235m m <≤⎧⎨>⎩0235m m <<⎧⎨≥⎩解得：，523m ≤≤故实数m 的取值范围是5,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦18．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程；(1)短轴长为的椭圆；23e =(2)与双曲线具有相同的渐近线，且过点的双曲线．22143y x -=()3,2M -【答案】(1)或22195x y+=22195y x +=(2)22168x y -=【分析】（1）根据题意求出、、的值，对椭圆焦点的位置进行分类讨论，可得出椭圆的标准a b c 方程；（2）设所求双曲线方程为，将点的坐标代入所求双曲线的方程，求出的值，()22043y x λλ-=≠M λ即可得出所求双曲线的标准方程.【详解】（1）解：由题意可知.23b c a b ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩若椭圆的焦点在轴上，椭圆的标准方程为，x 22195x y +=若椭圆的焦点在轴上，椭圆的标准方程为.y 22195y x +=综上所述，所求椭圆的标准方程为或.22195x y +=22195y x +=（2）解：设所求双曲线方程为，()22043y x λλ-=≠将点代入所求双曲线方程得，()3,2-()2223243λ-=-=-所以双曲线方程为，即．22243y x -=-22168x y -=19．已知直棱柱的底面ABCD 为菱形，且，为1111ABCD A B C D-2AB AD BD ===1AA =E 的中点．11B D (1)证明：平面；//AE 1BDC (2)求三棱锥的体积．1E BDC -【答案】(1)证明见解析(2)1【分析】（1）根据平行四边形的判定定理和性质，结合菱形的性质、线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据菱形的性质、直棱柱的性质，结合线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式进行求解即可.【详解】（1）连接AC 交BD 于点，连接，F 1C F 在直四棱柱中，，1111ABCD A B C D -11//AA CC 11=AA CC 所以四边形为平行四边形，即，，11AA C C 11//AC A C 11=AC A C 又因为底面ABCD 为菱形，所以点为AC 的中点，F 点为的中点，即点为的中点，所以，，E 11B D E 11A C 1//C E AF 1C E AF =即四边形为平行四边形，所以，1AFC E 1//AE C F 因为平面，平面，，所以平面；1C F ⊂1BDC AE ⊄1BDC //AE 1BDC （2）在直棱柱中平面，平面，1111ABCD A B C D -1BB ⊥1111D C B A 11A C ⊂1111D C B A 所以，111BB A C ⊥又因为上底面为菱形，所以，1111D C B A 1111B D A C ⊥因为平面，1111111,,B D BB B B D BB =⊂ 11BB D D 所以平面，11A C ⊥11BB D D 因为在中，，ABD △2AB AD BD ===且点为BD 的中点，所以，即FAF ==1C E =所以．11111121332E BDC C BDE BDE V V S C E --==⋅=⨯⨯=△20．已知椭圆E ：.()222210x y a b a b +=>>(P (1)求椭圆E 的方程；(2)若直线m 过椭圆E 的右焦点和上顶点，直线l 过点且与直线m 平行.设直线l 与椭圆E 交()2,1M 于A ，B 两点，求AB 的长度.【答案】(1)221168x y +=【分析】（1）由待定系数法求椭圆方程.（2）运用韦达定理及弦长公式可求得结果.【详解】（1）由题意知，，，设椭圆E 的方程为.e =a=b c =222212x y b b +=将点的坐标代入得：，，所以椭圆E 的方程为.P 28b =216a=221168x y +=（2）由（1）知，椭圆E 的右焦点为，上顶点为，所以直线m 斜率为(0,，1k ==-由因为直线l 与直线m 平行，所以直线l 的斜率为，1-所以直线l 的方程为，即，()12y x -=--30x y +-=联立，可得，2211683x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩231220x x -+=，，，1200∆=>124x x +=1223x x =.==21．已知双曲线.221416x y -=(1)试问过点能否作一条直线与双曲线交于，两点，使为线段的中点，如果存在，()1,1N S T N ST 求出其方程；如果不存在，说明理由；(2)直线：与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、l ()2y kx m k =+≠±M M l x 轴于，两点.当点运动时，求点的轨迹方程.y ()0,0A x ()00,B y M 00(,)P x y 【答案】(1)不能，理由见解析；(2)，.22100125x y -=0y ≠【分析】（1）设出直线的方程，与双曲线方程联立，由判别式及给定中点坐标计算判断作答.ST （2）联立直线与双曲线的方程，由给定条件得到，求出的坐标及过点与直线l ()2244m k =-M M 垂直的直线方程，即可求解作答.l 【详解】（1）点不能是线段的中点，N ST 假定过点能作一条直线与双曲线交于，两点，使为线段的中点，()1,1N S T N ST 显然，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，ST ST ()11y n x -=-1y nx n =-+而双曲线渐近线的斜率为，即，221416x y -=2±2n ≠±由得，则有，解得，2211416y nx n x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩()22242(1)(1)160n x n n x n -+----=2(1)14n n n --=-4n =此时，即方程组无解，22224(1)4(4)[(1)16]4169412250n n n n '∆=----+=⨯⨯-⨯⨯<所以过点不能作一条直线与双曲线交于，两点，使为线段的中点.()1,1N S T N ST （2）依题意，由消去y 整理得，221416x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩()()22242160k x kmx m ---+=因为，且是双曲线与直线唯一的公共点，2k ≠±M l 则有，即，点M 的横坐标为，()()222Δ(2)44160km k m =-+-+=()2244m k =-244km kkm =--点，，过点与直线垂直的直线为，416(,)k M m m --0km ≠M l 1614()k y x m k m +=-+因此，，，，020k x m =-020y m =-2222002224164(4)110025x y k k m m m --=-==00y ≠所以点的轨迹方程为，.00(,)P x y 22100125x y -=0y ≠22．已知椭圆：上的点到左、右焦点，的距离之和为4.C ()222210x y a b a b +=>>31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭1F 2F (1)求椭圆的方程.C (2)若在椭圆上存在两点，，使得直线与均与圆相切，问：C P Q AP AQ ()222322x y r ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭()0r >直线的斜率是否为定值?若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由.PQ 【答案】(1)22143x y +=(2)是定值，定值为12【分析】（1）由椭圆的定义结合性质得出椭圆的方程.C （2）根据直线与圆的位置关系得出，将直线的方程代入椭圆的方程，由韦达定理得21k k =-AP C 出坐标，进而由斜率公式得出直线的斜率为定值.,P Q PQ 【详解】（1）由题可知，所以.24a =2a =将点的坐标代入方程，得A 31,2⎛⎫⎪⎝⎭22214x y b +=23b =所以椭圆的方程为.C 22143x y +=（2）由题易知点在圆外，且直线与的斜率均存在.A ()()2223202x y r r ⎛⎫-+-=> ⎪⎝⎭AP AQ 设直线的方程为，直线的方程是AP ()1312y k x -=-AQ ()2312y k x -=-由直线与圆相切，AP ()()2223202x y r r ⎛⎫-+-=> ⎪⎝⎭r=r=.=21k k =-将直线的方程代入椭圆的方程，AP C 可得.()()222111113443241230k x k k x k k ++-+--=设，.因为点也是直线与椭圆的交点，(),P P P x y (),Q Q Q x y 31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭AP 所以，21121412334P k k x k --=+1132P P y k x k =+-因为，所以，21k k =-21121412334Q k k x k +-=+1132Q Q y k x k =-++所以直线的斜率PQ Q P PQ Q Py y k x x -=-()112Q P Q Pk x x k x x -++=-22111111221122111122114123412323434412341233434k k k k k k k k k k k k k k ⎛⎫+----++ ⎪++⎝⎭=+----++()()22111118623424k k k k k --++=12=。
2021年3月四川省内江市普通高中2021届高三毕业班下学期第二次高考模拟考试数学(文)试题及答案
绝密★启用前四川省内江市普通高中2021届高三毕业班下学期第二次高考模拟考试数学(文)试题2021年3月(考试时间：120分钟试卷满分：150分)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x|(x＋4)(x－1)≤0},B＝{x||x|<2},则A∪B＝A.{x|－2<x<2}B.{x|－2<x≤1}C.{x|－2<x≤4}D.{x|－4≤x<2}2.复数(1＋2i)(2－3i)的共轭复数是A.8＋iB.8－iC.－4＋iD.－8＋i3.若cosα＝15,α为锐角,则cos(α－6π)＝B.110+D.1104.记S n为等差数列{a n}的前n项和,若a2＝18,S5＝80,则数列{a n}的通项公式a n＝A.2n＋22B.22－2nC.20－nD.n(21－n)5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中,设M为线段BC的中点,则下列说法正确的是A.A1M⊥BDB.A1M//平面CC1D1DC.A1M⊥AB1D.A1M⊥平面ABC1D16.执行右图所示的程序框图,则输出k的值为A.3B.4C.5D.67.已知过点(0,2)的直线l与圆心为C的圆(x－2)2＋(y－1)2＝10相交于A,B两点,若CA⊥CB,直线l的方程为A.2x－y＋2＝0B.2x－y＋2＝0或2x＋y－2＝0C.x＝0D.x＝0或2x＋y－2＝08.函数f(x)＝e|x|－ln|x|－2的大致图象为9.现从甲、乙等6人中随机抽取2人到幸福社区参加义务劳动,则甲、乙仅有1人被抽到的概率为A.25B.715C.815D.3510.若过抛物线C：y2＝4x的焦点且斜率为2的直线与C交于A,B两点,则线段AB 的长为A.3B.4C.5D.611.已知F1,F2是双曲线C：22221x ya b-=(a>0,b>0)的左,右焦点,过点F1且倾斜角为30°的直线与双曲线的左,右两支分别交于点A,B。
2022-2023学年四川省内江市高二年级下册学期第一次月考数学(文)试题(二)
内江六中2022—2023学年（下）高24届第一次月考文科数学试题考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷 选择题（满分60分）一、单选题（本大题共12小题，共60分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．命题“，”的否定是（ ）0x ∃>210x ->A ．，B ．，0x ∃≤210x ->0x ∃>210x -≤C ．，D ．，0x ∀>210x -≤0x ∀≤210x ->2．椭圆的离心率是（ ）22124x y +=ABCD3．下列说法正确的是（ ）A ．若为假命题，则p ，q 都是假命题p q ∨B ．“这棵树真高”是命题C ．命题“使得”的否定是：“，”x ∃∈R 2230x x ++<R x ∀∈2230x x ++>D ．在中，“”是“”的充分不必要条件ABC △A B >sin sin A B >4．在如图所示的正方体中，异面直线与所成角的大小为（1111ABCD A B C D -1A B 1B C ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°5．己知双曲线的两条渐近线相互垂直，焦距为12，则该双曲线()222210,0x y a ba b -=>>的虚轴长为（ ）A ．6B ．C ．D ．6．若直线与焦点在x 轴上的椭圆总有公共点，则n 的取值范围是2y mx =+2219x y n +=（ ）A ．B ．C ．D ．(]0,4()4,9[)4,9[)()4,99,+∞7．己知，分别为双曲线的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点，满足1F 2F 22145x y -=，则的面积为（ ）12MF MF ⊥12F MF △A ．5B ．10C D．8．己知椭圆的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线()2222:10x y E a b a b +=>>1F 2F 交E 于P ，Q 两点，且，且，，则椭圆E 的标准22PF F Q ⊥24PF Q S =△226PF F Q +=方程为（ ）A ．B ．C ．D ．22143x y +=22154x y +=22194x y +=22195x y +=9．当双曲线的焦距取得最小值时，双曲线M 的渐近线()222:12026x y M m m m-=-≤<+方程为（）A ．B ．C ．D ．y =y x =±2y x=±12y x=±10．己知，是椭圆C 的两个焦点，P 为C 上一点，，若C 的离心率为1F 2F 122PF PF =，则（ ）12F PF ∠=A ．150°B ．120°C ．90°D ．60°11．吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种埙的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆．半椭圆（，且为常数）和半圆22221y x a b +=0y ≥0a b >>组成的曲线G 如图2所示，曲线G 交x 轴的负半轴于点A ，交y 轴的()2220x y b y +=<正半轴于点C ，点M 是半圆上任意一点，当点M 的坐标为时，的面12⎫-⎪⎪⎭ACM △积最大，则半椭圆的方程是（）A ．B ．()2241032x y y +=≥()22161093x y y +=≥C ．D ．()22241033x y y +=≥()22421033x y y +=≥12．已知，为椭圆与双曲线1F 2F ()221112211:10x y C a b a b +=>>的公共焦点，M 是它们的一个公共点，且，()222222222:10,0x y C a b a b -=>>12π3F MF ∠=，的离心率，则的最小值为（ ）1e 2e 1C 2C 12e e A B C ．1D ．12第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的2241x y +=1F 另一个焦点构成的的周长为__________．2F 14．若命题“，”为假命题，则a 的取值范围是__________．x ∀∈R 210ax ax ++≥15．己知椭圆，，为椭圆的左右焦点．若点P 是椭圆上的一个动点，22:12516x y C +=1F 2F 点A 的坐标为，则的范围为__________．()2,11PA PF +16．己知，是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且，1F 2F 1260F PF ∠=︒，若C ，则的值为__________．()121PF PF λλ=>λ三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（本题满分10分）己知，，其中．2:7100p x x -+<22:430q x mx m -+<0m >（1）若且为真，求x的取值范围；4m =p q ∧（2）若是的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．q ⌝p ⌝18．（本题满分12分）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程；（1）短轴长为的椭圆；23e =（2）与双曲线具有相同的渐近线，且过点的双曲线．22143y x -=()3,2M -19．（本题满分12分）己知直棱柱的底面ABCD 为菱形，且，1111ABCD A B C D -2AB AD BD ===E 为的中点．1AA =11B D（1）证明：平面；AE ∥1BDC （2）求三棱锥的体积．1E BDC -20．（本题满分12分）己知椭圆，且过点．()2222:10x y E a b a b +=>>(P （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线m 过椭圆E 的右焦点和上顶点，直线l 过点且与直线m 平行．设直()2,1M 线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，求AB 的长度．21．（本题满分12分）己知双曲线．221416x y -=（1）试问过点能否作一条直线与双曲线交于S ，T 两点，使N 为线段ST 的中点，()1,1N 如果存在，求出其方程；如果不存在，说明理由；（2）直线与双曲线有唯一的公共点M ，过点M 且与l 垂直的直线():2l y kx m k =+≠±分别交x 轴、y 轴于，两点，当点M 运动时，求点的轨迹方()0,0A x ()00,B y ()00,P x y 程．22．（本题满分12分）己知椭圆上的点到左、右焦点，的距离之和为()2222:10x y C a b a b +=>>31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭1F 2F 4．（1）求椭圆C 的方程．（2）若在椭圆C 上存在两点P ，Q ，使得直线AP 与AQ 均与圆相切，问：直线PQ 的斜率是否为定值？若是定值，请求()()2223202x y r r ⎛⎫-+-=> ⎪⎝⎭出该定值；若不是定值，请说明理由．内江六中2022—2023学年（下）高24届第一次月考文科数学试题答案一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。
2022-2023学年四川省内江市高二上学期期末考试数学(文)试题(解析版)
2022-2023学年四川省内江市高二上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．某个年级有男生180人，女生160人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为68的样本，则此样本中女生人数为（ ） A ．40 B ．36 C ．34 D ．32【答案】D【分析】根据分层抽样的性质计算即可. 【详解】由题意得：样本中女生人数为1606832180160⨯=+.故选：D2．已知向量()3,2,4m =-，()1,3,2n =--，则m n +=（ ） A ．22 B ．8 C ．3 D ．9【答案】C【分析】由向量的运算结合模长公式计算即可. 【详解】()()()3,2,41,3,22,1,2m n +=-+--=-- ()()2222123m n +=-+-+=故选：C3．如图所示的算法流程图中，第3个输出的数是（ ）A ．2B ．32C ．1D ．52【答案】A【分析】模拟执行程序即得.【详解】模拟执行程序，1,1A N ==，输出1，2N =；满足条件，131+=22A =，输出32，3N =；满足条件，31+=222A =，输出2，4N =；所以第3个输出的数是2. 故选：A.4．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8B ．83C ．43D ．323【答案】B【分析】把三视图转换为几何体，根据锥体体积公式即可求出几何体的体积. 【详解】根据几何体的三视图可知几何体为四棱锥P ABCD -, 如图所示：PD ⊥平面ABCD ,且底面为正方形，2PD AD == 所以该几何体的体积为：1822233V =⨯⨯⨯=故选：B5．经过两点(4,21)A y +，(2,3)B -的直线的倾斜角为3π4，则y =（ ） A ．1- B ．3-C ．0D ．2【答案】B【分析】先由直线的倾斜角求得直线的斜率，再运用两点的斜率进行求解.【详解】由于直线AB 的倾斜角为3π4， 则该直线的斜率为3πtan14k ==-， 又因为(4,21)A y +，(2,3)B -， 所以()213142y k ++==--，解得=3y -.故选：B.6．为促进学生对航天科普知识的了解，进一步感受航天精神的深厚内涵，并从中汲取不畏艰难、奋发图强、勇于攀登的精神动力，某校特举办以《发扬航天精神，筑梦星辰大海》为题的航天科普知识讲座.现随机抽取10名学生，让他们在讲座前和讲座后各回答一份航天科普知识问卷，这10名学生在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，下列叙述正确的是（ ）A ．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B ．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C ．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D ．讲座前问卷答题的正确率的极差小于讲座后正确率的极差 【答案】B【分析】根据题意以及表格，可分别计算中位数、平均数、极差等判断、排除选项是否正确，从而得出答案.【详解】讲座前问卷答题的正确率分别为：60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，中位数为70%75%72.5%70%2+=> ，故A 错误； 讲座后问卷答题的正确率的平均数为0.80.8540.920.951289.5%85%10+⨯+⨯++⨯=> ，故B 正确；由图知讲座前问卷答题的正确率的波动性大于讲座后正确率的波动性，即讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故C 错误；讲座后问卷答题的正确率的极差为100%-80%=20%，讲座前正确率的极差为95%-60%=35%，20%<35%,故D 错误. 故选：B.7．两条平行直线230x y -+=和340ax y -+=间的距离为d ，则a ，d 分别为（ ）A ．6a =，d =B ．6a =-，d =C ．6a =-，d =D ．6a =，d =【答案】D【分析】根据两直线平行的性质可得参数a ，再利用平行线间距离公式可得d . 【详解】由直线230x y -+=与直线340ax y -+=平行， 得()()2310a ⨯---⨯=，解得6a =，所以两直线分别为230x y -+=和6340x y -+=，即6390x y -+=和6340x y -+=，所以两直线间距离d = 故选：D.8．从1,2,3,4,5这五个数字中随机选择两个不同的数字，则它们之和为偶数的概率为A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】B【分析】先求出基本事件总数n 25C 10==，再求出这两个数字的和为偶数包含的基本事件个数m 2223C C =+，由此能求出这两个数字的和为偶数的概率【详解】从1、2、3、4、5、这五个数字中，随机抽取两个不同的数字，基本事件总数n 25C 10==，这两个数字的和为偶数包含的基本事件个数m 2223C C =+=4，∴这两个数字的和为偶数的概率为p m 40.4n 10===． 故选B ．【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．9．已知三条不同的直线l ，m ，n 和两个不同的平面α，β，则下列四个命题中错误的是（ ） A ．若m ⊥α，n ⊥α，则m //nB ．若α⊥β，l ⊂α，则l ⊥βC ．若l ⊥α，m α⊂，则l ⊥mD ．若l //α，l ⊥β，则α⊥β【答案】B【分析】根据线面垂直的性质定理可知A 正确；根据面面垂直的性质定理可知B 不正确； 根据线面垂直的定义可知C 正确；根据面面垂直的判定可知D 正确．【详解】对A ，根据线面垂直的性质，垂直于同一平面的两条直线互相平行可知A 正确； 对B ，根据面面垂直的性质定理可知，若α⊥β，l ⊂α，且l 垂直于两平面的交线，则l ⊥β，所以B 错误；对C ，根据线面垂直的定义可知，C 正确；对D ，因为l //α，由线面平行的性质可知在平面α内存在直线//m l ，又l ⊥β，所以m β⊥，而m α⊂，所以α⊥β，D 正确． 故选：B ．10．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知ABC ∆的顶点(0,0),(0,2),( 6.0)A B C -，则其欧拉线的一般式方程为（ ） A ．31x y += B ．31x y -= C ．30x y += D ．30x y -=【答案】C【分析】根据题意得出ABC 为直角三角形，利用给定题意得出欧拉线，最后点斜式求出方程即可. 【详解】显然ABC 为直角三角形，且BC 为斜边， 所以其欧拉线方程为斜边上的中线， 设BC 的中点为D ，由(0,2),( 6.0)B C -， 所以()3,1D -，由101303AD k -==--- 所以AD 的方程为13y x =-，所以欧拉线的一般式方程为30x y +=. 故选：C.11．已知P 是直线:70l x y +-=上任意一点，过点P 作两条直线与圆22:(1)4C x y ++=相切，切点分别为A 、B ．则四边形PACB 面积最小值为（ ）A ．BC ．D ．28【答案】A【分析】当PC l ⊥时，||PC 取得最小值，根据切线长的表达式可知，||PA 最小，此时四边形PACB面积2S PA AC PA ==最小，求解即可．【详解】圆22:(1)4C x y ++=的圆心(1,0)C -，半径为2，当PC l ⊥时，||PC 取得最小值，即||PC 的最小值为点C 到直线l 的距离|8|422d -==， ∵2224PA PC AC PC =-=-，∴||PA 的最小值为27，∵四边形PACB 面积2S PA AC PA ==， ∴四边形PACB 面积S 的最小值为47． 故选：A ．12．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列数学命题不正确的是A ．平面1//ACB 平面11ACD 3B ．点P 在线段AB 上运动，则四面体111PA BC 的体积不变 C ．与所有122D ．M 是正方体的内切球的球面上任意一点，N 是1AB C 外接圆的圆周上任意一点，则||MN 的最32-【答案】D【解析】根据面面平行的判定定理以及平行平面的距离进行证明，即可判断选项A ； 研究四面体的底面面积和高的变化判断选项B ；与所有12棱都相切的球的直径等于面的对角线1B C 的长度，求出球半径进行计算，即可判断选项C ； 根据正方体内切球和三角形外接圆的关系可判断选项D .【详解】对于选项A ，111//,AB DC AB ⊄平面111,AC D DC ⊂平面11AC D ，1//AB ∴平面11AC D ，同理可证//AC 平面11AC D ，11,,AB AC A AB AC =⊂平面1ACB ，∴平面1//ACB 平面11AC D ，正方体的对角线13BD =B 到平面1ACB 的距离为h ， 则11221311,(2)11332B ACBC ABB V V h --=⨯=⨯⨯⨯，3h ，则平面1ACB 与平面11AC D 的距离为332d h == 故A 正确；对于选项B ，点P 在线段AB 上运动，点P 到底面111A B C 的距离不变， 底面积不变，则体积不变，故B 正确；对于选项C ，与所有12条棱都相切的球直径等于面的对角线12BC 23422(3V ππ=⨯⨯=C 正确；对于选项D ，设正方体的内切球的球心和外接球的球心为O ， 则1ACB 的外接圆是正方体外接球的一个小圆，M 是正方体的内切球的球面上任意一点，N 是1AB C 外接圆的圆周上任意一点，∴线段MN 的最小值为正方体的外接球的半径减去正方体内切球的半径，正方体1111ABCD A B C D -棱长为1， ∴线段MN 312，故D 错误.故选:D.【点睛】本题考查命题的真假判断，涉及到空间几何体的结构，面面平行的判断，球的内切问题，涉及的知识点较多，综合性较强，属于较难题.二、填空题13．已知x 、y 满足约束条件202020x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则2z x y =+的最大值是________.【答案】6【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】解：由约束条件作出可行域如图：将目标函数2z x y =+转化为2y x z =-+表示为斜率为2-，纵截距为z 的直线， 当直线2y x z =-+过点B 时，z 取得最大值， 显然点()2,2B ，则max 2226z =⨯+=. 故答案为：6.14．直线l 与圆22(1)(1)1x y ++-=相交于,A B 两点，且()0,1A ．若2AB l 的斜率为_________． 【答案】1±【分析】设直线方程，结合弦长求得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式列出等式，即可求得答案.【详解】根据题意，直线l 与圆 22(1)(1)1x y ++-= 相交于,A B 两点，且()0,1A ， 当直线斜率不存在时，直线0x = 即y 轴，显然与圆相切，不符合题意; 故直线斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =+ ，即10kx y -+= ， 因为圆22(1)(1)1x y ++-=的圆心为(1,1) ，半径为1r = ，又弦长||2AB =,所以圆心到直线的距离为22||12()1222AB d r =-=-=, 所以2||221k k =+，解得1k =±， 故答案为：1±.15．如图，111ABC A B C ﹣是直三棱柱，90BCA ∠=︒，点E F 、分别是1111A B AC 、的中点，若1BC CA AA ==，则BE 与AF 所成角的余弦值为__．【答案】3010【分析】取BC 的中点M ，连接MF ，则MF //BE ，所以MFA ∠就是异面直线BE 与AF 所成的角，再解三角形即可.【详解】取BC 的中点M ，连接MF ，则MF //BE ，所以MFA ∠就是异面直线BE 与AF 所成的角，设222655,(),,2222BC a MF a a a AM a AF a ==+===， 222655()()()30222cos 1065222a a a MFA a a+-∠==⨯⨯3016．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB ⋅的最大值是______． 【答案】5【详解】试题分析：易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，2||52AB PA PB ⨯≤=. 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式.三、解答题17．一汽车销售公司对开业4年来某种型号的汽车“五-”优惠金额与销售量之间的关系进行分析研究并做了记录,得到如下资料.(1)求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆyb x a =+； (2)若第5年优惠金额8.5千元,估计第5年的销售量y(辆)的值.参考公式：()()()11211ˆˆˆ,()n ei i i i i i pz nzlii i x x y y x y nxybay bx xx xn x ====---===---∑∑∑∑ 【答案】（1）ˆ38.5y x =-；（2）第5年优惠金额为8．5千元时，销售量估计为17辆【分析】（1）先由题中数据求出x y ，，再根据()()()()1122211,ˆˆˆˆn niii ii i nn ii i i x x y y x y nxyb ay bx x x x n x ====---===---∑∑∑∑求出ˆb和ˆa ，即可得出回归方程； （2）将8.5x =代入回归方程，即可求出预测值.【详解】（1）由题中数据可得11.5,26x y ==，442111211,534i i i i i x y x ====∑∑∴()414222141211411.526153534411.554ˆi i i i i x y xybx x ==--⨯⨯====-⨯-∑∑,故26311ˆ.58.5ˆay bx =-=-⨯=-，∴38.5ˆy x =-（2）由（1）得，当8.5x =时，ˆ17y=，∴第5年优惠金额为8．5千元时，销售量估计为17辆. 【点睛】本题主要考查线性回归分析，熟记最小二乘法求ˆb和ˆa 即可，属于常考题型. 18．已知圆C 经过()6,1A 、()3,2B -两点，且圆心C 在直线230x y +-=上．(1)求经过点A ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程；(2)求圆C 的标准方程；(3)斜率为43-的直线l 过点B 且与圆C 相交于E F 、两点，求EF ． 【答案】(1)60x y -=或70x y +-=(2)22(5)(1)5x y -++= (3)45【分析】（1）根据给定条件，利用直线方程的截距式，分类求解作答；（2）设圆心(32,)C b b -，由||||r AC BC ==解得1b，即得圆C 的标准方程；（3）求出直线l 的方程，利用弦长公式计算即可.【详解】（1）当直线过原点时，直线的方程为60x y -=， 当直线不过原点时，设直线的方程为1x y a a+=，将点(6,1)A 代入解得7a =，即直线的方程为70x y +-=， 故所求直线的方程为60x y -=或70x y +-=．（2）因圆心C 在直线230x y +-=上，则设圆心(32,)C b b -，又圆C 经过(6,1),(3,2)A B -两点，于是得圆C 的半径r AC BC ==，=1b，则圆心(5,1)C -，圆C 的半径r =所以圆C 的标准方程为22(5)(1)5x y -++=． （3）依题意，直线l 的方程为42(3)3y x +=--，即4360x y +-=， 圆心(5,1)C -到直线的距离为115d ==，所以45EF ===． 19．直四棱柱1111ABCD A B C D -，底面ABCD 是平行四边形，60ACB ∠=︒，13,1,27,,AB BC AC E F ===分别是棱1,A C AB 的中点.(1)求证：EF 平面1A AD ：(2)求三棱锥1F ACA -的体积.【答案】(1)见解析(2)22【分析】（1）取1A D 的中点M ，连结,ME MA ，证明四边形AFEM 为平行四边形，则AM EF ∥，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）利用余弦定理求出AC ，再利用勾股定理求出1AA ，再根据11F ACA A AFC V V --=结合棱锥的体积公式即可得出答案.【详解】（1）证明：取1A D 的中点M ，连结,ME MA ，在1A DC 中，,M E 分别为11,A D AC 的中点， 所以ME DC ∥且12ME DC =， 底面ABCD 是平行四边形，F 是棱AB 的中点，所以AF DC 且12AF DC =， 所以ME AF ∥且ME AF =，所以四边形AFEM 为平行四边形， 所以,EF AM EF ⊄∥平面1,A AD AM⊂平面1A AD ，所以EF 平面1A AD ；（2）在ABC 中，60,3,1ACB AB BC ∠===， 由余弦定理有2222cos AB AC BC AC BC ACB ∠=+-⨯⨯，解得2AC =，则1312sin6022ABC S =⨯⨯⨯=， 因为F 为AB 的中点，所以1324ACF ABC S S ==， 由已知直四棱柱1111ABCD A B C D -，可得1190,2,27A AC AC AC ∠===， 可得128426A A =-=，1111132263342F ACA A AFC AFC V V S AA --==⋅=⨯⨯=. 20．某校从参加高一年级期中考试的学生中抽出40名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)40,50，[)50,60，，[]90,100后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)根据频率分布直方图估计这次数学考试成绩的平均分；(3)若将分数从高分到低分排列，取前15%的同学评定为“优秀”档次，用样本估计总体的方法，估计本次期中数学考试“优秀”档次的分数线．【答案】(1)答案见解析(2)71(3)86【分析】（1）根据所有频率和为1求第四小组的频率，计算第四小组的对应的矩形的高，补全频率分布直方图；（2）根据在频率分布直方图中，由每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和，求出平均分；（3）由频率分布直方图可知：成绩在区间[]90,100占5%，区间[)80,90占25%，由此即可估计“优秀”档次的分数线．【详解】（1）由频率分布直方图可知，第1，2，3，5，6小组的频率分别为：0.1，0.15，0.15，0.25，0.05，所以第四小组的频率为：10.10.150.150.250.050.3-----=，∴在频率分布直方图中第四小组对应的矩形的高为0.03，补全频率分布直方图对应图形如图所示：（2）由频率分布直方图可得平均分为：0.1450.15550.15650.3750.25850.059571⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）由频率分布直方图可知：成绩在区间[]90,100占5%，区间[)80,90占25%，则估计本次期中数学考试“优秀”档次的分数线为：0.158010860.25+⨯=． 21．如图，正方形ABCD 和直角梯形ACEF 所在的平面互相垂直，FA AC ⊥，2AB =1EF FA ==．(1)求证：BE ⊥平面DEF ；(2)求直线BD 与平面BEF 所成角的大小．【答案】(1)证明见解析 (2)π4【分析】（1）设正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于O ，连接FO 、EO ，利用勾股定理逆定理推导出BE DE ⊥，BE EF ⊥，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）分析可知直线BD 与平面BEF 所成角为BDE ∠，求出BDE ∠的正弦值，即可求得BDE ∠的大小.【详解】（1）证明：设正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于O ，连接FO 、EO ，因为平面ABCD ⊥平面ACEF ，平面ABCD ⋂平面ACEF AC =，AF AC ⊥，AF ⊂平面ACEF ， AF ∴⊥平面ABCD ，因为四边形ABCD 222AC AB =， 在直角梯形ACEF 中，//EF AC ，O 为AC 的中点，则AO EF =且//AO EF ，又因为AF EF =，AF AC ⊥，故四边形AFEO 是边长为1的正方形，所以，//AF EO ，所以，EO ⊥平面ABCD ，且1EO AF ==，BD ⊂平面ABCD ，EO BD ∴⊥，则222BE DE EO OB =+=所以，222DE B D E B +=，BE DE ∴⊥，AF ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AF AB ∴⊥，223BF AB AF =+=，222EF BE BF ∴+=，BE EF ∴⊥，DE EF E ⋂=，DE 、EF ⊂平面DEF ，BE ∴⊥平面DEF .（2）解：由（1）可知，BE ⊥平面DEF ，所以，直线BD 与平面BEF 所成角为BDE ∠，BE DE ⊥，2sin 2BE BDE BD ∠==， 又因为π02BDE <∠≤，故π4BDE ∠=，因此，直线BD 与平面BEF 所成角为π4. 22．已知圆22:(3)9M x y -+=，设()2,0D ，过点D 作斜率非0的直线1l ，交圆M 于,P Q 两点．(1)过点D 作与直线1l 垂直的直线2l ，交圆M 于,E F 两点，记四边形EPFQ 的面积为S ，求S 的最大值；(2)设()6,0B ，过原点O 的直线OP 与BQ 相交于点N ．证明：点N 在定直线6x =-上．【答案】(1)S 的最大值为17.(2)证明见详解【分析】（1）由题意设出直线1l ，2l 方程，利用点到直线的距离公式，弦长公式以及基本不等式即可解决问题；（2）利用圆与直线的方程，写出韦达定理，求出直线OP 与直线BQ 的方程，且交于点N ，联立方程求解点N 即可证明结论.【详解】（1）由圆22:(3)9M x y -+=知，圆心为()3,0M ，半径3r =，因为直线1l 过点()2,0D 且斜率非0，所以设直线1l 方程为：()02y k x -=-，即20kx y k --=，则点M 到直线1l 的距离为：1223211k kk d k k -=++所以222222122289223292111k k k PQ r d k k k ⎛⎫+=--=- ⎪+++⎝⎭由12l l ⊥，且直线2l 过点D ，所以设直线2l 方程为：()102y x k -=--，即20x ky +-=， 则点M 到直线2l的距离为：2d =所以EF ====故1122S EF PQ =⋅⋅=⋅2=()2217122171k k +=⨯=+，当且仅当2289981k k k +=+⇒=±时取等号， 所以四边形EPFQ 的面积S 的最大值为17. （2）证明：设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 过点D ， 则设直线PQ 方程为：2x my =+，联立()22239x my x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，消去x 整理得： ()221280m y my +--=，12122228,11m y y y y m m -+==++， 所以()1212121244y y m my y y y y y +=-⇒=-+， 由111100OP y y k x x -==-， 所以直线OP 的方程为：11y y x x =， 2222066BQ y y k x x -==--， 所以直线BQ 的方程为：()2266y y x x =--， 因为直线OP 与直线BQ 交于点N ，所以联立()112266y y x x y y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩， 所以()12121266N x y x x y y x =-- ()()()12121262226my y my y y my +=+-+-⎡⎤⎣⎦ 12212212161224my y y my y y my y y +=+-+ 12221362my y y y y +=+ ()()122213462y y y y y ⨯-⨯++=+ 12212212112126126622y y y y y y y y y --+--===-++， 所以6N x =-，所以点N 在定直线6x =-上.。
2022-2023学年四川省内江市威远中学高三年级下册学期第一次月考数学文试题【含答案】
高三下第一次月考文科数学第I 卷（选择题）一、单选题1．已知全集，集合，则A =（ ）{62}U x x =-<<∣{}2230A x x x =+-<∣C U A ．B ．C ．D ．()6,2-()3,2-()()6,31,2--⋃][()6,31,2--⋃2．已知，则（ ）()1i 75iz +=+z =A ．B ．C ．D ．6i-6i+32i-12i-3．素数对称为孪生素数，将素数17拆分成个互不相等的素数之和，其中任选(,2)p p +n 2个数构成素数对，则为孪生素数的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．151314124．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有女子善织，日增等尺，三日织9尺，第二日、第四日、第六日所织之和为15尺，则其七日共织尺数为几何？”大致意思是:“有一女子善于织布，每日增加相同的尺数，前三日共织布9尺，第二日、第四日、第六日所织布之和为15尺，问她前七日共织布多少尺？” （ ）A ．28B ．32C ．35D ．425．设，是两个向量，则“”是“且”的．a b a b = ||a b |=|a b A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知各顶点都在球面上的正四棱锥的高度为，椎体体积为6，则该球的表面积为3（ ）A ．B ．C ．D ．32π16π24π20π7．某程序框图如图所示，则输出的S =（ ）A ．8B ．27C ．85D ．2608.已知直线的斜率为，直线的倾斜角为直线的倾斜角的一1l 2l1l半，则直线的斜率为（ ）A ．． C D ．不2l 存在9. 我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质.已知函数的图象可能为sin ()2cos x xf x x =-A．B ．C ．D ．10．函数的图象如图所示，将函数的图象向右平移个()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭()f x π6单位长度，得到函数的图象，则（ ）()g x A ．B ．()sin 2g x x=()cos 2g x x=C ．D ．()2πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()2πcos 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11．10．设，，，则（ ）0.302a =.3log 4b =4log 5c =A ． B ． C ．D ．a b c <<b a c <<c a b<<a c b <<12．已知函数的定义域为R ，且满足，，()f x ()()110f x f x -+-=()()8f x f x +=，，，给出下列结论：()11f =()31f =-()()21,021,24x a x f x x b x ⎧-++<≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩①，；②；③当时，的解集为；1a =-3b =-()20231f =[]4,6x ∈-()0f x <()()2,02,4- ④若函数的图象与直线在y 轴右侧有3个交点，则实数m 的取值范围是()f x y mx m =-.其中正确结论的个数为（ ）111,16264⎛⎫⎛⎫--⋂- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．4B ．3C ．2D ．1第II 卷（非选择题）二、填空题13．若实数、满足，则的取值范围是_________.x y 430x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩23x y +14．已知定点和曲线上的动点，则线段的中点的轨迹方程为(4,2)A -224x y +=B AB P ___________．15．数列满足，其前项和为若恒成立，则{}n a 1,N (21)(23)n a n n n *=∈++n n S n S M <的最小值为________________________M 16．设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为()y f x =(),a b ()f x '()f x '(),a b，若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”；已()f x ''(),a b ()0f x ''<()f x (),a b 知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是_____43213()1262m f x x x x =--()1,3m 三、解答题（本大题共5小题，共60分.17题-21题各12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．ABC （1）求A ；（2）若BC =3，求周长的最大值.ABC 18．热心网友们调查统计了柳州市某网红景点在2022年6月至10月的旅游收入y （单位：万元），得到以下数据：月份x678910旅游收入y1012111220(1)根据表中所给数据，用相关系数r 加以判断，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？若可以，求出y 关于x 之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由；(2)为调查游客对该景点的评价情况，网友们随机抽查了200名游客，得到如图列联表，请填写2×2列联表，并判断能否有99.9%的把握认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关联”喜欢不喜欢总计男100女60总计110，3.162≈注：r 与的计算结果精确到0.001．参考公式：相关系数2K r =线性回归方程：，其中，，ˆˆˆybx a =+()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑ˆˆa y bx =-．22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++临界值表：()20P K k ≥0.0100.0050.0010 k 6.6357.87910.82819.如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，，45BAD∠=1,AD AB ==是正三角形，平面平面PBD .PADPAD ⊥(1)求证：；PA BD⊥(2)求三棱锥P -BCD 的体积.20．已知椭圆C 的方程为，右焦点为．22221(0)x y a b a b +=>>F （1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线与曲线相切．证明：MN 222(0)x y b x +=>M ，N ，F 三点共线的充要条件是．||MN 21．已知函数．()()21ln 2f x x a x a R =-∈(1)若，求函数在处的切线方程；2a =()f x ()()11f ，(2)若函数在上为增函数，求的取值范围；()f x ()1+∞，a (3)若，讨论方程的解的个数，并说明理由．0a ≠()0f x =四、选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为（为参数），以坐xOy 12cos 22sin x y αα=-+⎧⎨=+⎩α标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是.cos 2sin 40ρθρθ-+=(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)已知，设直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，线段的中点为Q ，求的值.(4,0)P -AB ||PQ [选修4—5：不等式选讲]23．已知a ，b ，c 均为正数，且，证明：22243a b c ++=(1)；23a b c ++≤(2)若，则．2b c =113a c +≥高2023届第六学期第一次月考试题文科数学参考答案选择题 1-5 DBBCA 6-10 BCCAA 11-12 DC1．D 因为，A=.故选：D.{}}{223031A x x x x x =+-<=-<<∣U ][()6,31,2--⋃2．B 因为，所以.故选：B.()()()()75i 1i 75i 122i6i 1i 1i 1i 2z +-+-====-++-6i z =+3．B 素数，可拆成4个互不相等的素数，在4个互不相等的素数中，任取172357=+++两个的所有情况为共6种，其中为孪生素数的情况有2{}(2,3),(2,5),(2,7),(3,5),(3,7),(5,7)种，分别是,，所以孪生素数的概率为．故选：B ．{(3,5)(5,7)}2163=4．C 解：由题知，该女子每日织布的尺数构成等差数列，记为，设其每日增加的尺数{}n a 为，其前项和为，所以，，即，解得，，d n n S 123246915a a a a a a ++=⎧⎨++=⎩113393915a d a d +=⎧⎨+=⎩112d a =⎧⎨=⎩所以，她前七日共织布尺.故选：C71721142135S a d =+=+=5．A 【详解】由“”可推出“且”；但反之不成立．所以“”是“且”a b = ||||a b =a b a b = a b = a b的充分而不必要条件．选．A 6．B 设正四棱锥底面边长为，则()0a a >2136,3a a ⨯⨯==，则，解得，则球的表面积为.r ()2223r r -+=2r =24π16πr =故选：B7．C 由图可知,初始值；第一次循环，，不成2,1S k ==112,3228k S =+==⨯+=23k =>立；第二次循环，，不成立；第三次循环，213,38327k S =+==⨯+=33k =>，成立；退出循环，输出的值为.故选：C.314,327485k S =+==⨯+=43k =>S 858. C 由直线的斜率为，设其倾斜角为，则1l1θ1tan θ=由直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，设直线的倾斜角为，则，2l 1l 2l 2θ212θθ=，，解得212222tan tan tan 21tan θθθθ===-)(221tan 0θθ+=2tan θ=由倾斜角的取值范围为，则故选：C.[)0,p 2tan θ=2l9．A 解：由题意可得，所以函数为偶函数，排()sin()sin ()()2cos()2cos x x x xf x f x x x ---===---()f x 除B 、C 当略大于0时，，，所以，排除D 故选：A.x sin 0x x >2cos 0x ->()0f x >10．A 结合图像，易得，则，所以由得，所以，17πππ41234T =-=πT =2πT ω=2ππω=2ω=又，所以，则，又因为落在上，所以0ω>2ω=()()sin 2f x x ϕ=+7π,112⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x ，即，所以，得7πsin 2112ϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭7πsin 16ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭7π3π2π,Z62k k ϕ+=+∈，ππ,Zk k ϕ=+∈23因为，所以当且仅当时，满足要求，所以，π2ϕ<0k =π3ϕ=()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，()f x π6()g x 所以.故选：A.()ππsin 2sin 263xg x x ⎡⎤⎛⎫-+= ⎪⎢⎥⎣⎦=⎝⎭11．D 因为单调递减，所以，又与均单调递0.2x y =0.3002021..a =<=3log y x =4log y x =增，故，，其中，33log 4log 31b =>=44log 5log 41c =>=3ln 4log 4ln 3b ==，4ln 5log 5ln 4c ==，其中，故，2ln 4ln 5ln 4ln 3ln 5ln 3ln 4ln 3ln 4-⋅-=⋅ln 30,ln 40>>ln 3ln 40⋅>其中，故，2222ln 3ln 5ln15ln16ln 3ln 5ln 4222+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅<=<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2ln 4ln 5ln 4ln 3ln 50ln 3ln 4ln 3ln 4-⋅-=>⋅所以，即，故.故选：D ln 4ln 5ln 3ln 4>b c >a c b <<12．C 【详解】因为，所以，所以函数为奇函数，()()110f x f x -+-=()()f x f x -=-()f x .因为，所以的周期为8.又()00f =()()8f x f x +=()f x ，所以，所以，，()()21111f a =-++=10a +=1a =-()3311f b =+-=-所以，故①正确.3b =-因为，，故②错误.()()()()202325381111f f f f =⨯-=-=-=-易知，作出函数在上的图象，()()211,0231,24x x f x x x ⎧--+<≤⎪=⎨--<≤⎪⎩()f x []0,4根据函数为奇函数，及其周期为8，得到函数在R 上的图象，如图所示，()f x ()f x 由的图象知，当时，的解集为，故③正确.()f x []4,6x ∈-()0f x <()()2,02,4- 由题意，知直线恒过点，与函数的图象在y 轴右侧有3个()1y mx m m x =-=-()1,0()f x 交点根据图象可知当时，应有，即，且同时满足，0m >51m m ⨯-<14m <()mx m f x -=无解，即当时，，无解，所[]8,10x ∈[]8,10x ∈()()()108f x x x =--()()108x x mx m--=-以，解得，所以.当时，应有Δ0<1616m -<<+1164m -<<0m <，即，且同时满足，无解，即当时，31m m ⨯->-12m >-()mx m f x -=[]6,8x ∈[]6,8x ∈，()()()68f x xx =--无解，所以，解得，所以()()58x x mx m --=-Δ0<1212m --<<-+综上，或④错误.故选：C.1122m -<<-+1164m -<<1122m -<<-+13．设，作出不等式组所表示的可行域如下图所示：0,11⎡⎤⎣⎦23z x y =+430x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩联立，可得，即点，平移直线，当该直线经过34y x x y =⎧⎨+=⎩13x y =⎧⎨=⎩()1,3A 23z x y =+可行域的顶点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，A 23z x y =+x z 即，当直线经过原点时，该直线在轴上的截max 213311z =⨯+⨯=23z x y =+x 距最小，此时取最小值，即，因此，的取值范围是.z min 0z =23x y +0,11⎡⎤⎣⎦14．设线段中点为，， 则，22(2)(1)1x y -++=AB (,)P x y (,)B m n 42m x +=22ny-+=即，因为点为圆上的点，所以24m x =-22n y =+B 224x y +=224m n +=所以，化简得：故答案为：22(24)(22)4x y -++=22(2)(1)1x y -++=22(2)(1)1x y -++=15．，()()1111212322123n a n n n n ⎛⎫==-⎪++++⎝⎭则，因为恒成立，所以，1112121111111123557233236n S n n n --++ +⎛⎫⎛⎫=-+-++=<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ n S M <16M ≥即的最小值为 故答案为：M 161616因为，，由题意在上恒成立，即321()332mf x x x x '=--2()3f x x mx ''=--()0f x ''<()1,3在上恒成立，分离参数，而在上的最大值为2，230x mx --≤()1,33m x x ≥-3y x x =-()1,317.（1）由正弦定理可得：，222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，.()0,A π∈ 23A π∴=（2）由余弦定理得：，2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅229AC AB AC AB =++⋅=即.()29AC AB AC AB +-⋅=（当且仅当时取等号），22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭ AC AB =，()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭解得：（当且仅当时取等号），AC AB +≤AC AB =周长周长的最大值为ABC ∴ 3L AC AB BC =++≤+ABC ∴ 3+18.（1）由已知得，，67891085x ++++==1012111220135y ++++==，，，()52110ii x x =-=∑()52164ii y y =-=∑()()5120iiix y y x =-=-∑所以，0.791r ===≈因为，||0.791[0.75,1]r ≈∈说明y 与x 的线性相关关系很强，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，设线性回归方程为，ˆˆˆybx a =+∴，．2020ˆ1b ==ˆˆ13163a y bx =-=-=-则y 关于x 线性回归方程为；23y x =-（2）由题可得2×2列联表，喜欢不喜欢总计男7030100女4060100总计11090200，()222007060403018.18210.82810010011090K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯∴有99.9%的把握认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关联”．19.（1）证明：取中点，连接，PD E AE 因为是边长为1正三角形，所以，PAD AE PD ⊥又因为平面平面PBD ，平面平面PBD ，所以平面PAD ⊥PD =PAD ⋂⊥AE PBD ，又因为平面PBD ，所以①，又因为在中，，BD ⊂AE BD ⊥ABD △45BAD∠=，所以1,AD AB ==2222cos 451BD AD AB AD AB =+-⋅⋅⋅︒=,所以②，又因为③，由①②③2222BD AD AB +==AD BD ⊥AE AD A ⋂=可得平面，又因为平面，所以；BD ⊥PADPA ⊂PAD PA BD ⊥（2）解：取中点，连接，AD F PF 因为是边长为1正三角形，所以且(1)可知PAD PF AD ⊥PF =平面，BD ⊥PAD 平面，所以，又因，所以平面，即有PF ⊂PAD BD ⊥PF BD AD D Ç=PF ⊥ABCD 平面，所以为三棱锥P -BCD 的高，又因为ABCD 为平行四边形，所以PF ⊥BCD PF,111122BCD ABD S S ==⨯⨯= 所以111332P BCD BCDV S PF -=⋅=20.（1）由题意，椭圆半焦距，所以c=c e a ==a =2221b a c =-=椭圆方程为；2213x y +=（2）由（1）得，曲线为，当直线的斜率不存在时，直线，221(0)x y x +=>MN :1MN x =不合题意；当直线的斜率存在时，设，MN ()()1122,,,M x y N x y 必要性：若M ，N ，F 三点共线，可设直线即，(:MN y k x =0kx y --=由直线与曲线，解得，MN 221(0)x y x +=>11k =±联立可得，所以，(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩2430x -+=121234x x x x +=⋅==所以必要性成立；充分性：设直线即，():,0MN y kx b kb =+<0kx y b -+=由直线与曲线，所以，MN 221(0)x y x +=>1=221b k =+联立可得，2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222136330k x kbx b +++-=所以，2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++==化简得，所以，()22310k -=1k =±所以或，所以直线或，1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩1k b=-⎧⎪⎨=⎪⎩:MNy x =y x =-所以直线过点，M ，N ，F 三点共线，充分性成立；MN F 所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =21（1） 时，， ， ，2a =()212ln 2f x x x =-()'2f x x x ∴=-()'11k f ∴==-又，函数在处的切线方程为：；()112f =∴()f x ()()11f ，2230x y +-=（2）函数在上为增函数，则 在恒成立，()f x ()1+∞，()'0a f x x x =-≥()1x ∈+∞，即在恒成立，故，经检验，符合题意，2a x ≤()1x ∈+∞，1a ≤；1a ∴≤（3），()'af x x x =-时， 在上恒成立，在是增函数，0a <①()'0f x >()0+∞，()f x \()0+∞，取，，11x =212eax =由， ，()10f >11121121111e e ln e e e 102222a a a aa f a ⎛⎫⎛⎫=-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以在时存在唯一零点，即时，方程有唯一解；12e ,1a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0a <()0f x =时，，0a >②()'af x x x =-=在递减，在递增，()f x\(0)+∞ ，()min 1()1ln 2fx fa a ∴==- 时，，此时方程无解，0e a <<0f>()0f x = 时， ， 时方程存在一个解，e a >()110,02f f =><(x ∴∈()0f x =又 ，()211e e e e e 22a a a a a f a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令 ，即 是增函数，()()'e 1111e ,e 1,e,e 1e 102222a a a p a a p a a =-=->∴->-> ()p x ，即 ，即 时，()()e e 121111e e e e e 1e e 10222p a p --⎛⎫⎛⎫>=-=->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()e 0a f >)ax ∈方程存在一个解；()0f x =所以： 时，无解，0e a <<()0f x =或 时，有唯一解，0a <e a =()f x时，有个解；e a >()0f x =2综上， 时，无解，或 时，有唯一解， 时，0e a <<()0f x =0a <e a =()f x e a >有个解；()0f x =222.（1）由（为参数），得，故曲线C 的普通方程为12cos ,22sin x y αα=-+⎧⎨=+⎩α22(1)(2)4x y ++-=.由，得，故直线l 的直角坐标方程22(1)(2)4x y ++-=cos 2sin 40ρθρθ-+=240x y -+=为；240x y -+=（2）由题意可知点P 在直线l 上，则直线l 的参数方程为（t 为参数），4,x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，整理得，25450t -+=，(245453800∆=-⨯⨯=>设A ，B 对应的参数分别为，则12,t t 12t t+=故122t t PQ +==23.（1）由柯西不等式有，()()()222222221112a b c a b c ⎡⎤++++≥++⎣⎦所以，当且仅当时，取等号，所以.23a b c ++≤21a b c ===23a b c ++≤（2）证明：因为，，，，由（1）得，2b c =0a >0b >0c >243a b c a c ++=+≤即，所以，043a c <+≤1143a c ≥+由权方和不等式知，()22212111293444a c a c a c a c ++=+≥=≥++当且仅当，即，时取等号，124a c =1a =12c =所以.113a c +≥所以实数的取值范围是.m [)2,+∞。
2022届四川省绵阳市高三上学期第一次诊断性考试数学(文)试题解析
2022届四川省绵阳市高三上学期第一次诊断性考试数学（文）试题一、单选题1．设集合{}11A x x =-<≤，{}1,0,1B =-，则A B =（ ） A ．{}1,0- B ．{}1,1- C ．{}0,1 D ．{}1,0,1-答案：C根据集合的运算即可直接求出答案.解：因为集合{}11A x x =-<≤，{}1,0,1B =-，所以{}0,1A B =. 故选：C2．若0a b <<，则下列结论正确的是（ ） A ．ln ln a b > B ．22b a <C ．11a b<D ．1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭答案：D根据幂函数、对数函数、指数函数的单调性判断即可. 解：2,ln y x y x ==在(0,)+∞上单调递增，0a b <<，22ln ln ,a b b a ∴<>，故AB 错误；,112xy y x ⎛⎫== ⎪⎝⎭在(0,)+∞上单调递减，0a b <<，1111,22aba b ⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；故选：D3．“()ln 20x +<”是“1x <-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：A由()ln 20x +<可得21x -<<-，即可判断出结论. 解：由()ln 20x +<可得021x <+<，即21x -<<- 当21x -<<-，必有1x <- 当1x <-时，未必有21x -<<-所以“()ln 20x +<”是“1x <-”的充分不必要条件 故选：A4．设D ，E 为ABC 所在平面内两点，AD DC =，2CB BE =，则DE =（ ）A ．32AB AC -+B ．32AB AC -C ．32AB AC - D ．32AB AC -+答案：B根据平面向量的线性运算即可求解. 解：因为AD DC =，2CB BE =，所以12DC AC =，32CE CB =， 所以()13132222AC CB AC A DE DC CE B AC +=+=+-= 32AB AC =-， 故选：B.5．设x ，y 满足约束条件502803x y x y y +-≤⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩，则34z x y =+的最大值是（ ）A ．12B ．17C ．18D ．392答案：C根据线性约束条件作出可行域，作直线34y x =-沿可行域的方向平移，由z 的几何意义即可求解.解：根据线性约束条件作出可行域如图：由34z x y =+可得344zy x =-+，作直线34y x =-沿可行域的方向平移，由图知：过点A 时，4z最大即z 最大，由503x y y +-=⎧⎨=⎩可得()2,3A ，所以max 324318z =⨯+⨯=， 故选：C. 6．函数()sin cos x x x f x +=在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．答案：A求导，分析函数在(0,)2π的单调性，可排除BD ，计算可得14f π⎛⎫⎪⎝⎭> ，可排除C ，即得解 解：由题意， ()22(cos 1)cos sin (sin )1cos sin cos cos x x x x x x x xf x xx +++++'== 当(0,)2x π∈时，()0f x '>，故函数()f x 在(0,)2π单调递增，BD 错误；又142422f ππ=⎛⎫ ⎝⎭>⎪，故C 错误故选：A7．通常人们用震级来描述地震的大小，地震震级是对地震本身大小的相对量度，用M 表示，强制性国家标准GB 17740-1999《地震震级的规定》规定了我国地震震级的计算和使用要求，即通过地震面波质点运动最大值()max /T A 进行测定，计算公式如下()lg /T 1.66lg 3.5max M A =+∆+（其中∆为震中距），已知某次某地发生了4.8级地震，测得地震面波质点运动最大值为0.01，则震中距大约为（ ） A ．58 B ．78C ．98D ．118答案：C由题意，max 4.8,(/)0.01M A T ==，代入式子可得 1.98810∆≈，结合选项估计，即得解 解：由题意，max 4.8,(/)0.01M A T == 代入()lg /T 1.66lg 3.5max M A =+∆+ 可得4.8lg0.01 1.66lg 3.5=+∆+1.66lg 4.8 3.52 3.3∴∆=-+=3.3lg 1.9881.66∴∆=≈ 1.98821010100∴∆≈<=因此震中距∆是接近100但小于100的数 结合选项，震中距大约为98 故选：C8．已知函数()f x 对任意实数x ，满足()()0f x f x +-=，当0x ≥时，()2xf x m =-（m 为常数），则()21log 3f -=（ ） A ．12B ．12-C ．13D ．13-答案：B由条件可得()f x 为奇函数，根据()00f =得出1m =，根据奇函数的性质可得答案. 解：由()()0f x f x +-=，可得()f x 为奇函数由当0x ≥时，()2xf x m =-，则()0020f m =-=，解得1m =所以当0x ≥时，()21xf x =-所以()()()2log 31221log 3log 311212f f --=-=-=---故选：B9．已知141681a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，32log 2log 3b =+，32log 23c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a >> B ．b a c >> C ． a c b >> D ．b c a >>答案：B根据指数的运算性质化简a ，利用对数的单调性判断,b c 的范围，即可比较a ，b ，c 的大小关系得出正确选项. 解：因为1141441622381332a ⎛⎫-⨯-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，32331log 2log 3log 2log 2b =+=+，因为3331log log 2log 312=<<=即31log 212<<，311log 2>， 所以3313log 2log 22b =+>， 又因为33222log 2log 3333c =<=，所以b a c >>， 故选：B.10．设()()()2,0,0,x x f x x ⎧+≤=>若()()2f a f a =-，则()5f a -=（ ）A ．2B ．0或1C ．2D答案：A由函数的解析式根据()()2f a f a =-先求出参数a 的值，然后可求出答案. 解：当20a ->时，()()2f a f a =-=. 当0a ≤时，()()22f a a f a a =+=-=，显然无解.当020a a >⎧⎨-≤⎩，即02a <≤时，()()2f a f a a ==-=，解得1a =所以()()542f a f -= 故选：A11．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5-，3S ，6S 成等差数列，则96S S -的最小值为( ) A ．25 B ．20 C ．15 D ．10答案：B利用等比数列前n 项和的性质表示出96S S -，再表示成同一变量3S ，然后利用基本不等式求出其最小值即可.解：因为{}n a 是正项等比数列，所以3S ，63S S -，96S S -仍然构成等比数列，所以263396()()S S S S S -=-.又5-，3S ，6S 成等差数列， 所以6352S S -=，6335S S S -=+，所以()()2263396333352510S S S S S S S S S -+-===++. 又{}n a 是正项等比数列， 所以30S >，3325101020S S ++≥=，当且仅当35S =时取等号. 故选：B.12．把函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，再把横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若()()126g x g x =-，1x ，[]2,x ππ∈-，则12x x -的最大值为（ ）A ．34πB ．πC ．74π D ．2π答案：C先求出()g x 的解析式，然后根据()()126g x g x =-得到()13g x =-，()23g x =，这是本题的关键，接下来求出11112x π=，256x π=-，得到12x x -的最大值.解：由题意得：()3sin 46g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为()()126g x g x =-，即()()126g x g x =--，而()3sin 46g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭最大值为3，最小值为-3，相差为6，∴()13g x =-，()23g x =， 令114262x k πππ-=-+，1k Z ∈，解得：11122k x ππ=-+，1k Z ∈ 令224262x k πππ-=+，2k Z ∈，解得：2162k x ππ=+，2k Z ∈ ∵[],x ππ∈-∴要想12x x -取得最大值，则当12k =，11112x π=，当22k =-，256x π=-，此时12x x -的最大值为11571264πππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭ 故选：C 二、填空题13．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若12a =，735S =，则6a =___________. 答案：7利用等差数列通项公式和前n 项和公式将条件化为公差d 的方程，解方程求公差d ，由此可求6a . 解：设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵ 12a =，735S =， ∴ 172135a d +=， ∴ 1d =，∴ 6157a a d =+=， 故答案为：7.14．已知平面向量()1,3a =，(),1b m =-，若a b ⊥，则b =___________. 答案：2由向量垂直的坐标表示求m ，再由向量的模的公式求b . 解：∵ a b ⊥，()1,3a =，(),1b m =-∴ 1m ⨯-1)=0， ∴m ， ∴ 312b =+=， 故答案为：2.15．已知,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 13β=，若()3sin 2sin αβα+=，则()tan αβ+=______．2利用恒等变换公式和二倍角公式将()3sin 2sin αβα+=，即可得tan α，再利用恒等公式求出()tan αβ+.解：因为,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 13β=，22sin cos 1ββ+=，解得cosβ=，所以tanβ=in 2s 9β=-7cos29β=.又()3sin 23sin cos23cos sin 2αβαβαβ+=+73sin 3(cos 9αα=⨯⨯+⨯⨯7sin sin 3ααα==，所以sinαα=，tan α=.所以()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++===-. 16．已知函数()22f x x ax =-，若不等式()1f x ≤对任意的[]0,1x ∈恒成立，则实数a的取值范围为______．答案：⎡⎣对二次函数对称轴进行分类讨论，找到()1f x ≤所需要的条件，进行求解.解：函数()22f x x ax =-的对称轴：4ax =，且恒过原点.当04a≤，即0a ≤时，()22f x x ax =-在[]0,1x ∈上单调递增，要想()1f x ≤对任意的[]0,1x ∈恒成立，只需()11f ≤，解得：1a ≥，与0a ≤矛盾，舍去 当14a≥，即4a ≥时，()22f x x ax =-在[]0,1x ∈上单调递减，要想()1f x ≤对任意的[]0,1x ∈恒成立，只需()11f -≤，解得：3a ≤，与4a ≥矛盾，舍去 当014a <<，即04a <<时，()22f x x ax =-在0,4a x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,14a x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，要想()1f x ≤对任意的[]0,1x ∈恒成立，只需()1411a f f ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≤⎩，解得：1a ≤≤()0,41,22⎡⎤⎡=⎣⎦⎣，所以数a的取值范围为⎡⎣.故答案为：⎡⎣三、解答题17．已知函数()()cos f x A x ωϕ=+0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，点7,224M π⎛⎫-- ⎪⎝⎭是该函数图象的一个最低点．（1）求函数()f x 的解析式及函数()f x 的单调递增区间； （2）若,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()y f x =的值域．答案：（1）()2cos(4)6f x x π=+；7,242224k k ππππ⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦(k Z ∈)；（2）[]1,2-． （1）根据最值求A ；根据周期求ω；把点7,224M π⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入求ϕ.利用整体代入的方法求函数()f x 的单调递增区间； （2）根据x 的范围求出46x π+的范围，从而结合余弦函数的图象求函数()y f x =的值域．解：（1）由题意得A =2，22ππω=，因为0>ω，所以4ω=．因为函数()f x 的图象经过点7(2)24，M π--，所以72cos()26πϕ-+=-，即cos()16πϕ-=， 又|φ|＜2π，所以6π=ϕ．所以()2cos(4)6f x x π=+．由()2426k x k k Z ππππ-+≤+≤∈，得7(Z)242224k k x k ππππ-+≤≤-∈． 所以函数()f x 的单调递增区间为7,242224k k ππππ⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦(k Z ∈)． （2）因为88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以24633x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，，所以1cos(4)162x π⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，，所以函数()f x 的值域为[]1,2-．18．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，22n n S a =-． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求()1223111n n n a a a a a a ++-+⋅⋅⋅+-．答案：(1)2n n a =；(2)8[1(4)]5n --．(1)利用公式法求解即可得出{}n a 得通项公式； (2)先求出()111n n n a a ++-的通项公式可得其是一个等比数列，再利用等比数列求和公式进行求解.解：(1)当n =1时，1122S a =-=1a ， 解得12a =． ∵22n n S a =-，①∴当2n ≥时，1122n n S a --=-．② ①－②得12n n a a -=， 整理得12n n a a -=(n ≥2)．∴数列{}n a 是以首项为2，公比为2的等比数列． ∴2n n a =． (2)由(1)得11(1)2(4)n n n n a a ++-=-⨯-．∴112231(1)n nn n T a a a a a a ++=-++-4[1(4)]82[1(4)]1(4)5n n ---=-=----．19．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ， c ，从以下三个条件中任选一个：①tan (2)tan b C a b B =-；②2cos 2c B a b =-；③222cos (cos 1)ac A a C b c +-=-，解答如下的问题. (1)求角C 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，且a mb =，求实数m 的取值范围. 答案：(1)π3C = (2)122m << （1）选①，根据切化弦，再利用正弦定理，将边化为角，即可求解；选②，由正弦定理将边化为角，再结合三角恒等变换，求得答案；选③，利用余弦定理再结合正弦定理，化边为角，经三角恒等变换，求得答案.（2）由a mb =可得a m b=，结合正弦定理，化边为角，利用三角恒等变换化简，解得答案. (1)选择条件①： 由tan =(2)tan b C a b B -，得sin (2)sin cos cos b C a b B C B -=， 由正弦定理可得，sin sin cos =(2sin sin )sin cos B C B A B B C -，∵(0)B π∈，，∴sin 0B ≠，∴sin cos 2sin cos sin cos C B A C B C =-，∴()2sin cos sin cos sin cos sin sin A C C B B C C B A =+=+=，∵(0)，A π∈，∴sin 0A ≠， ∴1cos 2C =，又(0)2，C π∈，∴3C π=． 选择条件②：由正弦定理可得，2sin cos 2sin sin C B A B =-，又sin sin()A C B =+，∴2sin cos 2sin()sin 2(sin cos cos sin )sin C B C B B C B C B B =+-=+-，化简整理得2cos sin sin C B B =，由sin 0B >，故1cos 2C =， 又π02C <<，∴π3C =． 选择条件③：由已知得，2222cos cos b a c ac A a C +-=+，由余弦定理，得2222cos b a c ab C +-=，∵2222cos cos b c a ac C c A +-=+，∴22cos cos cos ab C ac A a C =+，∵0a >，∴2cos cos cos b C c A a C =+，由正弦定理，有2sin cos sin cos sin cos sin()sin B C C A A C A C B =+=+=，∵sin 0B ≠，∴1cos 2C =.， 又π(0)2，C ∈，∴π3C =． (2)∵a mb =，∴sin()sin 13sin sin 2B a A m b B B π+==== ∵△ABC 为锐角三角形，∴2,326A B B πππ=-<> ,则()62B ππ∈，，∴tan B ∴122m <<． 20．已知函数()32215333f x x ax a x =-++-． (1)若1a =-时，求()f x 在区间[4,2]-上的最大值与最小值；(2)若函数()f x 仅有一个零点，求a 的取值范围．答案：(1)最大值为0，最小值为323-；(2)(1-． (1)求导，并判断()f x 在[4,2]-上的单调性，再求出其最大值与最小值；(2)利用分类讨论判断()f x 在定义域内的单调性，求出极值，再判断极值与0的大小关系，进一步求出参数a 的取值范围.解：(1)由题意得()()()22'233f x x ax a x a x a =-++=--+．当1a =-时，()(1)(3)f x x x -'=-+，[4,2]x ∈-．由()0f x '>，解得31x -<<；由()0f x '<，解得43x -≤<-或12x <≤．∴函数()f x 在区间(3,1)-上单调递增，在区间[4,3)--，(1,2]单调递减． 又2532(4)(3)33f f -=--=-，，()()71023f f ==-，， ∴函数()f x 在区间[4,2]-上的最大值为0，最小值为323-． (2)函数()f x 只有一个零点．∵22()23=(3)()f x x ax a x a x a =-++--+'，i )当a <0时，由()0f x '>，解得3a x a <<-，∴函数()f x 在区间(3,)a a -上单调递增；由()0f x '<，解得3x a <或x a >-，∴函数()f x 在区间(,3)a -∞，(,)a -+∞上单调递减． 又5(0)03f =-<，∴只需要()0f a -<，解得10a -<<．∴实数a 的取值范围为10a -<<．ii )当a =0时，显然f (x )只有一个零点成立．iii )当a >0时，由()0f x '>，解得3a x a -<<，即()f x 在区间(,3)a a -上单调递增；由()0f x '<，解得x a <-或3x a >，即函数f (x )在区间(,)a -∞-，(3,)a +∞上单调递减；又5(0)03f =-<，∴只需要f (3a )<0，解得0a <．综上：实数a 的取值范围是(1-．【点睛】利用导数求最值问题，既要求函数的极值，也需要求出其端点值，再比较大小；零点相关问题求参数取值范围，通常有两种思路，一种是分离参数，转化为求参数与另外一个函数的交点个数问题，另一种是直接含参讨论单调性求极值解不等式.21．已知函数()()22e x f x x ax bx =-+-，其图象在点()()0,0f 处的切线斜率为3-. (1)求b 的值；(2)若()e 1f x >--在上恒成立，求实数a 的取值范围.答案：(1)2；(2)1a >.（1）由已知可得出()03f '=-，即可求得实数b 的值；（2）利用()1e 1f >--，可求得1a >，可得出()()22e 2x f x x x x ≥-+-，然后利用导数证明出()()22e 2e 1x g x x x x =-+-≥--，即可得解.(1)解：因为()()22e x f x x ax bx =-+-，则()()1e 2x f x x ax b '=-+-，所以，()013f b '=--=-，可得2b =.(2)解：()e 1f x >--恒成立，由()1e 2e 1f a =-+->--，可得1a >，所以，()()22e 2x f x x x x ≥-+-，当且仅当0x =时，等号成立，令()()22e 2x g x x x x =-+-，该函数的定义域为R ，()()()()()1e 211e 2x x g x x x x '=-+-=-+.当1x <时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减，当1x >时，()0g x '>，此时函数()g x 单调递增，所以，()()min 1e 1g x g ==--，即()e 1g x ≥--，当且仅当1x =时，等号成立，故当1a >时，()e 1f x >--.因此，1a >.22．如图，在极坐标系中，已知点()2,0M ， 曲线1C 是以极点O 为圆心，以OM 为半径的半圆，曲线2C 是过极点且与曲线1C 相切于点2,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭的圆.(1)分别写出曲线1C 、2C 的极坐标方程；(2)直线()0π,R θααρ=<<∈与曲线1C 、2C 分别相交于点A 、B （异于极点），求ABM 面积的最大值.答案：(1)()1:20C ρθπ=≤≤，()2:2sin 0C ρθθπ=≤≤；(2)12.（1）分析可知曲线1C 是以极点O 为圆心，以2为半径的半圆，结合图形可得到曲线1C 的极坐标方程，设(),P ρθ为曲线2C 上的任意一点，根据三角函数的定义可得出曲线2C 的极坐标方程； （2）设(),A A ρα、(),B B ρθ，由题意得2sin B ρα=，2A ρ=，求出AB 以及点M 到直线AB 的距离，利用三角形的面积公式以及基本不等式可求得结果.(1)解：由题意可知，曲线1C 是以极点O 为圆心，以2为半径的半圆，结合图形可知，曲线1C 的极坐标方程为()20ρ=≤θ≤π. 设(),P ρθ为曲线2C 上的任意一点，可得2cos 2sin 2πρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭． 因此，曲线2C 极坐标方程为()2sin 0ρθθπ=≤≤．(2)解：因为直线()0π,R θααρ=<<∈与曲线1C 、2C 分别相交于点A 、B （异于极点）， 设(),A A ρα、(),B B ρθ，由题意得2sin B ρα=，2A ρ=， 所以，22sin A B AB ρρα=-=-．因为点M 到直线AB 的距离为sin 2sin d OM αα==， 所以，()()()2sin 1sin 11122sin 2sin 2sin 1sin 22242ABM S AB d αααααα+-=⋅=-⋅=-≤⨯=△， 当且仅当1sin 2α=时，等号成立，故ABM 面积的最大值为12. 23．已知函数()2f x m x m x =+--()0m >的最大值为6.（1）求m 的值；（2）若正数x ，y ，z 满足x y z m ++=答案：（1）2；（2）证明见解析.（1）利用绝对值三角不等式求出()f x 的最大值，让最大值等于6即可得m 的值；（2）由（1）知，2x y z ++=，由222x xx y z y z ⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭利用基本不等式即可求证. 解：（1）由题意得()2()(2)3f x x m x m x m x m m =+--≤+--=，因为函数()f x 的最大值为6，所以36m =，即2m =±.因为0m >，所以2m =；（2）由（1）知，2x y z ++=，因为0x >，0y >，0z >，所以222x x x y z y z ⎛⎫⎛⎫=++=+++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当2x y z ==时，即1x =，12y z ==等号成立，22m = 当且仅当11,2x y z ===时，等号成立.。
四川省内江市资中县2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题含答案
资中县高2024级2024-2025上11月月考试题数学（答案在最后）2024年11月注意事项：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置上．3．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写．4．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．一、单选题1.已知集合{}{1,2,|A B x y ===，A B = （）A.{}2 B.{}1 C.{}0 D.{}1-【答案】A 【解析】【分析】化简集合B ，根据交集运算即可求解.【详解】因为{}{{}1,2,2A B x y x x ====≥，所以{}2A B = .故选:A.2.下列命题正确的个数是（）①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；②命题“2,20x x ∀∈+<R ”是全称量词命题；③命题“2,440x x x ∃∈++≤R ”的否定形式是“2,440x x x ∀∈++≥R ”A.0 B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的概念判断①②的真假，根据全称量词命题与存在量词命题的关系判断③的真假.【详解】对①：因为命题中含有“所有的”这个全称量词，故命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，所以①错误；对②：因为命题含有“任意”这个全称量词，故命题“2,20x x ∀∈+<R ”是全称量词命题，所以②正确；对③：命题“2,440x x x ∃∈++≤R ”的否定形式是“2,440x x x ∀∈++>R ”，所以③错误.正确的命题个数是1.故选：B3.已知函数()()2511m f x m m x--=--是幂函数，则m 的值为（）A.1-B.2C.1-或2D.0【答案】C 【解析】【分析】由幂函数的定义可得211m m --=，求解即可.【详解】因为()()2511m f x m m x--=--是幂函数，所以211m m --=,即220m m --=，解得1m =-或2.故选:C.4.已知函数()221,1,3, 1.x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则()()3f f =（）A.319B.3C.1D.19【答案】B 【解析】【分析】根据已知函数解析式可先求()3f ，然后代入可求()()3ff .【详解】由()221,1,3, 1.x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则()()3(1)3f f f ==.故选：B5.下列四组函数中，表示同一函数的一组是（）A.()()()()1R ,1N f x x x g x x x =-∈=-∈B.()(),f x x g x ==C.()()1f xg x x ==+ D.()()21,11x f x g x x x -==+-【答案】B 【解析】【分析】根据同一函数的判定方法，结合定义域和对应法则，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，函数()()1R f x x x =-∈与()()1N g x x x =-∈的定义域不同，所以两个函数不是同一函数；对于B 中，函数()f x x =和()g x x ==，两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以两个函数是同一函数；对于C 中，函数()f x =满足1010x x +≥⎧⎨-≥⎩，解得1x ≥，即函数()f x 的定义域为[1,)+∞，函数()1g x x =+的定义域为R ，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数；对于D 中，函数()211x f x x -=-满足10x -≠，解得1x ≠，即函数()f x 的定义域{|1}x x ≠，函数()1g x x =+的定义域为R ，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数.故选：B.6.函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()21f x x =+，则()1f -=A.1B.1-C.2D.2-【答案】D 【解析】【分析】利用奇函数的性质求出()1f -的值.【详解】由题得2(1)(1)(11)2f f -=-=-+=-，故答案为D【点睛】(1)本题主要考查奇函数的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)奇函数f(-x)=-f(x).7.“函数()211f x ax ax =-+的定义域为R”是“04a <<”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由函数()211f x ax ax =-+的定义域为R ，即210ax ax -+≠对任意∈恒成立，可得a 的范围，则可得“函数()211f x ax ax =-+的定义域为R”是“04a <<”的必要不充分条件.【详解】因为函数()211f x ax ax =-+的定义域为R ，所以210ax ax -+≠对任意∈恒成立，①当0a =时，10≠对任意∈恒成立；②当0a ≠时，只需240a a ∆=-<，解得：04a <<；所以04a ≤<.记集合()0,4A =，[)0,4B =.因为A ⫋B ，所以“函数()211f x ax ax =-+的定义域为R”是“04a <<”的必要不充分条件.故选：B.8.已知00a b >>，且1ab ＝，不等式11422m a b a b++≥+恒成立，则正实数m 的取值范围是（）A.m ≥2B.m ≥4C.m ≥6D.m ≥8【答案】D 【解析】【分析】由条件结合基本不等式可求a b +的范围，化简不等式可得()()242a b m a b +≥+-，利用二次函数性质求()()242a b a b ++-的最大值，由此可求m 的取值范围.【详解】不等式11422m a b a b++≥+可化为42a b mab a b ++≥+，又00a b >>，，1ab ＝，所以()()242a b m a b +≥+-，令a b t +=，则242t m t ≥-，因为00a b >>，，1ab ＝，所以2t a b =+≥=，当且仅当1a b ==时等号成立，又已知242t m t ≥-在[)2,+∞上恒成立，所以2max 42t m t ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭因为()()2221148488222t t t t t -=-=--+≤，当且仅当4t =时等号成立，所以m ≥8，当且仅当2a =-2b =+或2a =，2b =时等号成立，所以m 的取值范围是[)8,+∞，故选：D .二、多选题9.对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列四个命题中真命题的是（）A.若a b >，0c ≠，则ac bc >B.若22ac bc >，则a b>C.若0a b <<，则22a ab b >> D.若0a b >>，c d >，则ac bd>【答案】BC 【解析】【分析】根据选项中的已知条件，利用不等式的基本性质对选项逐一判断即可得出结论.【详解】对于A ，当a b >，0c <时，则ac bc <，即A 错误；对于B ，若22ac bc >，可得20c ≠，两边同时除以2c ，可得a b >，即B 正确；对于C ，若0a b <<可得a a b a ⋅>⋅，即2a ab >，由0a b <<可得a b b b ⋅>⋅，即2ab b >，因此可得22a ab b >>，即C 正确；对于D ，若210a b =>=>，=−1>=−2，可得2ac bd ==-，即D 错误.故选：BC10.若函数()222,11,1x ax a x f x ax x ⎧-+-≥=⎨+<⎩在(),-∞+∞上是减函数，则关于实数a 的可能取值是（）A.2-B.1- C.0D.1【答案】AB 【解析】【分析】先考虑各部分函数的单调性，然后分析两段函数在1x =处的函数值的大小关系，从而求解出a 的取值范围.【详解】当1x ≥时，222y x ax a =-+-在[)1,+∞上递减，所以对称轴1x a =≤，当1x <时，1y ax =+在(),1∞-上递减，所以0a <，又因为当1x =时，21221a a a -+-≤+，所以2a ≥-，综上可知：[)2,0a ∈-.所以实数a 的可能取值为[)2,0-内的任意实数.故选：AB11.定义在R 上的偶函数()f x 满足：(2)2f =，且对于任意120x x >>，()()21122122x f x x f x x x ->-，若函数()2()f x g x x-=，则下列说法正确的是（）A.()g x 在(0,)+∞上单调递增B.(3)(4)g g -<C.()f x 在(2,)+∞上单调递减D.若正数m 满足(2)(4)202mf m f m -+->，则(2,)m ∈+∞【答案】ABD 【解析】【分析】根据函数的单调性判断()g x 、()f x 的单调性判断AC ，根据单调性()g x 比较大小判断B ，根据()g x 单调性解不等式判断D .【详解】对于任意120x x >>，()()21122122x f x x f x x x ->-，所以121212()2()2()()f x f x g x g x x x --=>=，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，故选项A 正确；因为()g x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，所以()2()2()()f x f x g x g x x x----==-=--，所以()g x 为奇函数，所以(3)(3)g g -=，由()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以(3)(4)g g -<，故选项B 正确；对于任意122x x >>，()()()()()()121122112222f x f x x g x x g x x g x x g x ⎡⎤⎡⎤-=+-+=-⎣⎦⎣⎦()()()()1222122x g x x g x x x g x >-=-，因为122x x >>，(2)2f =，所以()()1220,20x x g x g ->>=，所以()()12f x f x >，所以()f x 在(2,)+∞上单调递增，故选项C 错误；(2)(4)202mf m f m -+->，即2(2)2(4)0mg m mg ->，又0m >，所以(2)(4)g m g >，因为()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以24m >，解得2m >，即(2,)m ∈+∞，故选项D 正确.故选：ABD三、填空题12.函数()12f x x =+的定义域为______．【答案】()(],22,1∞--⋃-【解析】【分析】根据求定义域的法则求解.【详解】要使函数()12f x x =+有意义，需满足2010x x +≠⎧⎨-≥⎩，即21x x ≠-⎧⎨≤⎩，则函数()12f x x =++()(],22,1∞--⋃-，故答案为：()(],22,1∞--⋃-.13.函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，则该函数值域为__________．【答案】(),6∞-【解析】【分析】分段求值域，再取并集即可求解.【详解】当02x <<时，二次函数对称轴是12x =-，且开口向上，此时()f x 在()0,2上单调递增()()22110,624f x x x x ⎛⎫=+=+-∈ ⎪⎝⎭；当2x ≥时，()282284f x x =-+≤-⨯+=，即()(],4f x ∈-∞()(]()0,6,4,6⋃-∞=-∞所以()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩得值域为(),6∞-.故答案为:(),6∞-.14.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时()2f x x =，对任意的[]1,1x a a ∈-+，恒有()()23f x a f x +≥，则实数a 的最大值为_____．【答案】33-【解析】【分析】写出函数()y f x =的解析式，判断出函数()y f x =在R 上单调递减，由)()3f f x =，结合())2f x a f+≥，可得出2x a +≤在区间[]1,1a a -+上恒成立，于是得出))()min2111a x a ⎡⎤≤=-⎣⎦，从而解出实数a 的取值范围，得出a 的最大值.【详解】由于函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()()22f x f x x x =--=--=-，()22,0,0x x f x x x ⎧≤∴=⎨->⎩，易知函数()y f x =在R 上单调递减，又)()3ff x =，由()())23f x a f x f+≥=，得2x a +≤，即)21a x ≤在[]1,1x a a ∈-+上恒成立，则))()min2111a x a ⎡⎤≤=-⎣⎦，化简得()31a ≤-，解得3a ≤-，因此，实数a 的最大值为3-，故答案为3-.【点睛】本题考查函数不等式恒成立问题，解题时要充分分析函数单调性与奇偶性，并将不等式转化为()()12f x f x ≤，利用函数()y f x =的单调性求解，考查化归与转化思想的应用，属于难题.四、解答题15.已知全集U R =，集合{}230,60,{0}1x A xB x x xC x x a x -⎧⎫=≤=+-≥=+>⎨⎬-⎩⎭∣∣∣.（1）求(),U A B A B ⋃⋂ð；（2）若B C B ⋃=，求a 的取值范围.【答案】（1）(](),31,A B ∞∞⋃=--⋃+，()()1,2U A B ⋂=ð（2）(2]-∞-.【解析】【分析】（1）求出集合,A B ，再根据集合的交、并、补的定义求解即可；（2）由题意可得,C B ⊆根据子集的定义求解即可.【小问1详解】由题意得，集合(]][()()1,3,,32,,3,2U A B B ∞∞==--⋃+=-ð所以(](),31,A B ∞∞⋃=--⋃+，()()1,2U A B ⋂=ð；【小问2详解】因为B C B ⋃=，所以,C B ⊆又因为(),C a ∞=-+，所以2-≥a ，即2a ≤-.所以a 的取值范围为(2]-∞-.16.已知关于x 的不等式2320ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >（1b >）.（1）求a ，b 的值；（2）当0x >，0y >，且满足1a bx y+=时，有222x y k k +≥++恒成立，求k 的取值范围.【答案】（1）1a =，2b =（2）[]3,2-【解析】【分析】（1）方法一：根据不等式2320ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >，由1和b 是方程2320ax x -+=的两个实数根且0a >，利用韦达定理求解；方法二：根据不等式2320ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >，由1和b 是方程2320ax x -+>的两个实数根且0a >，将1代入2320ax x -+=求解.（2）易得121x y+=，再利用“1”的代换，利用基本不等式求解.【小问1详解】解：方法一：因为不等式2320ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >，所以1和b 是方程2320ax x -+=的两个实数根且0a >，所以3121b a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩方法二：因为不等式2320ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >，所以1和b 是方程2320ax x -+>的两个实数根且0a >，由1是2320ax x -+=的根，有3201a a -+=⇒=，将1a =代入2320ax x -+>，得23201x x x -+>→<或2x >，∴2b =；【小问2详解】由（1）知12a b =⎧⎨=⎩，于是有121x y +=，故()12422448y xx y x y x y x y ⎛⎫+=++=++>+ ⎪⎝⎭，当且仅当24x y =⎧⎨=⎩时，等号成立，依题意有()2min 22x y k k +≥++，即282k k ≥++，得26032k k k +-≤→-≤≤，所以k 的取值范围为[]3,2-.17.在充分竞争的市场环境中，产品的定价至关重要，它将影响产品的销量，进而影响生产成本、品牌形象等.某公司根据多年的市场经验，总结得到了其生产的产品A 在一个销售季度的销量(y 单位：万件)与售价(x 单位：元)之间满足函数关系14,616222,1621x x y x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，A 的单件成本(C 单位：元)与销量y 之间满足函数关系30C y=．()1当产品A 的售价在什么范围内时，能使得其销量不低于5万件？()2当产品A 的售价为多少时，总利润最大？(注：总利润=销量(⨯售价-单件成本))【答案】（1）617x ≤≤（2）14元【解析】【分析】（1）根据题中所给的解析式，分情况列出其满足的不等式组，求得结果；（2）根据题意，列出利润对应的解析式，分段求最值，最后比较求得结果.【详解】（1）由5y ≥得，1452616x x ⎧-≥⎪⎨⎪≤≤⎩或2251621x x -≥⎧⎨<≤⎩解得，616x ≤≤或1617x <≤.即617x ≤≤.答：当产品A 的售价[]6,17x ∈时，其销量y 不低于5万件．（2）由题意，总利润()()2830,616303022230,1621x x x L y x xy y x x x ⎧-⎛⎫-≤≤⎪=⋅-=-=⎨ ⎪⎝⎭⎪--<≤⎩①当616x ≤≤时，()211468682L x =--+≤，当且仅当14x =时等号成立.②当1621x <≤时，L 单调递减，()22301663066L x x =--<⨯-=所以，14x =时，利润L 最大.答：当产品A 的售价为14元时，总利润最大．【点睛】该题考查的是有关函数的应用问题，涉及到的知识点有根据题意列出函数解析式，根据函数解析式求函数的最值，注意认真分析题意，最后求得结果.18.已知函数()21ax b f x x-=+是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断()f x 在[]1,1-上的单调性，并用单调性定义证明；（3）解不等式()()()210f t f tf -+>．【答案】（1）()221x f x x -=+，[]1,1x ∈-（2）减函数；证明见解析；（3）510,2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质和()11f =求解即可.（2）利用函数单调性定义证明即可.（3）首先将题意转化为解不等式()()21f t f t >-，再结合()f x 的单调性求解即可.【小问1详解】函数()21ax b f x x-=+是定义在[]1,1-上的奇函数，()()f x f x -=-；2211ax b ax b x x ---=-++，解得0b =，∴()21ax f x x =+，而()11f =-，解得2a =-，∴()221x f x x -=+，[]1,1x ∈-．【小问2详解】函数()221x f x x-=+在[]1,1-上为减函数；证明如下：任意[]12,1,1x x ∈-且12x x <，则()()()()()()121212122222121221221111x x x x x x f x f x x x x x ------=-=++++因为12x x <，所以120x x -<，又因为[]12,1,1x x ∈-，所以1210x x ->，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()()12f x f x >在[]1,1-上为减函数．【小问3详解】由题意，()()()210f t f tf -+>，又()00f =，所以()()210f t f t -+>，即解不等式()()21f t f t >--，所以()()21f t f t >-，所以22111111t t t t ⎧-≤≤⎪-≤-≤⎨⎪<-⎩，解得102t ≤<，所以该不等式的解集为510,2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭．19.若函数()f x 的定义域为D ，集合M D ⊆，若存在正实数t ，使得任意x M ∈，都有x t D +∈，且()()f x t f x +>，则称()f x 在集合M 上具有性质()P t .（1）已知函数2()f x x =，判断()f x 在区间[1,0]-上是否具有性质(1)P ，并说明理由；（2）已知函数3()f x x x =-，且()f x 在区间[0,1]上具有性质()P n ，求正整数n 的最小值；（3）如果()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，()()f x x a a a =--∈R ，且()f x 在R 上具有性质(6)P ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）不具有，理由见解析（2）2（3）30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）结合定义举出反例即可得；（2）由题意可得33()()x n x n x x +-+>-，即可转化为223310x nx n ++->对任意[]0,1x ∈恒成立，构造相应函数，借助二次函数的性质即可得解；（3）由题意结合奇函数的性质可得302a ≤<，再证明302a ≤<时，()f x 在上具有性质(6)P 即可得.【小问1详解】()()221(1)21f x f x x x x +-=+-=+，当0.8x =-时，()()10.60f x f x +-=-<，故()f x 在区间−1,0上不具有性质()1P ；【小问2详解】函数()3f x x x =-的定义域为，对任意[]0,1x ∈，则x n +∈R ，()f x 在区间0,1上具有性质()P n ，则()()f x n f x +>，即33()()x n x n x x +-+>-，因为n 是正整数，化简可得：223310x nx n ++->对任意[]0,1x ∈恒成立，设22()331g x x nx n =++-，其对称轴为02n x =-<，则()g x 在区间[0,1]上是严格增函数，所以，2min ()(0)10g x g n ==->，解得1n >，故正整数n 的最小值为2；【小问3详解】法一：由()f x 是定义域为上的奇函数，则(0)0f a a =-=，解得0a ≥，若0a =，()f x x =，有6x x +>恒成立，所以符合题意，若0a >，当0x <时，()()()f x f x x a a x a a =--=----=-++，所以有()2,,2,x a x a f x x a x a x a x a +<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩，若()f x 在上具有性质(6)P ，则(6)()f x f x +>对任意∈恒成立，()f x 在[,]a a -上单调递减，则6x +，x 不能同在区间[,]a a -内，6()2a a a ∴>--=，又 当[2,0]x a ∈-时，()0f x ≥，当[0,2]x a ∈时，()0f x ≤，若264a a <≤时，今2x a =-，则6[0,2]x a +∈，故(6)()f x f x +≤，不合题意；46a ∴<，解得302a <<，下证：当302a <<时，()()6f x f x +>恒成立，若302a <<，则46a <，当6x a +≤-时，则()662f x x a +=++，()2f x x a =+，所以()()6f x f x +>成立；当6a x a -<+<时，则63x a a <-<-，可得()()66f x x a +=-+>-，()2f x x a a =+<-，即()()6f x f x +>成立；当6x a +>时，则()()()6622f x x a x a f x +=+->+≥，即()()6f x f x +>成立；综上所述：当302a ≤<时，对任意∈均有()()6f x f x +>成立，故实数a 的取值范围为30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.法二：由()f x 是定义域为上的奇函数，则(0)0f a a =-=，解得0a ≥.作出函数图像：由题意得：2(2)46a a a --=<，解得302a ≤<，若0a =，()f x x =，有6x x +>恒成立，所以符合题意，若302a <<，则46a <，当6x a +≤-时，则()662f x x a +=++，()2f x x a =+，所以()()6f x f x +>成立；当6a x a -<+<时，则63x a a <-<-，可得()()66f x x a +=-+>-，()2f x x a a =+<-，即()()6f x f x +>成立；当6x a +>时，则()()()6622f x x a x a f x +=+->+≥，即()()6f x f x +>成立；综上所述：当302a ≤<时，对任意∈均有()()6f x f x +>成立，故实数a 的取值范围为30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于由题意得出必要条件302a ≤<，再证明其充分性即可得.。
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内江市高中2022届第一次模拟考试题数学（文科）1．本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答第Ⅰ卷时，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；答第Ⅱ卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔迹清楚；不能答在试题卷上。
3．考试结束后，监考员将答题卡收回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置．）1．已知{}21A x x =-<<，{}0B y y =≥，则A B ⋂=（ ） A ．(]2,0-B ．()2,0-C ．[)0,1D ．()2,-+∞2．已知i 为虚数单位，在复平面内，复数31i i i++对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．“事件A 与事件B 是对立事件”是“事件A 与事件B 是互斥事件”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若x ，y 满足约束条件102201x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A ．1B ．0C ．−1D ．−35．小李于2016年底贷款购置了一套房子，将通过10年期每月向银行还数额相同的房贷，且截止2020年底，他没有再购买第二套房子．下图是2017年和2020年小李的家庭收入用于各项支出的比例分配图，根据以上信息，判断下列结论中正确的是（ ）A ．小李一家2020年用于饮食的支出费用与2017年相同B ．小李一家2020年用于其他方面的支出费用是2017年的3倍C ．小李一家2020年的家庭收入比2017年增加了1倍D ．小李一家2020年用于房贷的支出费用比2017年减少了6．已知数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，前n 项和为n S ，则（ ） A ．数列{}1n n a a ++是公比为4的等比数列 B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列C ．数列{}2log n a 是公差为1的等差数列D ．10S ，20S ，30S 仍成等比数列7．已知()0,απ∈，3cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=（ ） A ．43310- B ．43310+ C ．43310± D ．4335- 8．设133a =，166b =，3log 2c =，则（ ） A ．c b a <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<9．已知函数()()2cos f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．−110．牛奶的保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间t （单位：h ）与储藏温度x （单位：℃）之间的关系为22719232x t ⎛⎫=⨯⎪⎝⎭，若要使牛奶保鲜时间超过48h ，则应储藏在温度低于（ ）℃的环境中.（附：lg2≈0.301，lg7≈0.845，答案采取四舍五入精确到0.1） A ．23.2B ．22.1C ．21.2D ．20.111．已知函数()f x 是R 上单调递减的奇函数，数列{}n a 为等差数列．若20a >，则()1f a +()()23f a f a +的值（ ） A ．恒为0B ．恒为正数C ．恒为负数D ．可正可负12．设0a >，0b >，下列各式中最小值为2的是（ ）A ．122aa ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B 222a +C 34a ab+D 2222a b +第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.） 13．已知向量()2,a λ=，()3,6b =-，若a b ⊥，则λ=______．14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且周期为4，当(]0,2x ∈时，()f x x m =+，则m =______． 15．如图，扇形OPQ 的半径为6，圆心角为60°，C 为弧PQ 上一动点，B 为半径上一点且满足120OBC ∠=︒，则OBC △的周长的最大值是______．16．已知函数()e ,0,ln ,0,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，()()1g x f x mx =-+，若()g x 存在2个零点，则实数m 的取值范围是______．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）在ABC △中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足2cos cos cos a A b C c B =+． （1）求A 的大小；（2）若27a =ABC △的面积为3ABC △的周长． 18．（本小题满分12分）某兴趣小组为了研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，请一所中学校医务室人员统计近期昼夜温差情况和到该校医务室就诊的患感冒学生人数，如下是2021年10月、11月中的5组数据：日期 10月8日10月18日10月28日11月8日11月18日昼夜温差x （℃） 8 11 6 15 5 就诊人数y131712199（1）通过分析，发现可用线性回归模型拟合就诊人数y 与昼夜温差x 之间的关系，请用以上5组数据求就诊人数关于昼夜温差的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+（结果精确到0.01）；（2）若由（1）中所求的线性回归方程得到的估计数据与所选出的数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的试用11月8和11月18日两组数据检验（1）中所求的线性回归方程是否理想？ 参考数据：()()5163i i i x x y y =--=∑，()52166i i x x =-=∑．参考公式：()()()121ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-． 19．（本小题满分12分）在①212422S S S =+-，②9156915S S =+，③22106227335a a a a -=-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中． 问题：已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，121a =，______，是否存在正整数m ，n ，1m n ≤<，使得m n S S =成立？若存在，求出正整数m ，n 满足的关系式；若不存在，请说明理由．注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 20．（本小题满分12分） 已知函数()ln f x x ax a =-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≤恒成立，求实数a 的值． 21．（本小题满分12分）已知a ，b ∈R ，函数()322f x ax bx x =+-+．（1）若函数()f x 在点()1,1处的切线与x 轴平行，求a ，b 的值； （2）若0a >，函数()f x 有两个零点，求a b -的取值范围． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）［选修4−4：坐标系与参数方程］ 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），直线l 的参数方程为cos sin x t y t ββ=⎧⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）写出曲线C 和直线l 的极坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点P的直角坐标为12⎛ ⎝⎭，若点P 在直线l 上，求PA PB ⋅的值．23．（本小题满分10分）［选修4−5：不等式选讲］已知函数()221f x x x =-+-． （1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）记函数()f x 的最小值为m ，若a ，b ，c 均为正实数，222a b c m ++=，求222a b c ++的最小值．内江市高中2022届第一次模拟考试题 数学（文科）参考答案及评分意见一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
） 1．C2．D3．A4．B5．B6．C7．A8．A9．C10．D11．B12．C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.） 13．114．−2 15．6+16．()(),00,1-∞⋃三、解答题（共0分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．） 17．解：（1）∵2cos cos cos a A b C c B =+∴由正弦定理，得2sin cos sin cos sin cos A A B C C B =+ ∴2sin cos sin A A A = ∵0A π<<，∴1cos 2A =，故3A π= （2）由（1）知，3A π=∵1sin 2ABC S bc A ==△∴24bc =∵由余弦定理知，2222cos a b c bc A =+- ∴2228b c bc +-=， 故()2100b c +=∴10b c +=，故10a b c ++=+∴ABC △的周长为10+18．解：（1）由表格中数据可得，9x =，14y =，∴()()()12163ˆ0.9566niii nii x x y y bx x ==--==≈-∑∑∴63ˆˆ149 5.4166ay bx =-=-⨯≈． ∴就诊人数y 关于昼夜温差x 的线性回归方程为ˆ0.95 5.41yx =+ （2）由（1）知，当15x =时，ˆ0.9515 5.4119.66y =⨯+= 当5x =时，ˆ0.955 5.4110.16y=⨯+= ∵19.66190.662-=<，10.169 1.162-=< ∴所求的线性回归方程可能是理想的． 19．解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 若选择条件①： ∵212422S S S =+- ∴1112423222422a d a a d ⨯⎛⎫+=++- ⎪⎝⎭，即12427520a d +-= 又∵121a =，即1111a d =-∴()2411127520d d -+-=，得2d =-，123a = 若选择条件②： ∵9156915S S =+，∴586a a =+ ∴2d =-，由121a =，得111123a d =-= 若选择条件③：∵2210622731415a a a a -=-，∴()()()()106106737335a a a a a a a a +-=+-，即85243245a d a d ⋅=⋅ 即()()115734a d a d +=+又∵121a =，即1111a d =-，∴2d =-，123a = 当m n S S =时，()()111122m m n n ma d na d --+=+∴()()231231m m m n n n --=--，即()()240m n m n -+-= ∵1m n ≤<，∴24m n +=∴存在正整数m ，n ，当24m n +=时，使得m n S S =成立20．解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()11axf x a x x-'=-=当0a ≤时，对0x ∀>，()0f x '>，故()f x 在()0,+∞上单调递增 当0a >时 ∵当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<∴()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减综上，当a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递增 当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减 （2）当0a ≤时，由（1）知，()f x 在()0,+∞上单调递增 ∴当1x >时，()()10f x f >=，不合题意 当0a >时，由（1）知，()max 11ln 1ln 1f x f a a a a a ⎛⎫==-+=-+- ⎪⎝⎭∵()0f x ≤对0x ∀>成立∴()max 0f x ≤，即ln 10a a -+-≤ 令()()ln 10g a a a a =-+->，则()111a g a a a-'=-+=∴()g a 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，则()()min 10g a g == ∴()()10g a g ≥=∴不等式ln 10a a -+-≤的解为1a = 综上，1a =21．解：（1）()2321f x ax bx '=+-∵函数()f x 在点()1,1处的切线与x 轴平行∴()()1110f f ⎧=⎪⎨'=⎪⎩∴113210a b a b ++=⎧⎨+-=⎩，得1a =，1b =-（2）由题知()f x 有一个零点恰好是极值点，设其为0x则()()3200002000203210f x ax bx x f x ax bx ⎧=+-+=⎪⎨'=+-=⎪⎩，得00x ≠且030020426x a x x b x -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩∴00323200000426452x x a b x x x x x ---=-=+- ∵0a >，∴340x x ->，得004x << 令01t x =，则()3214524a b g t t t t t ⎛⎫-==+-> ⎪⎝⎭，()()()()221210226512611g t t t t t t t '=+-=+-=-+∵当14t >时，()0g t '>，∴()g t 在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增 ∴()1148g t g ⎛⎫>=-⎪⎝⎭∴a b -的取值范围是1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭22．解：（1）曲线C 的普通方程为22149x y += ∵cos sin x y ρθρθ==⎧⎨⎩，∴曲线C 的极坐标方程为2222cos sin 149ρθρθ+= 直线l 的极坐标方程为()R θβρ=∈ （2）∵点P 的极坐标为1,3π⎛⎫⎪⎝⎭∴直线l 的极坐标方程为()3R πθρ=∈联立()22223cos sin 149R πθρρθρθ⎧=∈⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2487ρ=∴OA OB ==∵1OP =，点P 在线段AB 上∴41117PA PB ⎫⎫⋅=⨯-=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 23．解：（1）当12x ≤时，333x -+≥，得0x ≤ 当122x <≤时，13x +≥，得2x = 当2x >时，333x -≥，得2x >．综上，不等式的解集为{}20x x x ≥≤或（2）∵()f x 在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增∴()min 1322m f x f ⎛⎫===⎪⎝⎭，故223a b c ++= ∵2244ab a b ≤+，2244ac a c ≤+，22844bc b c ≤+∴()()222222222444489a b c a b c ab ac bc a b c++=+++++≤++∴2221a b c ++≥，当且仅当2a b c ==，即13a =，23b c ==时取等 ∴222a b c ++的最小值为1。