往年内蒙古普通高中会考数学真题及答案
内蒙古赤峰市名校2025届高三上学期联合考试数学试题(含答案)
内蒙古赤峰市名校2025届高三上学期联合考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合A={x∈Z|x2<5}，B={x|x+1>0}，则A∩B=( )A. (−1,5)B. {0,1,2}C. {1,2}D. (−1,2)2.若复数z满足(2+i)z=10i，则z的虚部为( )A. 2iB. 4C. 2D. 4i3.已知A(2,1)，B(m,4)，BC=(3,1)，若A，B，C三点共线，则m=( )A. 11B. 9C. 7D. 64.已知曲线C：y=e x+x在点A处的切线与直线2x−y+2=0平行，则该切线方程是( )A. 2x−y=0B. 2x−y−2=0C. 2x−y−1=0D. 2x−y+1=05.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,0<ω<5,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则ω=( )A. 247B. 154C. 3D. 46.已知在▵ABC中，M是线段BC上异于端点的任意一点．若向量AM=aAB+bAC，则2a +8b的最小值为( )A. 6B. 12C. 18D. 247.把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是θ′∘C，空气的温度是θ0∘C，则tmin后该物体的温度θ∘C 满足θ=θ0+(θ′−θ0)e−t4.若θ0,θ′不变，在t1min,t2min后该物体的温度分别为θ1∘C,θ2∘C，且θ1>θ2，则下列结论正确的是( )A. t1>t2B. t1<t2C. 若θ′>θ0，则t1>t2；若θ′<θ0，则t1<t2D. 若θ′>θ0，则t1<t2；若θ′<θ0，则t1>t28.在△ABC中，AB=4，BC=6，∠ABC=90∘，点P在△ABC内部，且∠BPC=90∘，AP=2，记∠ABP=α，则tan2α=( )A. 32B. 23C. 43D. 34二、多选题：本题共3小题，共18分。
内蒙古自治区赤峰市部分学校2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题(含答案)
高三数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，一元二次函数、方程和不等式，函数的概念与性质，指数函数与对数函数，一元函数的导数及其应用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定为A.， B.， C.， D.，2.满足的集合的个数为A.8B.7C.6D.43.已知，，，则A. B. C. D.4.已知函数，则A.有最小值1，无最大值 B.有最大值1，无最小值 C.有最小值0，无最大值 D.有最大值0，无最小值5.已知，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.每年3月21日是世界睡眠日.充足的睡眠、均衡的饮食和适当的运动是国际社会公认的三项健康标准.对于青少年来说，每天进行中等强度的体育运动有助于提高睡眠质量.运动强度等级与运动后的心率的关系如下表：运动强度等级运动不足中等强度运动过量运动后的心率已知青少年羽毛球运动后的心率与运动时间（单位：分钟）满足关系式，其中为正常心率.某同学正常心率为70，若该同学要达到中等强度的羽毛球运动，则运动时间至少约为（参考数据：）0a ∀>22a a+≠0a ∀>22a a +=0a ∀≤22a a+=0a ∃>22a a+=0a ∃≤22a a+={}{}2221020x x x M x x x ++=⊆⊆∈+-≤Z M 0.13a =30.1b =3log 0.1c =a c b>>a b c>>b a c>>c b a>>()e e x f x x =-()f x 0a b >>0c >a b a c b c>++y y110y <110130y ≤≤130y ≥y t )20ln1y a =++a2e 7.4≈A.35分钟B.41分钟C.52分钟D.62分钟7.已知函数恰有一个零点，则A.－2B.－1C.0D.18.已知，且是函数的极大值点，则的取值范围为A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论错误的有A.若，则B.若，，则C.若，则D.若，则10.已知幂函数的图象经过点，则函数的大致图象可能为A. B. C. D.11.对任意，，函数，都满足，则A.是增函数 B.是奇函数C.的最小值是D.为增函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线在处的切线方程为________.13.已知二次函数满足，则函数的单调递增区间为________.14.已知，，且，若3，则________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.()2e e 1cos ex x xm f x x ++=-m =0a >0x =()()2ln f x x x a =+a ()0,e ()1,e (]0,e ()0,10x >2112x x ≥+a b >c d >ac bd>0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭22114sin cos x x +≥10a b c >>>>c cab ba<()f x ()2,4()()f xg x mx m=+x y ∈R ()f x ()g x ()()()()2e x f x f y g x g y y ++-=+()f x ()f x ()g x ()0g ()()2y f x g x =-2xy x =⋅0x =()f x ()()22129f x f x x x --=-()()12log g x f x =0a >0b >a c =a b c a c ++++c =15.（13分）已知集合，.（1）若，求，；（2）若，求的取值范围.16.（15分）已知正实数，满足.（1）求的最小值；（2.17.（15分）已知函数，且.（1）求的值；（2）求不等式的解集.18.（17分）已知，函数.（1）讨论的单调性；（2）若恒成立，求的取值范围.19.（17分）在平面直角坐标系中，定义：若曲线和上分别存在点，关于原点对称，则称点和点为和的一对“关联点”.（1）若上任意一点的“关联点”为点，求点所在的曲线方程.（2）若上任意一点的“关联点”为点，求的取值范围.（3）若和有且仅有两对“关联点”，求实数的取值范围.{}12511A x x =<+<{}1B x x m =<+32m =A B ()A B R ðA B B = m x y 2x y +=12x y+3≤()333xx a f x ⋅=+()()66log 3log 122f f +=a ()22310f x x +->0a >()()e 1ln x f x a x a =---()f x ()ln f x x ≥\a Oxy 1C 2C M N O M N 1C 2C 21:4C y xy x y +-+=P Q Q ()221:1C x y x+-=S T 2ST 1:e 2xC y a =+2:e xC y x a =-a高三数学试卷参考答案1.C 全称量词命题的否定为存在量词命题.2.A 由题可知，则满足条件的集合有8个.3.B 因为，，，所以.4.C 因为，所以.当时，，单调递减，当时，，单调递增，故的最小值为，无最大值.5.A 若，则，即.取，，，满足，，不满足.故“”是“”的充分不必要条件.6.B 由题可知，，则，所以，从而，故运动时间至少约为41分钟.7.B 为偶函数，其图象关于轴对称.由恰有一个零点，可得，解得，此时，当时，，，则在上无零点，从而恰有一个零点.8.D .令，易知在上单调递增，.当时，则存在，使得，符合是函数的极大值点；当时，则存在，使得，不符合是函数的极大值点；当时，，不符合是函数的极大值点.综上，的取值范围为.9.ABD 对于A ，当时，，所以A 错误；对于B ，若，，，，则，，此时，所以B 错误；对于C，{}{}12,1,0,1M -⊆⊆--M 0.131>300.11<<3log 0.10<a b c >>()e e x f x x =-()e e x f x '=-(),1x ∈-∞()0f x '<()f x ()1,x ∈+∞()0f x '>()f x ()f x ()10f =0c >()()()()()()()0a b c b a c a b c a b a c b c a c b c a c b c +-+--==>++++++a ba cbc >++3a =1b =2c =-0a b >>a b a c b c >++0c >0c >a ba cb c>++)20ln170110y =++≥)ln12+≥21e +≥()22e 140.96t ≥-≈()2e e 1cos e e cos x x x xxm f x x x m e-++=-=+-+y ()f x ()010f m =+=1m =-()e e cos 1x x f x x -=+--0x >e e 2x x -+>cos 12x --≥-()f x ()0,+∞()f x ()()()22ln 2ln 1x a f x x x a x x a x a x a ⎡⎤=++=+-+⎢++⎣'⎥⎦()()2ln 1a g x x a x a =+-++()g x (),a -+∞()02ln g a =()0,1a ∈()0,m ∈+∞()0g m =0x =()()2ln f x x x a =+()1,a ∈+∞(),0m a ∈-()0g m =0x =()()2ln f x x x a =+1a =()00g =0x =()()2ln f x x x a =+a ()0,10x >211112x x x x=≤++1a =1b =-1c =-2d =-1ac =-2bd =ac bd <，当且仅当时，等号成立，所以C 正确；对于D ，，则，所以D 错误.10.BD 设，因为的图象过点，所以，解得，所以，，故A ，C 错误，B ，D 正确.11.ACD 由题意得恒成立，所以存在常数，使得且.令，得解得经检验，符合条件.由，得是增函数且不是奇函数，A 正确，B 错误.因为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，C 正确.，D 正确.12. 由，得.当时，，，故曲线在处的切线方程为.13. 设，则，所以，，，则，故.由，得.因为在上单调递增，在上单调递减，所以根()22222222221111cos sin sin cos 224sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x x x ⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪⎝⎭4x π=11c c b a -->c c ab ba >()f x x α=()f x ()2,424α=2α=()2223124x m m g x mx x m m ⎛⎫=+=+-⎪⎝⎭202m -<()()()()e 2x f x g x y f y g y --=-+-a ()()e x f x g x a --=()()2y f y g y a -+-=y x =()()()()e ,2,x f x g x a x f x g x a ⎧--=⎪⎨-+-=⎪⎩()()2e ,3e 2,3x xx af x x ag x ⎧+-=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩()2e 3x x a f x +-=()f x ()f x ()e 13x g x ='-()g x (),0-∞()0,+∞()g x ()0g ()()()()22e e 22e 3x x x x a x a f x g x x +-----==+0x y -=2x y x =⋅22ln 2x x y x ⋅'=+0x =0y =1y '=2xy x =⋅0x =0x y -=1,24⎛⎫ ⎪⎝⎭()2f x ax bx c =++()()()()22212121f x f x ax bx c a x b x --=++----()22242229c ax a b x a b c x x -=-+--+-=-2a =-1b =6c =()226f x x x =-++()()212log 26g x x x =-++2260x x -++>322x -<<()f x 1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭据复合函数的单调性可知，的单调递增区间为.14.8 因为，所以.，当且仅当，等号成立.故，解得.15.解：（1）由，得，则.…………1分因为，所以由，得，则.…………2分故，，.…………6分（2）因为，所以.…………7分若，即，则，符合；…………9分若，即，则，…………10分由，可得解得.…………12分综上所述，的取值范围为.…………13分16.（1）解：因为，所以…………3分，…………5分当且仅当，…………6分故.…………7分（2）证明：由，…………9分()g x 1,24⎛⎫ ⎪⎝⎭a c +=()1314a b c b a c a c c a c ⎛++=+++ ++⎝()())232b b a c a c c a b a ca c ⎛⎛⎡⎤+++=++=++ ⎣⎦++⎝⎝(222a b a c ≥++=+=a =134a b c ca c ++≥+=+8c =12511x <+<23x -<<()2,3A =-32m =52x <5522x -<<55,22B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭5,32A B ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 55,,22B ⎛⎤⎡⎫=-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭R ð()5,32A B ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭R ðA B B = B A ⊆10m +≤1m ≤-B =∅B A ⊆10m +>1m >-()1,1B m m =--+B A ⊆12,13,m m --≥-⎧⎨+≤⎩11m -<≤m (],1-∞2x y +=()1211212322y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥2x =-4y =-12x y+2x y =+≥1≤则，…………11分当且仅当时，等号成立，…………12分， (14)分. (15)分17.解：（1）因为，所以，…………3分则.…………5分又，…………6分所以，…………7分从而.…………8分（2）由（1）可知，…………9分显然在上单调递增.…………10分因为，所以由，可得，…………12分则，解得或，…………14分故不等式的解集为.…………15分18.解：（1）的定义域为，.…………1分当时，，则在上单调递增；…………3分当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减.…………6分（2）由，可得，即.…………9分令，易知单调递增.…………10分由，可得，则，即.…………分224x y =++=+≤1x y ==2≤3≤()333x x a f x ⋅=+()2213932333933x x x x a a af x --+⋅-===+++()()3323333x x x a af x f x a ⋅+-=+=++666log 3log 12log 362+==()()66log 3log 12f f a +=2a =()23623333x x xf x ⨯==-++()f x R ()102f =()22310f x x +->()()230f x x f +>230x x +>3x <-0x >()22310f x x +->()(),30,-∞-+∞ ()f x R ()()e 1x f x a ='--01a <≤()0f x '>()f x R 1a >()0f x '>()ln 1x a >-()0f x '<()ln 1x a <-()f x ()()ln 1,a -+∞()(),ln 1a -∞-()ln f x x ≥ln ln e x x a ax x ++≤+()()ln e ln e ax x ax x +≤+()e x g x x =+()g x ()()ln eln e ax xax x +≤+()()()ln g ax g x ≤()ln ax x ≤()ln 1ax ax a≤令，则.当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，…………15分则，解得，故的取值范围为.…………17分19.解：（1）设点，则点的“关联点”为，将点的坐标代入，得，…………2分即，所以点所在的曲线方程为.…………4分（2）设，则根据对称性得.…………5分因为曲线关于轴对称，当时，设，，，…………7分所以，…………9分所以的最小值为，最大值为，所以的取值范围为.10分（3）和有且仅有两对“关联点”等价于曲线和有且仅有两个交点，即，化简可得.…………11分令，则.（i ）若，则，由，得.当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，()ln x h x x =()21ln xh x x -'=e x >()0h x '<()h x 0e x <<()0h x '>()h x ()max ln e 1e eh x ==11ea ≥0e a <≤a (]0,e (),Q x y Q (),P x y --P 24y xy x y +-+=()()()()2()4y x y x y -+----+-=24y xy x y ++-=Q 24y xy x y ++-=(),S x y ()2224STx y =+1C y 0x ≥cos x θ=sin y x θ-=,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()2222221cos 2cos cos sin 2cos sin 2sin cos 1sin 22x y θθθθθθθθθ++=++=++=++=()313cos 2sin 22222θθθϕ++=+2ST 6-6+2ST 6⎡-+⎣1:e 2x C y a =+2:e xC y x a =-e 2x y a =+ex xy a =+e 2exx xa a +=+()2e 2e 0x x a a x +--=()()2e 2e x x g x a a x =+--()()()()22e2e 1e 12e 1xx x x g x a a a =+--=+-'0a ≥e 10xa +>()0g x '=ln 2x =-(),ln 2x ∈-∞-()0g x '<()ln 2,x ∈-+∞()0g x '>()g x (),ln 2-∞-()ln 2,-+∞所以的最小值为.①当时，，即，则没有零点，不满足题意.②当时，，只有一个零点，不满足题意.③当时，，即，当时，，，因为，所以，故，又，所以在上有一个零点.设，则，单调递增，所以，则当时，，又，所以，因此在上有一个零点.故当时，有两个不同的零点，满足题意.…………14分（ii ）若，则由，得，.①当时，，当时，；当时，；当时，.所以在和上单调递减，在上单调递增.又，所以至多有一个零点，不满足题意.②当时，，则，所以单调递减，至多有一个零点，不满足题意.③当时，，当时，；当时，；当时，.所以在和上单调递减，在上单调递增，()g x ()()1ln 2ln 2e 4g a -=-())0,4ln 2e a ∈⎡⎣()1ln 2e 04a ->()ln 20g ->()g x ()4ln 2e a =()ln 20g -=()g x ()()4ln 2e ,a ∈+∞()1ln 2e 04a -<()ln 20g -<0x <2e0xa >0e 1x <<20a -<()2g x a x >--()20g a ->2ln 2a -<-()g x ()2,ln 2a --()()e 0x h x x x =->()e 10x h x ='->()h x ()0h x >0x >()()()()2e 2e e e e 1e 1xx x x x x g x a a a a ax a >+--=+->+-110a ->110g a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭()g x 1ln 2,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()4ln 2e a >()g x 0a <()0g x '=1ln 2x =-()2ln x a =--20a -<<12x x <(),ln 2x ∈-∞-()0g x '<()()ln 2,ln x a ∈---()0g x '>()()ln ,x a ∈--+∞()0g x '<()g x (),ln 2-∞-()()ln ,a --+∞()()ln 2,ln a ---()()1ln 2ln 2e 04g a -=->()g x 2a =-12x x =()0g x '≤()g x 2a <-12x x >()(),ln x a ∈-∞--()0g x '<()()ln ,ln 2x a ∈---()0g x '>()ln 2,x ∈-+∞()0g x '<()g x ()(),ln a -∞--()ln 2,-+∞()()ln ,ln 2a ---又，所以至多有一个零点，不满足题意.综上，实数的取值范围为.…………17分()()()1ln 1ln 0g a a a--=-+->()g x a ()()4ln 2e ,+∞。
内蒙古锡林郭勒盟(新版)2024高考数学部编版真题(综合卷)完整试卷
内蒙古锡林郭勒盟（新版）2024高考数学部编版真题(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知复数Z满足i3z=1+i（i是虚数单位），则z的共轭复数是（）A．-1-i B．-1+i C．1-i D．1+i第(2)题以下四个命题中，正确的个数是①命题“若是周期函数，则是三角函数”的否命题是“若是周期函数，则不是三角函数”；②命题“存在”的否定是“对于任意”；③在中，“”是“”成立的充要条件；④若函数在上有零点，则一定有.A．B．C．D．第(3)题在区间上任取一个数x，则的概率为（）A．B．C．D．第(4)题若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是A．B．C．D．第(5)题直线关于直线对称的直线方程是（ ）A．B．C．D．第(6)题观察下列事实：的不同整数解的个数为4，的不同整数解的个数为8，的不同整数解的个数为12，则的不同整数解的个数为A．76B．80C．86D．92第(7)题函数的图象大致是（）A．B．C．D．第(8)题已知为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足，，，若，则=A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知数列是各项均为正数的等比数列，是公差大于0的等差数列，且，，则（）A．B．C．D．第(2)题下列命题正确的是（）A．B．集合的真子集个数是4C ．不等式的解集是D．的解集是或第(3)题下列说法中正确的是（）A．8道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数B．100件产品中包含5件次品，不放回地随机抽取8件，其中的次品数C．设随机变量，，则D．设M，N为两个事件，已知，，，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）：其中为凸集的是_________________ （写出所有凸集相应图形的序号）.第(2)题已知集合，，则___________.第(3)题请写出一个值域为且在上单调递减的偶函数 _______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题等差数列的前n项和为，已知，为整数，且.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.第(2)题已知动圆M经过定点，且与圆内切.(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；(2)设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B的动点，设直线PB交直线于点T，连接AT交轨迹C于点Q；直线AP，AQ的斜率分别为，.（i）求证：为定值；（ii）设直线，证明：直线PQ过定点.第(3)题如图，在平面四边形ABCD中，，，，.(1)若，，求的大小；(2)若求四边形ABCD面积的最大值.第(4)题甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表.机床品级合计一级品二级品甲机床15050200乙机床12080200合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?(2)依据小概率值的独立性检验，分析甲机床的产品质量是否与乙机床的产品质量有差异.附:χ2=.α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828第(5)题在中，角所对的边分别为且．(1)求；(2)若的面积为的平分线交于点且，求的值．。
内蒙古赤峰市2025届高三第二次联考数学试卷含解析
内蒙古赤峰市2025届高三第二次联考数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设，则"是""的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．设函数1,2()21,2,1a x f x log x x a =⎧=⎨-+≠>⎩，若函数2()()()g x f x bf x c =++有三个零点123,,x x x ，则122313x x x x x x ++=（ ）A ．12B ．11C ．6D ．33．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =，则AB AM ⋅等于（ ） A ．10B ．9C ．8D ．74．在等腰直角三角形ABC 中，,222C CA π∠==，D 为AB 的中点，将它沿CD 翻折，使点A 与点B 间的距离为23，此时四面体ABCD 的外接球的表面积为（ ）.A ．5πB ．2053π C ．12π D ．20π5．某人2018年的家庭总收人为80000元，各种用途占比如图中的折线图，2019年家庭总收入的各种用途占比统计如图中的条形图，已知2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，则该人2019年的储畜费用为（ ）A ．21250元B ．28000元C ．29750元D ．85000元6．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，2}2{|0B x x x =-+>，则AB =( )A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}2,1,0,1,2--7．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积2136V L h ≈的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式23112V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（ ） A ．227B ．15750C ．289D ．3371158．根据如图所示的程序框图，当输入的x 值为3时，输出的y 值等于（ ）A ．1B ．eC ．1e -D ．2e -9．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（ ） A ．(,1)(3,)-∞-+∞ B ．(1,3)- C ．(1,3)D ．(,1)(3,)-∞+∞10．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，()2295.44%P μσξμσ-<<+=．）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%11．若单位向量1e ，2e 夹角为60︒，12a e e λ=-，且3a =，则实数λ=（ ）A ．－1B ．2C ．0或－1D ．2或－112．若(1＋2ai)i ＝1－bi ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋bi|＝( )． A ．12B ．5C ．52D ．5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
内蒙古自治区锡林郭勒盟2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学含答案
2023—2024学年度第二学期全盟中小学部分年级期末学业质量抽测高一数学试题（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数z 满足2i z =-，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.sin35cos65cos35sin65-= （）A. B.12-C.12D.23.设D 为ABC ∆所在平面内一点，若3BC CD=，则下列关系中正确的是A.1433AD AB AC =-+B.1433AD AB AC=- C.4133AD AB AC =+ D.4133AD AB AC-= 4.平面向量()sin ,cos a αα=- ，()1,1b =- ，若a b ⊥ ，则tan α=（）A .1- B.2- C.1 D.25.已知长方体ABCD A B C D ''''-，2AB AD ==，1AA '=，则直线BD '与DC 所成角的余弦值为（）A.3B.C.34D.236.，则圆锥的体积为（）A. B. C. D.7.如图，圆O 内接边长为1的正方形,ABCD P 是弧BC （包括端点）上一点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A.41,4⎡+⎢⎣⎦B.21,2⎡⎢⎣⎦C.11,2⎡⎢⎣⎦D.,14⎤⎥⎣⎦8.小明去美术馆欣赏油画，其中有一幅画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远处最合适呢？（单位：米）已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方3米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方1米处（）A.B.C.D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知两条直线l ，m 与两个平面α，β，下列命题不正确的是（）A .若//l α，l m ⊥，则m α⊥ B.若//αβ，//m α，则//m βC.若//l α，//m α，则//l mD.若l α⊥，l //β，则αβ⊥10.已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.函数()y f x =的最小正周期为2πB.函数()y f x =的图象关于直线5π12x =-对称C.函数()y f x =在2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减D.该图象向右平移π6个单位可得2sin2y x =的图象11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，F 是侧面11ADD A 上的一个动点（含边界），点E 在棱1CC 上，且11C E =，则下列结论正确的有（）A.平面1AD E 被正方体1111ABCD A B C D -截得截面为等腰梯形B.若1DF FD =，直线1AF D E⊥C.若F 在1DD 上，BF FE +D.若1DF BD ⊥，点F的轨迹长度为第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知()1i 1i z +=-，则z =_______.13.已知向量()1,2a =-- ，()1,b λ= ，若a ，b的夹角为钝角，则λ的取值范围是_____________________.14.已知直三棱柱111ABC A B C -、3，高1AA =，则该三棱柱的外接球的表面积为_____.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量()4,8a =-，(),4b x =- ，（1）若()//a a b +，求实数x 的值；（2）若12a a b ⎛⎫⊥- ⎪⎝⎭，求向量a 与b 的夹角的余弦值.16.在ABC 中，角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos a B b A a c -=--.（1）求B ；（2）若2,a b D ==为AC 边的中点，求BD 的长.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，1AB AD ==，BC DC ==2PA =，=PC PA ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的表面积.18.已知函数()π2sin cos 3f x x x m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为2m ；（1）求常数m 的值；（2）若()f x 在[]()0,0a a >上单调递增；求a 的最大值．19.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，120,2,,BAD PA PB PC PD E ∠=︒===是PB 的中点．（1）证明：PD //平面AEC ；（2）设F 是线段DC 上的动点，当点E 到平面PAF 距离最大时，求三棱锥P AFE -的体积．2023—2024学年度第二学期全盟中小学部分年级期末学业质量抽测高一数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数z 满足2i z =-，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】利用复数的几何意义可得出结论.【详解】由题意可知，复数z 在复平面内对应的点（2，-1）位于第四象限.故选：D.2.sin35cos65cos35sin65-= （）A.2B.12-C.12D.2【答案】B 【解析】【分析】利用两角差的正弦公式及诱导公式化简求值可得结果.【详解】()()sin35cos65cos35sin6sin 35565sin 30=---=1sin 302=-=- .故选：B.3.设D 为ABC ∆所在平面内一点，若3BC CD=，则下列关系中正确的是A.1433AD AB AC=-+B.1433AD AB AC=-C.4133AD AB AC =+ D.4133AD AB AC-= 【答案】A 【解析】【详解】∵3BC CD=∴AC −AB =3(AD uuu v −AC)；∴AD uuu v =43AC −13AB.故选A.4.平面向量()sin ,cos a αα=- ，()1,1b =- ，若a b ⊥ ，则tan α=（）A.1-B.2- C.1D.2【答案】A 【解析】【分析】利用向量垂直的坐标运算得sin cos 0αα+=，即可求出tan α.【详解】向量()sin ,cos a αα=-，()1,1b =- ，若a b ⊥，则sin cos 0αα+=，所以sin tan 1cos ααα==-.故选：A5.已知长方体ABCD A B C D ''''-，2AB AD ==，1AA '=，则直线BD '与DC 所成角的余弦值为（）A.3B.C.34D.23【答案】D 【解析】【分析】由异面直线所成角的定义，直线BD '与DC 所成角为ABD '∠，然后计算即可.【详解】连接AD '，长方体中直线AB ⊥平面ADD A ''，AD '⊂平面ADD A ''，所以AB AD '⊥，由//AB DC ，所以直线BD '与DC 所成角为ABD '∠，由2AB AD ==，1AA '=，所以2222123BD '=++=，所以Rt ABD '△中，2cos 3AB ABD BD '∠=='.故选：D6.3，则圆锥的体积为（）A.3πB.33πC.63πD.3π【答案】B 【解析】【分析】设圆柱的底面半径为r ，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径r 的方程，求出解后可求圆锥的体积.【详解】设圆柱的底面半径为r 23r +而它们的侧面积相等，所以22π3π3r r r =+即2233r =+，故3r =，故圆锥的体积为1π9333π3⨯=.故选：B.7.如图，圆O 内接边长为1的正方形,ABCD P 是弧BC （包括端点）上一点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A .421,4⎡⎢⎣⎦B.221,2⎡⎢⎣⎦C.121,2⎡⎢⎣⎦D.2,14⎤⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】法一：以A 为坐标原点，,AB AD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，应用向量的坐标运算即可求解；法二：连接,AC CP ，设π,04PAB θθ∠=≤≤，则π4PAC θ∠=-，||||cos AP AB AP AB θ⋅==||||cos AB AC PAC ⋅∠ ，即可求解.【详解】方法一：如图1，以A 为坐标原点，,AB AD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则(0,0),(1,0)A B ）．设(,)P x y ，则(,)AP x y =．因为(1,0)AB = ，所以AP AB x ⋅=．由题意知，圆O 的半径2r =．因为点P 在弧BC （包括端点）上，所以1122x ≤≤+，所以AP AB ⋅ 的取值范围是11,2⎡+⎢⎣⎦．方法二：如图2，连接,AC CP ．易知π4BAC ∠=，设π,04PAB θθ∠=≤≤，则π4PAC θ∠=-．由已知可得π||1,||2AB AC APC ==∠= ，所以||||cos AP AC PAC =∠= π4θ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以||||cos AP AB AP AB θ⋅==πcos cos sin cos 422θθθθθ⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭()21cos 2sin 2cos sin cos cos sin cos 22θθθθθθθθ+=+=+=+=1πsin 2224θ⎛⎫++ ⎪⎝⎭．因为04πθ≤≤，所以ππ3π2444θ≤+≤，所以πsin 2124θ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以1π11sin 22242θ⎛⎫≤++≤ ⎪⎝⎭，即AP AB ⋅ 的取值范围是11,2⎡+⎢⎣⎦.故选：C ．8.小明去美术馆欣赏油画，其中有一幅画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远处最合适呢？（单位：米）已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方3米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方1米处（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意，作出符合题意得示意图，过点C 作CD AB ⊥，得到90ADC ∠= ，得出当ABC 的外接圆与CD 切于点C 时，观赏者观赏的角度最大，结合直角三角形的性质，即可求解.【详解】如图所示，设观赏者眼睛出为点C ，画的上沿为点A ，下沿为点B ，过点C 作CD AB ⊥交AB 的延长线于点D ，则90ADC ∠= ，当ABC 的外接圆（即为圆O ）与CD 切于点C 时，观赏者观赏的角度最大，即ACB ∠最大，线段CD 的长度为警戒线距墙的长度，由题设知：3m,1m AD BD ==，则312m AB =-=，过点O 作OE AB ⊥于点E ，连接,OC OB ，如图所示，则90OEB ∠= ，且11m 2BE AB ==，所以112m DE BD BE =+=+=，所以O 与CD 切于点C ，所以OC CD ⊥，所以90OCD ADC OEB ∠==∠=∠ ，所以四边形OCDE 为矩形，可得2m OC DE ==，且CD OE =，所以2m OB OC ==，在直角OBE △中，由勾股定理得OE =，所以CD OE ==米远处最合适.故选：B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知两条直线l ，m 与两个平面α，β，下列命题不正确的是（）A.若//l α，l m ⊥，则m α⊥B.若//αβ，//m α，则//m βC.若//l α，//m α，则//l mD.若l α⊥，l //β，则αβ⊥【答案】ABC 【解析】【分析】对于ABC 选项，可以借助长方体模型举反例判断；对于D 选项，运用线面平行的性质，结合平行线性质，最后运用面面垂直判定可判断.【详解】对于A 选项,如图所示，//l α，l m ⊥，此时//l α，故A 错误；对于B 选项,如图所示，//αβ，//m α，此时m β⊂，故B 错误；对于C 选项,如图所示，//l α，//m α，此时l m ⊥，故C 错误；对于D 选项，l //β，则面β内一定可以找一条直线n ，使得//l n ，又l α⊥，则,n n αβ⊥⊂，则αβ⊥,故D 正确.故选：ABC ．10.已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.函数()y f x =的最小正周期为2πB.函数()y f x =的图象关于直线5π12x =-对称C.函数()y f x =在2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减D.该图象向右平移π6个单位可得2sin2y x =的图象【答案】BD【解析】【分析】利用三角函数的性质对选项逐一判断即可.【详解】由图象得2A =，3124T -=ππ，解得πT =，所以()f x 的最小正周期为π，故A 错；2ππT ω==，则2ω=，将π,212⎛⎫ ⎪⎝⎭代入()()2sin 2f x x ϕ=+中得π22sin 6ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则ππ2π62k ϕ+=+，Z k ∈，解得π2π3k ϕ=+，Z k ∈，因为π2ϕ<，所以π3ϕ=，()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，5π5ππ2sin 21263f ⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5π12x =-是()f x 的对称轴，故B 正确；当2ππ,36x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，[]π2π,03x +∈-，因为2sin y x =在[]π,0-上不单调，所以()f x 在2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调，故C 错；该图象向右平移π6个单位可得ππ2sin 22sin263y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故D 正确.故选：BD11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，F 是侧面11ADD A上的一个动点（含边界），点E 在棱1CC 上，且11C E =，则下列结论正确的有（）A.平面1AD E 被正方体1111ABCD A B C D -截得截面为等腰梯形B.若1DF FD = ，直线1AF D E⊥C.若F 在1DD 上，BF FE +D.若1DF BD ⊥，点F 的轨迹长度为【答案】ACD【解析】【分析】在BC 上取点G ，使得1BG =，则1AD EG 即为截面，从而判断A ，F 为1DD 的中点，在棱1CC 上取点M ，使得1CM =，得到AF 与FM 不垂直，即可判断B ，将平面翻折，化折线为直线，结合两点之间线段最短判断C ，根据线面垂直得到线线垂直，即可判断D.【详解】对于A ：在BC 上取点G ，使得11BG C E ==，连接EG 、1BC 、1AD 、1D E 、AG ，则1//BC EG ，又11AB D C =且11//AB D C ，所以11ABC D 为平行四边形，则11//AD BC ，所以1//AD EG ，所以A 、1D 、E 、G 四点共面，即平面1AD E 被正方体1111ABCD A B C D -截得截面即为梯形1AD EG ，又1D E AG ===，所以1AD EG 为等腰梯形，故A 正确；对于B ：因为1DF FD = ，所以F 为1DD 的中点，在棱1CC 上取点M ，使得1CM =，则1EM //D F 且1EM D F =，所以1D FME 为平行四边形，所以1//FM D E ，又AF ==FM ==，AM ==，显然222AF FM AM +≠，即AF 与FM 不垂直，则AF 与1D E 不垂直，故B 错误；对于C ：如图将平面11CC D D 展开到与平面11BB D D 共面，连接BE 交1DD 于点F ，则BE 即为BF FE +的最小值，又BE ==，所以BF FE +C 正确；对于D ：连接1B C 、1BC 、1AD 、1DA ，则11B C BC ⊥，又AB ⊥平面11C B BC ，1B C ⊂平面11C B BC ，所以1AB B C ⊥，又1AB BC B =I ，1,AB BC ⊂平面11ABC D ，所以1B C ⊥平面11ABC D ，1BD ⊂平面11ABC D ，所以11B C BD ⊥，又11//DA B C ，所以11DA BD ⊥，因为1DF BD ⊥，所以线段1DA （不含点D ）即为点F 的轨迹，又1DA ==，所以点F 的轨迹长度为D 正确.故选：ACD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知()1i 1i z +=-，则z =_______.【答案】i-【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算计算可得.【详解】因为()1i 1i z +=-，所以()()()21i 1i 2i i 1i 1i 1i 2z ---====-++-.故答案为：i -13.已知向量()1,2a =-- ，()1,b λ= ，若a ，b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是_____________________.【答案】()1,22,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由题意可得0a b ⋅< 且a 与b 不反向共线，根据向量的坐标运算即可求解.【详解】若a 与b 共线，则21λ-=-⨯，得2λ=，此时b a =- ，a 与b方向相反，因为a 与b 的夹角为钝角，所以0a b ⋅< 且a 与b 不反向共线，即()1120λ-⨯+-<且2λ≠，解得12λ>-且2λ≠，则λ的取值范围是()1,22,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：()1,22,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭.14.已知直三棱柱111ABC A B C -、3，高1AA =，则该三棱柱的外接球的表面积为_____.【答案】20π【解析】【分析】利用正弦定理求ABC 的外接圆半径，结合直棱柱的结构特征求其外接圆半径，进而可得表面积.【详解】不妨设3AB AC ===，由余弦定理可得2221cos 22AB AC BC A AB AC +-==-⋅，由(0,π)A ∈，则2π3A =，所以ABC的外接圆半径2sin BC r A==，可得该三棱柱的外接球的半径R =所以该三棱柱的外接球的表面积为24π20πS R ==.故答案为：20π四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量()4,8a =- ，(),4b x =- ，（1）若()//a a b + ，求实数x 的值；（2）若12a a b ⎛⎫⊥- ⎪⎝⎭，求向量a 与b 的夹角的余弦值.【答案】（1）2x =（2）17【解析】【分析】（1）利用向量平行的坐标形式可求x 的值；（2）利用向量垂直的坐标形式可求x 的值，再利用公式可求向量a 与b的夹角的余弦值.【小问1详解】向量()4,8a =- ，则()4,4a b x +=- ，由()//a a b + ，得()8444x -=-⨯，解得2x =.【小问2详解】()12,82a b x -=-- ，由12a a b ⎛⎫⊥- ⎪⎝⎭ ，有()1428802a a b x ⎛⎫⋅-=---+⨯= ⎪⎝⎭，解得18x =-，则()18,4b =-- ，17cos ,17a b a b a b -⨯-+⨯-⋅===.所以向量a 与b 的夹角的余弦值17.16.在ABC 中，角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos a Bb A ac -=--.（1）求B ；（2）若2,a b D ==为AC 边的中点，求BD 的长.【答案】（1）2π3B =（2【解析】【分析】（1）根据正弦定理边化角，再结合两角和差公式求解；（2）根据余弦定理求出c 边，再根据向量运算求BD .【小问1详解】因为cos cos a B b A a c -=--，根据正弦定理，得()sin cos cos sin sin sin sin sin cos cos sin A B A B A C A A B A B -=--=--+，化简得2sin cos sin A B A =-，因为sin 0A >，所以1cos 2B =-，因为()0,πB ∈，所以2π3B =.【小问2详解】在ABC 中，由余弦定理得2222π222cos3c c =+-⨯，所以22240c c +-=，解得4c =．因为BD 为ABC 的中线，所以2BD BA BC =+uu u r uu r uu u r ，所以2222π4||2cos 3BD c a ac =++⋅ ，因为2,4ac ==，所以24||12BD = ，解得BD = .17.如图，在四棱锥P ABCD -中，1AB AD ==，3BC DC ==2PA =，22=PC PA ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的表面积.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）2315+【解析】【分析】（Ⅰ）由线面垂直推出PA AC ⊥，PA BC ⊥，勾股定理求出边AC ，则易证AB BC ⊥，得证；（Ⅱ）易证各侧面均为直角三角形，底面为两直角三角形的组合，相应直角边长代入三角形面积计算公式求和即可.【详解】（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥，PA BC ⊥，因为2PA =，22=PC 2AC =.因为1AB AD ==，3BC DC ==所以22222AB BC AD DC AC +=+=，所以AB BC ⊥，AD DC ⊥，由PA BC ⊥，AB BC ⊥，PA AB A = 可得，BC ⊥平面PAB .（Ⅱ）由题意可知11313222ABC ADC S S AB BC ∆∆==⨯⨯=⨯=，1112122ABP ADP S S AB AP ∆∆==⨯⨯=⨯⨯=，由（Ⅰ）可知，BC ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以BC PB ⊥，同理可得DC PD ⊥，又BC DC ==PB PD ===，所以1115222CBP CDP S S PB BC ∆∆==⨯⨯==，所以四棱锥P ABCD -的表面积31521222S ⎛⎫=⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查线面垂直的判定，多面体的表面积，属于中档题.18.已知函数()π2sin cos 3f x x x m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为2m ；（1）求常数m 的值；（2）若()f x 在[]()0,0a a >上单调递增；求a 的最大值．【答案】（1）12m =-（2）π12【解析】【分析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质求出m 的值；（2）利用函数的单调性和集合间的子集关系求出a 的最大值．【小问1详解】由于函数2π1()2sin cos()2sin (cos )sin cos 32f x x x m x x x m x x x m =++=-+=-+1πsin 2cos 2)sin(2)2232x x m x m =--+=++-由于π1sin(213x -≤+≤，故函数()f x 的最大值为122m m +-=，解得12m =-．【小问2详解】由于πππ2π22π232k x k -+≤+≤+，()k ∈Z ，解得5ππππ+1212k x k -+≤≤，()k ∈Z ；故函数()f x 的单调递增区间为5ππ[π,π+]1212k k -+，()k ∈Z ；故[0,5ππ][π,π+1212a k k ⊆-+，()k ∈Z ；故取0k =，则[]5ππ0,[,]1212a ⊆-故π(0,]12a ∈，即a 的最大值为π12．19.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，120,2,,BAD PA PB PC PD E ∠=︒===是PB 的中点．（1）证明：PD //平面AEC ；（2）设F 是线段DC 上的动点，当点E 到平面PAF 距离最大时，求三棱锥P AFE -的体积．【答案】（1）见解析（2）33【解析】【分析】（1）连接DB 与AC 交于O ，连接OE ，证明//PD OE 即可得证线面平行；（2）首先证明PA ⊥平面ABCD (只要取BC 中点M ，可证BC ⊥平面PAM ，从而得PA BC ⊥，同理得PA CD ⊥),因此点B 到直线AF 的距离即为点B 到平面PAF 的距离，由平面几何知识易得最大值，然后可计算体积．【详解】（1）证明：连接DB 与AC 交于O ，连接OE ，因为ABCD 是菱形，所以O 为DB 的中点，又因为E 为PB 的中点，所以//PD OE ，因为PD ⊄平面,AEC OE ⊂平面AEC ，所以//PD 平面AEC ．（2）解：取BC 中点M ，连接,AM PM ，因为四边形ABCD 是菱形，120BAD ∠=︒，且PC PB =，所以,BC AM BC PM ⊥⊥，又AM PM M = ，所以BC ⊥平面APM ，又AP ⊂平面APM ，所以BC PA ⊥．同理可证：DC PA ⊥，又BC DC C = ，所以PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAF ⊥平面ABCD ，又平面PAF ⋂平面ABCD AF =，所以点B 到直线AF 的距离即为点B 到平面PAF 的距离，过B 作直线AF 的垂线段，在所有垂线段中长度最大为2AB =，因为E 为PB 的中点，故点E 到平面PAF 的最大距离为1，此时，F 为DC 的中点，即3AF =，所以1123322PAF S PA AF =⋅=⨯=△，所以133133P AFE E PAF V V --===．【点睛】本题考查证明线面平行，考查求棱锥的体积，掌握面面垂直与线面垂直的判定与性质是解题关键．。
2024年内蒙古呼伦贝尔市中考数学真题试卷及答案
2024年内蒙古呼伦贝尔市中考数学真题试卷一、选择题（下列各题的四个选项中只有一个正确．共12小题,每小题3分,共36分） 1. 110-的绝对值是( ) A. 110 B. 10 C. 110- D. 10-2. 下列计算正确的是（ ）A. ()341226aa -=- B. 253a a a -÷= C. 111a a a a+-= D. ()()2233a b a ab b a b +-+=+ 3. 如图是由七个完全相同的小正方体组成的立体图形,选项给出的四个平面图形中不属于其三视图的是（ ）A. B. C. D. 4. 新时代十年来,我国建成世界上规模最大的社会保障体系,其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿,参保率稳定在95%．将数据13.6亿用科学记数法表示为（ ）A. 813.610⨯B. 81.3610⨯C. 91.3610⨯D. 913.610⨯5. 下列说法正确的是（ ）A. 任意画一个三角形,其内角和是360︒是必然事件B. 调查某批次汽车的抗撞击能力,适宜全面调查．C. 一组数据2,4,6,x,7,4,6,9的众数是4,则这组数据的中位数是4D. 在一次芭蕾舞比赛中,甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》,两团女演员的身高平均数相同,方差分别为221.5, 2.5S S ==甲乙,则甲芭蕾舞团的女演员身高更整齐6. 如图,,AD BC AB AC ⊥∥,若135.8∠=,则B ∠的度数是（ ）A. 3548'︒B. 5512'︒C. 5412'︒D. 5452'︒7. 实数,a b 在数轴上的对应位置如图所示,()2b a --的化简结果是（ ）A. 2B. 22a -C. 22b -D. -28. 点(),P x y 在直线344y x =-+上,坐标(),x y 是二元一次方程5633x y -=的解,则点P 的位置在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限9. 如图,在ABC 中,90,30C B ∠=︒∠=︒,以点A 为圆心,适当长为半径画弧分别交,AB AC 于点M 和点N ,再分别以点,M N 为圆心,大于12MN 的长为半径画弧,两弧交于点P ,连接AP 并延长交BC 于点D ．若ACD 的面积为8,则ABD △的面积是（ ）A. 8B. 16C. 12D. 2410. A,B 两种机器人都被用来搬运化工原料,A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运30千克,A 型机器人搬运900千克所用时间与B 型机器人搬运600千克所用时间相等．A,B 两种机器人每小时分别搬运多少干克化工原料？（ ）A. 60,30B. 90,120C. 60,90D. 90,6011. 如图,边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ．E 是BC 边上一点,F 是BD 上一点,连接,DE EF ．若DEF 与DEC 关于直线DE 对称,则BEF △的周长是（ ）A.B. 2+C. 4-D.12. 已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是:该同学从家跑步去体育场,在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐,饭后骑自行车到图书馆．图中用x 表示时间,y 表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论:（1）体育场离该同学家2.5千米;（2）该同学在体育场锻炼了15分钟;（3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍;（4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍,则a 的值是3.75;其中正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本题5个小题,每小题3分,共15分）13. 分解因式:22a ab ab ++＝ ______．14. 如图,点()0,2A -,()1,0B ,将线段AB 平移得到线段DC ,若90ABC ∠=︒,2BC AB =,则点D 的坐标是_____．15. 为了促进城乡协调发展,实现共同富裕,某乡镇计划修建公路．如图:AB 与CD 是公路弯道的外、内边线,它们有共同的圆心O,所对的圆心角都是72︒,点A,C,O 在同一条直线上,公路弯道外侧边线比内侧边线多36米,则公路宽AC 的长是____米．（π取3.14,计算结果精确到0.1）16. 对于实数a ,b 定义运算“※”为3a b a b =+※,例如5253211=+⨯=※,则关于x 的不等式2x m <※有且只有一个正整数解时,m 的取值范围是____．17. 如图,在平面直角坐标系中,点A ,B 的坐标分别为()5,0,()2,6,过点B 作BC x ∥轴交y 轴于点C ,点D 为线段AB 上的一点,且2BD AD =．反比例函数(0)k y x x=>的图象经过点D 交线段BC 于点E ,则四边形ODBE 的面积是_____．三、解答题（本题4个小题,每小题6分,共24分）18. 计算:301tan602(π2024)2-⎛⎫--+︒+- ⎪⎝⎭． 19. 先化简,再求值:22422324x x x x x -⎛⎫+-÷+ ⎪+-⎝⎭,其中72x =-． 20. 综合实践活动中,数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图,无人机在离地面40米的D 处,测得操控者A 的俯角为30︒,测得楼BC 楼顶C 处的俯角为45︒,又经过人工测量得到操控者A 和大楼BC 之间的水平距离是80米,则楼BC 的高度是多少米？（点A B C D ，，，都在同一平面内,参考数据1.7≈）21. 从一副普通的扑克牌中取出五张牌,它们的牌面数字分别是4,4,5,5,6．（1）将这五张扑克牌背面朝上,洗匀后从中随机抽取一张,则抽取的这张牌的牌面数字是4的概率是多少？（2）将这五张扑克牌背面朝上,洗匀后从中随机抽取一张（不放回）,再从中随机抽取第二张．请用列表或画树状图的方法,求抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数的概率．四、解答题（本题7分）22. 如图,在平行四边形ABCD 中,点F 在边AD 上,AB AF =,连接BF ,点O 为BF 的中点,AO 的延长线交边BC 于点E ,连接EE（1）求证:四边形ABEF 是菱形:（2）若平行四边形ABCD 的周长为22,1,120CE BAD =∠=︒,求AE 的长．五、解答题（本题7分）23. 某市某校组织本校学生参加“市志愿者服务”活动,其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”,每名参加志愿者服务的学生只参加其中一项．为了解各项目参与情况,该校随机调查了部分参加志愿者服务的学生,将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据统计图信息,解答下列问题:（1）本次调查的学生共有______人,请补全条形统计图;（2）在扇形统计图中,求“敬老服务”对应的圆心角的度数;（3）该校共有2000名学生,若有60%的学生参加志愿者服务,请你估计参加“文明宣传”项目的学生人数．六、解答题（本题8分）24. 如图,在ABC 中,以AB 为直径的O 交BC 于点,D DE AC ⊥,垂足为E ． O 的两条弦,FB FD 相交于点,F DAE BFD ∠∠=．（1）求证:DE 是O 的切线;（2）若30,C CD ∠=︒=,求扇形OBD 的面积．七、解答题（本题10分）25. 某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果,经调查,这两种水果的进价和售价如表所示:该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元:购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元．（1）求,a b 的值;（2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售,其中甲种水果的数量不少于50千克,且不大于120千克．实际销售时,若甲种水果超过80千克,则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售完这两种水果获得的利润y （元）与购进甲种水果的数量x （千克）之间的函数关系式（写出自变量x 的取值范围）,并求出在获得最大利润时,超市的进货方案以及最大利润．八、解答题（本题13分）26. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像经过原点和点()4,0A ．经过点A 的直线与该二次函数图象交于点()1,3B ,与y 轴交于点C ．（1）求二次函数的解析式及点C 的坐标;（2）点P 是二次函数图象上的一个动点,当点P 在直线AB 上方时,过点P 作PE x ⊥轴于点E ,与直线AB交于点D,设点P的横坐标为m．※m为何值时线段PD的长度最大,并求出最大值;※是否存在点P,使得BPD△与AOC相似．若存在,请求出点P坐标;若不存在,请说明理由．2024年内蒙古呼伦贝尔市中考数学真题试卷答案一、选择题.1.【答案】A2.【答案】D3.【答案】C4.【答案】C5.【答案】D6.【答案】C7.【答案】A8.【答案】D9.【答案】B10.【答案】D11.【答案】A12.【答案】C二、填空题.13.【答案】2(1)a b +14.【答案】()4,4-15.【答案】28.716.【答案】103m ≤<17.【答案】12三、解答题.18.【答案】1119.【答案】3x +,12-20.【答案】楼BC 的高度为()40米． 21.【答案】（1）25 （2）35四、解答题.22.【答案】（1）见解析 （2）5AE =五、解答题.23.【答案】（1）200,画图略 （2）144︒（3）360人六、解答题.24.【答案】（1）见解析 （2）43π 七、解答题.25.【答案】（1）14a =,19b =（2）()()290050803130080120x x y x x ⎧+≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩,购进甲种水果80千克,乙种水果70千克,最大利润为1060元八、解答题.26.【答案】（1）24y x x =-+,()0,4C （2）※当52m =时,PD 有最大值为94;※当P 的坐标为()2,4或()3,3时,BPD △与AOC 相似。
内蒙古锡林郭勒盟(新版)2024高考数学人教版真题(评估卷)完整试卷
内蒙古锡林郭勒盟（新版）2024高考数学人教版真题(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题复数，则z的虚部为（）A．B．C．D．3第(2)题《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为A．B．C．D．第(3)题某大学开设选修课，要求学生根据自己的专业方向以及自身兴趣从个科目中选择个科目进行研修，已知某班级名学生对科目的选择如下所示，则、的一组值可以是（）科目国际金融统计学市场管理二战历史市场营销会计学人数A．，B．，C．，D．，第(4)题三个家庭的3位妈妈带着2名女宝和2名男宝共7人踏春，在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；2名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面.则不同的排法种数共有（）A．192种B．288种C．144种D．96种第(5)题如图，已知是半径为1的扇形内的一点，且，，，则阴影部分的面积为（）A．B．C．D．第(6)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(7)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(8)题若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知数列的前n项和为，，则（）A．是等差数列B．不是等差数列C．若是递增数列，则a的取值范围是D．若是递增数列，则a的取值范围是第(2)题三棱柱中，棱长均为2，顶点在底面上的投影为棱的中点，为的中点，是上的动点，则（）A．三棱柱的体积为1B．与平面所成的角为C．D．异面直线与所成角为第(3)题如图，已知椭圆的左、右顶点分别是，上顶点为，点是椭圆上任意一异于顶点的点，连接交直线于点，连接交于点（是坐标原点），则下列结论正确的是（）A．为定值B．C．当四边形的面积最大时，直线的斜率为1D．点的纵坐标没有最大值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为圆与的一个公共点，若，则当时，椭圆的离心率的取值范围为______.第(2)题若的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则该展开式中项的系数为______．（用数字作答）第(3)题函数的定义域是__________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，已知椭圆的左右顶点分别为A、B，P是椭圆上异于A、B的动点，满足，当为上顶点时，的面积为2.(1)求椭圆的方程；(2)若直线交直线于点，直线交椭圆于点，求证：直线过定点.第(2)题已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若存在，满足，且，，求实数a的取值范围．第(3)题已知函数．（1）求的对称轴；（2）在中，已知，，，求.第(4)题如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点不同于点），且为的中点．求证：（1）平面平面；（2）直线平面．第(5)题已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若关于x的不等式在区间上恒成立，求a的取值范围.。
内蒙古2024年高考文科数学真题及参考答案
内蒙古2024年高考文科数学真题及参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B = （）A．{}1,2,3,4B．{}3,2,1 C.{}4,3D．{}9,2,12．设z =，则z z ⋅=（）A．i-B．1C.1-D．23．若实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤--≥--09620220334y x y x y x ，则5z x y =-的最小值为（）A．5B．12C．2-D．72-4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（）A．2-B．73C．1D．295．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）A．14B．13C．12D．236．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为()10,4F 、()20,4F -，且经过点()6,4P -，则双曲线C 的离心率是（）A．4B．3C．2D．27．曲线()136-+=x x x f 在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为（）A．61B．2C．12D．23-8．函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[]8.2,8.2-的大致图像为（）9．已知cos cos sin ααα=-，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A．132+B．1-C．23D．31-10.已知直线02=-++a y ax 与圆01422=-++y y x C ：交于B A ,两点，则AB 的最小值为（）A.2B.3C.4D.611．已知m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，且m =βα .下列四个命题：①若m n ∥，则n α∥或n β∥；②若m n ⊥，则n α⊥，β⊥n ；③若n α∥且n β∥，则m n ∥；④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥，其中所有真命题的编号是（）A．①③B．②③C．①②③D．①③④12．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A．13B．13C．2D．13二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数()sin f x x x =-在[]0,π上的最大值是______．14.已知圆台甲、乙的上底面半径均为1r ，下底面半径均为2r ，圆台的母线长分别为()122r r -，()123r r -，则圆台甲与乙的体积之比为．15．已知1a >，8115log log 42a a -=-，则a =______．16．曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,+∞上有两个不同的交点，则a 的取值范围为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n S 的前n 项和．18．（12分）某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：（1）填写如下列联表：能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率5.0=p .设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果()np p p p -+>165.1，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为产品线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（247.12150≈）19．（12分）如图，在以F E D C B A ,,,,,为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，4,=AD AD EF AD BC ，∥∥，2===EF BC AB ，且10=ED ，32=FB ，M 为AD 的中点．（1）证明：∥BM 平面CDE ；（2）求点M 到ABF 的距离．20．（12分）已知函数()()1ln 1f x a x x =--+．（1）求()f x 的单调区间；（2）若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e x f x -<恒成立．21．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且MF x ⊥轴．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()0,4P 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，N 为FP 的中点，直线NB 与直线MF 交于Q ，证明：AQ y ⊥轴．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+．（1）写出C 的直角坐标方程；（2）直线x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线C 交于A 、B 两点，若2AB =，求a 的值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）实数a ，b 满足3a b +≥．（1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-≥．参考答案一、选择题1.A 解析：由题意可得{}843210，，，，，=B ，∴{}4,3,2,1=B A .2.D解析：∵i z 2=，∴i z 2-=，∴222=-=⋅i z z .3.D 解析：实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤--≥--09620220334y x y x y x ，作出可行域如图：由y x z 5-=可得z x y 5151-=，即z 的几何意义为z x y 5151-=的截距的51-，则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线z x y 5151-=过点A，联立⎩⎨⎧=-+=--09620334y x y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==123y x ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛1,23A ，则271523min -=⨯-=z .4.D解析：法一：利用等差数列的基本量由19=S ，根据等差数列的求和公式1289919=⨯+=d a S ，整理得13691=+d a ，又()92369928262111173=+=+=+++=+d a d a d a d a a a .法二：特殊值法不妨取等差数列公差0=d ，则有1991a S ==，∴911=a ，故有922173==+a a a .5.B解析：当甲排在排尾，乙排在第一位，丙有2种排法，丁有1种排法，共2种；当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁有1种排法，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理，乙排在排尾共4种排法，于是共8种排法，基本事件总数显然是2444=A ,根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为31248=.6.C解析：由题意，()4,01F ，()402-，F ，()4,6-P，则()()6446,10446,8222222121=-+==++===PF PF c F F ，则4610221=-=-=PF PF a ,24822===a c e .7.A解析：()365+='x x f ，则()30='f ，∴该切线方程为x y 31=-，即13+=x y ，令0=x ，则1=y ，令0=y ，则31-=x ，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积6131121=-⨯⨯=S .8.B解析：()()()()()x f x e e x x e ex x f x x x x=-+-=--+-=---sin sin 22，又函数定义域为[]8.2,8.2-，故函数为偶函数，可排除A,C，又()021*******sin 111sin 111>->--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+->⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=e e e e e e e f π，故排除D.9.B 解析：∵cos cos sin ααα=-，∴3tan 11=-α，解得331tan -=α，∴132tan 11tan 4tan -=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ααπα.10.C 解析：由题意可得圆的标准方程为：()5222=++y x ，∴圆心()20-，C ,半径为5，直线02=-++a y ax 可化为()()021=++-y x a ，∴直线过定点()21-，D ,当AB CD ⊥时，AB 最小，易得1=CD ，故()415222=-⨯=AB .11.A 解析：对①，当α⊂n ，∵n m ∥，β⊂n ，则β∥n ，当β⊂n ，∵n m ∥，α⊂m ，则α∥n ，当n 既不在α也不在β内，∵n m ∥，βα⊂⊂m m ,，则α∥n 且β∥n ，故①正确；对②，若n m ⊥，则n 与βα，不一定垂直，故②错误；对③，过直线n 分别作两平面与βα，分别相交于直线s 和直线t ，∵α∥n ，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知s n ∥，同理可得t n ∥，则t s ∥，∵⊄s 平面β，⊂t 平面β，则∥s 平面β，∵⊂s 平面α，m =βα ，则m s ∥，又∵s n ∥，则n m ∥，故③正确；对④，若m =βα ，n 与βα，所成的角相等，如果βα∥，∥n n ，则n m ∥，故④错误；综上，①③正确.12.C 解析：∵3π=B ，294b ac =，则由正弦定理得31sin 94sin sin 2==B C A .由余弦定理可得：ac ac c a b 49222=-+=，即ac c a 41322=+，根据正弦定理得1213sin sin 413sin sin 22==+C A C A ，∴()47sin sin 2sin sin sin sin 222=++=+C A C A C A ，∵A,C 为三角形内角，则0sin sin >+C A ，则27sin sin =+C A .二、填空题13.2解析：()⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=3sin 2cos 23sin 212cos 3sin πx x x x x x f ，当[]π,0∈x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-32,33πππx ，当23ππ=-x 时，即65π=x 时()2max =x f .14.46解析：由题可得两个圆台的高分别为：()[]()()1221221232r r r r r r h -=---=甲，()[]())12212212223r r r r r r h -=---=乙∴()()()()462233131121212121212=--==++++=r r r r h h h S S S S h S S S S V V 乙甲乙甲乙甲.15.64解析：由25log 21log 34log 1log 1228-=-=-a a a a ，整理得()06log 5log 222=--a a ，可得1log 2-=a 或6log 2=a ，又1>a ，∴6log 2=a ，∴6426==a .16.()1,2-解析：令()a x x x +--=-2313，即1523+-+=x x x a ，令()()01523>+-+=x x x x x g ，则()()()1535232-+=-+='x x x x x g ，令()()00>='x x g 得1=x ，当()1,0∈x 时，()0<'x g ，()x g 单调递减；当()+∞∈,1x 时，()0>'x g ，()x g 单调递增，()()21,10-==g g ，∵曲线x x y 33-=与()a x y +--=21在()∞+，0上有两个不同的交点，∴等价于a y =与()x g 有两个交点，∴()1,2-∈a .三、解答题17.解：（1）∵3321-=+n n a S ，∴33221-=++n n a S ，两式相减可得121332+++-=n n n a a a ，即1253++=n n a a ，∴等比数列{}n a 的公比35=q ，当1=n 时有35332121-=-=a a S ，∴11=a ，∴135-⎪⎭⎫⎝⎛=n n a .（2）由等比数列求和公式得2335233513511-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=nn n S ，∴数列{}n S 的前n 项和nS S S S T nn n 23353535352332321-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=++++= 4152335415233513513523--⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅=n n n n.18.解：（1）根据题意可得列联表：可得()6875.416755496100507024302615022==⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ，∵635.66875.4841.3<<，∴有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异.（2）由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为64.015096=，用频率估计概率可得64.0=p ，又因为升级改造前该工厂产品的优级品率5.0=p ，则()()568.0247.125.065.15.01505.015.065.15.0165.1≈⨯+≈-⨯⨯+=-+n p p p ，可知()np p p p -+>165.1，∴可以认为产品线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.19.解：（1）∵AD BC ∥，2=EF ，4=AD ，M 为AD 的中点，∴MD BC MD BC =，∥，则四边形BCDM 为平行四边形，∴CD BM ∥，又∵⊄BM 平面CDE ，⊂CD 平面CDE ，∴∥BM 平面CDE .（2）如图所示，作AD BO ⊥交AD 于点O ，连接OF .∵四边形ABCD 为等腰梯形，4,=AD AD BC ∥，2==BC AB ，∴2=CD ，结合（1）可知四边形BCDM 为平行四边形，可得2==CD BM ，又2=AM ，∴ABM ∆为等边三角形，O 为AM 的中点，∴3=OB .又∵四边形ADEF 为等腰梯形，M 为AD 中点，∴MD EF MD EF ∥,=，四边形EFMD 为平行四边形，AF ED FM ==，∴AFM ∆为等腰三角形，ABM ∆与AFM ∆底边上中点O 重合，3,22=-=⊥AO AF OF AM OF ，∵222BF OFOB =+，∴OF OB ⊥，∴OF OD OB ,,互相垂直，由等体积法可得ABM F ABF M V V --=，233243213121312=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=∆-FO S V ABM ABM F ,由余弦定理，()()10212102322102cos 222222=⋅⋅-+=⋅-+=∠ABF A FB AB F A F AB ，∴10239cos 1sin 2=∠-=∠F AB F AB .则2391023921021sin 21=⋅⋅⋅=∠⋅⋅=∆F AB AB F A S F AB ，设点M 到面ABF 的距离为d ，则有232393131=⋅⋅=⋅⋅==∆--d d S V V F AB ABM F ABF M ，解得13133=d ，即点M 到面ABF 的距离为13133.20.解：（1）由题意可得()x f 定义域为()∞+，0，()xax x a x f 11-=-='，当0≤a 时，()0<'x f ，故()x f 在()∞+，0上单调递减；当0>a 时，令()0='x f ，解得ax 1=，当⎪⎭⎫⎝⎛+∞∈,1a x 时，()0>'x f ，()x f 单调递增；当⎪⎭⎫⎝⎛∈a x 1,0时，()0<'x f ，()x f 单调递减；综上所述：当0≤a 时，()x f 在()∞+，0上单调递减；当0>a 时，()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1a 上单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛a 1,0上单调递减.（2）当2≤a 且1>x 时，()()x x e x x a e x f ex x x ln 121ln 1111+++≥-+--=----，令()()1ln 121>++-=-x x x ex g x ，则()()1121>+-='-x xe x g x ，令()()x g x h '=，则()()1121>-='-x xex h x ，显然()x h '在()∞+，1上单调递增，则()()0110=-='>'e h x h ，因()()x h x g ='，则()x g '在()∞+，1上单调递增，故()()01210=+-='>'e g x g ，即()x g 在()∞+，1上单调递增，故()()01ln 1210=++-=>e g x g ，即()()()01ln 111>≥-+--=---x g x x a e x f ex x ，∴当1>x 时，()1-<x ex f 恒成立.21.解：（1）设()0,c F ，由题设有1=c ，且232=a b ，故2312=-a a ，解得2=a ，故3=b ，故椭圆方程为：13422=+y x .（2）由题意知，直线AB 额斜率一定存在，设为k ，设()()()2211,,,,4:y x B y x A x k y AB -=，由()⎪⎩⎪⎨⎧-==+413422x k y y x 可得()0126432432222=-+-+k x k x k ，∵()()012644341024224>-+-=∆kkk ，∴2121<<-k ，由韦达定理可得22212221431264,4332kk x x k k x x +-=+=+，∵⎪⎭⎫ ⎝⎛0,25N ，∴直线⎪⎭⎫ ⎝⎛--=252522x x y y BN ：，故52325232222--=--=x y x y y Q，∴()()()()524352452352523222122212211--+-⋅-=-+-=-+=-x x k x x k x y x y x y y y y Q()0528433254312642528522222222121=-++⨯-+-⨯=-++-=x k k k k k x x x x x k 故Q y y =1，即AQ y ⊥轴．22.解：（1）由1cos +=θρρ，将⎪⎩⎪⎨⎧=+=xy x θρρcos 22代入1cos +=θρρ，可得122+=+x y x ，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为122+=x y .（2）对于直线l 的参数方程消去参数t ，得直线的普通方程为a x y +=.法一：直线l 的斜率为1，故倾斜角为4π，故直线的参数方程可设为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==s a y s x 2222，R s ∈.将其代入122+=x y 中得)()01212222=-+-+a s a s .设B A ,两点对应的参数分别为21,s s ，则()()12,12222121-=--=+a s s a s s ，且()()01616181822>-=---=∆a a a ，故1<a ，∴()()()218184222122121=---=-+=-=a a s s s s s s AB ，解得43=a .法二：联立⎩⎨⎧+=+=122x y ax y ，得()012222=-+-+a x a x ，()()088142222>+-=---=∆a a a ，解得1<a ，设()()2211,,,y x B y x A ，∴1,2222121-=-=+a x x a x x ，则()()()21422241122212212=---⋅=-+⋅+=a a x x x x AB ，解得43=a .23.解：（1）∵()()0222222222≥-=+-=+-+b a b ab a b a b a ，当b a =时等号成立，则()22222b a b a +≥+，∵3≥+b a ，∴()b a b a b a +>+≥+22222.（2）()b a b a a b b a ab b a +-+=-+-≥-+-222222222222()()()()()623122222=⨯≥-++=+-+≥+-+=b a b a b a b a b a b a .。
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往年内蒙古普通高中会考数学真题及答案一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的4个选项中,只有1项是符合题要求的） 1.已知集合M={x|3)1(-x x ≥0},集合N={y|y=3x 2+1,x ∈R},则M ∩N= A.Φ B.{x|x ≥1} C.{x|x ﹥1} D.{x|x ≥1或x ﹤0} 2.函数f(x)=3x(0＜x ≤2)的反函数的定义域为A.(0,+∞)B.（1,9]C.(0,1)D.[9,+∞) 3.“|x-1|﹤2成立”是“x(x-3)﹤0成立”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 4.下列函数中,在其定义域上既是奇函数又是增函数的是 A. y=-log 2x B.y=x 3+x C.y=3xD.y=-x1 5.已知等差数列{a n }满足a 2+a 4= 4,a 3+a 5=10,则它的前10项和S 10等于 A.138 B.135 C.95 D.23 6.已知sin α=55,sin(βα-)=-1010,α、β均为锐角,则β等于A.125π B.3π C.4π D.6π 7. 设函数y=f(x)定义在R 上,则函数y=f(x-1)与函数y=f(1-x)的图像关于 A.直线y=0对称 B.直线x=0对称 C.直线y=1对称 D.直线x=1对称 8．已知数列{a n }的通项公式a n ＝log 2n +1n +2(n ∈N ＋),设其前n 项和为S n ,则使 S n <－5成立的正整数nA ．有最小值63B ．有最大值63C ．有最小值31D ．有最大值319．设数列{a n }是公比为a (a ≠1),首项为b 的等比数列,S n 是前n 项和,对任意的n ∈N ＋ ,点(S n ,S n +1)在A ．直线y ＝ax －b 上B ．直线y ＝bx ＋a 上C ．直线y ＝bx －a 上D ．直线y ＝ax ＋b 上 10.锐角三角形的内角A 、B 满足tan A －A2sin 1＝ tan B,则有A ．sin 2A –cosB ＝ 0 B ．sin 2A ＋ cos B ＝ 0C ．sin 2A – sin B ＝ 0D ．sin2A ＋sinB ＝011.在△ABC 中,sinA=54,cosB=1312-,则cosC 等于 A ．6556 B ．6516- C ．6556或6516- D 6533-12. 已知f(x)=bx+1为x 的一次函数, b 为不等于1的常数, 且 g(n)=⎩⎨⎧≥-=)1()]1([)0(1n n g f n , 设a n = g(n)－g(n-1) (n ∈N ※), 则数列｛a n ｝是A 等差数列B 等比数列C 递增数列D 递减数列 二.填空题（本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中的横线上）13 .在83和272之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为_____.14. 21cos sin =⋅βα,则βαsin cos ⋅范围 。
15.设等比数列}{n a 的公比为q,前n 项和为S n ,若S n+1,S n ,S n+2成等差数 列,则q 的值是_______________ 16.下列命题正确的有_________。
①若－2π＜α＜β＜2π,则βα-范围为（－π,π）； ②若α在第一象限,则2α在一、三象限；③若θsin =53+-m m ,524cos +-=m mθ,则m ∈（3,9）；④2sin θ=53,2cos θ=54-,则θ在一象限。
三.解答题：（本大题共6小题,共计70分.） 17. （本小题满分10分） 已知sin(α＋β)=－53,cos(βα-)=1312,且2π＜β＜α＜43π,求sin2α.18. （本小题满分12分）已知数列))}1({log *2N n a n ∈-为等差数列,且.9,331==a a 求数列}{n a 的通项公式19. （本小题满分12分） 已知),2,4(,41)24sin()24sin(ππααπαπ∈=-⋅+ 求1cot tan sin22--+ααα的值.20. （本小题满分12分）设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2,}{n b 为等比数列,且.)(,112211b a a b b a =-=（Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （Ⅱ）设nnn b a c =,求数列}{n c 的前n 项和T n .21 （本小题满分12分）已知{n a }是公比为q 的等比数列,且231,,a a a 成等差数列. （Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）设{n b }是以2为首项,q 为公差的等差数列,其前n 项和为S n ,当n ≥2时,比较S n 与b n 的大小,并说明理由..22. （本小题满分12分） 已知)2(41)(2-<-=x x x f ,)(x f 的反函数为)(x g ,点)1,(1+-n n a a A 在曲线)(x g y =上)(*∈N n ,且11=a (I)求)(x g y =的表达式； (II)证明数列{21na }为等差数列；(Ⅲ)设1111++=n n n a a b ,记n n b b b S +++= 21,求n S参考答案一、CBBBC CDADA AB 13. 216; 14.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21 15.–2 16. ②④ 17.解: ∵2π＜β＜α＜43π ∴40,23πβαπβαπ<-<<+<∵sin(α＋β)=－53,cos(βα-)=1312 ∴cos(α＋β)=54- sin(βα-)=135∴)]()sin[(2sin βαβαα-++==6556-. 18.解:设等差数列)}1({log 2-n a 的公差为d .由,8log 2log )2(log 29,322231+=+==d a a 得即d =1.所以,)1(1)1(log 2n n a n =⨯-+=-即.12+=nn a19.解: 由)24sin()24sin(a a -⋅+ππ= )24cos()24sin(a a +⋅+ππ=,414cos 21)42sin(21==+a a π 得.214cos =a 又)2,4(ππ∈a ,所以125π=a .于是ααααααααααα2sin 2cos 22cos cos sin cos sin 2cos 1cot tan sin 2222-+-=-+-=--+==)65cot 265(cosππ+-=325)3223(=--- 20.解：（Ⅰ）当;2,111===S a n 时,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列. 设{b n }的通项公式为.41,4,,11=∴==q d b qd b q 则 故.42}{,4121111---=⨯-=n n n n n n b b q b b 的通项公式为即（II ）,4)12(422411---=-==n n nn nn n b a c]4)12(4)32(454341[4],4)12(45431[13212121nn n n n n n n T n c c c T -+-++⨯+⨯+⨯=-++⨯+⨯+=+++=∴--两式相减得].54)56[(91]54)56[(314)12()4444(2131321+-=∴+-=-+++++--=-n n n n n n n T n n T21（Ⅰ）由题设,2,21121213q a a q a a a a +=+=即 .012,021=--∴≠q q a.211-=∴或q（Ⅱ）若.2312)1(2,12nn n n n S q n +=⋅-+==则 当.02)2)(1(,21>+-==-≥-n n S b S n n n n 时 故.n n b S >若.49)21(2)1(2,212nn n n n S q n +-=--+=-=则 当,4)10)(1(,21---==-≥-n n S b S n n n n 时故对于.,11;,10;,92,n n n n n n b S n b S n b S n N n <≥==>≤≤∈+时当时当时当 22.解：（Ⅰ）由y =412-x 得2214yx =-,∴2214yx +=∵x <—2,∴214yx +-=,∴g(x )= 214x+-（x >0） ……3分(II)∵点A n (a n ,11+-n a )在曲线y =g (x )上(n ∈N +),∴11+-n a =g (a n )=214na +-,并且a n >021141nn a a +=∴+,),1(411221N n n a a n n ∈≥=-∴+,∴数列{21n a }为等差数列 …7分(III)∵数列{21n a }为等差数列,并且首项为211a =1,公差为4,∴21na =1+4（n —1）,∴3412-=n a n ,∵a n >0,∴341-=n a n , ……9分b n ＝1111++n n a a =4341414341--+=++-n n n n ,∴S n ＝b 1＋b 2+…＋b n =43414.......459415--+++-+-n n =4114-+n。