本小题满分12分
河南省南阳市2024届高三上学期期中考试数学
2023年秋期高中三年级期中质量评估数学试题注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效。
2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上3.选择题答案使用2B 铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.5.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
第I 卷 选择题（共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列集合中，表示空集的是A.{}0 B.{}2,2x x x <->且C.{}210x x ∈-=N D.{}4x x >2.命题“0x ∃∈R ，20010x x ++…”的否定为A.x ∀∈R ，210x x ++> B.x ∃∈R ，210x x ++>C.x ∀∈R ，210x x ++… D.x ∃∈R ，210x x ++<3.若复数z 满足()12z i +=，则z z -=A.2- B.2C.4i- D.4i4.公比不为1的等比数列{}n a 满足574816a a a a +=，若23964m a a a a =，则m 的值为A.8B.9C.10D.115.若函数()()24125xxf x a a =--+-有两个零点，则实数a 的取值范围为A.71,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ B.(- C.73⎫⎪⎭D.53⎫⎪⎪⎭6.已知0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()sin sin x αα=，()sin cos y αα=，()cos sin z αα=，则A.x y z<< B.x z y << C.y x z << D.z x y<<7.已知a ，b ，c 分别为ABC △的三个内角A ，B ，C 的对边，若点P 在ABC △的内部，且满足PAB PBC PCA ∠∠∠θ===，则称P 为ABC △的布洛卡（Brocard ）点，θ称为布洛卡角.布洛卡角满足：cot cot cot cot A B C θ=++（注：tan cot 1x x =）.则PA PB PC c a b++=A.2sin θB.2cos θC.2tan θD.2cot θ8.已知()212xf x ae x ax =+-在()0,+∞上单调递减，则实数a 的取值范围为A.(],1-∞- B.(),1-∞- C.()0,+∞ D.[)0,+∞二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.如图是函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象，则函数()f x =A.sin 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭B.sin 23x π⎛⎫-⎪⎝⎭C.cos 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭D.5cos 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭10.已知n S 是数列{}n a 的前n 32n n S a =+，则A.{}n a 是等比数列 B.9100a a +>C.910110a a a > D.0n S >11.设,x y ∈R ，若2241x y xy ++=，则x y +的值可能为A.2- B.1- C.1D.212.设0a ≠，若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极小值点，则下列关系可能成立的是A.0a >且a b >B.0a >且a b <C.0a <且a b< D.0a <且a b>第II 卷 非选择题（共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.一个正实数的小数部分的2倍，整数部分和自身成等差数列，则这个正实数是______.14.四边形ABCD 中，2AD =，3CD =，BD 是四边形ABCD 的外接圆的直径，则AC BD ⋅=______.15.奇函数()f x 满足()()21f x f x +=-，()12023f -=，则()2023f =______.16.互不相等且均不为1的正数a ，b ，c 满足b 是a ，c 的等比中项，则函数()2xxx f x a bc -=++的最小值为______.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为()*n S n ∈N，数列{}nb 为等比数列.已知111ab ==，523a b =，424S S =.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .18.（本小题满分12分）已知函数()21cos sin 2f x x x x ωωω=-+，其中0ω>，若实数1x ，2x 满足()()122f x f x -=时，12x x -的最小值为2π.（1）求ω的值及()f x 的单调递减区间；（2）若不等式()22cos 22206f x a x a π⎛⎫⎡⎤++--< ⎪⎣⎦⎝⎭对任意,126x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时恒成立，求实数a 的取值范围.19.（本小题满分12分）记n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知221nn S n a n+=+.（1）证明：{}n a 是等差数列；（2）若1a ，3a ，7a 成等比数列，求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2024项的和.20.（本小题满分12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足_____.（从以下两个条件中任选一个补充在上面横线上作为已知，将其序号写在答题卡的横线上并作答.）条件①：()()sin sin sin 3sin b c B C a A b C ++=+条件②：25cos cos 24A A π⎛⎫++=⎪⎝⎭（1）求角A ；（2）若ABC △为锐角三角形，1c =，求ABC △面积的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数()3f x x x =-，()2g x x a =+，a ∈R ，曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线也是曲线()y g x =的切线.（1）若11x =，求a ；（2）求a 的取值范围.22.（本小题满分12分）（1）已知函数()ln f x x x =，判断函数()()()11g x f x f x =++-的单调性并证明；（2）设n 为大于1的整数，证明：()()1111211nnn n n +-+->.2023年秋期高中三年级期中质量评估数学参考答案一.选择题：1-8.BADCCDBA 二.选择题：9.BC10.ABD11.BC12.AC三.填空题：13.43或8314.5-15.2023-16.4四.解答题：17.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由424S S =可得()114642a d a d +=+，即()6442d d +=+，解得2d =，所以，()()1112121n a a n d n n =+-=+-=-，25339b q a ===，∴3q =则1113n n n b b q--==；（2）()1213n n n a b n -=-⋅，则()0121133353213n n T n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅①，可得()()12131333233213n n n T n n -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅②，①-②得：()()()()1121613212333213121313n n n nn T n n ----=+++⋅⋅⋅+--⋅=+--⋅-()2232n n =-⋅-，因此，()131nn T n =-⋅+18.解：（1）()21cos sin 2f x x x x ωωω=-+1cos2122x x ωω-=-+1cos22x x ωω=+sin 26x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为实数1x ，2x 满足()()122f x f x -=时，12x x -的最小值为2π.所以()f x 的最小正周期22T ππω==，解得1ω=，所以()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由()3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得()f x 的单调递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）不等式()22cos 22206f x a x a π⎛⎫⎡⎤++--< ⎪⎣⎦⎝⎭对任意,126x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时恒成立，()22cos 2226f x a x a π⎛⎫⎡⎤++-- ⎪⎣⎦⎝⎭2sin 22cos 22266x a x a ππ⎛⎫⎛⎫=+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 22cos 22166x a x a ππ⎛⎫⎛⎫=-+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令cos 26t x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，20,62x ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴()cos 20,16x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭22210t at a -+--<，()0,1t ∈()2211a t t -<+，2121t a t +>-恒成立令()11,0m t =-∈-，221222211t m m m t m m+++==++<--∴21a -…，解得：12a ≥-，故实数a 的取值范围是1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭19.解：（1）因为221nn S n a n+=+，即222n n S n na n +=+①，当2n ≥时，()()()21121211n n S n n a n --+-=-+-②，①-②得，()()()22112212211n n n n S n S n na n n a n --+---=+----，即()12212211n n n a n na n a -+-=--+，即()()()1212121n n n a n a n ----=-，所以11n n a a --=，2n ≥且*N n ∈，所以{}n a 是以1为公差的等差数列.（2）由（1）可得312a a =+，16a a =+又1a ，3a ，7a 成等比数列，所以()()211126a a a +=⋅+，解得12a =，所以1n a n =+∴()()111111212n n a a n n n n +==-++++.∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2024项和为：111111111150623344520252026220261013⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭20.解：解析：（1）选择条件①：由题意及正弦定理知()223b c a bc +=+，∴222a b c bc =+-，∴2221cos 22b c a A bc +-==∵0A π<<，∴3A π=.选择条件②：因为25cos cos 24A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以25sin cos 4A A +=，即251cos cos 4A A -+=，解得1cos 2A =，又0A π<<，所以3A π=（2）由sin sin b cB C=可得sin sin 3sin sin C B b C Cπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==112tan C==+因为ABC △是锐角三角形，由（1）知3A π=，A B C π++=得到23B C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<，所以122b <<.1sin 2ABC S bc A ==△，ABC S ∈△21.解：（1）由题意知，()10f =，()231f x x =-'，()1312f =-='，则()y f x =在点()1,0处的切线方程为()21y x =-，22y x =-设该切线与()g x 切于点()()22,x g x ，()2g x x '=，则()2222g x x =='，解得21x =，则()11220g a =+=-=，解得1a =-；（2）因为()231f x x =-'，则()y f x =在点()()11,x f x 处的切线方程为()()()32111131y x x x x x --=--，整理得()2311312y x x x =--，设该切线与()g x 切于点()()22,x g x ，()2g x x '=，则()222g x x '=，则切线方程为()()22222y x a x x x -+=-，整理得2222y x x x a =-+，则21232123122x x x x a ⎧-=⎨-=-+⎩，整理得2223343212111113193122222424x a x x x x x x ⎛⎫=-=--=--+ ⎪⎝⎭，令()4329312424h x x x x =--+，则()()()329633311h x x x x x x x '=--=+-，令()0h x '>，解得103x -<<或1x >，令()0h x '<，解得13x <-或01x <<，则x 变化时，()h x '，()h x 的变化情况如下表：则()h x 的值域为[)1,-+∞，故a 的取值范围为[)1,-+∞22.解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，函数()g x 的定义域为()1,1-函数()()()()()1ln 11ln 1g x x x x x =+++--在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递增证明：()()()()()1ln 11ln 1g x x x x x -=--+++，∴()()g x g x -=所以()g x 为()1,1-上的偶函数.()()()12ln 1ln 1lnln 1011x g x x x x x '+⎛⎫=+--==--> ⎪--⎝⎭对()0,1x ∀∈恒成立.所以函数()g x 在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递增（2）（证法一）要证明()()1111211nnn n n +-+->，需证明()()11111111111n nnnn n nn+-+-+⋅->⋅即证明()()1111111111ln 0n n n n n n n n +-+-⎡⎤+-⎢⎥⋅>⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即11111ln 11ln 10n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++--> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由（1）可知即证10g n ⎛⎫>⎪⎝⎭.∵()10,1n ∈且()g x 在()0,1单调递增，∴()100g g n ⎛⎫>= ⎪⎝⎭所以()()1111211nnn n n +-+->对*n N ∈，1n >成立.（证法二）要证明()()1111211nnn n n +-+->即证明()()111ln 11ln 12ln n n n n n ⎛⎫⎛⎫+++--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即证()()()()1ln 11ln 12ln n n n n n n +++-->，即证()()()()1ln 1ln ln 1ln 1n n n n n n n n ++->---设函数()()()1ln 1ln g x x x x x=++-()()ln 1ln 0g x x x =+->'，故函数()g x 在()0,+∞上单调递增又1n n >-，∴()()1g n g n >-，故原不等式成立.。
2024-2025学年八年级数学上学期期中模拟卷(冀教版,八上第12~15章)(全解全析)
2024-2025学年八年级数学上学期期中模拟卷（冀教版）（满分120分，时间120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：冀教版八年级上册第十二章~第十五章。
5．难度系数：0.65。
第Ⅰ卷一、选择题（本大题共16个小题，共38分，1~6小题每题3分，7~16小题每题2分.每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．在实数15，0，p ）A ．1B ．2C ．3D ．42．若分式32x x +-有意义，则x 应满足的条件是（ ）A ．2x =B ．2x ¹C ．3x =-D ．3x ¹-∴20x -¹，∴2x ¹.故选：B.3．下列计算正确的是（ ）A =B =C =D 4=4．某校为了丰富学生的校园生活，准备购买一批陶笛．已知A 型陶笛比B 型陶笛的单价低20元，用2700元购买A 型陶笛与用4500元购买B 型陶笛的数量相同，设A 型陶笛的单价为x 元，根据题意列出正确的方程是（ ）A ．2700450020x x =-B ．2700450020x x =-C ．2700450020x x =+D ．2700450020x x =+5．若23(4)270a b -++=，则2023()a b -+的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．26的值为（ ）A +B -C ．D ．7．若关于x 的方程311x m x x -=--产生增根，则m 的值是（ ）A ．3-B ．2-C ．2D ．08．若 6的整数部分是m ，小数部分是n ，则n m -为（ ）A 10B ．10C 2D ．89．如图，在Rt ABC △中，90C Ð=°，12cm AC =，6cm BC =，一条线段PQ AB =，P ，Q 两点分别在线段AC 和AC 的垂线AX 上移动，若以A 、B 、C 为顶点的三角形与以A 、P 、Q 为顶点的三角形全等，则AP 的值为（ ）A ．6cmB ．12cmC ．12cm 或6cmD ．以上答案都不对【答案】C 【解析】解：∵AX 是AC 的垂线，∴90BCA PAQ Ð=Ð=°，∵以A 、B 、C 为顶点的三角形与以A 、P 、Q 为顶点的三角形全等，只有ACB QAP V V ≌和ACB PAQ V V ≌两种情况，当ACB QAP V V ≌时，6cm AP BC ==；当ACB PAQ V V ≌时，∴12cm AP AC ==，故选：C ．10．已知()()341212A B m m m m m -+=----，则常数A ，B 的值分别是（ ）A ．1A =，2B =B ．2A =，1B =C ．1A =-，2B =-D ．2A =-，1B =-11．如图，小虎用10块高度都是3cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC BC =，90ACB Ð=°），点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE 的长度为（ ）A ．30cmB ．27cmC ．24cmD ．21cm 【答案】A 【解析】解：由题意得：AC BC =，90ACB Ð=°，AD DE ^，BE DE ^，90ADC CEB \Ð=Ð=°，90ACD BCE \Ð+Ð=°，90ACD DAC Ð+Ð=°，BCE DAC \Ð=Ð，在ADC △和CEB V 中，ADC CEB DAC BCE AC BC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AAS ADC CEB \V V ≌；由题意得：9cm AD EC ==，21cm DC BE ==，()30cm DE DC CE \=+=，答：两堵木墙之间的距离为30cm ．故选：A ．12．如图1，已知Rt ABC △、画一个Rt A B C ¢¢¢V ，使得Rt Rt AB C ABC ¢¢¢△≌△．在已有90MB N ¢Ð=°的条件下，图2，图3分别是嘉嘉、琪琪两位同学的画图过程．下列说法错误的是（ ）A ．嘉嘉第一步作图时，是以B ¢为圆心，线段BC 的长为半径画弧B ．嘉嘉作图判定两个三角形全等的依据是HLC ．琪琪第二步作图时，是以C ¢为圆心、线段AC 的长为半径画弧D ．琪琪作图判定两个三角形全等的依据是SAS【答案】C【解析】解：嘉嘉同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段BC 的长，第二步作图时，用圆规截取的长度是线段AC 的长，则判定Rt Rt A B C ABC ¢¢¢△≌△的依据是HL ，故选项A 、B 符合题意；琪琪同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段AB 的长，第二步作图时，截取的长度是线段BC 的长度，则判定Rt Rt A B C ABC ¢¢¢△≌△的依据是SAS ，故选项C 不符合题意，选项D 符合题意．故选：C ．13．根据分式的性质，可以将分式22211m m M m -+=-（m 为整数）进行如下变形：22211(1)2211111m m m m M m m m m -+-+-====--+++，其中m 为整数．结论Ⅰ：依据变形结果可知，M 的值可以为0；结论Ⅱ：若使M 的值为整数，则m 的值有3个．A ．Ⅰ和Ⅱ都对B ．Ⅰ和Ⅱ都不对C ．Ⅰ不对Ⅱ对D ．Ⅰ对Ⅱ不对14．如图，给出下列四组条件：①AB DE =，BC EF =，AC DF =；②AB DE =， B E Ð=Ð，BC EF =；③B E Ð=Ð，BC EF =，C F Ð=Ð；④AB DE =，AC DF =，B E Ð=Ð．其中，能使ABC DEF ≌△△的条件共有（ ）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组【答案】C 【解析】解：①AB DE =，BC EF =，AC DF =，可利用SSS 判定全等；②AB DE =， B E Ð=Ð，BC EF =，可利用SAS 判定全等；③B E Ð=Ð，BC EF =，C F Ð=Ð，可利用ASA 判定全等；④AB DE =，AC DF =，B E Ð=Ð，属于SSA ，不能判定全等，∴能判定ABC DEF ≌△△的条件有3组，故选：C ．15．如图，在ABC V 中，50ABC Ð=°，30C Ð=°，作BD 平分ABC Ð交边AC 于D ，过A 作AE BD ^于E ，延长AE 交边BC 于点F ，连接DF ，则CDF Ð的度数为（ ）A ．50°B ．60°C ．65°D ．70°【答案】D 【解析】解：50ABC Ð=°Q ，30C Ð=°，100BAC \Ð=°，BD Q 平分ABC Ð交边AC 于D ，过A 作AE BD ^于E ，25,90ABE FBE AEB FEB \Ð=Ð=°Ð=Ð=°，65BAE \Ð=°，10035DAF BAE \Ð=°-Ð=°，BE BE =Q ，()ASA ABE FBE \V V ≌，AE FE \=，,90DE DE AED FED =Ð=Ð=°Q ，()SAS AED FED \V V ≌，35DAF DFE \Ð=Ð=°，180110ADF DAE DFE \Ð=°-Ð-Ð=°，18070CDF ADF \Ð=°-Ð=°，故选：D ．16．如图，在ABC V 中，45ABC Ð=°，CD AB ^于点D ，BE 平分ABC Ð，且BE AC ^于点E ，与CD 相交于点F ，DH BC ^于点H BE 于点G ．下列结论：①BD CD =；②AD CF BD +=；③12CE BF =；④AE CF =．其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①②③④【答案】C 【解析】解：∵,45CD AB ABC ^Ð=°，∴BCD V 是等腰直角三角形，∴BD CD =，故①正确；在Rt DFB V 和Rt DAC V 中，∵90DBF BFD Ð=°-Ð,90DCA EFC Ð=°-Ð, 且BFD EFC Ð=Ð，CD，BG CG=，是直角边，∴CE CG<，错误；第Ⅱ卷二、填空题（本大题共3个小题，共10分；17小题2分，18~19小题各4分，每空2分，答案写在答题卡上）17．若关于x的分式方程1322m xx x--=--的解为正数，则m的取值范围是．故答案为：5m >-且1m ¹-．18．我市某中学举办剪纸艺术大赛，要求参赛作品的面积在220dm 以上，如图是小悦同学的参赛作品（单位：dm ）．（1）小悦的作品 （填“是”或“否）符合参赛标准；（2）小涵给小悦提出建议：在参赛作品周围贴上金色彩条，这样参赛作品更漂亮，则需要彩条的长度约为 dm 1.41»）．19．添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在Rt ABC △中，90ABC Ð=°，BD 是高，E 是ABC V 外一点，BE BA =，E C Ð=Ð，若25DE BD =，16AD =，20BD =，求BDE V 的面积，同学们可以先思考一下……，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在BD 上截取BF DE =．（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得：（1）BDE V ≌ ．（2）BDEV的面积为．BAD，BAD，ABD C\Ð=Ð，三、解答题（本大题共7个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（本小题满分9分）计算：2如图是某同学分式求值的错误过程．先化简，再求值：3444x xx x-----，其中x=解：原式34(4)(4)44x xx xx x--=×--×---34x x=-+-1=-(1)求原式正确的化简结果；(2)老师说：“虽然该过程有错误，但最后所求的值是正确的．”求图中被污染的x的值．某校为美化校园，计划对面积为22000m的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为2480m区域的绿化时，甲队比乙队少用6天．(1)求甲乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少2m？(2)在该次校园绿化工程中，设安排甲队工作y天①再安排乙队工作_____天，完成该工程（用含有y的式子表示）②若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.12万元，要使这次的绿化总费用不超过7.6万元，乙队的工作天数不超过34天，如何安排甲队的工作天数？如图，在ABC V 中，2AB AC ==，40B Ð=°，点D 在线段BC 上运动（点D 不与点B ，C 重合），连接AD ，作40ADE Ð=°，DE 交线段AC 于点E ．(1)当115BDA Ð=°时，EDC Ð_____ °，AED =∠_____ °．(2)若2DC =，试说明ABD DCE ≌△△．(3)在点D 的运动过程中，ADE V 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求BDA Ð的度数；若不可以，请说明理由．【解析】（1）解： AB AC =Q ，40C B \Ð=Ð=°，40ADE Ð=°Q ，115BDA Ð=°，18025EDC ADB ADE Ð=°-Ð-Ð=°Q ，254065AED EDC C \Ð=Ð+Ð=°+°=°，故答案为：25；65；（3分）（2）解：2AB =Q ，2DC =，AB DC AC \==．∴40B C ADE Ð=Ð=Ð=°180140ADB EDC ADE EDC \Ð=°-Ð-Ð=°-Ð，∵180EDC DEC C Ð+Ð+Ð=°．140DEC EDC \Ð+Ð=°，140DEC EDC °-\Ð=Ð，ADB DEC \Ð=Ð．在ABD △和DCE △中，ADB DEC B C AB DC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，(AAS)ABD DCE \△≌△；（6分）（3）解：ADE V 的形状可以是等腰三角形．①当DA DE =时，70DAE DEA Ð=Ð=°，7040110BDADAE C \Ð=Ð+Ð=°+°=°，②当AD AE =时，40AED ADE Ð=Ð=°，(AAS)ABD DCE \△≌△，100DAE \Ð=°，此时，点D 与点B 重合，不符合题意．③当EA ED =时，40DAE ADE Ð=Ð=°，404080BDA DAE C \Ð=Ð+Ð=°+°=°．综上所述，当BDA Ð的度数为110°或80°时，ADE V 的形状是等腰三角形．（10分）24．（本小题满分10分）嘉琪在学习《二次根式》时，发现一些含有根号的式子也可以写成完全平方式的形式，如(231+=，善于思考的嘉琪进行了如下探索：设(2a m +=+（其中a ，b，m ，n 均为正整数），则有2222a m n +=++．所以222,2=+=a m n b mn ．这样，嘉琪找到了把类似a +琪的方法探索并解决问题：(1)当a ，b ，m ，n 均为正整数时，若(2a m +=+，用含m ，n 的式子分别表示a 和b ；(2)利用所探索的结论，找一组满足（1）中关系式(2a m +=+的正整数a ，b ．m ．n ；(3)若(2a m +=+．且a ，b ，m ，n 均为正整数，求a 的值．223,2a m n b mn \=+=.（2分）（2）解：由（1）可得13412a b m n ====，，，.（6分）（3）解：由2b mn =可得42mn =，即2mn =，Q a ，m ，n 均为正整数，1,2m n \==或2,1m n ==当1,2m n ==时，22313a m n =+=；当2,1m n ==时，2237a m n =+=综上，a 的值为13或7．（10分）25．（本小题满分12分）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：2484(2)422x x x x x x x --==--，则称分式2482x x x --是“巧分式”，4x 为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题．(1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）；①(1)(23)(2)(1)(2)x x x x x --+-+；②253x x ++；③22x y x y-+．(2)若分式24x x m x n-++（m 、n 为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为7x -，求m 、n 的值；(3)若分式322x x A -+的“”1x -，请判断32242x x x A++是否是“巧分式”，并说明理由．【问题提出】如图1，在ABC V 中，90,BAC AB AC Ð=°=，直线l 经过点A ，分别从点,B C 向直线l 作垂线，垂足分别为,D E ．求证：ABD CAE △△≌；【变式探究】如图2，在ABC V中，AB AC =，直线1经过点A ，点,D E 分别在直线l 上，如果CEA ADB BAC Ð=Ð=Ð，猜想DE BD CE ，，有何数量关系，并给予证明；【拓展应用】小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以ABC V 的边AB AC ，为一边向外作BAD V 和CAE V ，其中90BAD CAE Ð=Ð=°，,,AB AD AC AE AG ==是边BC 上的高．延长GA 交DE 于点H ．（1）求证：点,D E 到直线HG 的距离相等；（2）经测量，50cm DE =，求HE 的长．【解析】解：【问题提出】证明：在Rt ADB △中，180,90,ABD BAD BDA BDA Ð+Ð+Ð=а°=90ABD BAD \Ð+Ð=°．又90,BAC Ð=°Q 90,BAD CAE Ð+Ð=°\ABD CAE \Ð=Ð，在ABD △和CAE V 中，90ABD CAE BDA AEC AB AC Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î，,,EMA AGC V V ≌DN \=的距离相等.（10分）EMH MHE ME =ÐÐ，∴DNH EMH V V ≌。
湖南省三湘名校教育联盟2023-2024学年高二上学期11月期中联考数学试卷(含答案)
三湘名校教育联盟2023-2024学年下学期高二期中联考数学本试卷共4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合()(){}430A x x x =∈+-<Z ，(){}2log 2B x y x ==-，则()RB A =ðA.[]2,2-B.{}1,0,1-C.{}2,1,0,1,2--D.∅2.已知复数z 的共轭复数z 满足()2i 1i z +=-，则z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知双曲线C ：()222210,0y x a b a b-=>>的焦距为4，则C 的渐近线方程为A.2y x =±B.y =C.12y x =±D.y = 4.已知数列{}n a 中，13a =，()1112n n a n a -=-…，则2023a 等于 A.12-B.13 C.23D.35.已知()111,P x y ，()222,P x y 是直线2023y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组11221,1x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩的解的情况，下列说法正确的是 A.无论k ，1P ，2P 如何，总是无解 B.无论k ，1P ，2P 如何，总有唯一解 C.存在k ，1P ，2P ，使12x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解D.存在k ，1P ，2P ，使之有无穷多解6.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，球O 是正方体的内切球，点G 是内切球O 表面上的一个动点，则GB GC ⋅的取值范围为A.[]0,4B.2⎡⎤-⎣⎦C.4,2⎡+⎣D.2⎡-+⎣7.已知定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x =--，当(]12,,0x x ∈-∞且12x x ≠时，()()12120f x f x x x -<-成立.若存在[]0,1x ∈使得()()212f ax x f a --<-成立，则实数a 的取值范围是A.(),1-∞B.()+∞C.(22---+D.()1,+∞8.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，M 和N 分别为实轴的右端点和虚轴的上端点，过右焦点F 的直线l 交C 的右支于A ，B 两点.若存在直线l 使得点M 为NAB △的重心，则C 的离心率为A.43C.2 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线l ：210kx y k -++=和圆O ：228x y +=，则 A.直线l 恒过定点()2,1 B.直线l 与圆O 相交C.存在k 使得直线l 与直线0l ：240x y -+=平行D.直线l 被圆O 截得的最短弦长为10.设函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是 A.若()f x 的最小正周期为π，则2ω= B.若1ω=，则()f x 的图象关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称C.若()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则403ω<< D.若()f x 在区间[]0,2π上恰有2个零点，则7131212ω<… 11.已知F 为抛物线E ：()220y px p =>的焦点，A ，B ，C 是E 上三点，且()1,2A ，则下列说法正确的是A.当B ，C ，F 三点共线时，BC 的最小值为4B.若12BC =，设B ，C 中点为M ，则点M 到y 轴距离的最小值为6C.若2BF FC =，O 为坐标原点，则BOC △的面积为2D.当AB AC ⊥时，点A 到直线BC的距离的最大值为12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段1B C 的中点，点F 和点P 分别满足111D F D C λ=，11D P D B μ=，其中[],0,1λμ∈，则下列说法正确的是A.BP ⊥平面AECB.AP 与平面11BDD B 所成角的取值范围为[]45,60︒︒C.PE PF +D.点P 到直线1B C的距离的最小值为6PE =三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知圆C 过点()0,0O ，且与直线40x y ++=相切，则满足要求的面积最小的圆C 的标准方程为______.14.已知3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2sin22sin 1tan ααα++的值为______.15.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，2AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，则此球的体积为______.16.如图，椭圆1C ：()2211221110x y a b a b +=>>和2C ：2222221x y a b +=有相同的焦点1F ，2F ，离心率分别为1e ，2e ，B 为椭圆1C 的上顶点，21F P F P ⊥，1F ，B ，P 三点共线且垂足P 在椭圆2C 上，则12e e 的最大值是______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，存在四点()0,1A ，()7,0B ，()4,9C ，()1,3D . （1）求过A ，B ，C 三点的圆M 的方程，并判断D 点与圆M 的位置关系； （2）若过D 点的直线l 被圆M 截得的弦长为8，求直线l 的方程. 18.（本小题满分12分）长沙市某中学近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，2023年5月该中学进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组[)40,50，第2组[)50,60，第3组[)60,70，第4组[)70,80，第5组[)80,90，第6组[]90,100，得到频率分布直方图（如图），观察图中信息，回答下列问题：（1）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的平均数和第71百分位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从成绩在第5组和第6组的学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1人成绩优秀的概率.19.（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，且cos sin 0b C C a c --=. （1）求角B ；（2）若点D 满足2AD DC =，且1BD =，求ABC △的面积的最大值. 20.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，90ABP ∠=︒，2AB BP ==，点D 在平面ABP 内的投影F 是AB 的中点，E 是PC 的中点.（1）证明：EF ∥平面ADP ；（2）若3PD =，求二面角D EF P --的正弦值.21.（本小题满分12分） 已知函数()2ee xx f x a =-，()ln g x x =.（1）求函数()26g x x --的单调递增区间；（2）若对任意21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在()1,0x ∈-∞，使得()()12f x g x ≠，求实数a 的取值范围；（3）若函数()()()F x f x f x =+-，求函数()F x 的零点个数. 22.（本小题满分12分）椭圆E ：22143x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F .过1F 作直线1l 交E 于A ，B 两点.过2F 作垂直于直线1l 的直线2l 交E 于C ，D 两点.直线1l 与2l 相交于点P . （1）求点P 的轨迹方程；（2）求四边形ACBD 面积的取值范围.三湘名校教育联盟・2023年下学期高二期中联考・数学参考答案、提示及评分细则1.【答案】C 【解析】因为()(){}{}433,2,1A x x x =∈+-<=--Z ，又(){}{}2l o g 222B x y xx x x ==-=><-或，{}22B x x =-R剟ð，所以(){}2,1,0,1,2B A =--Rð，故选C. 2.【答案】A【解析】由()2i 1i z +=-可得()()()()1i 2i 1i 13i 2i 2i 2i 55z ---===-++-，所以13i 55z =+，对应点为13,55⎛⎫⎪⎝⎭，在第一象限.故选A. 3.【答案】C【解析】由已知得，双曲线的焦点在y轴上，双曲线的焦距2c =c = 双曲线的实轴长为24a =，解得2a =，则4b ===，即双曲线C 的渐近线方程为12a y x xb =±=±.故选C. 4.【答案】D 5.【答案】B 【解析】由题意11222023,2023,y kx y kx =+⎧⎨=+⎩则()()()12211221122023202320230x y x y x kx x ky x x -=+-+=-≠，（直线2023y kx =+的斜率存在，∴12x x ≠），故1l ：111x x y y +=与2l ：221x x y y +=相交，∴方程组总有唯一解.A ，D 错误，B 正确；若1,2x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解，则112221,21,x y x y +=⎧⎨+=⎩则点()111,P x y ，()222,P x y 在直线21x y +=，即1122y x =-+上，但已知这两个点在直线2023y kx =+上，这两条直线不是同一条直线，∴1,2x y =⎧⎨=⎩不可能是方程组的一组解，C 错误.故选B. 6.【答案】D【解析】取BC 中点为H ，因为GB GH HB =+，GC GH HC =+， 所以2221GB GC GH HC GH ⋅=-=-，又GH GO OH =+，则2222GH GO OH GO OH =++⋅，又正方体的棱长为2，则正方体的内切球半径为1，则1GO =，2OH =，所以2322cos ,GH GO OH =+，所以21222cos ,GB GC GH GO OH ⋅=-=+，所以当GO ，OH 反向时，cos ,1GO OH =-，GB GC⋅有最小值为2-； 当GO ，OH 同向时，cos ,1GO OH =，GB GC ⋅有最大值为2+故选D. 7.【答案】D【解析】由条件可知函数()f x 在R 上单调递减.存在[]0,1x ∈使得()()212f ax xf a --<-成立等价于存在[]0,1x ∈使得不等式212ax x a -->-成立.由212ax x a -->-得()211x a x ->+，∵[]0,1x ∈，∴10x -…，∴①当1x =时，02>不成立；②当[)0,1x ∈时，211x a x +>-有解.求当[)0,1x ∈时，函数211x y x+=-的最小值.令(]()10,1t x t =-∈，则221(1)1221x t y t x t t+-+===+--， 而函数22y t t=+-是(]0,1上的减函数，所以当且仅当1t =，即0x =时，min 1y =. 故1a >，故选D. 8.【答案】A【解析】依题意，(),0M a ，()0,N b .点M 为NAB △的重心时，AB 中点3,22a b P ⎛⎫-⎪⎝⎭.设()11,B x y ，()22,A x y ，则2211221x y a b -=，2222221x y a b -=.两式作差得：22BA OP b k k a ⋅=.其中，3OP b k a=-.又因为B ，A ，F ，P 四点共线，所以232BA FPb k k ac ==-.故222332bb b a a ac -⋅=-，解得34c a =，故43e =.故选A.9.【答案】BD【解析】对于A ，由210kx y k -++=可得，()210k xy +-+=，令20x+=，即2x =-，此时1y =，所以直线l 恒过定点()2,1-，A 错误；对于B ，因为定点()2,1-=<()2,1-在圆内，所以直线l 与圆O 相交，B 正确；对于C ，因为直线0l ：240x y -+=的斜率为12，所以直线l 的斜率为12，此时直线l 的方程为240x y -+=，直线l 与直线0l 重合，故C 错误；对于D ，设直线l 恒过定点()2,1A -，圆心到直线l的最大距离为OA =，此时直线l 被圆O截得的弦长最短为=D 正确；故选BD. 10.【答案】AD【解析】对于A ，若()f x 的最小正周期为π，则2ππω=，解得2ω=，故A 正确；对于B ，若1ω=，则()sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，23x π=时，()2sin 136f x ππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故B 错误； 对于C ，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，,6626x πππωπω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，因为()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则6262ππωππ-<-…，解得403ω<…，故C 错误； 对于D ，[]0,2x π∈时，,2666x πππωπω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，若()f x 在[]0,2π上恰有2个零点， 则226πππωπ-<…，解得7131212ω<…，故D 正确.故选AD. 11.【答案】ACD 【解析】依题意，2p =.对于A 选项，当B ，C ，F 三点共线时，BC 为焦点弦.通径（垂直于对称轴的焦点弦）最短，最短为2p ，故A 正确；对于B 选项，12BF CF BC +=…（当且仅当B ，C ，F 三点共线时等号成立），即212B C x x ++…，故5M x …，所以点M 到y 轴距离的最小值为5，B 错误；对于C 选项，依题意，BC 为焦点弦且2BF CF =.不妨设直线BC 的倾斜角α为锐角，则1cos pBF α=+，1cos p CF α=-，解得1cos 3α=，故22sin 2p S α==C 正确；对于D 选项，设直线BC ：x my n =+，()11,B x y ，()22,C x y ，与抛物线方程联立，得：2440y my n --=.由韦达定理有：124y y m +=，124y y n ⋅=-.依题意121222111y y x x --⋅=---.即()()()()121222110y y my n my n --++-+-=，整理得：()()()22121212(1)40m y y mn m y y n ++--++-+=.代入韦达定理可得：()()22341n m -=+，解得()213n m =±++，其中()213n m =++时，直线过定点()5,2-，()213n m =-++时，直线过点A ，不符合题意，故直线BC 过定点()5,2P -，点A 到直线BC的距离最大值为AP =正确.故选ACD. 12.【答案】ACD【解析】对于A 选项，平面AEC 即为平面1AB C ，易知A 正确；对于选项B ：如图，连接AC 交BD 于点O ，连接OP ，知AO ⊥平面11BDD B ，所以APO ∠即为AP 与面11BDD B 所成角，所以2s i n AO APO AP AP ∠==，由P 在1D B 上知AP ∈⎣，所以1sin 2APO ∠⎡∈⎢⎣⎦，因为()0,90APO ∠∈︒︒，所以APO ∠的范围是[]30,60︒︒，即直线AP 与平面11BDD B 所成角的范围是[]30,60︒︒，故B 错误；对于C 项，把问题转化为在平面11ABC D 内求点P 使得PE PF +最小，如图，作点E 关于线段1D B 的对称点1E ，过点1E 作11D C ，AB 的垂线，垂足分别为F 和H ，则1PE PF E F +…，设1E BA ∠θ=，则()1111sin sin 3ABD C BD θ∠∠=-=，故11sin 6E H BE θ==，故166E F ==.对于D 项，当23μ=时，P ∈平面1AB C 且A ，P ，E 三点共线.此时1PE B C ⊥，1PE BD ⊥，即此时P 到直线1B C的距离最小，最小值为13AE =.故选ACD. 13.【答案】()()22112x y +++=【解析】过O 作直线40x y ++=的垂线，垂足为A . 当OA 为直径时，圆C 的面积最小.O 到直线40x y ++=的距离d ==可知半径r =(),a b 在直线0x y -=上，且222a b +=，解得1a =-，1b =-，所求圆的方程为()()22112x y +++=. 14.【答案】725-【解析】由3sin 45πα⎛⎫+=⎪⎝⎭)3cos sin 5αα+=，两边平方得72sin cos 25αα=-.所以()222sin cos cos sin sin22sin 2sin cos 2sin 72sin cos sin 1tan cos sin 251cos αααααααααααααααα+++====-+++. 15.【解析】由已知该三棱柱是直三棱柱，且底面是直角三角形，90ACB ∠=︒，设D ，1D 分别是AB ，11A B 的中点，O 是1DD 中点，则O 就是三棱柱外接球球心，121sin602ABC S =⨯⨯⨯︒=△，12V Sh DD ==⨯=，即12DD =，OA ===.所以334482333V OA πππ=⨯=⨯=.16.【答案】12【解析】由图知1111OF c e a BF ==，122212222OF c c e a a PF PF ===+ 则121212PF PF e e BF +=，设12PF F ∠θ=， 则()122sin cos PF PF c θθ+=⋅+，1cos c BF θ=则()121sin cos cos 242e e πθθθθ⎛⎫=+⋅=++ ⎪⎝⎭…. 17.【解析】（1）设圆M 方程为220x y Dx Ey F ++++=，把A ，B ，C 三点坐标代入可得：10,4970,1681490,E F D F D E F ++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩解得8D =-，8E =-，7F =，所以圆M 方程是228870x y x y +--+=把D 点坐标代入可得：1982470+--+<，故D 在圆M 内；（2）由（1）可知圆M ：()()224425x y -+-=，则圆心()4,4M ，半径5r =，由题意可知圆心到直线l 的距离是3，当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为：()1330y k x kx y k =-+⇒-+-=，3=，解得43k =-，故直线l 的方程为43130x y +-=； 当直线l 斜率不存在时，则直线l 方程为：1x =，此时圆心到直线l 的距离是3，符合题意.综上所述，直线l 的方程为43130x y +-=或1x =.18.【解析】（1）450.1550.26650.2750.3850.08950.0666.8x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以本次考试成绩的平均分约为66.8；因为成绩在[)40,70的频率为()0.010.0260.02100.56++⨯=，成绩在[)40,80的频率为0.560.03100.86+⨯=，所以第71百分位数位于[)70,80，设其为x ，则()0.56700.030.71x +-⨯=，解得75x =，所以第71百分位数为75；（2）第5组的人数为：500.008104⨯⨯=人，可记为A ，B ，C ，D ；第6组的人数为：500.006103⨯⨯=人，可记为a ，b ，c ；则从中任取2人，有(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B C ，(),B D ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),C D ，(),C a ，(),C b ，(),C c ，(),D a ，(),D b ，(),D c ，(),a b ，(),a c ，(),b c ，共21种情况，其中至少有1人成绩优秀的情况有(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),C a ，(),C b ，(),C c (),D a ，(),D b ，(),D c ，(),a b ，(),a c ，(),b c ，共15种情况.所以至少有1人成绩优秀的概率155217P ==.19.【解析】（1）由正弦定理可得：sin cos sin sin sin 0B C B C A C --=又在三角形ABC 中，()sin sin A B C =+，∴()sin cos sin sin sin 0B C B C B C C -+-=，sin cos sin sin 0B C B C C --=，又在三角形ABC 中，sin 0C >，cos 1B B -=，∴1sin 62B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∵()0,B π∈，∴3B π=；（2）由2AD DC =，可得()11123333BD BA AD BA AC BA BC BA BC BA =+=+=+-=+， 两边平方可得222144999BD BC BA BC BA =++⋅，即221441cos 999a c ac B =++， 所以229426a c ac ac =++…，当且仅当2a c =时取“=”，所以32ac …，所以1sin 2ABC S ac B =…△所以ABC △. 20.【解析】（1）证明：取DP 的中点G ，连接EG ，GA∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB CD ∥，∵F 为AB 中点，∴AF CD ∥，且12AF CD =， ∵G 为DP 中点，E 为CP 中点，∴EG 为CDP △的中位线，∴EG CD ∥，且12EG CD =， 即AF EG ∥，且AF EG =，故四边形AFEG 是平行四边形，∴EF AG ∥，又AG ⊂平面ADP ，EF ⊄平面ADP ，∴EF ∥平面ADP ；（2）取CD 中点N ，连接BN ，∵点D 在平面ABP 内的投影为F ，∴DF ⊥平面ABP .∵PF ===3DP =∴2DF ===，∵BN CD ⊥，则2BN DF ==，由于BA ，BN ，BP 两两垂直，则可以点B 为坐标原点建系，以BA 为x 轴，BP 为y 轴，BN 为z 轴，则有()0,0,0B ，()2,0,0A ，()0,2,0P ，()1,0,0F ，1,1,12E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,0,2D ， 则3,1,12DE ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，3,1,12EF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()1,2,0FP =-， 设平面DEF 的法向量为()1111,,n x y z =，则110,0,DE n EF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11111130,230,2x y z x y z ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩ 令13y =，则12x =，10z =，故()12,3,0n =，设平面PEF 的法向量为()2222,,n x y z =，则220,0,EF n FP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2222230,220,x y z x y ⎧--=⎪⎨⎪-+=⎩ 令21y =，则22x =，22z =，故()22,1,2n =，1212124cos ,13n n n n n n ⋅+===⋅ 设二面角D EF P --的平面角为θ，则sin θ==. 故二面角D EF P --的正弦值为39. 21.【解析】（1）由260x x -->得：2x <-或3x >，即()26g x x --的定义域为{}23x x x <->或，令26m x x =--，ln y m =在()0,m ∈+∞内单调递增， 而(),2x ∈-∞-时，26m x x =--为减函数， ()3,x ∈+∞时，26m x x =--为增函数，故函数()26g x x --的单调递增区间是()3,+∞. （2）由21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦与()1,0x ∈-∞可知()[]21,1g x ∈-，()1e 0,1x ∈ 所以112e e 1x x a ->或112e e 1x x a -<-， 分离参数得11211e e x x a >+，或11211e e x x a <-有解， 令11ex n =，则1n >，2a n n >+或2a n n <-有解， 得2a >或0a <；（3）依题意()()()222ee e e e e e e 2x x x x x x x x F x a a a a ----=-+-=+-+-， 令e e x x t -=+，则函数()F x 转化为()()222h t at t a t =--…，此时只需讨论方程220at t a --=大于等于2的解的个数，①当0a =时，()0h t t =-=没有大于等于2的解，此时()F x 没有零点；②当0a >时，()020h a =-<，当()20h >时，1a >，方程没有大于等于2的解，此时()F x 没有零点；当()20h =时，1a =，方程有一个等于2的解，函数()F x 有一个零点；当()20h <时，01a <<，方程有一个大于2的解，函数()F x 有两个零点.③当0a <时，()020h a =->，()2220h a =-<恒成立，即方程不存在大于等于2的解，此时函数()F x 没有零点.综上所述，当1a =时，()F x 有一个零点；当01a <<时，()F x 有两个零点；当0a …或1a >时，()F x 没有零点.22.【解析】（1）设(),P x y ，依题意()11,0F -，()21,0F ，且120PF PF ⋅=.所以()()2110x x y +-+=，整理得221x y +=. 故点P 的轨迹方程为221x y +=；（注：也可以用斜率之积为1-来求轨迹方程，但需讨论斜率不存在的特殊情况.否则扣1分）（2）依题意，12S AB CD =⋅. 过1F 作平行于2l 的直线交E 于M ，N 两点，由对称性知CD MN =.①当1l 的斜率为0或斜率不存在时，14362S =⨯⨯=； ②当1l 的斜率存在且不为0时，设1l ：1x my =-，()11,A x y ，()22,B x y .联立方程221,34120,x my x y =-⎧⎨+-=⎩消元得：()2234690m y my +--=.()2Δ1441m =+故()2212134m AB m +==+， 同理，()2222112112143134m m CD MN m m ⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦===+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. 故()()()2222721123443m S AB CD m m +=⋅=++. 令21t m =+，()1,t ∈+∞，则()()22727211314112t S t t t t ==+--++， 其中211491212,4t t ⎛⎤-++∈ ⎥⎝⎦， 故288,649S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 综上，288,649S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.。
2021考研数学三真题及答案解析(全)
y
0
，
y
1
带入①②式有
f1(1,1) f2(1,1) 1 ， f1(1,1) 2 f2(1,1) 2
联立可得 f1(1,1) 0 ， f2(1,1) 1 ， df (1,1) f1(1,1)dx f2(1,1)dy dy ，故正确答案为 C.
(5)二次型 f (x1, x2 , x3 ) (x1 x2 )2 (x2 x3 )2 (x3 x1)2 的正惯性指数与负惯性指数依次为
3
【解析】
5
x dx 5
9 x2
3
x dx
x2 9
1 2
3 d (9 x 2) 1 5 9 x2 2
5 d (x 2 9) 3 x2 9
6.
(13)设平面区域 D 由曲线 y x sin x (0 x 1) 与 x 轴围成，则 D 绕 x 轴旋转所成旋转体的
体积为______________.
1; e
从而 2
e
2
1 e
，即
1
(1 e
e).
(18)(本小题满分 12 分)
求函数
f
(x,
y)
2 ln
x
(x 1)2 2x2
y2
的极值.
【答案】 (1, 0) 处取极小值 2； (1 , 0) 处取极小值 1 2 ln 2 .
2
2
【解析】
（1）
f
' x
2x2
x 1 x3
y2
(A)2 3 4 k1 .
(B)1 3 4 k2 .
(C)1 2 4 k3 .
(D)1 2 3 k4 .
【答案】D.
【解析】因为 A (1,2,3,4 ) 为 4 阶正交矩阵，所以向量组 1,2 ,3,4 是一组标准正交向量
2023年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试题卷(文史类)全解全析
2023年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试卷卷（文史类）数学试卷卷(文史类)共5页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项:1.答题前,务必将自己地姓名、准考证号填写在答题卡规定地位置上。
2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目地解析标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他解析标号。
3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将解析书写在答题卡规定地位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答,在试卷卷上答题无效。
5.考试结束后,将试卷卷和答题卡一并交回。
参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B).如果事件A 、B 相互独立,那么P(A ·B)=P(A)·P(B).如果事件A 在一次试验中发生地概率是P ,那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次地概率 P n (K)=k m P k (1-P)n-k一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出地四个备选项中,只有一项是符合题目要求地.(1)已知｛a n ｝为等差数列,a 2+a 8=12,则a 5等于(A)4 (B)5(C)6(D)7【解析】C【解析】本小题主要考查等差数列地性质。
由285212a a a +==得:56a =,故选C 。
(2)设x 是实数,则"x ＞0"是"|x |＞0"地 (A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件【解析】A【解析】本小题主要考查充要条件地判定。
由0x >||0x ⇒>充分 而||0x >0x ⇒>或0x <,不必要,故选A 。
(3)曲线C :cos 1.sin 1x y θθ=-⎧⎨=+⎩(θ为参数)地普通方程为(A)(x -1)2+(y +1)2=1(B) (x +1)2+(y +1)2=1(C) (x -1)2+(y -1)2=1(D) (x -1)2+(y -1)2=1【解析】C【解析】本小题主要考查圆地参数方程。
2023届云南三校高考备考实用性联考卷(八)数学-试卷
㊀２０２３届云南三校高考备考实用性联考卷(八)数㊀学注意事项:１ 答题前ꎬ考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名㊁准考证号㊁考场号㊁座位号在答题卡上填写清楚.２ 每小题选出答案后ꎬ用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑ꎬ如需改动ꎬ用橡皮擦干净后ꎬ再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效３ 考试结束后ꎬ请将本试卷和答题卡一并交回 满分１５０分ꎬ考试用时１２０分钟一㊁单选题(本大题共８小题ꎬ每小题５分ꎬ共４０分ꎬ在每小题给出的选项中ꎬ只有一个选项是符合题目要求的)１.已知ｚ１ꎬｚ２是方程ｘ２－２ｘ＋２＝０的两个复根ꎬ则ｚ２１－ｚ２２＝Ａ.２Ｂ.４Ｃ.２ｉＤ.４ｉ２.已知集合Ａ＝{－１ꎬ０ꎬ１}ꎬＢ＝{ａꎬａ２－３ａ＋２}ꎬ若ＡɘＢ＝{０}ꎬ则ａ＝Ａ.０或１Ｂ.１或２Ｃ.０或２Ｄ.０或１或２３.有７个人排成前后两排照相ꎬ前排站３人后排站４人ꎬ其中甲同学站在前排ꎬ乙同学站在后排的概率为Ａ.１４２Ｂ.１１４Ｃ.２２１Ｄ.２７４.平面向量ａ与ｂ的夹角为２π３ꎬ已知ａ＝(６ꎬ－８)ꎬｂ＝１０ꎬ则向量ｂ在向量ａ上的投影向量的坐标为Ａ.(３ꎬ－４)Ｂ.(４ꎬ－３)Ｃ.(－４ꎬ３)Ｄ.(－３ꎬ４)５.已知椭圆Ｅ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的左㊁右焦点分别为Ｆ１ꎬＦ２(如图１)ꎬ过Ｆ２的直线交Ｅ于㊀图１ＰꎬＱ两点ꎬ且ＰＦ１ʅｘ轴ꎬＰＦ２＝９Ｆ２Ｑꎬ则Ｅ的离心率为Ａ.６３Ｂ.１２Ｃ.３３Ｄ.３２６.已知正四棱锥的高为ｈꎬ其顶点都在同一球面上ꎬ若该球的体积为３６πꎬ且３２ɤｈɤ９２ꎬ则当该正四棱锥体积最大时ꎬ高ｈ的值为Ａ.２Ｂ.３２Ｃ.４Ｄ.９２７.定义方程ｆ(ｘ)＝ｆᶄ(ｘ)的实数根ｘ叫做函数ｆ(ｘ)的 奋斗点 .若函数ｇ(ｘ)＝ｌｎｘꎬｈ(ｘ)＝ｘ３－２的 奋斗点 分别为ｍꎬｎꎬ则ｍꎬｎ的大小关系为Ａ.ｍȡｎＢ.ｍ>ｎＣ.ｍɤｎＤ.ｍ<ｎ８.若ｘꎬｙɪＲꎬ则(ｘ－ｙ)２＋(ｘｅｘ－ｙ＋１)２的最小值为Ａ.２２Ｂ.２Ｃ.１２Ｄ.２ｅ二㊁多选题(本大题共４小题ꎬ每小题５分ꎬ共２０分.在每小题给出的选项中ꎬ有多项是符合题目要求的.全部选对的得５分ꎬ部分选对的得２分ꎬ有选错的得０分)９.已知ｆ(ｘ)ꎬｇ(ｘ)都是定义在Ｒ上且不恒为０的函数ꎬ则Ａ.ｙ＝ｆ(ｘ) ｆ(－ｘ)为偶函数Ｂ.ｙ＝ｇ(ｘ)＋ｇ(－ｘ)为奇函数Ｃ.若ｇ(ｘ)为奇函数ꎬｆ(ｘ)为偶函数ꎬ则ｙ＝ｆ(ｇ(ｘ))为奇函数Ｄ.若ｆ(ｘ)为奇函数ꎬｇ(ｘ)为偶函数ꎬ则ｙ＝ｆ(ｘ)－ｇ(ｘ)为非奇非偶函数１０.已知αꎬβ是两个不同的平面ꎬｍꎬｎꎬｌ是三条不同的直线ꎬ则下列命题正确的是Ａ.若ｍʅαꎬｎʅαꎬ则ｍʊｎＢ.若ｍʊαꎬｎʊαꎬ则ｍʊｎＣ.若αʅβꎬαɘβ＝ｌꎬｍ⊂αꎬｍʅｌꎬ则ｍʅβＤ.若αɘβ＝ｌꎬｍʊαꎬｍʊβꎬ则ｍʊｌ１１.在如图２所示的平面直角坐标系中ꎬ锐角αꎬβ的终边分别与单位圆交于ＡꎬＢ两点.则㊀图２Ａ.若Ａ点的横坐标为１２１３ꎬＢ点的纵坐标为４５ꎬ则ｃｏｓ(α＋β)＝１６６５Ｂ.ｓｉｎ(α＋β)<ｓｉｎα＋ｓｉｎβＣ.ｓｉｎα>ｓｉｎ(α＋β)＋ｓｉｎβＤ.以ｓｉｎαꎬｓｉｎβꎬｓｉｎ(α＋β)为三边构成的三角形的外接圆的面积为π３１２.已知在长方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中ꎬＡＢ＝ＢＣ＝２ꎬＡＡ１＝２２ꎬ点Ｐ是四边形Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１内(包含边界)的一动点ꎬ设二面角Ｐ－ＡＤ－Ｂ的大小为αꎬ直线ＰＢ与平面ＡＢＣＤ所成的角为βꎬ若α＝βꎬ则Ａ.点Ｐ的轨迹为一条抛物线Ｂ.直线ＰＡ１与直线ＣＤ所成角的最大值为π４Ｃ.线段ＰＢ长的最小值为３Ｄ.三棱锥Ｐ－Ａ２三㊁填空题(本大题共４小题ꎬ每小题５分ꎬ共２０分)１３.在１ｘ＋ｘ２æèçöø÷６的展开式中常数项是㊀㊀㊀㊀.(用数字作答)１４.假设云南省４０万学生数学模拟考试的成绩Ｘ近似服从正态分布Ｎ(９８ꎬ１００)ꎬ已知某学生成绩排名进入全省前９１００名ꎬ那么该生的数学成绩不会低于㊀㊀㊀㊀分.(参考数据:Ｐ(μ－σ<Ｘ<μ＋σ)＝０ ６８２７ꎬＰ(μ－２σ<Ｘ<μ＋２σ)＝０ ９５４５)１５.已知抛物线Ｃ:ｘ２＝８ｙꎬ在直线ｙ＝－４上任取一点Ｐꎬ过点Ｐ作抛物线Ｃ的两条切线ꎬ切点分别为ＡꎬＢꎬ则原点到直线ＡＢ距离的最大值为㊀㊀㊀㊀.１６.定义ｘ表示与实数ｘ的距离最近的整数(当ｘ为两相邻整数的算术平均值时ꎬｘ取较大整数)ꎬ如４３＝１ꎬ５３＝２ꎬ２＝２ꎬ２ ５＝３ꎬ令函数Ｋ(ｘ)＝ｘꎬ数列{ａｎ}的通项公式为ａｎ＝１Ｋ(ｎ)ꎬ其前ｎ项和为Ｓｎꎬ则Ｓ６＝㊀㊀㊀㊀ꎻＳ２０２５＝㊀㊀㊀㊀.(第一空２分ꎬ第二空３分)四㊁解答题(共７０分.解答应写出文字说明ꎬ证明过程或演算步骤)１７.(本小题满分１０分)如图３ꎬ正әＡＢＣ是圆柱底面圆Ｏ的内接三角形ꎬ其边长为ａ.ＡＤ是圆Ｏ的直径ꎬＰＡ是圆柱的母线ꎬＥ是ＡＤ与ＢＣ的交点ꎬ圆柱的轴截面是正方形.㊀图３(１)记圆柱的体积为Ｖ１ꎬ三棱锥Ｐ－ＡＢＣ的体积为Ｖ２ꎬ求Ｖ１Ｖ２ꎻ(２)设Ｆ是线段ＰＥ上一点ꎬ且ＦＥ＝１２ＰＦꎬ求二面角Ａ－ＦＣ－Ｏ的余弦值.１８.(本小题满分１２分)已知函数ｆ(ｘ)＝４ｓｉｎωｘｓｉｎωｘ＋π６æèçöø÷－３的相邻两条对称轴之间的距离为π２.(１)求函数ｆ(ｘ)在区间π３ꎬ３π４éëêêùûúú上的值域ꎻ(２)在锐角әＡＢＣ中ꎬ角ＡꎬＢꎬＣ的对边分别为ａꎬｂꎬｃꎬ且ｆ(Ａ)＝３ꎬ２ａ＝３ｂꎬｃ＝６＋２ꎬ求әＡＢＣ的面积.１９.(本小题满分１２分)已知数列{ａｎ}的前ｎ项和为Ｓｎꎬａ１＝１ꎬＳｎ＋１＝２Ｓｎ＋２ｎ＋１ꎬｎɪＮ∗.(１)求数列{ａｎ}的通项公式ꎻ(２)设ｂｎ＝Ｓｎ３ｎꎬ{ｂｎ}的前ｎ项和为Ｔｎꎬ若对任意的正整数ｎꎬ不等式Ｔｎ>ｍ２－ｍ＋７２７恒成立ꎬ求实数ｍ的取值范围.２０.(本小题满分１２分)学习强国 学习平台是由中宣部主管ꎬ以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容ꎬ立足全体党员ꎬ面向全社会的优质平台ꎬ现日益成为老百姓了解国家动态ꎬ紧跟时代脉搏的热门ａｐｐ.为了了解全民对于 学习强国 使用的情况ꎬ现从某单位全体员工中随机抽取３人做问卷调查.已知某单位有Ｎ名员工ꎬ其中２５是男性ꎬ３５是女性.(１)当Ｎ＝２０时ꎬ求抽出３人中男性员工人数Ｘ的分布列和数学期望ꎻ(２)我们知道ꎬ当总量Ｎ足够大而抽出的个体足够小时ꎬ超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑.从Ｎ名员工(男女比例不变)中随机抽取３人ꎬ在超几何分布中男性员工恰有２人的概率记作Ｐ１ꎻ在二项分布中(即男性员工的人数Ｘ~Ｂ３ꎬ２５æèçöø÷)男性员工恰有２人的概率记作Ｐ２.那么当Ｎ至少为多少时ꎬ我们可以在误差不超过０ ００１(即Ｐ１－Ｐ２ɤ０ ００１)的前提下认为超几何分布近似为二项分布.(参考数据:５７８ʈ２４ ０４)２１.(本小题满分１２分)已知圆Ｃ:(ｘ＋５)２＋ｙ２＝４ꎬ定点Ｄ(５ꎬ０)ꎬ如图４所示ꎬ圆Ｃ上某一点Ｄ１恰好与点Ｄ关于直线ＰＱ对称ꎬ设直线ＰＱ与直线Ｄ１Ｃ的交点为Ｔ.(１)求证:ＴＣ－ＴＤ为定值ꎬ并求出点Ｔ的轨迹Ｅ方程ꎻ(２)设Ａ(－１ꎬ０)ꎬＭ为曲线Ｅ上一点ꎬＮ为圆ｘ２＋ｙ２＝１上一点(ＭꎬＮ均不在ｘ轴上).直线ＡＭꎬＡＮ的斜率分别记为ｋ１ꎬｋ２ꎬ且ｋ１＝－４ｋ２.求证:直线ＭＮ过定点ꎬ并求出此定点的坐标.㊀图４２２.(本小题满分１２分)已知函数ｆ(ｘ)＝ｌｎ(ｘ＋２)－ｘ＋２ꎬｇ(ｘ)＝ａｅｘ－ｘ＋ｌｎａ.(１)求函数ｆ(ｘ)的极值ꎻ(２)请在下列①②中选择一个作答(注意:若选两个分别作答则按选①给分).①若ｆ(ｘ)ɤｇ(ｘ)恒成立ꎬ求实数ａ的取值范围ꎻ②若关于ｘ的方程ｆ(ｘ)＝ｇ(ｘ)有两个实根ꎬ求实数ａ的取值范围.数学参考答案·第1页（共11页）2023届云南三校高考备考实用性联考卷（八）数学参考答案一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 56 7 8 答案 BCDDACDA【解析】 1．22i 1i 2z ±===±，所以121i 1i z z =+=-，，，22121212|||()()||22i |4z z z z z z -=+-=⨯=，故选B.2．由于{0}A B = ，则0B ∈. 当若0a =，则2322a a -+=，此时{02}B =，符合题意. 若2320a a -+=，则1a =或2. 1a =时，{01}B =，，此时={01}A B ，不合题意；当2a =时，{02}B =，符合题意，因此0a =或2，故选C.3．先计算总事件数，可以看成7人站一排有77A 种.现在考虑符合题意的情况，从余下5人中选2人与甲站在前排，乙站在后排有234534C A A 种，概率为23453477C A A 2A 7P ==，故选D. 4．向量b 在向量a 上的投影向量的坐标为50(68)(34)||||1010a b a a a --=⨯=-，，，故选D. 5．因为1PQF △为通径4a 体，且22||9||PF F Q =，故222291232b b a a b a a ++=⇒= ，即e =，故选A ．6．如图1，设高为h ，底边长为a ，则222=()R h R -+，又34π36π3V R ==球， 3R =∴，又3922h ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，213V a h = 21[182(3)]3h h =--321(212)3h h =-+，2(4)V h h '=--，故max 4643h V V===，min 32274V V ==，故选C ． 图1数学参考答案·第2页（共11页）7．函数()ln g x x =，得1()g x x '=由题意可得，()()g m g m '=，即1ln m m =，设1()ln H x x x=-，211()H x x x'=--，因为0x >，所以()0H x '<，易得()H x 在(0)+∞，上单调递减且(1)10H =>，1(2)02H ==<，故12m <<，由3()2h x x =-，2()3h x x '=，由题意得：32223323n n n n-==+>，，12m <<，所以m n <，故选D. 8．可以转化为：点(e )x P x x ，是函数()e x f x x =图象上的点，点(1)Q y y -，是直线1y x =-上的点，即为P Q ，||PQ =，(1())e x f x x '=+，设函数()e x f x x =在点00()M x y ，处的切线1l 与直线l 平行，则直线1l 的斜率为1，可得000()(1)e 1x f x x '=+=，整理得00e (1)10x x +-=，∵()e (1)1x g x x =+-在定义域内单调递增，且(0)0g =，∴方程00e (1)10x x +-=有且仅有一个解00x =，则(00)M ，，故||PQ 的最小值为点(00)M ，到直线l ：10x y --=的距离2d ==，故选A. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号 9 10 11 12 答案 ADACDABBCD【解析】9．设()()()h x f x f x =- ，因为()f x 是定义在R 上的函数，所以()h x 的定义域为R ，()()()()h x f x f x h x -=-= ，所以()h x 为偶函数，故A 正确；()()()t x x x g g +=-，因为()g x 是定义在R 上的函数，所以()t x 的定义域为R ，()()())(g g t x t x x x -=-+=，所以()t x 为偶函数，故B 错误；设()())(m x f g x =，因为()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，所以()m x 的定义域为R ，因为()g x 为奇函数，()f x 为偶函数，所以()(())(())m x f g x f g x -=-=- (())()f g x m x ==，所以()m x 为偶函数，故C 错误；设()()()n x f x g x =-，因为()f x ，()g x 都数学参考答案·第3页（共11页）是定义在R 上的函数，所以()n x 的定义域为R ，()()()()()()n x n x f x g x f x g x +-=-+--- ()()()()f x g x f x g x =---2()g x =-，因为()g x 是不恒为0的函数，所以()()0n x n x +-=不恒成立，所以()n x 不是奇函数，()()()()[()()]n x n x f x g x f x g x --=-----()()f x g x =- ()()2()f x g x f x ++=，因为()f x 是不恒为0的函数，所以()()n x n x =-不恒成立，所以()n x 不是偶函数，所以()n x 是非奇非偶函数，故D 正确，故选AD.10．对于A ，m α⊥∵，n α⊥，∴由线面垂直的性质可得//m n ，故A 正确；对于B ，//m α，//n α，则m 与n 可能异面或相交或平行，故B 错误；对于C ，αβ⊥，l αβ= ，m α⊂，m l ⊥，由面面垂直的性质定理知，m β⊥，故C 正确，对于D ，设a αδ= ，m δ⊂，//m α，则//m a ，设b βγ= ，m γ⊂，//m β，则//m b ，//a b ∴，又b β⊂，a β⊂/，则//a β，又a α⊂，l αβ= ，则//a l ，则//m l ，故D 正确，故选ACD ．11．对于A ，由已知得，124cos sin 135αβ==，，αβ，为锐角，则53sin cos 135αβ==，，则1235416cos()cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯=，故A 正确；对于B ，α∵，π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，(0π)αβ+∈，cos (01)cos (01)αβ∈∈∴，，，，sin()sin cos sin αβαβα<+=∴ sin β+，故B 正确；对于C ，cos()(11)αβ+∈-∵，，sin sin[()]ααββ=+-∴ sin()cos αββ=+cos()sin αββ-+sin()sin αββ<++，故C 错误；对于D ，同理sin sin[()]βαβα=+-sin()cos cos()sin sin()sin αβααβααβα=+-+<++结合B 、C 可知sin sin αβ，，sin()αβ+，可以作为三角形的三边；设该三角形为B C A '''△，角A B C '''，，所对的边长分别为sin sin sin()αβαβ+，，，由余弦定理可得，222sin sin sin ()cos 2sin sin C αβαβαβ+-+'=222sin sin (sin cos cos sin )2sin sin αβαβαβαβ+-+=222222sin sin sin cos cos sin 2sin cos cos sin 2sin sin αβαβαβαβαβαβ+---=2222sin (1cos )sin (1cos )cos cos 2sin sin αββααβαβ-+-=-2222sin sin sin sin 2sin sin αββααβ+=cos cos αβ-222sin sin cos cos 2sin sin αβαβαβ=-sin sin cos cos αβαβ=-cos()αβ=-+，sin sin()C αβ'=+∴，设外接圆半径为R ，则由正弦定理可得，sin()21sin sin()A B R C αβαβ''+==='+，12R =∴，π4S =∴，故D 错误，故选AB.数学参考答案·第4页（共11页）12．对于A ，过P 点作PO 垂直于底面ABCD ，垂足为O ，过O 作OH AD ⊥，垂足为H ，连接OB ，PH ，PB ，则PHO α∠=，PBO β∠=，又αβ=，OH OB =∵，而O 为P 点在底面的投影，PH PB =∴，过P 作11PM A D ⊥，垂足点为M ，连接1PB ，则易得1PM PB =，∴点P的轨迹是以1B 为焦点，11A D 为准线的抛物线的一部分，如图2所 示，故A 错误；对于B ，1PA ∵与CD 所成的角即1PA 与11C D 所成 的角，∴当P 与1C 重合时，1PA 与11C D 所成的角最大为π4，故B 正确，对于C ，当P 点在11A B 的中点时，PB 最短，此时3PB =，故C 正确；对于D ，∵1111P A BC B PA C V V --=，∴当点P 在11A B 的中点时，点P 到11A C 的距离最大，三角形11PA C 的面积最大，三棱锥11P A BC -的体积最大，此时11111113223P A B C B PA C V V --===，故D 正确，故选BCD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号 13 14 15 16答案15 118 4 4；89【解析】13．62361661C ()C rr r r r r T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令360r -=，即2r =，∴常数项为26C 15=. 14．由题意，98μ=，10σ=，(22)(78118)0.9545P X P X μσμσ-<<+=<<=，(118)P X ≥0.5(10.9545)0.02275=⨯-=，从而数学成绩大于等于118分的人数恰好为4000000.022759100⨯=，因此要进入前9100名，成绩不会低于118分.15．设(4)P t -，，则AB ∶4(4)xt y =-，直线AB 恒过定点(04)，，所以原点到直线AB 的距离的最大值为4. 16．因为1234111111(1)2(2)2a aa a K K ======，，，512a =， 612a ==，所以6111442S =++⨯=；根据()K x x = ，当12n ≤≤时，1 1.5<，则1K =，1n a ==，当36n ≤≤时，1.5 2.5<，则2K =，图2数学参考答案·第5页（共11页）12na==，当712n≤≤时，2.5 3.5<，则3K=，13na==，当1320n≤≤时，3.5 4.5<<，则4K=，14na==，以此类推，将n a=重新分组如下，1111111111111(11)2222333333n n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，，，，第n组有2n个数，且每组中所有数之和为122nn⨯=，因为2025145a==，故2025a在第45组，前面共有44组，共1980项，所以20251244458945S=⨯+⨯=.四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）解：（1）已知正ABC△的边长为a，由正弦定理，2sin60ar=︒（r为圆柱底面圆的半径），从而3r OA a==，由题意，圆柱高23h r a==，………………………………（2分）所以231ππ9V r h a==，232111sin60326V a h a=⨯︒⨯=，因此12VV=. …………………………………………………………………………（5分）（2）如图3，过A作Ax⊥平面P AD，易知Ax，AD，AP两两垂直，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz-，设2AD=，则2AP=，1AO=.由于O为正ABC△的中心，则23AO AE=，于是32AE=，由（1）知正ABC△的边长a=，从而BC=.则(000)A，，，(010)O，，，3002E⎛⎫⎪⎝⎭，，，322C⎛⎫⎪⎪⎝⎭，，，(002)P，，，由题意，F为线段PE上靠近E的三等分点，则1131202033223EF EP⎛⎫⎛⎫==-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，于是2013F⎛⎫⎪⎝⎭，，，2013AF⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，图3数学参考答案·第6页（共11页）12223FC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，，，1022CO ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，………………………………………（7分） 平面AFC的法向量为1132n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，，…………………………………………（8分） 平面FCO的法向量为2(10)n =-，………………………………………………（9分） 所以二面角A FC O --的夹角为θ，1212cos 5||||n n n n θ==. ……………………（10分）18．（本小题满分12分）解：（1）π1()4sin sin 4sin cos 62f x x x x x x ωωωωω⎫⎛⎫=+-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22sin cos cos 2)sin 2x x x x x ωωωωω=+=-+πsin222sin 23x x x ωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，πππ1()2sin 2223T T f x x ω⎛⎫=⇒===- ⎪⎝⎭∵，，，………………………………………（3分）π3πππ7π234336x x -∵≤≤，≤≤ ∴当π7π236x -=时，min ()1f x =-，当ππ232x -=时，max ()2f x =， 即()f x 的值域为[12]-，.……………………………………………………………………………………………（6分） （2）由()f A =，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，可得π3A =，ππ024A B B B ⎛⎫=⇒=∈= ⎪⎝⎭，，，∴，sin sin()4C A B =+=∴，由sin sin a c a A C =⇒=1sin 32ABC S ac B ==△∴…………………………………………………………（12分） 19.（本小题满分12分）解：（1）由1122n n n S S ++=+，得11122n n n n S S ++=+，又111222S a ==，数学参考答案·第7页（共11页）所以数列2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，公差为1的等差数列，121(1)222n n S n n -=+-=∴，即1(21)2n n S n -=- ，……………………………………（2分） ∴当2n ≥时，1221(21)2(23)2(21)2n n n n n n a S S n n n ----=-=---=+ ，又11a =不满足上式，所以211(21)22n n n a n n -=⎧=⎨+⎩ ，，，≥．…………………………………（5分） （2）由（1）知1(21)2n n S n -=- ，1(21)212323nn n nn b n --⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴， 12123212+232323nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴，…①23121232123232323n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，…②①−②得：32111222123333323nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++--⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，……………………（7分）整理得25(25)3nn T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，……………………………………………………………（9分）又因为对任意的正整数n ，2727n m m T -+>恒成立，所以2min 7()27n m m T -+<， 1122221(25)(27)033333n n nn n T T n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=+> ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∵，n T ∴在(0)+∞，上单调递增，min 11()3n T T ==， 由271273m m -+<，可得12m -<<， 所以实数m 的取值范围是(12)-，. ……………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）当20N =时，男性员工有8人，女性员工有12人.X 服从超几何分布，0X =，1，2，3，312320C 22011(0)C 114057P X ====，12812320C C 52844(1)C 114095P X ====，21812320C C 33628(2)C 114095P X ====，38320C 5614(3)C 1140285P X ====，……………………………………………………………………………………………（4分）数学参考答案·第8页（共11页）∴X 的分布列为数学期望为114428146()01235795952855E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………………………………………………………………………………………（6分）（2）212355131232C C 111855551C 25(1)(2)(1)(2)6NNNN N N N N P N N N N N ⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===---- ， ……………………………………………………………………………………………（7分）22232336C 0.28855125P ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ，…………………………………………………………（8分）由于120.001P P -≤，则211850.2880.00125(1)(2)N N N N ⎛⎫- ⎪⎝⎭--- ≤， 即211828950.28925(1)(2)1000N N N N ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-- ≤， 即21289252895(1)(2)100018720N N N N ⎛⎫- ⎪⎝⎭⨯=--≤， 由题意易知(1)(2)0N N -->，从而27201289(1)(2)5N N N N ⎛⎫--- ⎪⎝⎭≤，化简得21475780N N -+≥， 又0N >，于是578147N N+≥.…………………………………………………………（10分） 由于函数578y x x=+在24.04x =≈处有极小值， 从而578y N N=+当25N ≥时单调递增， 又578142146.07147142+≈<，578143147.04147143+≈>.数学参考答案·第9页（共11页）因此当143N ≥时符合题意， …………………………………………………………（11分） 而又考虑到25N 和35N 都是整数，则N 一定是5的整数倍，于是145N =.即N 至少为145时，我们可以在误差不超过0.001（即120.001P P -≤）的前提下认为超几何分布近似为二项分布. ………………………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）证明：（1）由图，由点1D 与D 关于PQ 对称，则1||||TD TD =， 所以11||||||||||||||2TC TD TC TD CD -=-==，故为定值．由||||||2||TC TD CD -=<=，由双曲线定义知，点T的轨迹为以(C ，0)，D 0)为焦点，实轴长为2的双曲线，设双曲线E 方程为22221(00)x y a b a b-=>>，，所以1a =，c =，2224b c a =-=，所以双曲线E 的方程为2214y x -=.……………………………………………………（5分） （2）因为(10)A -，，如图4，令11()M x y ，，22()N x y ，，22112214(1)01y x ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩，，两式相减得：1111141y x x y -=+ ，……………（7分） 同理，2222221(1)01x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，，两式相减得：222211y x x y -=-+，………（9分） 124k k =-，即2112212121211114=414x x x y x y k k y y y y ⎛⎫--=⇒-⇒---=- ⎪⎝⎭，对比两点式方程，可得直线MN 恒过定点(10)，．……………………………………（12分） 另解：酌情给分（2）解：由已知得AM l ：1(1)y k x =+，AN l ：2(1)y k x =+， 联立直线方程与双曲线方程122(1)14y k x y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，，消去y 整理得2222111(4)240k x k x k ----=，由韦达定理得212144A M k x x k --=-，所以212144M k x k +=-，即11218(1)4M M k y k x k =+=-. 所以21122114844k k M k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，. 图4数学参考答案·第10页（共11页）联立直线方程与圆的方程222(1)1y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 整理得2222222(1)210k x k x k +++-=， 由韦达定理得222211A N k x x k -=+，所以222211N k x k -+=+，即22222(1)1N N k y k x k =+=+， 因为1=4AN AM k k -，即2114k k =-，所以21122111681616k k N k k ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭，， 若直线MN 过定点，则由对称性得定点在x 轴上，设定点(0)T t ，. 由三点共线得MT NT k k =，即1122222211111122112211884164(4)16(16)1416416k k k k k k t k k t t k k t t k k --+=⇒++-=-++⇒=+-+---+， 所以直线MN 过定点(10)T ，. 22.（本小题满分12分）解：（1）函数()f x 的定义域为{|2}x x >-， 11()1022x f x x x --'=-==++，解得1x =-， 当21x -<<-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当1x >-时，()f x 单调递减；所以()(1)3f x f =-=极大值，无极小值.…………………………………………………（4分） （2）若选①：由()()f x g x ≤恒成立，即e ln(2)ln 20x a x a -++-≥恒成立， 整理得：ln e ln ln(2)2x a x a x x ++++++≥，即ln ln(2)e ln ln(2)e x a x x a x ++++++≥， 设函数()e x h x x =+，则上式为(ln )(ln(2))h x a h x ++≥，……………………………（6分） 因为()e 10x h x '=+>恒成立，所以()h x 单调递增，所以ln ln(2)x a x ++≥，即ln ln(2)a x x +-≥，……………………………………………………………………（8分） 令()ln(2)m x x x =+-，(2)x ∈-+∞，，则11()122x m x x x +'=-=-++， 当(21)x ∈--，时，()0m x '>；当(1)x ∈-+∞，时，()0m x '<；………………………………………………………（10分） 所以()m x 在1x =-处取得极大值，()m x 的最大值为(1)1m -=，故ln 1a ≥，即e a ≥．数学参考答案·第11页（共11页）故当[e )a ∈+∞，时，()()f x g x ≤恒成立．…………………………………………（12分） 若选择②：由关于x 的方程()()f x g x =有两个实根， 得e ln(2)ln 20x a x a -++-=有两个实根， 整理得ln e ln ln(2)2x a x a x x +++=+++，即ln ln(2)e ln ln(2)e x a x x a x ++++=++，…………………………………………………（6分） 设函数()e x h x x =+，则上式为(ln )(ln(2))h x a h x +=+， 因为()e 10x h x '=+>恒成立，所以()h x 单调递增，所以ln ln(2)x a x +=+，即ln ln(2)a x x =+-，………………………………………（8分） 令()ln(2)m x x x =+-，(2)x ∈-+∞，， 则11()122x m x x x +'=-=-++， 当(21)x ∈--，时，()0m x '>；当(1)x ∈-+∞，时，()0m x '<；………………………………………………………（10分） 所以()m x 在1x =-处取得极大值，()m x 的最大值为(1)1m -=，要想ln ln(2)a x =+有两个根，只需要ln 1a <，即0e a <<，所以a 的取值范围为(0e)，．……………………………………………（12分）。
湖北省宜昌市协作体2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题含解析
宜昌市协作体高一期中考试数学（答案在最后）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
4.本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章～第三章第2节。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}2A x x =∈≤N ，{}23B x x =-<≤，则A B = （）A.{}0,1,2 B.{}1,2 C.{}0,1 D.{}12.设命题p ：0x ∃<，使得20x x+≥，则p ⌝为（）A.0x ∀<，都有20x x +< B.0x ∀≥，都有20x x +≥C.0x ∃<，使得20x x+< D.0x ∃≥，使得20x x+≥3.下列说法正确的是（）A.若0a b >>，则ac bc >B.若a b >，则a b >C.若0a b <<，则2$a ab > D.若a bc >>，则a a cb b c+>+4.下列四个函数中，在()0,+∞上为增函数的是（）A.()3f x x =-B.()2f x x x=+C.()f x x=- D.()31f x x =--5.“21a >”是“10a>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数()()21,2,23,2,f f x x x x x x ⎧->-=⎨+-≤-⎩则()()1ff =（）A.5B.0C.-3D.-47.若函数()21f x x ax =++是定义在(),22b b --上的偶函数，则2b f ⎛⎫=⎪⎝⎭（）A.14B.54C.74D.28.若正数x ，y 满足20xy x y --=，则2yx +的最小值是（）A.2B.C.4D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学试题(2023年word版)
2023年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至8页。
共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分） 注意事项:1．答第Ⅰ卷前,考生务必将自己地姓名、考生号、座位号、考试科目、试卷类型（A 或B ）用铅笔涂写在答题卡上,同时将才生号条形码粘贴在答题卡"条形码粘贴处"。
2．每小题选出解析后,用铅笑把答题卡上对应题目地解析标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它解析,不能答在试卷卷上。
3．考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式:三角函数地积化和差公式)]cos()[cos(21sin sin )]sin()[sin(21sin cos )]sin()[sin(21cos sin βαβαβαβαβαβαβαφαβα--+-=--+=-++=正棱台、圆台地侧面积公式l S )c c (21+'=台侧 其中c '、c 分别表示上、下底面周长,l 表示斜高或母线长 台体地体积公式h S S S V )S (31+'+=台体其中S '、S 分别表示上、下底面积,h 表示高。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地。
（1）已知集合],43,2,1[=A ,那么A 地真子集地个数是: （A ）15 （B ）16 （C ）3 （D ）4（2）在复平面内,把复数i 33-对应地向量按顺时钟方向旋转3π,所得向量对应地复数是:（A ）23 （B ）i 32- （C ）3i 3- （D ）3+i 3（3）一个长方体共一顶点地三个面地面积分别是2,3,6,这个长方体对角线地长是:（A ）23 （B ）32 （C ）6 （D ）6 （4）已知sin α＞sin β,那么下列命题成立地是（A ）若α、β是第一象限角,则cos α＞cos β （B ）若α、β是第二象限角,则tg α＞tg β （C ）若α、β是第三象限角,则cos α＞cos β （D ）若α、β是第四象限角,则tg α＞tg β （5）函数x x y cos -=地部分图象是（6）《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民全月工资、薪金所得不超过800元地部分不必纳税,超过:全月应纳税所得额 税率 不超过500元地部分 5% 超过500元至2000元地部分 10% 超过2000元至5000元地部分 15%… …某人一月份应交纳此项税款26.78元,则他地当月工资、薪金所得介于（A ）800~900元 （B ）900~1200元 （C ）1200~1500元 （D ）1500~2800元（7）若a ＞b ＞1,⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⋅=2lg ),lg (lg 21,lg lg b a R b a Q b a P ,则 （A ）R ＜P ＜Q （B ）P ＜Q ＜R （C ）Q ＜P ＜R （D ）P ＜R ＜Q（8）以极坐标系中地点（1,1）为圆心,1为半径地圆地方程是 （A ）⎪⎭⎫⎝⎛-=4cos 2πθρ （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin 2πθρ （C ）()1cos 2-=θρ （C ）()1sin 2-=θρ（9）一个圆柱地侧面展开图是一个正方形,这个圆柱地全面积与侧面积地比是 （A ）ππ221+ （B ）ππ441+ （C ）ππ21+ （D ）ππ241+ （10）过原点地直线与圆2x +2y +x 4+3=0相切,若切点在第三象限,则该直线地方程是（A ）x y 3= （B ）x y 3-= （C ）x y 33=（D ）x y 33-= （11）过抛物线)0(2a ax y =地焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点,若线段PF 与FQ 地长分别是p 、q,则p 1+q1等于 （A ）a 2 （B ）a 21 （C ）a 4 （D ）a4 （12）如图,OA 是圆雏底面中心O 互母线地垂线,OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等地两部分,则母线与轴地夹角地余弦值为（A ）321（B ）21（C ）21 （D ）n212023年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学第Ⅱ卷（非选择题共90分） 注意事项:1．第Ⅱ卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试卷卷中。
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1. （本小题满分12分）如图，三棱锥中BCD A -中，⊥AB 平面BCD ，BD CD ⊥。
（I ）求证：⊥CD 平面ABD ；
（II ）若1===CD BD AB ，M 为AD 中点，求三棱锥MBC A -的体积。
8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A.三棱锥
B.三棱柱
C.四棱锥
D.四棱柱
19(本题满分12分)
如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11.
（1）证明：;1AB C B ⊥
（2）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB 求三棱柱111C B A ABC -的高.
19.（本小题满分12分）
如图，三棱柱111C B A ABC -中，111,BB B A BC AA ⊥⊥.
（1）求证：111CC C A ⊥； （2）若7,3,2=
==BC AC AB ，问1AA 为何值时，三棱柱
111C B A ABC -体积最大，并求此最大值。
2. （本小题满分12分）如图，三棱锥中BCD A -中，⊥AB 平面BCD ，BD CD ⊥。
（I ）求证：⊥CD 平面ABD ；
（II ）若1===CD BD AB ，M 为AD 中点，求三棱锥MBC A -的体积。
3. 某几何体的三视图（单位：cm ）若图所示，则该几何体的体积是（ ）
A. 3
72cm B. 3
90cm C. 3108cm D. 3
138cm （6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，学科 网高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，学科网则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）
A.
2717 B.95 C.2710 D.3
1
（18）（本小题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD
-中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E是PD的重点.
（1）证明：PB//平面AEC；
（2
）设1,
AP AD
==，三棱锥
P ABD -
的体积
4
V=，求A到平面
PBC的距离.
8、如图网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是
一个几何体的三视图，则这个几何体是
A. 三棱锥
B. 三棱柱
C. 四棱锥
D. 四棱柱
12、如图网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体
的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为
A.
6
C.
4
17、（本小题满分13分）
P
A
B C
D
E
如图，四棱
锥的底
面是平行四边形
，
，
,分别是棱的中点.
（1） 证明
平面； （2） 若二面角P-AD-B 为
，
① 证明：平面PBC ⊥平面ABCD
② 求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值
.
11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为
.
侧（左）视图
正（主）视图
17.（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，
12AA AC ==，E 、F 分别为11A C 、BC 的中点.
（1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2）求证：1//C F 平面ABE ； （3）求三棱锥E ABC -的体积.
C 1
B 1
A 1
F
E C
B
A
20、如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=4，AC=BC=3，D 为AB 的中点。
（Ⅰ）求异面直线CC 1和AB 的距离；
（Ⅱ）若AB 1⊥A 1C ，求二面角A 1—CD —B 1的平面角的余弦值。
4、如图，在六面体ABCDEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ，⊥AD 平面DEFG ，
AC AB ⊥,DG ED ⊥,EF ∥DG ，且1==EF AC , 2====DG DE AD AB ．
（1）求证：平面⊥BEF 平面DEFG ； （2）求证：BF ∥平面ACGD ； （3）求三棱锥A BCF -的体积．
2．如图，已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A 1B ，过A 作AF ⊥A 1B 垂足为F ，且AF 的延长线交B 1B 于E 。
（Ⅰ）求证：D 1B ⊥平面AEC ； （Ⅱ）求三棱锥B —AEC 的体积； （Ⅲ）求二面角B —AE —C 的大小.
3．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为1，点
M 在BC 上，△AMC 1是以M 为直角顶点的等腰直角三角形. （I ）求证：点M 为BC 的中点； （Ⅱ）求点B 到平面AMC 1的距离； （Ⅲ）求二面角M —AC 1—B 的正切值.
6．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 、M 、N 分别为棱DD 1、AB 、BC 的中点。
（I ）求二面角B 1—MN —B 的正切值；
（II ）证明：PB ⊥平面MNB 1；
7．如图，四棱锥P —ABCD 的底面是正方形,PA ⊥底面ABCD ，PA=AD=2，点M 、N 分别在棱PD 、PC 上，且PC ⊥平面AMN. （Ⅰ）求证：AM ⊥PD ；
（Ⅱ）求二面角P —AM —N 的大小；
（Ⅲ）求直线CD 与平面AMN 所成角的大小.
A B
C
A 1
B 1
C 1
M
第3题图
A B
C D P A 1
B 1
C 1
D 1
第6题图 M
N
11．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝CB ＝AA 1＝2，∠ACB ＝90°，E 是BB 1的中点，
D ∈AB ，∠A 1D
E ＝90°.
（Ⅰ）求证：CD ⊥平面ABB 1A 1；
（Ⅱ）求二面角D －A 1C －A 的大小
. 16．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，BC=BB 1=1，D 为BC 上一点，
且满足AD ⊥C 1D.
（I ）求证：截面ADC 1⊥侧面BC 1； （II ）求二面角C —AC 1—D 的正弦值； （III ）求直线A 1B 与截面ADC 1距离. 17．如图，在底面是直角梯形的四棱锥P ABCD -中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，且
∠ADC =arcsin
5
5
，又PA ⊥平面ABCD ，AD ＝3AB ＝3PA ＝3a 。
60DAB ∠=︒，2AB AD =， （II ）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC 的高．
11.（11天津17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为
平行四边形，0
45ADC ∠=，1AD AC ==，O 为AC 中点， PO ⊥平面ABCD ，
2PO =，M 为PD 中点． （Ⅰ）证明：PB //平面ACM ； （Ⅱ）证明：AD ⊥平面PAC ；。