等比数列的前n项和公式和与函数的关系

等比数列的前n项和公式和与函数的关系
一、等比数列的前$n$项和公式和与函数的关系
1.等比序列的第一个$n$项和公式
若等比数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公比为$q$，则等比数列$\{a_n\}$的前$n$项
和公式为$s_n=\begin{cases}na_1,\quad\quad\quad\quad\quad\q=1\\\frac{a_1(1-
q^n)}{1-q}=\frac{a_1-a_nq}{1-q},q≠1。

\end{cases}$
注：（1）当$Q≠ 1$，如果$a已知1$，$q$，$n$，那么使用$s_n=\frac{a_1（1-
q^n）}{1-q}$更方便；如果$a已知1$，$q$，$a_N$，则使用$s_N=\frac{a_1-a_nq}{1-
q}$更方便。

（2）等比数列前$n$项和公式可看作函数关系$s_n=kq^n-k$（$k$，$q$是不为0的常数，且$q$不为1，$n∈\mathbf{n}^*$），它是关于$n$的指数类型的函数。

（3）按相等比例排列的第一个$n$项目的总和公式可分为两种情况：$q=1$和$q≠ 1 $. 因此，当用公式求和时，如果$q$的共同比率不确定，则应对共同比率进行分类和讨论。

2、等比数列的前$n$项和公式与函数的关系
（1）当公共比率为$Q时≠ $, 第一个n元项目和相等比率序列的第一个n元项目和
s元的相等比率序列的相等比率序列的第一个n元项目和s元的相等比率序列的第一个n
元项目和s元的相等比率序列的相等比率序列的第一个n元项目和s元的相等比率序列的
第一个n元项目和s元可以被变形为s元的第一个n元项目和s元的第一个n元项目和s
元的第一个n元和s元的第一个n元和s和s元的第一个n元和s元s元s元s.n和s的
相等比率序列的两个
n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n. n.n.n.n.n.n.n.n.n.n\}$\uN$是关于$n$的指数函数。

（2）当公比$q=1$时，因为$a_1≠0$，所以$s_n=na_1$是$n$的正比例函数。

注：① 当$Q≠ 1$，$s_1$，$s_2$，$s_3$，$\cdots$，$s_N$是函数$y=-AQ^x+a$图
像上一组孤立点的坐标；
当$q=1$时，$s_1$，$s_2$，$s_3$，$\cdots$，$s_n$是正比例函数$y=a_1x$图象上
一群孤立的点的纵坐标。

② 当一个普通的字母比等于1时，讨论它是一个普通的字母比还是一个普通的字母比。

3、等比数列前$n$项和的性质
（1）如果$\{a_n\}$是等比序列，$s_n$是前$n$项的总和。

当$Q≠ - 1$，$s_n$，$s_2n}-s_n$，$s_3n}-s_2n}，$\cdots$仍然构成比例序列，也就是说，$（s\2n}-s\n）^2=$$s_2常见的比率是$u2s{-n$\\$当$q=-1$和$k$为奇数时，$s_{2k}-s_k$，$s_{3k}-s_{2k}$，$\cdots$可以形成一个等比序列。

（2）在等比数列中，若项数为$2n(n∈\mathbf{n}^*)$，$s_偶$与$s_奇$分别为偶数项与奇数项的和，则$\frac{s_偶}{s_奇}=q$；若项数为$2n+1$，则$\frac{s_奇-a_1}{s_偶}=q$。

（3）在比例级数$\{a_n\}$中，当$q=1$，$\frac{s_n}{s_m}=\frac{n}{m}$；当$Q≠ 1$，$\frac{s_n}{s_m}=\frac{1-Q^n}{1-Q^m}$。

二、等比数列的前$n$项和的相关例题
在系列$\{a_n\}$，$a_1=2$，$a_{m+n}=a_ma_n$中，如果
$a_{k+1}+$$a_{k+2}+$\cdots+$$a_{k+10}=$$2^{15}-2^5$，那么$k=$____
a．2b．3c．4d．5
分析：取$m=1$，然后取$a_{n+1}=a_1a_n$，再取$a_1=2$，所以$
\frac{a_{n+1}}{a_n}=a_1=2$，所以$\{a_n\}$是以2为首项，2为公
一个相等的比率序列，然后是$a_N=2^N$，所以
$a_{k+1}+$$a_{k+2}+$\cdots+$$a_{k+10}=$$\frac{2^{k+1}（1-2^{10}}}}{1-
2}=$$2^{k+11}-$$2^{k+1}=$$2^{15}，所以选择的解是$4}。