罗尔定理满足的三个条件
罗尔定理
四、柯西中值定理
定理4.3 设函数f(x)与g(x)满足： (1)在闭区间[a,b]上都连续， (2)在开区间(a,b)内都可导， (3)在开区间(a,b)内，g′(x) ≠ 0,
f ′(ξ ) f (b) − f (a) 则至少存在一点ξ ∈ (a,b)，使 = . g′(ξ ) g(b) − g(a)
上述近似公式有两点不足： 1. 精度往往不能满足实际需要； 2. 用它作近似计算时无法估计误差. 因此希望有一个能弥补上述两个不足的近似公式. 在实际计算中，多项式是比较简单的函数，因此希望 能用多项式
P (x) = a0 + a1(x − x0 ) + a2 (x − x0 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + an (x − x0 ) n
2
n
来近似表达函数f(x)，并使得当x → x0 时， f ( x) − P ( x) n 为比 (x − x0 )n高阶的无穷小,还希望能写出 f ( x) − P ( x) n 的具体表达式，以便能估计误差.
设f(x)在含x0的某区间(a,b)内有n阶导数，为了使 与f(x)尽可能相近，希望
P (x0 ) = f (x0 ) (在x0处相等) n P′ (x0 ) = f ′(x0 ) (在x0处有相同的切线 ) n P′′(x0 ) = f ′′(x0 ) (x0处两条曲线有相同的弯 曲方向 ) n
1 x ∴ln(1 + x) − ln1 = [(1 + x) −1] = , 1+ ξ 1+ ξ
由于 < ξ < x，因此 0
1 1 < < 1, 1+ x 1+ ξ
进而知
x x < < x, 1+ x 1+ ξ
罗尔定理
2、费马（Fermat)引理
若函数 f ( x )在 ( a , b )内一点 x0取得最值， 且f ( x )在点x0可微，则 f ( x0 ) 0
y
y f ( x)
o a
1
2 b
x
二、
罗尔(Rolle)定理
如果函数 f ( x ) (1).在[a , b]上连续; (2).在( a , b ) 内可导; (3). f ( a ) f ( b ) . 那 么 在 ( a , b ) 内 至 少 有 一 点 ( a b ) , 使 得
则 f ( x )在[0,1]连续,
由介值定理
且 f (0) 1, f (1) 3.
x 0 (0,1), 使 f ( x 0 ) 0. 即为方程的小于1的正实根.
设另有 x1 (0,1), x1 x 0 , 使 f ( x1 ) 0.
f ( x ) 在 x0 , x1 之间满足罗尔定理的条件,
至少存在一个 使得f ' ( )=0. 2、罗尔定理的结论
几何意义:曲线有水平切线. 3 、罗尔定理的条件是充分非必要条件. ' 4、罗尔定理研究的是导数方程 f (x)=0 的 根的存在性问题。
一、罗 尔（Rolle） 定 理
主讲人: 龙薇 (惠州广播电视大学)
罗尔简介
罗尔(1652-1719)法国数学家
罗尔年轻时因家境贫困，仅受过初等教育，靠自学精通了代数 和丢蕃图方程分析理论。1682年，他解决了数学家奥扎南提出的 一个数学难题，受到学术界的好评，从此他的生活有了转机。 罗尔在数学上的成就主要是在代数学方面，专长于丢蕃图方程 的研究。他在1691年出版了论著《方程的解法》这本论著本来和 微分学没有关系（当时还没有导数的概念和符号，不过根据定理 的结论恰好相当于多项式的导数）。 但在一百多年后，龙斯托.伯 拉维提斯将《方程的解法》中的一个定理推广到可微函数，并把 此定理命名为罗尔定理.
罗尔定理的几种类型及其应用
罗尔定理的几种类型及其应用1 引言最原始的罗尔定理是由法国数学家罗尔于 1691 年在题为 《任意次方程的一个解法的证明》 的论 文中给出的 （罗尔 1652 年 4 月 21 日生于昂贝尔特， 1719 年 11月 8 日卒于巴黎 ） ，主要内容是 : 在多项式方程 f x =0 的两个相邻的实根之间，方程 f x 0 至少有一个根．在一百多年后， 1846 年尤斯托（ Giusto Bellavitis ）将这一定理推广到可微函数，尤斯托还 把此定理命名为罗尔定理，这就是现在我们常用的罗尔定理 .2 微分中值定理2.1 罗尔定理1 （P若函数 f x 满足以下条件：（ 1）在闭区间 a,b 上连续；（ 2）在开区间 a,b 上可导；（ 3） fa fb . 则至少存在一个数 a,b ，使得 f 0.罗尔定理的几何意义是：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相同，那 么曲线至少存在一条水平切线 . 罗尔定理是大学微分学中很重要的中值定理， 它演绎了拉格朗日中值 定理与柯西中值定理，这三个定理构成了微分学中值基本理论，在高等数学中占有十分重要的地 位．下面给出拉格朗日中值定理和柯西中值定理的内容和几何意义 .2.2 拉格朗日中值定理x 满足：（ 1） 在闭区间 a,b 连续；（ 2） 在开区间 a,b 上可导；则至少存在拉格朗日中值定理的几何意义是：在每一点都可导的的连续曲线上，如果两端点也连续，那么 至少存在一个点，该点的切线平行于两端点的连线 .2.3 柯西中值定理 1若函数 f x 和 g x 满足：（ 1）在闭区间 a,b 连续；（ 2）在开区间 a,b 上可导；（ 3） f x 和 g x 不同时为 0；（ 4） g a g b 则存在 a,b ；使得fa。
若函数个数 a,b ，使得 ff a f b ab柯西中值定理的几何意义与前两个定理的几何意义类似，只是要把f x 和g x 这两个函数写成以x 为参量的参量方程u g xv f x于是两函数联系在平面uOv 上一段连续曲线上了，若曲线的两端点也连续，则在曲线上至少存在一点，该点的切线与两端点的连线平行。
高等数学：第五讲 罗尔中值定理
解： （1） f(x)= x3+4x2-7x-10在区间[-1,2]上连续；
1
（2） f (x)=3x2+8x-7在（-1,2）内存在；
（3）f (-1)=f (2)= 0；
所以 f(x)满足定理的三个条件.
令f (x)=3x2+8x-7=0
解得 x 4 37 3
则 37 4 (1 , 2) 就是要找的点，显然有f (ξ)=0.
3
不求函数 y ( x 1)( x 2)( x 3) 的导数，说明方程
2 f ( x) 0 有几个实根，并指出它们所在的区间．
分析： 该类问题主要说明函数满足罗尔定理的条件，
且寻找函数值相等的若干个点．
本题（1） （2）
所以有
，至少两个根； 为一元二次方程，至多两个根．
．
谢谢
罗尔中值定理
问题引入
y
C
f (a) A
Oa
B
可能不唯一
bx
罗尔中值定理
满足: (1) 在区间 (2) 在区间
上连续 内可导
(3)
在 内至少存在一点
y
f (a) A
y f (x) B
O a
bx
使 f ( ) 0.
补充说明
1）罗尔定理的条件是充分非必要条件．
例如,
y
1
结论成立！
O
π
2
f ( π ) 0. 2
πx
但 y f (x) 在[0, π]上不连续； 不满足定理条件（1）和（明
2) 如果定理三个条件不全满足，结论未必成立． 例如,
y
结论均不成y 立！
O 1x
1 O 1 x
y O 1x
罗尔定理[1]
![罗尔定理[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/90203344a8114431b90dd88e.png)
y
(1) f ( x) C[1,1];
(2) f ( x) D(1,1);
(3) f (1) f (1).
1 0
不 ,使f ( ) 0.
例3 f ( x) x, x [0,1]; y (1) f ( x) C[0,1];
(2) f ( x) D(0,1);
(3) f (0) f (1).
f ( x)在该点的导数等于零，即
f '() 0
几何解释:
y
C
y f (x)
o a 1
在曲线弧AB上至少有一 点C, 在该点处的切线是 水平的.
2 b x
引例：
f ( x) x 2 2x 3 ( x 3)( x 1). 在[1,3]上连续, 在(1,3)上可导, 且 f (1) f (3) 0, f ( x) 2( x 1),
x [0, 3) 2
x3 2
对以上三个函数Rolle定理结论均成立
三、罗尔定理的初步应用
例1
验证罗尔定理对
y
f
(x)
ln
sin
x
在
[
,
5
]
上
66
的正确性.
解 函数f(x)的定义域: 2k x 2k , (k 0,1,)
f(x)在 [ π , 5π] 上连续.
66
又 y cot x 在 ( , 5)内处处存在 66
并且 f () f (5) ln 2
6
6
函数 y ln sin x 在 [ , 5] 上满足罗尔定理 66
的条件.
由 y cot x 0,
在 ( , 5)内显然有解 x .
罗尔定理的证明与应用案例
罗尔定理的证明与应用案例罗尔定理是微积分中的重要概念之一，它是由法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出的。
罗尔定理是微积分中的一个基本定理，它与导数和函数的零点有关。
在本文中，我们将会介绍罗尔定理的证明以及一些应用案例。
一、罗尔定理的证明罗尔定理是微积分中的一个重要定理，它为函数在闭区间上的导数与函数在该闭区间的边界上的函数值之间建立了关系。
下面是罗尔定理的数学表述：设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，且满足f(a) = f(b)，则在开区间(a, b)上至少存在一点ξ，使得f'(ξ) = 0。
证明罗尔定理的关键是使用了导数的连续性和介值定理。
首先，由于f(x)在闭区间[a, b]上连续且在开区间(a, b)上可导，根据导数的连续性定理，f'(x)在闭区间[a, b]上也连续。
然后，我们考虑函数g(x) = f(x) - f(a)，它在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导。
根据罗尔定理的条件，g(a) = g(b) = 0。
由于g(x)在闭区间[a, b]上连续且在开区间(a, b)上可导，根据介值定理，存在一个点ξ，使得g'(ξ) = 0。
而g'(ξ) = f'(ξ) - f'(a) = f'(ξ)，因此，我们得到了罗尔定理的结论：在开区间(a, b)上至少存在一点ξ，使得f'(ξ) = 0。
二、罗尔定理的应用案例罗尔定理在实际问题中有着广泛的应用。
下面我们将介绍一些罗尔定理的应用案例。
1. 寻找函数的极值点根据罗尔定理，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且满足f(a) = f(b)，则在开区间(a, b)上至少存在一点ξ，使得f'(ξ) = 0。
因此，我们可以利用罗尔定理来寻找函数的极值点。
通过求函数的导数，并找到导数为零的点，即可得到函数的极值点。
微积分x02-4中值定理
f (x)在 x 处于可微：
△ydy=f
(x )· △x
f (x)在 [a, b] 上满足 拉格朗日定理条件：
△y=
要求:| △x |很小，
且f (x)0
f ( x+ △x )· △x
要求: △x有限.
拉格朗日中值公式又称有限增量公式.
注:拉氏公式的几种形式
f (b) f (a) f ( ) ba
而 (x) f ( x) f (b) f (a) , ba 所以 ( ) f ( ) f (b) f (a) =0 由此得 f ( )
f (b) f (a) . ba
ba
即 f (b)f (a)=f ( )(ba).
证法二
证 设F ( x) [ f (b) f (a)]x f ( x)(b a)
f ( x) a1 x a2 x an x ,
2 n
则 f(0)=f(1)=0，从而存在0<<1,使得
f ( ) 0.
'
f ( ) a1 2a2 nan
'
n1
0.
2. 拉格朗日
(Lagrange) 中值定理.
y
拉格朗日中值定理 (微分中值定理）: 若函数 f (x)满足
f ( x ) f (0) f ( )( x 0), (0 x )
x ln(1 x ) , 1 x x x, 1 x 1
x 即 ln(1 x ) x . 1 x
• 例3 试证 |sin x -sin y| | x - y |
所以 f ( x)
2
2
罗尔定理,拉格朗日定理
罗尔(Rolle)定理设函数在闭区间上连续，在开区间上可导,且，则在内至少存在一点，使得。
由于在闭区间上连续,则,存在.若,则,内任意一点都可作为.若,则由知与中至少有一个(不妨设为)在区间内某点取到, 即,下面证明.因为在处可导,所以极限存在,因而左、右极限都存在且相等，即，由于是在上的最大值，所以不论或，都有，当时，，因而，当时，，因而，所以，。
拉格朗日定理罗尔定理：拉格朗日定理：若f(x)满足在『a，b』上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在_ ∈，使(如图2).比较定理条件，罗尔定理中端点函数值相等，f ，而拉格朗日定理对两端点函数值不作限制，即不一定相等。
我们要作的辅助函数，除其他条件外，一定要使端点函数值相等，才能归结为:1.首先分析要证明的等式：我们令 (1)则只要能够证明在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈ t就可以了。
由有，f(b)-tb=f(a)-ta (2)分析(2)式，可以看出它的两边分别是F(X)=f(x)-tx在b,a观点的值。
从而，可设辅助函数F(x)=f(x)-tx。
该函数F(x)满足在{a.b{上连续，在(a，b)内可导，且 F(a)=F(b) 。
根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F。
(∈)=O。
也就是f(∈)-t=O，也即f(∈ )=t，代人(1 )得结论2.考虑函数我们知道其导数为且有 F(a)=F(b)=0.作辅助函数，该函数F(x)满足在[a，b]是连续，在(a，b)内可导，且 f F 。
根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F’从而有结论成立.。
那么1.g在 [a,b] 上连续，2.g在 (a,b) 上可微，3.g(a) = g(b) = 0。
由罗尔定理，存在一点，使得g'(ξ) = 0。
即。
中值定理及导数的应用(一)
的极大值点
中值定理及应用
2、若对于该邻域内任意的x(x x0 )
总有f (x) f (x0). 则称 f (x0)为函数
f (x) 的极小值，并称点 x0是 f (x)
的极小值点 函数的极大值与极小值统称为函 数的极值，极大值点与极小值点统
称为函数的极值点。
D、若函数 f (x)在点 x0 连续，则 f (x0)
一定存在
中值定理及应用
四、函数的最大值与最小值
定义
设函数y f (x) 在闭区间[a,b]上有定
义，设 x0 [a,b], 若对于任意 x [a,b], 恒有f (x) f (x0)[或f (x) f (x0) ]，则称 f (x0)
为函数f (x)在闭区间[a,b]上的最大(小) 值。称 x0为f (x) 在闭区间[a,b]上的最
x (x0, x0 )时，f (x) 0, 则函数
f (x)在点 x0处取得极大值 f (x0 );
2、若当 x (x0 , x0)时，f (x) 0, x (x0, x0 )时，f (x) 0, 则函数
f (x)在点 x0处取得极小值 f (x0 );
中值定理及应用
3、若当x (x0 , x0 ) 和 x (x0, x0 ) 时，f (x) 的符号相同，则函数 f (x)
故函数 y x 4 的单调区间是
x (2,0),(0,2)
应选D
中值定理及应用
用函数的单调性证明不等式是一种 常用的方法。
一般步骤为： 假设证明 f (x) g(x)(x D)成立。
1、设 F(x) f (x) g(x) 2、求导数F ( x)并根据已知条件
判断F ( x)的正负。 从而判断 F ( x)的增减性。
罗尔定理
罗尔定理内容：如果函数f(x)满足：在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导；在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得f'(ξ)=0.几何上，罗尔定理的条件表示，曲线弧（方程为）是一条连续的曲线弧，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，且两端点的纵坐标相等。
而定理结论表明，弧上至少有一点，曲线在该点切线是水平的.：泰勒公式内容：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!·(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!·(x-x.) ^3+……+f(n)(x.)/n!·(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!·(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。
）推论：麦克劳林公式内容：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和：f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!·x^2,+f'''(0)/3!·x^3+……+f(n)(0)/n!·x^n+Rn其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!·x^(n+1),这里0<θ<1.拉格朗日中值定理内容：如果函数 f(x) 满足：1)在闭区间[a,b]上连续；2)在开区间(a,b)内可导。
那么：在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使等式f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a) 成立。
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罗尔定理满足的三个条件
罗尔定理是微积分中的一个基本定理，描述了函数在闭区间上的导数为零的特殊情况。
罗尔定理满足以下三个条件：
1. 函数在闭区间上是连续的：函数在闭区间[a,b]上是定义良好且连续的。
2. 函数在开区间上是可导的：函数在开区间(a,b)上有定义且可导。
3. 函数在区间的两个端点上取相等的函数值：函数在区间的两个端点a和b上取相等的函数值，即f(a) = f(b)。
当一个函数满足这三个条件时，罗尔定理说明在开区间(a,b)上至少有一个点c，使得函数在点c处的导数等于零。