上海市高一下学期期末数学试卷含答案(共3套)
高一第二学期期终考试试卷数 学一、填空题(每题3分，共36分) 1、求值：=-)23arcsin(___________ 2、在等差数列}{n a 中，若304321=+++a a a a ，则32a a +=___________3、若413)2(lim2=+++-∞→n bn n a n ，则b a +=________ 4、各项均不为零的数列}{n a 满足n n a a 21=+(*N n ∈)，设其前n 项和为n S ，则24a S =___________ 5、设无穷等比数列}{n a 的公比为q ，若)(lim 431n n a a a a +++=∞→ ，则q =__________6、已知函数],[,sin )(ππ-∈=x x x f ，则不等式21)(-≤x f 的解集为__________ 7、已知函数)sin()(θ+=x x f 是奇函数，则满足条件的所有θ组成的集合为_________8、已知数列}{n a 是等比数列，其前n 项和k S n n +=-13(*N n ∈)，则常数=k ___________9、已知数列}{n a 满足161=a ，n a a n n 21=-+(*N n ∈)，则na n的最小值为___________ 10、函数x x y arcsin sin +=的值域是___________ 11、关于x 的方程0sin cos 2=++a x x 在20π≤<x 上有解，则a 的取值范围是________12、已知xx f +=11)(，各项均为正数的数列}{n a 满足11=a ，)(2n n a f a =+，若012210a a =，则1120a a +的值是___________二、选择题(每题3分，共12分)13、方程2tan =x 的解集是 （ ）(A)},2arctan 2|{Z k k x x ∈+=π (B) },2arctan 2|{Z k k x x ∈±=π (C) },2arctan |{Z k k x x ∈+=π (D) },2arctan )1(|{Z k k x x k∈⋅-+=π14、设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足“当2)(k k f ≥成立时，总可推出2)1()1(+≥+k k f 成立”。
那么下列命题总成立的是 ( ) (A)若1)1(<f 成立，则100)10(<f 成立 (B)若4)2(<f 成立，则1)1(≥f 成立(C)若9)3(≥f 成立，则当1≥k 时，均有2)(k k f ≥成立 (D)若25)4(≥f ，则当4≥k 时，均有2)(k k f ≥成立15、设}{n a 是等比数列，则“321a a a <<”是“数列}{n a 为递增数列”的 ( )(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D) 非充分非必要条件 16、若7s i n 72s i n7s i n πππn S n +++= (*N n ∈)，则在10021,,,S S S 中，正数的个数是 ( )(A)16 (B)72 (C) 86 (D)100三、解答题(共52分)17、(10分) 在等差数列}{n a 中，设其前n 项和为n S ，651=a ， (1)若23-=k a ，且前k 项和5-=k S ，求此数列的公差d ； (2)设数列}{n a 的公差121-=d ，问n 为何值时，n S 取得最大值？18、(10分) 已知数列{}n a 满足11=a ，)(22*1N n n S a n n ∈++=+，(1)当*N n ∈且2≥n 时，数列}2{+n a 是否是等比数列？给出你的结论并加以证明；(2)求数列{}n a 的通项公式19、(10分) 已知函数212cos 2sin 2cos)(2--=x x x x f (1)求函数)(x f 的最小正周期和值域； (2)若1023)(=αf ，求α2sin 的值20、(10分) 已知函数)sin(2)(kx x f =，其中常数0>k ， (1)若)(x f y =在]32,4[ππ-上单调递增，求k 的取值范围；(2)令2=k ，将函数)(x f y =的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数)(x g y =的图像，区间],[b a (R b a ∈,，且b a <)满足： )(x g y =在],[b a 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的],[b a 中，求a b -的最小值21、(12分) 设等比数列{}n a 的首项为12a =，公比为(q q 为正整数），且满足33a 是18a 与5a 的等差中项；数列{}n b 满足2*32()0(,)2n n n t b n b t R n N -++=∈∈。
(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)试确定实数t 的值，使得数列{}n b 为等差数列；(3)当数列{}n b 为等差数列时，对每个正整数k ，在k a 和1k a +之间插入k b 个2，得到一个新数列{}n c 。
设n T 是数列{}n c 的前n 项和，试求满足12m m T c +=的所有正整数m第二学期期终考试试卷高一数学答案一、填空题(每题3分，共36分) 1、求值：=-)23arcsin(___________3π- 2、在等差数列}{n a 中，若304321=+++a a a a ，则32a a +=___________153、若413)2(lim2=+++-∞→n bn n a n ，则b a +=________6 4、各项均不为零的数列}{n a 满足n n a a 21=+(*N n ∈)，设其前n 项和为n S ，则24a S =___________215 5、设无穷等比数列}{n a 的公比为q ，若)(lim 431n n a a a a +++=∞→ ，则q =__________215- 6、已知函数],[,sin )(ππ-∈=x x x f ，则不等式21)(-≤x f 的解集为__________]6,65[ππ-- 7、已知函数)sin()(θ+=x x f 是奇函数，则满足条件的所有θ组成的集合为_________},|{Z k k x x ∈=π8、已知数列}{n a 是等比数列，其前n 项和k S n n +=-13(*N n ∈)，则常数=k ___________31-9、已知数列}{n a 满足161=a ，n a a n n 21=-+(*N n ∈)，则na n的最小值为___________7 10、函数x x y arcsin sin +=的值域是___________]2sin ,21sin [ππ+--11、关于x 的方程0sin cos 2=++a x x 在20π≤<x 上有解，则a 的取值范围是________]1,45[--12、已知xx f +=11)(，各项均为正数的数列}{n a 满足11=a ，)(2n n a f a =+，若012210a a =，则1120a a +的值是___________263513+ 二、选择题(每题3分，共12分)13、方程2tan =x 的解集是 （ ）C(A)},2arctan 2|{Z k k x x ∈+=π (B) },2arctan 2|{Z k k x x ∈±=π(C) },2arctan |{Z k k x x ∈+=π (D) },2arctan )1(|{Z k k x x k∈⋅-+=π14、设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足“当2)(k k f ≥成立时，总可推出2)1()1(+≥+k k f 成立”。
那么下列命题总成立的是 ( )D(A)若1)1(<f 成立，则100)10(<f 成立 (B)若4)2(<f 成立，则1)1(≥f 成立 (C)若9)3(≥f 成立，则当1≥k 时，均有2)(k k f ≥成立 (D)若25)4(≥f ，则当4≥k 时，均有2)(k k f ≥成立15、设}{n a 是等比数列，则“321a a a <<”是“数列}{n a 为递增数列”的（ ）C(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D) 非充分非必要条件 16、若7s i n 72s i n7s i n πππn S n +++= (*N n ∈)，则在10021,,,S S S 中，正数的个数是 （ ）C(A)16 (B)72 (C) 86 (D)100 三、解答题(共52分)17、(10分) 在等差数列}{n a 中，设其前n 项和为n S ，651=a ，(1)若23-=k a ，且前k 项和5-=k S ，求此数列的公差d ；(2)设数列}{n a 的公差121-=d ，问n 为何值时，n S 取得最大值？ 解：(1)由2)(1k k a a k S +=，得52)2365(-=-k ，得：15=k 由d k a a k )1(1-+=，得 6111-=--=k a a d k(2)由0)121()1(65)1(1≥-⋅-+=-+=n d n a a n ，解得：11≤n故当10=n 或11=n 时，n S 取得最大值18、(10分) 已知数列{}n a 满足11=a ，)(22*1N n n S a n n ∈++=+，(1)当*N n ∈且2≥n 时，数列}2{+n a 是否是等比数列？给出你的结论并加以证明； (2)求数列{}n a 的通项公式 解：(1) 2≥n 时，221++=+n S a n n ，221-++=n S a n n 两式相减得：21+=-+n n n a a a ，即)2(221+=++n n a a故当*N n ∈且2≥n 时，数列}2{+n a 是否是等比数列(2)52=a ，故2≥n 时，2272-⋅=+n n a ，即2272-⋅=-n n a 11=a 不满足上式故⎩⎨⎧≥-⋅==-2,2271,12n n a n n 19、(10分) 已知函数212cos 2sin 2cos)(2--=x x x x f (1)求函数)(x f 的最小正周期和值域； (2)若1023)(=αf ，求α2sin 的值 解：(1)21sin 212cos 1)(--+=x x x f x x sin 21cos 21-= )4cos(22π+=x )(x f 的最小正周期为π2，值域为]22,22[-(2)由1023)(=αf 得53)4cos(=+πα )4(c o s 21)22c o s (2s i n 2παπαα+-=+-=257=20、(10分) 已知函数)sin(2)(kx x f =，其中常数0>k ， (1)若)(x f y =在]32,4[ππ-上单调递增，求k 的取值范围；(2)令2=k ，将函数)(x f y =的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数)(x g y =的图像，区间],[b a (R b a ∈,，且b a <)满足：)(x g y =在],[b a 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的],[b a 中，求a b -的最小值解：(1)由题意，得：322ππ≥k 且42ππ-≤-k ，解得：430≤<k (2)1)6(2sin 2)(++=πx x g ，令0)(=x g ，得125ππ+=k x 或43ππ+=k x (Z k ∈)所以两个相邻零点之间的距离为3π或32π，若a b -最小，则a 和b 都是零点，此时在区间],[π+a a ，]2,[π+a a ，…，],[πm a a +(*N m ∈)上分别恰有3，5，…，12+m 个零点，所以在区间]14,[π+a a 上恰有29个零点，从而在区间],14(b a π+上至少有一个零点，所以314ππ≥--a b ，另一方面，在区间]125314,125[ππππ++上恰有30个零点，因此a b -的最小值为343314πππ=+21、(12分) 设等比数列{}n a 的首项为12a =，公比为(q q 为正整数），且满足33a 是18a 与5a 的等差中项；数列{}n b 满足2*32()0(,)2n n n t b n b t R n N -++=∈∈。
上海市上海师范大学附属中学2024届数学高一下期末统考试题含解析
上海市上海师范大学附属中学2024届数学高一下期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．如果数据12,,,n x x x 的平均数为x ，方差为2s ，则1231,31,,31n x x x ---的平均数和方差分别为( ) A ．2,x sB ．231,x s -C ．231,3x s -D ．231,9x s -2．在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 没有公共点，则三角形1PBB 面积的最小值为（ ）A ．1B ．12C ．22D ．243．在△ABC 中，AC 2=，BC ＝1，∠B ＝45°，则∠A ＝（ ） A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°4．在∆ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤．则的取值范围是（ ）A ．（0，6π] B ．[6π，π） C ．（0，3π] D ．[3π，π） 5．某校高一甲、乙两位同学的九科成绩如茎叶图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．甲、乙两人的各科平均分不同B ．甲、乙两人的中位数相同C ．甲各科成绩比乙各科成绩稳定D ．甲的众数是83，乙的众数为876．直线(1)y k x =-与(3,2)A 、(0,1)B 为端点的线段有公共点，则k 的取值范围是（） A ．[1,1]-B ．[1,3]-C ．(,1][3,)-∞-⋃+∞D ．(,1][1,)-∞-+∞7．已知等差数列{}n a 中，若412203a a d +==，，则5a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．如图是函数sin()(0,0,)y A ax A a ϕϕπ=+>><的部分图象２，则该解析式为（ ）A ．2sin 233y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．2sin 324x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．2sin 33y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．22sin 233y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 9．垂直于同一条直线的两条直线一定（ ） A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上都有可能10．设有直线,m n 和平面,αβ，则下列四个命题中，正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，l ∥β，则α∥β C ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2024届上海市长宁、青浦、宝山、嘉定数学高一第二学期期末统考模拟试题含解析
2024届上海市长宁、青浦、宝山、嘉定数学高一第二学期期末统考模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图所示，PA 垂直于以AB 为直径的圆O 所在的平面，C 为圆上异于A B ，的任一点，则下列关系中不正确的是（ ）A ．PA BC ⊥B ．BC ⊥平面PAC C ．AC PB ⊥D ．PC BC ⊥2．等比数列{}n a 中，122a a =，2416a a =，则公比q 等于（ ） A ．2B ．3C 48D ．3243．若直线1:2l y x a =-+与直线22:(2)2l y a x =--平行,则a =A ．1B ．1-C ．3±D ．±14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1142n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对任意*N n ∈，都有()143n p S n ≤-≤成立，则实数p 的取值范围是（ ）A ．()2,3B ．[]2,3C ．92,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．92,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．函数sin()y A x ωϕ=+的部分图像如图所示，则A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(+)6y x π=D ．2sin(+)3y x π=6．不论m 为何值，直线()()21250m x m y -+++=恒过定点 A ．()1,2--B ．()1,2-C ．()1,2-D ．()1,27．如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．34B ．42C ．54D ．728．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为A ．12B ．56 C ．76D ．7129．延长正方形CD AB 的边CD 至E ，使得D CD E =．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若λμAP =AB +AE ，下列判断正确的是（ ）A ．满足2λμ+=的点P 必为CB 的中点 B ．满足1λμ+=的点P 有且只有一个C ．λμ+的最小值不存在D ．λμ+的最大值为310．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N ＋)，那么a 4的值为( )． A ．4B ．8C ．15D ．31二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
上海市高一数学下学期期末试卷含答案(共3套)
上海市嘉定区高中第二学期期末考试高一年级数学试卷考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、学号等在答题卷密封线内相应位置填写清楚； 3．本试卷共21道试题，满分100分，考试时间90分钟．一．填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．已知角α满足sin 0α<且cos 0α<，则角α是第 象限的角． 2．在数列}{n a 中，若4,311+==+n n a a a ，则=5a _______________． 3．方程0224=--xx 的解是_____________．4．函数x x f 2sin 21)(-=的最小正周期是_____________．5．若2tan =x （),0(π∈x ），则x = （结果用反三角函数值表示）． 6．函数x x y cos sin +=的最大值是 ．7．函数)2(log 22x x y -=的单调增区间是________________．8．若等比数列}{n a 满足：531=+a a ，且公比2=q ，则=+53a a ____________． 9．在ABC ∆中,︒=∠60ABC ,且7,5==AC AB ,则=BC ． 10．若不等式01sin )1(<--x a 对于任意R ∈x 都成立， 则实数a 的取值范围是____________．11．已知函数||1|log |)(-=x x f a （0>a ，1≠a ），若4321x x x x <<<， 且)()()()(4321x f x f x f x f ===，则=+++43211111x x x x ____________． 12．已知递增数列}{n a 共有2017项，且各项均不为零，12017=a ，若从}{n a 中任取两项j i a a ,，当j i <时，i j a a -仍是数列}{n a 中的项，则数列}{n a 的各项和=2017S ___________．二．选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写答案的代码，选对得3分，否则一律得零分． 13．“2πϕ=”是“函数)sin()(ϕ+=x x f 为偶函数”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．已知函数)2lg(ax y -=在)1,1(-上是减函数，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．)2,0(B ．),0(+∞C ．]2,0(D ．]2,(-∞15．若数列}{n a 对任意2≥n （*N ∈n ）满足：0)2)(2(11=-----n n n n a a a a ，下面给出关于数列}{n a 的四个命题：（1）}{n a 可以是等差数列； （2）}{n a 可以是等比数列；（3）}{n a 可以既是等差数列又是等比数列 （4）}{n a 可以既不是等差数列又不是等比 数列．则上述命题中，正确的个数是 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16．设函数)cos()cos()(βα+++=x n x m x f ，其中βα,,,n m 为已知实常数，R ∈x ， 则下列命题中错误的是 ( )A ．若0)2()0(==πf f ，则0)(=x f 对任意实数x 恒成立；B ．若0)0(=f ，则函数)(x f 为奇函数；C ．若0)2(=πf ，则函数)(x f 为偶函数；D ．当0)2()0(22≠+πf f 时，若0)()(21==x f x f ，则πk x x 221=- （Z ∈k ）．三．解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题卷相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分8分)已知71)tan(,2tan =+-=βαα，求)2cot(βπ-的值．18．（本题满分8分）在ABC ∆中，c b a ,,分别是C B A ,,所对的边，若ABC ∆的面积是153，2=-c b ，41cos -=A ．求BC 的长．19．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分．已知公差不为零的等差数列}{n a 满足：821=+a a ，且521,,a a a 成等比数列． （1）求数列}{n a 的通项公式．（2）记n S 为数列}{n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得80060+>n S n ？若存 在，请求出n 的最小值；若不存在，请说明理由．20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分．已知函数23)cos 3(sin cos )(-+=x x x x f ，R ∈x ． （1）求函数)(x f 的单调减区间； （2）若存在]2,0[π∈x ，使等式0)()]([2=++m x f x f 成立，求实数m 的取值范围．21．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分．设函数)(x f 和)(x g 都是定义在集合M 上的函数，对于任意的M x ∈，都有))(())((x f g x g f =成立，称函数)(x f 与)(x g 在M 上互为“互换函数”．（1）函数x x f 2)(=与x x g sin )(=在M 上互为“互换函数”，求集合M ；（2）若函数xa x f =)( （0>a 且1≠a ）与1)(+=x x g 在集合M 上互为“互换函数”， 求证：1>a ；（3）函数2)(+=x x f 与)(x g 在集合1|{->=x x M 且},32*N ∈-≠k k x 上互 为“互换函数”，当10<≤x 时,)1(log )(2+=x x g ，且)(x g 在)1,1(-上是偶函数,求函数)(x g 在集合M 上的解析式．嘉定区第二学期期末考试高一年级数学试卷参考答案与评分意见说明：1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分意见酌情给分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但不超过后继部分给分数的一半；如果这一步后面的解答有较严重的错误,就不给分．3．解答题右端所注分数,表示正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．一．填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．三 2．19 3．1=x (填“1”也对) 4．π 5．2arctan 6．2 7．),2(+∞ 8．20 9．8 10．)2,0(（填“20<<a ”也对） 解：令x t sin =，R ∈x ，则 ]1,1[-∈t ．由已知得，不等式01)1(<--t a 对于任意]1,1[-∈t 都成立．又令 1)1()(--=t a t f ，则 ⎩⎨⎧<<-0)1(0)1(f f ，即 ⎩⎨⎧<-⋅-<--⋅-011)1(01)1()1(a a ，解得 20<<a ．所以所求实数a 的取值范围是20<<a ． 11．2解法一：设|||log |)(x x g a = （0>a ，1≠a ），则)(x g 为偶函数，其图像关于y 轴对称， 而函数||1|log |)(-=x x f a （0>a ，1≠a ）的 图像是由)(x g 的图像向右平移一个单位得到的， 所以)(x f 的图像关于直线1=x 对称，)(x f 的大致 图像如图所示．由已知及)(x f 的图像特征可得43211x x x x <<<<，且|)1(log ||)1(log ||)1(log ||)1(log |4321-=-=-=-x x x x a a a a ．由|)1(log ||)1(log |21x x a a -=-得)1(log )1(log 21x x a a -=-或)1(log )1(log 21x x a a --=-即)1(log )1(log 21x x a a -=-或2111log )1(log x x aa -=-则有 2111x x -=-或21111x x -=-，所以21x x =（舍）或 1)1)(1(21=--x x ． 由1)1)(1(21=--x x 得 2121x x x x +=．由|)1(log ||)1(log ||)1(log ||)1(log |4321-=-=-=-x x x x a a a a 同理得 4343x x x x +=， 所以2111111434321214321=+=+++=+++x x x x x x x x x x x x ． 解法二：（特殊值法）令1||1|log |=-x a ，解得 a x 11-=或a x -=1或ax 11+= 或a x +=1．则aa a a x x x x ++++-+-=+++111111111111114321 )11111()11111(a a a a ++++-+-=211)111()111(=+=++++-+-=a a a a a a ． 12．1009解：由题意知，2017321a a a a <⋅⋅⋅<<<，则 1201713120a a a a a a -<⋅⋅⋅<-<-<，且1a a j - （2017,,3,2⋅⋅⋅=j ）都是数列}{n a 中的项．所以112201512016201612017,,,a a a a a a a a a =-⋅⋅⋅=-=-，即1122015201620162017a a a a a a a =-=⋅⋅⋅=-=-，因此数列}{n a 是以1a 为首项，以1a 为公差的一个等差数列， 则 120172016112017==+=a d a a ，可得 201711==d a ， 因此1009220162017201712017=⨯⨯+=d a S ，即10092017=S ．二．选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写答案的代码，选对得3分，否则一律得零分． 13．A 14．C 15．C 16．D解：由题意得 x k k x k k x f sin )sin sin (cos )cos cos ()(22112211αααα+-+=．若0)0(=f ，则得 0cos cos 2211=+ααk k ；若0)2(=πf ，则得0sin sin 2211=+ααk k ．于是当0)2()0(==πf f 时，0)(=x f 对任意实数x 恒成立，即命题A 是真命题；当0)0(=f 时，x k k x f sin )sin sin ()(2211αα+-=，它为奇函数，即即命题B 是真命题； 当0)2(=πf 时，x k k x f cos )cos cos ()(2211αα+=，它为偶函数，即命题C 是真命题；当0)2()0(22≠+πf f 时，令0)(=x f ，则0sin )sin sin (cos )cos cos (22112211=+-+x k k x k k αααα，上述方程中，若0cos =x ，则0sin =x ，这与1sin cos 22=+x x 矛盾，所以0cos ≠x ． 将该方程的两边同除以x cos 得22112211sin sin cos cos tan ααααk k k k x ++=，令m k k k k =++22112211sin sin cos cos αααα （0≠m ），则 m x =tan ，解得 m k x arctan +=π （Z ∈k ）．不妨取 m k x arctan 11+=π，m k x arctan 22+=π （Z ∈1k 且Z ∈2k ）， 则π)(2121k k x x -=-，即πn x x =-21 （Z ∈n ），所以命题D 是假命题．三．解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分8分) 解法一：由71)tan(=+βα得71tan tan 1tan tan =⋅-+βαβα．…………………………………4分 将2tan -=α代入上式，得71tan 212tan =+-ββ，…………………………………………6分解得 3tan =β． …………………………………………………………………………7分 于是 3tan )2cot(==-ββπ，所以 3)2cot(=-βπ．………………………………8分 解法二：因为ββπtan )2cot(=-，………………………………………………………2分又 αβααβααβαβtan )tan(1tan )tan(])tan[(tan ⋅++-+=-+= …………………………………5分35771575715)2(711)2(71=⋅==-⋅+--=，…………………………………………………………7分所以3)2cot(=-βπ． ………………………………………………………………………8分18．（本题满分8分） 解：（1）由41cos -=A （π<<A 0）得415cos 1sin 2=-=A A ．………………2分因为ABC ∆的面积是153，则153sin 21=A bc ，所以 24=bc ． ………………4分 由⎩⎨⎧==-242bc c b 解得⎩⎨⎧==46c b ． ………………………………………………………………6分 由余弦定理得 8)41(46246cos 22222=-⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b BC ，即BC 的长是8．………………………………………………………………………………8分19．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分． 解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d （0d ≠），由题意得 ⎩⎨⎧+⋅=+=++)4()(8112111d a a d a d a a化简，得 ⎩⎨⎧==+da d d a 121282．……………………………………………………………………2分因为0≠d ，所以⎩⎨⎧==+11282a d d a ，解得 ⎩⎨⎧==421d a …………………………………………4分所以 24)1(1-=-+=n d n a a n ，即数列}{n a 的通项公式是24-=n a n （*N ∈n ）． ……………………………………5分（2）由（1）可得 2122)1(n d n n na S n =⨯-+=．……………………………………7分 假设存在正整数n ，使得80060+>n S n ，即 8006022+>n n ，即2304000n n -->，解得40n >或10n <- (舍) ．…………………………………9分 所以所求n 的最小值是41． ………………………………………………………………10分 20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分． 解：（1）23)cos 3(sin cos )(-+=x x x x f 23cos 3cos sin 2-+=x x x 2322cos 132sin 21-+⨯+=x x x x 2cos 232sin 21+= )32s i n (π+=x………………………………………………………………3分由2323222πππππ+≤+≤+k x k （Z ∈k ） 解得 12712ππππ+≤≤+k x k （Z ∈k ）．………………………………………………5分 所以所求函数)(x f 的单调减区间是 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++127,12ππππk k ，Z ∈k ．……………6分 （2）当]2,0[π∈x 时，34323πππ≤+≤x ，1)32sin(23≤+≤-πx ， 即1)(23≤≤-x f ． ………………………………………………………………………8分 令t x f =)( （]1,23[-∈t ），则关于t 的方程02=++m t t 在]1,23[-上有解， 即关于t 的方程t t m +=-2在]1,23[-上有解． 当]1,23[-∈t 时，]2,41[2-∈+t t ．…………………………………………………10分 所以]2,41[-∈-m ，解得 ]41,2[-∈m ． 因此所求实数m 的取值范围是 ]41,2[-．………………………………………………12分21．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分． 解：（1）由))(()((x f g x g f =得x x 2sin sin 2=化简得，0)cos 1(sin 2=-x x ，所以0sin =x 或1cos =x ．……………………………1分 由0sin =x 解得πk x 2=或ππ+=k x 2，Z ∈k ，即πk x 2=或π)12(+=k x ，Z ∈k ．……………………………………………………2分 又由1cos =x 解得 πk x 2=，Z ∈k ．……………………………………………………3分 所以集合πk x x M 2|{==，或},)12(Z ∈+=k k x π，即集合},|{Z ∈==k k x x M π．……………………………………………………………4分 （2）证明：由题意得，11+=+x x a a（0>a 且1≠a ）．………………………………5分变形得 1)1(=-a a x，所以11-=a a x． ………………………………………………6分因为0>xa ，则011>-a ，所以 1>a ．………………………………………………8分 （3）当01<<-x ，则10<-<x ，所以)1(log )()(2x x g x g -=-=． 因为函数)(x g 在)1,1(-上是偶函数，则 )()(x g x g -=． 所以 )1(log )(2x x g -=，因此当11<<-x 时，|)|1(log )(2x x g +=．……………………………………………10分 由于2)(+=x x f 与函数)(x g 在集合M 上“互换函数”， 所以当M x ∈，))(()((x f g x g f =恒成立． 即)2(2)(+=+x g x g 对于任意的M x ∈恒成立．即2)()2(=-+x g x g ．……………………………………………………………………11分 于是有2)]1(2[)2(=-+-+n x g n x g ，2)]2(2[)]1(2[=-+--+n x g n x g ，……2)()2(=-+x g x g ．上述等式相加得 n x g n x g 2)()2(=-+，即n x g n x g 2)()2(+=+．………………13分 当)12,12(+-∈n n x （N ∈n ）时,)1,1(2-∈-n x ， 所以 |)2|1(log )2(2n x n x g -+=-．而⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅-= )12,12()5,3()3,1()1,1(n n M ，N ∈n ， 所以当M x ∈时，n n x n n x g n n x g x g 2|)2|1(log 2)2()2)2(()(2+-+=+-=+-=．…………………14分金山中学高一年级第二学期数学学科期末考试试卷（考试时间：120分钟 满分：150分 ）一、填空题（本大题共12小题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1． 已知向量)1,1(),,2(-==→→b m a ，若向量→a 与b 垂直，则m 等于_______．2． 不等式2101x x -<+的解为 ___ ． 3． 已知tan 2θ=，θ是第三象限角，则sec θ= ．4．方程1)21(log 2-=-x的解=x __________．5．函数1()arccos (1)2f x x x =<<的值域是 . 6．若点)2,4(在幂函数)(x f 的图像上，则函数)(x f 的反函数)(1x f -= .7. 数列{}n a 的通项2sinπn n a n ⋅=，前n 项和为n S ，则=13S ． 8．若数列{}n a 满足220n n a a ++=（n *∈N ）,且11a =，212a =，()12lim n n a a a →∞+++=__.9．设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知(0,1)x ∈，()()12log 1f x x =-，则函数()f x 在(1,2)上的解析式是=)(x f ．10．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，下列命题正确的是_____________． ①总存在某个内角α，使得21cos ≥α； ②存在某钝角ABC ∆，有0tan tan tan >++C B A ； ③若02=⋅+⋅+⋅AB c CA b BC a ，则ABC ∆的最小角小于6π． 11．如图，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ,2,AB =1,AD DC ==P 是线段BC 上一动点，Q 是线段DC 上一动点，,DQ DC λ=(1),CP CB λ=-则AQ AP ⋅的最大值为________．12．设数列{}n a 是首项为0的递增数列，函数11()|sin ()|,[,]n n n n f x x a x a a n+=-∈满足：对于任意的实数)1,0[∈m ，()n f x m =总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是n a = ．二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑.13．已知非零向量a 、b ，“函数2()()f x ax b =+为偶函数”是“a b ⊥”的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ． 充要条件D ．既非充分也非必要条件14．将函数()cos f x x ω=（其中0ω>）的图象向右平移3π个单位，若所得图象与原图象重合，则()24f π不可能等于 （ ）A ．0B ．1C ．22D ．2315．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量1(,)n n n c a a +=，(,1)n b n n =+，n ∈*N ． 下列命题中真命题是 ( )A ．若对任意的n N ∈*，都有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列B ．若对任意的n N ∈*，都有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列C ．若对任意的n N ∈*，都有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等差数列D ．若对任意的n N ∈*，都有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等比数列16．函数x x x f arctan )(3+=的定义域为R ，数列{}n a 是公差为d 的等差数列，若11009-=a ，=m )()()()()(20172016321a f a f a f a f a f +++++ ，则 （ ）A ．m 恒为负数B ．m 恒为正数C ．当0>d 时，m 恒为正数；当0<d 时，m 恒为负数D ．当0>d 时，m 恒为负数；当0<d 时，m 恒为正数三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分8分. 已知3||=，4||=，且与的夹角为0120． （1）求在上的投影； （2）求|32|b a +． 解：18．（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分8分，第二小题满分6分.已知向量)sin ,)62(sin(x x m π+=，)sin ,1(x n =，n m x f ⋅=)(.（1）求函数()y f x =的最小正周期及单调递减区间；（2）记△ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.若212)2(+=Bf ， 3,5==c b ，求a 的值．解：19．（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分8分，第二小题满分6分.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n a S +=+，等差数列{}n b 满足353,9b b ==． （1）分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若对任意的*n N ∈，1()2n n S k b +⋅≥恒成立，求实数k 的取值范围． 解：20．（本题满分16分）本题有2个小题，第一小题满分8分，第二小题满分8分.如图，在四边形ABCD 中，已知23ABC π∠=，3ACD π∠=，2π=∠BAD ，24AD =，设BAC θ∠=)612(πθπ≤≤．（1）求AB （用θ表示）；（2）求BC AB +的最小值.（结果精确到01.0米） 解：21．（本题满分18分）本题有3个小题，第一小题满分4分，第二小题满分6分, 第二小题满分8分. 给定常数0c >，定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+．数列1a ，2a ，3a ，…满足1(),*n n a f a n N +=∈． （1）若12a c =--，求2a 及3a ；（2）求证：对任意*n N ∈，1n n a a c +-≥；（3）是否存在1a ，使得1a ，2a ，3a ，…，n a …成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ；若不存在，说明理由． 解：ABCD金山中学第二学期高一年级数学学科期末考试试卷答案一、填空题4． 2 2．112x -<<3．． 1- 5．(0 )3π， 6． 2x （0≥x ）7. 7 8．1 9．()1log 21-x 10．①③ 11． 2 12．2)1(π-n n 二、选择题13．C 14．D 15．A 16．A三、解答题17． 解： （1）2- （2）3618． 解：（1）212sin 23)(+=x x f ， 最小正周期为π，单调递减区间为Z k k k ∈π+ππ+π],43,4[； （2）31+=a 或31+-=a ．19． 解：（1）由121n n a S +=+----①得当2n ≥时121n n a S -=+----②，①-②得112()n n n n a a S S +--=-，13,n n a a +∴=；当1n =时2112133a a a =+==， 13n n a -∴=5326,3,3(3)336n b b d d b n n -==∴=∴=+-⨯=-；（2）1(1)13311132n n n n a q S q ---===--，311()3622n k n -∴+≥-对*n N ∈恒成立， 即3623n n k -∴≥对*n N ∈恒成立，令3623n n n c -=，11363927333n n n n nn n n c c -----+-=-=， 当3n ≤时，1n n c c ->，当4n ≥时，1n n c c -<，max 32()9n c c ∴==，29k ≥．20． 解：（1）三角形ACD 中，6CDA πθ∠=+，由sin sin AD AC ACD CDA =∠∠ ，得sin )sin 6AD CDA AC ACD πθ⋅∠==+∠ 三角形ABC 中，3ACB πθ∠=-由sin sin AB ACACB ABC =∠∠ ，得 )612)(3sin()6sin(32πθπθππθ≤≤-+=AB （2）三角形ABC 中， 由sin sin BC ACBAC ABC=∠∠ ，得 sin 32sin()sin sin 6AC BAC BC ABC πθθ⋅∠==+∠所以32sin()sin()32sin()sin 636AB BC πππθθθθ+=+-++16sin 2θ=+因为126ππθ≤≤，所以263ππθ≤≤所以当12πθ=时，AB BC +取得最小值821.86+≈最小值约为86.21米.21． 解：（1）因为0c >，1(2)a c =-+，故2111()2|4|||2a f a a c a c ==++-+=，3122()2|4|||10a f a a c a c c ==++-+=+（2）要证明原命题，只需证明()f x x c ≥+对任意x R ∈都成立，()2|4|||f x x c x c x c x c ≥+⇔++-+≥+即只需证明2|4|||+x c x c x c ++≥++若0x c +≤，显然有2|4|||+=0x c x c x c ++≥++成立；若0x c +>，则2|4|||+4x c x c x c x c x c ++≥++⇔++>+显然成立综上，()f x x c ≥+恒成立，即对任意的*n N ∈，1n n a a c +-≥（3）由（2）知，若{}n a 为等差数列，则公差0d c ≥>，故n 无限增大时，总有0n a > 此时，1()2(4)()8n n n n n a f a a c a c a c +==++-+=++ 即8d c =+故21111()2|4|||8a f a a c a c a c ==++-+=++， 即1112|4|||8a c a c a c ++=++++，当10a c +≥时，等式成立，且2n ≥时，0n a >，此时{}n a 为等差数列，满足题意； 若10a c +<，则11|4|48a c a c ++=⇒=--， 此时，230,8,,(2)(8)n a a c a n c ==+=-+也满足题意；综上，满足题意的1a 的取值范围是[,){8}c c -+∞⋃--。
上海市上海中学2024届数学高一下期末统考模拟试题含解析
上海市上海中学2024届数学高一下期末统考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．一个几何体的三视图如图所示，则几何体的体积是( )A ．2B ．43C ．23D ．12．若实数x ，y 满足不等式组220,10,2,x y x y y ++⎧⎪+-⎨⎪-⎩则z x y =-的最大值为（ ）A ．5-B ．2C ．5D ．73．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每个人所得成等差数列，最大的三份之和的17是最小的两份之和，则最小的一份的量是 ( ) A ．116B ．103C ．56D ．534．已知向量a =(2，tan θ)，b =(1，-1)，a ∥b ，则tan()4πθ-=( )A ．2B ．-3C ．-1D ．-35．某个算法程序框图如图所示，如果最后输出的S 的值是25，那么图中空白处应填的是（ ）A ．4?i <B ．5?i <C ．6?i <D ．7?i <6．已知()2,0A ,()0,2B ,从()1,0P 射出的光线经过直线AB 反射后再射到直线OB 上,最后经直线OB 反射后又回到P 点,则光线所经过的路程可以用对称性转化为一条线段,这条线段的长为( ) A ．10B ．3C ．5D ．237．在长方体1111ABCD A B C D -中，23AB =，32=AD ，132AA =，则异面直线1AC 与CD 所成角的大小为( )A ．6πB ．4π C ．3π D ．3π或23π 8．设α，β为两个平面，则能断定α∥β的条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α，β平行于同一条直线 C ．α，β垂直于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面9．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，则与BC 相等的向量为（ ）A ．BAB ．CDC ．AD D ．OD10．在区间[2,7]-上随机选取一个实数x ，则事件“2log 10x -≥”发生的概率是（ ）A ．13B ．59C ．79D ．89二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
上海市松江二中2023-2024学年高一下学期期末考试 数学试卷【含答案】
松江二中2023学年第二学期期末考试高一数学考生注意：1.试卷满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括三部分，第一部分为填空题，第二部分为选择题，第三部分为解答题.3.答题前，务必在答题纸上填写考号、姓名、班级.作答必须涂或写在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题共有12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．已知两条相交直线a ，b ，且a//平面α，则b 与α的位置关系是.2．复数z 满足()3i 5i z -=（i 为虚数单位），则z =.3．设平面向量()sin ,1a θ= ，(cos b θ= ，若a ，b不能组成平面上的一个基底，则tan θ=．4．如图，O A B '''△是水平放置的OAB 的斜二测直观图，若3O A ''=，4OB '=，则OAB 的面积为.5．若正数x ，y 满足24xy y +=，则x y的最大值为.6．已知10π,sin cos 2ααα<<+=，则cos sin αα-的值为．7．如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面米处观看?（精确到0.1米）.8．空间给定不共面的A 、B 、C 、D 四个点，如果这四个点到平面α的距离都相等，那么这样的平面α的个数是.9．已知二面角l αβ--的大小为60°，点P ，Q 分别在α，β上且PQ l ⊥，若点P 到β的距3Q 到α3PQ 两点之间的距离为.10．设定义在R 上的函数()f x 满足()()21f x f x =+，且当[)1,0x ∈-时，()()1f x x x =-+.若对任意[),x λ∈+∞，不等式()34f x ≤恒成立，则实数λ的最小值是.11．关于x 的实系数方程2450x x -+=和220x mx m ++=有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是.12．已知单位向量,a b 夹角为锐角，对t R ∈，a t b -⋅ 的取值范围是3[)2+∞，若向量c 满足(2)()0c a c b -⋅-=，则c r 的最小值为．二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑.13．在下列判断两个平面α与β平行的四个命题中，其中假命题的是（）A ．α，β都垂直于直线l ，那么αβ∥B ．α，β都平行于平面γ，那么αβ∥C ．α，β都垂直于平面γ，那么αβ∥D ．如果l ，m 是两条异面直线，且l α∥，m α ，l β ，m β ，那么αβ∥14．已知a ,b 是平面内两个非零向量，那么“a ∥b”是“存在0λ≠，使得a b a b λλ+=+ ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件15．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1AA 上一点，若平面1MBD 与棱1CC 交于点N ，则下列说法中正确的是（）A ．存在平面1MBND 与直线1BB 垂直B ．四边形1MBND 可能是正方形C ．不存在平面1MBND 与直线11A C 平行D ．任意平面1MBND 与平面1ACB 垂直16．已知函数()()5sin 2θf x x =-，πθ0,2⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，[]0,5πx ∈，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,,n x x x x ⋅⋅⋅，且1231n n x x x x x -<<<⋅⋅⋅<<，*n ∈N 若12321832222π2n n n x x x x x x --+++⋅⋅⋅+++=，则θ=（）A ．π9B ．π6C ．π4D ．π12三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是11B C 的中点.（1）求异面直线AE 与1BC 所成的角的大小；（2）求直线AC 与平面11ABC D 所成的角的大小.18．已知向量()()()()()3,1,1,1,,4,,,,OA OB OC m OD x y m x y =-=-==∈R．(1)若,,A B C 三点共线，求m 的值；(2)若四边形ABCD 为矩形，求2x y +的值．19．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,,tan tana b c b A b B +=(1)求角B ；(2)茬D 是边AC 上的点，且33,AD DC A ABD ∠∠θ====，求sin θ的值.20．如图，已知四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥.(1)求证：AC CD ⊥；(2)若在此四面体中任取两条棱作为一组（(),a b 和(),b a 视为同一组），则它们互相垂直的组数记为1a ；任取两个面作为一组（(),αβ和(),βα视为同一组），则它们互相垂直的组数记为2a ；任取一个面和不在此面上的一条棱作为一组（(),a α和(),a α视为同一组），则它们互相垂直的组数记为3a ，试求123a a a ++的值；(3)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”.若此“鳖臑”中，1CD =，1AB BC ==，有一根彩带经过平面ABC 与平面ACD ，且彩带的两个端点分别固定在点B和点D 处，求彩带的最小长度.21．对于分别定义在1D ，2D 上的函数()f x ，()g x 以及实数k ，若存在11x D ∈，22x D ∈使得()()12f x g x k -=，则称函数()f x 与()g x 具有关系()M k .(1)若()cos f x x =，[]0,πx ∈；()sin g x x =，[]0,πx ∈，判断()f x 与()g x 是否具有关系()2M -，并说明理由；(2)若()2sin f x x =与()22cos sin 1g x x x =+-具有关系()M k ，求k 的取值范围；(3)已知0a >，()h x 为定义在R 上的奇函数，且满足：①在[]0,2a 上，当且仅当2ax =时，()h x 取得最大值1；②对任意x ∈R ，有()()h a x h a x +=--.判断()()sin 2πf x x h x =+与()()cos 2πg x h x x =-是否具有关系()4M ，并说明理由.1．b//平面α或b 与平面α相交【分析】画出图形不难看出直线b 与平面α的位置关系，平行或相交.【详解】由题意画出图形，当,a b 所在平面与平面α平行时，b 与平面α平行，当,a b 所在平面与平面α相交时，b 与平面α相交.故答案为:b//平面a 或b 与平面α相交.【点睛】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力，是基础题.2．102【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的公式计算即可.【详解】因为复数z 满足()3i 5i z -=，所以()()()5i 3i 5i 515i 13i 3i 3i 3i 1022z +-+====-+--+，所以2z =，故答案为：1023．3【分析】利用基底的定义可得//a b，再利用共线向量的坐标表示求解即得.【详解】由a ，b不能组成平面上的一个基底，得//a b ，而()sin ,1a θ= ，(cos b θ= ，cos θθ=，所以sin tan cos 3θθθ==.4．12【分析】根据斜二测画法，将直观图还原可知原三角形为直角三角形，求出两直角边的长度，即可得出答案.【详解】如图，根据斜二测画法，将直观图还原后，得到的AOB 为直角三角形，且两条直角边4OB O B ''==，26OA O A ''==，所以，OAB 的面积为1S 46122=⨯⨯=.故答案为：12.5．2【分析】根据24xy y +=得出240x y =->，得出102y <<，242x y y y -=，根据y 的范围求出x y的范围即可.【详解】24xy y +=，24x y ∴+=，240x y =->，所以12y >，即102y <<，222421212211x y y y y y y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-==--=---⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，根据二次函数的性质可知1y =时，上式取得最大值2.故答案为：2.6．72【分析】根据同角关系中的平方关系进行解答，注意2sin cos 0αα<涉及的函数值正负与角终边所在象限联系，结合0πα<<，进一步缩小角的范围，进而在开方运算时得出正确的符号.【详解】由已知得()21sin cos 4αα+=，即32sin cos 4αα=-，∴()2cos sin 12sin cos αααα-=-74=，由2sin cos 0αα<，且0πα<<，∴π2απ<<，∴cos sin 0αα-<，∴7cos sin αα-=故答案为：77．3.2【分析】作CD AB ⊥于D ，设CD t =，根据两角差的正切公式，结合不等式求tan ACB ∠的最大值，并确定对应的t 即可.【详解】如图：作CD AB ⊥于D ，设()0CD t t =>，则5tan ACD t∠=，2tan BCD t ∠=.所以()tan tan ACB ACD BCD ∠=∠-∠tan tan 1tan tan ACD BCD ACD BCD ∠-∠=+∠⋅∠52521t t t t -=+⋅2310t t =+310t t=+≤=t “=”）3.16≈，故 3.2t ≈（米），故答案为：3.28．7【分析】分平面α的两边分别有1个点，3个点和两边各有2个点讨论即可.【详解】因为,,,A B C D 四点不共面，所以,,,A B C D 可以看作是四面体的顶点，取四面体ABCD 各棱的中点为,,,,,E F G H M N .如图：当,,,A B C D 四个点在平面α的一侧有1个点，另一侧有3个点，且它们到平面α的距离相等，这样的平面有平面EFN ，平面EMH ，平面FMG ，平面NGH ，共4个；当,,,A B C D 四个点分别在平面α的两侧各有两个点，且它们到平面α的距离相等，这样的平面有平面EMGN ，平面EHGF ，平面MFNH ，共3个.所以满足条件的平面α共7个.故答案为：79【分析】作PD l ⊥于D ，连接QD ，则l ⊥平面PQD ，所以PDQ ∠即为二面角l αβ--的平面角，作PM β⊥于M ，则M 在QD 上，作QN α⊥于N ，则N 在PD 上，在PQD △内求PQ 即可.【详解】如图：作PD l ⊥于D ，连接QD ，又因为PQ l ⊥，,PQ PD ⊂平面PQD ，PQ PD P ⋂=，所以l ⊥平面PQD .所以PDQ ∠即为二面角l αβ--的平面角，故60PDQ ∠=︒.作PM β⊥于M ，则M 在QD 上，作QN α⊥于N ，则N 在PD 上.在R t PMD 中，PM =PM QD ⊥，60PDQ ∠=︒，所以2PD =；在R t QND 中，2QN =，QN PD ⊥，60PDQ ∠=︒，所以1QD =.由余弦定理：2222cos 60PQ DQ DP DP DQ =+-⋅⋅︒11421232=+-⨯⨯⨯=，所以PQ =.10．94-## 2.25-【分析】由题意，根据给定的函数解析式，结合等式关系，拓展其他区间的函数解析式，利用二次函数的性质，可得答案.【详解】()()21f x f x =+ ，且当[)1,0x ∈-时，()()2111324144f x x x x ⎛⎫=-++≤≤ ⎪⎝⎭=-+恒成立，∴()()()1112f x f x f x =-≤-，易知当0x >时，则()1324f x f ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭恒成立，当[)2,1x ∈--，即[)11,0x +∈-时，()()()()2311321*********f x f x x x x ⎛⎫=+=-+++=-++≤≤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭恒成立，当[)3,2x ∈--，即[)21,0x +∈-时，()()()()()25214242214112f x f x f x x x x ⎛⎫=+=+=-+++=-++≤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，不满足()34f x ≤恒成立，解不等式2534124x ⎛⎫-++≤ ⎪⎝⎭，251216x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，在[)3,2x ∈--上的解集为1193,,244⎡⎤⎡⎫----⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ ，综上所述，当9,4x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭时，()34f x ≤恒成立，∴实数λ的最小值为94-.故答案为：94-.11．(01){1}⋃-，【分析】解出方程2450x x -+=，可得其对应的点,A B ，对于方程220x mx m ++=，讨论其∆，进一步分析计算即可.【详解】因为2450x x -+=的解为2i x ==±，设所对应的两点分别为,A B ，则(2),1A ，(21,)B -，设220x mx m ++=的解所对应的两点分别为C ，D ，记为(1C x ,12)(y D x ，,2)y ，当Δ0<，即01m <<时，因为,A B 关于x 轴对称，且C ，D ，关于x 轴对称，显然四点共圆；当0∆>，即1m >或0m <时，此时(1C x ,20),(D x ,0)，且122x x m +=-，故此圆的圆心为(,0)m -，半径12||2x x r -==又圆心1O 到A 的距离1O A r ==，解得1m =-，综上：()0,1{1}m ∈⋃-,故答案为：()0,1{1}⋃-.12．2【分析】根据a t b -⋅ 的最小值可求出,a b 的夹角为60θ=︒，然后根据已知设(1,0)a = ，1(2b = ，(,)c x y = ，条件(2)()0c a c b -⋅-= 可转化为点(,)C x y 在一个圆上，而结论就是求这个圆的点到原点距离的最小值．【详解】向量,a b 夹角为θ，由题意2a tb - 的取值范围是3[,)4+∞，因为a t b -⋅≥ 222324a ta b t b -⋅+≥ ，即2312cos 4t t θ+-≥，得212cos 04t t θ-+≥，因为212cos 4t t θ-+的最小值为0，所以24cos 10θ∆=-=，解得1cos 2θ=±，因为θ为锐角，所以1cos 2θ=，所以60θ=︒，不妨设(1,0)a = ，13(,)22b = ，(,)c x y = ，1313(2)()(2,)(,)(2)()()02222c a c b x y x y x x y y -⋅-=-⋅--=--+-= ，整理得2253()()444x y -+=，因此点(,)C x y 在以5(4M它到原点距离的最小值为OM ．即c r的最小值为732．故答案为：2【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量数量积的应用，它把向量的数量积与平面上点与圆的位置关系联系在一起，是一道难题．解题的关键是首先对已知条件进行转化，如条件对t R ∈，a t b -⋅ 的取值范围是[,)2+∞，可转化为1cos 2θ=，这样向量,a b 的关系就确定了，下面为了已知(2)()0c a c b -⋅-=的明确化，设出向量坐标，从而由已知条件可得c 的坐标的关系，进而可求得答案，考查数学转化思想13．C【分析】根据线面垂直的性质判断A ；根据面面平行的概念判断B ；根据特例判断C ；根据线面平行，判断面面平行判断D.【详解】根据垂直于同一条直线的两个平面互相平行，可知A 正确；根据平行于同一个平面的两个平面互相平行，可知B 正确；根据墙角模型可知，垂直于同一个平面的两个平面未必平行，故C 错误；作l l '∥，且,l m '相交，则,l m '可确定平面γ，因为l l αα⇒' ，m α ，所以γα∥，同理γβ∥，故αβ∥，故D 正确.故选：C 14．C【分析】根据向量的模长关系以及共线，即可结合必要不充分条件进行判断.【详解】若a ∥b ，则则存在唯一的实数μ≠0，使得a b μ=，故a b b b b λμλμλ+=+=+，而()a b b b b λμλλμ+=+=+ ，存在λ使得λμλμ+=+成立，所以“a ∥b”是“存在0λ≠，使得a b a b λλ+=+ ”的充分条件，若0λ≠且a b a b λλ+=+ ，则a 与b λ 方向相同,故此时a ∥b，所以“a ∥b”是“存在0λ≠，使得”a b a b λλ+=+ 的必要条件，故a ∥b”是“存在0λ≠，使得|”a b a b λλ+=+ 的充分必要条件，故选:C 15．D【分析】根据正方体的性质判断A ，根据面面平行的性质得到四边形1MBND 是平行四边形，再由11A D BM ⊥，即可判断B ，当M 为1AA 的中点时N 为1CC 的中点，即可判断C ，建立空间直角坐标系，利用向量法说明D.【详解】对于A ：在正方体1111ABCD A B C D -中1BB ⊥平面1111D C B A ，显然平面1MBND 与平面1111D C B A 不平行，故直线1BB 不可能垂直平面1MBND ，故A 错误；对于B ：在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1AA 上一点，平面1MBD 与棱1CC 交于点N ，由平面11//BCC B 平面11ADD A ，并且1,,,B M N D 四点共面，平面11BCC B 平面1BND M BN =，平面11ADD A 平面11BND M MD =，∴1//MD BN ，同理可证1//ND MB ，故四边形1MBND 是平行四边形，在正方体1111ABCD A B C D -中，由几何知识得，11A D ⊥平面11ABB A ，∵BM ⊂平面11ABB A ，∴11A D BM ⊥，若1MBND 是正方形，有1MD BM ⊥，此时M 与1A 重合时，但显然四边形11A BCD 不是正方形，故B 错误；对于C ：当M 为1AA 的中点时，N 为1CC 的中点，所以11//A M C N 且11=A M C N ，所以11A MNC 为平行四边形，所以11//A C NM ，11A C ⊄平面1MBND ，MN ⊂平面1MBND ，所以11//A C 平面1MBND ，故C 错误；对于D ：设正方体边长为2，建立空间直角坐标系如下图所示，由几何知识得，()()()()()112,0,0,2,2,0,0,2,0,2,2,2,0,0,2A B C B D ,∴()()()112,2,2,2,2,0,0,2,2D B AC AB =-=-=,∵1110D B AC D B AB ⋅=⋅=，∴111,D B AC D B AB ⊥⊥，∵1AC AB A ⋂=，AC ⊂平面1ACB ，1AB ⊂平面1ACB ，∴1D B ⊥平面1ACB ，∵1D B ⊂平面1MBND ，∴任意平面1MBND 与平面1ACB 垂直，故D 正确.故选：D 16．A【分析】先明确函数在[]0,5π上对称轴的条数，再根据1239,,,,x x x x L 的对称性，和1238983π2222x x x x x +++++=，可求θ的值.【详解】由π2θπ2x k -=+⇒ππθ,Z 422k x k =++∈，为函数()f x 的对称轴.又函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，且πθ0,2⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，[]0,5πx ∈，所以当0k =时，可得函数()f x 的第一条对称轴为πθ42x =+，当9k =时，π9πθ19πθ5π42242x =++=+≤.所以函数()f x 在[]0,5π有9条对称轴.根据正弦函数的图象和性质可知，函数()()5sin 2θf x x =-与3y =的交点有9个，其横坐标分别为：1239,,,,x x x x L ，且1239x x x x <<<< ，且12,x x 关于πθ42x =+对称，所以12x x +=πθ242⎛⎫+ ⎪⎝⎭；23,x x 关于3πθ42x =+对称，所以23+=x x 3πθ242⎛⎫+ ⎪⎝⎭；……89,x x 关于17πθ42x =+对称，所以89x x +=17πθ242⎛⎫+⎪⎝⎭.所以12389222x x x x x +++++ 81π9θ2=+83π2=⇒πθ9=.故选：A【点睛】关键点点睛：本题的关键点就是方程()3f x =的根与对称轴的对称关系，利用对称关系和对称轴方程，表示出12389222x x x x x +++++ 即可求解.17．（1）4π（2）6π【分析】（1）由11//AD BC 得出1,AE BC 所成的角为1D AE ∠，利用余弦定理得出异面直线AE 与1BC 所成的角；（2）先证明1B C ⊥平面11ABC D ，从而得出CAO ∠为直线AC 与平面11ABC D 所成的角，再由直角三角形边角关系得出所求角.【详解】（1）11//AD BC ，1,AE BC ∴所成的角为1D AE∠连接1D E ，设2AB =，则2212222AD =+=，2221223AE =++=221215D E =+=，18952cos 22223D AE +-∠==⨯⨯ 异面直线夹角的范围为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，14D AE π∴∠=即异面直线AE 与1BC 所成的角为4π（2）连接1B C 交1BC 于点O ，连接AO四边形11BCC B 为正方形，11BC B C∴⊥又AB ⊥平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B 1BC AB ∴⊥1AB BC B =Q I 1B C ∴⊥平面11ABC D 即CAO ∠为直线AC 与平面11ABC D 所成的角设2AB =，则222222222,1216AC AO =+==++=63cos 222CAO ∴∠==又直线与平面所成角的范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，6CAO π∴∠=即直线AC 与平面11ABC D 所成的角为6π18．(1)9m =-(2)25x y +=【分析】（1）由()()()3,1,1,1,,4OA OB OC m =-=-=，由,,A B C 三点共线，可得9m =-.（2）由()()()()4,2,,41,11,5,AB BC OC OB m m =-=-=--=-，()()(),,4,4CD OD OC x y m x m y =-=-=-- ，若四边形ABCD 为矩形，求解1,62x y =-=．即可得到结果.【详解】（1）因为()()()3,1,1,1,,4OA OB OC m =-=-=，所以()()()1,13,14,2AB OB OA =-=---=- ，()()(),43,13,3AC OC OA m m =-=--=+．又,,A B C 三点共线，所以ABAC ，所以()()43230m ⨯--+=，解得9m =-．（2）由()()()()4,2,,41,11,5,AB BC OC OB m m =-=-=--=-()()(),,4,4CD OD OC x y m x m y =-=-=--，若四边形ABCD 为矩形，则AB BC ⊥．即()41100AB BC m ⋅=--= ，解得72m =．由AB CD =- ，得74,242,x m x y ⎧-=-=-⎪⎨⎪-=⎩解得1,62x y =-=．所以25x y +=．19．(1)π6B =；【分析】（1）把给定等式切化弦，利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换求解作答.（2）根据给定条件，求出BD ，在ABC 和BDC 中分别利用正弦定理、余弦定理列式，求解作答.【详解】（1）在ABC中，由tan tan b A b B +=sin sin cos cos A B A B +=，由正弦定理得：sin()cos cos A B A B +=，而sin()sin(π)sin A B C C +=-=，即有sin cos cos C A B =，又()0,πC ∈，即sin 0C ≠，cos B B =，有tan B =，又(0,π)B ∈，所以π6B =.（2）因为D 是AC 边上的点，且33,AD DC A ABD ∠∠θ====，于是2,3,1,4BDC AD BD DC AC ∠θ=====，如图，在ABC 中，由正弦定理得：sin sin BC ACABCθ∠=，即4sin 8sin πsin 6BC θθ==，在BDC 中，由余弦定理得：2222cos2106cos2BC BD CD BD CD θθ=+-⋅=-，则有2264sin 106(12sin )θθ=--，整理得252sin 4θ=，解得：21sin 13θ=，而π(0,)2θ∈，所以13sin 13θ=.20．(1)证明见解析(2)1022+【分析】（1）由线面垂直得到AB CD ⊥，结合BC CD ⊥得到线面垂直，进而证明出线线垂直；（2）根据线线垂直、线面垂直以及面面垂直分析求解即可；（3）将平面ABC 与平面ACD 沿AC 展开成平面图形，则BD 即为所求，从而利用余弦定理求出答案即可.【详解】（1）因为AB ⊥平面BCD ，,,BC BD CD ⊂平面BCD ，则,,AB BC AB BD AB CD ⊥⊥⊥，又BC CD ⊥，AB BC B ⋂=，,AB BC ⊂平面ABC ，所以CD ⊥平面ABC ，因为AC ⊂平面ABC ，所以AC CD ⊥.（2）由（1）可知：,,AB BC AB BD AB CD ⊥⊥⊥，AC CD ⊥，且CD ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，则CD BC ⊥，且其余各棱均不垂直，可得15a =；由AB ⊥平面BCD ，且AB ⊂平面ABC ，AB ⊂平面ABD ，可得平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABD ⊥平面BCD ，同理：由CD ⊥平面ABC 可得：平面ACD ⊥平面ABC ，且其余各面均不垂直，可得23a =；由AB ⊥平面BCD ，CD ⊥平面ABC ，且其余各线面均不垂直，可得32a =；综上所述：12310a a a ++=.（3）将平面ABC 与平面ACD 沿AC 展开成如图2所示的平面图形，连接BD ，所以彩带的最小长度为图2平面图中BD 的长，.由（1）知=90ACD ∠︒，在图1中，因为AB ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，所以AB BC ⊥，又因为1AB BC CD ===，所以45ACB ∠=︒，故在图2中，135BCD ∠=︒，所以在图2中，在BCD △中，由余弦定理得BD ===21．(1)()f x 与()g x 具有关系()2M -，理由见解析(2)25,48k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；(3)不具有关系()4M ，理由见解析【分析】（1）根据三角函数的性质可得()ππ22f g ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，结合新定义即可下结论；（2）根据三角函数与二次函数的性质可得()[]2,2f x ∈-、()92,8g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()()1225,48f x g x ⎡⎤-∈-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦，结合新定义即可求解；（3）根据函数的对称性和周期性求出()h x 、sin 2πx 、cos 2πx 的值域.当()11h x =、1sin 2π1x =时，有()()111sin 2π2f x x h x =+=；当()21h x =-、2cos 2π1x =时，有()()222cos 2π2g x h x x =-=-，进而()()1122sin 2πcos 2π4x h x x h x ++-<，结合新定义即可下结论.【详解】（1）()f x 与()g x 具有关系()2M -，理由如下：当[]0,πx ∈时，()[]cos 1,1f x x =∈-，()[]sin 0,1g x x =∈，当1πx =，()()π1f x f ==-，当2π2x =时，()π12g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，此时()ππ22f g ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则()f x 与()g x 具有关系()2M -；（2）()[]2sin 2,2f x x =∈-，()222192cos sin 1cos 2sin 12sin sin 2sin 48g x x x x x x x x ⎛⎫=+-=+=-+=--+ ⎪⎝⎭，因为[]sin 1,1x ∈-，则当sin 1x =-时，21921248⎛⎫---+=- ⎪⎝⎭，则()92,8g x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，所以()()1225,48f x g x ⎡⎤-∈-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦，则25,48k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；（3）不具有()4M 关系，理由如下：因为在[]0,2a 上，当且仅当2ax =时，()h x 取得最大值1；又()f x 为定义在R 上的奇函数，故在[]2,0a -上，当且仅当2ax =-时，()f x 取得最小值-1，由对任意x ∈R ，有()()0h a x h a x ++-=，所以()y f x =关于点(),0a 对称，又()()()h a x h a x h x a +-==--，所以()h x 的周期为2a ，故()h x 的值域为[]1,1-，[]sin 2π1,1x ∈-，[]cos 2π1,1x ∈-，当()11h x =时，122a x n =+，Z n ∈；1sin 2π1x =时，114x k =+，Z k ∈，若1224a na k +=+，则4182k a n +=+，,Z k n ∈，此时有()()111sin 2π2f x x h x =+=；当()21h x =-时，222a x ma =-+，m ∈Z ；2cos 2π1x =时，2x t =，Z t ∈，若22a ma t -+=，则241t a m =-，,Z t m ∈时，有()()222cos 2π2g x h x x =-=-；由于4128241k t a n m +=≠+-，所以()()1122sin 2πcos 2π4x h x x h x ++-<，故不存在1R x ∈，2R x ∈，使得()()1222sin 2πcos 2π4x f x x f x ++-=，所以()()sin 2πf x x h x =+与()()cos 2πg x h x x =-不具有关系()4M .【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是三角函数的图象与性质.。
上海市华东师范大学第二附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)
华东师范大学第二附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷一、填空题（第1—6题每题4分，第7—12题每题5分，满分54分）1. 是第_____________象限角，2. 复数_____．3. 函数的最大值是______.4. 已知，且，则______．5. 已知是实系数方程一个虚根，则______．6. 已知等比数列满足，，则______．7. 已知，则在上的数量投影是______．8. 在中，，则______．9. 已知复数z 满足，则的最大值为___________.10. 等差数列前项和分别是，若，则______．11. 若函数在上严格减，则正实数的取值范围是______．12. 已知平面向量，，，，满足，，，则最大值为______.二、选择题（本大题共4题，满分20分）13. “”是“是纯虚数”（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 既不充分也不必要D. 充要14. 若不平行，则下列向量中不能作为平面的一个基底是（ ）A. 与B. 与C. 与D. 与的的的的20242(1i)+=3sin 4cos y x x =+()()1,3,2,a b k == a b ⊥k =12024i +20x px q ++=p ={}n a 134a a +=246a a +=35a a +=()()3,4,2,1a b == a bABC V 36,5,cos 5b c bc A +====a 34i 2z ++≤z {}{},n n a b n ,n n S T 542n n S n T n +=+44a b =()sin 0y x ωω>=3π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ω1e 2e 3e p 1231e e e ===u r u r u r 120e e ⋅= 1p ≤r ()()12p e p e -⋅-+u r u r r r ()()()()2331p e p e p e p e -⋅-+-⋅-u r u r u r u r r r r r 1m =()()2322i z m m m =-++-12,e e 12e e + 12e e - 122e e + 122e e + 123e e - 2126e e - 2e 12e e +15. 在中，，则（ ）A. B. C. 或 D. 以上答案均不正确16. 已知是定义在复数集上的次实系数多项式（是正整数），给出下列两个命题：①如果虚数是的根，即，那么也是的根，即；②可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积；则下列说法正确的是（ ）A. 命题①②都是真命题B. 命题①②都是假命题C. 命题①是真命题，命题②是假命题D. 命题①是假命题，命题②是真命题三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 已知函数.（1）求的最小正周期和单调递增区间.（2）当时，求的最值.18. 在数列中，已知．（1）求的通项公式；（2）计算：．19. 在复数范围解方程．（1）关于的实系数一元二次方程的两根满足的值；（2）关于的实系数一元二次方程的两根，请根据实数的不同取值范围讨论的值．20. 在中，，平面上点满足，，动点在线段上（不含端点）．（1）设，用含有的式子表示；的ABC V 53sin ,cos 135A B ==cos C =56651665-56651665-()()11100,R,0,1,,n n n n n i P z a z a z a z a a a i n --=++++≠∈= n n z ()P z ()0P z =z ()P z ()0P z =()P z 22()cos sin cos =-+f x x x x x ()f x 0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x {}n a 11,11n n n a a a a +==+1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭122320242025a a a a a a +++ x 220x x k ++=12,x x 12x x -=k x 220x x k ++=12,x x k 12x x +ABC V 3,4,60AB AC BAC ∠=== ,D E 23AD AB = 34A A E C = P DE ()01DP k DE k =<< ,,k AD AE AP（2）设，求的最小值；（3）求的最小值．21. 一个如果定义在上的函数使得，则称是一个元置换，可以用一个的数表来简单表示，例如表示一个4元置换，对于一个元置换和，按照的递推关系定义的数列称为关于生成的数列．（1）对于3元置换，直接写出2关于的生成数列的前四项；（2）给出两条新定义：①对于一个数列，如果存在正整数，使得对于任意正整数，都有，则称是一个周期数列，并称是的一个周期；②对于一个元置换，如果存在正整数，使得对任意，都是关于的生成数列的一个周期，则称是元置换的一个周期．对于5元置换，求的一个周期；（3）王老师有一个特制机关盒和一把特制钥匙，锁孔内部有10个互不相同的可移动的凹槽，钥匙上有10个对应的固定的齿，必须所有的齿与对应的凹槽同时匹配后，再按下开关，才能打开机关盒，钥匙每顺时针转动一圈，就会按照某个10元置换运作，将在第个位置的凹槽转移到第个位置上．机关盒原本处于打开状态，但一位贪玩的同学将机关盒关上后，又把钥匙顺时针转动了一圈，且操作不当弄坏了零件，导致钥匙只能继续顺时针转动，而且只有一次按下开关的机会，如果按下开关时所有的齿与凹槽没有匹配上，机关盒就会彻底报废．问：王老师还有办法打开机关盒吗？他要至少继续顺时针转动钥匙多少次，才能保证能打开机关盒？AP xAB y AC =+ 12xy +PB PC ⋅{}1,2,,m f ()()(){}{}1,2,,1,2,,f f f m m = f m 2m ⨯()()()1212m f f f f m ⎛⎫= ⎪⎝⎭12344213f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()()()()14,22,31,43f f f f f ====：m f {}1,2,,a m ∈ ()11,1n n a f a n a a+⎧=≥⎨=⎩{}n a a f 123231f ⎛⎫= ⎪⎝⎭f {}n a {}n b T n n T n b b +={}n b T {}n b m f T {}1,2,,a m ∈ T a f {}n a T m f 1234525431f ⎛⎫= ⎪⎝⎭f f k ()f k ()110k ≤≤华东师范大学第二附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 答案一、填空题（第1—6题每题4分，第7—12题每题5分，满分54分）【1题答案】【答案】三【2题答案】【答案】【3题答案】【答案】【4题答案】【答案】【5题答案】【答案】-2【6题答案】【答案】【7题答案】【答案】【8题答案】【答案】【9题答案】【答案】7【10题答案】【答案】##0.4【11题答案】【答案】【12题答案】【答案】2i523-92523107,,3232⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦5+二、选择题（本大题共4题，满分20分）【13题答案】【答案】D【14题答案】【答案】C【15题答案】【答案】B【16题答案】【答案】A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【17题答案】【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为，；（2）最小值1，最大值为2.【18题答案】【答案】（1）；（2）【19题答案】【答案】（1）—1或3；（2）【20题答案】【答案】（1）； （2）； （3）【21题答案】【答案】（1）（2）（3）有办法，π,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈n 202420251202,011k x x k k ⎧≤⎪+=<≤⎨⎪>⎩()1AP k AD k AE =-+ 496289112-2,3,1,262519。
2023-2024学年上海市黄浦区2023~2024学年高一下学期期末考试数学试卷含详解
【详解】设 xOA ,则
sin
1 1
48
1 7
, cos
4 3 4 3. 1 48 7
将 OA 绕原点 O 逆时针旋转
至 OB
,则 OB 的倾斜角为
.
3
3
则 OB OA 1 48 7 .
∴点
B
的纵坐标为
OB
sin
3
7
sin
cos
3
cos
sin
3
13 2
.
故答案为 13 2
km ．（结果精确到 0.1km ）
9．若
tan
tan
1 2
,则
cos( cos(
) )
．
10．已知点 A(4 3,1) ,将 OA 绕原点 O 逆时针旋转 3 至 OB ,则点 B 的纵坐标为
11．i 为虚数单位,若复数 z1 和复数 z2 满足 z1 1 i 1, z2 z1i ,则 z2 的最大值为
,则
cos(
)
．
4．在梯形
ABCD 中,
AD
1 2
BC
,设
AC
a, BD
b
,若用
a,
b
的线性组合表示
AB
,则
AB
．
5．若 sin cos 3 ,则 sin 2
2
6．若向量
a
(3,
4), b
(1,
2)
,则
a,b
． ．
7．设 0
π
,若函数
y
tan( x
)
的.定义域为 x
x
14.6km .
故答案为：14.6.
9．3
上海市高一第二学期期末数学试卷(共3套,含参考答案)
上海高一第二学期期末数学试卷一、填空题（44分）1、 计算4lg 0.01=2、 函数1y =（0x ≥）的反函数是3、 若1log 12a<，则实数a 的取值范围是 4、 方程49280xx-⨯+=的解是5、 已知扇形的圆心角为23π，半径为5，则扇形的弧长l 等于 6、 已知1sin 3θ=-，并且θ是第三象限角，则tan θ= 7、 化简：sin()tan(2)cos(2)tan()cos()sin()παπαπαπαπαπα---⋅⋅=+-+8、 化简：0cos 20cos(20)cos 70sin(20)αα---= 9、 函数12log (sin cos )y x x =的单调递减区间是10、函数cos 2sin xy x=-的值域是11、计算3arcsin(sin )4π=二、 选择题（16分）12、若函数1sin()2y x ϕ=+是偶函数，则ϕ的一个值为（ ） （A ）ϕπ=- （B ）2πϕ=-（C ）4πϕ=-（D ）8πϕ=-13、“1a =”是“函数22cos sin y ax ax =-的最小正周期为π”的（ ）条件 （A ）充分非必要 （B ）必要非充分 （C ）充要 （D ）非充分非必要 14、函数cos 23sin y x x =+的值域是（ ） （A ）174,8⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（B ）17(,4)(,)8-∞-+∞ （C ）[4,4]- （D ）(,4)(4,)-∞-+∞ 15、函数()4log (1)a f x x =+-（0,1a a >≠）的图像恒经过定点P ，则点P 的坐标是（ ） （A ）（1，4） （B ）（4，1） （C ）（2，4） （D ）（4，2）三、 解答题（6+8+8+8+10）16、解方程：111122log (95)log (32)2x x ---=--17、已知1tan 7α=，sin 10β=，,(0,)2παβ∈，求2αβ+18、在地面某处测得塔顶的仰角为θ，由此向塔底沿直线走3千米，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔底沿同千米，测得塔顶仰角为4θ（三个测量点都在塔的同一侧），试求θ与塔高。
上海市高一第二学期期末数学试卷(共3套,含参考答案)
a2<1，则实数a的取值范围是3，并且θ是第三象限角，则tanθ=tan(π+α)cos(π-α)⋅sin(π+α)= 10、函数y=cos x2x+ϕ)是偶函数，则ϕ的一个值为（2（C）ϕ=-（A）⎢-4,17⎤(17⎣8,+∞)8⎥⎦（B）(-∞,-4)上海高一第二学期期末数学试卷一、填空题（44分）1、计算lg0.014=2、函数y=x+1（x≥0）的反函数是3、若log14、方程4x-9⨯2x+8=0的解是25、已知扇形的圆心角为π，半径为5，则扇形的弧长l等于36、已知sinθ=-17、化简：sin(π-α)⋅tan(2π-α)cos(2π-α)8、化简：cos200cos(α-200)-cos700sin(α-200)=9、函数y=log(sin x cos x)的单调递减区间是122-sin x的值域是311、计算arcsin(sinπ)=4二、选择题（16分）12、若函数y=sin(1）（A）ϕ=-π（B）ϕ=-ππ4（D）ϕ=-π813、“a=1”是“函数y=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”的（）条件（A）充分非必要（B）必要非充分（C）充要（D）非充分非必要14、函数y=cos2x+3sin x的值域是（）⎡（C）[-4,4]（D）(-∞,-4)(4,+∞)15、函数f(x)=4+log(x-1)（a>0,a≠1）的图像恒经过定点P，则点P的坐标是（a（A）（1，4）（B）（4，1）（C）（2，4）（D）（4，2））三、解答题（6+8+8+8+10）16、解方程：log(9x-1-5)=log(3x-1-2)-2112217、已知tanα=1710π，sinβ=，α,β∈(0,)，求α+2β10218、在地面某处测得塔顶的仰角为θ，由此向塔底沿直线走3千米，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔底沿同一直线走3千米，测得塔顶仰角为4θ（三个测量点都在塔的同一侧），试求θ与塔高。
上海市高一下学期期末考试数学试题(共3套,含参考答案)
11．如图，在 Rt△ABC 内有一系列的正方形，它们的边长依次为 a1，a2，…，an，…，若 AB=a， BC=2a，则所有正方形的面积的和为 ．
12．定义 N*在上的函数 f（x），对任意的正整数 n1，n2，都有 f（n1+n2）=1+f（n1）+f（n2），
且 f（1）=1，若对任意的正整数 n，有
，则 an= ．
二、选择题：
13．f（x）为奇函数，当 x＞0 时，f（x）=π﹣arccos（sinx）则 x＜0 时，f（x）=（ ）
A．arccos（sinx） B．π+arccos（sinx）
C．﹣arccos（sinx） D．﹣π﹣arccos（sinx）
14．如图是函数 f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π），x∈R 的部分图象，则下列命
4．方程 sin2x=sinx 在区间[0，2π）内解的个数是 4 ． 【考点】三角方程．
【分析】方程即 sinx=0 或 cosx= ，结合正弦函数、余弦函数的图象以及 x∈[0，2π），分别求 得 x 的值，可得结论 【解答】解：方程 sin2x=sinx，即 2sinxcosx=sinx，即 sinx=0 或 cosx= ．
则 f（2n+1）+1=2[1+f（2n）]，an+1=2an 所以，数列{an}是等比数列，公比 q=2，首项 a1=4． 所以 an=4×2n﹣1=2n+1， 故答案为：2n+1
二、选择题： 13．f（x）为奇函数，当 x＞0 时，f（x）=π﹣arccos（sinx）则 x＜0 时，f（x）=（ ） A．arccos（sinx） B．π+arccos（sinx） C．﹣arccos（sinx） D．﹣π﹣arccos（sinx） 【考点】反三角函数的运用． 【分析】利用奇函数的定义，结合反三角函数，即可得出结论． 【解答】解：∵sin（﹣x）=﹣sinx∴，﹣（π﹣arccos（sin（﹣x））=﹣（π﹣arccos（﹣sinx））， 又 arccos（﹣α）=π﹣arccosα， ∴﹣（π﹣arccos（sin（﹣x））=﹣（π﹣arccos（﹣sinx））=﹣（π﹣（π﹣arccos（sinx）））=﹣