2019全国中考数学真题分类汇编：相似、位似及其应用及参考答案
2,
AC
∴ S AB C =( BC )2 4 ，又∵△ ADC的面积为 a ，∴△ ABC的面积为 4a ，∴△ ABD的面积为 3a . S DAC AC
7. (2019 · 巴中 ) 如图， ＝( )
ABCD,F为 BC中点 , 延长 AD至 E, 使 DE:AD＝1:3, 连接 EF 交 DC于点 G,则 S :S △DEG △CFG
【答案】 B
【解析】 由图可知，放大前与放大后图形是相似的，故选：
B．
5. (2019 ·枣庄 ) 如图 , 将△ ABC沿 BC边上的中线 AD平移到△ A'B'C' 的位置 , 已知△ ABC的面积为 16, 阴影部分三 角形的面积为 9, 若 AA' ＝ 1, 则 A'D 等于
A.2
B.3
C.4
A
D
G
B
EC
F
第 9 题图
【答案】 A
【解析】 ∵ AE
BC ，∴∠ AEB=90°，菱形 ABCD 的边长为
3，
B
30
，∴
1 AE=
1 AB=
3，
22
BE=CF= AB2 AE2 =1.5 ，BF=3，CF=BF-BC=3- 3 ，∵ AD∥CF，∴△ AGD∽△ FGC，∴ DG AD CG CF
合 ) 连接 AM交 DE干点 N，则
（）
A. AD AN B.
BD MN
C.
AN AE
MN CE
DN NE
D.
BM MC
DN NE MC BM
A
D NE
B
M
C
【答案】 C
【解析】 根据 DE∥ BC，可得△ ADN∽△ ABM与△ ANE∽△ AMC，再应用相似三角形的性质可得结论 . ∵ DN∥ BM，∴△
A.2:3
B.3:2
C.9:4
D.4:9
【答案】 D 【解析】 因为 DE:AD＝ 1:3,F 为 BC中点 , 所以 DE:CF＝ 2:3, ABCD中 ,DE∥ CF, 所以△ DEG∽△ CFG,相似比为 2:3,
所以 S△DEG:S ＝ △CFG 4:9. 故选 D.
8. （ 2019 ·乐山） 把边长分别为 1 和 2 的两个正方形按如图的方式放置 . 则图中阴影部分的面积为（
42
S ABC
BC
BC
42 42
S ABC 42 21
8 ∴ S ＝ △ADE × 42＝ 16，∴四边形 DBCE的面积＝ S△ － ABC S△ ＝ ADE 26，故选项 D正确．
21
4 ．（ 2019 ·陇南） 如图，将图形用放大镜放大，应该属于（
）
A．平移变换
B．相似变换
C．旋转变换
D．对称变换
解得 CG= 3 1 ，故选 A.
3 CG ，∴
3，
CG
33
10. （ 2019·凉山） 如图， 在△ ABC中，D在 AC边上， AD∶ DC= 1∶ 2，O是 BD的中点， 连接 A0 并延长交 BC 于 E， 则 BE∶ EC=（ ▲ ）
）
1
A．
6
1
B．
3
1
C．
5
1
D．
4
2 1
第 8 题图
【答案】 A
第 8 题答图
【解析】 ∵四边形 ABCD与四边形 CEFG都是正方形， ∴ AD=DC=1，CE=2，AD∥CE，∴△ ADH∽△ ECF，∴ AD DH ， CE CH
∴ 1 DH ，解得 DH= 1 ，∴阴影部分面积为 1 × 1 × 1= 1 ，故选 A.
一、选择题
1 ．（ 2019·苏州） 如图，在△ ABC中，点 D为 BC边上的一点．且 AD=AB=2， AD⊥ AB，过点 D作 DE⊥ AD，DE交 AC
于点 F．若 DE=1，则△ ABC的面积为
（）
A． 4 2
B． 4
C．2 5
D． 8
【答案】 B
【解析】 ∵ AB⊥ AD， AD⊥DE，∴∠ BAD＝∠ ADE＝ 90°，∴ DE∥ AB，∴∠ CED＝∠ CAB，∵∠ C＝∠ C，∴△ CED∽△
CAB，∵ DE＝ 1，AB＝2，即 DE∶ AB＝ 1∶2，∴ S△DEC∶ S△ACB＝ 1∶ 4，∴ S 四边形 ABDE∶ S△ACB＝ 3∶ 4，∵ S 四边形 ABDE＝ S△ABD+S
1
1
△ ADE
2× 2
2× 1＝2+1＝ 3，∴ S△ACB＝ 4，故选 B．
2
2
2. （ 2019 ·杭州） 如图，在△ ABC中，点 D， E分别在 AB和 AC边上， DE∥ BC， M为 BC边上一点 ( 不与点 B， C重
2 1 DH
3
23 6
9. （ 2019·乐山） 如图， 在边长为 3 的菱形 ABCD 中， B 30 ，过点 A作 AE BC 于点 E ，现将△ ABE 沿直线 AE 翻折至△ AFE 的位置， AF 与 CD 交于点 G . 则 CG 等于（ ）
A． 3 1 B． 1C． 1 D． 3 22
ADN∽△ ABM，∴ DN BM
AN
NE
，∵ NE∥ MC，∴△ ANE∽△ AMC，∴
AM
MC
AN
DN
，∴
AM
BM
NE
．故选 C．
MC
3 ．（ 2019·常德） 如图，在等腰三角形△ ABC中， AB＝ AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形的面积为
1，△ ABC的面积为 42，则四边形 DBCE的面积是（
D. 3
2
Байду номын сангаас
【答案】 B 【解析】 由平移可得 , △ ABC∽△ A'MN, 设相似比为 k, ∵ S△ ＝ ABC 16,S △ ＝ A'MN 9, ∴k 2＝ 16:9, ∴ k＝ 4:3, 因为 AD 和 A'D
分别为两个三角形的中线 , ∴ AD:A'D ＝ k＝ 4:3, ∵ AD＝ AA'+A'D, ∴ AA':A'D ＝ 1:3, ∵ AA' ＝ 1, 则 A'D＝ 3, 故选 B.
）
A． 20
B
．22
C
． 24
D
．26
【答案】 D
【解析】 ∵图中所有三角形均相似， 其中最小的三角形的面积为 1，△ ABC的面积为 42，∴最小的三角形与△ ABC
的相似比为
2
1 ，∵△ ADE∽△ ABC，∴ S ADE ＝ DE ，∵ DE ＝ 4× 1 ＝ 4 ，∴ S ADE ＝ 16 ＝ 8 ，
6. （ 2019·淄博） 如图， 在△ ABC中， AC＝ 2，BC＝ 4，D为 BC边上的一点， 且∠ CAD＝∠ B. 若△ ADC的面积为 a ， 则△ ABD的面积为（）
A
B
D
C
A. 2a
B. 5 a C. 3a 2
【答案】 C.
D. 7 a 2
BC
【解析】 在△ BAC和△ ADC中，∵∠ C是公共角，∠ CAD＝∠ B. ，∴△ BAC∽△ ADC，∴
中考数学专题13 图形的相似(第01期)-2019年中考真题数学试题分项汇编(解析版)
专题13 图形的相似1．（2019•常州）若△ABC～△A′B'C′，相似比为1∶2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为A．2∶1 B．1∶2 C．4∶1 D．1∶4【答案】B【解析】∵△ABC～△A′B'C′，相似比为1∶2，∴△ABC与△A'B′C'的周长的比为1∶2．故选B．2．（2019•兰州）已知△ABC∽△A'B'C'，AB=8，A'B'=6，则BCB'C'=A．2 B．43C．3 D．169【答案】B【解析】∵△ABC∽△A'B'C'，∴8463BC ABB C A B''''=--．故选B．3．（2019•安徽）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD 上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF=EG，则CD的长为A．3.6 B．4 C．4.8 D．5【答案】B【解析】如图，作DH∥EG交AB于点H，则△AEG∽△ADH，∴AE EGAD DH=，∵EF⊥AC，∠C=90°，∴∠EFA=∠C=90°，∴EF∥CD，∴△AEF∽△ADC，∴AE EFAD CD=，∴EG EFDH CD=，∵EG=EF，∴DH=CD，设DH=x，则CD=x，∵BC=12，AC=6，∴BD=12-x，∵EF⊥AC，EF⊥EG，DH∥EG，∴EG∥AC∥DH，∴△BDH∽△BCA，∴DH BDAC BC=，即12612x x-=，解得，x=4，∴CD=4，故选B．4．（2019•杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则A．AD ANAN AE=B．BD MNMN CE=C．DN NEBM MC=D．DN NEMC BM=【答案】C【解析】∵DN∥BM，∴△ADN∽△ABM，∴DN AN BM AM=，∵NE∥MC，∴△ANE∽△AMC，∴NE ANMC AM=，∴DN NEBM MC=．故选C．5．（2019•连云港）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似A．①处B．②处C．③处D．④处【答案】B【解析】帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为2、，“车”、“炮”之间的距离为1，12==，∴马应该落在②的位置，故选B．6．（2019•重庆）如图，△ABO∽△CDO，若BO=6，DO=3，CD=2，则AB的长是A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C【解析】∵△ABO∽△CDO，∴BO ABDO DC=，∵BO=6，DO=3，CD=2，∴632AB=，解得AB=4．故选C．7．（2019•赤峰）如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE=∠ACB，若AD=2，AB=6，AC=4，则AE的长是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】∵∠ADE=∠ACB，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴AD AEAC AB=，即246AE=，解得AE=3，故选C．8．（2019•凉山州）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD∶DC=1∶2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE∶EC=A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶3【答案】B【解析】如图，过O作OG∥BC，交AC于G，∵O是BD的中点，∴G是DC的中点．又AD∶DC=1∶2，∴AD=DG=GC，∴AG∶GC=2∶1，AO∶OE=2∶1，∴S△AOB：S△BOE=2，设S △BOE =S ，S △AOB =2S ，又BO =OD ，∴S △AOD =2S ，S △ABD =4S ，∵AD ∶DC =1∶2，∴S △BDC =2S △ABD =8S ，S四边形CDOE=7S ，∴S △AEC =9S ，S △ABE =3S ，∴3193ABE AEC S BE S EC S S ===△△，故选B ． 9．（2019•常德）如图，在等腰三角形△ABC 中，AB =AC ，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC 的面积为42，则四边形DBCE 的面积是A ．20B ．22C ．24D ．26【答案】D【解析】如图，根据题意得△AFH ∽△ADE ，∴2239()()416AFH ADE S FH S DE ===△△，设S △AFH =9x ，则S △ADE =16x ，∴16x -9x =7，解得x =1，∴S △ADE =16， ∴四边形DBCE 的面积=42-16=26．故选D ．10．（2019•玉林）如图，AB ∥EF ∥DC ，AD ∥BC ，EF 与AC 交于点G ，则是相似三角形共有A ．3对B ．5对C ．6对D ．8对【答案】C【解析】图中三角形有：△AEG ，△ADC ，CFG ，△CBA ， ∵AB ∥EF ∥DC ，AD ∥BC ，∴△AEG ∽△ADC ∽CFG ∽△CBA ，共有6个组合分别为：∴△AEG ∽△ADC ，△AEG ∽CFG ，△AEG ∽△CBA ，△ADC ∽CFG ，△ADC ∽△CBA ，CFG ∽△CBA ，故选C ．11．（2019•淄博）如图，在△ABC 中，AC =2，BC =4，D 为BC 边上的一点，且∠CAD =∠B ．若△ADC 的面积为a ，则△ABD 的面积为A ．2aB ．52a C ．3aD ．72a【答案】C【解析】∵∠CAD =∠B ，∠ACD =∠BCA ，∴△ACD ∽△BCA ，∴2()ACD BCA S AC S AB =△△，即14BCA a S =△， 解得，△BCA 的面积为4a ，∴△ABD 的面积为：4a -a =3a ，故选C ．12．（2019•邵阳）如图，以点O 为位似中心，把△ABC 放大为原图形的2倍得到△A ′B ′C ′，以下说法中错误的是A ．△ABC ∽△A ′B ′C ′B ．点C 、点O 、点C ′三点在同一直线上 C ．AO ∶AA ′=1∶2D ．AB ∥A ′B ′ 【答案】C【解析】∵以点O 为位似中心，把△ABC 放大为原图形的2倍得到△A ′B ′C ′， ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，点C 、点O 、点C ′三点在同一直线上，AB ∥A ′B ′， AO ∶OA ′=1∶2，故选项C 错误，符合题意．故选C ．13．（2019•淮安）如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a 、b 与l 1、l 2、l 3分别相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．若AB =3，DE =2，BC =6，则EF =__________．【答案】4【解析】∵l 1∥l 2∥l 3，∴AB DEBC EF=，又AB =3，DE =2，BC =6，∴EF =4，故答案为：4．14．（2019•河池）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA=2，AC=3，则ABCD=__________．【答案】2 5【解析】∵以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA=2，AC=3，∴22235 OA ABOC CD===+．故答案为：25．15．（2019•宜宾）如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC=4，BC=3，则AD=__________．【答案】16 5【解析】在Rt△ABC中，AB，由射影定理得，AC2=AD·AB，∴AD=2ACAB=165，故答案为：165．16．（2019•本溪）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（4，2），B（5，0），以点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为__________．【答案】（2，1）或（-2，-1）【解析】以点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，点A的坐标是A（4，2），则点A的对应点A1的坐标为（4×12，2×12）或（-4×12，-2×12），即（2，1）或（-2，-1），故答案为：（2，1）或（-2，-1）．17．（2019•烟台）如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A（-2，-1），B（-2，-3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，-1），B1（1，-5），O1（5，1），△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为__________．【答案】（-5，-1）【解析】如图，P点坐标为（-5，-1）．故答案为：（-5，-1）．18．（2019•南京）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠AC B．若AD=2，BD=3，则AC的长__________．【解析】∵BC的垂直平分线MN交AB于点D，∴CD=BD=3，∴∠B=∠DCB，AB=AD+BD=5，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠DCB=∠B，∵∠A =∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴AC ADAB AC=，∴AC 2=AD ×AB =2×5=10，∴AC19．（2019•吉林）在某一时刻，测得一根高为1.8 m 的竹竿的影长为3 m ，同时同地测得一栋楼的影长为90 m ，则这栋楼的高度为__________m ． 【答案】54【解析】设这栋楼的高度为h m ，∵在某一时刻，测得一根高为1.8 m 的竹竿的影长为3 m ，同时测得一栋楼的影长为60 m ， ∴1.8390h=，解得h =54（m ）．故答案为：54． 20．（2019•福建）已知△ABC 和点A '，如图．（1）以点A '为一个顶点作△A 'B 'C '，使△A 'B 'C '∽△ABC ，且△A 'B 'C '的面积等于△ABC 面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设D 、E 、F 分别是△ABC 三边AB 、BC 、AC 的中点，D '、E '、F '分别是你所作的△A 'B 'C '三边A 'B '、B 'C '、C 'A '的中点，求证：△DEF ∽△D 'E 'F '．【解析】（1）作线段A 'C '=2AC 、A 'B '=2AB 、B 'C '=2BC ，得△A 'B 'C '即可所求．∵A 'C '=2AC 、A 'B '=2AB 、B 'C '=2BC ， ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴2()4A B C'ABC ''S A B''S AB==△△．（2）如图，∵D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，∴111222DE BC DF AC EF AB ===，，，∴△DEF∽△ABC同理：△D'E'F'∽△A'B'C'，由（1）可知：△ABC∽△A′B′C′，∴△DEF∽△D'E'F'．21．（2019•凉山州）如图，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．（1）求证：BD2=AD·CD；（2）若CD=6，AD=8，求MN的长．【解析】（1）∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，且∠ABD=∠BCD=90°，∴△ABD∽△BCD，∴AD BD BD CD=，∴BD2=AD·CD．（2）∵BM∥CD，∴∠MBD=∠BDC，∴∠ADB=∠MBD，且∠ABD=90°，∴BM=MD，∠MAB=∠MBA，∴BM=MD=AM=4，∵BD2=AD·CD，且CD=6，AD=8，∴BD2=48，∴BC2=BD2-CD2=12，∴MC2=MB2+BC2=28，∴MC=∵BM ∥CD ，∴△MNB ∽△CND ，∴23BM MN CD CN ==，且MC =，∴MN =5． 22．（2019•巴中）△ABC 在边长为1的正方形网格中如图所示．①以点C 为位似中心，作出△ABC 的位似图形△A 1B 1C ，使其位似比为1∶2．且△A 1B 1C 位于点C 的异侧，并表示出A 1的坐标．②作出△ABC 绕点C 顺时针旋转90°后的图形△A 2B 2C ． ③在②的条件下求出点B 经过的路径长．【解析】①如图，△A 1B 1C 为所作，点A 1的坐标为（3，-3）． ②如图，△A 2B 2C 为所作．③OB =点B 经过的路径长=90ππ1802⋅=．23．（2019•荆门）如图，为了测量一栋楼的高度OE ，小明同学先在操场上A 处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E ；再将镜子放到C 处，然后后退到D 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E （O ，A ，B ，C ，D 在同一条直线上），测得AC =2 m ，BD =2.1 m ，如果小明眼睛距地面髙度BF ，DG 为1.6 m ，试确定楼的高度OE ．【解析】如图，设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，连接GF 并延长交OE于点H，∵GF∥AC，∴△MAC∽△MFG，∴AC MA MO FG MF MH==，即：AC OE OE OEBD MH MO OH OE BF ===++，∴21.62.1OEOE=+，∴OE=32，答：楼的高度OE为32米．24．（2019•安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°．（1）求证：△PAB∽△PBC；（2）求证：PA=2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3．【解析】（1）∵∠ACB=90°，AB=BC，∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC，又∠APB =135°，∴∠PAB +∠PBA =45°， ∴∠PBC =∠PAB ， 又∵∠APB =∠BPC =135°， ∴△PAB ∽△PBC ．（2）∵△PAB ∽△PBC ，∴PA PB ABPB PC BC ==，在Rt △ABC 中，AB =AC ，∴ABBC=∴PB PA ==，，∴PA =2PC ．（3）如图，过点P 作PD ⊥BC ，PE ⊥AC 交BC 、AC 于点D ，E ，∴PF =h 1，PD =h 2，PE =h 3， ∵∠CPB +∠APB =135°+135°=270°， ∴∠APC =90°， ∴∠EAP +∠ACP =90°，又∵∠ACB =∠ACP +∠PCD =90°， ∴∠EAP =∠PCD ， ∴Rt △AEP ∽Rt △CDP ， ∴2PE APDP PC==，即322h h =，∴h 3=2h 2，∵△PAB ∽△PBC ，∴12h AB h BC==∴12h =，∴2212222322h h h h h h ==⋅=．即h 12=h 2·h 3．25．（2019•长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．①四条边成比例的两个凸四边形相似；（__________命题） ②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（__________命题） ③两个大小不同的正方形相似．（__________命题）（2）如图1，在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中，∠ABC =∠A 1B 1C 1，∠BCD =∠B 1C 1D 1，1111AB BCA B B C =11CDC D ．求证：四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似． （3）如图2，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 与BD 相交于点O ，过点O 作EF ∥AB 分别交AD ，BC 于点E ，F ．记四边形ABFE 的面积为S 1，四边形EFCD 的面积为S 2，若四边形ABFE 与四边形EFCD相似，求21S S 的值．【解析】（1）①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等． ②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例． ③两个大小不同的正方形相似．是真命题．故答案为：假，假，真． （2）如图1中，连接BD ，B 1D 1．∵∠BCD =∠B 1C 1D 1，且1111BC CDB C C D =， ∴△BCD ∽△B 1C 1D 1，∴∠CDB =∠C 1D 1B 1，∠C 1B 1D 1=∠CBD ， ∵111111AB BC CD A B B C C D ==，∴1111BD ABB D A B =， ∵∠ABC =∠A 1B 1C 1， ∴∠ABD =∠A 1B 1D 1， ∴△ABD ∽△A 1B 1D 1， ∴1111AD ABA D AB =，∠A =∠A 1，∠ADB =∠A 1D 1B 1， ∴11111111AB BC CD ADA B B C C D A D ===，∠ADC =∠A 1D 1C 1，∠A =∠A 1，∠ABC =∠A 1B 1C 1，∠BCD =∠B 1C 1D 1， ∴四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似． （3）∵四边形ABCD 与四边形EFCD 相似． ∴DE EFAE AB=， ∵EF =OE +OF ，∴DE OE OFAE AB+=， ∵EF ∥AB ∥CD ， ∴DE OE DE OC OF AD AB AD AB AB =-=，，∴DE DE OE OF AD AD AB AB +=+，∴2DE DEAD AE =， ∵AD =DE +AE ， ∴21DE AE AE=+，∴2AE =DE +AE ， ∴AE =DE ，∴12S S =1．祝你考试成功!祝你考试成功!。
2019年北京中考数学习题精选：相似、位似及其应用含答案
2019年北京中考数学习题精选：相似、位似及其应用含答案一、选择题1、（2018北京朝阳区第一学期期末检测）小楠参观中国国家博物馆时看到两件“王字铜衡”， 这是我国古代测量器物重量的一种比较准确的 衡器，体现了杠杆原理. 小楠决定自己也尝试一下， 她找了一根长100cm 的匀质木杆，用细绳绑在木杆 的中点O 并将其吊起来，在中点的左侧距离 中点25cm 处挂了一个重1.6N 的物体，在中点的右侧挂了一个苹果，当苹果距离中点20cm 时 木杆平衡了，可以估计这个苹果的重大约是 (A) 1.28N (B) 1.6N (C) 2N (D) 2.5N 答案：C2、（2018北京朝阳区第一学期期末检测）如图，△ABC ∽△A ’B ’C和△A ’B ’C ’的高，若AD ＝2，A ’D ’＝3，则△ABC 与△A ’B ’C ’的面积的比为(A) 4：9(B) 9：4 (C) 2：3 (D) 3：2 答案：A3.（2018北京大兴第一学期期末）为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A ，再在他所在的这一侧选点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，然后找出AD 与BC 的交点E. 如图所示，若测得BE =90m ，EC =45m ，CD =60m ，则这条河的宽AB 等于 A ．120m B ．67.5m C ．40m D ．30m答案：A4.（2018北京东城第一学期期末）△DEF 和△ABC 是位似图形，点O 是位似中心，点D ，E ，F 分别是OA ,OB ,OC 的中点，若△DEF 的面积是2，则△ABC的面积是A ．2B ．4C ．6D ．8 答案：D5.（2018北京房山区第一学期检测）如图，在△ABC 中，M ，N 分别为AC ，BC 的中点．若S △CMN=1，则S △ABC 为__________A ．2B ． 3C ．4D ．5答案：C6.（2018北京房山区第一学期检测）如图，在△ABC 中，B ACD ∠=∠，若AD=2,BD=3,则AC 长为________A B ． C D ．6答案：A7.（2018北京丰台区第一学期期末）如果32a b =(0ab ≠），那么下列比例式中正确的是A ．32a b = B ．23b a = C ．23a b = D ．32a b =答案：C8、018北京丰台区第一学期期末） “黄金分割”是一条举世公认的美学定律. 例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐. 目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版. 要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置 A ．①B ．②C ．③D ．④答案：B9、（2018北京丰台区第一学期期末）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是A B C D 答案：A10.（2018年北京海淀区第一学期期末）如图，线段BD ，CE 相交于点A ，DE ∥BC ．若AB =4，AD =2，DE =1.5，则BC 的长为 A ．1B ．2ABC②①③ ④C ．3D ．4答案：C11.（2018年北京海淀区第一学期期末）如图，△OAB ∽△OCD ，OA :OC =3:2，∠A =α，∠C =β，△OAB 与△OCD 的面积分别是1S 和2S ，△OAB 与△OCD 的周长分别是1C 和2C ，则下列等式一定成立的是A ．32OB CD=B ．32αβ= C ．1232S S =D ．1232C C =答案：D12.（2018北京丰台区二模）如图是小明利用等腰直角三角板测量旗杆高度的示意图. 等腰直角三角板的斜边BD 与地面AF 平行，当小明的视线恰好沿BC 经过旗杆顶部点E 时，测量出此时他所在的位置点A 与旗杆底部点F 的距离为10米. 如果小明的眼睛距离地面1.7米，那么旗杆EF 的高度为 （A ）10米（B ）11.7米 （C）（D） 1.7)米 答案:B13.（2018北京怀柔区第一学期期末）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别为边AB,AC 上的点，且DE ∥BC ，若AD =4，BD =8，AE =2，则CE 的长为A ．2B ．4C ．6D ．8D OA BCFBCDE答案：B14.（2018北京门头沟区第一学期期末调研试卷）如果23a b =，那么a bb-的结果是 A ．12- B ．13- C ．13 D ．12 答案：B15.（2018北京密云区初三（上）期末）如图，ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 上点，DE//BC ，AD=2，DB=1，AE=3，则EC 长A. 23 B. 1 C. 32D. 6答案：C16.（2018北京密云区初三（上）期末）如图，ABC ∆中，70A ∠=︒，AB=4，AC= 6，将ABC ∆沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似．．．的是 CACAA B C D 答案：DEDCB A17.（2018北京平谷区第一学期期末）已知12a b =，则a b b +的值是（A ）32 （B ）23 （C ）12 （D ）12-答案：A18.（2018北京平谷区第一学期期末）如图，AD ∥BE ∥CF ，直线12l ,l 与这三条平行线分别交于点A ,B ,C 和D ,E ,F ．已知AB =1，BC =3，DE =2，则EF 的长是 （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）8答案：C19.（2018北京平谷区第一学期期末）如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，CD ⊥AB 于D ，则△CBD 与△ABC 的周长比是（A （B （C ）14 （D ）12答案：D20.（2018北京石景山区第一学期期末）如果y x 43=(0≠y )，那么下列比例式中正确的是（A ）43=y x （B ）yx 43= （C ）43y x = （D ）34y x = 答案：D21.（2018北京顺义区初三上学期期末）右图是百度地图中截取的一部分，图中比例尺为1：60000，则卧龙公园到顺义地铁站的实际距离约为 （注：比例尺等于图上距离与实际距离的比）A ．1.5公里B ．1.8公里C ．15公里D ．18公里答案：B22.（2018北京顺义区初三上学期期末）已知△ABC ，D ，E 分别在AB ，AC 边上，且DE ∥BC ，AD =2，DB =3，△ADE 面积是4，则四边形DBCE 的面积是A ．6B ．9C ．21D ．25答案：C23.（2018北京通州区第一学期期末）如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点. 此时，竹竿与这一点距离相距6m ，与树相距15m ，那么这棵树的高度为（ ）.A ．m 5B ．m 7C ．m 5.7D ．m 21答案：B24.（2018北京西城区第一学期期末）如图，点P 在△ABC 的边AC 上，如果添加一个条件后可以得到△ABP ∽△ACB ，那么以下添加的条件中，不．正确的是（ ）． A ．∠ABP =∠C B ．∠APB =∠ABCC ．2AB AP AC =⋅D ．AB ACBP CB= 答案：D25．（2018北京市东城区初二期末）如图，已知等腰三角形ABC AB AC =，，若以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰AC 于点E ，则下列结论一定．．正确的是A．AE=EC B．AE=BE C．∠EBC=∠BAC D．∠EBC=∠ABE 解：C26.（2018北京西城区二模）中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF.观测者的眼睛（图中用点C表示）与BF在同一水平线上，则下列结论中，正确的是A．EF CFAB FB=B．EF CFAB CB=C．CE CFCA FB=D．CE CFEA CB=答案：B二、填空题27.（2018北京昌平区二模）为了测量校园水平地面上一棵不可攀爬的树的高度，小文同学做了如下的探索：根据物理学中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在合适的位置，刚好能在镜子里看到树梢顶点，此时小文与平面镜的水平距离为2.0米，树的底部与平面镜的水平距离为8.0米，若小文的眼睛与地面的距离为1.6米，则树的高度约为______米（注：反射角等于入射角）.答案：6.428．（2018北京平谷区中考统一练习）如图，测量小玻璃管口径的量具ABC 上，AB 的长为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口中DE 正好对着量具上20份处（DE ∥AB ），那么小管口径DE 的长是_________毫米．答案10329．（2018北京西城区九年级统一测试）如图，在ABC △中，D E AB ∥，DE 分别与AC ，BC 交于D ，E 两点． 若49DEC ABCS S =△△，3AC =，则DC =__________． 答案：230．（2018北京延庆区初三统一练习）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，DE ∥BC ，若AD ＝1，BD ＝3，则DEBC的值为 ．答案：1：431.（2018北京海淀区二模）如图，四边形ABCD 与四边形1111A B C D是E DCB A CDE以O 为位似中心的位似图形，满足11=OA A A ，E F ，，1E ，1F 分别是AD BC ，，11A D ，11B C 的中点，则11=E F EF．答案：1232．（2018北京石景山区初三毕业考试）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点， DE ∥BC ．若6AD =，2BD =， 3DE =，则BC = ． 答案：433. （2018北京市朝阳区综合练习（一））如图，AB ∥CD ，AB=21CD ，S △ABO ：S △CDO = ． 答案1:434．（2018北京丰台区一模）在某一时刻，测得身高为1.8m 的小明的影长为3m ，同时测得一建筑物的影长为10m ，那么这个建筑物的高度为 m ． 答案635. （2018北京怀柔区一模）如图,在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 、BD 相交于点E ，若41=CD AB ，则=ACAE_____.B答案51 36．（2018北京门头沟区初三综合练习）如图，两个三角形相似，2,3,1AD AE EC ===,则BD =______.答案437.（2018北京朝阳区第一学期期末检测）如图，在平面直角坐标系中，△COD 可以看作是△AOB旋转、位似）得到的，写出一种由△AOB 得到 △COD 的过程： .第12题图B答案：答案不唯一，如：以原点O 为位似中心，位似比为21，在原点O 同侧将△AOB 缩小，再将得到的三角形沿y 轴翻折得到△COD .38.（2018北京大兴第一学期期末）若△ABC ∽△DEF ，且BC ∶EF=2∶3，则△ABC 与△DEF 的面积比等于_________． 答案： 4∶939.（2018北京东城第一学期期末）某校九年级的4位同学借助三根木棍和皮尺测量校园内旗杆的高度. 为了方便操作和观察，他们用三根木棍围成直角三角形并放在高1m 的桌子上，且使旗杆的顶端和直角三角形的斜边在同一直线上（如图）. 经测量，木棍围成的直角三角形的两直角边AB,OA 的长分别为0.7m,0.3m ，观测点O 到旗杆的距离OE 为6 m ，则旗杆MN 的高度为 m .答案：1540.（2018北京房山区第一学期检测）如图1，西沙河属马刨泉河支流，发源于房山区城关街道迎风坡村，流域面积11平方公里. 为估算西沙河某段的宽度，如图2，在河岸边选定一个目标点A ，在对岸取点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，点E 在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上，若测得BE=2m ，EC=1m ，CD=3m ，则河的宽度AB 等于 m.答案：641.（2018北京丰台区第一学期期末）如图1，物理课上学习过利用小孔成像说明光的直线传播.现将图1抽象为图2，其中线段AB为蜡烛的火焰，线段A＇B＇为其倒立的像. 如果蜡烛火焰AB的高度为2cm，倒立的像A＇B＇的高度为5cm，点O到AB的距离为4cm，那么点O到A＇B＇的距离为cm.10答案：42.（2018年北京海淀区第一学期期末）在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾x m，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m，若小张能看到整个红灯，则x的最小值为．停止线交通信号灯答案：1043.（2018北京怀柔区第一学期期末）若△ABC ∽△DEF ，且对应边BC 与EF 的比为1∶3，则△ABC 与△D EF 的面积比等于 . 答案：1:944.（2018北京门头沟区第一学期期末调研试卷）如图，在△ABC 中， DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，且DE ∥BC ，如果23AD DB =，那么DEBC=__________.答案：2545.（2018北京密云区初三（上）期末）12x y =，则x y y + =_________________.答案：3246.（2018北京密云区初三（上）期末）在物理课中，同学们曾学过小孔成像：在较暗的屋子里，把一只点燃的蜡烛放在一块半透明的塑料薄膜前面，在它们之间放一块钻有小孔的纸板，由于光沿直线传播，塑料薄膜上就出现了蜡烛火焰倒立的像，这种现象就是小孔成像（如图1）. 如图2，如A B的高度为5cm，果火焰AB的高度是2cm，倒立的像//蜡烛火焰根B到小孔O的距离为4cm，则火焰根的像/B到O的距离是________cm.答案：1047.（2018北京石景山区第一学期期末）如果两个相似三角形的周长比为3:2，那么这两个相似三角形的面积比为______．答案：9:448.（2018北京石景山区第一学期期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上．若∠ADE=∠C，AB=6，AC=4，AD=2，则EC=________．答案：149.（2018北京顺义区初三上学期期末）如图标记了△ABC与△DEF边、角的一些数据，如果再添加一个条件使△ABC∽△DEF，那么这个条件可以是．（只填一个即可）答案：略50.（2018北京通州区第一学期期末）如图，点D 为ABC △的AB 边上一点，2=AD ，3=DB .若ACD B ∠=∠，则.____________=AC答案：51.（2018北京西城区第一学期期末）如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，如果23=DB AD ，AC =10，那么EC =. 答案：4三、解答题52.（2018北京朝阳区第一学期期末检测）小明在学习了如何证明“三边成比例的两个三角形相似”后，运用类似的思路证明了“两角分别相等的两个三角形相似”，以下是具体过程.已知：如图，在△ABC 和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'.求证：△ABC ∽△A'B' C'.证明：在线段A'B'上截取A'D=AB ，过点D 作DE ∥B'C'，交A'C'于点E . 由此得到△A'DE ∽△A'B'C'.∴∠A' DE=∠B'. ∵∠B=∠B'，∴∠A' DE =∠B.∵∠A'=∠A，∴△A' DE≌△ABC.∴△ABC∽△A'B'C'.小明将证明的基本思路概括如下，请补充完整：（1）首先，通过作平行线，依据，可以判定所作△A' DE与；（2）然后，再依据相似三角形的对应角相等和已知条件可以证明所作△A' DE与；（3）最后，可证得△ABC∽△A'B' C'.答案：17．解：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；………………………………………2分△A'B'C' 相似；…………………………………………………………………4分（2）△ABC全等. ……………………………………………………………………5分53.（2018北京朝阳区第一学期期末检测）如图，正方形ABCD的边长为2，E是CD中点，（1）求证：△PAF∽△AED；（2）连接PE，若存在点P使△PEF与△AED相似，直接写出PA的长答案：23. （1）证明：在正方形ABCD中，∠D= 90°，CD∥AB，∴∠DEA=∠PAE.. …………………………………………………………1分∵PF⊥AE，∴∠D=∠AFP. …………………………………………………………2分 ∴△PAF ∽△AED . …………………………………………………………3分（2）1或25. (5)分54.（2018北京大兴第一学期期末）已知：如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AB 、 AC 边上的点，且AE AD 53=，连接DE . 若AC ＝4，AB ＝5. 求证：△ADE ∽△ACB.证明：∵ AC =3，AB =5，35AD AE =，∴AC ABAD AE=．……………………………… 3分 ∵ ∠A =∠A ，……………………………… 4分 ∴ △ADE ∽△ACB ．……………………… 5分55.（2018北京东城第一学期期末）如图，在四边形ABCD中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，点E 在AB 上，∠DEC =90°. （1）求证：△ADE ∽△BEC .（2）若AD =1，BC =3，AE =2, 求AB 的长.答案：19.（1）证明： ∵AB ⊥BC ，∴∠B =90°． ∵AD ∥BC ， ∴∠A =90°． ∴∠1+∠3=90°．∵∠DEC =90°． ∴∠1+∠2=90°． ∴∠3=∠2．∴△ADE ∽△BEC . --------------------3分 （2）解：由（1）可得，AD AEBE BC=, AD =1，BC =3，AE =2, ∴ 1.5BE =.∴ 3.5AB =. -------------------5分56.（2018北京房山区第一学期检测）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=∠BDC ． （1）求证：△ABD ∽△DCB ．（2）若AB=12，AD=8，CD=15，求DB 的长．答案：57、（2018北京丰台区第一学期期末）如图，△ABC 中，DE ∥BC ，如果AD = 2，DB = 3，AE = 4，求AC 的长.答案：18. 解：∵DE ∥BC ， ∴AD AE DBEC=.……2分即243EC=． ∴EC ＝6．……4分∴AC ＝AE + EC ＝10． ……5分 其他证法相应给分.58、（2018年北京海淀区第一学期期末）如图，在△ABC 中，∠B =90°，AB =4，BC =2，以AC 为边作△ACE ，∠ACE =90°，AC=CE ，延长BC 至点D ，使CD =5，连接DE ．求证：△ABC ∽△CED ．D CAEEA证明：∵∠B=90°，AB=4，BC=2，∴AC=∵CE=AC，∴CE=∵CD=5，∴AB ACCE CD=. ………………3分∵∠B=90°，∠ACE=90°，∴∠BAC+∠BCA=90°，∠BCA+∠DCE=90°.∴∠BAC=∠DCE.∴△ABC∽△C ED. ………………5分59、（2018北京怀柔区第一学期期末）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，BC＝4，AC＝8，CD=2．求证：△BCD∽△ACB.证明：∵BC＝4，AC＝8，CD=2.…………………………1分∴BC CDAC BC=………………………………………3分又∵∠C=∠C……………………………………4分EB C DA第18题图∴ △BCD ∽△ACB ……………………………………………………………………5分60、（2018北京门头沟区第一学期期末调研试卷）18. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD =CD ，CE ⊥AB 于E ．求证：△ABD ∽△CBE.证明：∵ AB =AC ，BD =CD∴ AD BC ⊥, ……………………………………2分∵ CE ⊥AB∴90ADB BEC ∠=∠=︒……………………………………4分∵B B ∠=∠ABD CBE ∴△∽△ ……………………………………5分61.（2018北京密云区初三（上）期末）如图，BO 是ABC ∆的角平分线，延长BO 至D 使得BC=CD. （1）求证：AOBCOD ∆∆.（2）若AB=2，BC=4，OA=1，求OC 长.ODCBA答案：（1）证明：BO是ABC∆的角平分线∴ABO OBC∠=∠…………………………………………..1分BC=CD∴OBC ODC∠=∠∴ABO ODC∠=∠……………………………………..2分又AOB COD∠=∠∴AOB∆∽COD∆……………………………………………………….3分（2）解：AOB∆∽COD∆∴AB OACD OC=…………………………………………..4分又AB=2，BC=4，OA=1，BC=CD∴OC=2 ……………………………………………….5分62.（2018北京平谷区第一学期期末）如图，∠ABC=∠BCD=90°，∠A=45°，∠D=30°，BC=1，AC，BD交于点O．求BODO的值．答案：19．解：∵∠ABC=∠BCD=90°，∴AB∥CD． (1)∴∠A =∠ACD ． ..................................................................................................... 2 ∴△ABO ∽△CDO ． ............................................................................................... 3 ∴BO ABCO CD=． ................................................................................................... 4 在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，∠A =45°，BC =1， ∴AB =1．在Rt △BCD 中，∠BCD =90°，∠D =30°，BC =1，∴CD∴BO CO ==． (5)63.（2018北京平谷区第一学期期末）如图，在□ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点O 作EO ⊥BD ，交BA 延长线于点E ，交AD 于点F ，若EF=OF ，∠CBD =30°，BD =．求AF 的长．解：方法一：∵□ABCD ，∴AD ∥BC ，OD =12BD = ........................................................................... 1 ∵∠CBD =30°， ∴∠ADB =30°． ∵EO ⊥BD 于O ，∴∠DOF =90°．在Rt △ODF 中，tan30°=OF OD =， ∴OF=3． ............................................................................................................ 2 ∴FD =6．过O 作OG ∥AB ，交AD 于点G ． ∴△AEF ∽△GOF ． ∴AF EFGF OF=． ∵EF=OF ， ∴AF=GF ． ∵O 是BD 中点，∴G 是AD 中点． ................................................................................................ 3 设AF=GF=x ，则AD =6+x ． ∴AG =62xx x ++=． ........................................................................................ 4 解得x =2．∴AF =2． (5)方法二：延长EF 交BC 于H ．由△ODF ≌△OHB 可知，OH =OF ． (3)∵AD ∥BC ， ∴△EAF ∽△EBH ．BB∴EF AFEH BH=． ∵ EF=OF ， ∴13AF BH =． ....................................................................................................... 4 由方法一的方法，可求BH =6． ∴ AF =2．64.（2018北京石景山区第一学期期末）如图，四边形ABCD 是平行四边形，CE ⊥AD 于点E ，DF ⊥BA 交BA 的延长线于点F ．（1）求证：△ADF ∽△DCE ；（2）当AF =2，AD =6，且点E 恰为AD 中点时，求AB 的长．FE DCB答案： （1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，∴∠DAF =∠CDE ， ……………………………………………… 1分 ∵ DF ⊥BA ，CE ⊥AD ，∴∠F =∠CED =90°，……………………………………………… 2分 ∴△ADF ∽△DCE ； ………………………………………………3分（2）解：∵△ADF ∽△DCE ，∴DEAFDC AD =∴326 DC ， ∴DC =9．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB =DC∴AB =9．…………………………………………………………5分65.（2018北京顺义区初三上学期期末）如图，E 是□ABCD 的边BC 延长线上一点，AE交CD 于点F ，FG ∥AD 交AB 于点G ．（1）填空：图中与△CEF 相似的三角形有 ；（写出图中与△CEF 相似的所有三角形）（2）从（1）中选出一个三角形，并证明它与△CEF 相似．答案：（1）△ADF ，△EBA ，△FGA ；………………………….3分（每个一分） （2）证明：△ADF ∽△ECF∵四边形ABCD 为平行四边形∴BE ∥AD …………………………………………………….4分 ∴∠1=∠E ，∠2=∠D∴△ADF ∽△ECF …………………………………………….5分（其它证明过程酌情给分）66.（2018北京顺义区初三上学期期末）已知：如图，在△ABC的中，AD是角平分线，E 是AD上一点，且AB：AC = AE ：AD．求证：BE=BD．证明：∵AD是角平分线，∴∠1=∠2，……………………………………….1分又∵AB AD = AE AC，……………………….2分∴△ABE∽△ACD，………………………………………..…….3分∴∠3=∠4，……………………………………………………….4分∴∠BED=∠BDE，∴BE=BD．………………………………………………………..5分67.（2018北京西城区第一学期期末）如图，AB∥CD，AC与BD的交点为E，∠ABE=∠ACB．（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）如果AB=6，AE=4，求AC，CD的长．答案：。
2019年全国中考数学真题分类 相似的判定、性质与应用(印刷版)
第十一章图形的相似课标要求1. 了解图形的相似、位似．2. 掌握并会运用相似三角形的判定方法和性质．3. 理解比例的概念，会对比例式进行变形．4. 会用相似的性质解决实际问题．1. 相似的判定、性质与应用一、选择题1. (2019·杭州)如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC 边上一点(不与点B，C重合)，连接AM交DE于点N，则下列式子一定正确的是()第1题A. ADAN＝ANAE B.BDMN＝MNCEC. DNBM＝NEMC D.DNMC＝NEBM2. (2019·哈尔滨)如图，在▱ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是()第2题A. AMBM＝NEDE B.AMAB＝ANADC. BCME＝BEBD D.BDBE＝BCEM3. (2019·青海)如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝1，BC＝3，DE＝1.2，则DF的长为()第3题A. 3.6B. 4.8C. 5D. 5.24. (2019·内江)如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，则AC的长为()第4题A. 6B. 7C. 8D. 95. (2019·贺州)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC.若AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC的长为()第5题A. 5B. 6C. 7D. 86. (2019·淄博)如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B.若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为()第6题A. 2aB. 5 2aC. 3aD. 7 2a7. (2019·重庆)如图，△ABO∽△CDO.若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长为()第7题A. 2B. 3C. 4D. 58. (2019·玉林)如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则图中相似三角形共有()第8题A. 3对B. 5对C. 6对D. 8对9. (2019·沈阳)已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应中线．若AD＝10，A′D′＝6，则△ABC与△A′B′C′的周长之比是()A. 3∶5B. 9∶25C. 5∶3D. 25∶910. (2019·常州)若△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的周长的比为()A. 2∶1B. 1∶2C. 4∶1D. 1∶411. (2019·连云港)在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，要使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似，“马”应落在()第11题A. ①处B. ②处C. ③处D. ④处12. (2019·雅安)如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A1B1C1相似的是()第12题A BC D13. (2019·赤峰)如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB.若AD ＝2，AB＝6，AC＝4，则AE的长为()第13题A. 1B. 2C. 3D. 414. (2019·海南)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4.P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长为()第14题A. 813 B.1513C. 2513 D.321315. (2019·常德)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，图中所有的三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是()第15题A. 20B. 22C. 24D. 2616. (2019·贵港)如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，∠ACD ＝∠B.若AD＝2BD，BC＝6，则线段CD的长为()第16题A. 2 3B. 3 2C. 2 6D. 517. (2019·毕节)如图，在一块斜边长为30 cm的直角三角形木板(Rt△ACB)上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上．若AF∶AC＝1∶3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为()第17题A. 100 cm2B. 150 cm2C. 170 cm2D. 200 cm218. (2019·兰州)已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝8，A′B′＝6，则BCB′C′的值为()A. 2B. 4 3C. 3D. 16 919. (2019·巴中)如图，在▱ABCD中，F为BC的中点，延长AD至点E，使DE∶AD＝1∶3，连接EF交DC于点G，则S△DEG∶S△CFG为()第19题A. 2∶3B. 3∶2C. 9∶4D. 4∶920. (2019·安徽)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC 上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G.若EF＝EG，则CD的长为()第20题A. 3.6B. 4C. 4.8D. 5 21. (2019·凉山州)如图，在△ABC 中，点D 在AC 边上，AD ∶DC ＝1∶2，O 是BD 的中点，连接AO 并延长交BC 于点E ，则BE ∶EC 为( )第21题A. 1∶2B. 1∶3C. 1∶4D. 2∶3 22. (2019·温州)如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，以BE 为边作正方形BEFG ，边EF 交CD 于点H ，在边BE 上取点M 使BM ＝BC ，作MN ∥BG 交CD 于点L ，交FG 于点N ，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2，现以点F 为圆心，FE 长为半径作圆弧交线段DH 于点P ，连接EP ，记△EPH 的面积为S 1，图中阴影部分的面积为S 2.若点A ，L ，G 在同一直线上，则S 1S 2的值为( )第22题A. 22B. 23C.24D.2623. (2019·眉山)如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4，∠ABC ＝60°，∠EAF ＝60°，点E 在CB 的延长线上，点F 在DC 的延长线上，连接EF.有下列结论：① BE ＝CF ；② ∠EAB ＝∠CEF ；③ △ABE ∽△EFC ；④ 若∠BAE ＝15°，则点F 到BC 的距离为23－2.其中，正确的个数是( )第23题A. 1B. 2C. 3D. 4 24. (2019·遂宁)如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，△BPC 是等边三角形，连接DP 并延长交CB 的延长线于点H ，连接BD 交PC 于点Q ，有下列结论：① ∠BPD ＝135°；②△BDP∽△HDB；③ DQ∶BQ＝1∶2；④ S△BDP＝3－14.其中，正确的有()第24题A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②④25. (2019·广东)如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至点E，使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于点M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N，K，有下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③ FN＝2NK；④ S△AFN∶S△ADM＝1∶4.其中，正确的有()第25题A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题26. (2019·淮安)如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于点A，B，C和点D，E，F.若AB＝3，DE＝2，BC＝6，则EF＝________．第26题27. (2019·南京)如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB.若AD＝2，BD＝3，则AC＝________．第27题28. (2019·西藏)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上的一点，CD⊥AB于点D，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为________．第28题29. (2019·通辽)已知三个边长分别为2 cm，3 cm，5 cm的正方形按如图所示的方式排列，则图中阴影部分的面积为________．第29题30. (2019·呼和浩特)已知正方形ABCD 的面积是2，E 为正方形一边BC 的延长线上的一点．若CE ＝2，连接AE ，与正方形另外一边CD 交于点F ，连接BF 并延长，与线段DE 交于点G ，则BG 的长为________．31. (2019·襄阳)如图，两块大小不同的三角尺放在同一平面内，直角顶点重合于点C ，点D 在AB 上，∠BAC ＝∠DEC ＝30°，AC 与DE 交于点F ，连接AE.若BD ＝1，AD ＝5，则CF EF ＝________．第31题32. (2019·宜宾)如图，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且点A ，C ，E 在同一直线上，AD 与BE ，BC 分别交于点F ，M ，BE 与CD 交于点N ，连接MN.有下列结论：① AM ＝BN ；② △ABF ≌△DNF ；③ ∠FMC ＋∠FNC ＝180°；④ 1MN ＝1AC ＋1CE.其中，正确的是________(填序号)．第32题33. (2019·遵义)如图，⊙O 的半径为1，AB ，AC 是⊙O 的两条弦，且AB ＝AC ，延长BO 交AC 于点D ，连接OA ，OC.若AD 2＝AB·DC ，则OD ＝________．第33题三、 解答题34. (2019·张家界)如图，在▱ABCD 中，连接对角线AC ，延长AB 至点E ，使BE ＝AB ，连接DE ，分别交BC ，AC 于点F ，G.(1) 求证：BF ＝CF ；(2) 若BC ＝6，DG ＝4，求FG 的长．第34题35. (2019·黄冈)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E，连接OE.求证：(1) △DBE是等腰三角形；(2) △COE∽△CAB.第35题36. (2019·荆门)如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(点O，A，B，C，D在同一条直线上)，测得AC＝2 m，BD＝2.1 m．如果小明眼睛距地面的高度BF，DG为1.6 m，试确定楼的高度OE.第36题37. (2019·雅安)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O，分别交AB，CD于点E，F，FE的延长线交CB的延长线于点M.(1) 求证：OE＝OF；(2) 若AD＝4，AB＝6，BM＝1，求BE的长．第37题38. (2019·凉山州)如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于点M，连接CM交DB于点N.(1) 求证：BD2＝AD·CD；(2) 若CD＝6，AD＝8，求MN的长．第38题39. (2019·上海)如图，AB ，AC 是⊙O 的两条弦，且AB ＝AC ，D 是AO 延长线上一点，连接BD 并延长交⊙O 于点E ，连接CD 并延长交⊙O 于点F.(1) 求证：BD ＝CD ； (2) 如果AB 2＝AO·AD ，求证：四边形ABDC 是菱形．第39题40. (2019·梧州)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，AF 平分∠DAC ，分别交DC ，BC 的延长线于点E ，F.连接DF ，过点A 作AH ∥DF ，分别交BD ，BF 于点G ，H ，连接EG.(1) 求DE 的长；(2) 求证：∠1＝∠DFC.第40题41. (2019·泸州)如图，AB 为⊙O 的直径，点P 在AB 的延长线上，点C 在⊙O 上，且PC 2＝PB·PA.(1) 求证：PC 是⊙O 的切线；(2) 已知PC ＝20，PB ＝10，D 是AB ︵的中点，DE ⊥AC ，垂足为E ，DE 交AB 于点F ，求EF 的长．第41题1. 相似的判定、性质与应用一、 1. C 2. D 3. B 4. C 5. B 6. C 7. C 8. C 9. C10. B 11. B 12. B 13. C 14. B 15. D 16. C 17. A 18. B 19.D 20. B 21. B 22. C 23. B 24. D 25. C二、 26. 4 27. 10 28. 4 29. 3.75 cm 2 30. 2103 31. 213 32. ①③④ 33. 5－12三、 34. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AD ∥BC ，AD ＝BC.∴△EBF ∽△EAD.∴ BF AD ＝EB EA .∵ BE ＝AB ，∴ EB EA ＝12.∴ BF ＝12AD ＝12BC.∴ BF ＝CF (2) ∵ AD ∥BC ，∴ △FGC ∽△DGA.∴FG DG ＝FC DA ，即FG 4＝12，解得FG ＝2 35. (1) 如图，连接OD.∵ DE 是⊙O 的切线，∴ OD ⊥DE ，即∠ODE ＝90°.∴ ∠ADO ＋∠BDE ＝90°.∵ ∠ACB ＝90°，∴ ∠CAB ＋∠CBA ＝90°.∵ OA ＝OD ，∴ ∠CAB ＝∠ADO.∴ ∠BDE ＝∠CBA.∴ EB ＝ED.∴ △DBE 是等腰三角形 (2) ∵ ∠ACB ＝90°，AC 是⊙O 的直径，∴ CB 是⊙O 的切线．∵ DE 是⊙O 的切线，∴ ED ＝EC.∵ EB ＝ED ，∴ EC ＝EB.∵ OA ＝OC ，∴ OE ∥AB.∴ △COE ∽△CAB第35题36. 如图，设点E 关于OD 的对称点为M.由光的反射定律，知延长GC ，FA 相交于点M ，连接GF 并延长交OE 于点H.易得FG ＝BD ＝2.1 m ，OH ＝BF ＝1.6 m ，OM ＝OE ，GF ∥AC ，∴ △MAC ∽△MFG ，△MAO ∽△MFH.∴ AC FG ＝MA MF ＝MO MH .设OE ＝x m ，则22.1＝x x ＋1.6，解得x ＝32.经检验，x ＝32是原分式方程的解．∴ OE ＝32 m ．答：楼的高度OE 为32 m第36题37. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ OA ＝OC ，AB ∥CD ，BC ＝AD.∴ ∠OAE＝∠OCF.在△AOE 和△COF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠OAE ＝∠OCF ，OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，∴ △AOE ≌△COF.∴ OE ＝OF (2) 如图，取AB 的中点N ，连接ON ，∴ AN ＝BN ＝12AB ＝3.∵ OA ＝OC ，∴ ON ∥BC ，ON ＝12BC＝12AD ＝2.∴ △ONE ∽△MBE.∴ ON MB ＝NE BE ，即21＝3－BE BE，解得BE ＝1 第37题38. (1) ∵ DB 平分∠ADC ，∴ ∠ADB ＝∠BDC.又∵ ∠ABD ＝∠BCD ＝90°，∴ △ABD ∽△BCD.∴ AD BD ＝BD CD.∴ BD 2＝AD·CD (2) ∵ BM ∥CD ，∴ ∠MBC ＝90°，∠MBD ＝∠BDC.∵ ∠ADB ＝∠BDC ，∴ ∠ADB ＝∠MBD.∴ BM ＝MD.∵ ∠ABD ＝90°，∴ ∠MAB＋∠ADB ＝∠MBA ＋∠MBD ＝90°.∴ ∠MAB ＝∠MBA.∴ BM ＝MD ＝AM ＝12AD ＝4.∵ BD 2＝AD·CD ，且CD ＝6，AD ＝8，∴ BD 2＝48.∴ BC 2＝BD 2－CD 2＝12.∴ MC 2＝MB 2＋BC 2＝28.∴ MC ＝27(负值舍去)．∵ BM ∥CD ，∴ △MNB ∽△CND.∴BM DC ＝MN CN ，即46＝MN 27－MN.∴ MN ＝457 39. (1) 如图，连接BC.∵ AB ＝AC ，∴ AB ︵＝AC ︵.又∵ AD 经过圆心O ，∴ AD 垂直平分BC.∴ BD ＝CD (2) 如图，连接OB.∵ AB 2＝AO·AD ，∴ AO AB ＝AB AD .∵ ∠BAO ＝∠DAB ，∴ △ABO ∽△ADB.∴ ∠OBA ＝∠BDA.∵ OA ＝OB ，∴ ∠OBA ＝∠OAB.∴ ∠OAB ＝∠BDA.∴ AB ＝BD.∵ AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴ AB ＝AC ＝BD ＝CD.∴ 四边形ABDC 是菱形第39题40. (1) ∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AD ＝BC ＝3，CD ＝AB ＝4，AD ∥BC.∴ ∠DAF ＝∠AFC.∵ AF 平分∠DAC ，∴ ∠DAF ＝∠CAF.∴ ∠CAF ＝∠AFC.∴ AC ＝CF.∵ AB ＝4，BC ＝3，∴ AC ＝AB 2＋BC 2＝5.∴ CF ＝5.∵ AD ∥CF ，∴ △ADE ∽△FCE.∴ AD FC ＝DE CE ，即35＝DE 4－DE .∴ DE ＝32(2) ∵ AD ∥FH ，AH ∥DF ，∴ 四边形ADFH 是平行四边形．∴ FH ＝AD ＝3.∴ CH ＝2，BH ＝5.∵ AD ∥BH ，∴ △ADG ∽△HBG.∴ DG BG ＝AD HB ，即DG 5－DG ＝35.∴ DG ＝158.∵ DE ＝32，∴ DE DC ＝324＝38，DG DB ＝1585＝38.∴ DE DC ＝DG DB.∵ ∠EDG ＝∠CDB ，∴ △EDG ∽△CDB.∴ ∠DEG ＝∠DCB.∴ EG ∥BC.∴ ∠1＝∠AHC.又∵ AH ∥DF ，∴ ∠AHC ＝∠DFC.∴ ∠1＝∠DFC41. (1) 如图，连接OC.∵ PC 2＝PB·PA ，∴ PC PA ＝PB PC.∵ ∠P ＝∠P ，∴ △PBC ∽△PCA.∴ ∠PCB ＝∠PAC.∵ AB 为⊙O 的直径，∴ ∠ACB ＝90°.∴ ∠PAC ＋∠ABC ＝90°.∵ OC ＝OB ，∴ ∠OBC ＝∠OCB.∴ ∠PCB ＋∠OCB ＝90°，即OC ⊥PC.∵ OC 是⊙O 的半径，∴ PC 是⊙O的切线 (2) 如图，连接OD.∵ PC ＝20，PB ＝10，PC 2＝PB·PA ，∴ PA ＝PC 2PB ＝20210＝40.∴ AB ＝PA －PB ＝30.∵ △PBC ∽△PCA ，∴ BC CA ＝PC PA ＝12.设BC ＝x ，则AC ＝2x.在Rt △ABC 中，x 2＋(2x)2＝302，解得x ＝65(负值舍去)．∴ BC ＝6 5.∵ D 是AB ︵的中点，AB 为⊙O 的直径，∴ ∠AOD ＝90°.∵ DE ⊥AC ，∴ ∠AEF ＝∠ACB ＝90°.∴ DE ∥BC.∴ ∠DFO ＝∠ABC.又∵ ∠DOF ＝∠ACB ＝90°，∴ △DOF ∽△ACB.∴ OF CB ＝OD CA ，即OF OD ＝BC AC ＝12.∴ OF ＝12OD ＝14AB ＝152.∴ AF ＝152.∵ EF ∥BC ，∴ △AEF ∽△ACB.∴ EF CB ＝AF AB ＝14.∴ EF ＝14BC ＝352第41题。
2019年中考数学试题汇编—— 相似、位似及其应用2019
一、选择题1. (2019山东枣庄,12,3分)如图,将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC 的面积为16,阴影部分三角形的面积为9,若AA'＝1,则A'D 等于A.2B.3C.4D.32第12题图 【答案】B【思路分析】根据平移得到相似,由相似三角形面积比等于相似比的平方,得到相似比,进而得到两中线的比,求出A'D 的长【解题过程】由平移可得,△ABC ∽△A'MN,设相似比为k,∵S △ABC ＝16,S △A'MN ＝9,∴k 2＝16:9,∴k ＝4:3,因为AD和A'D 分别为两个三角形的中线,∴AD:A'D ＝k ＝4:3,∵AD ＝AA'+A'D,∴AA':A'D ＝1:3,∵AA'＝1,则A'D ＝3,故选B第12题答图【知识点】图形的平移,相似三角形的性质2. （2019山东淄博，8，4分） 如图，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝4，D 为BC 边上的一点，且∠CAD ＝∠B. 若△ADC 的面积为a ，则△ABD 的面积为（ ）A .2aB .52a C .3a D .72a 【答案】C .【思路分析】在△BAC 和△ADC 中，∠C 是公共角，∠CAD ＝∠B .，则△BAC ∽△ADC ，根据相似三角形的性质求出△ABC 的面积，进而求出△ABD 的面积.【解题过程】在△BAC 和△ADC 中，∵∠C 是公共角，∠CAD ＝∠B.，∴△BAC ∽△ADC ，∴2BCAC,B∴2ABDA=()4CCS BCS AC=VV，又∵△ADC的面积为a，∴△ABC的面积为4a，∴△ABD的面积为3a.【知识点】相似三角形的判定和性质3. (2019四川巴中,8,4分)如图Y ABCD,F为BC中点,延长AD至E,使DE:AD＝1:3,连接EF交DC于点G,则S△DEG:S△CFG＝( )A.2:3B.3:2C.9:4D.4:9第8题图【答案】D【解析】因为DE:AD＝1:3,F为BC中点,所以DE:CF＝2:3,YABCD中,DE∥CF,所以△DEG∽△CFG,相似比为2:3,所以S△DEG:S△CFG＝4:9.故选D.【知识点】相似三角形,相似比4. （2019四川省乐山市，8，3）把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置.则图中阴影部分的面积为（）A．61B．31C．51D．41【答案】A【思路分析】先根据正方形性质与相似三角形的判定与性质求得DH的长，再求得阴影部分面积.第8题答图【解题过程】∵四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，∴AD=DC=1，CE=2，AD∥CE，∴△ADH∽△ECF，∴AD DHCE CH=，∴121DHDH=-，解得DH=13，∴阴影部分面积为12×13×1=16，故选A.【知识点】正方形性质；相似三角形的判定与性质；三角形面积12第8题图5. （2019四川省乐山市，9，3）如图，在边长为3的菱形ABCD 中，︒=∠30B ，过点A 作BC AE ⊥于点E ，现将△ABE 沿直线AE 翻折至△AFE 的位置，AF 与CD 交于点G .则CG 等于（ ） A ．13- B ．1 C ．21D ．23第9题图【答案】A【思路分析】先根据菱形性质以及锐角三角函数求BE 、EF 、CF 、DC ，再利用相似三角形求CG 的长.【解题过程】∵ BC AE ⊥， ∴∠AEB=90°，菱形ABCD 的边长为3，︒=∠30B ， ∴AE=12AB=12，BE=CF==1.5，BF=3，CF=BF -BC=3-，∵AD ∥CF ，∴△AGD ∽△FGC ，∴DG ADCG CF=，∴=CG1，故选A. 【知识点】菱形性质；锐角三角函数；相似三角形的判定与性质；轴对称性质6.（2019四川省凉山市，10，4）如图，在△ABC 中，D 在AC 边上，AD ∶DC = 1∶2，O 是BD 的中点，连接A 0并延长交BC 于 E ，则BE ∶EC =（ ▲ ） A. 1∶2 B . 1∶3 C . 1∶4 D . 2∶3 【答案】B【思路分析】过点D 作DF ∥AE ，利用平行线分线段成比例定理求BE ∶EF , EF ∶FC ，再求BE ∶EC . 【解题过程】过点D 作DF ∥AE ，则1==OD BO EF BE ,21==CD AD FC EF ，∴BE ∶EF ∶FC =1∶1∶2，∴BE ∶EC =1∶3.故选B .【知识点】平行线分线段成比例定理7. （2019四川省眉山市，9，3分） 如图，一束光线从点A （4，4）出发，经y 轴上的点C 反射后，经过点B （1，0），则点C 的坐标是A ．（0，12）B ． （0，45）C ． （0，1）D ． （0，2）【答案】B【思路分析】过点A作AD⊥y轴于点D，利用△OBA∽△DAC，求出OC的长即可.【解题过程】解：过点A作AD⊥y轴于点D，∵∠ADC=∠COB=90°，∠ACD=∠BCO，∴△OBA∽△DAC，∴OC DCOB AD=，∴414OC OC-=，解得：OC=45，∴点C（0，45），故选B.【知识点】相似三角形的性质和判定8. （2019四川省眉山市，12，3分）如图，在菱形ABCD中已知AB=4，∠ABC=60°，∠EAF=60°，点E在CB的延长线上，点F在DC的延长线上，有下列结论：①BE=CF，②∠EAB=∠CEF；③△ABE∽△EFC，④若∠BAE=15°，则点F到BC的距离为232-，则其中正确结论的个数是A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【思路分析】连接AC，易得△ABC是等边三角形，利用△ABE≌△ACF，可得BE=CF；由△ABE≌△ACF，可得AE=AF，进而可得△AEF是等边三角形，进而可得∠EAB=∠CEF；求出△ABE和△EFC的角的度数，即可判断；过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，根据FH=CF•cos30°，因为CF=BE，只要求出BE即可解决问题.【解题过程】解：连接AC，在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠EAF=60°，∴∠EAB+∠BAF=∠CAF+∠BAF=60°，即∠EAB=∠CAF，∵∠ABE=∠ACF=120°，∴△ABE≌△ACF，∴BE=CF，故①正确；由△ABE≌△ACF，可得AE=AF，∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF=60°，∴∠AEB+∠CEF=60°，∵∠AEB+∠EAB=60°，∴∠CEF=∠EAB，故②正确；在△ABE中，∠AEB＜60°，∠ECF=60°，∴③错误；过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH D⊥EC于点H，∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，∴∠AEB=45°，在Rt△AGB中，∵∠ABC=60°，AB=4，∴BG=12AB=2，AG=3BG=23，在Rt△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，∴AG=GE=23，∴EB=EG-BG=23-2，∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAF，∵∠ABC=∠ACD=60°，∴∠ABE=∠ACF=120°在△AEB和△AFC中，⎧⎪⎨⎪⎩∠∠∠∠︒EAB FACAB ACABE ACF120＝＝＝＝，∴△AEB≌△AFC，∴AE=AF，EB=CF=23-2，在Rt△CHF中，∵∠HCF=180°-∠BCD=60°，CF=23-2，∴FH=CF•sin60°=（23-2）•3=3-3.∴点F到BC的距离为3-3.故④错误.故选B.【知识点】菱形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，锐角三角形函数9.（2019重庆市B卷，3，4）下列命题是真命题的是（）A.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为2:3B.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为4:9C.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个全角形的面积比为2:3D.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的面积比为4:9【答案】Ｂ【解析】如果两个三角形相似,那么这两个三角形的周长比等于相似比，面积比是相似比的平方.即如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为4:9；面积比是相似比的平方，即16:81. 故选Ｂ．【知识点】真命题，假命题，相似比10.（2019重庆A卷，3，4）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C．O DCBA第3题图【解析】∵△ABO ∽△CDO ，∴AB BO CD DO =．∵BO ＝6，DO ＝3，CD ＝2，∴623AB =．∴AB ＝4．故选C ． 【知识点】图形的相似；相似三角形的性质11. （2019安徽省，7，4分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，12BC =，点D 在边BC 上，点E 在线段AD 上，EF AC ⊥于点F ，EG EF ⊥交AB 于点G ．若EF EG =，则CD 的长为( )A ．3.6B ．4C ．4.8D ．5【答案】B【解析】解：作//DH EG 交AB 于点H ，则AEG ADH ∆∆∽， ∴AE EGAD DH=， ∵EF AC ⊥，90C ∠=︒， 90EFA C ∴∠=∠=︒， //EF CD ∴， AEF ADC ∴∆∆∽，∴AE EFAD CD =， ∴EG EFDH CD=， EG EF =Q ， DH CD ∴=，设DH x =，则CD x =， 12BC =Q ，6AC =， 12BD x ∴=-，EF AC ⊥Q ，EF EG ⊥，//DH EG ， ////EG AC DH ∴， BDH BCA ∴∆∆∽，∴DH BD AC BC =，即12612x x-=，解得，4x =，∴4CD =， 故选B ．【知识点】相似三角形的判定与性质12. （2019四川南充，8，4分）已知ABC ∆∽△A B C '''，8AB =，6A B ''=，则(BCB C ='') A ．2 B ．43C ．3D ．169【答案】B【解析】解：ABC ∆Q ∽△A B C '''，∴8463BC AB B C A B ===''''．故选：B ． 【知识点】相似三角形的性质13. （2019甘肃武威，5，3分）如图，将图形用放大镜放大，应该属于( )A ．平移变换B ．相似变换C ．旋转变换D ．对称变换【答案】B.【解析】由相似图形的定义，得用放大镜将图形放大，图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换，故选B ．【知识点】几何变换14. （2019广东广州，7，3分）如图，▱ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，对角线AC ，BD 相交于点O ，且E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．EH ＝HGB ．四边形EFGH 是平行四边形C ．AC ⊥BD D ．△ABO 的面积是△EFO 的面积的2倍【答案】B【解析】解：∵E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点，在▱ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，∴EH=12AD＝2，HG=12CD=12AB＝1，∴EH≠HG，故选项A错误；∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，∴EH=12AD=12BC=FG，∴四边形EFGH是平行四边形，故选项B正确；由题目中的条件，无法判断AC和BD是否垂直，故选项C错误；∵点E、F分别为OA和OB的中点，∴EF=12AB，EF∥AB，∴△OEF∽△OAB，∴S△AEFS△OAB=(EFAB)2=14，即△ABO的面积是△EFO的面积的4倍，故选项D错误，故选：B．【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质15.（2019广东省，10，3分）如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N、K：则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④S△AFN：S△ADM＝1：4．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】解：∵四边形EFGB是正方形，EB＝2，∴FG＝BE＝2，∠FGB＝90°，∵四边形ABCD是正方形，H为AD的中点，∴AD＝4，AH＝2，∠BAD＝90°，∴∠HAN＝∠FGN，AH＝FG，∵∠ANH＝∠GNF，∴△ANH≌△GNF（AAS），故①正确；∴∠AHN＝∠HFG，∵AG＝FG＝2＝AH，∴AF=√2FG=√2AH，∴∠AFH≠∠AHF，∴∠AFN≠∠HFG，故②错误；∵△ANH≌△GNF，∴AN=12AG＝1，∵GM＝BC＝4，∴AHAN=GMAG=2，∵∠HAN＝∠AGM＝90°，∴△AHN∽△GMA，∴∠AHN＝∠AMG，∵AD∥GM，∴∠HAK＝∠AMG，∴∠AHK＝∠HAK，∴AK＝HK，∴AK＝HK＝NK，∵FN＝HN，∴FN＝2NK；故③正确；∵延长FG交DC于M，∴四边形ADMG是矩形，∴DM＝AG＝2，∵S△AFN=12AN•FG=12×2×1＝1，S△ADM=12AD•DM=12×4×2＝4，∴S△AFN：S△ADM＝1：4故④正确，故选：C．【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质16.（2019贵州黔东南，10，4分）如图，在一斜边长30cm的直角三角形木板（即Rt△ACB）中截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A．200cm2B．170cm2C．150cm2D．100cm2【答案】D【解析】解：设AF＝x，则AC＝3x，∵四边形CDEF为正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴EFBC=AFAC=13，∴BC＝6x，在Rt△ABC中，AB=√(3x)2+(6x)2=3√5x，∴3√5x＝30，解得x＝2√5，∴AC＝6√5，BC＝12√5，∴剩余部分的面积=12×6√5×12√5−（4√5）2＝100（cm2）．故选：D．【知识点】正方形的性质；相似三角形的应用17.（2019江苏连云港，6，3分）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似()A．①处B．②处C．③处D．④处（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由网格得，帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为2、“车”、“炮”之间的距离为1，“炮”②，“车”②之间的距离为12==，∴马应该落在②的位置，故选B．【知识点】相似三角形的判定与性质18.（2019山东德州，12，4分）如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且:1:2AF FB=，CE DF⊥，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使12BG BC=，连接CM．有如下结论：①DE AF=；②AN AB；③ADF GMF∠=∠；④:1:8ANF CNFBS S∆=四边形．上述结论中，所有正确结论的序号是()A．①②B．①③C．①②③D．②③④【答案】C【解析】Q四边形ABCD是正方形，AD AB CD BC∴===，90CDE DAF∠=∠=︒，CE DF⊥Q，90DCE CDF ADF CDF∴∠+∠=∠+∠=︒，ADF DCE∴∠=∠，在ADF∆与DCE∆中，90DAF CDEAD CDADF DCE∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ADF DCE ASA∴∆≅∆，DE AF∴=；故①正确；//AB CDQ，∴AF ANCD CN=，:1:2AF FB =Q ，::1:3AF AB AF CD ∴==， ∴13AN CN =， ∴14AN AC =，AC =Q ， ∴14=，AN AB ∴=；故②正确；作GH CE ⊥于H ，设AF DE a ==，2BF a =，则3AB CD BC a ===，EC =，由CMD CDE ∆∆∽，可得CM ，由GHC CDE ∆∆∽，可得CH =， 12CH MH CM ∴==， GH CM ⊥Q ，GM GC ∴=，GMH GCH ∴∠=∠，90FMG GMH ∠+∠=︒Q ，90DCE GCM ∠+∠=︒，FEG DCE ∴∠=∠，ADF DCE ∠=∠Q ，ADF GMF ∴∠=∠；故③正确，设ANF ∆的面积为m ，//AF CD Q ， ∴13AF FN CD DN ==，AFN CDN ∆∆∽， ADN ∴∆的面积为3m ，DCN ∆的面积为9m ，ADC ∴∆的面积ABC =∆的面积12m =，:1:11ANF CNFB S S ∆∴=四边形，故④错误，故选C ．【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质19.（2019四川绵阳，12，3分）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ADC ＝90°，AB ＝5，CD ＝AD ＝3，点E 是线段CD 的三等分点，且靠近点C ，∠FEG 的两边与线段AB 分别交于点F 、G ，连接AC 分别交EF 、EG 于点H 、K ．若BG =32，∠FEG ＝45°，则HK ＝（ ）A ．2√23B ．5√26C ．3√22D ．13√26【答案】B【解析】解：∵∠ADC ＝90°，CD ＝AD ＝3，∴AC ＝3√2，∵AB ＝5，BG =32，∴AG =72，∵AB ∥DC ，∴△CEK ∽△AGK ，∴CE AG=CK AK =EK KG ， ∴172=CK AK =EK KG ， ∴CK AK =EK KG =27，∵CK +AK ＝3√2，∴CK =2√23，过E 作EM ⊥AB 于M ，则四边形ADEM 是矩形，∴EM ＝AD ＝3，AM ＝DE ＝2，∴MG =32，∴EG =√EM 2+MG 2=3√52，∵EK KG =27， ∴EK =√53，∵∠HEK ＝∠KCE ＝45°，∠EHK ＝∠CHE ，∴△HEK ∽△HCE ，∴HE HK =√53=√5，∴设HE ＝3x ，HK =√5x ，∵△HEK ∽△HCE ，∴EH HC =HK EH ， ∴√5x+2√23=√5x 3x ， 解得：x =√106，∴HK =5√26，故选B ．【知识点】勾股定理；相似三角形的判定和性质；等腰直角三角形的性质；矩形的判定和性质，20. （2019四川南充，9，3分）如图，正方形MNCB 在宽为2的矩形纸片一端，对折正方形MNCB 得到折痕AE ，再翻折纸片，使AB 与AD 重合，以下结论错误的是( )A ．210AB =+B ．CD BC = C ．2BC CD EH =g D ．sin AHD ∠=【答案】A【解析】解：在Rt AEB ∆中，AB//AB DH Q ，//BH AD ，∴四边形ABHD 是平行四边形，AB AD =Q ，∴四边形ABHD 是菱形，AD AB ∴==1CD AD AD ∴===，∴CD BC =，故选项B 正确，24BC =Q ，1)4CD EH ==g ，2BC CD EH ∴=g ，故选项C 正确，Q 四边形ABHD 是菱形，AHD AHB ∴∠=∠，sin sin AE AHD AHB AH ∴∠=∠===，故选项D 正确， 故选：A ．【知识点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；正方形的性质；解直角三角形；相似三角形的判定与性质21. （2019浙江绍兴，10，4分）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为( )A ．245B ．325CD 【答案】A 【解析】解：过点C 作CF BG ⊥于F ，如图所示：设DE x =，则8AD x =-， 根据题意得：1(88)333362x -+⨯⨯=⨯⨯， 解得：4x =，4DE ∴=，90E ∠=︒Q ，由勾股定理得：5CD ==，90BCE DCF ∠=∠=︒Q ，DCE BCF ∴∠=∠，90DEC BFC ∠=∠=︒Q ，CDE BCF ∴∆∆∽， ∴CE CD CF CB=， 即358CF =， 245CF ∴=． 故选：A ．【知识点】认识立体图形；勾股定理；相似三角形的判定与性质22. （2019浙江温州，10，4分）如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 中点，以BE 为边作正方形BEFG ，边EF 交CD 于点H ，在边BE 上取点M 使BM BC =，作//MN BG 交CD 于点L ，交FG 于点N ，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了22()()a b a b a b +-=-，现以点F 为圆心，FE 为半径作圆弧交线段DH 于点P ，连结EP ，记EPH ∆的面积为1S ，图中阴影部分的面积为2S ．若点A ，L ，G 在同一直线上，则12S S 的值为( )ABCD【答案】C【解析】解：如图，连接ALGL ，PF ．由题意：22AMLD S S a b ==-矩形阴，PH =，Q 点A ，L ，G 在同一直线上，//AM GN ，AML GNL ∴∆∆∽， ∴AM ML GN NL =， ∴a b a b a b b+-=-， 整理得3a b =，∴12221()2a b S S a b -===-g ， 故选：C ．【知识点】平方差公式；正方形的性质；矩形的性质；扇形面积的计算；线段垂直平分线的性质；相似三角形的判定与性质23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.二、填空题1. （2019山东滨州，16，5分）在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐标分别为A（－2，4），B（－4，0），O（0，0）．以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是________________________．【答案】（－1，2）或（1，－2）【解析】点A的对应点C的坐标是（－2×12，4×12）或（－2×（－12），4×（－12）），即（－1，2）或（1，－2）．【知识点】位似2. （2019山东滨州，19，5分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC：BD ＝：7；④FB2＝OF•DF．其中正确的结论有____________．（填写所有正确结论的序号）【答案】①③④【思路分析】由平行四边形的性质求出∠BCD的度数，再由角平分线的定义得出∠BCE的度数，进而得出△BCE 是等边三角形，再由AB=2BC，得出△ACE是等腰三角形，可得△ABC为直角三角形，由中位线定理得出OE ⊥AC，故①正确；或由等腰三角形的性质得出OE⊥AC；由中位线定理得出OF：BF=1：2，则S△AOD=S△BOC=3S △OCF，可得②错误；利用锐角三角函数或勾股定理得出AC与BC的关系，再用勾股定理得出OB与BC的关系，可得AC：BD=7，故③正确；由OF：BF=1：2，将BF和DF都化成OF，可得④正确．【解题过程】在Y ABCD中，AB∥DC，∠ABC=60°，∴∠BCD=120°．∵CE平分∠BCD，∴∠BCE=60°，∴△BCE 是等边三角形，∴BE=BC=CE，∠BEC=60°．∵AB=2BC，∴AE=BE=CE，∴∠EAC=∠ACE=30°，∴∠ACB=90°．在Y ABCD中，AO=CO，BO=DO，∴OE是△ACB的中位线，∴OE∥BC，∴OE⊥AC，故①正确；∵OE是△ACB的中位线，∴OE=12BC，∵OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，∴OF：BF=OE：BC=1：2，∴S△AOD=S△BOC=3S△OCF，故②错误；在Rt△ABC中，∵AB=2BC，∴BC，∴OC=2BC．在Rt△BCO中，=2BC，BC，∴AC：BC ：7，故③正确；∵OF：BF=1：2，∴BF=2OF，OB=3OF，∵OD=OB，∴DF=4OF，∴BF2=（2OF）2=4OF2，OF·DF=OF·4OF=4OF2，∴BF2=OF·DF，故④正确．【知识点】角平分线的定义；平行四边形的性质；等边三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；中位线定理；勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数3. （2019四川省凉山市，16，4）在□ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2∶3的两部分，连接BE、AC相交于F，则S△AEF∶S△CBF是▲ .【答案】4：25或9∶25【思路分析】分AE∶DE=2∶3与AE∶DE=3∶2两种情况讨论，借助相似三角形的性质求出面积比.【解题过程】在□ABCD中，∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF.如答图1，当AE∶DE=2∶3时，AE∶AD=2∶5,∵AD=BC，∴AE∶BC=2∶5, ∴S△AEF∶S△CBF=4∶25；如答图2，当AE∶DE=3∶2时，AE∶AD=3∶5,∵AD=BC，∴AE∶BC=3∶5, ∴S△AEF∶S△CBF=9∶25.故答案为4∶25或9∶25.（第16题图答图1）（第16题图答图2）【知识点】三角形相似的判定与性质；分类讨论思想17．（2019四川省凉山市，17，4）将抛物线y=(x-3)2-2向左平移个单位后经过点A(2，2)．【答案】3【思路分析】先假设平移后抛物线解析式，再代入A(2，2)求参数m.【解题过程】设抛物线向左平移m个单位，则平移后的解析式为y=（x-3+m）2-2，将A（2，2）代入，有2=（2-3+m）2-2，解得：m1=-1（舍去），m2=3，∴m=3.故答案为3.【知识点】抛物线的平移规律；待定系数法4.（2019四川省自贡市，17，4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，DE= .√5.【答案】95【解题过程】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵AB∥CD,∴∠D=∠ABD,∴∠CBD=∠D，∴CD=BD=6.在Rt △ABC 中，AC =√AB 2−BC 2=√102−62=8.∵AB ∥CD ，∴△ABE ∽△DCE ，∴CE AE =DE BE =CD AB =610=35,∴CE =35AE ，DE =35BE . 即CE =38AC =38×8=3.在Rt △BCE 中，BE =2+CE 2=√62+32=3√5.∴DE =35BE =35×3√5=95√5.【知识点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线性质5. （2019浙江省衢州市，16，4分）如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形。
2019年中考数学真题分类汇编第二期专题26图形的相似与位似试题含解析
=S=S2019年中考数学真题分类汇编图形的相似与位似一.选择题1.（2019·湖北随州·3分）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（）A．1B．C．1D．【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质结合△SADE四边形BCED，可得出=，结合BD=AB﹣AD即可求出的值，此题得解．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴（）2=△∵S ADE四边形BCED，．∴=，∴===﹣1．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．2.（2019江苏宿迁3分）如图，菱形A BCD的对角线AC.BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（）A. B.2 C. D.4【答案】A【分析】根据菱形的性质得菱形边长为4，AC⊥BD，由一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得△ABD是等边三角形；在△R t AOD中，根据勾股定理得AO=2，AC=2AO=4，根据三角形面积公式得△SACD=OD·AC=4，根据中位线定理得OE∥AD，根据相似三角形的面积比等于相似比继而可求出△OCE的面积.【详解】∵菱形ABCD的周长为16，∴菱形ABCD的边长为4，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，又∵O是菱形对角线AC.BD的交点，∴AC⊥BD，在△R t AOD中，∴AO=，∴AC=2AO=4，∴S△ACD=OD·AC=×2×4=4，又∵O、E分别是中点，∴OE∥AD，∴△COE∽△CAD，∴，∴，△∴SCOE=S△CAD=×4=，故选A.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，结合图形熟练应用相关性质是解题的关键.3.（2019•江苏无锡•3分）如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH 的顶点G、H都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tan∠AFE的值（）A．等于C．等于B．等于D．随点E位置的变化而变化【分析】根据题意推知EF∥AD，由该平行线的性质推知△AEH∽△ACD，结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答．【解答】解：∵EF∥AD，∴∠AFE=∠FAG，∴△AEH∽△ACD，∴设EH=3x，AH=4x，∴HG=GF=3x，==．∴tan∠AFE=tan∠FAG===．故选：A．【点评】考查了正方形的性质，矩形的性质以及解直角三角形，此题将求∠AFE的正切值转化为求∠FAG的正切值来解答的．5.2019•内蒙古包头市•3分）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E 为BC的中点，AE与BD相交于点F．若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（）A．B．C．D．【分析】先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD，再利用直角三角形的性质求出DE=BE=2，即：∠BDE=∠ABD，进而判断出DE∥AB，再求出AB=3，即可得出结论．【解答】解：如图，在Rt△BDC中，BC=4，∠DBC=30°，∴BD=2，连接DE，∵∠BDC=90°，点D是BC中点，∴DE=BE=CE BC=2，∵∠DCB=30°，∴∠BDE=∠DBC=30°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠BDE，∴DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴，在Rt△ABD中，∠ABD=30°，BD=2∴AB=3，，∴∴，，3∴DF= BD= ×2故选：D ．= ，【点评】此题主要考查了含 30 度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，判断出 DE∥是解本题的关键．6. （2019•达州•3 分）如图，E ，F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上两点，AE=CF= AC ．连接DE ，DF 并延长，分别交 AB ，BC 于点 G ，H ，连接 GH ，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．1【分析】首先证明 AG ：AB=CH ：BC=1： ，推出 GH ∥△B C ，推出 BGH ∽△BAC ，可得 = =（）2=（ ）2= ， = ，由此即可解决问题．【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形∴AD=BC ，DC=AB ，∵AC=CA ，∴△ADC ≌△CBA ，∴△S A DC △=SABC，∵AE=CF= AC ，AG ∥CD ，CH ∥AD ，∴AG ：DC=AE ：CE=1：3，CH ：AD=CF ：AF=1：3，∴AG ：AB=CH ：BC=1：3，∴GH ∥BC ，∴△BGH ∽△BAC ，∴= =（ ）2=（ ）2= ，∵= ，∴= × = ，故选：C ．【点评】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．7. （2019•乌鲁木齐•4 分）如图，在 ABCD 中，E 是 AB 的中点，EC 交 BD 于点 △F ，则 BEF 与△DCB 的面积比为（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据平行四边形的性质得出 AB=CD ，AB ∥△C D ，根据相似三角形的判定得出 BEF ∽△DCF ，根据相似三角形的性质和三角形面积公式求出即可．【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，E 为 AB 的中点，∴AB=DC=2BE ，AB ∥CD ，∴△BEF ∽△DCF ，∴= = ，∴DF=2BF ，=（ ）2= ，∴= ，∴△S B EF = △S D CF ，△S D CB = △S D CF ，∴ = = ，故选：D ．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行四边形的性质，能熟 记相似三角形的性质是解此题的关键．8. （2019•杭州•3 分）如图，在△ABC 中，点 D 在 AB 边上，DE ∥BC ，与边 AC 交于点 E ，连结△BE ，记 ADE ，△BCE 的面积分别为 S 1 ， S 2 ， （）A.若 ，则B.若，则C.若 ，则D.若，则【答案】D【考点】三角形的面积，平行线分线段成比例【 解 析 】【 解 答 】 解 : 如 图 ， 过 点 D 作 DF ⊥ AC 于 点 F ， 过 点 B 作 BM ⊥ AC 于 点M∴DF ∥BM ，设 DF=h 1 ， BM=h 2∴∵DE ∥BC∴∴∵若∴设=k ＜0.5（0＜k ＜0.5）∴AE=AC ∙k ，CE=AC-AE=AC （1-k)，h 1=h 2k∵S 1=AE ∙h 1=AC ∙k ∙h 1 ， S 2=CE ∙h 2=AC （1-k ）h 2（ （∴3S 1=k 2ACh 2 ， 2S 2=（1-K ） ACh 2∵0＜k ＜0.5∴k 2＜（1-K ）∴3S 1＜2S 2 故答案为：D【分析】过点 D 作 DF ⊥AC 于点 F ，过点 B 作 BM ⊥AC 于点 M ，可得出 DF ∥BM ，设 DF=h 1 ，BM=h 2 ，再根据 DE ∥BC ，可证得，若 ，设=k ＜0.5（0＜k ＜0.5），再分别求出 3S 1 和 2S 2， 根据 k 的取值范围，即可得出答案。
2019年中考数学试题分类汇编专项46相似和位似(K12教育文档)
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2019年中考数学试题分类汇编专项46相似和位似注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足!重在审题,多思考，多理解!专题46：相似和位似【一】选择题1.〔2018海南省3分〕如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不．正确的选项是．．．．．．【】A 、∠ABD =∠CB 、∠ADB =∠ABCC 、AB CB BDCD=D 、AD AB ABAC=【答案】C 。
【考点】相似三角形的判定.【分析】由∠ABD =∠C 或∠ADB =∠ABC ，加上∠A 是公共角,根据两组对应相等的两三角形相似的判定,可得△ADB ∽△ABC ；由AD AB ABAC=,加上∠A 是公共角,根据两组对应边的比相等，且相应的夹角相等的两三角形相似的判定,可得△ADB ∽△ABC ；但AB CB BD CD=，相应的夹角不知相等，故不能判定△ADB 与△ABC 相似。
应选C 。
2。
〔2018陕西省3分〕如图,在△ABC 中，AD ，BE 是两条中线，那么EDCABC SS :∆∆=【】A 、1∶2B 、2∶3C 、1∶3D 、1∶4【答案】D 。
【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质。
2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第一期) 专题26 图形的相似与位似(含解析)
图形的相似与位似一.选择题1. （2019•浙江绍兴•4分）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（）A．B．C．D．【分析】设DE＝x，则AD＝8﹣x，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE，再由勾股定理求出CD，过点C作CF⊥BG于F，由△CDE∽△BCF的比例线段求得结果即可．【解答】解：过点C作CF⊥BG于F，如图所示：设DE＝x，则AD＝8﹣x，根据题意得：（8﹣x+8）×3×3＝3×3×6，解得：x＝4，∴DE＝4，∵∠E＝90°，由勾股定理得：CD＝，∵∠BCE＝∠DCF＝90°，∴∠DCE＝∠BCF，∵∠DEC＝∠BFC＝90°，∴△CDE∽△BCF，∴，即，∴CF＝．故选：A．【点评】本题考查了勾股定理的应用、长方体的体积、梯形的面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键．2. （2019•江苏苏州•3分）如图，在ABC 中，点D 为BC 边上的一点，且2AD AB ==，AD AB ⊥，过点D 作DE AD ⊥，DE 交AC 于点E ，若1DE =，则ABC 的面积为（）A．B ．4 C． D ．8D ABC【分析】考察相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的高，中等题型【解答】AB AD DE AD ∴⊥⊥，90BAD ADE ∴∠=∠=//AB DE ∴ 易证CDECBA 12DC DE BC BA ∴== 即12DC BD DC =+ 由题得BD =∴解得DC =ABC11422ABC S BC ∴=⨯⨯= 故选B3 （2019•湖南邵阳•3分）如图，以点O 为位似中心，把△ABC 放大为原图形的2倍得到△A ′B ′C ′，以下说法中错误的是（ ）A．△ABC∽△A′B′C′B．点C.点O、点C′三点在同一直线上C．AO：AA′＝1：2D．AB∥A′B′【分析】直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．【解答】解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，∴△ABC∽△A′B′C′，点C.点O、点C′三点在同一直线上，AB∥A′B′，AO：OA′＝1：2，故选项C错误，符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键．4.（2019，山东枣庄，3分）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA′＝1，则A′D等于（）A．2 B．3 C．4 D．【分析】由S△ABC＝16.S△A′EF＝9且AD为BC边的中线知S△A′DE＝S△A′EF＝，S△ABD ＝S△ABC＝8，根据△DA′E∽△DAB知（）2＝，据此求解可得．【解答】解：∵S△ABC＝16.S△A′EF＝9，且AD为BC边的中线，∴S △A ′DE ＝S △A ′EF ＝，S △ABD ＝S △ABC ＝8，∵将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移得到△A 'B 'C '，∴A ′E ∥AB ，∴△DA ′E ∽△DAB ， 则（）2＝，即（）2＝，解得A ′D ＝3或A ′D ＝﹣（舍），故选：B ．【点评】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．5.( 2019甘肃省兰州市) （4分）已知△ABC ∽△A ′B ′C ′， AB ＝8，A ’B ’＝6， 则''C B BC ＝ （ ）A. 2 .B.34 . C. 3 . D. 916. 【答案】B ．【考点】相似三角形的性质.【考察能力】运算求解能力.【难度】容易【解析】∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴''B A AB ＝''CB BC 又∵AB ＝8，A ’B ’＝6，∴''C B BC ＝34. 故选B.6．(2019甘肃省陇南市)（3分）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（ ）A ．平移变换B ．相似变换C ．旋转变换D ．对称变换【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．【解答】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：B．【点评】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．7.（2019，四川巴中，4分）如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连结EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝（）A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9【分析】先设出DE＝x，进而得出AD＝3x，再用平行四边形的性质得出BC＝3x，进而求出CF，最后用相似三角形的性质即可得出结论．【解答】解：设DE＝x，∵DE：AD＝1：3，∴AD＝3x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC＝AD＝3x，∵点F是BC的中点，∴CF＝BC＝x，∵AD∥BC，∴△DEG∽△CFG，∴＝（）2＝（）2＝，故选：D．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义，表示出CF是解本题的关键．8.（2019，山东淄博，4分）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B．若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为（）A．2a B．a C．3a D．a【分析】证明△ACD∽△BCA，根据相似三角形的性质求出△BCA的面积为4a，计算即可．【解答】解：∵∠CAD＝∠B，∠ACD＝∠BCA，∴△ACD∽△BCA，∴＝（）2，即＝，解得，△BCA的面积为4a，∴△ABD的面积为：4a﹣a＝3a，故选：C．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．9 （2019•江苏连云港•3分）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（）A．①处B．②处C．③处D．④处【分析】确定“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长，然后利用相似三角形的对应边的比相等确定第三个顶点的位置即可．【解答】解：帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为2.2、4；“车”、“炮”之间的距离为1，“炮”②之间的距离为，“车”②之间的距离为2，∵＝＝，∴马应该落在②的位置，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是利用勾股定理求得三角形的各边的长，难度不大．10. 2019•甘肃武威•3分）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）A．平移变换B．相似变换C．旋转变换D．对称变换【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．【解答】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：B．【点评】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．11 （2019•广西贵港•3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，∠ACD＝∠B，若AD＝2BD，BC＝6，则线段CD的长为（）A．2B．3C．2D．5【分析】设AD＝2x，BD＝x，所以AB＝3x，易证△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质可求出DE的长度，以及，再证明△ADE∽△ACD，利用相似三角形的性质即可求出得出＝，从而可求出CD的长度．【解答】解：设AD＝2x，BD＝x，∴AB＝3x，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴DE＝4，＝，∵∠ACD＝∠B，∠ADE＝∠B，∴∠ADE＝∠ACD，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD，∴＝，设AE＝2y，AC＝3y，∴＝，∴AD＝y，∴＝，∴CD＝2，故选：C．【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．12. （2019•湖北十堰•3分）如图，平面直角坐标系中，A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），反比例函数y＝的图象分别与线段AB，BC交于点D，E，连接DE．若点B关于DE的对称点恰好在OA上，则k＝（）A．﹣20 B．﹣16 C．﹣12 D．﹣8【分析】根据A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），可得矩形的长和宽，易知点D的横坐标，E的纵坐标，由反比例函数的关系式，可用含有k的代数式表示另外一个坐标，由三角形相似和对称，可用求出AF的长，然后把问题转化到三角形ADF中，由勾股定理建立方程求出k的值．【解答】解：过点E作EG⊥OA，垂足为G，设点B关于DE的对称点为F，连接DF、EF、BF，如图所示：则△BDE≌△FDE，∴BD＝FD，BE＝FE，∠DFE＝∠DBE＝90°易证△ADF∽△GFE∴，∵A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），∴AB＝OC＝EG＝4，OA＝BC＝8，∵D.E在反比例函数y＝的图象上，∴E（，4）、D（﹣8，）∴OG＝EC＝，AD＝﹣，∴BD＝4+，BE＝8+∴，∴AF＝，在Rt△ADF中，由勾股定理：AD2+AF2＝DF2即：（﹣）2+22＝（4+）2解得：k＝﹣12故选：C．【点评】此题综合利用轴对称的性质，相似三角形的性质，勾股定理以及反比例函数的图象和性质等知识，发现BD与BE的比是1：2是解题的关键．13. （2019•湖北天门•3分）如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接B D．下列结论：①CD是⊙O的切线；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED•BC＝BO•BE．其中正确结论的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】由切线的性质得∠CBO＝90°，首先连接OD，易证得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO＝90°，即可证得直线CD是⊙O的切线，根据全等三角形的性质得到CD＝CB，根据线段垂直平分线的判定定理得到即CO⊥DB，故②正确；根据余角的性质得到∠ADE＝∠BDO，等量代换得到∠EDA＝∠DBE，根据相似三角形的判定定理得到△EDA∽△EBD，故③正确；根据相似三角形的性质得到，于是得到ED•BC＝BO•BE，故④正确．【解答】解：连结DO．∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，∴∠CBO＝90°，∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠CO D．又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠CO B．在△COD和△COB中，，∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO＝∠CBO＝90°．又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；故①正确，∵△COD≌△COB，∴CD＝CB，∵OD＝OB，∴CO垂直平分DB，即CO⊥DB，故②正确；∵AB为⊙O的直径，DC为⊙O的切线，∴∠EDO＝∠ADB＝90°，∴∠EDA+∠ADO＝∠BDO+∠ADO＝90°，∴∠ADE＝∠BDO，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠EDA＝∠DBE，∵∠E＝∠E，∴△EDA∽△EBD，故③正确；∵∠EDO＝∠EBC＝90°，∠E＝∠E，∴△EOD∽△ECB，∴，∵OD＝OB，∴ED•BC＝BO•BE，故④正确；故选：A．【点评】本题主要考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用是解答此题的关键．二.填空题1.（2019▪广西池河▪3分）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝3，则＝．【分析】直接利用位似图形的性质进而分析得出答案．【解答】解：∵以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝3，∴＝＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出对应边的比值是解题关键．2. （2019•湖南长沙•3分）如图，函数y＝（k为常数，k＞0）的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则k＝2+；④若MF＝MB，则MD＝2M A．其中正确的结论的序号是①③④．（只填序号）【分析】①设点A（m，），M（n，），构建一次函数求出C，D坐标，利用三角形的面积公式计算即可判断．②△OMA不一定是等边三角形，故结论不一定成立．③设M（1，k），由△OAM为等边三角形，推出OA＝OM＝AM，可得1+k2＝m2+，推出m＝k，根据OM＝AM，构建方程求出k即可判断．④如图，作MK∥OD交OA于K．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．【解答】解：①设点A（m，），M（n，），则直线AC的解析式为y＝﹣x++，∴C（m+n，0），D（0，），∴S△ODM＝n×＝，S△OCA＝（m+n）×＝，∴△ODM与△OCA的面积相等，故①正确；∵反比例函数与正比例函数关于原点对称，∴O是AB的中点，∵BM⊥AM，∴OM＝OA，∴k＝mn，∴A（m，n），M（n，m），∴AM＝（n﹣m），OM＝，∴AM不一定等于OM，∴∠BAM不一定是60°，∴∠MBA不一定是30°．故②错误，∵M点的横坐标为1，∴可以假设M（1，k），∵△OAM为等边三角形，∴OA＝OM＝AM，1+k2＝m2+，∴m＝k，∵OM＝AM，∴（1﹣m）2+＝1+k2，∴k2﹣4k+1＝0，∴k＝2，∵m＞1，∴k＝2+，故③正确，如图，作MK∥OD交OA于K．∵OF∥MK，∴＝＝，∴＝，∵OA＝OB，∴＝，∴＝，∵KM∥OD，∴＝＝2，∴DM＝2AM，故④正确．故答案为①③④．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构造平行线，利用平行线分线段成比例定理解决问题，属于中考填空题中的压轴题．3. （2019•湖南岳阳•4分）如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A.B两点分别作PE的垂线A C.BD，垂足分别为C.D，连接AM，则下列结论正确的是①②④．（写出所有正确结论的序号）①AM平分∠CAB；②AM2＝AC•AB；③若AB＝4，∠APE＝30°，则的长为；④若AC＝3，BD＝1，则有CM＝DM＝．【分析】连接OM，可证OM∥AC，得出∠CAM＝∠AMO，由OA＝OM可得∠OAM＝∠AMO，故①正确；证明△ACM∽△AMB，则可得出②正确；求出∠MOP＝60°，OB＝2，则用弧长公式可求出的长为，故③错误；由BD∥AC可得PB＝，则PB＝OB＝OA，得出∠OPM＝30°，则PM＝2，可得出CM＝DM＝DP＝，故④正确．【解答】解：连接OM，∵PE为⊙O的切线，∴OM⊥PC，∵AC⊥PC，∴OM∥AC，∴∠CAM＝∠AMO，∵OA＝OM，∠OAM＝∠AMO，∴∠CAM＝∠OAM，即AM平分∠CAB，故①正确；∵AB为⊙O的直径，∴∠AMB＝90°，∵∠CAM＝∠MAB，∠ACM＝∠AMB，∴△ACM∽△AMB，∴，∴AM2＝AC•AB，故②正确；∵∠APE＝30°，∴∠MOP＝∠OMP﹣∠APE＝90°﹣30°＝60°，∵AB＝4，∴OB＝2，∴的长为，故③错误；∵BD⊥PC，AC⊥PC，∴BD∥AC，∴，∴PB＝，∴，BD＝，∴PB＝OB＝OA，∴在Rt△OMP中，OM＝＝2，∴∠OPM＝30°，∴PM＝2，∴CM＝DM＝DP＝，故④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查圆知识的综合应用，涉及切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质、弧长公式、含30度直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题．4.（2019▪贵州毕节▪3分）如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC ＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A．100cm2B．150cm2C．170cm2D．200cm2【分析】设AF＝x，根据正方形的性质用x表示出EF、CF，证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质求出BC，根据勾股定理列式求出x，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．【解答】解：设AF＝x，则AC＝3x，∵四边形CDEF为正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝＝，∴BC＝6x，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即302＝（3x）2+（6x）2，解得，x＝2，∴AC＝6，BC＝12，∴剩余部分的面积＝×12×6﹣4×4＝100（cm2），故选：A．【点评】本题考查的是相似三角形的应用、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5.（2019▪黑龙江哈尔滨▪3分）如图，在▱ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质．【解答】解：∵在▱ABCD中，EM∥AD∴易证四边形AMEN为平行四边形∴易证△BEM∽△BAD∽△END∴＝＝，A项错误＝，B项错误＝＝，C项错误＝＝，D项正确故选：D．【点评】此题主要考查相似三角形的性质及平行四边形的性质，本题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．6.（2019•浙江宁波•4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，点D在边BC上，CD＝5，BD＝13．点P是线段AD上一动点，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为 6.5或3．【分析】根据勾股定理得到AB＝＝6，AD＝＝13，当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离＝6，过P作PH⊥BC于H，则PH＝6，当⊙P于AB 相切时，点P到AB的距离＝6，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BD+CD＝18，∴AB＝＝6，在Rt△ADC中，∠C＝90°，AC＝12，CD＝5，∴AD＝＝13，当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离＝6，过P作PH⊥BC于H，则PH＝6，∵∠C＝90°，∴AC⊥BC，∴PH∥AC，∴△DPH∽△DAC，∴，∴＝，∴PD＝6.5，∴AP＝6.5；当⊙P于AB相切时，点P到AB的距离＝6，过P作PG⊥AB于G，则PG＝6，∵AD＝BD＝13，∴∠P AG＝∠B，∵∠AGP＝∠C＝90°，∴△AGP∽△BCA，∴，∴＝，∴AP＝3，∵CD＝5＜6，∴半径为6的⊙P不与△ABC的AC边相切，综上所述，AP的长为6.5或3，故答案为：6.5或3．【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练正确切线的性质是解题的关键．7.（2019•浙江衢州•4分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，ABCD的边AB 在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B恰好为OE的中点，DE与BC交于点F。
2019年中考数学真题分类汇编——相似形选择题(试题版+答案解析版)
2019年中考数学真题分类汇编——相似形选择题（试题版+答案解析版）1.（2019年四川内江市）如图，将△ABC沿着过BC的中点D的直线折叠，使点B落在AC边上的B1处，称为第一次操作，折痕DE到AC的距离为h1；还原纸片后，再将△BDE 沿着过BD的中点D1的直线折叠，使点B落在DE边上的B2处，称为第二次操作，折痕D1E1到AC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去……经过第n次操作后得到折痕D n﹣1E n﹣1，到AC的距离记为h n．若h1＝1，则h n的值为（）A．1+B．1+C．2﹣D．2﹣2.（2019年四川内江市）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，则AC的长为（）A．6B．7C．8D．93.（2019年广西玉林市）如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有（）A．3对B．5对C．6对D．8对4.（2019年内蒙古赤峰市）如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE的长是（）A．1B．2C．3D．45.（2019年海南省）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为（）A．B．C．D．6.（2019年黑龙江省哈尔滨市）如图，在▱ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝7.（2019年黑龙江省鸡西市）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点A作边BC的垂线AF交DC的延长线于点E，点F是垂足，连接BE、DF，DF交AC 于点O．则下列结论：①四边形ABEC是正方形；②CO：BE＝1：3；③DE＝BC；④S四边形OCEF＝S△AOD，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．48.（2019年湖北省黄石市）如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点E，AD：AB＝：1，将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，连接AF交BC于点G，且BG＝2，在AD边上有一点H，使得BH+EH的值最小，此时＝（）A．B．C．D．9.（2019年湖南省常德市）如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是（）A．20B．22C．24D．2610.（2019年湖南省邵阳市）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是（）A．△ABC∽△A′B′C′B．点C、点O、点C′三点在同一直线上C．AO：AA′＝1：2D．AB∥A′B′11.（2019年江苏省常州市）若△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为（）A．2：1B．1：2C．4：1D．1：412.（2019年江苏省镇江市）如图，菱形ABCD的顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），顶点A、D在x轴上方，对角线BD的长是，点E（﹣2，0）为BC的中点，点P在菱形ABCD的边上运动．当点F（0，6）到EP所在直线的距离取得最大值时，点P恰好落在AB的中点处，则菱形ABCD的边长等于（）A．B．C．D．313.（2019年广西贵港市）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，∠ACD＝∠B，若AD＝2BD，BC＝6，则线段CD的长为（）A．2B．3C．2D．514.（2019年湖北省十堰市）如图，平面直角坐标系中，A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），反比例函数y＝的图象分别与线段AB，BC交于点D，E，连接DE．若点B关于DE的对称点恰好在OA上，则k＝（）A．﹣20 B．﹣16 C．﹣12 D．﹣815.（2019年贵州省毕节市）如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A．100cm2B．150cm2C．170cm2D．200cm216.（2019年广西贺州市）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC等于（）A．5B．6C．7D．817.（2019年广东省）如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH 分别与AB，AM交于点N、K：则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④S△AFN：S△ADM＝1：4．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个18.（2019年广东省广州市）如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（）A．EH＝HGB．四边形EFGH是平行四边形C．AC⊥BDD．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍19.（2019年甘肃省兰州市）已知△ABC∽△A'B'C'，AB＝8，A'B'＝6，则＝（）A．2B．C．3D．20.（2019年江苏省苏州市）如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，且AD＝AB＝2，AD⊥AB．过点D作DE⊥AD，DE交AC于点E．若DE＝1，则△ABC的面积为（）A．4B．4C．2D．821.（2019年四川省遂宁市）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，连接DP并延长交CB的延长线于点H，连接BD交PC于点Q，下列结论：①∠BPD＝135°；②△BDP∽△HDB；③DQ：BQ＝1：2；④S△BDP＝．其中正确的有（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④22.（2019年浙江省杭州市）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则（）A．＝B．＝C．＝D．＝23.（2019年山东省淄博市）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B．若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为（）A．2a B．a C．3a D．a24.（2019年四川省乐山市）如图，在边长为的菱形ABCD中，∠B＝30°，过点A作AE⊥BC于点E，现将△ABE沿直线AE翻折至△AFE的位置，AF与CD交于点G．则CG等于（）A．B．1C．D．25.（2019年四川省乐山市）把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置．则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．26.（2019年四川省巴中市）如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连结EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝（）A．2：3B．3：2C．9：4D．4：927.（2019年台湾省）如图，将一张面积为14的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片．根据图中标示的长度，求平行四边形纸片的面积为何？（）A．B．C．D．28.（2019年四川省绵阳市）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠ADC＝90°，AB＝5，CD＝AD＝3，点E是线段CD的三等分点，且靠近点C，∠FEG的两边与线段AB分别交于点F、G，连接AC分别交EF、EG于点H、K．若BG＝，∠FEG＝45°，则HK ＝（）A．B．C．D．29.（2019年安徽省）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF＝EG，则CD的长为（）A．3.6B．4C．4.8D．530.（2019年江苏省连云港市）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（）A．①处B．②处C．③处D．④处31.（2019年浙江省绍兴市）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（）A．B．C．D．32.（2019年浙江省绍兴市）正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（）A．先变大后变小B．先变小后变大C．一直变大D．保持不变33.（2019年四川省凉山州）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE：EC＝（）A．1：2B．1：3C．1：4D．2：334.（2019年浙江省温州市）如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于点H，在边BE上取点M使BM＝BC，作MN∥BG交CD于点L，交FG于点N，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，现以点F为圆心，FE为半径作圆弧交线段DH于点P，连结EP，记△EPH的面积为S1，图中阴影部分的面积为S2．若点A，L，G在同一直线上，则的值为（）A．B．C．D．35.（2019年甘肃省武威市、陇南市）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）A．平移变换B．相似变换C．旋转变换D．对称变换36.（2019年重庆市B卷）下列命题是真命题的是（）A．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为2：3B．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为4：9C．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为2：3D．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为4：937.（2019年山东省德州市）如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AF：FB＝1：2，CE⊥DF，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG＝BC，连接CM．有如下结论：①DE＝AF；②AN＝AB；③∠ADF＝∠GMF；④S△ANF：S＝1：8．上述结论中，所有正确结论的序号是（）四边形CNFBA．①②B．①③C．①②③D．②③④38.（2019年山东省枣庄市）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA′＝1，则A′D等于（）A．2B．3C．4D．39.（2019年重庆市）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（）A．2B．3C．4D．52019年中考数学真题分类汇编——相似形选择题（答案解析版）1.（2019年四川内江市）如图，将△ABC沿着过BC的中点D的直线折叠，使点B落在AC边上的B1处，称为第一次操作，折痕DE到AC的距离为h1；还原纸片后，再将△BDE 沿着过BD的中点D1的直线折叠，使点B落在DE边上的B2处，称为第二次操作，折痕D1E1到AC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去……经过第n次操作后得到折痕D n﹣1E n﹣1，到AC的距离记为h n．若h1＝1，则h n的值为（）A．1+B．1+C．2﹣D．2﹣【分析】根据相似三角形的性质，对应高的比对于相似比，得出h2＝，依次得出h3、h4、h5、……h n，再对h n进行计算变形即可．【解答】解：∵D是BC的中点，折痕DE到AC的距离为h1∴点B到DE的距离＝h1＝1，∵D1是BD的中点，折痕D1E1到AC的距离记为h2，∴点B到D1E1的距离＝h2＝1+h1＝1+，同理：h3＝h2+h1＝1++，h4＝h3+h1＝1+++……h n＝1++++…+＝2﹣故选：C．【点评】考查图形变化规律的问题，首先根据变化求出第一个、第二个、第三个……发现规律得出一般性的结论．2.（2019年四川内江市）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，则AC的长为（）A．6B．7C．8D．9【分析】利用平行线分线段成比例定理得到＝，利用比例性质求出AE，然后计算AE+EC即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，∴AE＝6，∴AC＝AE+EC＝6+2＝8．故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．3.（2019年广西玉林市）如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有（）A．3对B．5对C．6对D．8对【分析】图中三角形有：△AEG，△ADC，CFG，△CBA，因为AB∥EF∥DC，AD∥BC，所以△AEG∽△ADC∽CFG∽△CBA，有6种组合【解答】解：图中三角形有：△AEG，△ADC，CFG，△CBA，∵AB∥EF∥DC，AD∥BC∴△AEG∽△ADC∽CFG∽△CBA共有6个组合分别为：∴△AEG∽△ADC，△AEG∽CFG，△AEG∽△CBA，△ADC∽CFG，△ADC∽△CBA，CFG∽△CBA故选：C．【点评】本题主要考查相似三角形的判定．4.（2019年内蒙古赤峰市）如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE的长是（）A．1B．2C．3D．4【分析】证明△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】解：∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴＝，即＝，解得，AE＝3，故选：C．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5.（2019年海南省）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为（）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理求出AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠QBD＝∠BDQ，得到QB＝QD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，∴AC＝＝3，∵PQ∥AB，∴∠ABD＝∠BDQ，又∠ABD＝∠QBD，∴∠QBD＝∠BDQ，∴QB＝QD，∴QP＝2QB，∵PQ∥AB，∴△CPQ∽△CAB，∴＝＝，即＝＝，解得，CP＝，∴AP＝CA﹣CP＝，故选：B．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．6.（2019年黑龙江省哈尔滨市）如图，在▱ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质．【解答】解：∵在▱ABCD中，EM∥AD∴易证四边形AMEN为平行四边形∴易证△BEM∽△BAD∽△END∴＝＝，A项错误＝，B项错误＝＝，C项错误＝＝，D项正确故选：D．【点评】此题主要考查相似三角形的性质及平行四边形的性质，本题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．7.（2019年黑龙江省鸡西市）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点A作边BC的垂线AF交DC的延长线于点E，点F是垂足，连接BE、DF，DF交AC 于点O．则下列结论：①四边形ABEC是正方形；②CO：BE＝1：3；③DE＝BC；④S四边形OCEF＝S△AOD，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】①先证明△ABF≌△ECF，得AB＝EC，再得四边形ABEC为平行四边形，进而由∠BAC＝90°，得四边形ABCD是正方形，便可判断正误；②由△OCF∽△OAD，得OC：OA＝1：2，进而得OC：BE的值，便可判断正误；③根据BC＝AB，DE＝2AB进行推理说明便可；④由△OCF与△OAD的面积关系和△OCF与△AOF的面积关系，便可得四边形OCEF的面积与△AOD的面积关系．【解答】解：①∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴BF＝CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DE，∴∠BAF＝∠CEF，∵∠AFB＝∠CFE，∴△ABF≌△ECF（AAS），∴AB＝CE，∴四边形ABEC是平行四边形，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴四边形ABEC是正方形，故此题结论正确；②∵OC∥AD，∴△OCF∽△OAD，∴OC：OA＝CF：AD＝CF：BC＝1：2，∴OC：AC＝1：3，∵AC＝BE，∴OC：BE＝1：3，故此小题结论正确；③∵AB＝CD＝EC，∴DE＝2AB，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴AB＝BC，∴DE＝2×，故此小题结论正确；④∵△OCF∽△OAD，∴，∴，∵OC：AC＝1：3，∴3S△OCF＝S△ACF，∵S△ACF＝S△CEF，∴，∴，故此小题结论正确．故选：D．【点评】本题是平行四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质与判定，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，第一小题关键是证明三角形全等，第二小题证明三角形的相似，第三小题证明BC与AB 的关系，DE与AB的关系，第四小题关键是用△OCF的面积为桥梁．8.（2019年湖北省黄石市）如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点E，AD：AB＝：1，将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，连接AF交BC于点G，且BG＝2，在AD边上有一点H，使得BH+EH的值最小，此时＝（）A．B．C．D．【分析】设BD与AF交于点M．设AB＝a，AD＝a，根据矩形的性质可得△ABE、△CDE都是等边三角形，利用折叠的性质得到BM垂直平分AF，BF＝AB＝a，DF＝DA＝a．解直角△BGM，求出BM，再表示DM，由△ADM∽△GBM，求出a＝2，再证明CF＝CD＝2．作B点关于AD的对称点B′，连接B′E，设B′E与AD交于点H，则此时BH+EH＝B′E，值最小．建立平面直角坐标系，得出B（3，2），B′（3，﹣2），E（0，），利用待定系数法求出直线B′E的解析式，得到H（1，0），然后利用两点间的距离公式求出BH＝4，进而求出＝＝．【解答】解：如图，设BD与AF交于点M．设AB＝a，AD＝a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，tan∠ABD＝＝，∴BD＝AC＝＝2a，∠ABD＝60°，∴△ABE、△CDE都是等边三角形，∴BE＝DE＝AE＝CE＝AB＝CD＝a．∵将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，∴BM垂直平分AF，BF＝AB＝a，DF＝DA＝a．在△BGM中，∵∠BMG＝90°，∠GBM＝30°，BG＝2，∴GM＝BG＝1，BM＝GM＝，∴DM＝BD﹣BM＝2a﹣．∵矩形ABCD中，BC∥AD，∴△ADM∽△GBM，∴＝，即＝，∴a＝2，∴BE＝DE＝AE＝CE＝AB＝CD＝2，AD＝BC＝6，BD＝AC＝4．易证∠BAF＝∠F AC＝∠CAD＝∠ADB＝∠BDF＝∠CDF＝30°，∴△ADF是等边三角形，∵AC平分∠DAF，∴AC垂直平分DF，∴CF＝CD＝2．作B点关于AD的对称点B′，连接B′E，设B′E与AD交于点H，则此时BH+EH＝B′E，值最小．如图，建立平面直角坐标系，则A（3，0），B（3，2），B′（3，﹣2），E（0，），易求直线B′E的解析式为y＝﹣x+，∴H（1，0），∴BH＝＝4，∴＝＝．故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，解直角三角形，等边三角形、垂直平分线、相似三角形的判定与性质，待定系数法求直线的解析式，轴对称﹣最短路线问题，两点间的距离公式等知识．综合性较强，有一定难度．分别求出BH、CF的长是解题的关键．9.（2019年湖南省常德市）如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是（）A．20B．22C．24D．26【分析】利用△AFH∽△ADE得到＝（）2＝，所以S△AFH＝9x，S△ADE＝16x，则16x﹣9x＝7，解得x＝1，从而得到S△ADE＝16，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE的面积．【解答】解：如图，根据题意得△AFH∽△ADE，∴＝（）2＝（）2＝设S△AFH＝9x，则S△ADE＝16x，∴16x﹣9x＝7，解得x＝1，∴S△ADE＝16，∴四边形DBCE的面积＝42﹣16＝26．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质．10.（2019年湖南省邵阳市）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是（）A．△ABC∽△A′B′C′B．点C、点O、点C′三点在同一直线上C．AO：AA′＝1：2D．AB∥A′B′【分析】直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．【解答】解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，∴△ABC∽△A′B′C′，点C、点O、点C′三点在同一直线上，AB∥A′B′，AO：OA′＝1：2，故选项C错误，符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键．11.（2019年江苏省常州市）若△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为（）A．2：1B．1：2C．4：1D．1：4【分析】直接利用相似三角形的性质求解．【解答】解：∵△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，∴△ABC与△A'B′C'的周长的比为1：2．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．相似三角形的面积的比等于相似比的平方．12.（2019年江苏省镇江市）如图，菱形ABCD的顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），顶点A、D在x轴上方，对角线BD的长是，点E（﹣2，0）为BC的中点，点P在菱形ABCD的边上运动．当点F（0，6）到EP所在直线的距离取得最大值时，点P恰好落在AB的中点处，则菱形ABCD的边长等于（）A．B．C．D．3【分析】如图1中，当点P是AB的中点时，作FG⊥PE于G，连接EF．首先说明点G 与点F重合时，FG的值最大，如图2中，当点G与点E重合时，连接AC交BD于H，PE交BD于J．设BC＝2a．利用相似三角形的性质构建方程求解即可．【解答】解：如图1中，当点P是AB的中点时，作FG⊥PE于G，连接EF．∵E（﹣2，0），F（0，6），∴OE＝2，OF＝6，∴EF＝＝2，∵∠FGE＝90°，∴FG≤EF，∴当点G与E重合时，FG的值最大．如图2中，当点G与点E重合时，连接AC交BD于H，PE交BD于J．设BC＝2a．∵P A＝PB，BE＝EC＝a，∴PE∥AC，BJ＝JH，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BH＝DH＝，BJ＝，∴PE⊥BD，∵∠BJE＝∠EOF＝∠PEF＝90°，∴∠EBJ＝∠FEO，∴△BJE∽△EOF，∴＝，∴＝，∴a＝，∴BC＝2a＝，故选：A．【点评】本题考查菱形的性质，坐标与图形的性质，相似三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．13.（2019年广西贵港市）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，∠ACD＝∠B，若AD＝2BD，BC＝6，则线段CD的长为（）A．2B．3C．2D．5【分析】设AD＝2x，BD＝x，所以AB＝3x，易证△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质可求出DE的长度，以及，再证明△ADE∽△ACD，利用相似三角形的性质即可求出得出＝，从而可求出CD的长度．【解答】解：设AD＝2x，BD＝x，∴AB＝3x，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴DE＝4，＝，∵∠ACD＝∠B，∠ADE＝∠B，∴∠ADE＝∠ACD，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD，∴＝，设AE＝2y，AC＝3y，∴＝，∴AD＝y，∴＝，∴CD＝2，故选：C．【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．14.（2019年湖北省十堰市）如图，平面直角坐标系中，A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），反比例函数y＝的图象分别与线段AB，BC交于点D，E，连接DE．若点B关于DE的对称点恰好在OA上，则k＝（）A．﹣20 B．﹣16 C．﹣12 D．﹣8【分析】根据A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），可得矩形的长和宽，易知点D 的横坐标，E的纵坐标，由反比例函数的关系式，可用含有k的代数式表示另外一个坐标，由三角形相似和对称，可用求出AF的长，然后把问题转化到三角形ADF中，由勾股定理建立方程求出k的值．【解答】解：过点E作EG⊥OA，垂足为G，设点B关于DE的对称点为F，连接DF、EF、BF，如图所示：则△BDE≌△FDE，∴BD＝FD，BE＝FE，∠DFE＝∠DBE＝90°易证△ADF∽△GFE∴，∵A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），∴AB＝OC＝EG＝4，OA＝BC＝8，∵D、E在反比例函数y＝的图象上，∴E（，4）、D（﹣8，）∴OG＝EC＝，AD＝﹣，∴BD＝4+，BE＝8+∴，∴AF＝，在Rt△ADF中，由勾股定理：AD2+AF2＝DF2即：（﹣）2+22＝（4+）2解得：k＝﹣12故选：C．【点评】此题综合利用轴对称的性质，相似三角形的性质，勾股定理以及反比例函数的图象和性质等知识，发现BD与BE的比是1：2是解题的关键．15.（2019年贵州省毕节市）如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A．100cm2B．150cm2C．170cm2D．200cm2【分析】设AF＝x，根据正方形的性质用x表示出EF、CF，证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质求出BC，根据勾股定理列式求出x，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．【解答】解：设AF＝x，则AC＝3x，∵四边形CDEF为正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝＝，∴BC＝6x，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即302＝（3x）2+（6x）2，解得，x＝2，∴AC＝6，BC＝12，∴剩余部分的面积＝×12×6﹣4×4＝100（cm2），故选：A．【点评】本题考查的是相似三角形的应用、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．16.（2019年广西贺州市）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC等于（）A．5B．6C．7D．8【分析】由平行线得出△ADE∽△ABC，得出对应边成比例＝，即可得出结果．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即＝，解得：BC＝6，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质；证明三角形相似得出对应边成比例是解17.（2019年广东省）如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH 分别与AB，AM交于点N、K：则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④S△AFN：S△ADM＝1：4．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由正方形的性质得到FG＝BE＝2，∠FGB＝90°，AD＝4，AH＝2，∠BAD＝90°，求得∠HAN＝∠FGN，AH＝FG，根据全等三角形的定理定理得到△ANH≌△GNF （AAS），故①正确；根据全等三角形的性质得到∠AHN＝∠HFG，推出∠AFH≠∠AHF，得到∠AFN≠∠HFG，故②错误；根据全等三角形的性质得到AN＝AG＝1，根据相似三角形的性质得到∠AHN＝∠AMG，根据平行线的性质得到∠HAK＝∠AMG，根据直角三角形的性质得到FN＝2NK；故③正确；根据矩形的性质得到DM＝AG＝2，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵四边形EFGB是正方形，EB＝2，∴FG＝BE＝2，∠FGB＝90°，∵四边形ABCD是正方形，H为AD的中点，∴AD＝4，AH＝2，∠BAD＝90°，∴∠HAN＝∠FGN，AH＝FG，∵∠ANH＝∠GNF，∴△ANH≌△GNF（AAS），故①正确；∴∠AHN＝∠HFG，∵AG＝FG＝2＝AH，∴AF＝FG＝AH，∴∠AFH≠∠AHF，∴∠AFN≠∠HFG，故②错误；∵△ANH≌△GNF，∴AN＝AG＝1，∵GM＝BC＝4，∴＝＝2，∵∠HAN＝∠AGM＝90°，∴△AHN∽△GMA，∴∠AHN＝∠AMG，∵AD∥GM，∴∠HAK＝∠AMG，∴∠AHK＝∠HAK，∴AK＝HK＝NK，∵FN＝HN，∴FN＝2NK；故③正确；∵延长FG交DC于M，∴四边形ADMG是矩形，∴DM＝AG＝2，∵S△AFN＝AN•FG＝2×1＝1，S△ADM＝AD•DM＝×4×2＝4，∴S△AFN：S△ADM＝1：4故④正确，故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．18.（2019年广东省广州市）如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（）A．EH＝HGB．四边形EFGH是平行四边形C．AC⊥BDD．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍【分析】根据题意和图形，可以判断各个选项中的结论是否成立，本题得以解决．【解答】解：∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，在▱ABCD中，AB＝2，AD＝4，∴EH＝AD＝2，HG＝AB＝1，∴EH≠HG，故选项A错误；∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，∴EH＝，∴四边形EFGH是平行四边形，故选项B正确；由题目中的条件，无法判断AC和BD是否垂直，故选项C错误；∵点E、F分别为OA和OB的中点，∴EF＝，EF∥AB，∴△OEF∽△OAB，∴，即△ABO的面积是△EFO的面积的4倍，故选项D错误，故选：B．【点评】本题考查平行四边形的面积、三角形的相似、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．19.（2019年甘肃省兰州市）已知△ABC∽△A'B'C'，AB＝8，A'B'＝6，则＝（）A．2B．C．3D．【分析】直接利用相似三角形的性质求解．【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，∴＝＝＝．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．20.（2019年江苏省苏州市）如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，且AD＝AB＝2，AD⊥AB．过点D作DE⊥AD，DE交AC于点E．若DE＝1，则△ABC的面积为（）A．4B．4C．2D．8【分析】由题意得到三角形DEC与三角形ABC相似，由相似三角形面积之比等于相似比的平方两三角形面积之比，进而求出四边形ABDE与三角形ABC面积之比，求出四边形ABDE面积，即可确定出三角形ABC面积．【解答】解：∵AB⊥AD，AD⊥DE，∴∠BAD＝∠ADE＝90°，∴DE∥AB，∴∠CED＝∠CAB，∵∠C＝∠C，∴△CED∽△CAB，∵DE＝1，AB＝2，即DE：AB＝1：2，∴S△DEC：S△ACB＝1：4，∴S四边形ABDE：S△ACB＝3：4，∵S四边形ABDE＝S△ABD+S△ADE＝×2×2+×2×1＝2+1＝3，∴S△ACB＝4，故选：B．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．21.（2019年四川省遂宁市）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，连接DP并延长交CB的延长线于点H，连接BD交PC于点Q，下列结论：①∠BPD＝135°；②△BDP∽△HDB；③DQ：BQ＝1：2；④S△BDP＝．其中正确的有（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④【分析】由等边三角形及正方形的性质求出∠CPD＝∠CDP＝75°、∠PCB＝∠CPB＝60°，从而判断①；证∠DBP＝∠DPB＝135°可判断②；作QE⊥CD，设QE＝DE＝x，则QD＝x，CQ＝2QE＝2x，CE＝x，由CE+DE＝CD求出x，从而求得DQ、BQ的长，据此可判断③，证DP＝DQ＝，根据S△BDP＝BD•PD sin∠BDP求解可判断④．【解答】解：∵△PBC是等边三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠PCB＝∠CPB＝60°，∠PCD＝30°，BC＝PC＝CD，∴∠CPD＝∠CDP＝75°，则∠BPD＝∠BPC+∠CPD＝135°，故①正确；∵∠CBD＝∠CDB＝45°，∴∠DBP＝∠DPB＝135°，又∵∠PDB＝∠BDH，∴△BDP∽△HDB，故②正确；如图，过点Q作QE⊥CD于E，设QE＝DE＝x，则QD＝x，CQ＝2QE＝2x，∴CE＝x，由CE+DE＝CD知x+x＝1，解得x＝，∴QD＝x＝，∵BD＝，∴BQ＝BD﹣DQ＝﹣＝，则DQ：BQ＝：≠1：2，故③错误；∵∠CDP＝75°，∠CDQ＝45°，∴∠PDQ＝30°，又∵∠CPD＝75°，∴∠DPQ＝∠DQP＝75°，∴DP＝DQ＝，∴S△BDP＝BD•PD sin∠BDP＝×××＝，故④正确；故选：D．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形和正方形的性质、等腰三角形的判定与性质及相似三角形的判定等知识点．22.（2019年浙江省杭州市）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】先证明△ADN∽△ABM得到＝，再证明△ANE∽△AMC得到＝，则＝，从而可对各选项进行判断．【解答】解：∵DN∥BM，∴△ADN∽△ABM，∴＝，∵NE∥MC，∴△ANE∽△AMC，∴＝，∴＝．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：三在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．23.（2019年山东省淄博市）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B．若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为（）A．2a B．a C．3a D．a【分析】证明△ACD∽△BCA，根据相似三角形的性质求出△BCA的面积为4a，计算即可．【解答】解：∵∠CAD＝∠B，∠ACD＝∠BCA，∴△ACD∽△BCA，∴＝（）2，即＝，解得，△BCA的面积为4a，∴△ABD的面积为：4a﹣a＝3a，故选：C．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．24.（2019年四川省乐山市）如图，在边长为的菱形ABCD中，∠B＝30°，过点A作AE⊥BC于点E，现将△ABE沿直线AE翻折至△AFE的位置，AF与CD交于点G．则CG等于（）A．B．1C．D．【分析】先利用30°直角三角形的性质，求出BE，再根据折叠性质求得BF，从而得到CF长，最后根据△ADG∽△FCG得出与CG有关的比例式，即可求解CG长．【解答】解：在Rt△ABE中，∠B＝30°，AB＝，∴BE＝．根据折叠性质可得BF＝2BE＝3．∴CF＝3﹣．∵AD∥CF，∴△ADG∽△FCG．∴．设CG＝x，则，解得x＝﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的判定和性质、折叠的性质，解题的关键是找到与CG相关的三角形，利用相似知识求解．25.（2019年四川省乐山市）把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置．则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．【分析】如图，易证△ABC∽△FEC，可设BC＝x，只需求出BC即可．【解答】解：如图，设BC＝x，则CE＝1﹣x易证△ABC∽△FEC∴＝＝＝解得x＝∴阴影部分面积为：S△ABC＝××1＝故选：A．【点评】本题主要考查正方形的性质及三角形的相似，本题要充分利用正方形的特殊性质．利用比例的性质，直角三角形的性质等知识点的理解即可解答26.（2019年四川省巴中市）如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连结EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝（）A．2：3B．3：2C．9：4D．4：9【分析】先设出DE＝x，进而得出AD＝3x，再用平行四边形的性质得出BC＝3x，进而求出CF，最后用相似三角形的性质即可得出结论．。
(完整word)2019年全国中考数学真题分类汇编24：相似、位似及其应用,推荐文档
【答案】C相似、位似及其应用、选择题1 . （2019 •苏州）如图，在△ ABC 中，点D 为BC 边上的一点.且 AD = AB =2 , AD 丄AB ,过点D 作DE 丄AD ,【答案】B••AB 丄 AD , AD 丄 DE ,「./BAD =Z ADE = 90 °,.DE//AB ,「./CED =/CAB , V /C =Z C ,A ^C ED ^^CAB , v DE = 1 , AB = 2，即 DE : AB = 1 : 2,「.S ZDEC : S ZACB = 1 : 4 ,「.S 四边形 ABDE ： S ZACB = 3 ： 4,：S 四边形11— 2 X 2 - 2 X 1 = 2+1 = 3 ,「.SzACB = 4，故选 B .22DE 交AC 于点F .若DE =1 ,则A ABC 的面积为【解析】ABDE = SZ ABD + SZ ADE2. （2019 •杭州）如图，在△ ABC 中，点 DE //BC , M 为BC 边上一点（不与点B ,C 重合)连接AM 交DE 干点N ，则八 AD AN BD MN A.B.AN AEMNCE()DNNE DN NEC.D.BM MCMC BMD ,E 分别在 AB 和AC 边上,【解析】 根据DE //BC ,可得△ ADN s 公BM 与△ANE S /AM C ，再应用相似三角形的性质可得结论 .••DN //BM ,【答案】B人 人DN ANNE AN DN NE 斗 * •••△kDN s 岔BM,T NE //MC , A ^X NE S ^\M C ,二，二.故选 C .BM AMMC AM BM MC3 . （ 2019 •常德）如图，在等腰三角形厶ABC 中，AB = AC ,图中所有三角形均相似，其中最小的三角形的面积 为1,^ABC的面积为42，则四边形DBCE 的面积是（ ）8•'•S ZADE —— X 42——16 ,•••四边形DBCE 的面积——S ^ABC — S A ADE ——26，故选项D 正确.21A .平移变换B .相似变换C .旋转变换D .对称变换A . 20B . 22C . 24D . 26【答案】D【解析】••图中所有三角形均相似, 其中最小的三角形的面积为 1 , △ABC 的面积为42，•最小的三角形与△ ABC的相似比为 •/ZADE s^BC , SVADEB/ABC2DE. . DE1 4. S /ADE16 8------ 4 X ———— ----------------- ----- —BC ' • BC . 42. 42 '飞4221gC【解析】由图可知，放大前与放大后图形是相似的，故选:5. （2019 •枣庄如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△ A'BC的位置，已知△ABC的面积为16,阴影部分三角形的面积为9,若AA' = 1,则A'D等于3A. 2B.3C.4D.-2【答案】B【解析】由平移可得，△ABC s念'MN,设相似比为k, ••S MBC = 16,S △K'MN = 9,・*2= 16:9, •*= 4:3,因为AD和A'D 分别为两个三角形的中线,「.AD:A'D = k = 4:3, TAD = AA'+A'D, /-AA':A'D = 1:3, vAA' = 1,则A'D = 3,故选 B. 6S'6 （2019 •淄博）如图，在△ ABC中，AC= 2 , BC= 4 , D为BC边上的一点，且/ CAD = Z B.若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为（）【答案】A5 7 A. 2a B. a C. 3a D. —a22【答案】C.7. （2019•巴中）如图，丫 ABCD,F 为BC 中点，延长AD 至E,使DE:AD = 1:3,连接EF 交DC 于点G,则S ZDEG :S ACFG =()【解析】 因为DE:AD = 1:3,F 为BC 中点，所以DE:CF = 2:3, 丫 ABCD 中,DE //CF 所以△ DEG ^ZCFG ，相似比为2:3,所以 S Z DEG :S Z CFG = 4:9.故选 D.1和2的两个正方形按如图的方式放置 •则图中阴影部分的面积为（11 A . B . C .63【解析】在ABAC 和△ADC 中，T /C 是公共角，/ CAD = Z B.,BC•••ZBACS /ADC ,•••AC&ABCS vDAC =(BC )2AC )4，又•••△ADC 的面积为a ,.・.A ABC 的面积为4a , •△ABD 的面积为3a .A.2:3B.3:2C.9:4D.4:98. （2019 •乐山）把边长分别为 【答案】D第8题答图【解析】•••四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，如=02 ,CE=2,AD 〃CE, "DH YCF, •••罟罟.1…2 1 DH，解得DH= 3，…阴影部分面积为2 X3 X1=6，故选A.9. (2019•乐山）如图，在边长为3的菱形ABCD中， B 30，过点A作AE BC于点E ,现将△ ABE沿直线AE翻折至△ AFE的位置，AF与CD交于点G •则CG等于（）1C. i D.10•一（2019 •凉山）如图，在△ ABC中，D在AC边上，AD : DC = 1 : 2 , O是BD的中点，连接A0并延长交BC 于E,则BE: EC= ( ▲)A. 1 : 2B. 1 : 3C. 1 : 4D. 2 : 3【答案】A【解析】•/ AE BC ,UEB=90 °，菱形ABCD的边长为• 3 , B1 1 -30 ,「.AE= AB=32 2BE=CF=.AB22AE =1.5 , BF=3 , CF=BF-BC=3- .3 ,\'AD//CF,DG•••△AGD s^FGC , •••CG 3CG■j'3■「、八，解得CG= 3；1，故选A.CG 3 ；3ADCF 'R第9题图【答案】A【答案】B【解析】连接AC ,在菱形ABCD 中，AB=BC , Z ABC=60 °,••念BC 是等边三角形，••AB=AC , Z BAC=60 ° •/ZEAF=60 ° /-ZEAB+ ZBAF= ZCAF+ ZBAF=60 ° 即Z EAB= ZCAF , vZ ABE= Z ACF=120 °「/ABE 也zACF , •••BE=CF ，故①正确；由/ ABE 也/CF ，可得 AE=AF , v/EAF=60 °,：AEF 是等边三角形，•/ AEF=60 ° , Z AEB+ ZCEF=60 °，•/ Z AEB+ ZEAB=60 °，/-ZCEF= /EAB ，故②正确；在/ABE 中，ZAEB v 60 ° ,ECF=60 ° •••③错误；过点 A 作 AG 丄 BC 于点 G ,过点 F 作 FH 丄 EC 于点 H ,；z EAB=15 °,/ABC=60 °,「./\EB=45 ° 在 Rt /\GB 中，T /ABC=60 °,AB=4 ,BE BO EFI 解析】过点D 作DF 〃AE，则EF 蒂1，FCAD CD-,「.BE ： EF ： FC =1 : 1 : 2 ,「.BE ：EC =1 : 3.故选2 B.11. （2019 •眉山）如图，在菱形 ABCD 中已知AB=4 ,ZABC=60。
全国各地2019年中考数学真题分类解析汇编 27图形的相似与位似
图形的相似与位似一、选择题1. （ 2018•安徽省,第9题4分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：①点P在AB上时，点D到AP的距离为AD的长度，②点P在BC上时，根据同角的余角相等求出∠APB=∠PAD，再利用相似三角形的列出比例式整理得到y与x的关系式，从而得解．解答：解：①点P在AB上时，0≤x≤3，点D到AP的距离为AD的长度，是定值4；②点P在BC上时，3＜x≤5，∵∠APB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，∴∠APB=∠PAD，又∵∠B=∠DEA=90°，∴△ABP∽△DEA，∴=，即=，∴y=，纵观各选项，只有B选项图形符合．故选B．点评：本题考查了动点问题函数图象，主要利用了相似三角形的判定与性质，难点在于根据点P的位置分两种情况讨论．2. （2018•广西玉林市、防城港市，第7题3分）△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是（）A．3 B．6 C．9 D．12考点：位似变换．分析：利用位似图形的面积比等于位似比的平方，进而得出答案．解答：解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，△ABC的面积是3，∴△ABC与△A′B′C′的面积比为：1：4，则△A′B′C′的面积是：12．故选：D．点评：此题主要考查了位似图形的性质，利用位似图形的面积比等于位似比的平方得出是解题关键．3．(2019年天津市，第8题3分)如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC 等于（）A．3：2 B．3：1 C．1：1 D． 1：2考点：平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．分析：根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出=，利用点E是边AD的中点得出答案即可．解答：解：∵▱ABCD，故AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴=，∵点E是边AD的中点，∴AE=DE=AD，∴=．故选：D．点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出△DEF∽△BCF是解题关键．4.（2018•毕节地区，第12题3分）如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD：DE=3：5，AE=8，BD=4，则DC的长等于（）A．B．C． D．考点：相似三角形的判定与性质分析：根据已知条件得出△ADC∽△BDE，然后依据对应边成比例即可求得．解答：解：∵∠C=∠E，∠ADC=∠BDE，△ADC∽△BDE，∴=，又∵AD：DE=3：5，AE=8，∴AD=3，DE=5，∵BD=4，∴=，∴DC=，故应选A．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质：对应角相等的三角形是相似三角形，相似三角形对应边成比例．5.（2018•武汉，第6题3分）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（）A．（3，3） B．（4，3） C．（3，1） D．（4，1）考点：位似变换；坐标与图形性质分析：利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标．解答：解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，∴端点C的坐标为：（3，3）．故选：A．点评：此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．6. （2019年江苏南京，第3题，2分）若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（）A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1考点：相似三角形的性质分析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可得解．解答：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，∴△ABC与△A′B′C′的面积的比为1：4．故选C．点评：本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．7. （2019年江苏南京，第6题，2分）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（）（第2题图）A．（，3）、（﹣，4）B．（，3）、（﹣，4）C．（，）、（﹣，4）D．（，）、（﹣，4）考点：矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质。