(完整版)高一上学期期末考试数学试卷及答案
(完整word版)高一上学期期末数学试卷(含答案)
高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．若集合A={0，1，2，3}，集合B={x|x∈A且1﹣x∉A}，则集合B的元素的个数为（）A．1 B． 2 C．3 D．42．已知点A（1，2），B（﹣2，3），C（4，y）在同一条直线上，则y的值为（）A．﹣1 B．C．1 D．3．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是底为1，高为2的矩形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为（）A．πB．C．4πD．5π4．设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α5．下列四个数中最小者是（）A．log3B．log32 C．log23 D．log3（log23）6．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=2且AA1⊥平面ABC，△ABC是边长为的正三角形，该三棱柱的六个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为（）A．8πB．C．D． 8π7．设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x﹣y+1=0，则直线PB的方程是（）A．x+y﹣5=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．2y﹣x﹣4=0 D．2x+y﹣7=08．已知函数f（x）=log a（2﹣a x）在（﹣∞，1]上单调递减，则a的取值范围是（）A．（1，2）B．（0，1）C．（0，1）∪（1，2）D．（0，1）∪（2，+∞）9．设函数f（x）的定义域为R，对任意x∈R有f（x）=f（x+6），且f（x）在（0，3）内单调递减，f（x）的图象关于直线x=3对称，则下列正确的结论是（）10．已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．10B．20C．30D．4011．（理）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是（）A．90°B．60°C．45°D．30°12．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=t有3个不等根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则x3﹣x1的取值范围为（）A．（2，]B．（2，]C．（2，]D．（2，3）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知长方形ABCD中，AB=2，AD=3，其水平放置的直观图如图所示，则A′C′=．14．（5分）若点P（x，y）在圆C：（x﹣2）2+y2=3上，则的最大值是。
2023-2024学年广东省高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省高一（上）期末数学试卷一、单选题1．已知集合A ＝{x |x ＞﹣1}，B ＝{x |x ＜3}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，3）B ．（﹣∞，3）C ．（﹣1，+∞）D ．φ2．函数y ＝2x ﹣4的零点为（ ） A ．0B ．﹣4C ．2D ．（2，0）3．函数f(x)=√2x −3+1x−3的定义域为（ ） A ．[32，+∞)B ．（﹣∞，3）∪（3，+∞）C ．[32，3)∪(3，+∞)D ．(32，3)∪(3，+∞)4．若函数f （x ）＝x 2﹣x +m （2x +1）在（1，+∞）上是增函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[12，+∞)B ．(−∞，12]C ．[−12，+∞)D ．(−∞，−12]5．已知sin(θ−π6)=13，则sin(2θ+π6)的值为（ ）A ．−79B ．79C ．−89D ．136．已知函数f(x)=cos(2x −3π4)，先将f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π4个单位长度，得到g （x ）的图象，则g （x ）的解析式为（ ）A ．g （x ）＝sin xB ．g （x ）＝﹣sin xC ．g （x ）＝﹣cos xD ．g(x)=cos(4x +π4)7．函数f （x ）＝﹣10x 3ln |x |的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．关于x 的方程x 2﹣ax +b ﹣1＝0有两个相等的正根，则3a+2b a+b（ ）A ．有最大值115B ．有最大值52C ．有最小值115D ．有最小值52二、多选题9．下列函数中为奇函数的是（ ） A ．f （x ）＝|x | B ．f(x)=x +1xC ．f （x ）＝x 3+2xD ．f （x ）＝x 2+x +110．2x 2﹣5x ﹣3＜0的必要不充分条件可以是（ ） A ．−12＜x ＜3B ．﹣1＜x ＜4C ．0＜x ＜2D ．﹣2＜x ＜311．已知函数f(x)=Acos(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图像如图所示，将f （x ）的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数g （x ）的图像，则（ ）A ．f(x)=2cos(2x −π3)B ．g(x)=2cos(2x −π12)+1 C ．g （x ）的图像关于点(π6，0)对称D ．g （x ）在[−π12+kπ，5π12+kπ](k ∈Z)上单调递减 12．已知α，β是锐角，cosα=√55，cos(α−β)=3√1010，则cos β＝（ ） A ．√22B ．7√210C ．√210D ．−√22三、填空题13．如果函数f （x ）=a⋅3x+4−a4(3x−1)是奇函数，则a ＝ ． 14．函数y =(13)1+2x−x 2的值域是 ．15．已知sin2θ＝a ，cos2θ＝b ，0＜θ＜π4，给出tan （θ+π4）值的五个答案：①b 1−a ；②a 1−b ；③1+b a；④1+a b；⑤a−b+1a+b−1．其中正确的是 ．（填序号）16．已知函数f （x ）＝a sin ωx ﹣cos ωx （a ＞0，ω＞0）的最大值为2，则a ＝ ，若函数f （x ）图象的一条对称轴为直线x =πm，m ∈N *，则当ω取最小整数时，函数f （x ）在（0，10）之间取得最大值的次数为 ． 四、大题17．（10分）求实数m 的取值范围，使关于x 的方程x 2﹣2x +m +1＝0有两个正根． 18．（12分）设函数f(x)=sin(ωx −π6)+sin(ωx −π2)，其中0＜ω＜3，已知f(π6)=0．（1）求ω；（2）将函数y ＝f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）的单调递减区间．19．（12分）已知函数f （x ）＝4x ﹣2•2x +1+a ，其中x ∈[0，3]． （1）若f （x ）的最小值为1，求a 的值；（2）若存在x ∈[0，3]，使f （x ）≥33成立，求a 的取值范围．20．（12分）已知函数f(x)=sinωx(sinωx +cosωx)−12(ω＞0)的图象相邻对称轴之间的距离为2π．（1）当x ∈[﹣π，π]时，求f （x ）最大值与最小值及相应的x 的值； （2）是否存在锐角α，β，使a +2β=2π3，f(α+π2)⋅f(2β+3π2)=√38同时成立？若存在，求出角α，β的值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f （x ）=√|x +1|+|x −3|−m 的定义域为R ． （Ⅰ）求实数m 的取值范围．（Ⅱ）若m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足23a+b +1a+2b=n 时，求7a +4b 的最小值．22．（12分）（1）已知关于x 的不等式ax 2+bx +c ＜0的解集是{x|x ＜−2或x ＞13}，求cx 2﹣bx +a ≥0的解集；（2）求关于x 的不等式ax 2﹣2x +a ＜0的解集．2023-2024学年广东省高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．已知集合A ＝{x |x ＞﹣1}，B ＝{x |x ＜3}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，3）B ．（﹣∞，3）C ．（﹣1，+∞）D ．φ解：∵集合A ＝{x |x ＞﹣1}，B ＝{x |x ＜3}，∴A ∩B ＝{x |﹣1＜x ＜3}＝（﹣1，3）． 故选：A ．2．函数y ＝2x ﹣4的零点为（ ） A ．0B ．﹣4C ．2D ．（2，0）解：令y ＝2x ﹣4＝0，解得x ＝2． 故选：C ．3．函数f(x)=√2x −3+1x−3的定义域为（ ） A ．[32，+∞)B ．（﹣∞，3）∪（3，+∞）C ．[32，3)∪(3，+∞)D ．(32，3)∪(3，+∞)解：由题意得：{2x −3≥0x −3≠0，解得：x ≥32且x ≠3，故函数的定义域是[32，3）∪（3，+∞）．故选：C ．4．若函数f （x ）＝x 2﹣x +m （2x +1）在（1，+∞）上是增函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[12，+∞)B ．(−∞，12]C ．[−12，+∞)D ．(−∞，−12]解：函数f(x)=x 2+(2m −1)x +m =(x +2m−12)2+m −(2m−1)24的单调增区间为(−2m−12，+∞)，∴−2m−12⩽1，∴m ⩾−12．故实数m 的取值范围为[−12，+∞)． 故选：C ．5．已知sin(θ−π6)=13，则sin(2θ+π6)的值为（ ）A ．−79B ．79C ．−89D ．13解：由sin(θ−π6)=13，得sin （π6−θ）=−13，∴sin(2θ+π6)=cos （π3−2θ）＝cos2（π6−θ）=1−2sin2(π6−θ)=1−2×(−13)2=79．故选：B．6．已知函数f(x)=cos(2x−3π4)，先将f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π4个单位长度，得到g（x）的图象，则g（x）的解析式为（）A．g（x）＝sin x B．g（x）＝﹣sin xC．g（x）＝﹣cos x D．g(x)=cos(4x+π4)解：先将f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=cos(x−3π4)的图象，再向左平移π4个单位长度，则g(x)=cos(x−3π4+π4)=sinx．故选：A．7．函数f（x）＝﹣10x3ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．解：因为f（﹣x）＝10x3ln|x|＝﹣f（x），所以函数为奇函数，故排除A、D；当x→+0时，f（x）→0，故排除B，故选：C．8．关于x的方程x2﹣ax+b﹣1＝0有两个相等的正根，则3a+2ba+b（）A．有最大值115B．有最大值52C．有最小值115D．有最小值52解：因为关于x 的方程x 2﹣ax +b ﹣1＝0有两个相等的正根， 所以{a ＞0b −1＞0Δ=a 2−4(b −1)=0，故b ＝1+a 24，a ＞0， 则3a+2b a+b=2+a a+b =2+a 1+a+a24=2+11+1a +a 4≤1+2√a 4⋅1a2=52， 当且仅当a ＝b ＝2时取等号，所以3a+2ba+b 有最大值52． 故选：B ． 二、多选题9．下列函数中为奇函数的是（ ） A ．f （x ）＝|x | B ．f(x)=x +1xC ．f （x ）＝x 3+2xD ．f （x ）＝x 2+x +1解：对于A ，f （x ）＝|x |的定义域为R ，关于原点对称，而f （﹣x ）＝|﹣x |＝f （x ），为偶函数， 对于B ，f(x)=x +1x 的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，且f(−x)=−x −1x=−f(x)，为奇函数，对于C ，f （x ）＝x 3+2x 的定义域为R ，关于原点对称，且f （﹣x ）＝（﹣x ）3+2（﹣x ）＝﹣f （x ），为奇函数，对于D ，f （x ）＝x 2+x +1的定义域为R ，关于原点对称，而f （﹣x ）＝x 2﹣x +1≠﹣f （x ），不是奇函数， 故选：BC ．10．2x 2﹣5x ﹣3＜0的必要不充分条件可以是（ ） A ．−12＜x ＜3B ．﹣1＜x ＜4C ．0＜x ＜2D ．﹣2＜x ＜3解：2x 2−5x −3＜0⇔(2x +1)(x −3)＜0⇔−12＜x ＜3，即2x 2﹣5x ﹣3＜0的充要条件是−12＜x ＜3，其必要不充分条件必须满足，其集合的一个真子集是充要条件的集合， 观察选项发现{x|−12＜x ＜3}是{x |﹣2＜x ＜3}，{x |﹣1＜x ＜4}的真子集．故选：BD ．11．已知函数f(x)=Acos(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图像如图所示，将f （x ）的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数g （x ）的图像，则（ ）A ．f(x)=2cos(2x −π3)B ．g(x)=2cos(2x −π12)+1 C ．g （x ）的图像关于点(π6，0)对称D ．g （x ）在[−π12+kπ，5π12+kπ](k ∈Z)上单调递减 解：由图象可知函数f （x ）的最大值为2，最小值为﹣2，所以A ＝2，T 2=2π3−π6=π2，故T ＝π；又T =2πω⇒ω=2，又f(π6)=2⇒2cos(2×π6+φ)=2，所以π3+φ=2kπ(k ∈Z)，φ=2kπ−π3，(k ∈Z)；又|φ|＜π2，所以φ=−π3，所以f(x)=2cos(2x −π3)，故A 正确，将f （x ）的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得g(x)=2cos(2x +π6)+1，故B项错误． 由2x +π6=π2+kπ(k ∈Z)，x =π6+kπ2，(k ∈Z)；所以g （x ）的图像关于点(π6，1)对称，故C 错误． 由2kπ≤2x +π6≤2kπ+π，(k ∈Z)，即−π12+kπ≤x ≤5π12+kπ，(k ∈Z)； 故选项D 正确． 故选：AD ．12．已知α，β是锐角，cosα=√55，cos(α−β)=3√1010，则cos β＝（ ） A ．√22B ．7√210C ．√210D ．−√22解：由α是锐角，cosα=√55，则sinα=√1−cos 2α=2√55， 又α，β是锐角，则−β∈(−π2，0)，得α−β∈(−π2，π2)，又cos(α−β)=3√1010，则sin(α−β)=±√1010， 则cos β＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cos αcos （α﹣β）+sin αsin （α﹣β）=√55×3√1010±2√55×√1010=3√2±2√210得cos β=√22或cos β=√210．故选：AC ． 三、填空题13．如果函数f （x ）=a⋅3x+4−a4(3x−1)是奇函数，则a ＝ 2 ． 解：函数f （x ）=a⋅3x +4−a4(3x−1)是奇函数，则f （﹣x ）+f （x ）＝0， 即有a⋅3−x +4−a4(3−x −1)+a⋅3x +4−a4(3x −1)=0，则a 2+13−x −1+13x −1=0，化简得到，a2+3x1−3x +13x −1=0，即a 2=1，故a ＝2．故答案为：214．函数y =(13)1+2x−x 2的值域是 [19，+∞） ．解：∵t ＝1+2x ﹣x 2＝﹣（x ﹣1）2+2≤2，且y =(13)t 为定义域内的减函数，∴y =(13)1+2x−x 2≥(13)2=19．即函数y =(13)1+2x−x 2的值域是[19，+∞）．故答案为：[19，+∞）．15．已知sin2θ＝a ，cos2θ＝b ，0＜θ＜π4，给出tan （θ+π4）值的五个答案：①b 1−a ；②a 1−b ；③1+b a ；④1+a b；⑤a−b+1a+b−1．其中正确的是 ①④⑤ ．（填序号）解：∵tan （θ+π4）=sinθ+cosθcosθ−sinθ=1+sin2θcos2θ=cos2θ1−sin2θ=b 1−a =1+ab，∴①④是正确的，将sin2θ＝a ，cos2θ＝b 代入⑤验证知，此代数式也是正确的答案． 故答案为：①④⑤．16．已知函数f （x ）＝a sin ωx ﹣cos ωx （a ＞0，ω＞0）的最大值为2，则a ＝ √3 ，若函数f （x ）图象的一条对称轴为直线x =πm，m ∈N *，则当ω取最小整数时，函数f （x ）在（0，10）之间取得最大值的次数为 3 ．解：由已知，函数f （x ）＝a sin ωx ﹣cos ωx =√a 2+1sin （ωx ﹣φ），其中tan φ=1a（a ＞0，ω＞0），由于f （x ）的最大值为2，所以√a 2+1=2，得a =√3（a =−√3舍去）； tanφ=13，取φ=π6，则f （x ）＝2sin （ωx −π6），由ωx −π6=kπ+π2（k ∈Z ），得ωm π=kπ+2π3（k ∈Z ），即ω=m(k +23)，k ∈Z ， 由于m ∈N *，则正数ω的最小整数值为2，从而f(x)=2sin(2x −π6)，当2x −π6=π2+2kπ，k ∈Z ，即x =π3+kπ，k ∈Z 时， 函数f （x ）取得最大值， 若k ＝0，则x =π3∈(0，10)， 若k ＝1，则x =4π3∈(0，10)， 若k ＝2，则x =7π3∈(0，10)， 若k ＝3，则x =10π3＞10， 从而有3次取得最大值． 故答案为：√3，3． 四、大题17．（10分）求实数m 的取值范围，使关于x 的方程x 2﹣2x +m +1＝0有两个正根． 解：设两个实根分别是x 1，x 2，则有两个正根的条件是：{Δ=4−4(m +1)≥0x 1+x 2=2＞0x 1x 2=m +1＞0解得﹣1＜m ≤0．18．（12分）设函数f(x)=sin(ωx −π6)+sin(ωx −π2)，其中0＜ω＜3，已知f(π6)=0．（1）求ω；（2）将函数y ＝f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）的单调递减区间．解：（1）由f(x)=sin(ωx −π6)+sin(ωx −π2)得：f(x)=√32sinωx −12cosωx −cosωx =√32sinωx −32cosωx =√3(12sinωx −√32cosωx)=√3sin(ωx −π3)．由f(π6)=0知(sin π6ω−π3)=0，则ωπ6−π3=kπ，k ∈Z ，故ω＝6k +2，k ∈Z ， 又0＜ω＜3，所以ω＝2．（2）由（1）知f(x)=√3sin(2x−π3)，将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得y=√3sin（x−π3）的图象；再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y＝g（x）=√3sin（x−π12）的图象．由π2+2kπ≤x−π12≤3π2+2kπ，k∈Z解得7π12+2kπ≤x≤19π12+2kπ，k∈Z，所以g（x）的单调递减区间为[7π12+2kπ，19π12+2kπ]（k∈Z）．19．（12分）已知函数f（x）＝4x﹣2•2x+1+a，其中x∈[0，3]．（1）若f（x）的最小值为1，求a的值；（2）若存在x∈[0，3]，使f（x）≥33成立，求a的取值范围．解：（1）因为f（x）＝4x﹣2•2x+1+a，其中x∈[0，3]，令t＝2x，则t∈[1，8]，原式化为g（t）＝t2﹣4t+a＝（t﹣2）2+a﹣4，当t＝2时，g（t）min＝a﹣4＝1，解得a＝5；（2）若存在x∈[0，3]，使f（x）≥33成立，即f（x）max≥33，由（1）可知g（t）＝（t﹣2）2+a﹣4，t∈[1，8]，即g（t）max≥33，当t＝8时，g（t）max＝a+32≥33，解得a≥1，即a∈[1，+∞）．20．（12分）已知函数f(x)=sinωx(sinωx+cosωx)−12(ω＞0)的图象相邻对称轴之间的距离为2π．（1）当x∈[﹣π，π]时，求f（x）最大值与最小值及相应的x的值；（2）是否存在锐角α，β，使a+2β=2π3，f(α+π2)⋅f(2β+3π2)=√38同时成立？若存在，求出角α，β的值；若不存在，请说明理由．解：（1）因为f(x)=sin2ωx+sinωxcosωx−12=1−cos2ωx2+12sin2ωx−12=12sin2ωx−12cos2ωx=√22sin(2ωx−π4)，∵f（x）图象相邻对称轴之间的距离为2π，∴T=4π=2π2ω，ω=14，f(x)=√22sin(12x−π4)，∵﹣π≤x≤π，∴−3π4≤12x−π4≤π4，∴−1≤sin(12x−π4)≤√22，∴f(x)min=−√22，此时12x−π4=−π2，x=−π2，f(x)max=12，此时12x−π4=π4，x＝π；（2）存在，理由如下：∵f(α+π2)=√22sinα2，f(2β+3π2)=√22sin(β+π2)=√22cosβ，∴f(α+π2)⋅f(2β+3π2)=12sinα2cosβ=√38，∴sin α2cosβ=√34，又∵α+2β=2π3，α=2π3−2β，∴sinα2cosβ=sin(π3−β)cosβ=√34，∴(√32cosβ−12sinβ)cosβ=√34，∴√32cos2β−12sinβcosβ=√34，∴√32×1+cos2β2−14sin2β=√34，即√3cos2β−sin2β=0，∴tan2β=√3，又∵β为锐角，0＜2β＜π，∴2β=π3，β=π6，从而α=2π3−2β=π3．21．（12分）已知函数f（x）=√|x+1|+|x−3|−m的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围．（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足23a+b +1a+2b=n时，求7a+4b的最小值．解：（1）∵函数定义域为R，∴|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）＝|x+1|+|x﹣3|，则m不大于函数g（x）的最小值，又|x+1|+|x﹣3|≥|（x+1）﹣（x﹣3）|＝4，即g（x）的最小值为4，∴m≤4．（2）由（1）知n＝4，∴7a+4b=14(6a+2b+a+2b)(23a+b+1a+2b)=14(5+2(3a+b)a+2b+2(a+2b)3a+b)≥14(5+2×2√3a+ba+2b⋅a+2b3a+b)=94，当且仅当a+2b＝3a+b，即b＝2a=310时取等号．∴7a+4b的最小值为9 4．22．（12分）（1）已知关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集是{x|x＜−2或x＞13}，求cx2﹣bx+a≥0的解集；（2）求关于x的不等式ax2﹣2x+a＜0的解集．解：（1）由题意知{−2+13=−ba−2×13=caa＜0，则有{b=53ac=−23aa＜0，代入不等式cx2﹣bx+a≥0，得−23ax2−53ax+a≥0(a＜0)，即﹣2x2﹣5x+3≤0，解得x≤﹣3或x≥1 2，所以所求不等式的解集为{x|x≤−3或x≥12 }；（2）①当a＝0时，不等式为﹣2x＜0，解得x＞0，则此时解集为（0，+∞），②当a＞0时，令ax2﹣2x+a＝0，Δ＝4﹣4a2，（i）若Δ＝4﹣4a2≤0，即a≥1时，此时不等式解集为∅，（ii）若Δ＝4﹣4a2＞0，即0＜a＜1时，ax2﹣2x+a＜0，解得1−√1−a2a＜x＜1+√1−a2a，则此时不等式解集为(1−√1−a2a＜x＜1+√1−a2a)，③当a＜0时，（i）若Δ＝4﹣4a2＜0，即a＜﹣1时，此时不等式解集为R，（ii）若Δ＝4﹣4a2＝0，即a＝﹣1时，此时不等式为﹣x2﹣2x﹣1＜0，解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），（iii）若Δ＝4﹣4a2＞0，即﹣1＜a＜0时，则不等式解集为(−∞，1+√1−a2a)∪(1−√1−a2a，+∞)．综上所述，当a＜﹣1时，不等式解集为R；当﹣1≤a＜0时，则不等式解集为(−∞，1+√1−a2a)∪(1−√1−a2a，+∞)；当a＝0时，则不等式解集为（0，+∞）；当0＜a＜1时，则不等式解集为(1−√1−a2a＜x＜1+√1−a2a)；当a≥1时，此时不等式解集为∅．。
高一上学期期末考试数学试题(含答案)
高一上学期期末考试数学试题(含答案) 高一上学期期末考试数学试题（含答案）第I卷选择题（共60分）1.sin480的值为()A。
-1133B。
-2222C。
2222D。
11332.若集合M={y|y=2,x∈R}，P={x|y=x-1}，则M∩P=()A。
(1,+∞)B。
[1,+∞)C。
(-∞,+∞)D。
(-∞。
+∞)3.已知幂函数通过点(2,22)，则幂函数的解析式为()A。
y=2xB。
y=xC。
y=x2D。
y=x1/24.已知sinα=-1/2，且α是第二象限角，那么tanα的值等于()A。
-5/3B。
-4/3C。
4/3D。
5/35.已知点A(1,3)，B(4,-1)，则与向量AB同方向的单位向量为()A。
(3/5,-4/5)B。
(-3/5,4/5)C。
(-4/5,-3/5)D。
(4/5,3/5)6.设tanα，tanβ是方程x2-3x+2=0的两根，则tan(α+β)的值为()A。
-3B。
-1C。
1D。
37.已知锐角三角形ABC中，|AB|=4，|AC|=1，△ABC的面积为3，则AB·AC的值为()A。
2B。
-2C。
4D。
-48.已知函数f(x)=asin(πx+β)+bcos(πx+β)，且f(4)=3，则f(2015)的值为()A。
-1B。
1C。
3D。
-39.下列函数中，图象的一部分如图所示的是()无法确定图像，无法判断正确选项）10.在斜△ABC中，sinA=-2cosB·cosC，且tanB·tanC=1-2，则角A的值为()A。
π/4B。
π/3C。
π/2D。
2π/311.已知f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是减函数，则实数a的取值范围是()A。
(-∞,4]B。
(-∞,4)C。
(-4,4]D。
[-4,4]12.已知函数f(x)=1+cos2x-2sin(x-π/6)，其中x∈R，则下列结论中正确的是()A。
f(x)是最小正周期为π的偶函数B。
2023-2024学年江苏省苏州市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，3，4}，N＝{2，4，5}，则M∩（∁U N）＝（）A．∅B．{4}C．{1，3}D．{2，5}2．已知幂函数y＝f（x）的图象过点（3，√3），则函数y＝f（x）+f（2﹣x）的定义域为（）A．（﹣2，2）B．（0，2）C．（0，2]D．[0，2]3．“实数a＝﹣1”是“函数f（x）＝x2+2ax﹣3在（1，+∞）上具有单调性”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．某数学兴趣小组为研究指数函数的“爆炸性增长”进行了折纸活动．一张纸每对折一次，纸张变成两层，纸张厚度会翻一倍．现假定对一张足够大的纸张（其厚度等同于0.0766毫米的胶版纸）进行无限次的对折．借助计算工具进行运算，整理记录了其中的三次数据如下：已知地球到月亮的距离约为38万公里，问理论上至少对折（）次，纸张的厚度会超过地球到月亮的距离．A．41B．43C．45D．475．已知一个扇形的周长为40cm，面积为100cm2，则该扇形的圆心角的弧度数为（）A．12B．1C．32D．26．已知cosα﹣sinα＝2sinαtanα，其中α为第一象限角，则tanα＝（）A．﹣1B．12C．1D．27．已知f（x）为偶函数，对任意实数x都有f（x+2）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x3．若函数y＝f（x）的图象与函数g（x）＝log a|x|（a＞0，且a≠1）的图象恰有6个交点，则a的取值范围是（）A．（3，5）B．（3，5]C．（5，7）D．（5，7]8．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的图象过点（0，1），且f（x）在区间(π8，π4)上具有单调性，则ω的最大值为（）A．43B．4C．163D．8二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高一数学上学期期末试题及答案
高一数学上学期期末试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若f(x)=x^2-4x+3，则f(1)的值为：A. 0B. -2C. 1D. 22. 函数y=x^3-3x^2+2的导数为：A. 3x^2-6xB. x^2-6x+2C. 3x^2-6x+2D. x^3-6x^2+63. 已知集合A={x|x<0}，B={x|x>0}，则A∩B的元素个数为：A. 0C. 2D. 无数个4. 以下哪个不是等差数列：A. 2, 4, 6, 8B. 1, 3, 5, 7C. 3, 6, 9, 12D. 1, 4, 7, 105. 已知圆的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=25，圆心坐标为：A. (2, 3)B. (-2, 3)C. (2, -3)D. (-2, -3)6. 若a, b, c是等比数列，且a+b+c=14，b^2=ac，则b的值为：A. 2C. 7D. 147. 函数y=2^x的反函数为：A. y=log2(x)B. y=2^(-x)C. y=-2^xD. y=x^(1/2)8. 已知向量a=(3, -1)，b=(2, 4)，则向量a+b的坐标为：A. (5, 3)B. (1, 3)C. (5, -3)D. (1, -3)9. 函数y=x^2-6x+8的顶点坐标为：A. (3, -1)B. (3, 1)C. (-3, 1)D. (-3, -1)10. 已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的焦点在x轴上，且a=2，b=1，则双曲线的离心率为：A. √2B. √3C. 2D. 3二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f'(x)=________。
12. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，则a5=________。
13. 已知向量a=(1, 2)，b=(3, -2)，则向量a·b=________。
2023-2024学年浙江省杭州市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x ∈Z |x （x ﹣3）＜0}，B ＝{﹣1，2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2}B ．{2，3}C ．{﹣1，1，2，3}D ．∅2．若a ，b ∈R ，则“ab ＞2”是“a ＞√2且b ＞√2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数f(x)=lnx +1x−1的定义域为（ ） A ．（0，+∞）B ．（1，+∞）C ．（0，1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，1）∪（1，+∞）4．要得到函数y ＝2sin2x 的图象，只要将函数y ＝2sin （2x +1）的图象（ ） A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位5．若函数f(x)={2x −3，x ＞0g(x)，x ＜0是奇函数，则g （﹣2）＝（ ）A ．1B ．﹣1C ．−114D ．1146．若sinθ+cosθ=√105(0＜θ＜π)，则tan θ+2sin θcos θ的值为（ ） A ．−3310B ．−185C ．−95D ．1257．已知a ＞1，b ＞0，且a +1b =2，则4a−1+b 的最小值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．98．已知函数f(x)=√x +2+1ax+1(a ∈R)，若对于定义域内任意一个自变量x 都有f （x ）＞0，则a 的最大值为（ ） A ．0B ．12C ．1D ．2二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的或不选的得0分. 9．下列各式的值为12的是（ ）A ．sin （﹣930°）B ．2sinπ12sin 5π12C ．cos33°cos27°+sin33°sin27°D ．tan22.5°1−tan 222.5°10．下列函数的值域为R 且在定义域上单调递增的函数是（ ） A ．f （x ）＝（x ﹣1）3 B ．f （x ）＝2023xC ．f （x ）＝log 2023xD ．f(x)={−1x ，x ≠00，x =011．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，也叫取整函数，则下列叙述正确的是（ ） A ．[cos π4]=0B ．函数y ＝cos x ﹣[cos x ]有3个零点C ．y ＝[cos x ]的最小正周期为2πD ．y ＝[cos x ]的值域为{﹣1，0，1}12．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）在区间(π6，2π3)上单调递增，则下列判断中正确的是（ ）A ．ω的最大值为2B ．若φ=−π6，则ω∈（0，1]C ．若f(5π12)＞0，则f(π6)+f(2π3)＜0 D ．若函数y =f(x)−√32两个零点间的最小距离为π6，则ω＝2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．log 135−log 1345+432的值为．14．已知函数f （x ）的定义域为R ，且满足f （x ）+f （﹣x ）＝0，f （x +1）﹣f （﹣x ）＝0，则f （x ）可以是 ．（写出一个即可）15．已知sin(α+π4)=35，0＜α＜π，则cos(2α+π4)的值为 ．16．已知下列五个函数：y ＝x ，y =1x，y ＝x 2，y ＝lnx ，y ＝e x ，从中选出两个函数分别记为f （x ）和g （x ），若F （x ）＝f （x ）+g （x ）的图象如图所示，则F （x ）＝ ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知集合A ={x|y =√−2x 2+x +1}，集合B ＝{x |（x +a ﹣1）（x ﹣2a ）≥0，a ∈R }． （1）当a ＝1时，求∁R （A ∪B ）； （2）若A ∩B ＝A ，求实数a 的值．18．（12分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α和角β(0＜α＜π2＜β＜2π3)的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A 、B 两点，点A 的横坐标为35，点C 与点B 关于x 轴对称．（1）求cos(2α−π2)sin 2α+cos2α的值；（2）若cos ∠AOC =−6365，求cos β的值．19．（12分）已知函数f(x)=a x −1a x +a−1(a ∈R ，且a ≠1)是定义在R 上的奇函数．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若关于t 方程f （t 2﹣2t ）+f （4﹣kt ）＝0在[1，3]有且仅有一个根，求实数k 的取值范围． 20．（12分）设函数f(x)=2sin(x −π3)，g(x)=f(x −π6)⋅f(x +π6)．（Ⅰ）求函数f （x ）的对称中心；（Ⅱ）若函数g （x ）在区间[0，m ]上有最小值﹣1，求实数m 的最小值．21．（12分）为了进一步增强市场竞争力，某公司计划在2024年利用新技术生产某款运动手表．经过市场调研，生产此款运动手表全年需投入固定成本100万，每生产x （单位：千只）手表，需另投入可变成本R （x ）万元，且R(x)={2x 2+80x +200，0＜x ＜50201x +6400x −5200，x ≥50．由市场调研知，每部手机售价0.2万元，且全年生产的手机当年能全部销售完．（利润＝销售额﹣固定成本﹣可变成本）（1）求2024年的利润W （x ）（单位：万元）关于年产量x （单位：千只）的函数关系式． （2）2024年的年产量为多少（单位：千只）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？22．（12分）已知函数f(x)=|x −3x+2|+m ．（1）若函数y ＝f （x ）有4个零点x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），求证：x 1x 2x 3x 4＝9；（2）是否存在非零实数m ，使得函数f （x ）在区间[a ，b ]（0＜a ＜b ）上的取值范围为[2m a ，2mb]？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．2023-2024学年浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x ∈Z |x （x ﹣3）＜0}，B ＝{﹣1，2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2}B ．{2，3}C ．{﹣1，1，2，3}D ．∅解：集合A ＝{x ∈Z |x （x ﹣3）＜0}＝{x ∈Z |0＜x ＜3}＝{1，2}，B ＝{﹣1，2，3}，则A ∩B ＝{2}． 故选：A ．2．若a ，b ∈R ，则“ab ＞2”是“a ＞√2且b ＞√2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：当ab ＞2时，可能a 、b 都小于−√2，不能推出“a ＞√2且b ＞√2”，充分性不成立； 当a ＞√2且b ＞√2时，必定可以得到ab ＞2，充要性成立． 故选：B ． 3．函数f(x)=lnx +1x−1的定义域为（ ） A ．（0，+∞）B ．（1，+∞）C ．（0，1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，1）∪（1，+∞）解：由函数f(x)=lnx +1x−1，可得x ＞0，且x ≠1， 故函数的定义域为{x |x ＞0，且x ≠1}，即（0，1）∪（1，+∞）． 故选：C ．4．要得到函数y ＝2sin2x 的图象，只要将函数y ＝2sin （2x +1）的图象（ ） A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位解：将函数y ＝2sin （2x +1）的图象向右平移12个单位，可得y ＝2sin2x 的图象，故选：D ．5．若函数f(x)={2x −3，x ＞0g(x)，x ＜0是奇函数，则g （﹣2）＝（ ）A ．1B ．﹣1C ．−114D ．114解：当x ＜0时，f （﹣x ）＞0，则f（﹣x）＝2﹣x﹣3，则﹣f（x）＝2﹣x﹣3，故f（x）＝3﹣2﹣x，所以g（x）＝f（x）＝3﹣2﹣x，故g（﹣2）＝3﹣22＝﹣1．故选：B．6．若sinθ+cosθ=√105(0＜θ＜π)，则tanθ+2sinθcosθ的值为（）A．−3310B．−185C．−95D．125解：由sinθ+cosθ=√105（0＜θ＜π），可得θ为钝角，且|sinθ|＞cosθ，故tanθ＜﹣1，把条件平方可得sinθcosθ=−3 10，∴sinθcosθsin2θ+cos2θ=−310，tanθtan2θ+1=−310，即得tanθ＝﹣3，所有tanθ+2sinθcosθ＝﹣3−35=−185．故选：B．7．已知a＞1，b＞0，且a+1b =2，则4a−1+b的最小值为（）A．4B．6C．8D．9解：由a+1b=2，得(a−1)+1b=1，其中a﹣1＞0，b＞0．所以4a−1+b=[(a−1)+1b](4a−1+b)=5+4b(a−1)+b(a−1)≥5+2√4=9，当且仅当b（a﹣1）＝2，即a=53，b=3时，等号成立．综上所述，4a−1+b的最小值为9．故选：D．8．已知函数f(x)=√x+2+1ax+1(a∈R)，若对于定义域内任意一个自变量x都有f（x）＞0，则a的最大值为（）A．0B．12C．1D．2解：若a＝0，则f（x）=√x+2+1＞0恒成立，符合题意；若a＞0，①当1a=−2，即a=12时，f（x）=√2+x+2x+2，定义域为{x|x＞﹣2}，此时f（x）＞0显然成立，符合题意；②当−1a ＜−2，即0＜a ＜12时，定义域为[﹣2，+∞），则ax +1≥﹣2a +1＞0，此时f （x ）＞0恒成立，符合题意； ③当−1a ＞−2，即a ＞12时，定义域为{x |x ≥﹣2且x ≠−1a }，则取x ＝﹣t −1a ，则f （﹣t −1a ）=√−1a −t +2−1at，令0＜t ≤2−1a ，当t →0时，−1at →﹣∞，f （﹣t −1a ）=√−1a −t +2−1at 可以取得负值，不符合题意；若a ＜0，则函数定义域为{x |x ≥﹣2且x ≠−1a }，令x =−1a +t ，则f （−1a +t ）=√−1a +t +2+1at，当t ＞0且t →0时，1at→﹣∞，f （−1a +t ）=√−1a +t +2+1at 可以取得负值，不符合题意，综上，0＜a ≤12，即a 的最大值为12．故选：B ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的或不选的得0分. 9．下列各式的值为12的是（ ）A ．sin （﹣930°）B ．2sinπ12sin 5π12C ．cos33°cos27°+sin33°sin27°D ．tan22.5°1−tan 222.5°解：对于A ：sin(−930°)=−sin(720°+210°)=sin30°=12，故A 正确；对于B ：2sinπ12sin 5π12=2sin π12sin(π2−π12)=2sin π12cos π12=sin π6=12，故B 正确； 对于C ：cos33°cos27°+sin33°sin27°＝cos （33°﹣27°）＝cos6°，故C 错误； 对于D ：tan22.5°1−tan 222.5°=12×2tan22.5°1−tan 222.5°=12tan45°=12，故D 正确． 故选：ABD ．10．下列函数的值域为R 且在定义域上单调递增的函数是（ ） A ．f （x ）＝（x ﹣1）3 B ．f （x ）＝2023xC ．f （x ）＝log 2023xD ．f(x)={−1x ，x ≠00，x =0解：根据幂函数的性质及函数图象的平移可知，f （x ）＝（x ﹣1）3在R 上单调递增且f （x ）的值域为R ，A 符合题意；根据指数函数的性质可知，f （x ）＝2023x 的值域为（0，+∞），不符合题意；根据对数函数的性质可知，f （x ）＝log 2023x 在（0，+∞）上单调递增且值域为R ，符合题意； f （x ）={−1x ，x ≠00，x =0在R 上不单调，不符合题意．故选：AC ．11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，也叫取整函数，则下列叙述正确的是（ ） A ．[cos π4]=0B ．函数y ＝cos x ﹣[cos x ]有3个零点C ．y ＝[cos x ]的最小正周期为2πD ．y ＝[cos x ]的值域为{﹣1，0，1}解：根据题意，依次分析选项：对于A ，[cos π4]＝[√22]＝0，A 正确；对于B ，当x ＝k π+π2，k ∈Z 时，cos x ＝0时，有cos x ﹣[cos x ]＝0，即x ＝k π+π2，k ∈Z 是函数y ＝cos x ﹣[cos x ]的零点，同理：x ＝k π，k ∈Z 也是函数y ＝cos x ﹣[cos x ]的零点， 故函数y ＝cos x ﹣[cos x ]的零点有无数个，B 错误；对于C ，在区间[0，2π）上，y ＝[cos x ]={ 1，x =00，0＜x ≤π2−1，π2＜x ＜3π20，32≤x ＜2π，易得y ＝[cos x ]的最小正周期为2π，C 正确； 对于D ，由C 的结论，y ＝[cos x ]的值域为{﹣1，0，1}，D 正确． 故选：ACD ．12．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）在区间(π6，2π3)上单调递增，则下列判断中正确的是（ ）A ．ω的最大值为2B ．若φ=−π6，则ω∈（0，1]C ．若f(5π12)＞0，则f(π6)+f(2π3)＜0 D ．若函数y =f(x)−√32两个零点间的最小距离为π6，则ω＝2 解：由于函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）在区间(π6，2π3)上单调递增，故有T 2=πω≥2π3−π6=π2，求得ω≤2，可得ω的最大值为2，故A 正确；若φ=−π6，由于ωx +φ∈（ωπ6−π6，2ωπ3−π6），则2ωπ3+φ=2ωπ3−π6≤π2，求得ω≤1，故ω∈（0，1]，故B 正确； 由于π6+2π32=5π12∈(π6，2π3)，故当f(5π12)＞0时，f(π6)+f(2π3)＞0，C 错误；令y =f(x)−√32=0，得f （x ）=√32，设y ＝f （x ）与y =√32距离最近的两交点的横坐标分别为x 1，x 2，依题意，得[|ωx 1+φ﹣（ωx 2+φ）|]min =2π3−π3=π3，即ω|x 1﹣x 2|min =π3， 因为函数y =f(x)−√32两个零点间的最小距离为π6，即|x 1﹣x 2|min =π6， 所以ω＝2，D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．log 135−log 1345+432的值为10 ．解：原式＝lo g 1319+23＝2+8＝10．故答案为：10．14．已知函数f （x ）的定义域为R ，且满足f （x ）+f （﹣x ）＝0，f （x +1）﹣f （﹣x ）＝0，则f （x ）可以是 f （x ）＝sin （πx ）（答案不唯一） ．（写出一个即可） 解：因为函数f （x ）的定义域为R ，且f （x ）+f （﹣x ）＝0，即f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 所以f （x ）是R 上的奇函数， 又因为f （x +1）﹣f （﹣x ）＝0， 所以f （x +1）＝f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 所以f （x +2）＝﹣f （x +1）＝f （x ）， 所以f （x ）的周期为2，所以f （x ）的解析式可以是f （x ）＝sin （πx ）． 故答案为：f （x ）＝sin （πx ）（答案不唯一）．15．已知sin(α+π4)=35，0＜α＜π，则cos(2α+π4)的值为 −17√250．解：由于0＜α＜π，故α+π4∈(π4，5π4)，由于sin π4=√22＞sin(α+π4)=35，故α+π4∈(3π4，π)，所以α的终边不可能在第一象限内，只能在第二象限内，故cos(α+π4)=−45，所以sinα＝sin[（α+π4）−π4]=sin(α+π4)cosπ4−cos(α+π4)sinπ4=35×√22+45×√22=7√210，由于α的终边在第二象限内，故cosα=−√1−sin2α=−√210，所以cos(2α+π4)=cos[α+(α+π4)]=cosαcos(α+π4)−sinαsin(α+π4)=√210×45−35×7√210=−17√250．故答案为：−17√2 50．16．已知下列五个函数：y＝x，y=1x，y＝x2，y＝lnx，y＝e x，从中选出两个函数分别记为f（x）和g（x），若F（x）＝f（x）+g（x）的图象如图所示，则F（x）＝x2+1x．解：根据题意，由函数F（x）的定义域为{x|x≠0}，则f（x）、g（x）中一定没有y＝lnx，一定有函数y=1 x ，设f（x）=1 x ，当g（x）＝x时，F（x）＝x+1x，F（x）为奇函数，不符合题意，当g（x）＝e x时，F（x）＝e x+1x，当x→﹣∞时，F（x）＜0，不符合题意；当g（x）＝x2时，F（x）＝x2+1x，当x＜﹣1时，F（x）=x3+1x＜0，当x＜﹣1时，F（x）＞0，当﹣1＜x＜0时，F（x）＜0，当x＞0时，F（x）＞0，符合题意；故F（x）＝x2+1 x ．故答案为：x2+1 x ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知集合A={x|y=√−2x2+x+1}，集合B＝{x|（x+a﹣1）（x﹣2a）≥0，a∈R}．（1）当a＝1时，求∁R（A∪B）；（2）若A∩B＝A，求实数a的值．解：（1）由﹣2x2+x+1≥0，可得−12≤x≤1，故A＝{x|−12≤x≤1}，当a＝1时，B＝{x|x≥2或x≤0}，故A ∪B ＝{x |x ≥2或x ≤1}，所以∁R （A ∪B ）＝{x |1＜x ＜2}；（2）若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，因为A ＝{x |−12≤x ≤1}，B ＝{x |（x +a ﹣1）（x ﹣2a ）≥0，a ∈R }． 当2a ＝1﹣a ，即a =13时，B ＝R ，符合题意， 当2a ＞1﹣a ，即a ＞13时，B ＝{x |x ≥2a 或x ≤1﹣a }， 则{a ＞132a ≤−12或{a ＞131−a ≥1，此时a 不存在； 当2a ＜1﹣a ，即a ＜13时，B ＝{x |x ≥1﹣a 或x ≤2a }， 则{a ＜131−a ≤−12或2a ≥1，此时a 不存在，所以a =13． 18．（12分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α和角β(0＜α＜π2＜β＜2π3)的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A 、B 两点，点A 的横坐标为35，点C 与点B 关于x 轴对称．（1）求cos(2α−π2)sin 2α+cos2α的值； （2）若cos ∠AOC =−6365，求cos β的值．解：（1）∵A 的横坐标为35，又|OA |＝1，且A 在第一象限， ∴A 的纵坐标为45， ∴cos α=35，sin α=45，∴tan α=sinαcosα=43， ∴cos(2α−π2)sin 2α+cos2α=sin2αsin 2α+cos 2α−sin 2α =2sinαcosαcos 2α=2tan α=83；（2）∵cos ∠AOC =−6365， ∴由图可知sin ∠AOC =√1−cos 2∠AOC =√1−(6365)2=1665， 根据题意可得OC 为α﹣∠AOC 的终边，又点C 与点B 关于x 轴对称，OB 为β的终边，∴cos β＝cos （α﹣∠AOC ）＝cos αcos ∠AOC +sin αsin ∠AOC =35×(−6365)+45×1665=−513． 19．（12分）已知函数f(x)=a x −1a x +a−1(a ∈R ，且a ≠1)是定义在R 上的奇函数． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若关于t 方程f （t 2﹣2t ）+f （4﹣kt ）＝0在[1，3]有且仅有一个根，求实数k 的取值范围． 解：（Ⅰ）因为y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以f （﹣1）＝﹣f （1），即a −1−1a −1+a−1=−a−12a−1， 即1a −11a +a−1=−a−12a−1，1−a a 2−a+1=−a−12a−1， 所以a 2﹣a +1＝2a ﹣1，解得a ＝1（舍）或a ＝2，所以a ＝2．当a ＝2时，f （x ）=2x−12x +1，定义域为R ， f （﹣x ）=2−x −12−x +1=12x −112x +1=1−2x 1+2x =−2x −12x +1=−f （x ）， 所以函数y ＝f （x ）是R 上的奇函数，故a ＝2；（Ⅱ）因为f （x ）=2x−12x +1=1−22x +1， 设x 1＜x 2，则f （x 1）﹣f （x 2）=22x 2+1−22x 1+1=2(2x 1−2x2)(2x 1+1)(2x 2+1)＜0， 所以f （x 1）＜f （x 2），所以y ＝f （x ）在R 上单调递增，又因为关于t 方程f （t 2﹣2t ）+f （4﹣kt ）＝0在[1，3]有且仅有一个根，即关于t 方程f （t 2﹣2t ）＝﹣f （4﹣kt ）＝f （kt ﹣4）在[1，3]有且仅有一个根，t 2﹣2t ＝kt ﹣4在[1，3]有且仅有一个根，易得t ＝0不满足；当t ≠0时，k ＝t +4t−2在t ∈[1，3]有且仅有一个根， 令h （t ）＝t +4t−2，t ∈[1，3]， 由对勾函数的性质可知y ＝h （t ）在[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增，所以h （t ）min ＝h （2）＝2，又h （1）＝3，h （3）=73， 如图所示：由此可得当k ＝2或73＜k ≤3时，满足k ＝t +4t −2在t ∈[1，3]有且仅有一个根， 所以实数k 的取值范围为（73，3]∪{2}． 20．（12分）设函数f(x)=2sin(x −π3)，g(x)=f(x −π6)⋅f(x +π6)． （Ⅰ）求函数f （x ）的对称中心；（Ⅱ）若函数g （x ）在区间[0，m ]上有最小值﹣1，求实数m 的最小值．解：（Ⅰ）令x −π3=k π，k ∈Z ，则x =π3+kπ，k ∈Z ， 故函数的对称中心为（k π+π3，0），k ∈Z ； （Ⅱ）g(x)=f(x −π6)⋅f(x +π6)=4sin （x −π2）sin （x −π6）＝﹣4cos x （√32sin x −12cos x ） ＝﹣2√3sin x cos x +2cos 2x=−√3sin2x +cos2x +1＝2cos （2x +π3）+1， 若函数g （x ）在区间[0，m ]上有最小值﹣1，即cos （2x +π3）在[0，m ]上取得最小值﹣1，令2x +π3=π，可得x =π3， 故m 的最小值为π3． 21．（12分）为了进一步增强市场竞争力，某公司计划在2024年利用新技术生产某款运动手表．经过市场调研，生产此款运动手表全年需投入固定成本100万，每生产x （单位：千只）手表，需另投入可变成本R （x ）万元，且R(x)={2x 2+80x +200，0＜x ＜50201x +6400x−5200，x ≥50．由市场调研知，每部手机售价0.2万元，且全年生产的手机当年能全部销售完．（利润＝销售额﹣固定成本﹣可变成本）（1）求2024年的利润W （x ）（单位：万元）关于年产量x （单位：千只）的函数关系式．（2）2024年的年产量为多少（单位：千只）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？解：（1）W （x ）＝0.2×1000×x ﹣R （x ）﹣100＝200x ﹣R （x ）﹣100，当0＜x ＜50时，W （x ）＝200x ﹣（2x 2+80x +200）﹣100＝﹣2x 2+120x ﹣300，当x ≥50时，W(x)=200x −(201x +6400x −5200)−100=−(x +6400x)+5100， 故W （x ）={−2x 2+120x −300(0＜x ＜50)−(x +6400x)+5100(x ≥50)； （2）若0＜x ＜50，W （x ）＝﹣2x 2+120x ﹣300＝﹣2（x ﹣30）2+1500，当x ＝30时，W （x ）max ＝1500，若x ≥50，W(x)=−(x +6400x)+5100≤−2√6400+5100=4940，当且仅当x ＝80时，等号成立， 所以当x ＝80时，W （x ）max ＝4940，故2024年的年产量为80千部时，企业所获利润最大，最大利润是4940万元．22．（12分）已知函数f(x)=|x −3x+2|+m ． （1）若函数y ＝f （x ）有4个零点x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），求证：x 1x 2x 3x 4＝9；（2）是否存在非零实数m ，使得函数f （x ）在区间[a ，b ]（0＜a ＜b ）上的取值范围为[2m a ，2m b]？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．证明：（1）因为函数f(x)=|x −3x+2|+m 有4个零点x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4）， 所以方程f(x)=|x −3x+2|+m =0有4个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4）， 于是方程x −3x +2+m =0，−(x −3x+2)+m =0都各有两个不同的解， 即方程x 2+（2+m ）x ﹣3＝0，x 2+（2﹣m ）x ﹣3＝0各有两个实数根，于是x 1x 2x 3x 4＝9；解：（2）f(x)=|x −3x +2|+m ={x −3x +2+m ，x ≥1−x +3x−2+m ，0＜x ＜1， 所以y ＝f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增； ①若函数f （x ）在[a ，b ]上不单调，则有0＜a ≤1＜b ，且f(1)=m =2m a ， 由于m ≠0，所以a ＝2，与假设矛盾；②当1≤a ＜b 时，有{f(a)=2m a f(b)=2m b ，即{a −3a +2+m =2m a b −3b +2+m =2m b ， 所以{a 2+(m +2)a −3−2m =0b 2+(m +2)b −3−2m =0， 所以a ，b 是一元二次方程x 2+（m +2）x ﹣3﹣2m ＝0的两个不相等的实数根， 记g （x ）＝x 2+（m +2）x ﹣3﹣2m ，有{Δ=(m +2)2+4(2m +3)＞0−m+22≥11+(m +2)−3−2m ＞0，所以m ＜−6−2√5， ③当0＜a ＜b ≤1时，应有{f(a)=2m b f(b)=2m a ，即{−a +3a −2+m =2m b −b +3b −2+m =2m a， 两式相减得到ab +3＝﹣2m ∈（3，4），所以m ∈(−2，−32)， 两式相加得：a +b =(2m+3)(m−2)3， 又ab ＝﹣（2m +3），∴1a +1b =a+b ab =2−m 3∈(2，+∞)， ∴m ＜﹣4，与m ∈(−2，−32)矛盾， 此时满足条件的实数m 不存在，综合以上讨论，满足条件的实数m 的取值范围是(−∞，−6−2√5)．。
贵州省贵阳市2023-2024学年高一上学期期末考试 数学 含答案
贵阳市普通中学2023—2024学年度第一学期期末监测考试试卷高一数学注意事项：1.本试卷共6页，满分100分，考试时间120分钟．2.答案一律写在答题卡上，写在试卷上的不给分．3.考试过程中不得使用计算器．一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填写在答题卷的相应位置上．）1.全织U ={0,1,2,3,4,5,6, 7} il s4M = {O, 1,2,3}, N = {3,4,5},U,M, N，找合＇ 的关系如图所示，则图中阴影部分表示的集合为（）u`C.{3}A.{l,2,3,4,5}B.{4,5}D.02命题“3xE R, x2 + x+1 � 0”的否定是（）2A.3x e R, x2 + x +l之0B.3x E R, x2 + x+l< 0D.Vx茫R,x·+x+l< 0C.VxER,x2 +x+ l < 0 23对任意角a和fJ."sina = sin/J“是“a=fJ”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C.充要条件D既不充分也不必要条件24已知函数f(x)= �+log。
,(2-x)，则f(x)的定义域为（）4x-3A （扣） B.（扣］C.(-oo,2) D （三）u(扣）5设函数f(x)=2·'+x的零点为X o'则X o所在的区间是（）A.(-1,0) C.(1,2)B.(-2,-1) D.(0,1)6设a=(½/,b= 2(c = log2¾，则a,b,c的大小关系为（A. c<a<bB. c < b < aC. a<b<cD.a<c<bII冗7下列选项中，与sin(－飞－）的值不相等的是（）A.2sin l5°sin 75°B.cosl8° cos42° -sinl8° sin42°C.2cos2l5°-lD.tan22.5° l-tan2 22.5°8.某池塘野生水葫芦的援盖面积与时间的函数关系图象如图所示．假设其函数关系为指数函数，其中说法错误的是（y/m2l 6t--－-－-－－－－－－-－-－ ,,，81--－－－－－-－－t'一气， ，， ，， ，A此指数函数的底数为2B在第5个月时，野生水葫芦的稷盖面积会超过30m2C野生水葫芦从4m2荽延到12m2只需1.5个月D设野生水葫芦蔓延至2m2,3m2,6m2所需的时间分别为x1,x2,x3,则有X1+x2 = X3二、多项选择题（本题共2小题，每小题4分，共8分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，部分选对得2分，有选错得0分．）9已知a,b,c eR,则下列命题正确的是（）I IA若－＞一，则a<ba bB若ac2> bc2,则（1>bC.若a<b,c <d,则a-c<b-dD若a>b > O,c > 0,则a a+c一＞b b+cIO下列说法中，正确的是()IA函数y=－在定义域上是减函数e x -1B.函数y=——一是奇函数e x +lC函数y= f(x+a)-b为奇函数，则函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形D函数f(x)为定义在(-x,,O)U(O冲心）上的奇函数，且f(3) = I.对千任意x,,x2E (0，长't:)),x1:;cx2,汀(x,)－x2f(x2) 3都有1>0成立，则.f(x)三一的解集为（－OCJ,-3] u(0,3]X1 -x2''X三、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置上．）11若幕函数f(x)＝(11i2-2m-2)义”在(0,+～)上单调递增，则实数m=12函数y= sinx+ cosx的最大值是s13 已知圆和四边形（四个角均为直角）的周长相等，而积分别为S I'鸟，则_]_的最小值为s214已知函数f(x) = 2sin(cv x+(p)(co> O,I例<:)的部分图像如图所示，则f行）＝X-2.一一一一-壹15已知函数f(X) = 2kx2 -kx -i (0 ::; X ::;; 2, k E R)，若k=I，则该函数的零占为若对沁XE[0,2],不等式f(x) < -2k恒成立，则实数K的取值范围为四、解答题（本大题共4小题，每小题8分，共32分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16已知角0的终边过点(-3,4)，求角0的三个三角函数值．17.(I)已知芦＋a令＝3,求a＋矿的值：(2)已知log2[ l og3 (log4X)] =0'求X的值18 已知函数f(x)=x-�IX(I)判断函数f(x)的奇偶性：1(2)根据定义证明函数f(x)=x-－在区间(0,＋幻）上单调递增X冗19将函数f(x) =c o s(x+ �)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的上，纵坐标不变，得到函数g(x的（） 图象(I)求函数g(x)的单调递增区间和对称中心：(2)若关于X的方程2sin2x-m c o s x-4= 0在XE（吟）上有实数解，求实数m的取值范围五、阅读与探究（本大题1个小题，共8分解答应写出文字说明，条理清晰．）20. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的瓜要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的篮要方法．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（I)整体观察：（2)整体设元；（3)整体代入：（4)整体求和等l l例如，ab=I,求证：一＋－＝l.I+a I+b证明：原式ab I b I+—=—+—=I. ab+a I+b b+I l+b阅读材料二：解决多元变掀问题时，其中一种思路是运用消元思想将多元问题转化为一元问题，再结合一元问题处理方法进行研究a+b例如，正实数a,b满足ab=L求(l+a)b解：由ab=I,得b＝一，的最小值1 a+b a+--;; _ a 2+1_ (a+l }2-2(a+l)+2＝ ＝ ＝ ..(I+a)b I a+la+I (l+a )� a 2 2 =(a+l)＋二－2�2✓(a+l)二－2=2✓2-2,当且仅当a+I =✓2，即a=✓2-1,b = ✓2 +1时，等号成立a+b.. (l+a)b的最小值为2J5-2波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个腮菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征结合阅读材料解答下列问题：(I)已知ab=I,求＋——了的值；l+a 2. l +bI I(2)若正实数a,b 满足ab=I,求M =--=--+ 的最小值I+a I+3b贵阳市普通中学2023—2024学年度第一学期期末监测考试试卷高一数学注意事项：1.本试卷共6页，满分100分，考试时间120分钟．2.答案一律写在答题卡上，写在试卷上的不给分．3.考试过程中不得使用计算器．一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填写在答题卷的相应位置上．）1.全织U = {0,1,2,3,4,5,6, 7} il s4M = {O, 1,2,3}, N={3,4,5},U,M, N，找合＇ 的关系如图所示，则图中阴影部分表示的集合为（u`A.{l,2,3,4,5}【答案】B【解析】B.{4,5}【分析】求出M n N,得到阴影部分表示的渠合C.{3}［详解】图中阴影部分表示的渠合为N中元素去掉M n N的元素后的梊合，MnN = {0,1,2,3们{3,4,5}=｛习，故图中阴影部分表示的集合为{4,5}故选：B2.命题“3xER,x2+x+l2:0”的否定是（）A.3x ie R, x2 + x+l ;;:: 0B.3x E R, x2 + x+I <0C.VxER,x2+x+l<0 2D.Vx茫R,X4+x+l< 0【答案】C【解析】【分析】根据命题的否定即可求解D.0【详解】命题“:3x E R, x 2+ x + 1 2:: 0”的否定是“"ix E R,x 2+x+ 1< 0",故选：C3对任意角a 和/3,"sin a = s in/3“是“a=/3”的（）A 充分不必要条件B必要不充分条件C.充要条件D 既不充分也不必要条件【答案）B 【解析】【分析】根据三角函数的性质，结合必要不充分的定义即可求解【详解】由sina=s in/3可得a=/J+2朊或者a+/3＝冗＋2幻，kEZ,故sina=s in/3不能得到a=/3，但a=/3，则sina= s in/3，故“sina=sin/3“是“a=/3”的必要不充分条件，故选：B2 4已知函数f(x) =�+log 。
完整版)高一第一学期数学期末考试试卷(含答案)
完整版)高一第一学期数学期末考试试卷(含答案)高一第一学期期末考试试卷考试时间：120分钟注：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U=R，集合A={x|3≤x<7}，B={x|x^2-7x+10<0}，则(A∩B)的取值为A。
(−∞,3)∪(5,+∞)B。
(−∞,3)∪[5,+∞)C。
(−∞,3]∪[5,+∞)D。
(−∞,3]∪(5,+∞)2.已知a⋅3^a⋅a的分数指数幂表示为A。
a^3B。
a^3/2C。
a^3/4D。
都不对3.下列指数式与对数式互化不正确的一组是A。
e=1与ln1=0B。
8^（1/3）=2与log2^8=3C。
log3^9=2与9=3D。
log7^1=0与7^1=74.下列函数f(x)中，满足“对任意的x1,x2∈(−∞,0)，当x1f(x2)”的是A。
x^2B。
x^3C。
e^xD。
1/x5.已知函数y=f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=logx，则f(f(100))的值等于A。
log2B。
−1/lg2C。
lg2D。
−lg26.对于任意的a>0且a≠1，函数f(x)=ax^−1+3的图像必经过点(1,4/5)7.设a=log0.7(0.8)，b=log1.1(0.9)，c=1.10.9，则a<b<c8.下列函数中哪个是幂函数A。
y=−3x^−2B。
y=3^xC。
y=log_3xD。
y=x^2+1是否有模型能够完全符合公司的要求？原因是公司的要求只需要满足以下条件：当x在[10,1000]范围内时，函数为增函数且函数的最大值不超过5.参考数据为e=2.L，e的8次方约为2981.已知函数f(x)=1-2a-a（a>1），求函数f(x)的值域和当x 在[-2,1]范围内时，函数f(x)的最小值为-7.然后求出a的值和函数的最大值。
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2015年高一上学期期末考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.） 1. 设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,5U A B ===，则()U AC B = （ ）A.{}2B. {}2,3C.{}3D.{}1,32．函数1()1f x x =+- ）A ．[2,)-+∞ B. [)()2,11,-+∞ C.R D. (],2-∞-3．下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．2x y x y ==与 B ．2lg lg 2x y x y ==与C ．x y x y ==与33D ．1112+-=-=x x y x y 与4．已知点(,3)P x 是角θ终边上一点，且4cos 5θ=-，则x 的值为（ ） A ．5B ．5-C ．4D ．4-5．已知8.028.01.1,8.0log ,7.0===c b a ，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．a c b <<6．设函数y ＝x 3与21()2x y -=的图像的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4) 7．已知3tan =α，则αααα22cos 9cos sin 4sin 2-+的值为（ ） .A 301 .B 31 .C 1021.D 38．若两个非零向量b a ,==，则向量b a +与b a -的夹角是（ ）.A 6π .B 3π .C 32π .D 65π9．已知函数)(x f y =是)1,1(-上的偶函数，且在区间)0,1(-是单调递增的，C B A ,,是锐角ABC∆的三个内角，则下列不等式中一定成立的是（ ） .A )(cos )(sin A f A f > .B )(cos )(sin B f A f > .C )(sin )(cos B f C f > .D )(cos )(sin B f C f >10．已知函数()[],f x x x x R =-∈，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如322⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦，5[3]3,22⎡⎤-=-=⎢⎥⎣⎦，则()f x 的值域是（ ）A ．（0，1）B ．(0,1]C ．[0,1)D ．[0,1] 11. 函数22xy x =-的图像大致是 （ ）A B C D12.定义在R 上的函数)(x f 满足()()();2)(,13,62+-=-<≤-=+x x f x x f x f 时当当=++++=<≤-)2012()3()2()1(,)(31f f f f x x f x 则时，（ ）A.335B.338C.1678D.2012第II 卷（非选择题, 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案填在题中横线上） 13．已知tan 2α=，则cos2α= ．14.已知函数3,1(),,1x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，若()2f x =，则x = 15．把函数y ＝3sin2x 的图象向左平移6π个单位得到图像的函数解析是 ． 16.有下列五个命题： ① 函数3)(1+=-x ax f (0,1)a a >≠的图像一定过定点(1,4)P ；② 函数(1)f x -的定义域是(1,3)，则函数()f x 的定义域为(2,4)； ③ 已知)(x f =538x ax bx ++-,且(2)8f -=，则(2)8f =-； ④ 函数212log (23)y x x =--+的单调递增区间为(1,)-+∞.其中正确命题的序号是__________．（写出所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）已知集合A ={}71<≤x x ，{}{}210,B x x C x x a =<<=<，全集U R =. (1)求B A ⋃；B AC U ⋂)(.(2)如果A C φ⋂≠，求a 的取值范围.18.（本小题满分12分）已知C B A ,,的坐标分别为)0,3(A ，)3,0(B ，)sin ,(cos ααC ，)23,2(ππα∈ （1）若|,|||BC AC =求角α的值；（2）若αααtan 12sin sin 2,12++-=⋅求BC AC 的值.19.（本小题满分12分）已知二次函数2()163f x x x q =-++： (1) 若函数的最小值是-60，求实数q 的值；(2) 若函数在区间[]1,1-上存在零点，求实数q 的取值范围.20.（本小题满分13分）辽宁号航母纪念章从2012年10月5日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y (单位:元)与上市时间x (单位:天)的数据如下:(1)根据上表数据结合散点图，从下列函数中选取一个恰当的函数描述辽宁号航母纪念章的市场价y与上市时间x 的变化关系并说明理由:①y ax b =+；②2y ax bx c =++；③log b y a x =．(2)利用你选取的函数，求辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．21.(本小题满分13分)已知：)sin ,cos 2(x x a =，)cos 2,cos 3(x x b =，设函数)(3)(R x b a x f ∈-⋅= 求：（1）)(x f 的最小正周期； （2）)(x f 的单调递增区间； （3）若6)122()62(=+--παπαf f ，且),2(ππα∈，求α的值.22.（本小题满分14） 设函数()()2221()log log 1log .1x f x x p x x +=+-+-- （1）求函数的定义域；（2）当3p >时，问()f x 是否存在最大值与最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理由.2015年高一上学期期末考试数学试卷一、选择题：1-5 DBCCD 6-10 BCCCC 11-12 AB 二、填空题：13. 35-14．3log 2 15．y ＝3sin(2x + ) 16．① 三、解答题： 17. ①{}110A B B x x ==≤<，{}17R C A x x x =<≥或--3分 所以{}710R C AB x x =≤<； (2)()1,+∞18. （1）)3sin ,(cos ),sin ,3(cos -=-=ααααBC ACαααcos 610sin )3(cos 22-=+-=， αααsin 610)3(sin cos22-=-+==得ααcos sin =，又45),23,2(παππα=∴∈ （2）由1-=⋅BC AC 得1)3(sin sin cos )3(cos -=-+-αααα32cos sin =+∴αα① ααααααααααcos sin 2cos sin 1cos sin 2sin 2tan 12sin sin 222=++=++又由①式两分平方得94cos sin 21=+αα 95cos sin 2-=∴αα，95tan 12sin sin 22-=++ααα19．（Ⅰ）()()min 861601;f x f q q ==-+=-∴=（Ⅱ）∵二次函数2()163f x x x q =-++的对称轴是8x = ∴函数()f x 在区间[]1,1-上单调递减∴要函数()f x 在区间[]1,1-上存在零点须满足(1)(1)0f f -⋅≤即 (1163)(1163)0q q +++⋅-++≤ 解得 2012q -≤≤20． (1)∵随着时间x 的增加，y 的值先减后增，而所给的三个函数中y ax b =+和log b y a x =显然都是单调函数，不满足题意，∴2y ax bx c =++． (2)把点(4，90)，(10，51)，(36，90)代入2y ax bx c =++中，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++90361296511010090416c b a c b a c b a 错误!未找到引用源。
解得41=a ，10-=b ，126=c 错误!未找到引用源。
∴221110126(20)2644y x x x =-+=-+， ∴当20x =时，y 有最小值min 26y =．21.解3cos sin 2cos 323)(2-+=-⋅=x x x b a x f)32sin(22cos 32sin )1cos 2(32sin 2π+=+=-+=x x x x x（1）函数f(x)的最小正周期为ππ==22T （2）由Z k k x k ∈+≤+≤-,223222πππππ得Z k k x k ∈+≤≤-,12125ππππ ∴函数)(x f 的单调增区间为Z k k k ∈+-],12,125[ππππ （3）612262=⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛-παπαf f ，6cos 2sin 2=-∴αα 64sin 22=⎪⎭⎫⎝⎛-∴πα，⎪⎭⎫⎝⎛∈-∴⎪⎭⎫⎝⎛∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴43,44,,2,234sin πππαππαπα 12111273234ππαπππα或，或=∴=-…22．解：（1）由101100x x x p x +⎧>⎪-⎪->⎨⎪->⎪⎩解得1x x p >⎧⎨<⎩①当1p ≤时，①不等式解集为∅；当1p >时，①不等式解集为{}()1,x x p f x <<∴的定义域为()()1,1.p p >（2）原函数即()()()()222211log 1log 24p p f x x p x x ⎡⎤+-⎛⎫=+-=--+⎡⎤⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 即3p >时，函数()f x 有最大值()22log 12p +-，但无最小值。