高中数学：第二章 2.3 第1课时 等差数列的前n项和公式
[课时作业]页
[A 组 基础巩固]
1．等差数列{a n }中，d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，则a 1等于( )
A ．5或7
B ．3或5
C ．7或－1
D ．3或－1
解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝11，S n ＝35，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2(n －1)＝11，na 1＋n (n －1)2×2＝35.
解得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝5，a 1＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧
n ＝7，a 1＝－1. ★答案★：D
2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 为( )
A ．7
B ．6
C ．3
D ．2
解析：由S 2＝4，S 4＝20，得2a 1＋d ＝4,4a 1＋6d ＝20，解得d ＝3.
★答案★：C
3．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10等于( )
A ．138
B ．135
C ．95
D ．23
解析：由a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，可知d ＝3，a 1＝－4.∴S 10＝－40＋10×92
×3＝95. ★答案★：C
4．若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7等于( )
A ．12
B ．13
C ．14
D ．15
解析：由S 5＝5a 3＝25，∴a 3＝5.
∴d ＝a 3－a 2＝5－3＝2.
∴a 7＝a 2＋5d ＝3＋10＝13.
★答案★：B
5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k 等于( )
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝－8；
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－9n )－[(n －1) 2－9(n －1)]＝2n －10.
综上可得数列{a n }的通项公式a n ＝2n －10.
所以a k ＝2k －10.令5＜2k －10＜8，解得k ＝8.
★答案★：B
6．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12
(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________． 解析：∵n ≥2时，a n ＝a n －1＋12，且a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，以12
为公差的等差数列，所以S 9＝9×1＋9×82×12
＝9＋18＝27. ★答案★：27
7．等差数列{a n }中，若a 10＝10，a 19＝100，前n 项和S n ＝0，则n ＝________.
解析：⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋9d ＝10a 1＋18d ＝100，∴d ＝10，a 1＝－80. ∴S n ＝－80n ＋n (n －1)2
×10＝0， ∴－80n ＋5n (n －1)＝0，n ＝17.
★答案★：17
8．等差数列{a n }中，a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝________.
解析：因为a 1＋a 13＝a 2＋a 12＝2a 7，
又a 2＋a 7＋a 12＝24，
所以a 7＝8.
所以S 13＝13(a 1＋a 13)2
＝13×8＝104. ★答案★：104
9．在等差数列{a n }中：
(1)已知a 5＋a 10＝58，a 4＋a 9＝50，求S 10；
(2)已知S 7＝42，S n ＝510，a n －3＝45，求n .
解析：(1)由已知条件得
⎩⎪⎨⎪⎧ a 5＋a 10＝2a 1＋13d ＝58，a 4＋a 9＝2a 1＋11d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝3，d ＝4. ∴S 10＝10a 1＋10×(10－1)2d ＝10×3＋10×92
×4＝210. (2)S 7＝7(a 1＋a 7)2
＝7a 4＝42， ∴a 4＝6.
∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 4＋a n －3)2＝n (6＋45)2
＝510.
∴n ＝20.
10．在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15，
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取得最小值．
解析：(1)设{a n }的首项，公差分别为a 1，d .
则⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1
＋9d ＝18，5a 1＋52×4×d ＝－15， 解得a 1＝－9，d ＝3，
∴a n ＝3n －12.
(2)S n ＝n (a 1＋a n )2＝12
(3n 2－21n ) ＝32⎝⎛⎭⎫n －722－1478
， ∴当n ＝3或4时，前n 项的和取得最小值为－18.
[B 组 能力提升]
1．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 3＋a 6＋a 12为一个常数，则下列也是常数的是( )
A ．S 17
B ．S 15
C ．S 13
D ．S 7 解析：∵a 3＋a 6＋a 12为常数，∴a 2＋a 7＋a 12＝3a 7为常数，∴a 7为常数．又S 13＝13a 7，∴S 13为常数．
★答案★：C
2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
解析：a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，
∴d ＝a m ＋1－a m ＝1，由S m ＝(a 1＋a m )m 2
＝0， 知a 1＝－a m ＝－2，a m ＝－2＋(m －1)＝2，
解得m ＝5.
★答案★：C
3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5
等于________． 解析：由等差数列的性质，a 5a 3＝2a 52a 3＝a 1＋a 9a 1＋a 5＝59
，
∴S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52
(a 1＋a 5)＝95×59＝1. ★答案★：1
4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项和为180，S n ＝324(n >6)，则数列的项数n ＝________，a 9＋a 10＝________.
解析：由题意，可知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36 ①，a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180 ②，由①＋②，得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216，∴a 1＋a n ＝36.又S n ＝n (a 1＋a n )2
＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18，∴a 1＋a 18＝36，∴a 9＋a 10＝a 1＋a 18＝36. ★答案★：18 36
5．等差数列{a n }的前n 项和S n ＝－32n 2＋2052
n ，求数列{|a n |}的前n 项和T n . 解析：a 1＝S 1＝101，当n ≥2时，
a n ＝S n －S n －1＝－32n 2＋2052n －⎣⎡ －32(n －1)2＋ ⎦
⎤2052(n －1)＝－3n ＋104，a 1＝S 1＝101也适合上式，所以a n ＝－3n ＋104，令a n ＝0，n ＝3423
，故n ≥35时，a n <0，n ≤34时，a n >0，所以对数列{|a n |}，n ≤34时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝－32n 2＋2052
n ， 当n ≥35时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 34|＋|a 35|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 34－a 35－…－a n
＝2(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2S 34－S n ＝32n 2－2052
n ＋3 502， 所以T n
＝⎩⎨⎧ －32n 2＋2052n (n ≤34)，
32n 2－2052n ＋3 502(n ≥35).
6．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .
解析：设等差数列{a n }的公差为d ，
则S n ＝na 1＋12
n (n －1)d ， ∵S 7＝7，S 15＝75，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝7，15a 1
＋105d ＝75， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝－2，d ＝1，
∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)， ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12
， ∴数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12， ∴T n ＝n ×(－2)＋n ·(n －1)2×12＝14n 2－94
n .。
《等差数列的前n项和》人教版高二数学下册PPT课件
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
[跟踪训练] 2．植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距 10 米， 开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的 路程总和最小，此最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ 米.
解得 a 1＝－5 ，d ＝3. ∴a 8＝a 6＋2 d ＝1 0 ＋2×3 ＝1 6 ，
1 0 ×9 S 10＝1 0 a 1＋ 2 d ＝1 0 ×(－5 )＋5 ×9 ×3 ＝8 5 .
1 7 × a 1＋a 17
1 7 × a 3＋a 15
1 7 ×4 0
(2 )S 17＝
2
＝
2
＝
＝3 4 0 .
S 1，n ＝1 ，
项公式，那么数列{a n
}的通项公式要分段表示为
a
n
＝
S
n －S
n －1，n
≥2 .
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
等差数列前 n 项和公式的实际应用
例 3、某抗洪指挥部接到预报，24 小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来 之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用 20 台同 型号翻斗车，平均每辆车工作 24 小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用， 每隔 20 分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集 25 辆，那么在 24 小时内能否构筑成第二道防线？
3，n ＝1，
∴a
n
＝ 2
n
，n
≥2
.
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
2 ．(变条件变结论)将本例中的条件“S n ＝2 n 2－3 0 n ”变为“正数数列{b n }的前 n 项和 S n
高中数学课件：第二章 2.3 等差数列的前n项和 第一课时 等差数列的前n项和
n＝1 n≥2.
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在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.
[解] 法一：(基本量法)设等差数列{an}的首项为 a1，
1010－1 d＝100， 10a1＋ 2 公差为 d，则 100a ＋100100－1d＝10. 1 2
2
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1 022，求公差d；
(2)已知等差数列{an}中，a2＋a5＝19，S5＝40，求a10.
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nn－1 解：(1)因为 an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋ 2 d， 又 a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022， 1＋n－1d＝－512， 所以 1 n＋2nn－1d＝－1 022. ① ②
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[研一题] [例1] 在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝
35，求a1和n.
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[自主解答]
an＝a1＋n－1d， 由 nn－1 Sn＝na1＋ 2 d，
பைடு நூலகம்
a1＋2n－1＝11， 得 nn－1 na1＋ 2 ×2＝35，
n＝5， 解方程组得 a1＝3， n＝7， 或 a1＝－1.
2 . 3
课前预习·巧设计
第 二 章 数 列
等 差 数 列 的 前
第一 课时 等差 数列 的前 n项 和
名 师 课 堂 · 一 点 通
创 新 演 练 · 大 冲 关
考点一 考点二 考点三
n
项 和
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高中数学必修5课件：第2章2-3-1等差数列的前n项和
数学 必修5
第二章 数列
与前n项和有关的最值问题
已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值． [思路点拨]
数学 必修5
第二章 数列
[规范解答] (1)由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，
数学 必修5
第二章 数列
等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数
求和
na1＋an
公式 Sn＝_____2________
首项、公差与项数 Sn＝__n_a_1＋__n__n_2－__1__d___
数学 必修5
第二章 数列
对等差数列前n项和公式的理解 (1)等差数列的前n项和公式有两种形式，涉及a1，an，Sn， n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量，解答方 法就是解方程组．
数学 必修5
第二章 数列
如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢 管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根．
[问题1] 共有几层？图形的横截面是什么形状？ [提示] 六层 等腰梯形
数学 必修5
第二章 数列
[问题2] 假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如 图所示，则这样共有多少钢管？
数学 必修5
第二章 数列
由an≤0解得n≤4，即数列{an}前3项为负数，第4项为0， 从第5项开始为正数．
∴当n≤4时，Tn＝－Sn＝n(7－n)， 当n>4时，Tn＝Sn－S4＋(－S4) ＝Sn－2S4＝n(n－7)－2×4×(4－7) ＝n2－7n＋24
∴Tn＝nn2－7－7nn＋，2n4≤，4n，>4.
人教版高中数学必修五同课异构课件：2.3 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和
即Sn=a+n an-1+an-+2 …+a3+ a2 +a1,
+得： 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1).
由等差数列的性质：当m+n=p+q时，am+an=ap+aq 知： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1，所以式可化为： 2Sn=(a1+an)+(a1+an)+ … +(a1+an) = n(a1+an).
项和的公式吗？
分析：将已知条件代入等差数列前n项和的公式后，可
得到两个关于 a与1 d的二元一次方程，由此可以求得 a1
与d，从而得到所求前n项和的公式.
解：由题意知S10 = 310，S20 = 1 220,
将它们代入公式Sn
=
na1
+
n（n - 1）d， 2
得到1200aa11
+ +
45d = 310， 190d = 1 220.
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影 响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑 会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常 宝贵的，不要全部用来玩手机哦~
2.3.2等差数列的前n项和的性质
性质1
若数列an 是公差为d的等差数列，
2
则s n，s 2 n - s n，s3n - s 2 n ...是公差为n d的等差数列
c
（2）一个等差数列的前10项和为50，后10项和为60，则其前n 项和为 .
性质2
若数列a n 是公差为d的等差数列 s奇 s偶 s n 当项数为偶数时， n 2m时 s奇 am s 偶 - s 奇 md s 偶 am 1
性质3
当项数为奇数时， n 2m - 1时 s偶 （m 1）am s 奇 mam s奇 m s偶 m 1
s 偶 s 奇 sn (2m - 1)am
性质4
a n 和bn 的前n项和分别为Sn , Tn 若等差数列
S2 n1 an 则 T2 n1 bn
第二章 数列
2.3 等差数列前n项和的性质
知识回顾:
知识点 1 ：a n与sn的关系
a n 一般地，我们称 a1 a2 a3 ... an为数列
的前n项的和sn即有sn a1 a2 a3 ... an
s1 , n 1 注意：an sn sn 1 , n 1
二.等差数列的前n项和公式:
n(a1 an ) n(n 1) sn na1 d 2 2
注. 数列an 的前n项和s n pn qn( p, q是常数）
2
d 数列an 是等差数列，且 p 2
三.等差数列的前n项和的性质:
n(a1 an ) n(n 1) sn na1 d 2 2
性质5
a n 的前n项和分别为Sn 若等差数列
Sn 则 也是等差数列 n
n(a1 an ) 1.等差数列的前项和公式1：S n 2
2.3等差数列的前n项和第一课时
解法3： 解法 ：
设：∵S= 1+2+···+99+100 ,
S=100+99+···+2+1 , ∴2S=(1+100)+(2+99)+ ···+(99+2)+(100+1) =100× =100×101 s=100× s=100×(1+100)/2 ∴S=5050 .
算术法
解法1与解法2 解法1与解法2的比较
课
题
等差数列的前n 等差数列的前n项和 第一课时
三门中学
辛颖
2007 03 19
星期一
问题1 问题1
1+2+3+4+5+···+100=？
解法1: 解法1:
∵1+100=101， 2+99=101， 3+98=101 ， 4+97=101， ··· ， ··· ， 49+52=101，50+51=101. ∴1+2+3+4+5+···+100 =50×101 =5050.
公式的应用
例1.求和： 1.求和： 求和 （1） 101 + 100 + 99 + 98 + 97 + ⋯ + 64 ； （2） 2 + 4 + 6 + 8 + ⋯ + (2n + 4)（结果用
n表示） 表示）
中前多少项的和是9900 9900？ 例2.等差数列 2, 4, 6,⋯ 中前多少项的和是9900？ 2.等差数列
高斯 德国著名数学家高斯 （Carl Friedrich Causs 1777年~1855 年 ），10岁时曾很快 年）， 岁时曾很快 求出它的结果！ 求出它的结果！
第二章 2.3 第1课时 等差数列的前n项和(优秀经典公开课比赛课件)
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2.3 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和
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内容标准
1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路． 2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an， Sn的关系，能够由其中三个求另外两个． 3.能用an与Sn的关系求an.
学科素养
发展逻辑推理 提升数学运算 应用数学建模
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01 课前 自主预习 02 课堂 合作探究 03 课后 讨论探究 04 课时 跟踪训练
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[基础认识] 知识点一 等差数列前 n 项和公式 阅读教材P42－43，思考并完成以下问题 (1)高斯求和的故事我们一定耳熟能详，高斯是怎样求出 1＋2＋3＋…＋100 的结果的 呢？
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法二：设等差数列{an}的公差为 d， ∵3S3＝S2＋S4，∴3S3＝S3－a3＋S3＋a4， ∴S3＝a4－a3，∴3a1＋3×2 2d＝d， ∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选 B.
[答案] B
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提示：高斯用 1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50 迅速求 出了等差数列前 100 项的和． 高斯的算法妙在“等和性” 1＋2＋3＋4＋…＋98＋99＋100 与 100＋99＋98＋…＋3＋2＋1 相等，对应项相加也相 等．
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[例 1] (1)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 3S3＝S2＋S4，a1＝2，则 a5＝( )
高二数学等差数列的前n项和2
主讲老师：
复习引入
等差数列的前n项和公式：
复习引入
等差数列的前n项和公式：
Sn
n(a1 2
an )
复习引入
等差数列的前n项和公式：
Sn
n(a1 2
an )
n(n 1)d
Sn na1
2
练习
在等差数列{an}中， 若a1＋a2＋…＋a5＝30，
(1) 满足an＞0，且an＋1＜0的n值；
(2) 由
Sn
na1
n(n 1) 2
d
d 2
n2
(a1
d )n, 2
利用二次函数的性质求n的值.
(3) 利用等差数列的性质求．
湖南省长沙市一中卫星远程学校
课后作业
1. 阅读教材P.42到P.44； 2. 《习案》作业十四.
湖南省长沙市一中卫星远程学校
这个数列一定是等差数列. 首项a1＝p＋q 公差d＝2p
结论:
n(n 1)d
Sn na1
2
可化成
Sn
d 2
n2
(a1
d 2
)n
当d≠0时，是一个常数项为零的二次式.
讲解范例:
例2. 已知数列{an}是等差数列，a1＝50， d＝－0.6. (1)从第几项开始有an＜0； (1)求此数列的前n项和的最大值.
Sn
1 4
n2
2 3
n
3,
求该数列的通项公式.
这个数列是等差数列吗?
探究:
一般地，如果一个数列{an}的前n项 和为Sn＝pn2＋qn＋r，其中p、q、r为常 数，且p≠0，那么这个数列一定是等差 数列吗?如果是，它的首项与公差分别 是多少?
2.3等差数列前n项和公式(2课时)
等差数列的前 n 项和 Sn 的主要性质
①Sn=
n a1 an 2
=
n am an m 1 2
.
②项的个数的“奇偶”性质:等差数列{an}中,公差为d. （1）若共有2n项,则S2n=n(an+an+1);S偶-S奇=nd; S偶∶S奇=an+1∶an. （2）若共有2n+1项,则S2n+1=(2n+1)an+1;S偶-S奇=-an+1; S偶∶S奇=n∶(n+1). ③和的比值与项的比值间的性质:设Sn,Tn分别为等差数列{an}, {bn}的前n项和,则an∶bn=S2n-1∶T2n-1. ④“片断和”性质:等差数列{an}中,公差为d,前k项的和为Sk,则 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Smk-S(m-1)k,…构成公差为k2d的等差数列.
两个等差数列的求和公式及通项公 式，一共涉及到4个量，知三求一。
练习:等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=4, S3=9,则S4等于( A ) (A)14 (B)19 (C)28 (D)60
二、等差数列前n项和的最值问题
【思考】 1.等差数列{an}的前n项和公式一定是关于n的二次函 数吗?
2.3等差数列前n项和 (第一课时）
北师大平果附属学校
复习回顾
a 1.等差数列的定义：
* a d ( n N ) n 1 n
或 a n a n 1 d ( n N * 且 n 2 )
2.等差数列通项公式: an a1 (n 1)d 3.等差数列性质： （1） {an}为等差数列 an+1- an=d an+1=an+d an= a1+(n-1) d an= kn + b （k、b为常数）
高中数学：第二章 2.3 等差数列的前n项和
等差数列的前n项和(1)数列前n项和的定义是什么？通常用什么符号表示？(2)能否根据首项、末项与项数求出等差数列的前n项和？(3)能否根据首项、公差与项数求出等差数列的前n项和？[新知初探]1．数列的前n项和对于数列{a n}，一般地称a1＋a2＋…＋a n为数列{a n}的前n项和，用S n表示，即S n＝a1＋a2＋…＋a n.2．等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式S n＝n(a1＋a n)2S n＝na1＋n(n－1)2d[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项a n所有项的和()(2)a n＝S n－S n－1(n≥2)化简后关于n与a n的函数式即为数列{a n}的通项公式()(3)在等差数列{a n}中，当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝a n＋1()解析：(1)正确．由前n项和的定义可知正确．(2)错误．例如数列{a n}中，S n＝n2＋2.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.又∵a1＝S1＝3，∴a1不满足a n＝S n－S n－1＝2n－1，故命题错误．(3)错误．当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝nd.★答案★：(1)√(2)×(3)×预习课本P42～45，思考并完成以下问题2．等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝1，则S n 等于( ) A ．n B ．n (n ＋1) C ．n (n －1)D.n (n ＋1)2解析：选D 因为a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n ＋n (n －1)2×1＝2n ＋n 2－n 2＝n 2＋n 2＝n (n ＋1)2，故选D.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6等于( )A ．16B ．24C ．36D ．48解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ， 由已知得4a 1＋4×32d ＝20， 即4×12＋4×32d ＝20，解得d ＝3，∴S 6＝6×12＋6×52×3＝3＋45＝48.4．在等差数列{a n }中，S 4＝2，S 8＝6，则S 12＝________.解析：由等差数列的性质，S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列，所以2(S 8－S 4)＝S 4＋(S 12－S 8)，S 12＝3(S 8－S 4)＝12.★答案★：12等差数列的前n 项和的有关计算[典例] 已知等差数列{a n }．(1)a 1＝56，a 15＝－32，S n ＝－5，求d 和n ；(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .[解] (1)∵a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.又S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－5， 解得n ＝15或n ＝－4(舍)．(2)由已知，得S8＝8(a1＋a8)2＝8(4＋a8)2＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，a n和S n，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q，常与求和公式S n＝n(a1＋a n)2结合使用．[活学活用]设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a8＝11，则S9等于() A．13B．35C．49 D．63解析：选D∵{a n}为等差数列，∴a1＋a9＝a2＋a8，∴S9＝9(a2＋a8)2＝9×142＝63.已知S n求a n问题[典例]已知数列{a n}的前n项和S n＝－2n2＋n＋2.(1)求{a n}的通项公式；(2)判断{a n}是否为等差数列？[解](1)∵S n＝－2n2＋n＋2，∴当n≥2时，S n－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2＝－2n2＋5n－1，∴a n＝S n－S n－1＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)＝－4n ＋3.又a 1＝S 1＝1，不满足a n ＝－4n ＋3，∴数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－4n ＋3，n ≥2.(2)由(1)知，当n ≥2时，a n ＋1－a n ＝[－4(n ＋1)＋3]－(－4n ＋3)＝－4， 但a 2－a 1＝－5－1＝－6≠－4，∴{a n }不满足等差数列的定义，{a n }不是等差数列．(1)已知S n 求a n ，其方法是a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，这里常常因为忽略条件“n ≥2”而出错． (2)在书写{a n }的通项公式时，务必验证n ＝1是否满足a n (n ≥2)的情形．如果不满足，则通项公式只能用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2表示．[活学活用]1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝－n 2，则( ) A ．a n ＝2n ＋1 B ．a n ＝－2n ＋1 C ．a n ＝－2n －1D ．a n ＝2n －1解析：选B 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－n 2＋(n －1)2＝－2n ＋1，此时满足a 1＝－1.综上可知a n ＝－2n ＋1.2．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，根据条件求a n . (1)S n ＝2n 2＋3n ＋2； (2)S n ＝3n －1.解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝7，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n ＋2)－[2(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝4n ＋1，又a 1＝7不适合上式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7，n ＝1，4n ＋1，n ≥2.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －1)－(3n －1－1)＝2×3n －1，显然a 1适合上式， 所以a n ＝2×3n －1(n ∈N *).等差数列的前n 项和性质[典例] (1)等差数列前n 项的和为30，前2n 项的和为100，则它的前3n 项的和为( ) A ．130 B ．170 C ．210D ．260(2)等差数列{a n }共有2n ＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n 等于________．(3)已知{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝2n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________.[解析] (1)利用等差数列的性质： S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列． 所以S n ＋(S 3n －S 2n )＝2(S 2n －S n )， 即30＋(S 3n －100)＝2(100－30)， 解得S 3n ＝210.(2)因为等差数列共有2n ＋1项，所以S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1，即132－120＝132＋1202n ＋1，解得n ＝10.(3)由等差数列的性质，知a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝a 1＋a 92×9b 1＋b 92×9＝S 9T 9＝2×9＋29＋3＝53. [★答案★] (1)C (2)10 (3)53等差数列的前n 项和常用的性质(1)等差数列的依次k 项之和，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k …组成公差为k 2d 的等差数列．(2)数列{a n }是等差数列⇔S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)⇔数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列．(3)若S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，公差为d ， ①当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1；②当项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝n n －1. [活学活用]1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝( ) A ．18B ．17C ．16D ．15解析：选A 设{a n }的公差为d ，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝S 8－S 4＝12，(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)－S 4＝16d ，解得d ＝14，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝S 4＋40d ＝18.2．等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．解析：因为a n ＝2n ＋1，所以a 1＝3， 所以S n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n 2＋2n ， 所以S nn＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋10×92×1＝75.★答案★：75等差数列的前n 项和最值问题[典例] 在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，求前n 项和S n 的最大值． [解] 由S 17＝S 9，得 25×17＋17×(17－1)2d ＝25×9＋9×(9－1)2d ， 解得d ＝－2， [法一 公式法] S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－(n －13)2＋169. 由二次函数性质得，当n ＝13时，S n 有最大值169. [法二 邻项变号法]∵a 1＝25＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2(n －1)≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0，得⎩⎨⎧n ≤1312，n ≥1212，即1212≤n ≤1312.又n ∈N *，∴当n ＝13时，S n 有最大值169.求等差数列的前n 项和S n 的最值的解题策略(1)将S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2n 配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决．(2)邻项变号法：当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0的项数n 使S n 取最大值．当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0的项数n 使S n 取最小值．[活学活用]已知{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝( )A ．11B ．17C ．19D ．21解析：选C ∵S n 有最大值，∴d <0，则a 10>a 11，又a 11a 10<－1，∴a 11<0<a 10，a 10＋a 11<0，S 20＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)<0，S 19＝19a 10>0，∴S 19为最小正值．故选C.层级一 学业水平达标1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n ，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．－32n 2＋n 2B ．－32n 2－n 2C.32n 2＋n 2D.32n 2－n 2解析：选A ∵a n ＝2－3n ，∴a 1＝2－3＝－1，∴S n ＝n (－1＋2－3n )2＝－32n 2＋n 2.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7>0，a 8<0，则下列结论正确的是( ) A ．S 7<S 8 B ．S 15<S 16 C ．S 13>0D ．S 15>0解析：选C 由等差数列的性质及求和公式得，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7>0，S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8<0，故选C.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36D ．27解析：选B ∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列，所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n,7a 5＋5a 9＝0，且a 9>a 5，则S n 取得最小值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 由7a 5＋5a 9＝0，得a 1d ＝－173.又a 9>a 5，所以d >0，a 1<0.因为函数y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 的图象的对称轴为x ＝12－a 1d ＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故S n 取得最小值时n 的值为6.5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2D.12解析：选A S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝9×2a 55×2a 3＝9a 55a 3＝95×59＝1. 6．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为________． 解析：数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A (n －1)2－B (n －1)＝2An ＋B －A ，当n ＝1时满足，所以d ＝2A .★答案★：2A7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m ＝－2，S m ＋1＝0，S m ＋2＝3，则m ＝________.解析：因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，所以S m m ＋S m ＋2m ＋2＝2S m ＋1m ＋1，即－2m ＋3m ＋2＝0，解得m ＝4. ★答案★：48．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．解析：设等差数列{a n }的项数为2n ＋1， S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1 ＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2＝na n ＋1， 所以S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，所以项数2n ＋1＝7，S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项． ★答案★：11 79．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求数列{a n }的通项公式． 解：由已知条件，可得S n ＋1＝2n ＋1， 则S n ＝2n ＋1－1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n ， 又当n ＝1时，3≠21，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.10．在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项的和，已知a 1＋a 3＝22，S 5＝45. (1)求a n ，S n ；(2)设数列{S n }中最大项为S k ，求k .解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2＝22，5a 3＝45， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 3＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，d ＝－2，所以a n ＝－2n ＋15，S n ＝－n 2＋14n .(2)由a n ≥0可得n ≤7，所以S 7最大，k ＝7.层级二 应试能力达标1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( ) A ．12 B ．14 C ．16D ．18解析：选B 因为S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n (a 1＋a n )2＝210，得n ＝14.2．在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，则正整数k 为( ) A ．2 014 B ．2 015 C ．2 016D ．2 017解析：选C 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，可得2 011＋2 0142＝2 009＋k 2，解得k ＝2 016.故选C.3．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 1<0,2S 21＋S 25＝0，则S n 取最小值时，n 的值为( )A ．11B ．12C ．13D ．14解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，由2S 21＋S 25＝0得，67a 1＋720d ＝0，又d >0，∴67a 11＝67(a 1＋10d )＝67a 1＋670d <0,67a 12＝67(a 1＋11d )＝67a 1＋737d >0，即a 11<0，a 12>0.故选A.4．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D ∵a nb n ＝a 1＋a 2n －12b 1＋b 2n －12＝a 1＋a 2n －12(2n －1)b 1＋b 2n －12(2n －1)＝A 2n －1B 2n －1＝7(2n －1)＋452n －1＋3＝14n ＋382n ＋2＝7＋12n ＋1，∴当n 取1,2,3,5,11时，符合条件，∴符合条件的n 的个数是5. 5．若数列{a n }是等差数列，首项a 1<0，a 203＋a 204>0，a 203·a 204<0，则使前n 项和S n <0的最大自然数n 是________．解析：由a 203＋a 204>0⇒a 1＋a 406>0⇒S 406>0，又由a 1<0且a 203·a 204<0，知a 203<0，a 204>0，所以公差d >0，则数列{a n }的前203项都是负数，那么2a 203＝a 1＋a 405<0，所以S 405<0，所以使前n 项和S n <0的最大自然数n ＝405.★答案★：4056．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≤4，S 5≥15，则a 4的最小值为________． 解析：S 4＝2(a 1＋a 4)≤4⇒2a 3－d ≤2，S 5＝5a 3≥15⇒a 3≥3.因为2a 3－d ≤2，所以d －2a 3≥－2，又因为a 3≥3，所以2a 3≥6，所以d ≥4，所以a 4＝a 3＋d ≥7，所以a 4的最小值为7.★答案★：77．已知等差数列{a n }的公差d >0，前n 项和为S n ，且a 2a 3＝45，S 4＝28. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝S n n ＋c (c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，求c 的值． 解：(1)∵S 4＝28，∴(a 1＋a 4)×42＝28，a 1＋a 4＝14，a 2＋a 3＝14， 又a 2a 3＝45，公差d >0，∴a 2<a 3，∴a 2＝5，a 3＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)，知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c ， ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. 又{b n }也是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2，即2×62＋c ＝11＋c ＋153＋c， 解得c ＝－12(c ＝0舍去)．8．在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22.(1)数列{a n }前多少项和最大？(2)求{|a n |}的前n 项和S n .解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝23，a 1＋24d ＝－22，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝50，d ＝－3， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53.令a n >0，得n <533， ∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0；当n ≥18，n ∈N *时，a n <0，∴{a n }的前17项和最大．(2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－32n 2＋1032n . 当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2⎝⎛⎭⎫－32×172＋1032×17－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋1032n ＝32n 2－1032n ＋884. ∴S n＝⎩⎨⎧－32n 2＋1032n ，n ≤17，n ∈N *，32n 2－1032n ＋884，n ≥18，n ∈N *.。