微分方程选择题及答案
选择题（50）
（1）知识、概念层次，难度等级1
1、 下列四个微分方程中，为三阶方程的有（）个.
（1）43
322320d y d y y dx dx ????++= ? ?????
（2）3
36x dy dy x y e dx dx ??++= ?
?? （3）1
3
2
3y
d y y
e dx ??+= ???
（4）3
3sin d y
dx dy e y dx +=
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 答案： C
难度等级1 知识点：常微分方程的阶的定义
分析：根据微分方程的阶的定义，微分方程的阶是指方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，因此，（1），（3），（4）均是三阶微分方程，故应选（C ） 2、 函数（）是微分方程42y y x '=-的通解. （）
(A)
1
12
y x =+ (B) 2
x y Ce = （C ）
2
12
1
2
x y C e x C =++ (D)
2
1
12
x y Ce x =++
答案 D
难度等级1 知识点：常微分方程通解的定义
分析：判断一个函数是否是微分方程的通解，首先是函数代入方程能使方程变为恒等式，其次函数中所含任意常数的个数应与方程的阶数一致，选项（A ）中不含任意常数，是方程的特解，选项（C ）中任意常数的个数多于一个，因此不能选，（B ）不满足方程，故应选（D ）
3、 下列等式中（）是线性微分方程.
(A) 22y x y '=+ (C) 2x y y e ''+= (B)
20y x ''+= (D) 2y y xy '-=
答案： B
难度等级1 知识点：线性常微分方程的定义 分析：线性常微分方程是指方程中所含未知函数及其各阶导数均是一次有理整式，因为(A),(C),(D)选项中出现了非线性项2
y ,故应选（B ）
4、 微分方程(1)2(1)(2)(1)
n n x
x n n n x n n d y d y dy e e e e y e dx dx dx
-++-++++=L 是（）.
（A ）n 阶常系数非齐次线性常微分方程 （B ）n 阶常系数齐次线性常微分方程
（C ）n 阶变系数非齐次线性常微分方程 （D ）n 阶常变系数齐次线性常微分方程 答案： C
难度等级1 知识点：齐次线性常微分方程的定义
分析：所给方程中所含未知函数及其各阶导数均是一次有理整式，故应为线性常微分方程，又因为其系数是变量x 的函数，故应是变系数，并且有自由项(2)n x e +,因此是非齐次方程，故应选（C ） 5、 微分方程633x
y dy
e e y x y dx
=+- 的一个解为（ ）. （A ）6y = （B ）6y x =- （C ）y x =- （D ）y x = 答案： D
难度等级1 知识点：常微分方程解的定义 分析：将（A ），（B ），（C ），（D ）所给函数代入所给方程，易知只有y x =满足方程，故应选（D ）
6、 下列函数组（）在其定义区间内是线性相关（）.
(A)
2
,x x (B) ln(),ln()x x x （C) cos(2),sin(2)x x (D)
sin(2),cos()sin()x x x
答案： D
难度等级1 知识点：函数组的线性相关与线性无关 分析：由函数组线性相关与无关的判定，（A ），（B ），（C ）中所给的两个函数的比值不为常数，而
sin 22sin cos x
x x
= ，因此应选（D ）
7、 下列（ ）不是全微分方程.
(A)
32
(3)0ydx x x
y dy +-= (C) 3()()0x y dx x y dy ++-=
(B)
2210xy y x
dx dy y y
+-+= (D) 0ydx xdy += 答案： A
难度等级1 知识点：全微分方程的判定
分析：微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy += 是全微分方程的充要条件是
M N y x ??=?? ，因此（B ），（C ），（D ）均满足此条件，而22119M N
x y y x
??=≠-=?? ，因此应选（A ）
8、 方程2
2
()0ydx x y x dy -++= 的积分因子为（ ）.
（A ）2
1
()x x
μ=
（B ）21()y y μ= （C ）221(,)x y x y μ=+ （D ）1
(,)x y x y
μ=
+ 答案： C
难度等级1 知识点：积分因子的定义
分析：微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy += 不是全微分方程时，若存在二元函数(,)x y μ ,使得(,)[(,)(,)]0x y M x y dx N x y dy μ+=是全微分方程，则称(,)x y μ为方程的积分因子，因此代入(A),（B ），（D ）所给函数均不满足条件，因此应选（C ）
9、 下列方程中，既是齐次方程又是线性方程的是（）
（A ）sin dy y dx x = (B) 1dy y dx x x =+ (C) 2
dy y y
dx x x ??=+ ??? (D)
1dy y dx x
=+ 答案： D
难度等级1 知识点：齐次方程与线性方程的判定
分析：由题意只有(B),(D)是线性微分方程，而（B ）不是齐次方程，因此应选（D ）
10、 试指出下列哪个（）函数是二阶微分方程
20,(0)y y ωω''+=>的通解.(式中
12,C C 为任意常数).
(A) 1cos 2sin y C x x ωω=+ (C) 12cos sin y C x C x ωω=+ (B)
11cos 2sin y C x C x ωω=+ (D) 212cos sin y C x C x ωω=+
答案： C
难度等级1 知识点：二阶齐次线性常微分方程通解的定义
分析：方程是二阶常系数齐次线性微分方程，其通解中应含有两个独立常数，
故(A),(B)不符合要求，（D ）中虽有两个独立常数，但2
10C > 不是任意常数，故应选
（C ）
11、 若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为
12x x y C e C e -=+,其中12,C C 为
独立的任意常数，则该方程为（）. (A)
x
y y e ''-= (B)
20y y ''-=
（C)
0y y ''+=
(D)
0y y ''-=
答案： D
难度等级1 知识点：二阶齐次常系数线性常微分方程 分析：由通解中的两个独立解,x
x
e e
- 知，方程对应的特征方程的特征根为
121,1λλ==- ，因此对应的特征方程是2(1)(1)10λλλ-+=-= ，因此对应的微
分方程应是0y y ''-=，故应选（D ）
12、 若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为
12()x y C C x e =+,其中12,C C 为
独立的任意常数，则该方程为（）. (A) 20y y y '''--= (C) 20y y y '''-+=
(B)
210y y '''+=+ (D) 210y y '''-+=
答案： D
难度等级1 二阶齐次常系数线性常微分方程
分析：由通解中的两个独立解,x x
e xe 知，方程对应的特征方程的特征根为
121λλ== ，因此对应的特征方程是22
(1)210λλλ-=-+= ，因此对应的微分方
程应是210y y '''-+=，故应选（D ）
13、 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为2
123y C C x C x =++,其中
123,,C C C 为独立的任意常数，则该方程为（）.
(A)
0y y '''+= (B) 30y y '''+'= （C)0y y '''-= (D) 0y '''=
答案： D
难度等级1 知识点：三阶齐次常系数线性常微分方程
分析：由通解中的三个独立解2
1,,x x 知，方程对应的特征方程的特征根为
1230λλλ=== ，因此对应的特征方程是30λ= ，因此对应的微分方程应是
0y '''=，故应选（D ）
14、 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为123x
y C C x C e =++,其中
123,,C C C 为独立的任意常数，则该方程为（）.
(A)
0y y '''-= (C) 10y y y ''''''--=+
(B)
0y y ''''-= (D) 0y y '''''-=
答案： D
难度等级1 知识点：三阶齐次常系数线性常微分方程
分析：由通解中的三个独立解1,,x
x e 知，方程对应的特征方程的特征根为
1230,1λλλ=== ，因此对应的特征方程是232
(1)0λλλλ-=-= ，因此对应的微
分方程应是0y y '''''-=，故应选（D ） 15、 可用变换（ ）将伯努利方程
33dy
x y y dx
=+ 化为线性方程. （A ）1
z y -= （B ）2
z y -= （C ）3
z y -= (D) 4
z y -= 答案： B
难度等级1 知识点：一阶线性常微分方程、伯努利方程
分析：在原方程的两边同除以3
y ,得3
231dy
y y x dx
--=+,因此要使方程为线性，只需令2
z y -=,则32dz dy y dx dx -=- ，原方程则化为3112dz zx dx
-=+，
这是线性方程，故应选（B ）
16、 微分方程ln (ln )0y ydx x y dy +-= 是（ ）.
(A) 可分离变量方程 （B ）线性方程 （C ）全微分方程 （D ）贝努利
方程 答案： B
难度等级1 知识点：一阶常微分方程类型的判定 分析：将方程改写为
ln ln dy y y
dx y x
=
-,因此不是可分离变量方程，也不是贝努利方程，又由(,)ln ,(,)ln M x y y y N x y x y ==- ,
ln 1,1M N
y y x
??=+=?? 因此不是全微分方程，又将方程改写为
ln 11
ln ln dx y x x dy y y y y y
-==-+因此是线性方程
（将x 看作关于变量y 的函数） ，故应选（B ） 17、 微分方程cos 2y x ''=的通解是（）.
(A) 121sin(2)4y x C x C =++ (C) 121
cos(2)4y x C x C =++
(B)
121sin(2)4y x C x C =-++ (D) 121
cos(2)4
y x C x C =-++
答案： D
难度等级1 知识点：可降阶的高阶常微分方程的求解 分析：将方程连续积分两次，得通解121
cos(2)4
y x C x C =-++，故应选（D ） 18、 微分方程2
1x y '=的通解是（ ）.
(A)
1y C x =
+ (B) 1y C x =+ （C ）1C
y x =-+ (D) 1
y x C =-+
答案： D
难度等级1 知识点：一阶常微分方程的求解 分析：将方程改写为
21dy dx x = 并积分，得通解1
y x
C =-+，故应选（
D ） 19、 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为123cos sin y C C x C x =++,其
中123,,C C C 为独立的任意常数，则该方程为（）. (A)
0y y '''''=- (B) 0y y -''''= （C)0y y '''''+= (D) 0y y ''''+=
答案： D
难度等级1 知识点：三阶齐次常系数线性常微分方程
分析：由通解中的三个独立解1,cos ,sin x x 知，方程对应的特征方程的特征根为12,30,i λλ==± ，因此对应的特征方程是2
(1)0λλ+= ，因此对应的微分方程应是0y y ''''+=，故应选（D ）
20、 若6y x = 是微分方程2
2(1)6y x y xy x '''''+++= 的唯一解，则初始条件应该是
（）
（A ）(1)6,(1)6,(1)0y y y '''=== （B ）(1)6,(1)0,(1)6y y y '''=== （C ）(1)6,(1)6,(1)6y y y '''=== （D ）(1)0,(1)6,(1)0y y y '''=== 答案： A
难度等级1 知识点：常微分方程的定解条件
分析：由6y x =是方程原唯一解，应该满足初始条件，故有
(1)6,(1)6,(1)0y y y '''===,故应选（A ）
（2）知识简单应用层次，难度等级2
21、 微分方程x
y y e '''-=的通解是（ ）.
(A) 122
x x x
y C C e e =++ (C) 121x x y C e C xe =++
(B)
12x x y C C e e x x =++ (D) 12x x y C C e xe =++
答案： D
难度等级2 知识点：二阶非齐次常系数线性常微分方程
分析：方程为二阶非齐次常系数线性方程，对应的齐次方程为0y y '''-=，故其特征方程为2
(1)0λλλλ-=-= ，特征根为120,1λλ== ，因此齐次方程的通解应为12x
y C C e =+ ，因此应在(A),(D)中选择，又因函数2
x
x y e *=
不满足方程，故应选（D ）
22、 若1()y x ?= , 2()y x ?=是一阶非齐次线性微分方程的两个不同特解，则该方
程的通解为（）。
（A ）12()()x x ??- （B ）12()()x x ??+ （C ）121(()())()C x x x ???-+ （D ）
12()()C x x ??+
答案： C
难度等级2 知识点：一阶非齐次常系数线性常微分方程
分析：由一阶非齐次线性微分方程通解的结构知，其通解应是对应的齐次方程的通解与原各的一个特解之和，而 12??- 是齐次方程的解，因此齐次方程的通解应为12()y C ??=-，因此非齐次方程的通解应是121()y C ???=-+或
122()y C ???=-+，故应选（C ）
23、 一曲线过原点，其上任一点(,)x y 处的切线斜率为2x y +,则曲线方程是（）.
(A) 222x y x e =++ (C) 222x y x e =-+ (B)
1x y x e =-+ (D) 222x y x e =--+
答案： D
难度等级2 知识点：一阶非齐次常系数线性常微分方程 分析：由题意知，曲线方程()y y x = 应满足
2dy
y x dx
=+ 及初始条件(0)0y = ，这是一阶非齐次线性微分方程，直接由通解公式可得222x
y x e =--+，故应选（D ）
24、 若方程2
3
2
()()0x xy dx f x y dy ++= 是全微分方程，则()f x = ( ).
(A) 3x （B ）32x （C ）
232x （D ）33
2
x 答案： C
难度等级2 知识点：全微分方程
分析：微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy += 是全微分方程时，需满足
M N y x ??=?? ，故由232
(,),(,)()M x y x xy N x y f x y =+= ，可得22()3df x y xy dx
= ，即
()3df x x dx =，因此可取23
()2
f x x =，故应选（C ） 25、 微分方程2
2x
y y '''=的通解是（）.
(A)
122
1ln(1)C x y x C C -=--
+ (C) 1211
ln(1)
C x x y C C C -=--+ (B)
12211ln(1)C x x y C C C -=
-+ (D) 122
11ln(1)C x x y C C C -=--+ 答案： D
难度等级2 知识点：可降阶的高阶常微分方程
分析：方程为二阶非线性方程，令u y '= ，则方程降为一阶方程22x u u '= ，这是变量可分离方程，分离变量得22
du dx u x = ，积分得111
C u x
=+ ，将u y '=代入并积分可得12211
ln(1)
C x x y C C C -=-
-+，故应选（D ） 26、 微分方程2y y x '''-=的通解是（）.
(A)
221214x y x C e C x =-
+- (C) 221211
44x y x e C x C +=-++ (B) 21221144x y x e C C x =+-+ (D) 221211
44
x y x e C x C =-+-+
答案： D
难度等级2 知识点：二阶非齐次常系数线性常微分方程
分析：方程为二阶非齐次常系数线性方程，对应的齐次方程为20y y '''-=，故其特征方程为2
2(2)0λλλλ-=-= ，特征根为120,2λλ== ，因此齐次方程
的通解应为212x
y C C e =+ ，因此应在(B),（C ），(D)中选择，又因函数
211
44
y x x *=-- 满足方程，故应选（D ）
27、 微分方程xy y '''''=
的通解是（ ）
(A) 331y x C x C =++ (C) 32231y C x C x C x =++ (B)
2231y C x C x C =++ (D) 3231y C x C x C =++
答案： D
难度等级2 知识点：可降阶的高阶常微分方程
分析：方程为三阶微分方程，令u y ''= ，则方程降为一阶方程xu u '= ，这是变量可分离方程，分离变量得
du dx
u x
=
，积分得u Cx = ，将u y ''=代入并积分可得3
316C y x C x C =
++，令26
C C =，则可得3231y C x C x C =++，故应选（
D ） 28、 微分方程y y '''''=
的通解是（ ）
(A) 123x y C C x x C e =++ (C) 231x y C x C e =++ (B)
2123x y C C x C e =++ (D) 123x y C C x C e =++
答案： D
难度等级2 知识点：可降阶的高阶常微分方程
分析：方程为三阶微分方程，令u y ''= ，则方程降为一阶方程u u '= ，这是一阶齐次线性微分方程，积分得3x
u C e = ，将u y ''=代入并积分可得
123x y C C x C e =++，故应选（D ）
29、 微分方程2
2()yy y '''= 的通解为（）.
(A) 2
()y x C =- (C) 22
12(1)(1)y C x C x =-++
(B) 212()y C x C =+- (D) 2
12()y C x C =-
答案： D
难度等级2 知识点：可降阶的高阶常微分方程
分析：方程是不显含自变量x 的方程，令dy
u dx
=
，则22
()d y d du dy du
u u dx dx dy dx dy ===g g ，则方程降为一阶方程22du yu u dy
= ，即有12du u dy y
=，这是一阶齐次线性微分方程，积分得12u Cy = ，将u y '=代入并积分可
得2
12()y C x C =-，故应选（D ）
30、 微分方程2y
xdy ydx y e dy -= 的通解为（）.
(A) ()x
y x e C =+ (B) ()y
x y e C =+ (C) ()x
y x C e =- (D)
()y x y C e =-
答案： D
难度等级2 知识点：全微分方程 分析：因2
x xdy ydx d y y ??--
= ???
，故在方程两端同除以2
y ，则方程变为2y
xdy ydx e dy y -= ，这是全微分方程，即有2
y y x xdy ydx d e dy de y y ??--=== ???，即0y x d e y ??+= ??
?，故方程的通解为y x
e C y +=，故应选（D ）
31、 微分方程4816(1)x
y y y x e '''-+=-用待定系数法确定的特解(系数值不求)形式
是（）. (A) 24()x y x Ax Bx C e =++ (C) 4()x y Ax B x e =+ (B)
24()x y x Ax B e =+ (D) 24()x y x Ax B e =+
答案： D
难度等级2 知识点：二阶常系数非齐次线性微分方程 分析：原方程所对应的齐次方程为
1086y y y '''-+=，其特征方程为
22816(04)λλλ-+=-= ，其特征根为4λ=（二重根），而1x -是一次多项式，
故方程的特解为2
4()x y x
Ax B e =+，故应选（D ）
32、 微分方程2
7(1)y y x '''-=-用待定系数法确定的特解(系数值不求)形式是（）.
(A) 2()y x Ax B =+ (C) 27()x y x Ax Bx C e =++ (B)
27()x y Ax Bx C e =++ (D) 2()y x Ax Bx C =++
答案： D
难度等级2 知识点：二阶常系数非齐次线性微分方程 分析：原方程所对应的齐次方程为
70
y y '''-=，其特征方程为
27(7)0λλλλ-=-= ，其特征根为120,7λλ==，而220(1)(1)x x x e ?-=-，故方
程的特解为2()y x Ax Bx C =
++，故应选（D ）
33、 微分方程3y y
''+=用待定系数法确定的特解(系数值不求)形式是（）.
(A) 2()))y x A B =+
(B) ))y A B =+
(C) ()))y A B =+
(D)
()))y x A B =+
答案： D
难度等级2 知识点：二阶常系数非齐次线性微分方程 分析：原方程所对应的齐次方程为30y y ''+=，其特征方程为2
30λ
+= ，其
特征根为1,2λ=，而非齐次项为)，故方程的特解为
()))y x A B =+，故应选（D ）
34、 微分方程2sin2y y x ''+=的一个特解为（）.
(A)
1sin()sin(2)3y x x =- (C) 2
cos(2)3y x =-
(B) 1cos()sin(2)3y x x =- (D) 2
sin(2)3
y x =-
答案： D
难度等级2 知识点：二阶常系数非齐次线性微分方程
分析：方程的非齐次项为2sin(2)x ，故方程的特解可设为sin(2)y A x =，故
应选（D ）
35、 微分方程21y y y ''-+=的通解为（D ）.
(A) 12x x y C xe C e =+ (C) 12x x y C xe C e =++ (B)
121x y C x C e =++ (D) 121x x y C xe C e =++
答案： D
难度等级2 知识点：二阶常系数非齐次线性微分方程 分析：原方程所对应的齐次方程为
20y y y '''-+=，其特征方程为
2102λλ-+= ，其特征根为1,21λ=（二重根），因此齐次方程的通解为
12()x y C C x e =+ ，而非齐次项为1，故方程的特解形式为y A =（常数），故应选（D ）
36、 微分方程1y y ''-=的一条过原点且在该点与直线y x =相切的积分曲线是（）.
(A) 1x y e -=-- (C) 1x y e =-+ (B)
x y x xe =-+ (D) 1x y e -=-
答案： C
难度等级2 知识点：二阶常系数非齐次线性微分方程
分析：因曲线经过原点且与直线y x =相切于原点，因此有(0)0,(0)1y y '== ，因此只能在（C ），(D)中选择，又因1x
y e -=-不满足方程，因此积分曲线为1x
y e =-+，
故应选（C ）
37、 微分方程0y y '''+=的一条过点(0,2)且在该点与直线2y x =-相切的积分曲
线是（）. (A) 1x y e -=- (C) 13x y e -=-+
(B)
2x y xe -=+ (D) 1x y e -=+
答案： D
难度等级2 知识点：二阶常系数非齐次线性微分方程
分析：因曲线经过点(0,2)且与直线2y x =-相切于点(0,2)，因此有(0)2,(0)1y y '==- ，又原方程为二阶齐次线性微分方程，其特征方程为
2(1)0
λλλλ+=+= ，特征根为
120,1
λλ==- 因此方程的通解为
12x y C C e -=+ ，代入条件(0)2,(0)1y y '==-，得积分曲线为1x y e -=+，故应选
（D ）
38、 微分方程231x y y
e ''-=+的一个特解为（ ）
(A) 313x y e =+ (C) 213x y e =+ (B)
313x
y e =- (D) 213
x y e =- 答案： D
难度等级2 知识点：二阶常系数非齐次线性微分方程
分析：原方程的特解为方程31y y ''-=与方程23x
y y e ''-=的特解之和，而方
程31y y ''-=的特解为11
3
y =-
，而方程23x y y e ''-=的特解为22x y e =， 因此原
方程的特解为2121
3
x y y y e =+=-，故应选（D ）
39、 设
12,y y 是一阶线性非齐次方程()()y p x y q x '+=的两个特解，若常数,λμ使
12y y λμ+是该方程的解，12y y λμ-是该方程对应的齐次方程的解,则（）.
(A)
11,22λμ== (C) 11,22λμ=-=-
(B)
21,33λμ== (D) 22,33
λμ==
答案： A
难度等级2 知识点：一阶非齐次线性微分方程
分析：因12y y λμ+是方程的解，而12y y λμ-是该方程对应的齐次方程，故可
得1λμ+=与 λμ= 解之可得11
,22
λμ==，故应选（A ）
40、 已知函数()y y x =在任意点x 处的增量2
1y x
y x
α??=
++,且(),(0)o x y απ=?=,则(1)y 等于（）. (A)
4e ππ (B) 4e π
（C)π (D) 2π
答案： A
难度等级2 知识点：一阶非齐次线性微分方程
分析：在2
1y x
y x
α??=++两端同除以x ? 并求极限，即有2200lim lim 11x x dy y y y dx x x x x α?→?→?==+=?+?+，故可得初值问题为21dy y
dx x =
+，(0)y π= ，这是一阶线性齐次方程解之可得arctan x
y e
π=，因此4
(1)y e π
π= 故应选（A ）
（3）知识灵活应用层次，难度等级3
41、 设()y x 满足sin ln y x y y '= ,且2y e π??=
??? ,则4y π??
= ???
（ ）.
(A)
2e
(B) 1e - (C) 1 (D) 2e
答案： C
难度等级3 知识点：一阶非齐次线性微分方程
分析：方程
sin ln dy x y y dx =为变量分离方程，分离变量得ln sin dy dx y y x
=，两端积分并代入初始条件得ln csc cot y x x =- ，
因此1
4y π??
= ???
故应选（C ）
42、 微分方程25x
y y e '''-=的一个特解为（ .
(A)
23x y e = (C) 13x y e = （B ）23x y e =- (D) 13
x y e =-
答案： D
难度等级3 知识点：二阶常系数非齐次线性微分方程 分析：方程的非齐次项为x e ，故方程的特解可设为
x y Ae =，代入可得解得
1
3
x y e =-，故应选（D ）
43、 微分方程2
(6)20y x y y '-+= 的通解为（）.
(A) 2
3
20x y Cy -+= (C) 2
3
20y x Cx -+= (B) 2
3
20x Cy y -+= (D) 2
3
20y Cx x -+=
答案： A
难度等级3 知识点：一阶非线性微分方程
分析：方程为一阶非线性方程，原方程两端同乘以y ，得
22(6)20y x yy y '-+=，再令2u y = 则2u yy ''= 代入原方程可得
(6)40u x u u '-+= ，即631
424
dx x u x du u u -==-，解得3
212x u Cu =+，即
2
312
x y Cy =
+，故应选（A ） 44、 微分方程tan dy y y
dx x x
=+ 的通解为（C ）.
（A ）1
sin Cx y x =
（B ）sin y x C x =+ （C ）sin y Cx x = （D ）sin x Cx y = 答案： C
难度等级3 知识点：一阶齐次微分方程 分析：方程为齐次方程，令y
u x
=
则y u xu ''=+ 代入原方程可得tan xu u '= ，解之可得sin
y
Cx x
=，故应选（C ） 45、 可将一阶微分方程6
dy x x y dx y y x ??
=+- ???
化为可分离变量的微分方程的变换为
（）
（A ）6()u x y =+ （B ）6
()u x y =- （C ）y
u x
= （D ）u xy = 答案： C
难度等级3 知识点：一阶齐次微分方程 分析：方程为齐次方程，令y
u x
=
则y u xu ''=+ 代入原方程可得6
11u xu u u u ??
'+=+- ???
，这是变量分离方程，故应选（C ）
46、 设()y f x =是方程240y y y '''-+= 的一个解，若0()0f x >，且0()0f x '=,
则()f x 在0x 处取得（）
(A) 取得极大值 （C ）取得极小值
(B) 在某个邻域内单调增加 （D ）在某个邻域内单调减少 答案： A
难度等级3 知识点：二阶齐次线性微分方程与函数的极值
分析：因为()y f x = 满足方程240y y y '''-+=， 即有
()2()4()f x f x f x '''=-，因此有0000()2()4()4()0f x f x f x f x '''=-=-< ，故应
选（A ）
47、 设123(),(),()y x y x y x 是线性微分方程()()()y P x y Q x y f x '''++= 的三个线
性无关的解，则微分方程的通解是（C ） (A) 12123()()()y x y x Cy x C C ++ (B) 211223()()(()())y x y x y x y x C C -++
(C) 1323312(()())(()())()y x y x y x y x y C x C --++ (D)
12123()()()y x y x y x C C ++
答案： C
难度等级3 知识点：二阶齐次线性微分方程与函数的极值
分析：由二阶线性微分方程通解的结构定理，13()()y x y x - 与23()()y x y x -是齐次微分方程()()0y P x y Q x y '''++=的解，因此原方程的通解为
1323312(()())(()())()y x y x y x y x y C x C --++ ，故应选（C ）
48、 若()f x 满足20
()()ln 22
x
t
f x f dt =
+?
，则()f x =（ ）
偏微分方程数值解期末试题及标准答案
偏微分方程数值解试题(０6B ） 参考答案与评分标准 信息与计算科学专业 一(10分）、设矩阵A 对称，定义)(),(),(2 1)(n R x x b x Ax x J ∈-=，)()(0x x J λλ?+=.若0)0('=?，则称称0x 是)(x J 的驻点(或稳定点).矩阵A 对称(不必正定)，求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是:0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点，对于任意的n R x ∈,令 ),(2),()()()(2 000x Ax x b Ax x J x x J λλλλ?+-+=+=, （3分) 0)0('=?,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0，则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ，得到b Ax =0． (3分) 反之,若n R x ∈0满足b Ax =0,则对于任意的x ,)(),(2 1)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+??,因此0x 是)(x J 的最小值点. (４分） 评分标准：)(λ?的展开式3分, 每问3分，推理逻辑性１分 二（10分）、 对于两点边值问题:?????==∈=+-=0 )(,0)(),()('b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈ 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。 解: 设}0)(),,(|{11=∈=a u b a H u u H E 为求解函数空间,检验函数空间．取),(1b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (３分) )().(),(v f fvdx dx quv dx dv dx du p v u a b a b a ==+=??,),(1 b a H v E ∈? 即变分问题的Galerkin 形式. （3分)
常微分方程试题库
常微分方程试题库 二、计算题（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx ； 2. 解方程：x y x y e 2d d =+； 3. 解方程：； 4. 解方程： t e x dt dx 23=+； 5. 解方程：0)2(=+---dy xe y dx e y y ； 6. 解方程：0)ln (3=++dy x y dx x y ； 7. 解方程：0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy ； 8. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x ； 9. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x ； 10. 解方程：02=-''+'''x x x ； 11. 解方程：1,0='-'='+'y x y x ； 12. 解方程： y y dx dy ln =； 13. 解方程：y x e dx dy -=； 14. 解方程：02)1(22=+'-xy y x ； 15. 解方程：x y dx dy cos 2=； 16. 解方程：dy yx x dx xy y )()(2222+=+； 17. 解方程：x xy dx dy 42=+； 18. 解方程：23=+ρθ ρ d d ； 19. 解方程：22x y xe dx dy +=； 20. 解方程：422x y y x =-'； 选题说明：每份试卷选2道题为宜。
二、计算题参考答案与评分标准：（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx 解： ,2,1,0,2 ,±±=+==k k x k y π ππ是原方程的常数解， （2分） 当2 ,π ππ+ ≠≠k x k y 时，原方程可化为： 0cos sin sin cos =-dx x x dy y y ， （2分） 积分得原方程的通解为： C x y =cos sin . （2分） 2. 解方程： x y x y e 2d d =+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ? ? +? =-),)(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） x x x x dx x dx e Ce dx e C e dx e e C e 3 1 )() (23222+=+=?+?=---?? 分） （分） （22 3. 解方程： 解：由一阶线性方程的通解公式 ??+?=-))(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） =??+?-)sec (tan tan dx xe C e xdx xdx （2分） ?+=)sec (cos 2xdx C x x x C sin cos +=. （2分） 4. 解方程： t e x dt dx 23=+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ??+? =-))(()()(dt e t f C e x dt t p dt t p （2分） =??+?-)(323dt e e C e dt t dt （2分） ?+=-)(53dt e C e t t
高等数学第七章微分方程习题
第七章 微分方程与差分方程 习题7－1（A ） 1． 说出下列微分方程的阶数： ;02)()1(2=+'-'x y y y x ;0)2(2=+'+'''y y x y x .0)32()67()3(=++-dy y x dx y x 2． 下列函数是否为该微分方程的解： x e x y y y y 2; 02)1(==+'-'' )(2; 0)()2(2为任意常数C x x C y xdy dx y x -==++ ),(cos sin ; 0) 3(212122 2为任意常数C C ax C ax C y y a dx y d +==+ )(ln ; 02)()4(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''+ 3． 在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，写出符合初始条件的函数： ;5, )1(0 22==-=x y C y x ;1,0,)()2(0 221=' =+===x x x y y e x C C y . 0,1, )(sin )3(21='=-===ππx x y y C x C y 4． 写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程： 点横坐标的平方。 处的切线的斜率等于该曲线在点),()1(y x 轴平分。被，且线段轴的交点为处的法线与曲线上点y PQ Q x y x P ),()2( 习题7－1（B ） 1．在下列各题中，对各已知曲线族（其中 C 1, C 2, C 3 都是任意常数）求出相应的微分方程： ; 1)()1(22=+-y C x . )2(21x x e C e C xy -+= 2．用微分方程表示下列物理问题： 平方成反比。温度的成正比，与的变化率与气压对于温度某种气体的气压P T P )1( 。 速度成反比（比例系数同时阻力与， 成正比（比例系数与时间用在它上面的一个力的质点作直线运动，作一质量为)))2(11k k t m 习题7－2（A ） 1．求下列微分方程的通解： ;0ln )1(=-'y y y x ;0553)2(2='-+y x x ; )()3(2y y a y x y '+='-'
常微分方程练习题及答案复习题)
常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.
(完整版)高等数学微分方程试题
第十二章 微分方程 §12-1 微分方程的基本概念 一、判断题 1.y=ce x 2(c 的任意常数)是y '=2x 的特解。 ( ) 2.y=(y '')3是二阶微分方程。 ( ) 3.微分方程的通解包含了所有特解。 ( ) 4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。 （ ） 5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。 （ ） 二、填空题 1. 微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是 。 2. 函数y=3sinx-4cosx 微分方程的解。 3. 积分曲线y=(c 1+c 2x)e x 2中满足y x=0=0, y ' x=0=1的曲线是 。 三、选择题 1．下列方程中 是常微分方程 （A ）、x 2+y 2=a 2 (B)、 y+0)(arctan =x e dx d (C)、22x a ??+22y a ??=0 （D ） 、y ''=x 2+y 2 2.下列方程中 是二阶微分方程 （A ）（y ''）+x 2y '+x 2=0 (B) (y ') 2+3x 2y=x 3 (C) y '''+3y ''+y=0 (D)y '-y 2=sinx 3.微分方程2 2dx y d +w 2 y=0的通解是 其中c.c 1.c 2均为任意常数 （A ）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx 4. C 是任意常数，则微分方程y '=3 23y 的一个特解是 （A ）y-=(x+2)3 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c)3 (D)y=c(x+1)3 四、试求以下述函数为通解的微分方程。 1．2 2 C Cx y +=（其中C 为任意常数） 2.x x e C e C y 3221+=（其中21,C C 为任意常数） 五、质量为m 的物体自液面上方高为h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。
常微分方程期末试题B答案
2005——2006学年第二学期 常微分方程课程试卷（B） 一、填空题（每空2 分，共16分）。 1．李普希滋条件是初值问题存在唯一解的充分条件． 2. 一阶微分方程的一个特解的图像是二 维空间上的一条曲线． 3．线性齐次微分方程组Y A Y ) ( d d x x =的一个基本解组的个数不能多于n个，其中R ∈ x，n R Y∈． 4．二阶线性齐次微分方程的两个解) ( 1 x y? =,) ( 2 x y? =成为其基本解组的充要条件是线性无关． 5．方程2 sin() y xy y '' =+的通解是 6．变量可分离方程()()()()0= +dy y q x p dx y N x M的积分因子是()() x P y N 1 7．性齐次微分方程组的解组) ( , ), ( ), ( 2 1 x x x n Y Y Y 为基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式0 ) (≠ x W． 8．方程540 y y y ''' ++=的基本解组是x x e e4 ,- - 二、选择题（每小题3 分，共15分）。 9．两个不同的线性齐次微分方程组（ D ）的基本解组． (A) 一定有相同(B) 可能有相同 (C) 一定有相似(D) 没有相同 10．方程组 ? ? ? ?? ? ? + = + = y x t y y x t x 4 3 d d 2 d d 的奇点)0,0(的类型是（D ）． （A）稳定焦点（B）不稳定焦点（C）鞍点（D）不稳定结点11．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（ C ）． (A) 1± = x(B)1± = y
(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）． （A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程4d d +-=x y x y （ A ）奇解． (A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有 三、计算题（每小题8分，共48分） 。 14．求方程 x y x y x y tan d d +=的通解 解：令x y u =，则u x u y '+='， u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时，等号两边积分 1d tan d C x x u u +=?? C x u ln ln sin ln += 0≠C Cx x y =sin 15．求方程0d d )1(2=+--y x x y x 的通解 解：积分因子21)(x x =μ， 则 0d 1d 122=+--y x x x y x 为全微分方程．取10=x ，00=y ，于是通积分为 1012 2d d 1C y x x y x y x =+--?? 即 C x x x y =++1 16．求方程2221)(x y x y y + '-'=的通解 解:令 p y ='，得到2 2 2x xp p y +-= （*） ，两端同时关于求导，
偏微分方程数值解复习题(2011硕士)
偏微分方程数值解期末复习（2011硕士） 一、考题类型 本次试卷共六道题目，题型及其所占比例分别为： 填空题20%；计算题80% 二、按章节复习内容 第一章 知识点：Euler法、向前差商、向后差商、中心差商、局部截断误差、整体截断误差、相容性、收敛性、阶、稳定性、显格式、隐格式、线性多步法、第一特征多项式、第二特征多项式、稳定多项式、绝对稳定等； 要求: 会辨认差分格式, 判断线性多步法的误差和阶; 第二章 知识点：矩形网格、(正则,非正则)内点、边界点、偏向前(向后,中心)差商、五点差分格式、增设虚点法、积分插值法、线性椭圆型差分格式、极值原理、比较定理、五点差分格式的相容收敛和、稳定性等； 要求: 建立椭圆型方程边值问题的差分格式, 极值原理; 第四章 知识点：最简显格式、最简隐格式、CN格式、双层加权格式、Richardson 格式、网格比、传播因子法(分离变量法) 、传播因子、传播矩阵、谱半径、von Neumann条件、跳点格式、ADI格式、线性椭圆型差分格式、极值原理、比较定理、五点差分格式的相容收敛和稳定性等； 要求: 建立抛物型方程边值问题的差分格式, 计算局部截断误差; 第五章 知识点：左偏心格式、右偏心格式、中心格式、LF格式、LW格式、Wendroff 格式、跳蛙格式、特征线、CFL条件等； 要求: 建立双曲型方程边值问题的差分格式, 计算局部截断误差; 第七章 要求: 会用线性元(线性基)建立常微分方程边值问题的有限元格式
三 练习题 1、 已知显格式21131()22 n n n n u u h f f +++-=-，试证明格式是相容的，并求它的阶。 P39+P41 2、用Taylor 展开原理构造一元函数一阶导数和二阶导数的数值微分公式。 提示：向前、向后和中心差商与一阶导数间关系，二阶中心差商与二阶导数 之间的关系 课件 3、用数值微分方法或数值积分方法建立椭圆型方程 2222(,),(,),u u f x y x y x y ??--=?∈Ω?? :01,01x y Ω≤≤≤≤ 内点差分格式。 P75+课件 4、构造椭圆型方程边值问题的差分格式. P101 (4)题 5、构建一维热传导方程220,(0)u u Lu a a t x ??=-=>??的数值差分格式(显隐格式等)。 参考P132-135相关知识点 6、设有逼近热传导方程22(0)u u Lu a f a const t x ??≡-==>??的带权双层格式 ()()1111111122(1)2k k j j k k k k k k j j j j j j u u a u u u u u u h θθτ++++-+-+-??=-++--+?? 其中[0,1]θ∈，试求其截断误差。并证明当2 1212h a θτ=-时，截断误差的阶最 高阶为24()O h τ+。 P135+P165+课件 7、传播因子法证明抛物型方程22(0)u u Lu a f a const t x ??≡-==>??的最简显隐和六点CN 格式稳定性。 P156+课件 8、对一阶常系数双曲型方程的初边值问题 0,0,0,0,(,0)(),0,(0,)(),0, u u a t T x a t x u x x x u t t t T φψ???+=<≤<<∞>?????=≤<∞??=≤≤?
高等数学微分方程试题及答案.docx
第九章常微分方程一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （ 1）方程形式：dy P x Q y Q y0通解 dy P x dx C dx Q y （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加） （ 2）方程形式：M1x N1 y dx M 2x N 2y dy0 通解M 1x dx N 2 y dy C M 2 x 0, N 1 y 0 M 2x N 1y 2．变量可分离方程的推广形式 dy f y （ 1）齐次方程 x dx 令y u ，则 dy u x du f u f du dx c ln | x | c x dx dx u u x 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 dy P x y0 它也是变量可分离方程，通解y Ce P x dx ，（c为任意常数）dx 2．一阶线性非齐次方程 精品文档令 z y1把原方程化为dz1P x z 1Q x 再按照一阶线性 dx 非齐次方程求解。 dy1可化为 dx P y x Q y y x 以为自变量，．方程： P y x dy dx Q y 为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。 三、可降阶的高阶微分方程 方程类型解法及解的表达式 通解 y n C 2 x n 2C n 1 x C n y n f f x dx C1 x n 1 x n次 令 y p ，则 y p ，原方程 y f x, y f x, p ——一阶方程，设其解为p g x, C1 p， 即y g x, C1，则原方程的通解为y g x, C1dx C2。 令 y p ，把p看作y的函数，则 y dp dp dy p dp dx dy dx dy y f 把 y， y 的表达式代入原方程，得 dp1 f y, p—一阶方程， y, y dy p dy dx P x y Q x用常数变易法可求出通解公式设其解为 p g y, C 1 , 即 dy g y, C1，则原方程的通解为 dx 令 y C x e P x dx代入方程求出 C x 则得ye P x dx Q x e P x dx dx C 3．伯努利方程 dy Q x y0,1 P x y dx dy x C2。 g y, C1
(整理)常微分方程试题及参考答案
常微分方程试题 一、填空题(每小题3分，共39分) 1.常微分方程中的自变量个数是________. 2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________. 3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变 量分离方程. 4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式 为x= (t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________. 5.方程=(x+1)3的通解为________. 6.如果函数f(x,y)连续，y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上，满 足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解. 7.方程=x2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________. 8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0 中a i(t) i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),…，x n(t)为方程n 个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是：________. 9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________. 10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，x n(t)是方程组 x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式. 11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之 等价的一阶方程组________. 12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基 解矩阵exp A t=________. 13.方程组 的奇点类型是________. 二、计算题(共45分) 1.(6分)解方程 = . 2.(6分)解方程 x″(t)+ =0. 3.(6分)解方程 (y-1-xy)dx+xdy=0. 4.(6分)解方程
偏微分方程数值解期末试题及答案(内容参考)
偏微分方程数值解试题(06B) 参考答案与评分标准 信息与计算科学专业 一（10分）、设矩阵A 对称，定义)(),(),(2 1 )(n R x x b x Ax x J ∈-= ，)()(0x x J λλ?+=.若0)0('=?,则称称0x 是)(x J 的驻点（或稳定点）.矩阵A 对称（不必正定），求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是：0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点,对于任意的n R x ∈,令 ),(2 ),()()()(2 000x Ax x b Ax x J x x J λλλλ?+ -+=+=, (3分) 0)0('=?,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有 0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分) 反之,若 n R x ∈0满足 b Ax =0,则对于任意的 x ,)(),(2 1 )0()1()(00x J x Ax x x J >+ ==+??,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分) 评分标准:)(λ?的展开式3分, 每问3分,推理逻辑性1分 二（10分）、 对于两点边值问题：????? ==∈=+-=0 )(,0)() ,()(' b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ] ,[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈ 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和 Galerkin 形式的变分方程。 解: 设}0)(),,(|{11 =∈=a u b a H u u H E 为求解函数空间,检验函数空间.取),(1 b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分) )().(),(v f fvdx dx quv dx dv dx du p v u a b a b a ==+=??,),(1 b a H v E ∈? 即变分问题的Galerkin 形式. (3分)
常微分方程试题
常微分方程试题
一单项选择题(每小题2分, 共40分) 1. 下列四个微分方程中, 为三阶方程的有( )个. (1) (2) (3) (4) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 为确定一个一般的n阶微分方程=0的一个特解, 通常应给出的初始条件是( ). A. 当时, B. 当时, C. 当时, D. 当时, 3. 微分方程的一个解是( ). A. B. C. D.
4. 下列方程中, 既是齐次方程又是线性方程的是( ). A. B. C. D. 5. 若方程是恰当方程, 则（）. A. B. C. D. 6. 若方程有只与y有关的积分因子, 则可取为( ). A. B. C. D. 7. 可用变换( )将伯努利方程化为线性方程. A. B. C. D. 8. 是满足方程和初始条件( )的唯一解. A. B. C. D. 9. 设是n阶齐线性方程的解,
其中是某区间中的连续函数. 如下叙述中, 正确的是( ). A.若的伏朗斯基行列式为零, 则线性无关 B.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性相关 C.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性无关 D.由的伏朗斯基行列式是否为零, 不能确定的线性相关性 10. 设线性无关的函数和是方程的解,则方程 的通解是( ) A.(是任意常数, 下同) B. C. D. 11. 三阶系数齐线性方程的特征根是( ). A. 0, 1, 1 B. 0, 1, -1 C. 1, D. 1, 12. 方程的基本解组是( ).
A. B. C. D. 13. 方程的待定特解可取如下( )的形式: A. B. C. D. 14. 已知是某一三阶齐线性方程的解, 则 和 的伏朗斯基行列式( ). A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 15. 可将三阶方程化为二阶方程的变换为( ). A. B. C. D. 16. 方程组满足初始条件的解为( ). A. B. C. D. 17. n阶函数方阵在上连续, 方程组有基解矩阵,
高等数学第九章微分方程试题及答案
第九章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意 常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程，通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。 三、可降阶的高阶微分方程
常微分方程习题及答案.[1]
第十二章 常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2 ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 2 2 1xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是 。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。 ③x y y dx dy x ln ?=是 。 ④x x y y x sin 2+='是 。 ⑤02=-'+''y y y 是 。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是 。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是 。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是 阶微分方程。
7．x y 1 =所满足的微分方程是 。 8．x y y 2='的通解为 。 9． 0=+ x dy y dx 的通解为 。 10． ()25 11 2+=+- x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为 。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为 。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为 。 三、选择题 1．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程32 3y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ． 上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．22x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?=
北京理工大学数学专业偏微分方程期末试题2014级A卷(MTH17178)
课程编号：MTH17178 北京理工大学2016-2017学年第一学期 2014级偏微分方程期终考试（A ） 1.（10分）利用特征线方法求解一阶波动方程初值问题：()22,,0,0,t x x u u u x t u x e x -+=∈>???=∈?? 。 2.（10分）利用Fourier 变换方法求解：()() (),,,0,0,t x u bu cu f x t x t u x x x ?--=∈>???=∈?? 。 3.（10分）利用行波法求解：()()()()0,,,0,,0 tt xx u u t x u x x x x u x x x x ?ψ?-=>?-=?。 给出适当的相容性条件。如果?在(],0a -上给定，ψ在[)0,b 上给定，给出其决定区域。 4.（15分）求解初边值问题：()()()20,01,00,0,1,0,0,0,01 t xx x x u a u u x t u t u t t u x A x ?-+=<<>?==>??=<?==∈??=+=≥? 推导边界条件齐次化的公式（不需要解方程）。 6.（13分）对于有界区域()(],0,T Q a b T =?上的热方程()2 ,0t xx u a u c x t u -+=，其中(),c x t 下有界，证明如果(),u x t 在抛物边界上非正，则(),u x t 在T Q 上非正。 7.（15分）考虑波动方程初边值问题[]()()()()[]()()()20,0,,0,0,,0,0,0,0,,,0,0 tt xx t x x u a u x L t u x x u x x x L u t u L t u L t t ?ψσ?-=∈>?==∈??=+=≥?，其中 0σ>，令t 时刻的能量()()()22222011,22 L t x E t u a u dx a u L t σ=++?，证明()E t 守恒，并由此证明相应的一般非齐次方程非齐次初边值问题的解的唯一性。 8.（20分）设() ()1,02,1T T u C Q C Q ∈ 且满足初边值问题()()()()[]()()[] ,,,,0,0,0,,0,0,t xx T x u u f x t x t Q u x x x L u t u L t t T ??-=∈?=∈??==∈?，证明：[]()()()()22220000000,sup ,,,L T L L T L x t T u x t dx dt u x t dx M x dx dt f x t dx ?∈??+≤+??????????，其中M 仅依赖于T 。 提示：Gronwall 不等式：设(][]1 0,0,G C T C T ∈ ，()00G =，且对于任意的[]0,t T ∈，有()()()G t CG t F t '≤+，其中C>0，F 非负单调递增，则有 ()()()()()11,Ct Ct G t C e F t G t e F t -'≤-≤。
高数 第七章题库 微分方程
第十二章 微分方程答案 一、 选择题 1．下列不是全微分方程的是 C 1 A.2()(2)0x y dx x y dy ++-= B.2 (3)(4)0y x dx y x dy ---= C.3 2 2 2 3(23)2(2)0x xy dx x y y dy +++= D.2 2 2(1)0x x x ye dx e dy -+= 2. 若3y 是二阶非齐次线性方程(1):()()()y P x y Q x f x '''++=的一个特解，12,y y 是对应的 齐次线性方程(2)的两个线性无关的特解，那么下列说法错误的是（123,,c c c 为任意常数） C 2 A.1122c y c y +是(2)的通解 B. 113c y y +是(1)的解 C. 112233c y c y c y ++是(1)的通解 D. 23y y +是(1)的解 3．下列是方程xdx ydy += 的积分因子的是 D 2 A.2 2x y + B. 221x y + 4．方程32 2321x x d y d y e e dx dx ++=的通解应包含得独立常数的个数为 （ B ）. 1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 0 5．已知方程'()0y p x y +=的一个特解cos 2y x =，则该方程满足初始特解(0)2y =的特解为（ C ）. 2 (A) cos 22y x =+ (B) cos 21y x =+ (C) 2cos 2y x = (D) 2cos y x = 6．方程32232 1x x d y d y e e dx dx ++=的通解应包含得独立常数的个数为 （ B ）. 1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 0 7．设线性无关的函数123,,y y y 都是微分方程''()'()()y p x y q x y f x ++=的解，则该方程的通解为 （ D ）. 2 (A) 11223y c y c y y =++ (B) 1122123()y c y c y c c y =+-+ (C) 1122123(1)y c y c y c c y =+--- (D) 1122123(1)y c y c y c c y =++-- 8．设方程''2'3()y y y f x --=有特解*y ，则其通解为（ B ）. 1
2018常微分方程考研复试真题及答案
常微分方程计算题 2.指出下列方程中的阶数，是线性方程还是非线性方程，并说明理由； （1） t 2 2 2dt u d +t dt du +( t 2 -1)u=0 （2） dx dy =x 2+y 2 ; （3）dx dy + 2 x y =0 3.求曲线族y=C 1e x +C 2x e x 所满足的微分方程 4．验证函数y= C 1e x 2+ C 2e x 2-是微分方程y `` -4y=0的解，进一步验证它是通解。 5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程dx dy =2x 6.什么叫积分一个微分方程 7．什么是求解常微分方程的初等积分法 8．分离变量一阶方程的特征是什么 9．求下列方程的通解 （1） y ` ＝sinx （2） x 2 y 2 y ` +1=y （3） tgx dx dy =1+y （4） dx dy =exp(2x-y) （5） dx dy =21y 2- （6） x 2 ydx=(1- y 2 +x-2 x 2 y 2 )dx （7）( x 2 +1)( y 2 -1)dx+xydy=0 10.叙述齐次函数的定义 11．试给出一阶方程y ` ＝f(x,y)或p(x,y)dx+ q(x,y)dy=0为齐次方程的特征。说明二
个方程的关系。 12．求解齐次方程通常用什么初等变换，新旧函数导数关系如何 13．求解下列方程 dx dy ＝2 22y x xy - 14．求解下列方程 （1）（x+2y ）dx —xdy=0 (2) dx dy =x y +y x 2 15. dx dy =22y x xy + 16(x 2 +y 2 )dx —2xydy=0 17. dx dy =5 242+---y x x y 18―――――19 20―――――――27
最新偏微分方程期末复习笔记
《偏微分方程》期末考试复习 一、波动方程(双曲型方程)U tt -a 2U xx 二f (x,t) (一)初值问题(柯西问题) < 2 U tt —a U xx = f(x,t) 1、一维情形 Ut t^a (x) (1) 解法(传播波法)： 由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之 和， * 2 * 2 U tt —a U xx =o U tt —a U xx = f (x,t) (i) J U t^=
②决定区域：区间［x1，X2】的决定区域为：{(x,t)|捲? at込x込X2-at}
常微分方程试题库.
常微分方程 一、填空题 1 .微分方程(立)n +业—VEX? = 0的阶数是 dx dx 答：1 2 .若M (x, V)和N (x, V)在矩形区域R内是(x, V)的连续函数，且有连续的一阶偏导数，则 方程M (x,y)dx + N(x, y)dy =0有只与V有关的积分因子的充要条件是 血 f N -1 答：(亏一寸M)= (V) 3. ^为齐次方程. 答：形如dV =g(V)的方程 dx x 4 .如果f (x, V) ___________________________________________ M ,业=f (x, V)存在 dx 唯一的解y = %x)，定义丁区问x-x o 8. 若X i (t)(i =1,2,.....n)为齐次线性方程的一个基本解组，x(t)为非齐次线性方程的一个 特解,则非齐次线性方程的所有解可表为 答：X =' c i x i - X i 4 9. 若中(X)为毕卡逼近序列虬(X)}的极限，则有|%x)M n(x)W 答：MLh n1 (n 1)! 10. 为黎卡提方程，若它有一个特解y(x),则经过变换 ____________________ ,可化为伯努利方程. 答：形如—=p(x)y2+q(x)y + r (x)的方程y = z + y dx 11. 一个不可延展解的存在区间一定是区间. 答：开 12. ______________________________________________________________ 方程业=后〔满足解的存在唯一性定理条件的区域是_______________________________ . dx ' 答：D ={(x,y)在R2y >0},(或不含x轴的上半平■面) 13 .方程华=x2sin y的所有常数解是. dx 答：y =k二，k =0, —1, —2, 14. 函数组明(x)*2(x)，…，气(x)在区间I上线性无关的条件是它们的朗 斯基行列式在区间I上不包等丁零. 答：充分 15. 二阶线性齐次微分方程的两个解y〔(x), y2(x)为方程的基本解组充分必要条件 是. 答：线性无关(或：它们的朗斯基行列式不等丁零) 16. 方程广-2y'+y=0的基本解组是 答：e x, xe X 17. 若y =%x)在(s,十8)上连续，则方程d^=