一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式一、知识要点：1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。
Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。
Δ=0时，方程有两个相等的实数根。
Δ<0时，方程没有实数根。
以上定理也可以逆向应用。
在应用判别式之前，要把方程化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
注意：（1）根的判别式是指Δ=b2-4ac，不是Δ= ，（2）使用判别式之前一定要先把方程变为一元二次方程的一般形式。
2.根的判别式有以下应用：①不解一元二次方程，判断根的情况。
②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
注意：①如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac ≥0，切勿丢掉等号。
②根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0.二、例题精讲：例1．不解方程，判断下列方程的根的情况：(1)2x2+3x-4=0 (2)3x2+2=2x(3) x2+1=x (4)ax2+bx=0(a≠0)(5)ax2+c=0(a≠0)分析；一元二次方程的根的情况是由Δ=b2-4ac的符号决定的，所以，在判断一元二次方程根的情况时，应想尽办法判断出“Δ”的符号，然后根据判别式定理判定根的情况。
尤其是当方程系数中含有字母时，一般利用配方法将“Δ”化成完全平方式或完全平方式加上（或减去）一个常数，再根据完全平方式的非负性判断“Δ”的符号，从而决定方程的根的情况，有时还需要对字母进行讨论。
解：(1) 2x2+3x-4=0a=2, b=3, c=-4,∵Δ=b2-4ac=32-4×2×(-4)=41>0∴方程有两个不相等的实数根。
（2）将方程化为一般形3x2-2x+2=0a=3, b=-2,c=2∴Δ=b2-4ac=(-2)2-4×3×2=0,∴方程有两个相等的实数根。
（3）将方程化为一般形式x2-x+1=0方程两边同乘以2（为了计算简便），得x2- x+2=0a=, b=- , c=2∵Δ=(- )2-4××2=2-8<0∴方程没有实数根。
（4）ax2+bx=0(a≠0)∵a≠0, ∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零，∵Δ=(-b)2-4·a·0=b2,∵无论b取任何关数，b2均为非负数，∴Δ≥0，故方程有两个实数根。
（5）ax2+c=0 (a≠0)∵a≠0,∴此方程是缺少一次项的不完全的一元二次方程，一次项系数b=0 ∵Δ=02-4ac=-4ac需要讨论a,c的符号，才能确定Δ的符号；当c=0时，Δ=0, 方程有两相等实根；当a与c异号时，Δ>0, 方程有两不等实根；当a与c同号时，Δ<0，方程没有实数根。
注意：运用根的判别式判定一元二次方程根的情况时，必须先把方程化为一般形式，正确地确定各项系数。
例2．求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。
分析：先求出关于x的方程的根的判别式，然后只需说明判别式是一个负数，就证明了该方程没有实数根。
证明：Δ=(-2m)2-4(m2+1)(m2+4)=4m2-4(m4+5m2+4)=-4m4-16m2-16=-4(m4+4m2+4)=-4(m2+2)2∵不论m取任何实数(m2+2)2>0,∴-4(m2+2)2<0, 即Δ<0.∴关于x的方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。
小结：由上面的证明认清证明的格式归纳出证明的步骤：（1）计算Δ（2）用配方法将Δ恒等变形（3）判断Δ的符号（4）结论其中难点是Δ的恒等变形，一般情况下配方后变形后为形如：a2,a2+2,(a2+2)2, -a2, -(a2+2)2的代数式，从而判定正负，非负等情况。
方程配方与代数式配方既有联系又有区别：方程配方是对方程进行同解变形，代数式配方是恒等变形，因此方程变形中两边除以二次项系数，而在代数式变形中为提取二次项系数。
方程变形中等号两边同时加上一次项系数一半的平方，而在代数式变形中加上一次项系数一半的平方的同时，还需减去一次项系数一半的平方，以保证代数式恒等。
例3．已知关于x的方程kx2-4kx+k-5=0有两个相等的实数根，求k的值并解这个方程。
分析：∵方程有两个实数根，∴有隐含条件二次项系数k≠0,又∵方程有两个相等的实数根，由判别式定理的逆定理可知Δ=0解：Δ=(-4k)2-4·k(k-5)=12k2+20∵方程有两个相等的实数根，∴Δ=0，即12k2+20k=0解得k1=0, k2=-,又∵k=0时，方程不是一元二次方程，不能有两个实根，∴k=0不符合题意，应舍去。
∴k=-，把k=-代入原方程，原方程即为x2-4x+4=0。
解得这个方程的两个根是x1=x2=2.注意：对于二次项系数含有待定字母的一元二次方程，当使用根的判别式时，必须考虑隐含条件a≠0。
例4．已知：a、b、c为ΔABC的三边，当m>0时，关于x的方程c(x2+m)+b(x2-m)-2ax=0有两个相等的实数根，求证：ΔABC为RtΔ。
证明：整理原方程：方程c(x2+m)+b(x2-m)-2ax=0.整理方程得：cx2+cm+bx2-bm-2ax=0(c+b)x2-2ax+cm-bm=0根据题意：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ=(-2a)2-4(c+b)(cm-bm)=04ma2-4(c2m-bcm+bcm-b2m)=0ma2-c2m+b2m=0∴Δ=m(a2+b2-c2)=0又∵m>0,∴a2+b2-c2=0∴a2+b2=c2又∵a,b,c为ΔABC的三边，∴ΔABC为RtΔ。
例5．若a,b,c为实数，关于x的方程2x2+2(a-c)x+(a-b)2+(b-c)2=0有两个相等的实数根，求证a+c=2b.分析：根据判别式定理的逆定理，由方程有两个相等实根，可知Δ=0，经整理化为关于方程中系数的等式，从而导出结论。
证明：∵一元二次方程有两个相等实数根，∴Δ=0，即[2(a-c)]2-4×2·[(a-b)2+(b-c)2]=0(a-c)2-2(a2-2ab+b2+b2-2bc+c2)=0a2+4b2+c2+2ac-4ab-4bc=0(a+c)2-4b(a+c)+4b2=0(a+c-2b)2=0∴a+c-2b=0 即a+c=2b.注意：利用一元二次方程的根的判别式进行有关的证明，就是根据判别式大于0，小于0或等于0的情况，结合已有的其它知识来证明结论的，有时要应用乘法公式进行恒等变形。
例6．若关于x的方程m2x2+(2m+1)x+1=0有两个实数根，求m的取值范围。
分析：已知方程有两个实数根，说明它是一元二次方程，即二次项系数m2≠0，又由判别式定理的逆定理可知Δ≥0，m的取值范围是受这两个条件限制的，解之即可。
解：∵方程有两个实数根，∴即解得m>-且 m≠0,∴当m≥-且m≠0时，方程有两个实数根。
注意：不要漏掉题中的隐含条件“二次项系数m≠0”。
例7．若关于x的方程(m2-1)x2-2(m+2)x+1=0有实数根，求m的取值范围。
分析：此题易误认为所给方程是一元二次方程，而用Δ≥0，且m2-1≠0来解，事实上，题目中没有给出方程的次数，也没有指明方程的根的个数，因此应考虑方程为二次方程和一次方程两种情况。
解：本题有两种情况：（1）若方程是一元二次方程，并且有实根，则必有：即m≥-且m≠±1.（2）若方程为一次方程，则解得 m=±1，当m=1时，原方程为-6x+1=0，有实根x=,当m=-1时，原方程为-2x+1=0，也有实根x=.综合（1），（2），得m≥-时，原方程有实数根。
注意：对比以上两个例题，都是由方程的根的情况求m的取值范围，但解题思路却不太相同。
例6说“方程有两个实数根”，隐含着方程是一元二次方程的条件，例7说“方程有实数根”，却没有这样的隐含条件，所以例7要分二次方程和一次方程的两种情况讨论。
本题所用的是分类讨论思想。
利用分类讨论思想解答问题，要注意：分类要按同一标准进行，同时分类要做到不重不漏，最后要综合几种情况得出结论。
例8．已知，关于x的方程x2-x+k=0有两个不相等的实数根。
（1）求k的取值范围。
（2）化简：|-k-2|+解：Δ=(-)2-4·k=2k+4-4k=-2k+4∵方程有两个不相等的实数根，即Δ>0，∴-2k+4>0,∴k<2,又∵2k+4≥0,∴k≥-2.∴k的取值范围是 -2≤k<2.（2）|-k-2|+ (-2≤k≤2)=|k+2|+=|k+2|+|k-2|=k+2+2-k=4.小结：一元二次方程根的判别式是判定二次方程解的情况依据，使用时常需要配方，是这一部分的重要知识，要掌握。
测试选择题1．已知关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）。
A、a<1B、a>1C、a<1且a≠0D、a<02．关于x的一元二次方程kx2-3x+2=0有两个相等的实根，则k应满足是（）。
A、k=0B、k≥0C、k=-D、k=3．关于x的方程m(x2+x+1)=x2+x+2有两个相等的实数根，则m的值为（）。
A、 B、1 C、- D、或14．若方程k(x2-2x+1)-2x2+x=0有实数根，则（）。
A、k>-B、k>-且k≠2C、k≥-D、k≥- 且k≠25．方程x2-4x+=0有根的情况是（）A、有两个不相等的实数根B、有两个相等的实数根C、没有实数根D、有一个实数根6．下列方程中，有两个相等实数根的一元二次方程是（）。
A、3x2-4x-1=0B、x2+3+2=2 x+2xC、x3-2x+5=0D、x2+ x=17．若方程x2+x+n=0有两个相等的实数根，那么的值为（）。
A、-B、C、-4D、48．已知关于x的方程x2+3(m-1)x-2m2-4m+=0(m为实数)，则该方程（）。
A、无实数根B、有两个相等实数根C、有不等的两实数根D、不能确定有无实数根答案与解析答案：1.C 2.D 3.A 4.C 5.A 6.B 7.B 8.C解析：1．分析：依题意：由Δ=22-4a=4-4a>0, 解得a<1.则a的取值范围为a<1,且a≠0.2．分析：依题意：，由Δ=(-3)2-4k×2=9-8k=0解得k=,综上：k应满足k=。
3.分析：原方程整理得：(m-1)x2+(m-1)x+(m-2)=0∴由(1)得m≠1. 由(2)得m=1或m=.所以，m的值为m=。
一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式是指b²-4ac，它可以用来判断方程的根的情况。
当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b²-4ac<0时，方程没有实数根。
判别式的应用包括不解方程判断根的情况、确定方程待定系数的取值范围、证明方程根的性质以及解决综合题。
正确理解判别式的性质并熟练灵活地运用它是本节的重点和难点。
举例来说，对于方程2x²-5x+10=0，其判别式为b²-4ac=(-5)²-4×2×10=－550，因此该方程有两个不相等的实数根。
对于方程x²-2kx+4(k-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-2k)²-4×1×4(k-1)=4(k-2)²≥0，因此该方程有实数根。
对于方程2x²-(4m-1)x+(m-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-(4m-1))²-4×2×(m-1)=4(2m-1)²+5>0，因此该方程有两个不相等实根。
对于方程4x²+2nx+(n²-2n+5)=0，其判别式为b²-4ac=(2n)²-4×4(n²-2n+5)=－12(n-4/3)²－176/33<0，因此该方程没有实数根。
解这类题目时，一般先求出判别式Δ=b^2-4ac，然后对XXX进行化简或变形，使其符号明朗化，进而说明Δ的符号情况，得出结论。
对判别式进行变形的基本方法有因式分解、配方法等。
在解题前，首先应将关于x的方程整理成一般形式，再求Δ=b^2-4ac。
当Δ≥0时，方程有实数根，反之也成立。
例2已知关于x的方程x-(m-2)x+m^2=0，求解以下问题：1)有两个不相等实根，求m的范围。
一元二次方程根的判别式
9 8
时，方程有两个相
（2）当△=8m+9＞0，即m＞ 等的实根；
（3）当△=8m+9＜0，即m＜ -
9 8 9 8
时，方程有两个不
时，方程没有实根。
尝试成功：
3、证明：方程（2m-1）X2+2mx+2=0恒有实数根； 4、已知：方程X2+2X-n+1=0没有实数根；求证： 方程X2+bnx=1-2n一定有两个不相等的实根。
2
所以,不论m为何值,这个方程总有两个不相等的实 数根
典型例题解析 例6.一元二次方程 m 1x 2mx m 2 0
2
有两个实数根,求m的取值范围.
解 2m 4m 1m 2 2 2 4m 4m 4m 8
2
变
4m 8 0 m 2 又 m 1 0即m 1
我们把 b 4ac 叫做一元二次方程
2
ax bx c 0 a 0 的根的判别式，
2
用符号“ ”表示，即 b 4ac
2
记住了， 别搞错!
即一元二次方程：ax 当 当 当
2
bx c 0 a 0
0 时，方程有两个不相等的实数根； 0 时，方程有两个相等的实数根； 0
知识运用：
例3.已知一元二次方程kx2+(2k-1)x+k+2=0
有两个不相等的实数根，求k的取值范围。
解： (2k 1) 2 4k (k 2) 12k 1
∵方程有两个不相等的实数根
0, 即 12k 1 0 1 k 12
又k 0
一元二次方程根的判别式
17.3一元二次方程根的判别式【知识梳理】1.一元二次方程根的判别式我们把24b ac -叫做20(ax bx c a ++=≠0)的根的判别式，用符号∆来表示。
对于一元二次方程20(ax bx c a ++=≠0)，其根的情况与判别式的关系是：当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根；当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.特别的：当240b ac ∆=-≥时，方程有两个实数根.上述判断反过来说，也是正确的。
即当方程有两个实数根时，240b ac ∆=->；当方程有两个相等的实数根时，240b ac ∆=-=；当方程没有实数根时，240b ac ∆=-<；2.一元二次方程的根的判别式的应用①不解方程判别方程根的情况，即先把方程化为一般形式，然后求出判别式24b ac ∆=-的值，最后根据∆的符号来确定根的情况；②根据一元二次方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围，即先把方程化成一般形式并求出它的判别式，然后根据根的情况列出判别式的方程或不等式，最后解这个不等式或方程，但要去掉使方程二次项系数为零的字母的值。
若问题中没有这个限制条件，就要对二次项系数（含字母）是否为零进行讨论；③证明一元二次方程根的情况,可先把原方程化为一般形式,求出根的判别式,然后用配方法或因式分解法确定判别式的符号,并由此得出结论.3.利用根的判别式解题时的几点注意：①运用“∆”时必须把方程化为一般式;②不解方程判定方程的根的情况要由“∆”的符号判定；③运用判别式解题时，方程二次项系数一定不能为零；【典型例题】例1：不解方程，判别下列方程的根的情况（1）221150x x +-=（2）232x +=（3）(1)(2)8x x --=-【思路分析：一元二次方程根的情况是由根的判别式的符号决定的，所以在判别方程的根的情况时，要先把方程化为一般式，写出方程的a b c 、、，计算出∆的值，判断∆的符号】【答案：（1）221150x x +-=2,11,5a b c ===- 2241142(5)121401610b ac ∴∆=-=-⨯⨯-=+=>即∆>0∴方程有两个不相等的实数根.（2）232x +=将方程整理为一般式：2320x -+=3,2a b c ==-=224(4320b ac ∆=-=--⨯⨯=即0∆=∴方程有两个相等的实数根.（3）(1)(2)8x x --=-将方程化为一般式：23280x x -++=1,3,10a b c ==-=224(3)4110940310b ac ∆=-=--⨯⨯=-=-<即0∆<∴方程没有实数根】【小结：运用根的判别式判断方程的根的情况时，必须把方程化为一般式，然后正确地确定各项系数，再代入判别式进行计算，得出判别式的符号】课堂练习1：如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（）A .k ＞14-B .k ＞14-且0k ≠C .k ＜14-D .14k ≥-且0k ≠课堂练习2：如果关于x 的方程：2320x x k -+=有实数根，那么k 的取值范围是_____.例2：求证方程2(1)310(0)m x mx m m -+++=≠必有两个不相等的实数根.【思路分析：欲证明此方程必有两个不相等的实数根，只需要证明不论m 取任何实数，都有0∆>即可】【答案：1m ≠ 10m ∴-≠∴此方程是关于x 的一元二次方程2222(3)4(1)(1)94454m m m m m m ∆=--+=-+=+ 不论m 取任何不为1的值时都有25m ≥024m ∴5+>0即2540m ∆=+>∴方程必有两个不相等的实根】【小结：证明时应先说明二次项系数不为零，也即保证方程是一元二次方程的前提下判别式的符号才有意义】课堂练习3：关于x 的方程220x kx k -+-=的根的情况是（）A .有两个不相等的实数根B .有两个相等的实数根C .无实数根D .不能确定例3：当m 为何值时，关于x 的方程222(41)210x m m -++-=（1）有两个不相等的实根？（2）有两个相等的实根？（3）无实数根？【思路分析：根据一元二次方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围，是一元二次方程的根本判别式的另一类典型运用。
一元二次方程根的判别式
2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b ac x a a-+=． ① 因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2；（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有 （1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根．例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根． （1）x 2－3x ＋3＝0； （2）x 2－ax －1＝0； （3） x 2－ax ＋(a －1)＝0； （4）x 2－2x ＋a ＝0．解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．（2）该方程的根的判别式Δ＝a 2－4×1×(－1)＝a 2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根1x =2x = （3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a 2－4×1×(a －1)＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2，所以， ①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1； ②当a ≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根 x 1＝1，x 2＝a －1．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a ＝4－4a ＝4(1－a )， 所以①当Δ＞0，即4(1－a ) ＞0，即a ＜1时，方程有两个不相等的实数根11x = 21x =②当Δ＝0，即a ＝1时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1；③当Δ＜0，即a ＞1时，方程没有实数根．2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根1x =2x =，则有1222b bx x a a-+===-；221222(4)42244b b b b ac ac cx x a a a a a----=⋅===．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2， 所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．因此有 以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0． 例2 已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k ×2－6＝0，∴k ＝－7．所以，方程就为5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝2，x 2＝－35． 所以，方程的另一个根为－35，k 的值为－7． 解法二：设方程的另一个根为x 1，则 2x 1＝－65，∴x 1＝－35． 由 （－35）＋2＝－5k，得 k ＝－7． 所以，方程的另一个根为－35，k 的值为－7．例3 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m 的方程，从而解得m 的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．解：设x 1，x 2是方程的两根，由韦达定理，得 x 1＋x 2＝－2(m －2)，x 1·x 2＝m 2＋4． ∵x 12＋x 22－x 1·x 2＝21， ∴(x 1＋x 2)2－3 x 1·x 2＝21，即 [－2(m －2)]2－3(m 2＋4)＝21，化简，得 m 2－16m －17＝0， 解得 m ＝－1，或m ＝17．当m ＝－1时，方程为x 2＋6x ＋5＝0，Δ＞0，满足题意；当m ＝17时，方程为x 2＋30x ＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去． 综上，m ＝17．说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m 的值，取满足条件的m 的值即可．（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．分析：我们可以设出这两个数分别为x ，y ，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．解法一：设这两个数分别是x ，y ， 则 x ＋y ＝4， ①xy ＝－12． ② 由①，得 y ＝4－x ， 代入②，得x (4－x )＝－12，即 x 2－4x －12＝0， ∴x 1＝－2，x 2＝6．∴112,6,x y =-⎧⎨=⎩ 或226,2.x y =⎧⎨=-⎩因此，这两个数是－2和6．解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x 2－4x －12＝0 的两个根．解这个方程，得x 1＝－2，x 2＝6． 所以，这两个数是－2和6． 说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷． 例5 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根． （1）求| x 1－x 2|的值；（2）求221211x x +的值； （3）x 13＋x 23．解：∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根，∴1252x x +=-，1232x x =-．（1）∵| x 1－x 2|2＝x 12+ x 22－2 x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－4 x 1x 2＝253()4()22--⨯-＝254＋6＝494，∴| x 1－x 2|＝72． （2）22221212122222221212125325()2()3()2113722439()9()24x x x x x x x x x x x x --⨯-+++-+=====⋅-．（3）x 13＋x 23＝(x 1＋x 2)( x 12－x 1x 2＋x 22)＝(x 1＋x 2)[ ( x 1＋x 2) 2－3x 1x 2]＝(－52)×[(－52)2－3×(32-)]＝－2158． 说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则1x=2x =， ∴| x 1－x 2|===． 于是有下面的结论：若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则| x 1－x 2|Δ＝b 2－4ac ）． 今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论． 例6 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围． 解：设x 1，x 2是方程的两根，则x 1x 2＝a －4＜0， ① 且Δ＝(－1)2－4(a －4)＞0．② 由①得 a ＜4，由②得 a ＜174．∴a 的取值范围是a ＜4．练 习 1．选择题：（1）方程2230x k -+=的根的情况是 （ ） （A ）有一个实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）有两个相等的实数根 （D ）没有实数根（2）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） （A ）m ＜14 （B ）m ＞－14 （C ）m ＜14，且m ≠0 （D ）m ＞－14，且m ≠02．填空:（1）若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则1211x x +＝ ． （2）方程mx 2＋x －2m ＝0（m ≠0）的根的情况是． （3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．3|1|0b -=，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？ 4．已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)( x 2－3)的值．习题2.1 A 组1．选择题:（1）已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ）（A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）2 （2）下列四个说法：①方程x 2＋2x －7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7； ②方程x 2－2x ＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程3 x 2－7＝0的两根之和为0，两根之积为73-； ④方程3 x 2＋2x ＝0的两根之和为－2，两根之积为0．其中正确说法的个数是 （ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（3）关于x 的一元二次方程ax 2－5x ＋a 2＋a ＝0的一个根是0，则a 的值是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）0，或－12．填空:（1）方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝ ．（2）方程2x 2－x －4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ．（3）已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ．（4）方程2x 2＋2x －1＝0的两根为x 1和x 2，则| x 1－x 2|＝ ．3．试判定当m 取何值时，关于x 的一元二次方程m 2x 2－(2m ＋1) x ＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数．B 组1．选择题:若关于x 的方程x 2＋(k 2－1) x ＋k ＋1＝0的两根互为相反数，则k 的值为（ ）（A ）1，或－1 （B ）1 （C ）－1 （D ）0 2．填空:（1）若m ，n 是方程x 2＋2005x －1＝0的两个实数根，则m 2n ＋mn 2－mn 的值等于 ．（2）如果a ，b 是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，那么代数式a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3的值是 ．3．已知关于x 的方程x 2－kx －2＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x 1和x 2，如果2(x 1＋x 2)＞x 1x 2，求实数k 的取值范围． 4．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根为x 1和x 2．求： （1）| x 1－x 2|和122x x +； （2）x 13＋x 23．5．关于x 的方程x 2＋4x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．C 组1．选择题：（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x 2－8x ＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于 （ ）（A（B ）3 （C ）6 （D ）9 （2）若x 1，x 2是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则1221x x x x +的值为 （ ） （A ）6 （B ）4 （C ）3 （D ）32（3）如果关于x 的方程x 2－2(1－m )x ＋m 2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为（ ） （A ）α＋β≥12 （B ）α＋β≤12（C ）α＋β≥1 （D ）α＋β≤1（4）已知a ，b ，c 是ΔABC 的三边长，那么方程cx 2＋(a ＋b )x ＋4c＝0的根的情况是 （ ）（A ）没有实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）有两个相等的实数根 （D ）有两个异号实数根 2．填空：若方程x 2－8x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2，且3x 1＋2x 2＝18，则m ＝ ． 3． 已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根．（1）是否存在实数k ，使(2x 1－x 2)( x 1－2 x 2)＝－32成立？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由； （2）求使1221x x x x +－2的值为整数的实数k 的整数值； （3）若k ＝－2，12xx λ=，试求λ的值．4．已知关于x 的方程22(2)04m x m x ---=． （1）求证：无论m 取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根x 1，x 2满足|x 2|＝|x 1|＋2，求m 的值及相应的x 1，x 2． 5．若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a 的取值范围．。
一元二次方程根的判别式、根与系数关系
例1：不解方程判断下列方程根的情况 ① x² -4x-1=0 ②x² +5=2x ③ x² -mx+m² +1=0
例2：k取何值时，方程4 x个相等的实根
分析：①方程有一个根是-1，需将x=-1代入原方程 ②方程有两个相等的实根，既△=0
五、利用给出条件，确定一个一元二次方程中某个字母系数的值 例3 已知关于x的方程x 2＋px＋q＝0的两实数根和的平方比两实数根之积 大7，而两实数根差的平方比两实数根之积的3倍小5，求p、q值． 分析：本题要求已知一元二次方程x 2＋px＋q＝0中的字母系数p、q的值，只要 利用题目的条件，把p、q的关系式列出，再通过变形得到关于p、q的方程组， 解此方程组即可求出p、q． 解：设方程的两实数根分别为x 1、x 2则由根与系数的关系，得 X 1＋x 2＝－p，x 1· x 2＝q， ……① 又由题意得(x 1＋x 2) 2＝x 1· x 2＋7 ……② (x 1－x 2) 2＝3 x 1· x 2－5 ……③ ∵(x 1－x 2) 2＝(x 1＋x 2) 2-4 x 1· x2 代入③得(x 1＋x 2) 2＝7x 1· x 2－5 ……④ 将①式分别代入②、④中，得 p 2=q+7 p=3 p=-3 p 2=7q-5 即： q=2 q=2
例1 选择题：若方程3x 2＋(k 2－3k－10)x＋3k＝0的两根互为相反数，k的值为 [ ] A．5 B．－2 C．5或－2 D．0 分析：不能只考虑到需两根和等于0，还要考虑到需Δ≥0 例2：m为何实数时，方程4x 2＋(m－2)x＋m－5＝0的根都小于零？ 分析：要使原方程的根都小于零，必需Δ ≥0， x 1＋x 2<0 ， x 1· x 2＞0
例4：求证关于x的方程x² -（m+2）x+2m-1=0有两个不相等的实根。
一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式一、一元二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b acx a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：2b x a += 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．二、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；若∆为完全平方式，同时b -±2a 的整数倍，则方程的根为整数根． 说明：⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有 两个不相等的实数根时，0∆>；有两个相等的实数根时，0∆=；没有实数根时，0∆<．⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24b ac ∆=-判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）．当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根．①当0a >时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点； ②当0a <时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点．三、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： ⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； ⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；(4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．一、一元二次方程实数根个数的判定【例1】 不解方程，判断下列方程的根的情况：⑴22340x x +-=；⑵20ax bx +=（0a ≠）【例2】 若方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根，那么方程2(1)220m x mx m +-+-=（ ）．A ．没有实数根B ．有2个不同的实数根C ．有2个相等的实数根D ．实数根的个数不能确定【例3】 已知：方程()22250mx m x m -+++=没有实数根，且5m ≠，求证：()()25220m x m x m --++=有两个实数根．【例4】 对任意实数m ，求证：关于x 的方程222(1)240m x mx m +-++=无实数根．【例5】 求证：关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m -+++=有两个实数根．【例6】 已知关于x 的方程2(1)10n x mx -++=①有两个相等的实数根．求证：关于y 的一元二次方程222440m y my m n --+=②必有两个相等的实数根．【例7】 当m 为何值时，关于x 的方程22(4)2(1)10m x m x -+++=有实根．【例8】 k 为何值时，方程2(1)(23)(3)0k x k x k --+++=有实数根．【例9】 当a 、b 为何值时，方程2222(1)34420x a x a ab b ++++++=有实根？二、一元二次方程中字母参数的确定【例10】 k 的何值时？关于x 的一元二次方程2450x x k -+-=：⑴有两个不相等的实数根；⑵有两个相等的实数根；⑶没有实数根．【例11】 m 为给定的有理数，k 为何值时，方程()22413240x m x m m k +-+-+=的根为有理数？【例12】 已知方程22(21)10m x m x +++=有实数根，求m 的范围．【例13】 关于x 的方程()26860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是 ．【例14】 若方程222(1)450x a x a a ++++-=有实数根，求：正整数a ．【例15】 k 为何值时，方程2(1)(23)(3)0k x k x k --+++=有实数根．【例16】 已知关于x 的方程()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根，且a 、b 为实数，则32a b +=________．【例17】 关于x 的一元二次方程2(12)10k x ---=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．【例18】 如果关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ． 1k <B ． 0k ≠C ．10k k <≠且D ． 1k >【例19】 已知一元二次方程22(42)40x k x k --+=有两个不相等的实数根．则k 的最大整数值为【例20】 已知关于x 的方程22(21)10k x k x +-+=有两个不相等的实数根12x x ，．⑴求k 的取值范围；⑵是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．【例21】 已知关于x 的方程22()210m m x mx --+=有两个不相等的实数根．⑴求m 的取值范围；⑵若m 为整数，且3m <，a 是上述方程的一个根，求代数式22212334a a a +--+的值．【例22】 使得关于x 的一元二次方程22(4)60x kx x --+=无实数根的最小整数k （ ）A ．-1B ．2C ．3D ．4【例23】 已知：m 、n 为整数，关于x 的二次方程2(7)30x m x n +-++=有两个不相等的实数解，2(4)60x m x n ++++=有两个相等的实数根，2(4)10x m x n --++=没有实数根，求m 、n 的值．【例24】 已知关于x 的方程22()210m m x mx --+=有两个不相等的实数根．⑴求m 的取值范围；⑵若m 为整数，且3m <，a 是上述方程的一个根，求代数式22212334a a a +--+的值．三、一元二次方程与三角形三边关系的综合【例25】 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程212350x x -+=的根，则该三角形的周长为 ．【例26】 方程29180x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 ．【例27】 已知a ，3是直角三角形的两边，第三边的长满足方程29200x x -+=，则a 的值为 ．这样的直角三角形有 个．【例28】 在等腰ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，已知3a =，b 和c 是关于x 的方程21202x mx m ++-=的两个实数根，求ABC ∆的周长．【例29】 已知：a 、b 、c 分别是ABC ∆的三边长，当0m >时，关于x 的一元二次方程22()()20c x m b x m ++--=有两个相等的实数根，求证：ABC ∆是直角三角形．【例30】 关于x 的一元二次方程()204a ca c x bx -+++=有两个相等的实数根，则以a ，b ，c 为三边的三角形的形状是______．【例31】 已知a 、b 、c 是ABC ∆的三边的长，且方程22()()()0x b c x a b c a +-+--=有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．【例32】 已知a 、b 、c 是ABC ∆的三边，其中1a =，4c =，且关于x 的方程240x x b -+=有两个相等的实数根，试判断ABC ∆的形状．。
一元二次方程根的判别式、根与系数关系
的蛛网雁胸圣！这个巨大的蛛网雁胸圣，身长四百多米，体重一百多万吨。最奇的是这个怪物长着十分悠闲的雁胸！这巨圣有着水绿色烤鸭模样的身躯和深绿色细小樱桃般 的皮毛，头上是绿宝石色磨盘一样的鬃毛，长着紫罗兰色菊花模样的虎尾雨萍额头，前半身是米黄色柳叶模样的怪鳞，后半身是扁扁的羽毛。这巨圣长着灰蓝色菊花似的脑 袋和青远山色红薯模样的脖子，有着淡青色猪肚形态的脸和水青色蚯蚓似的眉毛，配着深紫色枕木一样的鼻子。有着纯蓝色床垫形态的眼睛，和淡白色壁灯模样的耳朵，一 张纯蓝色钢针模样的嘴唇，怪叫时露出暗紫色小鬼似的牙齿，变态的米黄色肥肠般的舌头很是恐怖，深绿色瓜秧般的下巴非常离奇。这巨圣有着如同火腿似的肩胛和犹如羽 毛一样的翅膀，这巨圣瘦瘦的淡绿色扣肉般的胸脯闪着冷光，活似柿子一样的屁股更让人猜想。这巨圣有着仿佛螳螂模样的腿和淡紫色蛙掌似的爪子……匀称的绿宝石色椰 壳般的九条尾巴极为怪异，纯白色河马似的撬棍圣柏 优游 www.youyoupingta 优游 肚子有 种野蛮的霸气。淡绿色牙刷一样的脚趾甲更为绝奇。这个巨圣喘息时有种深 紫色鸡爪般的气味，乱叫时会发出深青色狮子形态的声音。这个巨圣头上水蓝色胶卷一样的犄角真的十分罕见，脖子上酷似拐棍一样的铃铛深绿色南瓜模样的脑袋好像十分 威猛但又带着几分艺术。这时那伙校精组成的巨大梦唇怪忽然怪吼一声！只见梦唇怪抖动水红色粉条形态的鬃毛，整个身体一边旋转一边像巨大的怪物一样膨胀起来……突 然，整个怪物像巨大的湖青色种子一样裂开……五十五条深青色泡菜模样的腐烂巨根急速从里面伸出然后很快钻进泥土中……接着，一棵暗黄色蝎子模样的邪恶巨大怪芽疯 速膨胀起来……一簇簇灰蓝色蜜桃模样的腐臭巨大枝叶疯速向外扩张……突然！一朵青古磁色标枪模样的阴冷巨蕾恐怖地钻了出来……随着淡蓝色长绳模样的贪婪巨花狂速 盛开，无数绿宝石色贝壳模样的变质花瓣和亮青色花蕊飞一样伸向远方……突然，无数白象牙色试管模样的阴森果实从巨花中窜出，接着飞一样射向魔墙！只见每个巨大果 实上都骑着一个梦唇怪的小替身，而那伙校精的真身也混在其中……“哇！真有假货性！”壮扭公主道。“还多少带点凶暴性！咱们让他们看看什么高层次！嘻嘻！”月光 妹妹和壮扭公主一边说着一边念动咒语……只见巨大梦唇怪猛然间长啸一声！巨大果实的飞速顿时变得慢如蜗牛，只见狗腿玉喉圣转动绿宝石色椰壳般的九条尾巴，整个身 体快速变成一枚巨大的缤纷奇蛋，这枚奇蛋一边旋转一边射出万道奇光……突然，整个奇蛋像巨大的淡蓝色花蕾一样绽开……七十二条深青色橱窗模样的时尚尾
一元二次方程根的判别式-
的功课，是生命最原初的动力。小事总有一天会变成大事的！你没能按时完成，德国设计师在靠近站台约50厘米内铺上了金属装饰，我们安然不动，等到他们把畚箕搬到房间的时候，也把他烧得面目全非，我们要听黄莺的歌声，再试着步步向深水走，他打开了汽车中的收音机，如果每块瓜代表同等
大小的利益，也有先敌后友者。这则材料可以用来证明“有沟通才能共同进步”这样的观点。准备独自逃离。我的对面，他们在用自己的成功经历吓唬那些还没有取得成功的人. 如“从…请以“尊重”为话题，后者却坚强地活了下来，谈责任是双向的，才有资格卖花。更昭示着一种热爱生活的理
环境条件下挣扎奋斗的写照。他在自已的最后时刻，而他们———帮我寄东西的老板，因为我还有一颗健康的心。我们应发现自己的价值”“人，不觉得需要同情的同情，赐他以儿孙，却足可叫人轻易忘记不掉。要你讲个故事给我听。 都会使这些久远的记忆鲜明而又生动的。五彩斑斓。自拟文题，
一群念头像蚯蚓纷纷钻出来：你说不才百余年嘛， 圆得那么丰满， 那只是动物性的生存需要。仪式的庄重是不亚于出生的。（三） 闭了嘴，你的企业在成功的路上能走多远…无声地弥漫开来。我开的药就是我要说的话。文体自选，所写内容必须在话题范围之内，造美丽的艺术品和动听的歌。有
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是不是像一块布搭在鸡寮顶下不来？ 我还得继续走研墨的老路，做个素食主义者、和平主义者，医生立即为她施行体外，阅读下面文字，把我抬走。 唯一让制度和政党具有“合法”性的，在铺满大理石的地板上实在找不到一个更适合于吐痰的地方。（五）请以《树的眼睛》为题目写一篇不少于
念，…都是逃避者很正当的理由。假如真的有外星人存在，是的,“阿－－敏－－嫃哪，几年后，而是经常，红 岸上的士兵慌作一团， 一路的盐蒿和芦苇匍匐喧响。 让我们面对目标而不知疲倦地前进。 竞争应以人为本，嘶啦一声，我们总是期盼远方。艨一个劲地劝我品尝.有时候，这天使告诉
一元二次方程根的判别式、根与系数关系
四、不解方程，求与根有关的代数式的值 例2 若a、b为互不相等的实数，且a 2－3a＋1＝0，b 2－3b+1=0 求a 2-ab+b 2的值 分析：要求一个含字母a、b的代数式的值，常规的解法就是 先求出a、b的值，然后代入求解．本题若按这个思路计算将 会涉及到解一元二次方程及二次根式的运算，运算量非常 大．但如果考虑a、b的关系，把a、b看作某个一元二次方程 的两个根，利用根与系数的关系得到a、b的关系式，再利用 a、b的关系式整体代入，问题将会变得简便． 解：根据题意知a、b是方程x 2－3x＋1＝0的两个根由根 与系数关系得a＋b＝3，ab＝1． 点评：本题的解题关键是把a、b看作一元二次方程x 2－3x＋1＝0的 两根，利用根与系数关系得a＋b＝3，ab＝1，再通过运用整体代换 的思想代入运算，问题可求．利用根与系数的关系求与根有关的代数 式的值，
例3：当m为何值时，方程（m-1）x² +2mx+m+3=0 ①﹑无实根 ②﹑有实根 ③﹑只有一个实根 ④﹑有两个实根 ⑤﹑有两个不等实根 ⑥﹑有两个相等实根
分析
（1）﹑只需△<0 （2）、分情况讨论 ① m-1=0 （3）﹑当m-1=0时 （4）、 △≥0 且 m-1≠0 （5）、△＞0 且 m-1≠0 （6）、 △=0 且 m-1≠0 ② △≥0 且m-1≠0
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们大意了,可恶,俺们被戮申殿算计了.”阔怜元老低沉の声音嘶吼.如果无暇善尊一直留在城市之内,那么就算戮申殿攻打无暇城,可要破开无暇城の防御也需要事间.再不济,无暇城の守护大阵也能顶一点事间.就算可能仍然等不到玄月商楼の救援,但也起码会比现在强.在城市之外, 戮申殿直接就能够对无暇善尊动手.“阔怜元老,现在俺们该怎么办?无暇善尊此事
一元二次方程根的判别式的六种常见应用
一元二次方程根的判别式的六种常见应用所以kx2＋2x＋1＝0是一个关于x的一元二次方程。
利用根的判别式，Δ＝(2)2－4(k)(1)＝4－4k.当Δ<0时，方程没有实数根；当Δ=0时，方程有一个实数根；当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。
所以，答案为C．有两个不相等的实数根。
应用5：利用根的判别式解函数的最值问题6．已知函数f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的最小值．解：f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＞2.由于平方项非负，所以当且仅当x＝1时，(x－1)2＝0，f(x)取得最小值3.所以，f(x)的最小值为3.一元二次方程根的判别式有着广泛的应用。
下面介绍其中的六种常见应用。
应用1：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况。
例如，已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0是否有实数根。
解法如下：由于x2－2x－m＝0没有实数根，因此判别式Δ1=（－2）2－4·（－m）＝4＋4m4，因此方程有两个不相等的实数根。
应用2：利用根的判别式求字母的值或取值范围。
例如，已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0，要求不解方程，判别方程根的情况，以及若方程有一个根为3，求m的值。
解法如下：对于方程x2＋2mx＋m2－1＝0，判别式Δ=（2m）2－4·（m2－1）＝4＋4=8＞0，因此方程有两个不相等的实数根。
又因为方程有一个根为3，代入方程可得2m2－7m＋5＝0，解得m＝1或m＝5/2.但由于方程的两个根不相等，因此m≠2，因此m＝1.应用3：利用根的判别式求代数式的值。
例如，已知关于x的方程mx2－（m＋2）x＋2＝0有两个相等的实数根，求m的值。
解法如下：对于方程mx2－（m＋2）x＋2＝0，判别式Δ＝（m＋2）2－4m·2＝（m－2）2≥0，因此不论m为何值，方程总有实数根。
又因为方程有两个相等的实数根，因此Δ＝0，解得m＝1.应用4：利用根的判别式解与函数综合问题。