抛物线焦点弦性质总结30条

基础回顾

1. 以AB

2. 2

124

p x x =3. 212y y p =-;

4. '90AC B ∠=;

5. ''90A FB ∠=;

6. 123222()2sin p p AB x x p x α=++=+

=; 7. 112AF BF P +=; 8. A 、O 、'B 三点共线；

9. B 、O 、'

A 三点共线； 10. 2

2sin AOB P S α

=； 11. 23()2

AOB S P AB =（定值）； 12. 1cos P AF α=

-；1cos P BF α=+； 13. 'BC 垂直平分'B F ；

14. 'AC 垂直平分'A F ；

15. 'C F AB ⊥；

16. 2AB P ≥； 17. 11'('')22CC AB AA BB =

=+； 18. AB 3

P K =y ； 19. 2

p 22

y tan =x -α;

20. 2A'B'4AF BF =⋅;

21. 1C'F A'B'2

=. 22. 切线方程 ()x x m y y +=00

性质深究

一)焦点弦与切线

1、 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有

何特殊之处？

结论1：交点在准线上

先猜后证：当弦x AB ⊥轴时，则点P 的坐标为⎪⎭

⎫ ⎝⎛

-0,2p 在准线上． 证明: 从略

结论2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴

结论3 弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．

2、上述命题的逆命题是否成立？

结论4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点

先猜后证：过准线与x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB 的弦必过焦点．

结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．

3、AB 是抛物线px y 22=（p ＞0）焦点弦，Q 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，l AA ⊥1，l BB ⊥1，过A ，B 的切线相交于P ，PQ 与抛物线交于点M ．则有

结论6P A ⊥PB ．

结论7PF ⊥AB ．

结论8 M 平分PQ ．

结论9 P A 平分∠A 1AB ，PB 平分∠B 1BA ．

结论2

PF FB FA =

结论11PAB S ∆2min p =

二)非焦点弦与切线

思考：当弦AB 不过焦点，切线交于P 点时，

也有与上述结论类似结果：

结论12 ①p y y x p 221=，2

21y y y p += 结论13 P A 平分∠A 1AB ，同理PB 平分∠B 1BA ．

结论14 PFB PFA ∠=∠

结论15 点M 平分PQ

结论16 2

PF FB FA =

相关考题

1、已知抛物线y x 42

=的焦点为F ，A ，B 是抛物线上的两动点，且FB AF λ=（λ＞0），过A ，B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ，

（1）证明：AB FM ⋅的值；

（2）设ABM ∆的面积为S ，写出()λf S =的表达式，并求S 的最小值．

2、已知抛物线C 的方程为y x 42=，焦点为F ，准线为l ，直线m 交抛物线于两点A ，B ；

（1）过点A 的抛物线C 的切线与y 轴交于点D ，求证：DF AF =；

（2）若直线m 过焦点F ，分别过点A ，B 的两条切线相交于点M ，求证：AM ⊥BM ，且点M 在直线l 上．

3、对每个正整数n ，()n n n y x A ,是抛物线y x 42=上的点，过焦点F 的直线F A n 交抛物线于另一点()n n n t s B ,， （1）试证：4-=⋅n n s x （n ≥1）

（2）取n n x 2=，并C n 为抛物线上分别以A n 与B n 为切点的两条切线的交点，求证：

122121+-=++++-n n n FC FC FC （n ≥1）