切线的判定

A
C
B
〖例2〗
已知： BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以 为圆心，OD为 已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为 平分线上一点 B 半径作⊙ 半径作⊙O。 D 求证： AC相切 相切。 求证：⊙O与AC相切。 O
A
证明： 证明：过O作OE⊥AC于E。 OE⊥AC于 AO平分 BAC， 平分∠ ∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB OE＝ ∴ OE＝OD AC是 的切线。 ∴ AC是⊙O哪些？ 判定切线的方法有哪些？ ⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半 直线与圆的公共点已知时， 再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直） 。（连半径 径，再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直） 直线与圆的公共点不确定时， ⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的 垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（ 。（作垂 垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂 证半径） 直，证半径）
E C
小结
与例2的证法有何不同? 例1与例2的证法有何不同?
D O A E A C B C O B
(1)如果已知直线经过圆上一点, (1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和 如果已知直线经过圆上一点 圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。 圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。 简记为：连半径,证垂直。 简记为：连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共 则过圆心作直线的垂线段为辅助线, 点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线 段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。 段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。
又∵ 点p在⊙O上 在 上 O E B P C
∴PE为⊙0的切线。 PE为 的切线。
练 习
如图,AB为⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为 ，OC平行 为 的直径， 是 的切线， 如图 的直径 的切线 切点为B， 平行 于弦AD，求证： 是 的切线。 于弦 ，求证：CD是⊙O的切线。 的切线 D A C B
练 习
如图, ABC中 AB=AC， AB为直径的 如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， 为直径的⊙ 交边BC BC于 A PE⊥AC于 PE⊥AC于E。 求证:PE :PE是 的切线。 求证:PE是⊙O的切线。 证明：连结OP。 证明：连结OP。 OP AB=AC,∴∠B=∠C。 ∵AB=AC,∴∠B=∠C。 OB=OP，∴∠B=∠OPB B=∠OPB， ∵OB=OP，∴∠B=∠OPB， ∴∠OPB=∠C OPB=∠C。 ∴∠OPB=∠C。 OP∥AC。 ∴OP∥AC。 PE⊥AC， ∵PE⊥AC， PE⊥OP。 ∴PE⊥OP。
分析：由于AB过 分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明 AB 上的点C 所以连接OC， OC AB⊥OC即可 即可。 AB⊥OC即可。
O
证明：连结OC(如图)。 证明：连结OC(如图) OC(如图 OA＝OB,CA＝ ∵ OA＝OB,CA＝CB, AB⊥OC。 ∴ AB⊥OC。 又∵ 点C在⊙O上 AB是 的切线。 ∴ AB是⊙O的切线。
切线的判定
想一想
已知OA 已知OA是⊙O的半径，过点A作直线l与OA垂直，则直线l和 OA是 半径，过点A作直线l OA垂直 则直线l 垂直， 的位置关系是怎样的？为什么？ ⊙O的位置关系是怎样的？为什么？
切线的判定定理
过半径的外端且垂直于这 条半径的直线是圆的切线。 条半径的直线是圆的切线。
r
O
利用判定定理时，要注意直线须具备以 利用判定定理时， 下两个条件,缺一不可: 下两个条件,缺一不可: (1)直线经过半径的外端 直线经过半径的外端; (1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直 直线与这半径垂直。 (2)直线与这半径垂直。
〖例1〗
已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。 经过⊙ 上的点C 并且OA=OB，CA=CB。 已知：直线AB经过 求证：直线AB是⊙O的切线。 的切线。 求证：直线AB是
几何符号表达： 几何符号表达： ∵ OA⊥l，且点A在⊙O上 OA⊥l 直线l 的切线。 ∴ 直线l是⊙O的切线。
A
l
判 断
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ × ） 过半径的外端的直线是圆的切线（ 2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ × ） 与半径垂直的的直线是圆的切线（
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