2020高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数6第6讲对数与对数函数课件理
A．x1x2<0
B．x1x2＝0
C．x1x2>1
D．0<x1x2<1
解析：选 D.作出 y＝10x 与 y＝|lg(－x)|的大致图象，如图．
显然 x1<0，x2<0. 不妨令 x1<x2，则 x1<－1<x2<0， 所以 10x1＝lg(－x1)，10x2＝－lg(－x2)， 此时 10x1<10x2，即 lg(－x1)<－lg(－x2)， 由此得 lg(x1x2)<0，所以 0<x1x2<1，故选 D.
3．设 2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则 m 等于________． 解析：由 2a＝5b＝m 得 a＝log2m，b＝log5m， 所以1a＋1b＝logm2＋logm5＝logm10. 因为1a＋1b＝2，所以 logm10＝2. 所以 m2＝10，所以 m＝ 10. 答案： 10
4．已知 log23＝a，3b＝7，则 log3 72 21的值为________．
已知 a>0，a≠1，函数 y＝ax 与 y＝loga(－x)的图象可能是( )
解析：选 B.函数 y＝loga(－x)的图象与 y＝logax 的图象关于 y
轴对称，符合条件的只有 B.
如果 log1x<log1y<0，那么( )
2
2
A．y<x<1
B．x<y<1
C．1<x<y
D．1<y<x
解析：选 D.由 log1x<log1y<0，得 log1x<log1y<log11，所以 x>y>1.
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)loga(MN)＝logaM＋logga(x＋y)．( )
(3)函数
y＝log2x
及
y＝log13x 3
都是对数函数．(
)
(4) 对 数 函 数 y ＝ logax(a>0 且 a≠1) 在 (0 ， ＋ ∞) 上 是 增 函
(2)由题意得 a>0 且 a≠1，故必有 a2＋1>2a， 又 loga(a2＋1)<loga2a<0，所以 0<a<1， 同时 2a>1，所以 a>12.综上，a∈12，1. 【答案】 (1)D (2)C
角度二 和对数函数有关的复合函数 已知函数 f(x)＝loga(3－ax)．
(1)当 x∈[0，2]时，函数 f(x)恒有意义，求实数 a 的取值范围； (2)是否存在这样的实数 a，使得函数 f(x)在区间[1，2]上为减函 数，并且最大值为 1？如果存在，试求出 a 的值；如果不存在， 请说明理由．
在(0，＋∞)上是_增__函___数__ 在(0，＋∞)上是_减__函__数__
3. 反函数 指数函数 y＝ax 与对数函数 y＝logax 互为反函数，它们的图象 关于直线_y_＝__x__对称．
导师提醒 1．记住换底公式的三个重要结论 ①logab＝log1ba； ②logambn＝mn logab； ③logab·logbc·logcd＝logad.
性质 a≠1) loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝___N___ (a>0，且 a≠1)
运算 法则
换底 公式
loga(M·N)＝_lo_g_a_M__＋_lo_g_a_N__ logaMN ＝_lo_g_a_M__－_lo_g_a_N__ logaMn＝nlogaM(n∈R)
a>0，且 a≠1， M>0，N>0
【解】 (1)因为 a>0 且 a≠1，设 t(x)＝3－ax， 则 t(x)＝3－ax 为减函数， x∈[0，2]时，t(x)的最小值为 3－2a， 当 x∈[0，2]时，f(x)恒有意义， 即 x∈[0，2]时，3－ax>0 恒成立． 所以 3－2a>0.所以 a<32. 又 a>0 且 a≠1，所以 a∈(0，1)∪1，32.
当 0<a<1 时，如图所示，
要使 x2<logax 在 x∈0，12上恒成立，需 f112≤f212，所以有 122≤loga12，解得 a≥116，所以116≤a<1. 即实数 a 的取值范围是116，1.
[迁移探究 2] (变条件)若本例(2)变为：当 0<x≤14时， x<logax， 求实数 a 的取值范围．
数．( )
(5) 函 数
y ＝ ln
1＋x 1－x
与
y ＝ ln(1 ＋ x) － ln(1 － x) 的 定 义 域 相
同．( )
(6)对数函数 y＝logax(a>0 且 a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点
(a，1)，1a，－1，函数图象只经过第一、四象限．(
)
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)√
2．掌握对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线 y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为 相应的底数．
故 0<c<d<1<a<b. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内与 y＝1 相交的对数函 数从左到右底数逐渐增大．
3．注意一个易错点 当对数函数的底数 a 的大小不确定时，需分 a>1 和 0<a<1 两种 情况讨论．
解析：原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＝lg 4＋lg 25 ＝2. 答案：2
2．若 lg x＋lg y＝2lg(2x－3y)，则 log32xy的值为________． 解析：依题意，可得 lg(xy)＝lg(2x－3y)2， 即 xy＝4x2－12xy＋9y2， 整理得：4xy2－13xy＋9＝0，解得xy＝1 或xy＝94. 因为 x>0，y>0，2x－3y>0， 所以xy＝94，所以 log32xy＝2. 答案：2
(2)t(x)＝3－ax，因为 a>0， 所以函数 t(x)为减函数． 因为 f(x)在区间[1，2]上为减函数， 所以 y＝logat 为增函数， 所以 a>1，当 x∈[1，2]时，t(x)最小值为 3－2a，f(x)最大值为 f(1)＝loga(3－a)， 所以3lo－ga2（a>30－，a）＝1，即aa＝<3232，. 故不存在这样的实数 a，使得函数 f(x)在区间[1，2]上为减函数， 并且最大值为 1.
A．(0，1)
B.0，12
C.12，1
D．(0，1)∪(1，＋∞)
【解析】 (1)a＝log3 72，c＝log1315＝log35，由对数函数 y＝log3x 在(0，＋∞)上单调递增，可得 log35＞log372＞log33，所以 c＞a ＞1. 借助指数函数 y＝14x的图象易知 b ＝1413∈(0，1)，故 c＞ a＞b，选 D.
(1)比较对数值的大小的方法 ①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断； 若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论； ②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后， 再进行比较； ③若底数与真数都不同，则常借助 1，0 等中间量进行比较．
(2)解对数不等式的类型及方法 ①形如 logax>logab 的不等式，借助 y＝logax 的单调性求解，如 果 a 的取值不确定，需分 a>1 与 0<a<1 两种情况讨论； ②形如 logax>b 的不等式，需先将 b 化为以 a 为底的对数式的 形式再进行求解． (3)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤
1．已知函数 y＝loga(x＋c)(a，c 为常数，其中 a>0，a≠1)的图 象如图，则下列结论成立的是( )
A．a>1，c>1
B．a>1，0<c<1
C．0<a<1，c>1
D．0<a<1，0<c<1
解析：选 D.由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知
0<a<1，0<c<1.
2．设方程 10x＝|lg(－x)|的两个根分别为 x1，x2，则( )
对数函数的图象及应用(典例迁移) (1)(2019·合 肥 模 拟 ) 函 数 y ＝ ln(2 － |x|) 的 大 致 图 象 为 ()
(2)当 0<x≤12时，4x<logax，则 a 的取值范围是(
)
A.
0，
2
2
C．(1， 2)
B.
22，1
D．( 2，2)
【解析】 (1)令 f(x)＝ln(2－|x|)，易知函数 f(x)的定义域为{x| －2<x<2}，且 f(－x)＝ln(2－|－x|)＝ln(2－|x|)＝f(x)，所以函数 f(x)为偶函数，排除选项 C，D.当 x＝32时，f32＝ln12<0，排除选 项 B，故选 A.
2
2
2
2
2
(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝log2(x2＋a)．若 f(3)＝1， 则 a＝________． 解析：由 f(3)＝1 得 log2(32＋a)＝1，所以 9＋a＝2，解得 a＝ －7. 答案：－7
函数 y＝ log0.5（4x－3）的定义域为________．
解析：要使函数有意义，须满足4loxg－0.53（>04，x－3）≥0， 解得34<x≤1. 答案：34，1
logab＝llooggccba(a>0，且 a≠1，c>0，且 c≠1，b>0)
2.对数函数的图象与性质 a>1
0<a<1
图象
性质
定义域：__(0_，__＋__∞__)__
值域：R 过定点_(1_，__0_)_
2020版高考数学新设计大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第6节对数与对数函数课件理新人教A版ppt版
知识衍化体验
考点聚集突破
规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特 殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法 求解.
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【训练2】 (1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所 示，则a，b满足的关系是( )
解析 (1)由题意知lg 2＋lg(2x＋5)＝2lg(2x＋1)，∴2(2x＋5)＝(2x＋1)2，(2x)2－9＝0
，2x＝3，x＝log23. (2)设 logb a＝t，则 t>1，因为 t＋1t ＝52，所以 t＝2，则 a＝b2. 又ab＝ba，所以b2b＝bb2，即2b＝b2，又a>b>1，解得b＝2，a＝4.
－1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调
递减，所以排除A，B；又f(2－x)＝ln(2－x)＋ln x＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x
＝1对称，C正确，D错误.
答案 C
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角度2 比较大小或解简单的不等式
【例 3－2】 (1)(一题多解)(2018·天津卷)已知 a＝log2e，b＝ln 2，c＝log1213，则 a，b，c 的大小关系为( )
2.(必修 1P73T3 改编)已知 a＝2－13，b＝log213，c＝log1213，则(
)
A.a>b>c
B.a>c>b
C.c>b>a
D.c>a>b
解析 ∵0<a<1，b<0，c＝log1213＝log23>1.∴c>a>b. 答案 D
数学(文)一轮复习：第二章 基本初等函数、导数及其应用 第讲对数与对数函数
第6讲对数与对数函数,)1．对数概念如果a x＝N(a〉0,a≠1），那么数x叫做以a 为底N的对数，记作x＝log a N．其中a叫做对数的底数，N叫做真数性质底数的限制：a>0，且a≠1对数式与指数式的互化：a x＝N⇒log a N＝x负数和零没有对数1的对数是零：log a1＝0底数的对数是1：log a a＝1对数恒等式：a log a N＝N运算性质log a（M·N)＝log a M＋log a N a>0，且a≠1, log a错误!＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M（n∈R)M >0,N〉0 2.对数函数的图象与性质a〉10<a<1图象性质定义域：（0，＋∞）值域:R过定点（1，0）当x〉1时，y〉0当0〈x〈1时,y<0当x〉1时，y〈0当0<x<1时，y〉在（0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞）上是减函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数,它们的图象关于直线y＝x对称．1．辨明三个易误点（1）在运算性质中，要特别注意条件，底数和真数均大于0，底数不等于1。
（2)对公式要熟记，防止混用．（3）对数函数的单调性、最值与底数a有关，解题时要按0〈a 〈1和a〉1分类讨论，否则易出错．2．对数函数图象的两个基本点（1）当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a〈1时，对数函数的图象“下降”．(2)对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点(a，1），错误!，函数图象只在第一、四象限．3．换底公式及其推论(1）log a b＝错误!(a，c均大于0且不等于1，b〉0）；(2）log a b·log b a＝1，即log a b＝错误!（a，b均大于0且不等于1)；（3)log am b n＝错误!log a b（a〉0且a≠1，b>0，m≠0,n∈R）；(4)log a b·log b c·log c d＝log a d（a，b，c均大于0且不等于1,d>0）．1．函数y＝错误!ln(1－x）的定义域为（)A．(0，1) B．D．B 因为y＝错误!ln(1－x）,所以错误!解得0≤x〈1.2.错误!(log29）·（log34)＝（)A．错误!B．错误!C．2 D．4D原式＝错误!·错误!＝4。
高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 6 第6讲 对数与对数函数课件 理
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第十六页，共四十八页。
4．已知 log23＝a，3b＝7，则 log3 72 21的值为________．
解析：由题意 3b＝7，所以 log37＝b.
所 以 log3
72
21 ＝ log
6384＝来自log284 log263
＝
log2（22×3×7） log2（32×7）
＝
2＋2lolog2g32＋3＋lolgo2g32·3·lolog3g737＝2＋ 2a＋a＋abab.
a>0，且 a≠1， M>0，N>0
logab＝llooggccba(a>0，且 a≠1，c>0，且 c≠1，b>0)
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第三页，共四十八页。
2.对数函数的图象与性质 a>1
0<a<1
图象
性质
定义域：___(0_，__＋__∞_)__
值域：R 过定点__(1_，__0)_
当 x>1 时，y>0
[迁移探究 2] (变条件)若本例(2)变为：当 0<x≤14时， x<logax， 求实数 a 的取值范围．
解：若 x<logax 在 x∈0，14成立，则 0<a<1，且 y＝ x的图象 在 y＝logax 图象的下方，如图所示，
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第二十四页，共四十八页。
由图象知
14<loga14，所以0a<12>a14<，1，
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第二十六页，共四十八页。
1．已知函数 y＝loga(x＋c)(a，c 为常数，其中 a>0，a≠1)的图 象如图，则下列结论成立的是( )
北师大版高考数学一轮复习统考第2章函数与基本初等函数第6讲对数与对数函数课件
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解析 10答案
3．已知 a>0，a≠1，函数 y＝ax 与 y＝loga(－x)的图象可能是( )
解析 若 a>1，则 y＝ax 是增函数，y＝loga(－x)是减函数；若 0<a<1， 则 y＝ax 是减函数，y＝loga(－x)是增函数，故选 B．
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例1
(1)化简12lg 3429－43lg
8＋lg
1 245＝__2___．
解析
1 2lg
4392－43lg
8＋lg
245
＝12×(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(lg 5＋2lg 7) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋12lg 5＋lg 7
＝12lg 2＋12lg 5＝12lg (2×5)＝12．
解析 11答案
4．函数 y＝lg |x|( ) A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减 C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 解析 显然 y＝lg |x|是偶函数，又 x>0 时，y＝lg x 是单调递增函数，所 以 y＝lg |x|在(－∞，0)上单调递减，故选 B．
3
3．对数函数的图象与性质 a>1
图 象
0<a<1
定义域 值域
(0，＋∞) R
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4
定点
单调性 函数值 正负
a>1
0<a<1
过点□04 ________(_1_,0_)_________
高考数学一轮复习 第2章 函数的概念与基本初等函数 第6讲 对数与对数函数课件 文
(1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义 域上进行． (2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论 错误． (3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优 先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定 要明确底数 a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的 限制条件．
A．3
B．13
C． 3
D．
3 3
解析：选 D.因为 xlog34＝1，即 log34x＝1.所以 4x＝3.即 2x＝ 3，
所以
2－x＝
1＝ 3
3 3.
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(必修 1 P71 例 7(1)改编)函数 y＝log2x2 的大致图象是( )
解析：选 D.法一：f(－x)＝log2(－x)2＝log2x2＝f(x)． 所以 y＝log2x2 的图象关于 y 轴对称，故选 D. 法二：y＝log2x2＝2log2|x|＝22lloogg22x（，－x＞ x）0， ，x＜0. 作出图象可知选 D.
【答案】
(1)D
1 (2)4
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(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象 上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合 要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问 题，利用数形结合法求解．
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【对点通关】 1．(必修 1 P73 练习 T1 改编)若函数 y＝a|x|(a>0，且 a≠1)的值 域为{y|y≥1}，则函数 y＝loga|x|的图象大致是( )
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【对点通关】
1．(2016·高考全国卷Ⅰ)若 a>b>0，0<c<1，则( )
新教材高考数学一轮复习第2章函数的概念与性质第6节对数与对数函数课件新人教B版
第6节 对数与对数函数
01 必备知识·回顾教材重“四基”
一、教材概念·结论·性质重现 1．对数的概念 一般地，如果__a_b＝__N___(a>0，且a≠1)，那么幂指数b称为以a为底 N的对数，记作b＝_l_o_g_aN__，其中a称为对数的__底__数__，N称为对数的 _真__数___．
2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝___lo_g_a_M_＋__l_o_g_a_N___； ②logaMN ＝___l_o_g_aM__－__l_o_g_aN___； ③logaMn＝__n__lo_g_a_M___ (n∈R)．
3．对数函数 (1)一般地，函数___y_＝__l_o_g_ax___(a>0，且a≠1)称为对数函数，其 中a是常数，a>0且a≠1.
(2)对数函数的图像与性质
0<a<1a>1来自图像定义域 值域
性质
0<a<1
a>1
_(_0_，__＋__∞__) _
R 过定点___(1_,_0_)____，即 x＝1 时，y＝0
1 2 3 45
4．若函数 y＝f(x)是函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的反函数，且 f(2)＝1，
则 f(x)＝( )
A．log2x
B．21x
C．log0.5x
D．2x－2
A 解析：由题意知 f(x)＝logax(a>0，且 a≠1)．因为 f(2)＝1，所
以 loga2＝1.所以 a＝2.所以 f(x)＝log2x.
12345
2．计算 log29×log34＋2log510＋log50.25＝( )
2019-2020年高考数学总复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第6讲 对数与对数函数
2019-2020年高考数学总复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第6讲对数与对数函数最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数的图象通过的特殊点；3.知道对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数.知 识 梳 理1．对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．对数的性质与运算性质 (1)对数的性质①a log aN ＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0且a ≠1)； ③零和负数没有对数．(2)对数的运算性质(a >0，且a ≠1，M >0，N >0)①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )．(3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .3．对数函数的图象与性质a ＞1 0＜a ＜1图象定义域 (1)(0，＋∞)值域(2)R性质 (3)过点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0(4)当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1时，y ＜0 (5)当x ＞1时，y ＜0；当0＜x ＜1时，y ＞0 (6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示 (1)log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c (×)(2)log 2x 2＝2log 2x (×)(3)函数y ＝log x ⎝⎛⎭⎫x －12的定义域为{x |x ＞12}(×) (4)对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．(√)2．(xx·四川卷)已知b ＞0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝adD ．d ＝a ＋c解析 由已知得b ＝5a ，b ＝10c,5d ＝10，∴5a ＝10c,5d ＝10，同时取以10为底的对数可得， a lg 5＝c ，d lg 5＝1，∴c a ＝1d ，即a ＝cd .答案 B3．(xx·安徽卷)⎝⎛⎭⎫1681-34 ＋log 354＋log 345＝________. 解析 ⎝⎛⎭⎫1681-34 ＋log 354＋log 345＝⎝⎛⎭⎫234×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34 ＋log 3⎝⎛⎭⎫54×45＝⎝⎛⎭⎫23－3＋log 31＝⎝⎛⎭⎫323＋0＝278. 答案2784．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________． 解析 函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞， 令t ＝2x ＋1(t >0)．因为y ＝log 5t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数， t ＝2x ＋1在(－12，＋∞)上为增函数，所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 答案 ⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ 5．(人教A 必修1P75B2改编)若log a 34＜1(a ＞0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________．解析 当0＜a ＜1时，log a 34＜log a a ＝1，∴0＜a ＜34；当a ＞1时，log a 34＜log a a ＝1，∴a ＞1.答案 ⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞)考点一 对数的运算【例1】 (1)(log 29)·(log 34)＝( ) A.14 B ．12C ．2D ．4(2)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2＝________.解析 (1)(log 29)·(log 34)＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3lg 2·2lg 2lg 3＝4.(2)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5 ＝2(lg 2＋lg 5)＝2. 答案 (1)D (2)2规律方法 在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式．【训练1】 (1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于( )A.10 B ．10 C ．20D ．100(2)lg 5＋lg 20的值是________．解析 (1)∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. ∴m ＝10.(2)原式＝lg 100＝lg 10＝1. 答案 (1)A (2)1考点二 对数函数的图象及其应用【例2】 (1)(xx·福建卷)若函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )(2)(xx·石家庄模拟)设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2＜0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2＞1D ．0＜x 1x 2＜1解析 (1)由y ＝log a x 的图象可知log a 3＝1，所以a ＝3.对于选项A ：y ＝3－x ＝⎝⎛⎭⎫13x 为减函数，A 错误；对于选项B ：y ＝x 3，显然满足条件；对于选项C ：y ＝(－x )3＝－x 3在R 上为减函数，C 错误；对于选项D ：y ＝log 3(－x )，当x ＝－3时，y ＝1，D 错误．故选B.(2)构造函数y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|，并作出它们的图象，如图所示．因为x 1，x 2是10x ＝|lg(－x )|的两个根，则两个函数图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，不妨设x 2＜－1，－1＜x 1＜0，则10x 1＝－lg(－x 1)，10x 2＝lg(－x 2)，因此10x 2－10x 1＝lg(x 1x 2)，因为10x 2－10x 1＜0，所以lg(x 1x 2)＜0，即0＜x 1x 2＜1，故选D. 答案 (1)B (2)D规律方法 在解决对数函数图象的相关问题时，要注意：(1)底数a 的值对函数图象的影响；(2)增强数形结合的解题意识，使抽象问题具体化．【训练2】 已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a ＞0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A ．0＜a －1＜b ＜1 B ．0＜b ＜a －1＜1 C ．0＜b －1＜a ＜1 D ．0＜a －1＜b －1＜1解析 由函数图象可知，f (x )在R 上单调递增，故a ＞1.函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1＜log a b ＜0，解得1a ＜b ＜1.综上有0＜1a＜b ＜1.答案 A考点三 对数函数的性质及其应用【例3】 (1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A ．a ＞c ＞b B ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞) 解析 (1)∵3＜2＜3,1＜2＜5，3＞2，∴log 33＜log 32＜log 33，log 51＜log 5 2＜log 55，log 23＞log 22，∴12＜a ＜1,0＜b ＜12，c ＞1，∴c ＞a ＞b . (2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧ g 1＞0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ≥1，解得1≤a ＜2，即a ∈[1,2)，故选A.答案 (1)D (2)A规律方法 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．【训练3】 (1)设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，⎝⎛⎭⎫12b ＝log 12b ，⎝⎛⎭⎫12c ＝log 2c ，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0， log 12 －x ，x ＜0.若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析 (1)∵a ＞0，∴2a ＞1，∴log 12 a ＞1，∴0＜a ＜12.又∵b ＞0，∴0＜⎝⎛⎭⎫12b ＜1，∴0＜log 12 b ＜1，∴12＜b ＜1. 又∵⎝⎛⎭⎫12c＞0，∴log 2c ＞0，∴c ＞1，∴0＜a ＜12＜b ＜1＜c ，故选A.(2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 12－a ＞log 2－a ，解得a ＞1或－1＜a ＜0. 答案 (1)A (2)C[思想方法]1．研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a ＞1和0＜a ＜1的两种不同情况．有些复杂的问题，借助于函数图象来解决，就变得简单了，这是数形结合思想的重要体现．2．利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．3．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定．[易错防范]1．在运算性质log a M n ＝n log a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M n＝n log a |M |(n ∈N ＋，且n 为偶数)．2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a c D ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c解析 log a b ·log c a ＝log a b ·1log a c ＝log a b log a c ＝log c b ，故选B.答案 B2．(xx·郑州一模)函数y＝lg|x－1|的图象是()解析 当x ＝1时，函数无意义，故排除B ，D.又当x ＝2或0时，y ＝0，所以A 项符合题意．答案 A3．(xx·安徽卷)设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．c ＜a ＜b C ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b解析 由3＜7＜9得log 33＜log 37＜log 39，∴1＜a ＜2，由21.1＞21＝2得b ＞2，由0.83.1＜0.80＝1得0＜c ＜1，因此c ＜a ＜b ，故选B.答案 B4．函数f (x )＝log a (ax －3)在[1,3]上单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(0，13)D ．(3，＋∞)解析 由于a ＞0，且a ≠1，∴u ＝ax －3为增函数，∴若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数，因此a ＞1.又y ＝ax －3在[1,3]上恒为正，∴a －3＞0，即a ＞3，故选D.答案 D5．(xx·长春质检)已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则( ) A ．f (3)＜f (－2)＜f (1) B ．f (1)＜f (－2)＜f (3) C ．f (－2)＜f (1)＜f (3) D ．f (3)＜f (1)＜f (－2)解析 因为f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，所以a ＞1，f (1)＜f (2)＜f (3)．又函数f (x )＝log a |x |为偶函数，所以f (2)＝f (－2)，所以f (1)＜f (－2)＜f (3)．答案 B 二、填空题6．(xx·陕西卷)已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________. 解析 ∵4a ＝2，∴a ＝log 42＝12，∴lg x ＝12，∴x ＝1012 ＝10.答案107．函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是⎝⎛⎭⎫23，＋∞，则a ＝______. 解析 要使函数有意义，则3x －a ＞0，即x ＞a3，∴a 3＝23，∴a ＝2. 答案 28．(xx·淄博一模)已知函数f (x )为奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 2x ，则满足不等式f (x )＞0的x 的取值范围是________．解析 由题意知y ＝f (x )的图象如图所示， 则f (x )＞0的x 的取值范围为(－1,0)∪(1，＋∞)． 答案 (－1,0)∪(1，＋∞) 三、解答题9．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，(1)求函数f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的奇偶性； (3)判断函数f (x )的单调性．解 (1)要使f (x )有意义，需满足1－x1＋x＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＞0，1＋x ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＜0，1＋x ＜0，解得－1＜x ＜1，故函数f (x )的定义域为(－1,1)． (2)由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)，关于坐标原点对称，又f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝－lg 1－x 1＋x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(3)由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)．设－1＜x 1＜x 2＜1，则f (x 1)－f (x 2)＝lg 1－x 11＋x 1－lg 1－x 21＋x 2＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 11＋x 1·1＋x 21－x 2＝lg 1－x 1x 2＋x 2－x 11－x 1x 2－x 2－x 1. ∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴1－x 1x 2＋x 2－x 1＞1－x 1x 2－(x 2－x 1)＝(1＋x 1)(1－x 2)＞0， ∴1－x 1x 2＋x 2－x 11－x 1x 2－x 2－x 1＞1，∴lg1－x 1x 2＋x 2－x 11－x 1x 2－x 2－x 1＞0，即f (x 1)－f (x 2)＞0，∴f (x )在(－1,1)上是减函数．10．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值． 解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2) ＝12()log 2a x ＋3log a x ＋2＝12⎝⎛⎭⎫log a x ＋322－18. 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32. 又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)．∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12⎝⎛⎭⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝2－13， 此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝⎛⎭⎫2－13－32＝2∉[2,8]，舍去．若12⎝⎛⎭⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12， 此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝⎛⎭⎫12－32＝22∈[2,8]，符合题意，∴a ＝12. 能力提升题组(建议用时：25分钟)11．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝( ) A ．1B ．45C ．－1D ．－45解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，因为4＜log 220＜5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f ⎝⎛⎭⎫log 245＝－⎝⎛⎭⎫2log 245＋15＝－1. 答案 C12．当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22 B ．⎝⎛⎭⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)解析 由题意得，当0＜a ＜1时，要使得4x ＜log a x ⎝⎛⎭⎫0＜x ≤12，即当0＜x ≤12时，函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方．又当x ＝12时，412＝2，即函数y ＝4x 的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，把点⎝⎛⎭⎫12，2代入函数y ＝log a x ，得a ＝22，若函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22＜a ＜1(如图所示)．当a ＞1时，不符合题意，舍去．所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，1. 答案 B13．(xx·湘潭模拟)已知函数f (x )＝ln x 1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0＜a ＜b ＜1，则ab 的取值范围是________．解析 由题意可知ln a 1－a ＋ln b 1－b＝0， 即ln ⎝⎛⎭⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14， 又0＜a ＜b ＜1，∴0＜a ＜12， 故0＜－⎝⎛⎭⎫a －122＋14＜14. 答案 ⎝⎛⎭⎫0，14 14．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x .(1)求f ⎝⎛⎭⎫12 014＋f ⎝⎛⎭⎫－12 014的值；(2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)由f (x )＋f (－x )＝log 21－x 1＋x ＋log 21＋x 1－x＝log 21＝0.∴f ⎝⎛⎭⎫12 014＋f ⎝⎛⎭⎫－12 014＝0.(2)f (x )的定义域为(－1,1)，∵f (x )＝－x ＋log 2(－1＋2x ＋1)， 当x 1<x 2且x 1，x 2∈(－1,1)时，f (x )为减函数，∴当a ∈(0,1)，x ∈(－a ，a ]时f (x )单调递减，∴当x ＝a 时，f (x )min ＝－a ＋log 21－a 1＋a. .。
高考数学大一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第6节 对数与对数函数课件 理
(1)已知 x，y 为正实数，则( )
A．2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgy
B．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgy
C．2lgx·lgy＝2lgx＋2lgy
D．2lg(xy)＝2lgx·2lgy
(2)设 a，b，c 均为不等于 1 的正实数，则下列等式中恒
主干知识·整合 热点命题·突破
课时作业
主干知识·整合 01
课前热身 稳固根基
对数与对数运算
1．对数的定义 如果 ax＝N(a>0 且 a≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的 对数，记作________，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 2．对数的性质与运算 (1)对数的性质(a>0 且 a≠1)： ①loga1＝____；②logaa＝____；③alogaN＝____． (2)对数的换底公式： logab＝________(a，c 均大于零且不等于 1)．
成立的是( )
A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac
解析：(1)采用排除法，2lg(xy)＝2lgx＋lgy＝2lgx·2lgy，∴D 成立．
(2) 利 用 对 数 的 换 底 公 式 进 行 验 证 ， logab · logca ＝ llooggccba·logca＝logcb，则 B 对．
3
(2)原式＝log3334·log5[2log210－(332)23－732]
＝34log33－log33·log5(10－3－2) ＝34－1log55＝－14.
2020高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2-6对数与对数函数教师用书理苏教
【2019最新】精选高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2-6对数与对数函数教师用书理苏教1.对数的概念一般地，如果a (a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么就称b是以a为底N 的对数，记作logaN＝b，N叫做真数.2.对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM (n∈R).(2)对数的性质①＝ N ；②log aaN＝ N (a>0且a≠1).log a Na(3)对数的换底公式logaN＝(其中a>0，a≠1；N>0，c>0，c≠1).3.对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线 y＝x 对称.【知识拓展】1.换底公式的两个重要结论(1)logab＝；(2)＝logab.logm nab其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R.2.对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.( ×)(2)logax·l ogay＝loga(x＋y).( ×)(3)函数y＝log2x及y＝3x都是对数函数.( ×)13log(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数.( ×)(5)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.( √)(6)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限.( √)1.(教材改编)的值为 .答案23解析原式＝＝＝＝.2.(2016·常州期末)函数f(x)＝log2(－x2＋2)的值域为 .答案(－∞，]解析由题意可得－x2＋2>0，即－x2＋2∈(0，2]，故所求函数的值域为(－∞，].3.(2016·课标全国Ⅰ改编)若a>b>0，0<c<1，则logca 与logcb 的大小关系为 . 答案 logca<logcb解析 ∵0<c<1，∴y＝logcx 在(0，＋∞)上单调递减，又a>b>0，∴logca<logcb. 4.(2017·徐州月考)函数y ＝的定义域为 . 答案 (，1]解析 由log0.5(4x －3)≥0且4x －3>0，得<x≤1.5.(教材改编)若loga<1(a>0且a≠1)，则实数a 的取值范围是 . 答案 ∪(1，＋∞)解析 当0<a<1时，loga<logaa ＝1，∴0<a<； 当a>1时，loga<logaa ＝1，∴a>1. ∴实数a 的取值范围是∪(1，＋∞). 题型一 对数的运算 例1 计算下列各式：(1)lg 25＋lg 2＋lg ＋lg(0.01)－1； (2)2log32－log3＋log38－3log55. 解 (1)原式＝lg 112122[25210(10)]--⨯⨯⨯ ＝lg(5×2××102)1210＝lg ＝.7210(2)原式＝log322＋log3(32×2－5)＋log323－3 ＝log3(22×32×2－5×23)－3 ＝log332－3 ＝2－3＝－1.思维升华 对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并.(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.(1)若a＝log43，则2a＋2－a＝ .(2)2(lg)2＋lg ·lg 5＋＝ .答案(1) (2)1解析(1)∵a＝log43＝3＝log23＝log2，log22∴2a＋2－a＝log log+22-＝＋log2＝＋＝.(2)原式＝2×(lg 2)2＋lg 2×lg 5＋2－＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2＝lg 2＋1－lg 2＝1.题型二对数函数的图象及应用例2 (1)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是 .①a>1，c>1; ②a>1，0<c<1；③0<a<1，c>1; ④0<a<1，0<c<1.(2)(2016·宿迁模拟)当0<x≤时，4x<logax，则a的取值范围是 .答案(1)④(2)(，1)解析(1)由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0<a<1，∵图象与x轴的交点在区间(0，1)之间，∴该函数的图象是由函数y＝logax的图象向左平移不到1个单位后得到的，∴0<c<1.(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a>1时不满足条件，当0<a<1时，画出两个函数在(0，]上的图象，可知f()<g()，即2<loga，则a>，所以a的取值范围为(，1).思维升华(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.(1)若函数y ＝logax(a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是 .(2)已知f(x)＝|lg x|，若>a>b>1，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系是 . 答案 (1)② (2)f(c)>f(a)>f(b)解析 (1)由题意y ＝logax(a>0且a≠1)的图象过(3，1)点，可解得a ＝3.①中，y ＝3－x ＝()x ，显然图象错误；②中，y ＝x3，由幂函数图象性质可知正确；③中，y ＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；④中，y ＝log3(－x)的图象与y ＝log3x 的图象关于y 轴对称，显然不符.(2)先作出函数y ＝lg x 的图象，再将图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到上方，这样，我们便得到了y ＝|lg x|的图象，如图.由图可知，f(x)＝|lg x|在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，于是f()＞f(a)＞f(b)，而f()＝|lg |＝|－lg c|＝|lg c|＝f(c).所以f(c)＞f(a)＞f(b). 题型三 对数函数的性质及应用 命题点1 比较对数值的大小例3 (2015·天津改编)已知定义在R 上的函数f(x)＝2|x －m|－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f(log0.53)，b ＝f(log25)，c ＝f(2m)，则a ，b ，c 的大小关系为 . 答案 c ＜a ＜b解析 由f(x)＝2|x －m|－1是偶函数可知m ＝0， 所以f(x)＝2|x|－1.所以a ＝f(log0.53)＝－1＝2，0.52log 3log 321=2-b ＝f(log25)＝－1＝－1＝4，2log 522log 52c ＝f(0)＝2|0|－1＝0，所以c<a<b.命题点2 解对数不等式例4 (1)若loga<1，则a 的取值范围是 . (2)设函数f(x)＝－，))若f(a)>f(－a)，则实数a 的取值范围是 .答案 (1)(0，)∪(1，＋∞) (2)(－1，0)∪(1，＋∞)解析 (1)当a>1时，函数y ＝logax 在定义域内为增函数，所以loga<logaa 总成立. 当0<a<1时，函数y ＝logax 在定义域内是减函数， 由loga<logaa ，得a<， 故0<a<.综上，a 的取值范围为(0，)∪(1，＋∞).(2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a>0，log2a>－log2a或 －－解得a>1或－1<a<0.命题点3 和对数函数有关的复合函数 例5 已知函数f(x)＝loga(3－ax).(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由. 解 (1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax ， 则t(x)＝3－ax 为减函数，x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－2a ，当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义， 即x∈[0，2]时，3－ax>0恒成立. ∴3－2a>0，∴a<.又a>0且a≠1，∴a 的取值范围为(0，1)∪. (2)t(x)＝3－ax ，∵a>0，∴函数t(x)为减函数.∵f(x)在区间[1，2]上为减函数，∴y＝logat 为增函数，∴a>1，x∈[1，2]时，t(x)的最小值为3－2a ，f(x)的最大值为f(1)＝loga(3－a)，∴即⎩⎪⎨⎪⎧a<32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1. 思维升华 (1)对数值大小比较的主要方法 ①化同底数后利用函数的单调性； ②化同真数后利用图象比较；③借用中间量(0或1等)进行估值比较.(2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题.(1)设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x 的取值范围是 .(2)若f(x)＝lg(x2－2ax ＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为 .答案 (1)[0，＋∞) (2)[1，2)解析 (1)当x≤1时，21－x≤2，解得x≥0， 所以0≤x≤1；当x>1时，1－log2x≤2，解得x≥，所以x>1. 综上可知x≥0.(2)令函数g(x)＝x2－2ax ＋1＋a ＝(x －a)2＋1＋a －a2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有即⎩⎪⎨⎪⎧2－a>0，a≥1，解得1≤a<2，即a∈[1，2).3.比较指数式、对数式的大小考点分析 比较大小问题是每年高考的必考内容之一：(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法.(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.典例(1)(2016·全国乙卷改编)若a>b>0，0<c<1，则下列不等式正确的是 .①logac<logbc; ②logca<logcb；③ac<bc; ④ca>cb.(2)(2016·南京模拟)若a＝20.3，b＝logπ3，c＝log4cos 100，则a，b，c的大小关系为 .(3)若实数a，b，c满足loga2<logb2<logc2，则下列关系中不可能成立的是 .①a<b<c；②b<a<c；③c<b<a；④a<c<b.解析(1)对①：logac＝，logbc＝，因为0<c<1，所以lg c<0，而a>b>0，所以lg a>lg b，但不能确定lg a、lg b的正负，所以它们的大小不能确定，所以①错；对②：logca＝，logcb＝，而lg a>lg b，两边同乘以一个负数改变不等号方向，所以②正确；对③：由y＝xc在第一象限内是增函数，即可得到ac>bc，所以③错；对④：由y＝cx在R上为减函数，得ca<cb，所以④错.(2)因为20.3>20＝1，0＝logπ1<logπ3<logππ＝1，log4cos 100<log41＝0，所以a>b>c.(3)由loga2<logb2<logc2的大小关系，可知a，b，c有如下四种可能：①1<c<b<a；②0<a<1<c<b；③0<b<a<1<c；④0<c<b<a<1.对照所给不等式可知①中关系不可能成立.答案(1)②(2)a>b>c (3)①1.(教材改编)给出下列4个等式：①log253＝3log25；②log253＝5log23；③log84＝；④＝4.其中正确的等式是 .(写出所有正确的序号)4答案①③④解析②中＝log23，故②不正确，①③④都正确.52log32.设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则a，b，c的大小关系为 .答案c<a<b解析∵a＝log37，∴1<a<2.∵b＝21.1，∴b>2.∵c＝0.83.1，∴0<c<1.即c<a<b.3.函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是 .答案①解析函数f(x)＝ln(x2＋1)是偶函数，排除③；当x＝0时，f(x)＝0，排除②、④.4.(2016·苏州模拟)已知函数f(x)＝则f(2 018)＝ .答案 2 019解析由已知f(2 018)＝f(2 017)＋1＝f(2 016)＋2＝f(2 015)＋3＝…＝f(1)＋2 017＝log2(5－1)＋2 017＝2 019.5.定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x－2)＝f(x＋2)，且x∈(－1，0)时，f(x)＝2x＋，则f(log220)＝ .答案－1解析由f(x－2)＝f(x＋2)，得f(x)＝f(x＋4)，因为4＜log220＜5，所以f(log220)＝f(log220－4)＝－f(4－log220)＝－f(log2)＝＝－1.24log51(2)5-+6.若函数f(x)＝loga(x2＋x)(a>0，a≠1)在区间(，＋∞)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为 .答案 (0，＋∞)解析 令M ＝x2＋x ，当x∈(，＋∞)时，M∈(1，＋∞)，f(x)>0，所以a>1，所以函数y ＝logaM 为增函数，又M ＝(x ＋)2－， 因此M 的单调递增区间为(－，＋∞). 又x2＋x>0，所以x>0或x<－，所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞). 7.(2015·安徽)lg ＋2lg 2－－1＝ . 答案 －1解析 lg ＋2lg 2－－1＝lg ＋lg 22－2 ＝lg －2＝1－2＝－1.8.(2016·浙江)已知a>b>1.若logab ＋logba ＝，ab ＝ba ，则a ＝ ，b ＝ . 答案 4 2解析 令logab ＝t ，∵a>b>1，∴0<t<1，由logab ＋logba ＝，得t ＋＝，解得t ＝或t ＝2(舍去)，即logab ＝，∴b＝，又ab ＝ba ，∴＝()a ，即，亦即＝，解得a ＝4，∴b＝2.2a a9.已知函数f(x)＝loga(2x －a)在区间[，]上恒有f(x)>0，则实数a 的取值范围是 . 答案 (，1)解析 当0<a<1时，函数f(x)在区间[，]上是减函数， 所以loga(－a)>0，即0<－a<1， 解得<a<，故<a<1；当a>1时，函数f(x)在区间[，]上是增函数， 所以loga(1－a)>0，即1－a>1， 解得a<0，此时无解.综上所述，实数a 的取值范围是(，1).*10.(2016·南通模拟)关于函数f(x)＝lg (x≠0，x∈R)有下列命题：①函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；②在区间(－∞，0)上，函数y＝f(x)是减函数；③函数f(x)的最小值为lg 2；④在区间(1，＋∞)上，函数f(x)是增函数.其中是真命题的序号为 .答案①③④解析∵函数f(x)＝lg (x≠0，x∈R)，显然f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，故①正确；当x>0时，f(x)＝lg ＝lg ＝lg(x＋)，令t(x)＝x＋，x>0，则t′(x)＝1－，可知当x∈(0，1)时，t′(x)<0，t(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，t′(x)>0，t(x)单调递增，即在x＝1处取得最小值为2.由偶函数的图象关于y轴对称及复合函数的单调性可知②错误，③正确，④正确，故答案为①③④.11.(2016·镇江期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－log2x，则不等式f(x)<0的解集是 .答案(－2，0)∪(2，＋∞)解析当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝log2(－x)－1， f(x)<0，即log2(－x)－1<0，解得－2<x<0；当x>0时，f(x)＝1－log2x，f(x)<0，即1－log2x<0，解得x>2，综上，不等式f(x)<0的解集是(－2，0)∪(2，＋∞).12.(2016·江苏运河中学一诊)已知f(x)＝log2(x－2)，若实数m，n满足f(m)＋f(2n)＝3，则m＋n的最小值是 .答案7解析由f(m)＋f(2n)＝3，得log2[(m－2)(2n－2)]＝3⇒(m－2)(2n－2)＝23，即(m－2)(n－1)＝4，由已知得m>2，n>1，由基本不等式得()2≥4(当且仅当m－2＝n－1＝2，即m＝4，n＝3时等号成立)，从而m＋n≥7.故m＋n的最小值是7.*13.已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.(1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；(2)如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围.解(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，故函数h(x)的值域为[0，2].(2)由f(x2)·f()>k·g(x)，得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，令t＝log2x，因为x∈[1，4]，所以t＝log2x∈[0，2]，所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0，2]恒成立，①当t＝0时，k∈R；②当t∈(0，2]时，k<恒成立，即k<4t＋－15，因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，所以4t＋－15的最小值为－3.综上，实数k的取值范围为(－∞，－3).*14.(2016·盐城模拟)已知函数f(x)＝ln .(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；(2)对于x∈[2，6]，f(x)＝ln >ln 恒成立，求实数m的取值范围.解(1)由>0，解得x<－1或x>1，∴函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f(－x)＝ln ＝ln x－1x＋1＝ln()－1＝－ln ＝－f(x)，∴f(x)＝ln 是奇函数.(2)由于x∈[2，6]时，f(x)＝ln >ln 恒成立，∴>>0，∵x∈[2，6]，∴0<m<(x＋1)(7－x)在x∈[2，6]上恒成立.令g(x)＝(x＋1)(7－x)＝－(x－3)2＋16，x∈[2，6]，由二次函数的性质可知，x∈[2，3]时函数g(x)单调递增，x∈[3，6]时函数g(x)单调递减，即x∈[2，6]时，g(x)min＝g(6)＝7，∴0<m<7.。
2020版高考数学一轮复习 第二章 第六节 对数与对数函数课件 文
= 1 +1 1 + 1 +1 5 5= = .
2 3 4 6 12 4
规律方法 对数运算的求解思路 (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式, 使幂的底数最简,然后利用对数的运算性质化简合并. (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运 算性质,将其转化为同底数对数真数的积、商、幂的运算.
(2)几种常见的对数
对数形式 一般对数 常用对数 自然对数
特点 底数为a(a>0且a≠1) 底数为10 底数为e
记法 ⑤ logaN ⑥ lg N ⑦ ln N
2.对数的性质与运算法则
(1)对数的性质
=⑧ alogaN N ;logaaN=⑨ N .(a>0且a≠1) (2)对数的重要公式
换底公式:⑩
第六节 对数与对数函数
1.对数的概念
教 2.对数的性质与运算法则 材 研 3.对数函数的图象与性质 读 4. 反函数
考 考点一 对数式的化简与求值
点 突
考点二 对数函数的图象及其应用
破 考点三 对数函数的性质及应用
教材研读
1.对数的概念
(1)对数的定义 一般地,如果① ax=N(a>0,且a≠1) ,那么数x叫做以a为底N的对数,记 作② x=logaN ,其中③ a 叫做对数的底数,④ N 叫做真数.
lg0.3lg1.2
(3)(log32+log92)·(log43+log83).
解析 (1)原式=(lg 2)2+(1+lg 5)lg 2+lg 52