高一数学对数函数的概念与图象
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对数函数的图像和性质(1)课件高一上学期数学人教A版(完整版)4
2
点（x, y）与点（x, y）关于x轴对称
y log2 x图像上任意一点 P(x, y)
关于x轴的对称点P1( x, y)都在
函数y log 1 x的图像上，反之亦然.
2
P1（x, -y）
结论：底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.
根据这种对称性，就可以利用一个函数的图像画出另一个函数的图像.
当0<a<1时 函数y=logax是减函数； 由得
loga5.1 > loga
反思1 根据以上经验，请你说说如何比较比较两个同底对数的大小?
(1)根据底数a的范围判断对应函数y=logax的单调性； (2)比较真数值的大析
例3 比较下列各组中，两个值的大小：
(4) log0.1 3, log0.2 3
解：(1) ∵函数y=log 2 x的底数2大于1
log2
∴y=log 2 x是增函数.
log2
又∵
y
(3)loga5.1, loga5.9.
y log2 x
∴ log23.4< log2
O 1 3.4 8.5 x
(2)∵函数y=log 0.3 x底数0.3<1 ∴y=log 0.3 x 是减函数； 又∵
∴ log 0.3 1.8> log 0.3 2.7
y
1 1.8 2.7
o
x
log
log
y log0.3 x
典例解析
例3 比较下列各组中，两个值的大小：
(1)log23.4, log28.5; (2) log 0.3 1.8, log 0.3 2.7; (3)loga5.1, loga5.9.
解: (3)当a>1时， 函数y=logax是增函数； 由5.1<5.9 得 ∴ loga5.1 < loga5.9
点（x, y）与点（x, y）关于x轴对称
y log2 x图像上任意一点 P(x, y)
关于x轴的对称点P1( x, y)都在
函数y log 1 x的图像上，反之亦然.
2
P1（x, -y）
结论：底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.
根据这种对称性，就可以利用一个函数的图像画出另一个函数的图像.
当0<a<1时 函数y=logax是减函数； 由得
loga5.1 > loga
反思1 根据以上经验，请你说说如何比较比较两个同底对数的大小?
(1)根据底数a的范围判断对应函数y=logax的单调性； (2)比较真数值的大析
例3 比较下列各组中，两个值的大小：
(4) log0.1 3, log0.2 3
解：(1) ∵函数y=log 2 x的底数2大于1
log2
∴y=log 2 x是增函数.
log2
又∵
y
(3)loga5.1, loga5.9.
y log2 x
∴ log23.4< log2
O 1 3.4 8.5 x
(2)∵函数y=log 0.3 x底数0.3<1 ∴y=log 0.3 x 是减函数； 又∵
∴ log 0.3 1.8> log 0.3 2.7
y
1 1.8 2.7
o
x
log
log
y log0.3 x
典例解析
例3 比较下列各组中，两个值的大小：
(1)log23.4, log28.5; (2) log 0.3 1.8, log 0.3 2.7; (3)loga5.1, loga5.9.
解: (3)当a>1时， 函数y=logax是增函数； 由5.1<5.9 得 ∴ loga5.1 < loga5.9
对数函数的概念、图像及性质课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
所以函数 y=loga(x-3)+loga(x+3)的定义域为{x|x>3}.
[变式训练2-2]
把本例(1)中的函数再改为y=loga[(x+3)(x-3)]呢?
解:(x+3)(x-3)>0,
+ > 0,
+ < 0,
即
或
- > 0
- < 0,
解得 x<-3 或 x>3.
所以函数 y=loga[(x+3)(x-3)]的定义域为{x|x<-3 或 x>3}.
数的解析式为
.
解析:(2)设函数f(x)=logax(x>0,a>0,且a≠1),
因为对数函数的图象过点M(9,2),所以2=loga9,所以a2=9,
又a>0,解得a=3.所以此对数函数的解析式为y=log3x.
探究点二 对数型函数的定义域
[例2] 求下列函数的定义域.
(1)y=loga(3-x)+loga(3+x)(a>0,且a≠1);
变化规律．
对数函数的图象与性质
类比研究指数函数的过程，思考研究对数函数
我们应该从哪几方面研究？
(1)、图像.
(2)、性质(定义域、值域、单调性、函数值范
围、特殊点等).
1、图像
（1）作 y log 2 x 的图象
（2）作 y log 1 x 的图象
2
2. 对数函数 y log a x(a 0且a 1) 的图像与性质
例 2 求下列函数的定义域．
1
(1)f(x)＝
；
1
log2x＋1
1
(2)f(x)＝
[变式训练2-2]
把本例(1)中的函数再改为y=loga[(x+3)(x-3)]呢?
解:(x+3)(x-3)>0,
+ > 0,
+ < 0,
即
或
- > 0
- < 0,
解得 x<-3 或 x>3.
所以函数 y=loga[(x+3)(x-3)]的定义域为{x|x<-3 或 x>3}.
数的解析式为
.
解析:(2)设函数f(x)=logax(x>0,a>0,且a≠1),
因为对数函数的图象过点M(9,2),所以2=loga9,所以a2=9,
又a>0,解得a=3.所以此对数函数的解析式为y=log3x.
探究点二 对数型函数的定义域
[例2] 求下列函数的定义域.
(1)y=loga(3-x)+loga(3+x)(a>0,且a≠1);
变化规律．
对数函数的图象与性质
类比研究指数函数的过程，思考研究对数函数
我们应该从哪几方面研究？
(1)、图像.
(2)、性质(定义域、值域、单调性、函数值范
围、特殊点等).
1、图像
（1）作 y log 2 x 的图象
（2）作 y log 1 x 的图象
2
2. 对数函数 y log a x(a 0且a 1) 的图像与性质
例 2 求下列函数的定义域．
1
(1)f(x)＝
；
1
log2x＋1
1
(2)f(x)＝
高一上学期数学必修课件第章对数函数的概念对数函数y=logx的图像和性质
在金融领域中的应用
复利计算
在金融领域，对数函数被广泛应用于复利计算。通过对数函 数，可以方便地计算出本金在固定利率下经过一段时间后的 累积金额。
风险评估
在金融风险评估中，对数函数可用于描述极端事件（如市场 崩盘）发生的概率分布，帮助投资者更好地管理风险。
在科学研究中的应用
数据分析
在统计学和数据分析中，对数函数常 用于数据转换和处理，以便更好地揭 示数据间的关系和趋势。
单调性的应用
利用对数函数的单调性，可以比较两 个同底数的对数的大小，也可以解决 一些与对数函数相关的不等式问题。
奇偶性判断
对数函数的奇偶性
对于底数为正数且不等于1的对数函数y=logax，其既不是奇函数也不是偶函数 ，即它不具有奇偶性。
奇偶性的应用
虽然对数函数本身不具有奇偶性，但是在解决一些与对数函数相关的问题时，可 以考虑利用其他函数的奇偶性来简化问题。
指数式与对数式的互化
$a^x=N Leftrightarrow x=log_a N$
指数函数与对数函数的关系
指数函数$y=a^x$与对数函数$y=log_a x$互为反函数。这意味着它们的图像 关于直线$y=x$对称。
02
对数函数y=logx图像分些x和对应的y值，然 后在坐标系中描点，最后用平滑 曲线连接各点即可得到对数函数 的图像。
对数函数的底数$b$必须大于0且不等于1，否则函数无意义。同时，对于不同的底数，对 数函数的图像和性质也会有所不同。
对数运算规则
对数运算有特定的运算法则，如$log_b(mn) = log_b(m) + log_b(n)$、$log_b(m/n) = log_b(m) - log_b(n)$等。在解题过程中，需要正确运用这些法则进行化简和计算。
高一数学课件：2.4 对数函数及其性质(新人教版必修1)
2
3
返回
学点三 对数函数的图像 已知a＞ 且 的图像只能是（ 已知 ＞0且a≠1，函数 ，函数y=ax与y=loga(-x)的图像只能是（ ） 的图像只能是 【分析】应先由函数定义域判断图像的位置，再对底 分析】应先由函数定义域判断图像的位置， 进行讨论， 数a进行讨论，最后选出正确选项 进行讨论 最后选出正确选项. 【解析】解法一:首先 曲线 首先,曲线 解析】解法一 首先 曲线y=ax 只可能在上半平面,y=loga(-x)只 只可能在上半平面 只 可能在左半平面上,从而排除 从而排除A,C. 可能在左半平面上 从而排除 其次,从单调性着眼 其次 从单调性着眼,y=ax与 从单调性着眼 y=loga(-x)的增减性正好相反 又 的增减性正好相反,又 的增减性正好相反 可排除D. 可排除 故应选B. 故应选
单调性
当0<x<1时，y∈(0,+∞) 时 ∈ 函数值的 当 x=1 时，y=0; 变化规律 当 x>1 时, y<0.
当x=1时， y=0 ; 时 当x>1时， y>0 . 时
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学点一 比较大小 比较大小： 比较大小：
4 6 log 1 ，log 1 ； （1） ） 2 5 2 7
2） （2） 1 3, log 1 5 ; log
） （2） y = log 2 2 ） . - x + 2x + 2 (1)∵x2-4x+6=(x-2)2+2≥2,又∵y=log2x在(0,+∞)上是增 ∵ 又 在 上是增 函数, 函数
(x2-4x+6);
∴log2(x2-4x+6)≥log22=1. ∴函数的值域是［1,+∞). 函数的值域是［ (2) ∵-x2+2x+2=-(x-1)2+3≤3, 1 1 ∴ - x 2 + 2x + 2 <0或 - x 2 + 2x + 2 ≥ 1 . 或 1 3 1 ≥ log 2 ∴ 2 log - x + 2x + 2 1 3 ∴函数的值域是 log 2 ,+∞ ,
3
返回
学点三 对数函数的图像 已知a＞ 且 的图像只能是（ 已知 ＞0且a≠1，函数 ，函数y=ax与y=loga(-x)的图像只能是（ ） 的图像只能是 【分析】应先由函数定义域判断图像的位置，再对底 分析】应先由函数定义域判断图像的位置， 进行讨论， 数a进行讨论，最后选出正确选项 进行讨论 最后选出正确选项. 【解析】解法一:首先 曲线 首先,曲线 解析】解法一 首先 曲线y=ax 只可能在上半平面,y=loga(-x)只 只可能在上半平面 只 可能在左半平面上,从而排除 从而排除A,C. 可能在左半平面上 从而排除 其次,从单调性着眼 其次 从单调性着眼,y=ax与 从单调性着眼 y=loga(-x)的增减性正好相反 又 的增减性正好相反,又 的增减性正好相反 可排除D. 可排除 故应选B. 故应选
单调性
当0<x<1时，y∈(0,+∞) 时 ∈ 函数值的 当 x=1 时，y=0; 变化规律 当 x>1 时, y<0.
当x=1时， y=0 ; 时 当x>1时， y>0 . 时
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学点一 比较大小 比较大小： 比较大小：
4 6 log 1 ，log 1 ； （1） ） 2 5 2 7
2） （2） 1 3, log 1 5 ; log
） （2） y = log 2 2 ） . - x + 2x + 2 (1)∵x2-4x+6=(x-2)2+2≥2,又∵y=log2x在(0,+∞)上是增 ∵ 又 在 上是增 函数, 函数
(x2-4x+6);
∴log2(x2-4x+6)≥log22=1. ∴函数的值域是［1,+∞). 函数的值域是［ (2) ∵-x2+2x+2=-(x-1)2+3≤3, 1 1 ∴ - x 2 + 2x + 2 <0或 - x 2 + 2x + 2 ≥ 1 . 或 1 3 1 ≥ log 2 ∴ 2 log - x + 2x + 2 1 3 ∴函数的值域是 log 2 ,+∞ ,
【课件】对数函数的图像和性质(第1课时)课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
较,a=log32，,b=log53，c= 2 的大小关系。
3
欢迎大家批评指正！
2.对数函数的应用
练习1选出正确大答案： (1) 设a=30.7，b=(13)-0.8，c=log0.70.8，则a，b，c的大小关系
为（D）
A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.b＜c＜a D.c＜a＜b
（2）a=log52，b=log83，c=12，则下列判断正确的是（C）
A.c＜b＜a B.b＜a＜c C.a＜c＜b D.a＜b＜c
所以此地为声压无害区，环境优良。
1.如图所示是对数函数y=logax， y=logbx， y=logcx和y=logdx的图像，则a，b，c，d与
1的大小关系为 b＞a＞1＞d＞c 。
2.函数y=loga(x+3)-1的图像恒过顶点A，则A的坐标为 (-2,-1) 。
3.已知a=log2e，b=ln2，c=
活动二 请认真思考后，填写完成学案上的表格。
1.对数函数图像与性质
0<a<1
y
a>1
y
图像
(1,0)
O
x
f(x)=logax (0<a<1)
O
(1,0)
x
定义域 (0,+∞)
值域 R
过定点 (1,0)
单调性
性 质
取值分布
奇偶性
在(0,+∞)上是减函数
在(0,+∞)上是增函数
当x>1时y<0；当0<x<1时y同>0正. 异当负x>1时y>0；当0<x<1时y<0.
（D ）
log 1
2
1，则a，b，c的大小关系为
3
欢迎大家批评指正！
2.对数函数的应用
练习1选出正确大答案： (1) 设a=30.7，b=(13)-0.8，c=log0.70.8，则a，b，c的大小关系
为（D）
A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.b＜c＜a D.c＜a＜b
（2）a=log52，b=log83，c=12，则下列判断正确的是（C）
A.c＜b＜a B.b＜a＜c C.a＜c＜b D.a＜b＜c
所以此地为声压无害区，环境优良。
1.如图所示是对数函数y=logax， y=logbx， y=logcx和y=logdx的图像，则a，b，c，d与
1的大小关系为 b＞a＞1＞d＞c 。
2.函数y=loga(x+3)-1的图像恒过顶点A，则A的坐标为 (-2,-1) 。
3.已知a=log2e，b=ln2，c=
活动二 请认真思考后，填写完成学案上的表格。
1.对数函数图像与性质
0<a<1
y
a>1
y
图像
(1,0)
O
x
f(x)=logax (0<a<1)
O
(1,0)
x
定义域 (0,+∞)
值域 R
过定点 (1,0)
单调性
性 质
取值分布
奇偶性
在(0,+∞)上是减函数
在(0,+∞)上是增函数
当x>1时y<0；当0<x<1时y同>0正. 异当负x>1时y>0；当0<x<1时y<0.
（D ）
log 1
2
1，则a，b，c的大小关系为
4.4.1-2对数函数的概念、对数函数的图象和性质课件-高一上学期数学人教A版必修第一册(2ppt)
∵log23<log24=2,∴log23-1<1.
又log34>log33=1,∴log34>log23-1,
即c>a,∴c>a>b,故选B.
5 | 如何解对数不等式
对数不等式的类型及解题方法 (1)形如loga f(x)>logab的不等式,借助函数y=logax的单调性求解,如果a的取值不确 定,需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论; (2)形如loga f(x)>b的不等式,应将b化成以a为底数的对数式的形式(即b=logaab),借 助函数y=logax的单调性求解; (3)形如logf(x)a>logg(x)a的不等式,利用换底公式化为同底的对数进行求解,或利用图 象求解.
已知函数f(x)=loga(3-ax)(a>0). (1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围; (2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1? 如果存在,求出a的值;如果不存在,请说明理由. 解析 (1)设t(x)=3-ax,∵a>0, ∴t(x)=3-ax为减函数, 当x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3-2a, 当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,即x∈[0,2]时,3-ax>0恒成立,∴3-2a>0,∴a3< .
2
2
2
综上,原不等式的解集为
1 2
,1.
对数函数的概念 对数函数的图象和性质
1 | 对数函数的概念
一般地,函数① y=logax(a>0,且a≠1) 叫做对数函数,其中x是自变量,定义 域是② (0,+∞) .
2 |对数函数的图象与性质
4.2.3 对数函数的性质与图像(对数函数的性质与图像)课件高一数学(人教B版2019必修第二册)
值域
值域为 R
过定点
过定点(1，0)，即 x＝1 时，y＝0
性
当 0<x<1 时，y<0， 函数值的变化
当 0<x<1 时，y>0，
质
当 x>1 时，y>0
当 x>1 时，y<0
单调性
增函数
减函数
对称性
的图象关于 轴对称
即时训练 知识点二：对数函数图象与性质
【典例】如图所示，四条曲线分别是：y＝logax，y＝logbx， y＝logcx，y＝logdx 的图像，则 a、b、c、d 与 0、1 的大小 关系是________.
可以看出,
中, 不能是-1,也不能是 0 .
事实上,根据对数运算的定义和性质,我们可以得到对数
函数
的性质:
(1)定义域是：
1248
(2)值域是： (3)奇偶性是：非奇非偶函数
-3 -2 -1 0 1 2 3
(4)单调性是：在
上单调递增
新知探索 知识点二：对数函数图象与性质
根据以上信息可知,函数
的图像都在 轴右侧,
课堂练习
3x，x≤0，
【 训 练 5 】 已 知 函 数 f(x) ＝ log3x，x>0， 则 f(f( － 1)) ＝
________；若 f(f(x))＝x，则 x 的取值范围是________.
【解析】f(－1)＝3－1>0，故 f(f(－1))＝f(3－1)＝log33－1＝－ 1.当 x≤0 时，f(x)＝3x>0，f(f(x))＝f(3x)＝log33x＝x； 当 0<x<1 时，f(x)＝log3 x<0，f(f(x))＝f(log3x)＝3log3x＝x； 当 x＝1 时，f(x)＝log31＝0，f(f(x))＝f(0)＝30＝1； 当 x>1 时，f(x)＝log3x>0，f(f(x))＝log3(log3x)≠x，故使 f(f(x)) ＝x 的 x 的取值范围是(－∞，1].
高一数学人必修教学课件对数函数及其性质
结论。
拓展延伸：其他相关数学知识介绍
指数函数与对数函数的关系
对数不等式及其解法
指数函数和对数函数是互为反函数的关系 ，它们之间有着密切的联系。
对数不等式是高中数学中的一个重要内容 ，其解法通常涉及到对数的性质和不等式 的性质。
对数的应用举例
对数与微积分的关系
对数在现实生活中的应用非常广泛，例如 计算复利、解决音响工程中的分贝问题等 。
推导过程
设log_b M = x, log_b N = y，则M = b^x, N = b^y。根据 对数的定义，M / N = b^x / b^y = b^(x-y)，所以 log_b(M / N) = x - y = log_b M - log_b N。
幂运算性质
对数的幂运算公式
log_b(M^n) = n * log_b M。这个 公式表明，一个数的对数的n倍等于 这个数的n次方的对数。
便地计算出投资的本金和利息总额。
02 03
解决音响工程中的分贝问题
在音响工程中，声音的强度是用分贝来衡量的。而分贝的计算就涉及到 了对数函数的应用。通过对数函数，可以将声音强度的变化转换为更容 易理解的分贝值。
地震震级的计算
地震的震级是用来衡量地震大小的标准。而震级的计算也涉及到了对数 函数的应用。通过对数函数，可以将地震释放的能量与震级之间的关系 表示出来。
$a^n$（$a>0$，$a neq 1$ ）表示$n$个$a$相乘。
指数幂的乘法法则
$a^m times a^n = a^{m+n}$。
指数幂的除法法则
$frac{a^m}{a^n} = a^{mn}$（$a neq 0$）。
指数幂的乘方法则
$(a^m)^n = a^{mn}$。
拓展延伸：其他相关数学知识介绍
指数函数与对数函数的关系
对数不等式及其解法
指数函数和对数函数是互为反函数的关系 ，它们之间有着密切的联系。
对数不等式是高中数学中的一个重要内容 ，其解法通常涉及到对数的性质和不等式 的性质。
对数的应用举例
对数与微积分的关系
对数在现实生活中的应用非常广泛，例如 计算复利、解决音响工程中的分贝问题等 。
推导过程
设log_b M = x, log_b N = y，则M = b^x, N = b^y。根据 对数的定义，M / N = b^x / b^y = b^(x-y)，所以 log_b(M / N) = x - y = log_b M - log_b N。
幂运算性质
对数的幂运算公式
log_b(M^n) = n * log_b M。这个 公式表明，一个数的对数的n倍等于 这个数的n次方的对数。
便地计算出投资的本金和利息总额。
02 03
解决音响工程中的分贝问题
在音响工程中，声音的强度是用分贝来衡量的。而分贝的计算就涉及到 了对数函数的应用。通过对数函数，可以将声音强度的变化转换为更容 易理解的分贝值。
地震震级的计算
地震的震级是用来衡量地震大小的标准。而震级的计算也涉及到了对数 函数的应用。通过对数函数，可以将地震释放的能量与震级之间的关系 表示出来。
$a^n$（$a>0$，$a neq 1$ ）表示$n$个$a$相乘。
指数幂的乘法法则
$a^m times a^n = a^{m+n}$。
指数幂的除法法则
$frac{a^m}{a^n} = a^{mn}$（$a neq 0$）。
指数幂的乘方法则
$(a^m)^n = a^{mn}$。
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。