4.4.1 对数函数的概念 4.4.2 对数函数的图象和性质
4.4.2对数函数的图象和性质
4.4.2对数函数的图象和性质(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第四章)一、教学目标1.能借助描点法、计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点等性质；2.利用反函数的概念，引导学生类比指数函数的图象探究对数函数的图象及性质，进一步完善对数函数的性质。
3.体会对数函数的性质在具体的生活和数学情境中的作用，能利用对数函数的性质解决一些简单的应用问题，感受数形结合、分类讨论的数学思想和方法，渗透逻辑推理、数学建模、数学运算的核心素养.二、教学重难点1.重点：对数函数的图象和性质。
2.难点：对数函数性质的探究和归纳，对数函数与指数函数的联系。
三、教学过程1.对数函数的图象与性质探究1.1创设情境，引发思考【实际情境】在化学中，溶液酸碱度是通过pH计量的. pH的计算公式为pH= -lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升。
例如，在我国规定纯净水ph值只要在6.5-8.5之间即是合格产品。
如果水的ph值过低则会有腐蚀作用，而ph值过高就会影响味觉，有肥皂味，因此饮用纯净水的ph值都是控制在6.5-8.5之间。
又如，人体的胃酸中氢离子的浓度大约为[H+]=2.5×10-2摩尔/升。
问题1：（1）已知某品牌的纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10-7摩尔/升，则它的pH是多少？它是合格产品吗？人体的胃酸pH又是多少（可用计算器）？【预设的答案】7；是；1.60（2）请同学们猜想：随着溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性是越强还是越弱呢？想要知道溶液的酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间有什么样的变化关系，需要研究什么呢？（提示：若记溶液酸碱度为y，氢离子浓度为x，写出y关于x的函数解析式）【预设的答案】越强；变化关系为y= —lgx，则需要研究对数函数y=lgx的单调性.【设计意图】将对数函数性质的学习与生活实际和学生的生活经验、化学学习经验结合起来，同时也复习对数运算和对数函数的概念，充分调动学生学习的积极性，从而自然地引入对数函数的图象与性质的研究问题。
4.4.2对数函数的图像和性质课件(人教版)(1)
即pH减小. ∴随着[H+]的增大， pH减小.
即溶液中氢离子的浓度越大,溶液的酸性就越强.
(2)当[ H ] 107 时,
∴纯净水的pH是7.
pH lg 107 7.
1
[H ]
也减小，
新知探究
探究2: 对于指数函数y=2x，你能利用指数与对数之间的关系，得
到对应的对数函数？它们的定义域，值域有什么关系？
0<a<1时,在R上是减函数
0<a<1时,0<x<பைடு நூலகம்,y>0; x>1,y<0
(5) a>1时,在(0,+∞)是增函数；
0<a<1时,在(0,+∞)是减函数
课堂小结
2．反函数
x
y＝a
logax(a>0且a≠1)
指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)和对数函数 y＝logx(a>0
且 a≠1)互为反函数．
（2） log
0.3 1.8与
log
0.3 2.7
（3） loga5.1与 loga5.9
(4) ， ；
(5) ， .
典例分析
例1
比较下列各组中，两个值的大小：
（1） log 2 3.4与 log 2 8.5
解： 考察函数y=log 2 x ,∵a=2 > 1,
课堂小结
1.指数函数与对数函数的图象和性质
指数函数y=ax (a>0,a≠1)
y
x
y=a
图
y=ax
(0<a<1)
(a>1)
1
【课件】4.4.1、4.4.2 对数函数的概念、图象和性质(课件)(新教材人教版必修第一册)
解：(1)对数函数 y＝log2x， 因为它的底数 2>1， 所以它在(0，＋∞)上是增函数． 又 3.4＜8.5，于是 log23.4<log28.5. (2)对数函数 y＝log0.3x， 因为它的底数 0<0.3<1， 所以它在(0，＋∞)上是减函数． 又 1.8＜2.7，于是 log0.31.8>log0.32.7.
1．比较对数值大小的注意点 (1)比较两个同底数的对数大小首先要根据对数的底数来判断对 数函数的单调性，然后比较真数大小，再利用对数函数的单调性判 断两个对数值的大小．
(2)底数中含有参数时，需要对底数进行讨论． (3)对于不同底的对数，可以估算范围，如 log22<log23<log24，即 1<log23<2，从而借助中间值比较大小． 2．求 y＝logaf(x)型函数的值域的注意点 (1)先求定义域，进而确定 f(x)的取值范围； (2)利用对数函数 y＝logax 的单调性求出 logaf(x)的取值范围．
x∈[1，＋∞)时，y∈ 的特点
_[_0_，__＋__∞_)__
x∈[1，＋∞)时，y∈_(_－__∞_，__0_]_
对称性 函数 y＝logax 与 y＝ x 的图象关于_x_轴__对称
预习验收 衔接课堂
1．下列函数是对数函数的是( D ) A．y＝2＋log3x B．y＝loga(2a)(a>0，且 a≠1) C．y＝logax2(a>0，且 a≠1) D．y＝ln x
2．函数 y＝lgxx－＋11的定义域是( C ) A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞) C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)
3．已知 f(x)＝log3x，则 f 95＋f(15)＝_3_. 4.若函数 f(x)＝loga(2x－3)(a>0，且 a≠1)的图象恒过定点 P，则 P 点的坐标是__(2_,_0_)_．
4.4.2对数函数的图象及其性质课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H+] =10-7摩尔/升,
计算纯净水的PH值.
1
解:(1)根据对数函数性质,有 PH=-lg[H+]= lg[H+]-1 =lg [H+] ,
在(0,+∞)上，随着[H+]的增大,
1
[H+]
减小，相应地，
lg
1
[H+]
也减小，即PH减小.所以随着[H+]的增大,PH减小,
比较两个同底对数值的大小时: 1)视察底数是大于1还是小于1(a>1时为增函数, 0<a<1时为减函数) 2)比较真数值的大小； 3)根据单调性得出结果.
1.例3.比较下列各组中，两个值的大小：
(3) loga5.1与 loga5.9 解: ①若a>1则函数在区间（0，+∞）上是增函数；
∵5.1<5.9 ∴ loga5.1 < loga5.9 ②若0<a<1则函数在区间（0，+∞）上是减函数； ∵5.1<5.9 ∴ loga5.1 > loga5.9
2
如右图.
P1
y log 1 x
2
为了得到对数函数 f (x) loga x(a 0,且a 1)的性质，我们还
需要画出更多具体对数函数的图象进行视察如
(3)根据对称性（关于x轴对称)已知 f (x) log3 x
的图象，你能画出 f (x) log 1 x 的图象吗？
y
3
1
1
x
当 0<a<1时与a>1时的图象又怎么画呢?性质又如何？
提示 : log aa＝1
提示: log a1＝0
原创1：4.4.2 对数函数的图象与性质
本课结束
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第四章 指数函数与对数函数
4.4 对数函数
4.4.2 对数函数的图象与性质
学习目标： 1.掌握对数函数的图象和性质；能利用对数函数的图象与性质来解决简单问题. 2.经过探究对数函数的图象和性质，对数函数与指数函数图象之间的联系，对数 函数内部的的联系.培养学生观察问题、分析问题和归纳问题的思维能力以及数学 交流能力；渗透类比等基本数学思想方法. 教学重点：掌握对数函数的图象和性质，对数函数与指数函数之间的联系，不同 底数的对数函数图象之间的联系. 教学难点： 对数函数的图象与指数函数的关系；不同底数的对数函数之间的联系.
例1.比较下列各题中两个值的大小.
(1) log2 3.4, log2 8.5. (2) log0.3 1.8, log0.3 2.7. (3) loga 5.1, loga 5.9(a 0, 且a 1).
解（3）loga 5.1和loga 5.9可看作函数y loga x的两个函数值， 因此，需要对a进行讨论， 当a 1时，loga 5.1 loga 5.9. 当0 a 1时，loga 5.1 loga 5.9.
反函数 定义：指数函数 y ax (a 0, a 1)和对数函数
y loga x(a 0, a 1) 叫互为反函数.
在同一直角坐标系中画出下列各对函数的图象，你发现了什么？
（1）y 2x , y log2 x ；
y
y 2x
yx
y log2 x
O
x
（2）y
1 2
x
,
y
log 1
问题2 在直角坐标平面内分别画出函数 y log2 x，y log3 x，y lg x 图象. 分析： （1）定义域是 (0, ) . （2）值域为R，函数无最值，函数图象均在y轴右侧. （3）奇偶性：非奇非偶函数，图象不关于原点对称，也不关于y轴对称. （4）单调性：函数为单调递增函数.
4.4.1-2对数函数的概念、对数函数的图象和性质课件-高一上学期数学人教A版必修第一册(2ppt)
∵log23<log24=2,∴log23-1<1.
又log34>log33=1,∴log34>log23-1,
即c>a,∴c>a>b,故选B.
5 | 如何解对数不等式
对数不等式的类型及解题方法 (1)形如loga f(x)>logab的不等式,借助函数y=logax的单调性求解,如果a的取值不确 定,需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论; (2)形如loga f(x)>b的不等式,应将b化成以a为底数的对数式的形式(即b=logaab),借 助函数y=logax的单调性求解; (3)形如logf(x)a>logg(x)a的不等式,利用换底公式化为同底的对数进行求解,或利用图 象求解.
已知函数f(x)=loga(3-ax)(a>0). (1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围; (2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1? 如果存在,求出a的值;如果不存在,请说明理由. 解析 (1)设t(x)=3-ax,∵a>0, ∴t(x)=3-ax为减函数, 当x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3-2a, 当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,即x∈[0,2]时,3-ax>0恒成立,∴3-2a>0,∴a3< .
2
2
2
综上,原不等式的解集为
1 2
,1.
对数函数的概念 对数函数的图象和性质
1 | 对数函数的概念
一般地,函数① y=logax(a>0,且a≠1) 叫做对数函数,其中x是自变量,定义 域是② (0,+∞) .
2 |对数函数的图象与性质
课件2：4.4.1 对数函数的概念~4.4.2 对数函数的图象和性质(一)
规律方法 有关对数型函数图象问题的应用技巧
(1)求函数 y＝m＋logaf(x)(a＞0，且 a≠1)的图象过定点时，只需 令 f(x)＝1 求出 x，即得定点为(x，m)． (2)给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基 本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数 的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几 个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法．
3－x>0，
(3)要使函数式有意义，需x－1>0， 解得 1<x<3，且 x≠2. x－1≠1，
所以函数 y＝log(x－1)(3－x)的定义域是{x|1<x<3，且 x≠2}．
规律方法 (1)求与对数函数有关的函数定义域时应遵循的原则 ①分母不能为 0； ②根指数为偶数时，被开方数非负； ③对数的真数大于 0，底数大于 0 且不为 1.
2.已知函数 y＝loga(x＋b)(a＞0 且 a≠1)的 图象如图所示． (1)求实数 a 与 b 的值； (2)函数 y＝loga(x＋b)与 y＝logax 的图象有何关系？
【解】 (1)由图象可知，函数的图象过(－3，0)点与(0， 2)点，所以得方程 0＝loga(－3＋b)与 2＝logab，解得 a ＝2，b＝4. (2)函数 y＝loga(x＋4)的图象可以由 y＝logax 的图象向 左平移 4 个单位得到．
4.4.1 对数函数的概念~ 4.4.2 对数函数的图象和性质(一)
考点
学习目标
理解对数函数的概念，会 对数函数的概念
判断对数函数
初步掌握对数函数的图象 对数函数的图象
和性质
对数函数的定义 能利用对数函数的性质解
域问题
决与之有关的定义域问题
人教版新课程《4.4 对数函数》核心素养教学设计(2课时)
【新教材】4.4.1 对数函数的概念（人教A版）对数函数与指数函数是相通的，本节在已经学习指数函数的基础上通过实例总结归纳对数函数的概念，通过函数的形式与特征解决一些与对数函数有关的问题.课程目标1、通过实际问题了解对数函数的实际背景；2、掌握对数函数的概念,并会判断一些函数是否是对数函数.数学学科素养1.数学抽象：对数函数的概念；2.逻辑推理：用待定系数法求函数解析式及解析值；3.数学运算：利用对数函数的概念求参数；4.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的思想总结对数函数概念.重点：理解对数函数的概念和意义；难点：理解对数函数的概念．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量y随死亡时间x的变化而衰减的规律.反过来，已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知死亡了多长时间呢？进一步地，死亡时间t是碳14的含量y 的函数吗？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本130-131页，思考并完成以下问题1. 对数函数的概念是什么？2. 对数函数解析式的特征？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．对数函数的概念函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．[点睛] 形如y＝2log2x，y＝log2x3都不是对数函数，可称其为对数型函数．四、典例分析、举一反三题型一对数函数的概念例1指出下列函数哪些是对数函数？(1)y＝3log2x；(2)y＝log6x；(3)y＝log x5; (4)log2x＋1.【答案】（1）（3）（4）不是对数函数，（2）是对数函数．【解析】 (1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．(4)对数式log2x后又加上1，不是对数函数．例2已知对数函数f(x)=(m2-3m+3)·log m x,则m= .【答案】2【解析】由对数函数的定义可得m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,也就是(m-1)(m-2)=0,解得m=1或m=2.又因为m>0,且m≠1,所以m=2.解题技巧：（判断一个函数是对数函数的方法）跟踪训练一1.若函数f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是对数函数,则a= .【答案】4【解析】由题意可知解得a=4.题型二 对数函数的解析式 例3 已知对数函数f (x )的图象过点.①求f(x)的解析式; ②解方程f(x)=2.【答案】①f (x )=log 16x ②x=256【解析】①由题意设f (x )=log a x (a>0,且a ≠1),由函数图象过点可得f (4)=,即log a 4=,所以4=,解得a=16,故f (x )=log 16x.②方程f (x )=2,即log 16x=2,所以x=162=256.解题技巧：（对数函数的解析式）对数函数解析式中只有一个参数a,用待定系数法求对数函数解析式时只须一个条件即可求出. 跟踪训练二1.点A(8,-3)和B(n,2)在同一个对数函数图象上,则n=____________. 【答案】14【解析】设对数函数为f (x )=log a x (a>0,且a ≠1).则由题意可得f (8)=-3,即log a 8=-3,所以a -3=8,即a=8-13=12.所以f (x )=lo g 12x ,故由B (n ,2)在函数图象上可得f (n )=lo g 12n=2,所以n=(12)2=14.题型三 对数函数型的定义域 例4 求下列函数的定义域：（1)y ＝log 5(1－x ); (2)y ＝log (1－x )5；(3)y ＝ln (4－x )x －3； (4)y ＝log 0.5(4x －3).【答案】（1）{x |x <1} （2）{x |x <1，且x ≠0}（3）{x |x <4，且x ≠3}（4）3|14x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭. 【解析】(1)要使函数式有意义，需1－x >0，解得x <1，所以函数y ＝log 5(1－x )的定义域是{x |x <1}．(2)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1－x ≠1，解得x <1，且x ≠0，所以函数y ＝log 1－x 5的定义域是{x |x <1，且x ≠0}．(3)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧4－x >0，x －3≠0，解得x <4，且x ≠3，所以函数y ＝ln (4－x )x －3的定义域是{x |x <4，且x ≠3}．(4)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧4x －3>0，log 0.5(4x －3)≥0，解得34＜x ≤1，所以函数y ＝log 0.5(4x －3)的定义域是3|14x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭. 解题技巧：（求对数型函数定义域的原则） (1)分母不能为0.(2)根指数为偶数时，被开方数非负． (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 跟踪训练三1.求下列函数的定义域： (1)y ＝lg(x ＋1)＋3 x21－x；(2)y ＝log x －2(5－x )．【答案】（1）(－1,1) （2）(2,3)∪(3,5).【解析】(1)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＞0，1－x ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，x ＜1，∴－1＜x ＜1.∴该函数的定义域为(－1,1)． (2)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ 5－x ＞0，x －2＞0，x －2≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＜5，x ＞2，x ≠3，∴2＜x ＜5，且x ≠3.∴该函数的定义域为(2,3)∪(3,5).四、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本140页习题4.4中 1题5题8题本节主要学习了一类新的函数：对数函数。