于凤雪直线方程的概念与直线的斜率
一次函数y=kx+b的图象是一条直线，直线 上的每一点的坐标都是方程的解，反过来， 方程的每一个解表示的点都必在直线上。 例：y=2x+1的图象是一条直线，直线上 的点的坐标都是2x-y+1=0的解。
蓝点（1，3）为直线上的点,它是 方程的解。
x=-2，y=-3为方程的解，它 表示的点（-2，-3）(绿点)必 在直线上。
解决的措施：1.逐字逐句，深入挖掘概念的本质
（1）对直线与倾斜角的内在联系理解不到位
2.加强运算 解决几何问题的能力。
3.尝试建立代数与几何的联系，初步形成用坐标法
学习目标
1. 理解直线的方程和方程的直线的概 念，掌握直线的斜率和倾斜角，提高概 念理解能力； 2.自主学习，合作探究，会用过两点直 线的斜率公式解决有关几何问题； 3.缜密思维，勇于探索，体会数与形的 统一美。
前黑板 前黑板 后黑板 后黑板 后黑板 后黑板
3组 4组 5组 6组 7组 8组
展示题目 问题导学2 直线上A、B直线 的斜率公式 问题导学3思考 斜率与倾斜角的 联系 探究一例1 例1拓展 例2（1） 例2（2） 例2拓展
展示地点
展示小组
点评人
前黑板
1组
前黑板
前黑板 后黑板 后黑板 后黑板 后黑板
Y ●
想一想：
O ●
X
（一 ）直线的方程、方程的直线 如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线 上，且这条直线上的点的坐标都是这个方程的解 ，这时，这个方程就叫这条直线的方程，这条直 线叫做这个方程的直线。
例如直线:y=2x+1
y=kx+b的图像是一条 直线，以后常说直线 y=kx+b
Y ●
O ●
课堂检测
若直线L经过两点A(－m，6)、B(0，3)， 且直线的斜率是3 （1）求m的值 （2）写出直线L的方程，并画出直线L
三、小结：
1、直线的倾斜角定义及其范围： 180 0 2、直线的斜率定义： k tan (a 90 ) 3、斜率k与倾斜角 之间的关系：
X
二、直线的倾斜角
1、直线倾斜角的定义：
x 轴 正向与直线 向上 的方向所成的角叫做
这条直线的倾斜角。
y
x o
l
注意： (1) x轴的正向； (2)直线向上的方向。
2、直线倾斜角的范围：
我们规定，与x 轴平行或重合的直线 的倾斜角为 零度角 0 0 0 , 180 直线的倾斜角的取值范围为：
展示题目 问题导学2 直线上A、B直线的斜 率公式
展示地点 前黑板
展示小组 1组
要求
1．展示人书写 认真快速；总 结规律方法（ 用彩笔） 2．其他同学讨 论完毕总结整 理完善，并迅 速浏览展示同 学的答案，准 备点评。 3．提高效率， 不浪费一分钟 。Βιβλιοθήκη 问题导学3思考 斜率与倾斜角的联系
探究一例1 例1拓展 例2（1） 例2（2） 例2拓展
展示地点
展示小组 点评人
前黑板
1组 2组
前黑板
前黑板 后黑板 后黑板 后黑板 后黑板
3组
4组 5组 6组 7组 8组 9组
6组
（1）点评方面： 对错、规范(布局 、书写)、思路分 析（步骤、易错 点），总结规律 方法（用彩笔） 。 （2）其它同学认 真倾听、积极思 考,重点内容记好 笔记。有不明白 或有补充的要大 胆提出。（3）力 争全部达成目标 ，A层（120%）多 拓展、质疑,B层 （100%）注重总 结，C层（95%） 。
计算k值；
展示题目 问题导学2 直线上A、B直 线的斜率公式 问题导学3思考 斜率与倾斜角的 联系 探究一例1 例1拓展 例2（1） 例2（2） 例2拓展
展示地点
展示小组 点评人
前黑板
1组 2组
前黑板
前黑板 后黑板 后黑板 后黑板 后黑板
3组
4组 5组 6组 7组 8组 9组
6组
（1）点评方面： 对错、规范(布局 、书写)、思路分 析（步骤、易错 点），总结规律 方法（用彩笔） 。 （2）其它同学认 真倾听、积极思 考,重点内容记好 笔记。有不明白 或有补充的要大 胆提出。（3）力 争全部达成目标 ，A层（120%）多 拓展、质疑,B层 （100%）注重总 结，C层（95%） 。
• 几何图形代数化： •点 坐标 • 直线 方程 • 直线上点的坐标 方程的解
• 直线的方程必须同时满足： • 1）以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点； • 2）直线上点的坐标都是这个方程的解
展示题目 问题导学2 直线上A、B直 线的斜率公式 问题导学3思考 斜率与倾斜角的 联系 探究一例1 例1拓展 例2（1） 例2（2） 例2拓展
• 1.先证任意两点的连线的斜率相等
• 2.再说明两直线过公共点
几何问题代数化：利用坐标法研究
变式训练：
若点A(2，－3)，B(3，－2)，
9 1 C( ，m)三点共线，则m=__________ 2 2
整理巩固3分钟
要求： 1.落实基础知识,完成知识结 构图 2.整理巩固探究问题
3.总结解题方法与规律
o
x
y x
y1 y 2 可写成 k x1 x2 吗？ x1 x 2
与两点的顺序无关
建构数学
y
直线斜率的概念辨析
如果 x1=x2，则直线 PQ的斜 问题1： 率怎样? 斜率不存在,这时直线PQ⊥x轴 Q( x1 , y2 ) 对于一条与x轴不垂直的定直线 问题2：
而言,直线的斜率是定值吗?
P( x1 , y1 )
o
x 求一条直线的斜率需要什么条 问题3： 只需知道直线上任意两点的坐标
件?
是定值,定直线上任意两点确 定的斜率总相等
合作探究（6分钟）
内容： 1. 斜率与倾斜角的区别与联系，如何用斜率和倾斜 角刻画直线的性质。 2. 如何在直角坐标系中作出一条直线 3. 如何证三点共线。 （1）人人参与，热烈讨论，大声表达自己的思想。 （2）组长控制好讨论节奏，先一对一分层讨论，再 小组内集中讨论，AA、BB解决好全部展示问题、 CC解决问题导学及例1。 （3）讨论时，手不离笔，解决好2个问题，组长记录 好，准备展示质疑。
拓展：
• 若过两点A（a,-1)、B（-3,2）的直线的倾 斜角为钝角，求a的取值范围
a>-3
探究一方法规律总结：
求直线斜率的步骤
（1）任取直线上两点的坐标； （2）计算两个坐标差 ⊿x，⊿y， （3）判断⊿x，若⊿x=0，则判定“斜率K不 存在”，若△x≠0，则K存在。 （4）利用公式K=
y2 y1 y x2 x1 x
y2 y1 y1 y2 4、斜率公式： k (或k ) x2 x1 x1 x2
0 k tan 0 0 0 90 k tan 0 a 90 tan (不存在) k不存在 90 180 k tan 0
课前检查 已知点A(－1，3)，B(3，1)，点
C在坐标轴上，∠ACB=90°，则满足条件 的点C的个数是（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 解：若点C在x轴上，设C(x，0)，由
∠ACB=90°，得|AB|2=|AC|2+|BC|2，
∴ (－1－3)2+(3－1)2=(x+1)2+32+(x－3)2+12，
3组
4组 5组 6组 7组 8组
(基础知 识梳理） 2组
6组
9组
（1）点评方面： 对错、规范(布局 、书写)、思路分 析（步骤、易错 点），总结规律 方法（用彩笔） 。 （2）其它同学认 真倾听、积极思 考,重点内容记好 笔记。有不明白 或有补充的要大 胆提出。（3）力 争全部达成目标 ，A层（120%）多 拓展、质疑,B层 （100%）注重总 结，C层（95%） 。
例2 方法规律
1.二元一次方程 直线 （1） 将直线方程的形式化为函数式y=kx+b （2）任取两点的坐标（通常是坐标轴上的点） （3）连线（两点确定一条直线） 2.形如一次函数y=kx+b K：直线的斜率 b：直线与Y轴交点纵坐标(直 线在Y轴上的截距)
体现方程思想
方法规律总结：如何证三点共线
解得x=0或x=2,
若点C在y轴上，设C(0，y)，由∠ACB=90°
得|AB|2=|AC|2+|BC|2，
可得y=0 或y=4，
而其中原点O(0，0)计算了两次， 故选C.
高 度
b
a
c
宽度
直线方程的概念 与直线的斜率
问题反馈
存在的问题：
（2）对斜率公式的应用不够熟练 （3）对几何问题的解决方法不灵活
建构数学
y
Q( x2 , y2 )
P( x1 , y1 )
三、直线的斜率
已知两点 P(x1，y1)， Q(x2，y2)， 如果 x1≠x2，则直线 PQ的 斜率 为： y y
k
2 1
y2 y1 y
x2 x1 x
x 2 x1
x1 x2
纵坐标 的差 横坐 标的 差
高考直通车教师用书高中数学221直线方程的概念与直线的斜率课件新人教B版必修2
●教学建议 鉴于本节知识概念抽象、疑难点较多的特点，教学时， 可采用观察发现、启发引导、探索实验相结合的教学方法， 把概念化抽象为直观，突出概念的形成过程，另在直线斜率 公式教学的导出过程中，应渗透几何问题代数化的解析几何 研究思想．引导学生将直线的位置问题(几何问题)转化为倾斜 角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题(代数问题)进行 解决，使学生进一步体会“数形结合”的思想方法．
(2)若还存点 Q4(a,3)，试求直线 PQ4 的斜率．
图 2－2－3
【思路探究】 根据题意，分清直线过哪两个点，然后 用斜率公式求解，要注意斜率不存在的情况．
【自主解答】 (1)由已知得，直线 l1，l2，l3 的斜率都存 在．
设它们的斜率分别为 k1，k2，k3.
则由斜率公式得： k1＝－－12－ －23＝35，
3．情感、态度与价值观 (1)通过对直线倾斜角的概念的引入和直线倾斜角与斜率 关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达 能力，数学交流与评价能力． (2)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进 一步理解数形结合的思想，培养学生树立辩证统一的观点， 培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．
●教学流程
演示结束
课 标 解 读
1.理解直线的倾斜角与斜率的概 念．(难点、易混点) 2．掌握直线的斜率公式．(重点) 3．会求直线的斜率及倾斜角．(重 点)
直线的方程与方程的直线的概念
【问题导思】 如何判断点 P(2,1)是否在直线 y＝x－1 上？ 【提示】 把点的坐标代入方程，若满足方程，点就在 直线上，反之，不在直线上．
【答案】 135°
求倾斜角时要根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找 倾斜角．结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如 三角形内角和定理及其有关推论．
直线方程的概念与直线的斜率
汇报人：XX
• 直线方程的基本概念 • 直线的斜率 • 直线方程的求解方法 • 直线方程与图形的结合 • 直线方程在实际问题中的应用
01
直线方程的基本概念
直线方程的定义
直线方程
描述平面上一条直线的数学表达式， 通常表示为 $y = mx + b$，其中 $m$ 是斜率，$b$ 是截距。
k代表斜率，x1和y1代表直线上的一个点(x1,y1)，x2和y2代表直线上的另一个点 (x2,y2)。
斜率与倾斜角的关系
倾斜角不是90度的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率（k） 。
直线的斜率反映直线上每一点的倾斜程度。一条直线与平面直角坐标系 横轴正半轴方向的夹角的正切值即该直线相对于该坐标系的斜率。
02
直线的斜率
斜率的定义
斜率，亦称“倾斜度”、“倾斜 率”，表示一条直线相对于横坐
标轴的倾斜程度。
一条直线与某平面直角坐标系横 坐标轴正半轴方向的夹角的正切 值即该直线相对于该坐标系的斜
率。
如果直线与x轴互相垂直，直角 的正切值无穷大，故此直线不存
在斜率。
斜率的计算公式
直线斜率公式：k=(y2-y1)/(x2-x1)。
移变换中，直线方程可以根据平移向量进行相应的变换。
02
旋转变换
通过旋转变换可以改变图形的方向，但不改变图形的形状和大小。在旋
转变换中，直线方程可以根据旋转中心和旋转角度进行相应的变换。
03
缩放变换
通过缩放变换可以改变图形的大小，但不改变图形的形状。在缩放变换
中，直线方程可以根据缩放因子进行相应的变换。
直线方程的特殊形式
1 2
水平线方程
2017-2018学年高一数学人教B版必修2课件：2-2-1直线方
1
2
【做一做2】 过点P(1,3)和Q(0,5)的直线的斜率为 (
)
A.2
答案：B
B.-2
C.2
1
D.-2
1
对直线斜率的全方位剖析 剖析：(1)斜率公式的适用范围. ������2 -������1 经过两点P(x1,y1),Q(x2,y2)的直线的斜率公式 k=������ -������ ,其适用范 2 1 围是x1≠x2.说明如下: ①斜率公式可通过直线上任意两点的坐标表示. ②斜率公式与两点的顺序无关,也就是说两点的纵坐标、横坐标 在公式中的次序可以同时调换(要一致). ③如果y2=y1(x2≠x1),则直线与x轴平行或重合,k=0;如果x1=x2,y1≠y2, 则直线与x轴垂直,倾斜角θ=90°,斜率k不存在.
������ ������'
又由图易知Δy'>Δy,故kPM>kPQ.
显然直线PM相对于x轴正方向比直线PQ相对于x轴正方向倾斜 程度要大.比如某人从点P沿直线PQ到达点Q,相对于从点P沿直线 PM到达点M来说,此人会感到沿直线PM走比沿直线PQ走更费劲. 一般地,直线斜率为k,|k|越大,直线相对于x轴倾斜程度越大;反之 |k|越小,直线相对于x轴倾斜程度越小.
(2)从运动变化的观点看斜率公式. 由直线上两点的坐标求这条直线的斜率 k 与这两点在直线上的 顺序无关,于是 k=
������1 -������2 ������1 -������2
(x1≠x2).如果令 Δx=x2-x1,Δy=y2-y1,则 Δx 表示变
������
量 x 的改变量,Δy 表示相应的 y 的改变量,于是 k=Δ������(Δx≠0). (3)斜率的功能. 斜率是用来反映直线倾斜程度的一个量,它与倾斜角都反映倾 斜程度,但倾斜角相对直观一些,而斜率较抽象.结合图示说明如下: 如图,已知直线 PQ,直线 PM,且直线 MQ 与 y 轴平行,由直线的斜 率公式,得 kPQ=Δ������,kPM= Δ������ .
于凤雪直线方程的几种形式
可化为 y1 k x x1 y
y y1 k x x1
. .
P1
O
x由直线上一点和直线的斜率确 Nhomakorabea的直线方程，叫直 线的点斜式方程。
特殊情况:
(1)当直线的倾斜角为时斜率 0, 00 k
y
直线l的方程为 y1 (如图 y )
l
P1
O
x
(2)当直线的倾斜角为 0 时斜率 不存在 90 k y l 直线l的方程为 x1 (如图 x ) P1
三、展示安排：
展示题目
点斜式的形式、限制条件 斜截式的形式、限制条件
展示地点 前黑板 前黑板
展示小组 6组B2 7组B2
两点式的形式、限制条件
什么是x，y轴上的截距；截距式 的形式、限制条件 预习自测2 探究一（1,2,3） 探究一（4,5） 探究二
前黑板 前黑板
后黑板
8组B2 9组B2
2组B1
后黑板 后黑板 后黑板
存在的问题
• • • • 1、不能据题意，选择合适的方程形式 2、平行于坐标轴的方程不会写。 斜率为零，斜率不存在的情况不会写方程。 3、计算能力有待提高。
新课：
1、直线的点斜式方程：
已知直线l经过已知点P1（x1，y1），并且它的斜率是k 求直线l的方程。 设点P（x，y）是直线l上 不同于P1的任意一点。 l 根据经过两点的直线斜率 y P 公式，得
斜---斜率 截---y轴上的截距
o
x
若直线l经过点P1（1，2）， P2（3，5），
求直线l的方程.
思考：
已知直线上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)（其中x1≠x2, y1≠y2 ），如何求出通过这两点的直线方程呢？
新课标人教B版数学必修2教案 2.2.1直线方程的概念与直线的斜率(二)
2.2．1直线方程的概念与直线的斜率(二)
教学目标：1、理解直线的倾斜角和斜率概念，
2、经历用代数方法刻画直线斜率的过程，
3、掌握过两点的直线斜率的计算公式.
教学重点：1、理解直线的倾斜角和斜率概念，
2、掌握过两点的直线斜率的计算公式.
教学过程： （一）
如图，直线向上的方向与x 轴正方向所成的角称为直线的倾角记为θ. 当l 与x 轴平行时，θ=0
我们把b kx y +=中的k 叫做直线的斜率
(二) 设P 1(x 1,y 1)和P 2(x 2，y 2)求直线P 1P 2的斜率，（P 1P 2不与x 轴垂直）
令直线的方程为：b kx y +=
b kx y +=11
b kx y +=22
两式相减得)(2121x x k y y -=-
故2
121x x y y k --= (三) .倾斜角不是90°的直线，倾角的正切值称为直线的斜率. 故2
121tan x x y y --=θ （四）练习
1.判断正误.
(1)直线的倾角为α，则直线的斜率为tan α；
(2)直线的斜率值为tan β，则该直线的倾角为β；
(3)因为所有直线都有倾角，故所有直线都有斜率；
(4)因为平行于y 轴的直线斜率不存在，所以平行于y 轴的直线倾角也不存在.
2．求过下列两点的直线的斜率及倾角.
(1)P 1(-2，3)，P 2(-2，8)
(2)P 1(5，-2)，P 2(-2，-2)
(3)P 1(-1，2)，P 2(3，-4)。
高B数学必修二课件直线方程的概念与直线的斜率
面积问题
利用直线方程表示图形的边界 ，通过计算图形面积解决与面 积相关的问题。
其他问题
直线方程还可以应用于解决其 他实际问题，如物理中的运动 问题、化学中的反应速率问题
等。
05
斜率在实际问题中应用
斜率与速度关系
斜率表示速度
在直线运动中，斜率可以表示物体的速度。当直线方程为y=mx+b时，斜率m即为速度。
方法二
斜截式方程。先根据两点坐标求出直线的斜率，再利用斜率和其中一点的坐标求 出直线方程。
已知斜率和一点求直线方程
方法一
点斜式方程。根据已知的斜率和一点 坐标，利用点斜式公式直接求解直线 方程。
方法二
斜截式方程。将已知的斜率转换为斜 截式形式，再利用已知点的坐标求出 直线方程。
平行和垂直直线方程求解
斜率不存在情况
垂直情况
当直线与$x$轴垂直时，即直线的倾斜角为$90^circ$时，斜 率不存在。
无穷大情况
当直线方程为形如$x=c$（$c$为常数）的形式时，斜率也不 存在，此时可以理解为斜率为无穷大。
03
直线方程求解方法
已知两点求直线方程
方法一
两点式方程。通过已知的两点坐标，利用两点式公式直接求解直线方程。
公式法
利用点到直线距离公式，将点的 坐标和直线方程代入公式进行计
算。
向量法
通过向量的数量积和模长计算点到 直线的距离。
垂线法
过点作直线的垂线，利用垂足坐标 和点到垂足的距离计算点到直线的 距离。
两平行线间距离计算
01
02
03
公式法
利用两平行线间距离的公 式，将两直线方程代入公 式进行计算。
平行移动法
2018学年高中数学人教B版必修2课件：2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率 精品
学业分层测评 点击图标进入…
[再练一题] 3．已知实数 x，y 满足 y＝－2x＋8，且 2≤x≤3，求yx的最大值和最小值． 【解】 如图所示，由于点(x，y)满足关系式 2x＋y＝8， 且 2≤x≤3，可知点 P(x，y)在线段 AB 上移动，并且 A，B 两 点的坐标可分别求得为(2,4)，(3,2)． 由于yx的几何意义是直线 OP 的斜率，且 kOA＝2，kOB＝23， 所以可求得yx的最大值为 2，最小值为23.
(1)要使直线 l 与线段 AB 有公共点，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是 k≤－1，或 k≥1.
(2)由题意可知，直线 l 的倾斜角介于直线 PB 与 PA 的倾斜角之间，又 PB 的倾斜角是 45°，PA 的倾斜角是 135°，所以 α 的取值范围是 45°≤α≤135°.
斜率公式的应用
【精彩点拨】 画草图 ―→ 标记α ―→ 找倾斜角与α的关系 ―→ 求倾斜角
【自主解答】 由题意画出如下草图
由图可知： 当 α 为钝角时，倾斜角为 α－90°， 当 α 为锐角时，倾斜角为 α＋90°， 当 α 为直角时，倾斜角为 0°. 综上，直线 l 转动前的倾斜角为α＋90°0°<α<90°， α－90°90°≤α<180°.
图 2-2-3 【 解 析 】 设 l1 ， l2 ， l3 的 倾 斜 角 分 别 为 α1 ， α2 ， α3 ， 则 由 图 可 知 0<α3<α2<90°<α1<180°，所以 tan α2>tan α3>0，tan α1<0，故 k1<k3<k2. 【答案】 k1<k3<k2
5．已知 A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)，D(－1，b)四点在同一条直线上，求直线的 斜率 k 及 a，b 的值．
2.2.1直线方程的概念与直线的倾斜角-3解析
斜率为1，则实数a= 2
。
3
课堂检测
1 2
三、你学到了什么？
(一)知识与技能
1、直线的方程与方程的直线
2、斜率公式： k y2 y1 (或k y1 y2 )
x2 x1
x1 x2
3、直线的倾斜角定义及其范围：0 180
4、直线的斜率几何意义：k tan ( 90 )
5、斜率k与倾斜角 之间的关系：
Y
Y
l
l
O
XO
XO
X
Y l
O
X
规定：当直线与x轴平行或重合时，直 线的倾斜角为0°。
②倾斜角的取值范围 00 ＜1800
直线的斜率k与倾斜角α之间的变化关系 当α=00 时，k= 0
当00＜α＜900时，k＞0 ,k值增大，倾斜角也 随着增大。 当α=900 时，k不存在
当900＜α＜1800时，k＜0,k值增大，倾斜角也随 着增大。
练习：如图，直线 l1、l2、l3 的斜率分别
为
k1
,
k
2
,
k
，则：（
3
D
）
A.k1 k2 k3
B.k3 k1 k2 C.k3 k2 k1
D.k1 k3 k2
思考题：
1．已知过点P(1－a，1+a)和Q(3，2a)的 直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范 围是 (－2，1) .
2．直线：(2a2－7a+3)x+(a2－9)y+3a2=0的
直线方程的概念 与直线的斜率
探究(一) 我们已经知道平面直角坐标系内，一
次函数y=kx+b( K≠0)的图象是直线.
如一次函数y=2x+1的图象是 y=2x+1可以变为2x-y+1=0
2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率
张喜林制2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率教材知识检索考点知识清单1．直线方程的概念一般地，如果以一个方程的解为坐标的点都在 且这条直线上点的坐标都是 ，那么这个方程叫做这条直线叫做 ．由于方程b kx y +=的图象是 因此我们常说直线 2．直线的倾斜角当直线与x 轴相交时，x 轴正向与直线 所成的角叫做这条直线的 ，与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为 ，因此，直线倾斜角的取值范围是 3．直线的斜率直线b kx y +=中的系数k 叫做 ，垂直于x 轴的直线 直线上的两点),,(),(2211y x B y x A 、那么直线的斜率=k ).(21x x =/当0=k 时，直线 或当0>k 时，直线的倾斜角为 ．k 值增大，直线的倾斜角也随着当0<k 时，直线的倾斜角为____，k 值增大，直线的倾斜角也随着____；垂直于x 轴的直线要点核心解读1．对直线方程概念的理解把—次函数b kx y +=的每一对x 与y 的值，看成直角坐标系中的点（x ，y ），则（x ，y ）的集合便是一条直线.b kx y +=另一表达形式0=--b kx y 是二元一次方程的形式，这样，这个方程的实数解就和这条直线上的点的坐标建立了一一对应的关系，于是得到以下两个方面的含义：以一个二元一次方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上点的坐标都是这个二元一次方程的解，这时，这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线． 2．直线的斜率(1)斜率公式的推导．直线b kx y +=被其上的任意两个不同的点所唯一确定（如图2 -2 -1-1所示），由这条直线上任意两点、),(11y x A ),(22y x B 的坐标可以计算出k 的值．由于11,y x 和22,y x 是直线方程b kx y +=的两组解，所以,,2211b kx y b kx y +=+=两式相减，得),(1212x x k y y -=-故=k ),(121212x x x x y y =/--那么)(121212x x x x y y k =/--=称为直线的斜率公式． 由斜率公式可知，斜率k 可以由直线上两个不同点的坐标求得，但它的大小与这两个点在直线上的顺序无关．(2)斜率的定义通常，我们把直线b kx y +=中的系数k 叫做这条直线的斜率．垂直于x 轴的直线，斜率不存在． 除了垂直于x 轴的直线，只要知道直线上两个不同点的坐标，由斜率公式就可以算出这条直线的斜率．方程b kx y +=的图象是过点(O ，b)且斜率为k 的直线．(3)求斜率的步骤，我们可以写出求一条直线斜率的计算步骤，以便应用计算机进行计算： ①给直线上两点的坐标赋值：?,,?,?,2121=⋅===y y x x ②计算;,1212y y y x x x -=∆-=∆ ③如果,0=∆x 则判定“斜率k 不存在”； ④如果,0=/∆x 计算;xyk ∆∆=⑤输出斜率k ， 3．直线的倾斜角(1)定义．x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．我们规定，与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．(2)斜率与倾斜角的关系．由斜率k 的定义可知：0=k 时，直线平行于x 轴或与x 轴重合；0>k 时，直线的倾斜角为锐角，k 值增大，直线的倾斜角也随着增大； 0<k 时，直线的倾斜角为钝角，k 值增大，直线的倾斜角也随着增大； 垂直于x 轴的直线的倾斜角等于.90典例分类剖析考点1 直线与二元一次方程的对应关系 命题规律(1)已知两点求斜率和倾斜角． (2)已知斜率或直线方程求倾斜角．[例1] 如图2 -2 -1-2所示直线321l l l 、、都经过点P(3，2)，又321l l l 、、分别经过点、)1,2(1--Q、)2,4(2-Q ),2,3(3-Q 试计算直线321l l l 、、的斜率．[解析] 已知两点求直线的斜率时，首先应检验其横坐标是否相等，若相等，则其斜率不存在；若不相等，可用公式求之．[答案] 设321k k k 、、分别表示直线321l l l 、、的斜率，由于321Q Q Q P 、、、⋅的横坐标均不相等．,43422,53322121-=---==----=∴k k .033223=---=k母题迁移 1．已知,1)7,()5,3()1,1(-（、、、D a C B A )b 四点共线，求直线方程.b ax y +=[例2] 求经过下列两点的直线的斜率，并判断倾斜角是锐角还是钝角：);7,2(),3,1)(1().5,3(),1,4)(2(- [解析] 利用直线的斜率公式1212x x yy k --=求之，根据k 的正负判定倾斜角是锐角还是钝角．[答案] ,041237)1(>=--=k 所以倾斜角是锐角； ,064315)2(<-=-+=k 所以倾斜角是钝角． [点拨] 若直线的斜率大于0，则其倾斜角为锐角；若直线的斜率小于O ，则其倾斜角为钝角；若直线的斜率等于O ，则其倾斜角为,0若直线的斜率不存在，则其倾斜角为.90o[例3] 已知直线321l l l 、、的斜率分别为,321k k k 、、如图2-2 -1-3所示，则( )．321.k k k A << 213.k k k B << 123.k k k C << 231.k k k D <<[试解] ．（做后再看答案，发挥母题功能）[解析] 由图可知直线1l 的倾斜角为钝角，所以;01<k 直线2l 与直线3l 的倾斜角均为锐角，且直线2l 的倾斜角较大，所以,032>>k k 所以⋅>>132k k k[答案] D母题迁移 2．求经过点,0)(,().,(=/ab b a B mb ma A )1=/m 两点的直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角，考点2 求斜率或倾斜角的取值范围 命题规律已知直线与线段有公共点，求斜率k 的取值范围．[例4] 已知、)3,3(--A ),1,2()2,2(--P B 、如图2 -2 -1 -4所示，若直线L 过P 点且与线段AB 有公共点，试求直线L 的斜率k 的取值范围．[答案] ,4)3(2)3(1=⋅-----=PA k,4322)2(1-=----=PB k∴ 要使直线L 与线段AB 有公共点，k 的取值范围应该是43-≤k 或.4≥k母题迁移 3．已知实数x 、y 满足,82=+y x 当32≤≤x 时，求xy的最大值和最小值， 考点3 利用斜率证明三点共线 命题规律已知平面上三点，证明三点共线．[例5] 已知三点),5,4()3,3()1,1(C B A 、、-求证：三点在同一直线上． [答案] 证法一：用距离公式证明．,53||,5||,52||===AC BC AB |,|53552||||AC BC AB ==+=+∴即A 、B 、C 三点共线．证法二：用斜率公式证明，,23435,21313=--==-+=BC AB k k ⋅=∴BC AB k k 又 ∵直线AB 、BC 有公共点B ．∴ A 、B 、C 三点共线．[点拨] 本题有很多种证明方法，这里选用了距离公式和斜率公式两种方法，继续学习后，还会有其他证明方法．母题迁移 4.一束光线从点A （-2，3）射入，经x 轴上的点P 反射后，通过点B(5，7)，求点P 的坐标．优化分层测讯学业水平测试1．给出下列四个命题，其中正确命题的个数是( )．①直线L 一定是一个一次函数的图象；②一次函数，y = kx +b 的图象一定是一条不过原点的直线；③如果一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解，那么这个方程就叫做这条直线的方程；④如果以一个二元一次方程的解为坐标的点都在某一条直线上，那么这条直线叫做这个方程的直线． A.O 个 B.l 个 C.2个 D.3个． 2．集合A={直线方程=+=B b kx y },{一次函数的解析式}，则集合A 与B 的关系为( )．B A A =. B A B ⊇. A BC ⊇.D ．以上说法都不对3．直线L 过点),2(m p -⋅和)4,(m Q 两点，且L 的斜率为1，则m 的值为( )．1.A 4.B 31.或C 41.或D4．过点)3,2()2,3(--N M 与的直线的斜率=k ，倾斜角为 . 5．已知点A(3，4)，在坐标轴上有一点B ，若,2=AB k 则B 点的坐标为 6．已知方程.0632=++y x(1)把这个方程改写成一个一次函数的形式； (2)画出这个方程所对应的直线L ； (3)点)1,23(是否在直线L 上．高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：IOO 分） 一、选择题（5分x8 =40分）1．点)4,3()1,0(B A 、在直线1l 上，若直线,12l l ⊥则直线2l 的倾斜角为( )．30.-A 30.B o C 120. 150.D2．直线L 的倾斜角为ααsin ,是方程033442=+-x x 的根，则a 的值是( )．60.A 120.B 150O 30.或o C 12060.或D3．设直线L 的倾斜角为θ，则L 关于直线3=y 对称的直线的倾斜角是( )．θ.A θ- 90.B θ-o C 180. θ- 90.D4．若)0,()4,9()2,3(x C B A 、、--三点共线，则x 的值为( )．1.A 1.-B 0.C 7.D5．若直线L 经过点)1,2(--a 和),1,2(--a 且与经过点、)1,2(-斜率为32-的直线垂直，则实数a 的值是( )．32.-A 23.-B 32.C 23.D 6．设点),2,3()3,2(---B A 、直线L 过点P(l ，1)且与线段AB 相交，则L 的斜率k 的取值范围是( )．443.-≤≥k k A 或 4143.-≤≥k k B 或 434.≤≤-k C 443.≤≤-k D 7．直线L 过点A(l ，2)，且L 不过第四象限，那么L 的斜率k 的取值范围是( )．]2,0.[A ]1,0.[B ]21,0.[C )21,0[⋅D8．已知),1,3()2,(+b B a A 、且直线AB 的倾斜角为,90则a 、b 的值为( )．1,3.==b a A 2,2.==b a B 3,2.==b a C 1,3.=/∈=b R b a D 且二、填空题（5分x4 =20分）9．给出以下命题：①任何一条直线都有唯一确定的倾斜角； ②一条直线的倾斜角可以是;30- ③倾斜角为00的直线只有一条，即x 轴；④按照直线倾斜角的概念，直线倾斜角的集合<≤αα0|{}180与直线的集合建立了一一对应的关系．其中正确命题的序号是10．三点（2，-3）、(4，3)及)2,5(k 在同一条直线上，则k 的值等于11．已知过)2,3()1,1(a Q a a P 和+-的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是 12.直线)(013cos R y x ∈=++⋅θθ的倾斜角的取值范围是 三、解答题（10分x4 =40分）13.斜率为2的直线经过),1()7,()5,3(b C a B A -、、三点，求a 、b 的值．14．(1)已知矩形ABCD 中，、、)1,2()2,1(B A 中心),3,3(E 点),(y x P 在矩形的边界及内部运动，求xy的取值范围；(2)若实数x 、y 满足：,3,212-≥≤+=y x x y 且求xy的取值范围．15.求经过两点))(3,()2,1(R m m N M ∈-、的直线的斜率，并讨论m 为何值时倾斜角是锐角、钝角和直角？16.求函数2sin 1sin 3++=x x y 的值域.。
直线方程的概念与直线的斜率 PPT课件 人教课标版
一．直线方程的概念
直线的方程与方程的直线：
一般地，如果以一个方程的解为坐标 的点都是某条直线上的点；反之，这条直 线上点的坐标都是这个方程的解，那么这 个方程叫做这条直线的方程；这条直线叫 做这个方程的直线.
由于方程y=kx+b的图象是一条直线，因 而我们以后就说直线y=kx+b
23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。
•
24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。
•
25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。
•
26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。
•
27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。
•
28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。
•
29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。
•
67、心中有理想 再累也快乐
•
68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。
•
69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。
•
70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！
•
71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。
•
72、只要路是对的，就不怕路远。
•
73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。
2 3
，
y
所以可以得 x 的最大值为2，
最小值为 2 ．
A
3
B
练习题：
1．对于下列命题 ①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°; ②若k是直线的斜率，则k∈R； ③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率; ④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角. 其中正确命题的个数是（ C ）