均值向量和协方差阵的检验
实验课程名称多元统计分析
实验项目名称均值向量和协方差阵的检验
年级 09级
专业统计
学生姓名周江
学号 0907010251
理学院
实验时间：2011年10 月4 日
学生实验室守则
一、按教学安排准时到实验室上实验课，不得迟到、早退和旷课。
二、进入实验室必须遵守实验室的各项规章制度，保持室内安静、整洁，不准在室内打闹、喧哗、吸烟、吃食物、随地吐痰、乱扔杂物，不准做与实验内容无关的事，非实验用品一律不准带进实验室。
三、实验前必须做好预习（或按要求写好预习报告），未做预习者不准参加实验。
四、实验必须服从教师的安排和指导，认真按规程操作，未经教师允许不得擅自动用仪器设备，特别是与本实验无关的仪器设备和设施，如擅自动用或违反操作规程造成损坏，应按规定赔偿，严重者给予纪律处分。
五、实验中要节约水、电、气及其它消耗材料。
六、细心观察、如实记录实验现象和结果，不得抄袭或随意更改原始记录和数据，不得擅离操作岗位和干扰他人实验。
七、使用易燃、易爆、腐蚀性、有毒有害物品或接触带电设备进行实验，应特别注意规范操作，注意防护；若发生意外，要保持冷静，并及时向指导教师和管理人员报告，不得自行处理。仪器设备发生故障和损坏，应立即停止实验，并主动向指导教师报告，不得自行拆卸查看和拼装。
八、实验完毕，应清理好实验仪器设备并放回原位，清扫好实验现场，经指导教师检查认可并将实验记录交指导教师检查签字后方可离去。
九、无故不参加实验者，应写出检查，提出申请并缴纳相应的实验费及材料消耗费，经批准后，方可补做。
十、自选实验，应事先预约，拟订出实验方案，经实验室主任同意后，在指导教师或实验技术人员的指导下进行。
十一、实验室内一切物品未经允许严禁带出室外，确需带出，必须经过批准并办理手续。
学生所在学院：理学院专业：统计班级：09（1）班
姓名周江学号0907010251 实验组四组
实验时间2011.10.04 指导教师龚敏庆成绩
实验项目名称均值向量和协方差阵的检验
实验目的及要求：
借助指标体系（净资产收益率、总资产报酬率、资产负债率、总资产周转率、流动资产周转率、已获利息倍数、销售增长率及资本积累率）对我国上市公司的运营情况进行分析。P39表2—1所列的是35家上市公司2000年年报数据，这35家上市公司分别来自电力、煤气及水的生产和供应业，房地产行业，信息技术业。
实验（或算法）原理：
在实际工作中，人们往往借助于考察每一个变量的结果来对向量的分布做出判断；并且，当数据量较大，且没有明显的证据表明所得数据不遵从多元正态时，通常认为数据来自多元正态分布总体。SPSS软件提供了对单变量进行正态性检验的功能。
实验硬件及软件平台：计算机
SPSS软件
实验步骤：
1．在SPSS软件的数据窗口依次定义变量，并输入要进行检验的数据。
2．首先要对数据是否遵从多元分布进行检验：Analyze-Descriptive Statistic-Explore....进入对话框，选中净资产收益率、总资产报酬率、资产负载率、总资产周转率、流动资产周转率、已获利息倍数、销售增长率及资本积累率八个变量到Dependend List框中，点击进入Plots对话框，选中Normality Plots with tests复选项以输出有关正态性检验的图表，Continue继续，OK运行，则得到结果。
3．其次进行多元正态分布分布有关均值与方差的检验。依次点击Ananlyze-General Model-Multivirate…进入Multivariate对话框，将净资产收益率、总资产报酬率、资产负债率及销售增长率这四个指标选入Dependent Variables列表框，将行业选入Fixed Factor，点击OK运行，则得到结果。
4．进行各行业数据协方差阵相等的检验：在Multivariate对话框中点击Options…按钮，进入Options 对话框，在上面Estimated Marginal Means框中，把行业(chany)选入右面Display Means for，在下方的Compare Main Effects框中，选中Homogeneity tests复选项进行各行业数据协方差阵相等的检验。
实验内容（包括实验具体内容、算法分析、源代码等等）：
Tests of Normality
Kolmogorov-Smirnov a Shapiro-Wilk
Statistic df Sig. Statistic df Sig.
净资产收益率（%）.152 35 .039 .944 35 .077 总资产报酬率（%）.137 35 .095 .942 35 .064 资产负债率（%）.144 35 .065 .939 35 .052 总资产周转率.235 35 .000 .683 35 .000 流动资产周转率.159 35 .026 .850 35 .000 已获利息倍数.215 35 .000 .725 35 .000 销售增长率（%）.116 35 .200*.982 35 .836 资本积累率（%）.252 35 .000 .695 35 .000 a. Lilliefors Significance Correction
*. This is a lower bound of the true significance.
输出结果二
Multivariate Tests c
Effect Value F Hypothesis df Error df Sig.
Pillai's Trace .947 1.303E2a 4.000 29.000 .000 Wilks' Lambda .053 1.303E2a 4.000 29.000 .000 Hotelling's Trace 17.969 1.303E2a 4.000 29.000 .000 Roy's Largest Root 17.969 1.303E2a 4.000 29.000 .000 行业Pillai's Trace .712 4.149 8.000 60.000 .001 Wilks' Lambda .388 4.387a8.000 58.000 .000 Hotelling's Trace 1.317 4.611 8.000 56.000 .000 Roy's Largest Root 1.077 8.079b 4.000 30.000 .000
a. Exact statistic
b. The statistic is an upper bound on F that yields a lower bound on the significance level.
c. Design: + 行业
Tests of Between-Subjects Effects
Source Dependent Variable Type III Sum of
Squares df Mean Square F Sig.
Corrected Model 净资产收益率（%）458.258a 2 229.129 6.841 .003 总资产报酬率（%）250.101b 2 125.050 10.034 .000
资产负债率（%）1728.665c 2 864.333 4.515 .019
销售增长率（%）9467.268d 2 4733.634 3.814 .033
净资产收益率（%）3633.329 1 3633.329 108.483 .000
总资产报酬率（%）1987.132 1 1987.132 159.453 .000
资产负债率（%）71640.788 1 71640.788 374.189 .000
销售增长率（%）15289.807 1 15289.807 12.321 .001 行业净资产收益率（%）458.258 2 229.129 6.841 .003 总资产报酬率（%）250.101 2 125.050 10.034 .000
资产负债率（%）1728.665 2 864.333 4.515 .019
销售增长率（%）9467.268 2 4733.634 3.814 .033 Error 净资产收益率（%）1071.745 32 33.492
总资产报酬率（%）398.790 32 12.462
资产负债率（%）6126.596 32 191.456
销售增长率（%）39711.458 32 1240.983
Total 净资产收益率（%）4814.448 35
总资产报酬率（%）2483.797 35
资产负债率（%）85553.314 35
销售增长率（%）60514.046 35
Corrected Total 净资产收益率（%）1530.003 34
总资产报酬率（%）648.891 34
资产负债率（%）7855.261 34
销售增长率（%）49178.726 34
a. R Squared = .300 (Adjusted R Squared = .256)
b. R Squared = .385 (Adjusted R Squared = .347)
c. R Squared = .220 (Adjusted R Squared = .171)
d. R Squared = .193 (Adjusted R Squared = .142)
输出结果四：
Box's Test of
Equality of Covariance Matrices a Box's M 35.152 F 1.410 df1 20 df2 2.586E3 Sig. .106 Tests the null hypothesis that the observed covariance matrices of the dependent variables are equal across groups.
a. Design: + 行业
输出结果五：
实验结果与讨论：
1．输出结果一，在sig栏中可以看出总资产周转率、流动资产周转率、已获利息倍数、资本积累率的显著性值均小于0.01，所以拒接原假设，即这几个变量不服从正态分布，其余的几个是服从发正态分布的。
2．输出结果二，这张表是多变量检验表，该表给出了几个统计量，由sig.值可以看到，无论从哪个统计量来看，三个行业的运营能力（从净资产收益率、总资产报酬率、资产负债率及销售增长率这四个指标的整体来看）都是有显著差别的。此表是对该线性模型显著性的检验，由显著性值均小于
0.01，所以拒绝原假设，即认为模型通过了显著性检验，意味着行业的不同取值对Y=（净资产收益
率总资产报酬率资产负债率销售增长率）'的取值有显著影响，也就是说，不同行业的运营能力是不同的。
3．输出结果三，该表给出了每个财务指标的分析结果，同时给出了每个财务指标的方差来源，包括校正模型、截距、主效应（行业）、误差及总的方差来源，还给出了自由度、均方、F统计量及sig.
值。由该表可以看到，四个指标的sig.值均小于0.01，说明三个行业在四个财务指标上均有显著差别。
4．输出结果四，该表是协方差阵相等的检验，检验统计量是BOX'S M，由sig.值可以看到，可以认为三个行业的协方差阵是相等的。
5．输出结果五，该表给出了各行业同一指标误差的方差相等的检验，在0.05水平下，净资产收益率及总资产报酬率的误差平方在三个行业间没有显著差别，而资产负债率要与销售增长率的误差平方在三个行业中有显著差别。
指导教师意见：
签名：年月日
协方差矩阵和相关矩阵
一、协方差矩阵 变量说明： 设为一组随机变量，这些随机变量构成随机向量 ，每个随机变量有m 个样本，则有样本矩阵 11 12121 212...... ..... ......m m n n nm x x x x x M x x x ????????=? ??????? 其中对应着每个随机向量X 的样本向量，对应着第i 个随机单变量的所有样本值构成的向量。 单随机变量间的协方差： 随机变量 之间的协方差可以表示为 根据已知的样本值可以得到协方差的估计值如下： 可以进一步地简化为： 协方差矩阵：
（5） 其中，从而得到了协方差矩阵表达式。 如果所有样本的均值为一个零向量，则式（5）可以表达成：
二、相关矩阵（相关系数矩阵） 相关系数： 著名统计学家卡尔·皮尔逊设计了统计指标——相关系数。相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。 依据相关现象之间的不同特征，其统计指标的名称有所不同。如将反映两变量间线性相关关系的统计指标称为相关系数（相关系数的平方称为判定系数）；将反映两变量间曲线相关关系的统计指标称为非线性相关系数、非线性判定系数；将反映多元线性相关关系的统计指标称为复相关系数、复判定系数等。 相关系数用r表示，它的基本公式（formula）为： 相关系数的值介于–1与+1之间，即–1≤r≤+1。其性质如下： ?当r>0时，表示两变量正相关，r<0时，两变量为负相关。 ?当|r|=1时，表示两变量为完全线性相关，即为函数关系。 ?当r=0时，表示两变量间无线性相关关系。 ?当0<|r|<1时，表示两变量存在一定程度的线性相关。且|r|越接近1，两变量间线性关系越密切；|r|越接近于0，表示两变量的线性相关越弱。 ?一般可按三级划分：|r|<0.4为低度线性相关；0.4≤|r|<0.7为显著性相关；0.7≤|r|<1为高度线性相关。 相关矩阵也叫相关系数矩阵，是由矩阵各列间的相关系数构成的。也就是说，相关矩阵第i行第j列的元素是原矩阵第i列和第j列的相关系数。 3、协方差矩阵和相关矩阵的关系 由二者的定义公式可知，经标准化的样本数据的协方差矩阵就是原始样本数据的相关矩阵。这里所说的标准化指正态化，即将原始数据处理成均值为0，方差为1的标准数据。 即： X'=(X-EX)/DX
第2章 多元正态分布均值向量和协差阵的检验
第一章 多元正态分布的参数估计 一、填空题 1.设X 、Y 为两个随机向量，对一切的u 、v ，有 ，则称X 与Y 相互独立。 2.多元分析处理的数据一般都属于 数据。 3．多元正态向量()' =p X X X ,,1 的协方差阵∑是 ，则X 的各分量是相互独立的随机变量。 4．一个p 元函数() p x x x f ,,,21 能作为p R 中某个随机向量的密度函数的主要条件是 和 。 5．若p 个随机变量1X ，2X ， ，p X 的联合分布等于 ，则称1X ， 2X ， ，p X 是相互独立的。 6.多元正态分布的任何边缘分布为 。 7.若()∑,~μp N X ，A 为p s ?阶常数阵，d 为s 维常数向量，则 ~d AX + 。 8.多元正态向量X 的任何一个分量子集的分布称为X 的 。 9.多元样本中，不同样品的观测值之间一定是 。 10.多元正态总体均值向量和协差阵的极大似然估计量分别是 。 11.多元正态总体均值向量μ和协差阵∑的估计量X 、S n 1 1 -具有 、 和 。 12．设X 和S 分别是多元正态总体()∑,μp N 的样本均值向量和离差阵，则 ~X ，X 和S 。 13.若()()∑,~μαp N X ，n ,,2,1 =α且相互独立，则样本离差阵 ()()()()∑=' --=n X X X X S 1~ααα 。 14．若()∑,~i p i n W S ，k i ,,1 =，且相互独立，则~21k S S S S +++= 。 二、判断题 1.多元分布函数()x F 是单调不减函数，而且是右连续的。 2.设X 是p 维随机向量，则X 服从多元正态分布的充要条件是：它的任何组合 ()p R X ∈'αα都是一元正态分布。 3.μ是一个P 维的均值向量，当A 、B 为常数矩阵时，具有如下性质： （1）E （AX ）=AE （X ） （2）E （AXB ）=AE （X ）B 4．若P 个随机变量X 1，…X P 的联合分布等于各自边缘分布的乘积，则称X 1，… X P 是相互独立的。 5．一般情况下，对任何随机向量()'=X X X p ,,1 ，协差阵∑是对称阵，也 是正定阵。 6．多元正态向量( )' =X X X p ,,1 的任意线性变换仍然服从多元正态分布。 7．多元正态分布的任何边缘分布为正态分布，反之一样。 8．多元样本中，不同样品之间的观测值一定是相互独立的。 9．多元正态总体参数均值μ的估计量X 具有无偏性、有效性和一致性。 10． S n 1 是∑的无偏估计。 11.Wishart 分布是2 χ分布在p 维正态情况下的推广。
spss教程均值比较检验与方差分析
第二章均值比较检验与方差分析 在经济社会问题的研究过程中，常常需要比较现象之间的某些指标有无显著差异，特别当考察的样本容量n比较大时，由随机变量的中心极限定理知，样本均值近似地服从正态分布。所以，均值的比较检验主要研究关于正态总体的均值有关的假设是否成立的问题。 ◆本章主要内容： 1、单个总体均值的 t 检验（One-Sample T Test）； 2、两个独立总体样本均值的 t 检验（Independent-Sample T Test）； 3、两个有联系总体均值均值的 t 检验（Paired-Sample T Test）； 4、单因素方差分析（One-Way ANOVA）； 5、双因素方差分析（General Linear Model Univariate）。 ◆假设条件：研究的数据服从正态分布或近似地服从正态分布。 在Analyze菜单中，均值比较检验可以从菜单Compare Means，和General Linear Model得出。如图2.1所示。 图2.1 均值的比较菜单选择项 §2.1 单个总体的t 检验（One-Sample T Test）分析 单个总体的 t 检验分析也称为单一样本的 t 检验分析，也就是检验单个变量的均值是否与假定的均数之间存在差异。如将单个变量的样本均值与假定的常数相比较，通过检验得出预先的假设是否正确的结论。
例1：根据2002年我国不同行业的工资水平（数据库SY-2），检验国有企业的职工平均年工资收入是否等于10000元，假设数据近似地服从正态分布。 首先建立假设：H0：国有企业工资为10000元； H1：国有企业职工工资不等于10000元 打开数据库SY-2，检验过程的操作按照下列步骤： 1、单击Analyze →Compare Means →One-Sample T Test，打开One-Sample T Test 主对话框，如图2.2所示。 图2.2 一个样本的t检验的主对话框 2、从左边框中选中需要检验的变量（国有单位）进入检验框中。 3、在Test Value框中键入原假设的均值数10000。 4、单击Options按钮，得到Options对话框（如图2.3），选项分别是置信度（默认项是95％）和缺失值的处理方式。选择后默认值后返回主对话框。 图2.3 一个样本t检验的Options对话框 5、单击OK，得输出结果。如表2.1所示。 表2.1（a）.数据的基本统计描述 One-Sample Statistics
第六章(4)多元正态总体均值向量的假设检验
第六章（4）多元正态总体均值向量的假设检验 类似一元统计分析中的各种均值和方差的检验相应给出多元统计分析中的各种均值向量和协差阵的检验。我们只侧重于解释选取统计量的合理性，而不给出推导过程，最后给出几个实例 第1节 HotellingT 2分布 为了对多元正态总体均值向量作检验，首先需要给出HotellingT 2分布的定义。 定义 设),(~),,(~∑∑n W S N X p p μ且 X 与S 相互独立，p n ≥ ，则称统计量 X S X n T 1 2 -'=的分布为非中心HotellingT 2分布，记为),,(~2 2 μn p T T 。当0=μ时， 称2T 服从（中心）HotellingT 2分布，记为),(2n p T ，由于这一统计量的分布首先由Harold Hotelling 提出来的，故称为HotellingT 2分布，值得指出的是，我国著名统计学家许宝马录 先生在1938年用不同方法也导出T 2分布的密度函数，因表达式很复杂，故略去。 在一元统计中，若n X X ,,1 来自总体) ,(2 σ μN 的样本，则统计量： ) 1(~?)(--=n t X n t σ μ分布 其中 2 1 2 ) (1 1?∑=--= n i i X X n σ 显然 ) ()?()(?) (1 22 2 2 μσ μσ μ-'-=-= -X X n X n t 与上边给出的T 2 统计量形式类似，且??? ? ??-n N X 2 ,0~σμ。 可见，T 2分布是一元统计中t 分布的推广。 基本性质：
在一元统计中，若统计量)1(~-n t t 分布，则) 1,1(~2 -n F t 分布，即把t 分布 的统计量转化为F 统计量来处理，在多元统计分析中T 2统计量也具有类似的性质。 定理 若),(~),,0(~∑∑n W S N X p p 且 X 与S 相互独立，令X S X n T 1 2-'=，则 ) 1,(~12 +-+-p n p F T np p n 这个性质在后面经常用到。 第2节 均值向量的检验 设p 元正态总体 ) ,(∑μp N ，从总体中抽取容量为n 的样本 ∑∑=='--= = n i n i i i i n X X X X S X n X X X X 1 1 )() () ()()2()1())((,1 ,,,, 。 一、∑已知时均值向量的检验 01000:H )(:μμμμμ≠=为已知向量H 检验统计量： )(~)()(2 01 02 0p X X n T χμμ-∑ '-=-（在H 0成立时） 给出检验水平α，查2χ分布表使{}αλα=>20T P ，可确定出临界值αλ，再用样本值计算出20T ，若αλ>20T ，则否定H 0，否则H 0接受。 这里要对统计量的选取作两点解释，一是说明它为什么取为这种形式。二 是说明它为什么服从)(2p χ分布。 一元统计中，当2σ已知时，作均值检验所取的统计量为： )1,0(~0 N n X U σ μ-=
均值比较与实验法常用的统计检验
均值比较与实验法常用的统计检验 总结与范例 理论基础： 一、描述性统计与推断性统计 二、抽样分布：样本统计量的分布 三、假设检验的（1）原理（小概率事件反证法），（2）步骤（原假设与备择假设、计算统计量、显著性水平、拒绝或接受原假设、I类错误和II类错误），（3）实用条件（总体正态分布、独立随机抽样、方差齐性）。 四、样本均值的抽样分布—t分布 1.单样本t检验（样本均值与总体均值的差异显著性检验） 例1：医学界测得正常人的每分钟脉搏次数为72，下面是本年度体检时随机抽查的20位电子科大教职工的每分钟脉搏次数，分别为：72，76，68，78，62，59，64，85，70，75，61，74，87，83，54，76，56，66，68，62。请问电子科大教职工的脉搏次数与正常人是否有显著差异？ 2.独立样本t检验（实验组\控制组，完全随机分组，被试间设计） 例2：在一项关于反馈对知觉判断（直线长度判断）的影响的研究中，将被试随机分成两组，其中一组20人，每一次知觉判断后将结果告诉被试。另一组20人，每次知觉判断后不将结果告诉被试。测量被试判断线段长度的准确度，并按一定的评分标准打分，分值越高表明长度判断的准确度越高。两组被试的实验得分如下： 反馈组：78 82 83 77 78 81 85 84 86 75 78 86 84 88 75 90 88 70 69 80 不反馈组：74 80 70 65 72 80 66 73 82 83 69 85 66 75 74 78 69 70 71 79 请问给不给反馈会不会显著影响被试的长度判断的准确度？ 3.配对样本t检验（重复测量\前后测、匹配\配对组设计、被试内设计） 例3：从某小学三年级随机抽取20名儿童，分别在学期初和学期末进行瑞文推理测验，结果如下： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 学期初12 13 12 11 10 13 14 15 15 11 学期末14 14 11 15 11 14 14 17 15 14 学生编号11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 学期初13 12 11 10 13 14 15 15 11 12 学期末14 14 11 15 14 14 16 18 15 14 请问经过一学期的学习，学生的瑞文推理测验成绩是否有显著提高？ 五、样本方差的抽样分布—F分布 方差分析（Analysis of Variance, ANOV A） 1.单因素方差分析(事后比较,post hoc)、 例4：喝酒会不会使一个人的认知判断更容易受外界影响呢？Gustafson(1987)设计了一个实验探讨这个问题。在实验中，被试的任务是进行线段长度判断，三十九名被试随机分成三组：其中，第一组被试喝果汁，第二组被试也喝果汁，但告诉他们果汁中加入了一定量的酒，第三组被试依其体重喝一定量的酒。饮用15分钟之后开始进行线段长度判断任务，每个被试进行75次重
多元统计分析-均值向量检验实验报告
实验课程名称：多元统计分析-均值向量检验
第二部分：实验过程记录（可加页）（包括实验原始数据记录，实验现象记录，实验过程发现的问题 等） (1). 使用类平均聚类法进行并类 使用Ward法进行分类.
使用最短距离法进行分类.
使用最长距离法进行分类.
用类平均法、Ward法、最短距离法以及最长距离法对6个弹头的分类结果相同，第1,2,6号为一类；第4号为一类，第3,5号为一类.用最短距离法的分类结果为
第三部分结果与讨论（可加页） 代码： data data610; input x1-x7; cards; 0.05798 5.5150 347.10 21.910 8586 1742 61.69 0.08441 3.9700 347.20 19.710 7947 2000 2440.00 0.07217 1.1530 54.85 3.052 3860 1445 9497.00 0.15010 1.7020 307.50 15.030 12290 1461 6380.00 5.74400 2.8540 229.60 9.657 8099 1266 12520.0 0.21300 0.7058 240.30 13.910 8980 2820 4135.00 ; proc print; run; * 6-10(1) ; goptions ftext="宋体"; proc cluster data=data610 method=ave outtree=o610; var x1-x7; run; proc tree data=o610 horizontal graphics; title'使用类平均法的谱系聚类图(弹头)'; run; proc cluster data=data610 method=ward outtree=o610; var x1-x7; run; proc tree data=o610 horizontal graphics; title'使用ward法的谱系聚类图(弹头)'; run; proc corr data=data610 outp=oc610; var x1-x7; run; data data610; input x1-x7; cards; 0.05798 5.5150 347.10 21.910 8586 1742 61.69 0.08441 3.9700 347.20 19.710 7947 2000 2440.00 0.07217 1.1530 54.85 3.052 3860 1445 9497.00 0.15010 1.7020 307.50 15.030 12290 1461 6380.00 5.74400 2.8540 229.60 9.657 8099 1266 12520.0
随机过程课后习题
习题一 1．设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,...k P X k pq k ===。求X 的特征函数、EX 及DX 。其中01,1p q p <<=-是已知参数。 2．（1）求参数为（p,b ）的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为 （2）求其期望和方差； （3）证明对具有相同的参数b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。 3．设X 是一随机变量，F （x ）是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。 （1）(),(0,)Y aF X b a b =+≠是常数； （2）Z=ln F()X ，并求()k E Z （k 为自然数）。 4．设12,,...,n X X X 相互独立，具有相同的几何分布，试求 的分布。 5．试证函数 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。 6．试证函数 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。 7．设12,,...,n X X X 相互独立同服从正态分布2(,)N a σ，试求n 维随机向量12,,...,n X X X 的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求 的概 率密度函数。 8．设X 、Y 相互独立，且（1）分别具有参数为(m, p)及(n, p)的二项分布；（2）分别服从参数为12(,),(,)p b p b 的Γ分布。求X+Y 的分布。 9．已知随机向量（X, Y ）的概率密度函数为 试求其特征函数。 10．已知四维随机向量X ,X ,X ,X 1234（）服从正态分布，均值向量为0，协方差矩 阵为B σ?kl 44=()，求(X ,X ,X ,X E 1234)。 11．设X 1，X 2 和X 3相互独立，且都服从(0,1)N ，试求随机变量112Y X X =+和 213Y X X =+组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。 12．设X 1，X 2 和X 3相互独立，且都服从2(0,)N σ，试求： （1）随机向量(X 1, X 2, X 3)的特征函数； 1,0() 0,0()p p bx b x e x p x p x --?>? Γ??≤? =0,0 b p >>1 n k k X =∑ (1)()(1) jt jnt jt e e f t n e -=-21 ()1f t t =+1 1n i i X X n ==∑22 1[1()],1,1 (,)40,xy x y x y p x y ?+--<
多元正态分布均值向量估计的若干探讨
多元正态分布均值向量估计的若干探讨 本文主要内容为在集成风险意义下,对异方差的多元正态分布的均值向量进行估计,并给出Brown, Nie & Xie [1]中一个未解决问题的一种解决方法. 首先,先对James-Stein估计量进行简单的介绍,并说明它的误差比使用极大似然估计法得到的估计量的误差在某些情况下要小.然后,给出集成风险以及在集成风险下,极小极大性的定义.之后,讨论几种收缩到0的估计量的集成极小极大性,研究它们在满足何种条件的情况下符合集成极小极大性,并给出对上文所提到的问题的解决方法.最后,我们对James-Stein估计量和极大似然估计量进行数据模拟. 第一章关键词：集成风险,收缩估计,James-Stein估计量. 第二章引言 1.1 现实意义 当今社会是信息社会,而我们所要了解的信息主要是以各种各样的数据来体现的,所以对这些数据进行合理的分析是非常有意义的.在许多实际问题中,我们所遇到的问题涉及到的变量或指标往往不止一个,这些变量之间又会有一定的联系,常常需要处理多个变量的观测数据,多元统计分析就是处理多维数据的重要工具,诸如生物医学、金融工程、大气科学等许多领域都需要使用多元统计分析.正因为如此,高维情况下的统计推断目前受到广泛关注. 多元正态分布是概率论与数理统计中最重要的多元分布之一,我们所遇到的许多实际问题的分布通常是多元正态分布或近似于多元正态分布,亦或它们的样本均值近似于多元正态分布.在多元统计分析中,我们所使用的很多理论和方法都是以多元正态分布为基础的,很多统计量的极限分布也与多元正态分布有关.此外,多元正态分布所具有的良好性质使得我们能很好的解决所遇到的问题,得出更加理想的结果.多元正态分布作为应用最为广泛的一类多元分布,均值向量
多元统计分析实验指导书——实验一-均值向量和协方差阵检验word版本
实验一SPSS软件的基本操作与均值向量和协方差阵的检验 【实验目的】 通过本次实验，了解SPSS的基本特征、结构、运行模式、主要窗口等，了解如何录入数据和建立数据文件，掌握基本的数据文件编辑与修改方法,对SPSS有一个浅层次的综合认识。同时能够掌握对均值向量和协方差阵进行检验。 【实验性质】 必修，基础层次 【实验仪器及软件】 计算机及SPSS软件 【实验内容】 1.操作SPSS的基本方法(打开、保存、编辑数据文件) 2.问卷编码 3.录入数据并练习数据相关操作 4.对均值向量和协方差阵进行检验，并给出分析结论。 【实验学时】 4学时 【实验方法与步骤】 1.开机 2.找到SPSS的快捷按纽或在程序中找到SPSS，打开SPSS 3.认识SPSS数据编辑窗、结果输出窗、帮助窗口、图表编辑窗、语句编辑窗 4.对一份给出的问卷进行编码和变量定义 5.按要求录入数据 6.练习基本的数据修改编辑方法 7.检验多元总体的均值向量和协方差阵 8.保存数据文件 9.关闭SPSS，关机。 【实验注意事项】
1.实验中不轻易改动SPSS的参数设置，以免引起系统运行问题。 2.遇到各种难以处理的问题，请询问指导教师。 3.为保证计算机的安全，上机过程中非经指导教师和实验室管理人员同意，禁 止使用移动存储器。 4.每次上机，个人应按规定要求使用同一计算机，如因故障需更换，应报指导 教师或实验室管理人员同意。 5.上机时间，禁止使用计算机从事与课程无关的工作。 【上机作业】 1.定义变量：试录入以下数据文件，并按要求进行变量定义。 表1 要求： 1）变量名同表格名，以“（）”内的内容作为变量标签。对性别（Sex）设值标签“男=0；女=1”。 2）正确设定变量类型。其中学号设为数值型；日期型统一用“mm/dd/yyyy“型号；生活费
均值比较与t检验
第3章均值比较与t检验(t代表平均值间的差距p代表的是可信度) 3.1样本平均数与总体平均数差异显著性检验 在实际工作中,我们往往需要检验一个样本平均数与已知的总体平均数是否有显著差异,即检验该样本是否来自某一总体,已知的总体平均数一般为一些公认的理论数值、经验数值或期望数值,比较的目的是推断样本所代表的未知总体均数与已知总体均数有无差别。 例题：已知玉米单交种群单105的平均穗重为300g，喷药后随机抽取9个果穗称重，穗重分别为：308、305、311、298、315、300、321、294、320g，问喷药前后果穗穗重差异是否显著。 具体操作可参看多媒体教程-3.1单一样本t检验，例题中的数据编号为data-01。 操作步骤：Analyze→Compare Means→点击One-Sample T Test，进人对话框→将要分析的变量选入Test Variables→Test Value项填入已知总体均数→点击Options按钮，进入Options子对话框，Confidence Interval选项中填入95或99，确定显著水平后返回上一对话框→点击OK键运行，显示结果界面。 结果界面包括描述性统计量表(One-Sample Statistics) 和t检验表(One-Sample Test)两个表格。描述性统计量表中输出样本含量、均数、标准差和标准误；t检验表中显示t 值（t）自由度（df）、双尾P值(Sig.2-tailed)、样本均数与已知总体均数的差值(Mean Difference)、差
值的95％或99％置信区间的上限与下限（95%Confidence Interval of the Difference，Lower，Upper）。 3.2独立样本t检验 在实际工作中，还经常会遇到推断两个样本平均数差异是否显著的问题，以了解两样本所属总体的平均数是否相同。因试验设计不同，一般可分为：非配对或成组设计两样本平均数的差异显著性检验和配对设计两样本平均数的差异显著性检验。 非配对设计或成组设计是指当进行只有两个处理的试验时，将试验单位完全随机地分成两个组，然后对两组随机施加一个处理。在这种设计中两组的试验单位相互独立，所得的两个样本相互独立，其含量不一定相等。 例题：某家禽研究所对粤黄鸡进行饲养对比试验，试验时间为60天，增重结果如下，问两种饲料对粤黄鸡的增重效果有无显著差异？
协方差矩阵和相关矩阵
一、协方差矩阵 变量说明： 设为一组随机变量，这些随机变量构成随机向量，每个随机变量有m个样本，则有样本矩阵 （1） 其中对应着每个随机向量X的样本向量，对应着第i个随机单变量的所有样本值构成的向量。 单随机变量间的协方差： 随机变量之间的协方差可以表示为 （2） 根据已知的样本值可以得到协方差的估计值如下： （3） 可以进一步地简化为： （4） 协方差矩阵：
（5）其中，从而得到了协方差矩阵表达式。 如果所有样本的均值为一个零向量，则式（5）可以表达成： （6） 补充说明： 1、协方差矩阵中的每一个元素是表示的随机向量X的不同分量之间的协方差，而不是不同样本之间的协方差，如元素C ij就是反映的随机变量X i, X j的协方差。
2、协方差是反映的变量之间的二阶统计特性，如果随机向量的不同分量之间的相关性很小，则所得的协方差矩阵几乎是一个对角矩阵。对于一些特殊的应用场合，为了使随机向量的长度较小，可以采用主成分分析的方法，使变换之后的变量的协方差矩阵完全是一个对角矩阵，之后就可以舍弃一些能量较小的分量了（对角线上的元素反映的是方差，也就是交流能量）。特别是在模式识别领域，当模式向量的维数过高时会影响识别系统的泛化性能，经常需要做这样的处理。 3、必须注意的是，这里所得到的式（5）和式（6）给出的只是随机向量协方差矩阵真实值的一个估计（即由所测的样本的值来表示的，随着样本取值的不同会发生变化），故而所得的协方差矩阵是依赖于采样样本的，并且样本的数目越多，样本在总体中的覆盖面越广，则所得的协方差矩阵越可靠。 4、如同协方差和相关系数的关系一样，我们有时为了能够更直观地知道随机向量的不同分量之间的相关性究竟有多大，还会引入相关系数矩阵。 二、相关矩阵 相关系数： 著名统计学家卡尔·皮尔逊设计了统计指标——相关系数。相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。 依据相关现象之间的不同特征，其统计指标的名称有所不同。如将反映两变量间线性相关关系的统计指标称为相关系数（相关系数的平方称为判定系数）；将反映两变量间曲线相关关系的统计指标称为非线性相关系数、非线性判定系数；将反映多元线性相关关系的统计指标称为复相关系数、复判定系数等。 相关系数用r表示，它的基本公式（formula）为： 相关系数的值介于–1与+1之间，即–1≤r≤+1。其性质如下：
均值向量和协方差阵的检验
实验课程名称多元统计分析 实验项目名称均值向量和协方差阵的检验 年级 09级 专业统计 学生姓名周江 学号 0907010251 理学院 实验时间：2011年10 月4 日
学生实验室守则 一、按教学安排准时到实验室上实验课，不得迟到、早退和旷课。 二、进入实验室必须遵守实验室的各项规章制度，保持室内安静、整洁，不准在室内打闹、喧哗、吸烟、吃食物、随地吐痰、乱扔杂物，不准做与实验内容无关的事，非实验用品一律不准带进实验室。 三、实验前必须做好预习（或按要求写好预习报告），未做预习者不准参加实验。 四、实验必须服从教师的安排和指导，认真按规程操作，未经教师允许不得擅自动用仪器设备，特别是与本实验无关的仪器设备和设施，如擅自动用或违反操作规程造成损坏，应按规定赔偿，严重者给予纪律处分。 五、实验中要节约水、电、气及其它消耗材料。 六、细心观察、如实记录实验现象和结果，不得抄袭或随意更改原始记录和数据，不得擅离操作岗位和干扰他人实验。 七、使用易燃、易爆、腐蚀性、有毒有害物品或接触带电设备进行实验，应特别注意规范操作，注意防护；若发生意外，要保持冷静，并及时向指导教师和管理人员报告，不得自行处理。仪器设备发生故障和损坏，应立即停止实验，并主动向指导教师报告，不得自行拆卸查看和拼装。 八、实验完毕，应清理好实验仪器设备并放回原位，清扫好实验现场，经指导教师检查认可并将实验记录交指导教师检查签字后方可离去。 九、无故不参加实验者，应写出检查，提出申请并缴纳相应的实验费及材料消耗费，经批准后，方可补做。 十、自选实验，应事先预约，拟订出实验方案，经实验室主任同意后，在指导教师或实验技术人员的指导下进行。 十一、实验室内一切物品未经允许严禁带出室外，确需带出，必须经过批准并办理手续。
均值比较和T检验
Spss16.0与统计数据分析均值比较和T检验 2013年6月13日
均值比较和T 检验 统计分析常常采取抽取样本的方法，即从总体中随机抽取一定数量的样本进行研究来推论总体的特性。但是，由于抽取的样本不一定具有完全代表性，样本统计量与总体参数间存在差异，所以不能完全的说明总体的特性。同时，我们也可以知道，均值不等的两个样本不一定来自均值不同的整体。对于如何避免这些问题，我们自然可以想均值比较和T 检验 1、Means 过程 1.1 Means 过程概述 （1）功能：对数据进行进行分组计算，比较制定变量的描述性统计量包括均值、标准差 、总和、观测量数、方差等一系列单列变量描述性统计量，还可以给出方差分析表和线性检验结果。 （2）计算公式为： n x x n i i ∑==1 11 1.2问题举例： 比较不同性别同学的体重平均值和方差。数据如下表所示： 体重表 1.3用SPSS 操作过程截图：
1.4 结果和讨论 p{color:black;font-family:sans-serif;font-size:10pt;font-weight:normal} Your trial period for SPSS for Windows will expire in 14 days.p{color:0;font -family:Monospaced;font-size:13pt;font-style:normal;font-weight:normal;text-decoration:none} MEANS TABLES=体重 BY 性别 /CELLS MEAN COUNT STDDEV VAR. Means
多元正态总体均值向量和协差阵的假设检验.
第三章 多元正态总体均值向量和协差阵的假设检验 什么是假设检验及基本思想、计算步骤，在初等数理统计中都已做过介绍。多元分析也涉及这方面内容，在后面介绍的常用各种统计方法，有时要对总体的均值向量和协差阵做检验，比如，对两个总体做判别分析时，事先就需要对两个总体的均值向量做检验，看看是否在统计上有显著差异，否则做判别分析就毫无意义。 本章类似一元统计分析中的各种均值和方差的检验相应给出多元统计分析中的各种均值向量和协差阵的检验。不论做上述任何检验，其基本步骤均可归纳为四步：第一步，提出待检验的假设0H 和1H 。第二步，给出检验的统计量及它服从的分布。第三步，给定检验水平a ，查统计量的分布表，确定临界值a λ，从而得到否定域。第四步根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设检验做出决策（拒绝或接受）。由于各种检验的计算步骤类似，关键在于对不同的检验给出不同的统计量，而有关统计量的给出大多用似然比方法得到。本章只侧重于解释选取统计量的合理性，而不给出推导过程，最后给出几个实例。同时为了说明统计量的分布，自然地给出HotellingT 2分布和Wilks 分布的定义，它们分别是一元统计中t 分布和F 分布的推广。 §3.1 均值向量的检验 为了对多元正态总体均值向量作检验，首先需要给出HotellingT 2分布的定义。 1 HotellingT 2分布 定义 设),(~),,(~∑∑n W S N X p p μ且X 与S 相互独立，p n ≥，则称统计量X S X n T 12-' =的分布为非中心HotellingT 2分布，记为),,(~22μn p T T 。当0=μ时，称2T 服从（中心）HotellingT 2分布，记为),(2n p T ，由于这一统计量的分布首先由Harold Hotelling 提出来的，故称为HotellingT 2分布，值 得指出的是，我国著名统计学家许宝马录先生在1938年用不同方法也导出T 2分布的密度函数，因表达式很复杂，故略去。 在一元统计中，若n X X ,,1Λ来自总体),(2σμN 的样本，则统计量： )1(~?) (--= n t X n t σ μ分布 其中 2 1 2 )(11?∑ =--=n i i X X n σ 显然， )()?()(?)(122 2 2 μσμσ μ-'-=-=-X X n X n t 与上边给出的T 2统计量形式类似，且??? ? ??-n N X 2,0~σμ。 可见，T 2分布是一元统计中t 分布的推广。 基本性质： 在一元统计中，若统计量)1(~-n t t 分布，则)1,1(~2-n F t 分布，即把t 分布的统计量转化为F 统计量来处理，在多元统计分析中T 2统计量也具有类似的性质。 定理 若),(~),,0(~∑∑n W S N X p p 且X 与S 相互独立，令X S X n T 12-' =，则
第2章 多元正态分布均值向量和协差阵的检验
第二章 多元正态分布均值向量和协差阵的检验 一、填空题 1.在一个正态总体均值向量的假设检验中，在∑已知的情况下，构造的检验统计量为 ，服从 分布；在∑未知的情况下，构造的检验统计量为 ，服从 分布。 2.若()∑,0~p N X ，()∑,~n W S p ，且X 与S 相互独立，令X S X n T 12-'=，则 ~1 2T np p n +- 。 3.若 ()∑,~μp N X ，()∑,~n W S p ，且X 与S 相互独立，p n ≥，则称统计量X S X n T 12-'=的分布为 分布，记为 。 4．在两个正态总体均值向量的假设检验中,假定其协差阵∑相等,则在∑已知的情况下,构造的统计量为 ,服从的分布为 ；在∑未知的情况下，构造的检验统计量为 ，服从的分布为 。 二、判断题 1．设()∑,~μp N X ，()∑,~n W S p ，p n ≥，则称统计量X S X n T 12-'=的分布为非中心2HotellingT 分布，记为()μ,,~22n p T T 。 2．在协差阵∑未知的情况下对均值向量进行检验，需要用样本协差阵 S n 1 去代替∑。 3.2HotellingT 分布是一元统计分布中t 分布的推广。 4．在一个正态总体均值向量的假设检验中，在∑已知的情况下，构造的检验统计量服从2HotellingT 分布。 5．在一个正态总体均值向量的假设检验中，在∑未知的情况下，构造的检验统
计量服从2χ分布。 6．在两个正态总体均值向量的假设检验中,假定其协差阵∑相等,则在∑已知的情况下,构造的统计量服从多元正态分布。 7．在两个正态总体均值向量的假设检验中,假定其协差阵∑相等, 在∑未知的情况下，构造的检验统计量服从2 HotellingT分布。 三、简答题 1．试述多元统计分析中的各种均值向量和协差阵检验的基本思想和步骤。 2．试述多元统计分析中2 HotellingT分布和一元统计中t分布的关系。
多元正态总体均值向量和协差阵的假设检验.
第二章多兀正态总体均值向量和协差阵的假设检验 什么是假设检验及基本思想、计算步骤，在初等数理统计中都已做过介绍。多元分析也涉及这方面 内容，在后面介绍的常用各种统计方法，有时要对总体的均值向量和协差阵做检验，比如，对两个总体做判别分析时，事先就需要对两个总体的均值向量做检验，看看是否在统计上有显著差异，否则做判别分析就毫无意义。 本章类似一元统计分析中的各种均值和方差的检验相应给出多元统计分析中的各种均值向量和协 差阵的检验。不论做上述任何检验，其基本步骤均可归纳为四步：第一步，提出待检验的假设H0和H1。 第二步，给出检验的统计量及它服从的分布。第三步，给定检验水平a，查统计量的分布表，确定临界 值匕，从而得到否定域。第四步根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设检验做出决策(拒绝或接受) 。由于各种检验的计算步骤类似，关键在于对不同的检验给出不同 的统计量，而有关统计量的给出大多用似然比方法得到。本章只侧重于解释选取统计量的合理性，而不 给出推导过程，最后给出几个实例。同时为了说明统计量的分布，自然地给出HotellingT 2分布和Wilks 分布的定义，它们分别是一元统计中t分布和F分布的推广。 § 3.1均值向量的检验 为了对多元正态总体均值向量作检验，首先需要给出Hotelli ngT2分布的定义。 1 HotellingT2分布 定义设X?N p(~[),S?W p( n, Z)且X与S相互独立，n _p，则称统计量T2二nXS’X的分布 为非中心Hotelli ngT 2分布，记为T2~T2(p ,n』)。当—0时，称T2服从(中心)Hotelli ngT 2分布, 记为T 2( p, n)，由于这一统计量的分布首先由Harold Hotelling提出来的，故称为HotellingT 2分布，值得指出的是，我国著名统计学家许宝马录先生在1938年用不同方法也导出T2分布的密度函数，因表达式 很复杂，故略去。 在一元统计中，若X i, ,X n来自总体NC<2)的样本，则统计量： t*(X-4)?t(n—1)分布 其中 2 1 " 2 :?2(X i -X) n -1 7 显然， 『=n(X J)? *収」)(；?2)"X」) 与上边给出的T2统计量形式类似，且X -^~ N 0,—I n 可见，T2分布是一元统计中t分布的推广。 基本性质: 在一元统计中，若统计量t~t( n-1)分布，则t2~F(1, n-1)分布，即把t分布的统计量转化为F统计量来处理，在多元统计分析中T2统计量也具有类似的性质。 定理若X ~ N p(0, Z),S~W p( n,R且X与S相互独立，令T2二nXS^X，则
协方差与协方差矩阵
协方差与协方差矩阵 协方差是统计学上表示两个随机变量之间的相关性，随机变量ξ的离差与随机变量η的离差的乘积的数学期望叫做随机变量ξ与η的协方差（也叫相关矩），记作K ξη： [()()]()K E E E E E E ξηξξηηξηξη=--=-,记为cov(,)ξη 对于离散随机变量，我们有()()(,)i i i i i j K x E y E p x y ξηξη= --∑∑； 对于连续随机变量，我们有()()(,)K x E y E x y dxdy ξηξη?+∞+∞-∞-∞=--??，随机变量的协方 差用来描述随机变量之间的相关性，我们指出，独立随机变量的协方差等于零，即如果ξ与 η独立，则K ξη=0. 如果ξ与η相同，则协方差就是变量ξ的方差。在统计学与概率论中, 协方差矩阵是一个矩阵，这是从标量随机变量到高维度随机向量的自然推广。协方差矩阵对于多元随机变量，一般是对于一个多维随机变量来讲的，表现的是随机变量X 各个元素分量（为1维随机变量）之间的相互关系，每一项都对应着其中两个变量的协方差，组合起来就是协方差矩阵了,比如 一个n 维的随机变量X,其协方差矩阵之第ij 个元素即为E[(Xi-E(Xi))*(Xj-E(Xj))],Xi 和Xj 分别表示X 的第i 个和第j 个元素分量。 比如：随机变量x 和y ，n Q 为它们的协方差矩阵，2ij σ为随机变量i 和j 的协方差， (,),1,...,T n n n u x y n N == ，其中， cos n n n x d θ=，sin n n n y d θ=，N 为扫描数据点个数。现实中，由于测量值(,)n n d θ受噪声干扰，假设它们分别服从高斯白 噪声分布且互相独立，方差分别为2d σ和2θσ，则： 222222()()()()x xy T T n n n n n d n n n n xy y u u u u Q d d θσσσσθθσσ??????==+?????????? 22222222cos sin 22sin sin 2()22sin 22sin sin 22cos n n n n d n n n n n d θθθθθσσθθθθ????-=+????-???? 补充知识： 数学期望：随机变量ξ的一切可能值i x 与对应的概率()i P x ξ=的乘积的和叫做随机变量ξ的数学期望，记作E ξ。数学期望从几何意义上来说，就是分布曲线与x 轴之间的平面图形的重心的横坐标，它是反映均值的问题。 离差：E ηξξ=-叫做随机变量ξ的离差。
协方差矩阵的详细说明
协方差矩阵的详细说明 变量说明： 设为一组随机变量，这些随机变量构成随机向量，每个随机变量有m个样本，则有样本矩阵 （1） 其中对应着每个随机向量X的样本向量，对应着第i个随机单变量的所有样本值构成的向量。 单随机变量间的协方差： 随机变量之间的协方差可以表示为 （2）根据已知的样本值可以得到协方差的估计值如下： （3）可以进一步地简化为： （4） 协方差矩阵：
（5） 其中，从而得到了协方差矩阵表达式。 如果所有样本的均值为一个零向量，则式（5）可以表达成： （6） 补充说明： 1、协方差矩阵中的每一个元素是表示的随机向量X的不同分量之间的协方差，而不是不同样本之间的协方 差，如元素C ij就是反映的随机变量X i, X j的协方差。 2、协方差是反映的变量之间的二阶统计特性，如果随机向量的不同分量之间的相关性很小，则所得的协方
差矩阵几乎是一个对角矩阵。对于一些特殊的应用场合，为了使随机向量的长度较小，可以采用主成分分析的方法，使变换之后的变量的协方差矩阵完全是一个对角矩阵，之后就可以舍弃一些能量较小的分量了（对角线上的元素反映的是方差，也就是交流能量）。特别是在模式识别领域，当模式向量的维数过高时会影响识别系统的泛化性能，经常需要做这样的处理。 3、必须注意的是，这里所得到的式（5）和式（6）给出的只是随机向量协方差矩阵真实值的一个估计（即 由所测的样本的值来表示的，随着样本取值的不同会发生变化），故而所得的协方差矩阵是依赖于采样样本的，并且样本的数目越多，样本在总体中的覆盖面越广，则所得的协方差矩阵越可靠。 4、如同协方差和相关系数的关系一样，我们有时为了能够更直观地知道随机向量的不同分量之间的相关性 究竟有多大，还会引入相关系数矩阵。