高考数学百大经典例题两平面的平行判定和性质

典型例题一

例1：已知正方体1111-D C B A ABCD ．求证：平面//11D AB 平面BD C 1．证明：∵1111-D C B A ABCD 为正方体，

∴B C A D 11//，又 ?B C 1平面BD C 1，故 //1A D 平面BD C 1．同理 //11B D 平面BD C 1．又 1111D B D A D =I ， ∴ 平面//11D AB 平面BD C 1．

说明：上述证明是根据判定定理1实现的．本题也可根据判定定理2证明，只需连接C A 1即可，此法还可以求出这两个平行平面的距离．

典型例题二

例2：如图，已知βα//，a A ∈，α∈A β//a ．求证：α?a ．

证明：过直线a 作一平面γ，设1a =αγI ，

b =γβI ．

∵βα// ∴b a //1

又β//a

∴b a //

在同一个平面γ内过同一点A 有两条直线1,a a 与直线b 平行

∴a 与1a 重合，即α?a ．

说明：本题也可以用反证法进行证明．

典型例题三

例3：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个也相交．已知：如图，βα//，A l =αI ．

求证：l 与β相交．

证明：在β上取一点B ，过l 和B 作平面γ，由于γ与α有公共点A ，γ与β有公共点B ．

∴γ与α、β都相交．设a =αγI ，b =γβI ． ∵βα// ∴b a //

又l 、a 、b 都在平面γ内，且l 和a 交于A ． ∵l 与b 相交．所以l 与β相交．

典型例题四

例4：已知平面βα//，AB ，CD 为夹在a ，β间的异面线段，E 、F 分别为AB 、

CD 的中点．

求证： α//EF ，β//EF ．证明：连接AF 并延长交β于G ． ∵F CD AG =I

∴ AG ，CD 确定平面γ，且AC =αγI ，

DG =βγI ．

∵βα//，所以 DG AC //， ∴ GDF ACF ∠=∠，

又 DFG AFC ∠=∠，DF CF =， ∴ △ACF ≌△DFG ． ∴ FG AF =．又 BE AE =，

∴ BG EF //，β?BG ．故 β//EF ．

同理α//EF

说明：本题还有其它证法，要点是对异面直线的处理．

典型例题六

例6 如图，已知矩形ABCD 的四个顶点在平面上的射影分别为1A 、1B 、1C 、1D ，且1A 、1B 、1C 、1D 互不重合，也无三点共线．

求证：四边形1111D C B A 是平行四边形．证明：∵α⊥1AA ， α⊥1DD

∴11//DD AA

不妨设1AA 和1DD 确定平面β．同理1BB 和1CC 确定平面γ．又11//BB AA ，且γ?1BB ∴γ//1AA 同理γ//AD 又A AD AA =I 1

∴γβ//

又11D A =βαI ，11C B =γαI

∴1111//C B D A ．同理1111//D C B A ．

∴四边形1111D C B A 是平行四边形．

典型例题七

例7 设直线l 、m ，平面α、β，下列条件能得出βα//的是（）． A ．α?l ，α?m ，且β//l ，β//m B ．α?l ，β?m ，且m l // C ．α⊥l ，β⊥m ，且m l // D ．α//l ，β//m ，且m l //

分析：选项A 是错误的，因为当m l //时，α与β可能相交．选项B 是错误的，理由同A ．选项C 是正确的，因为α⊥l ，l m //，所以α⊥m ，又∵β⊥m ，∴βα//．选项D 也是错误的，满足条件的α可能与β相交．

答案：C

说明：此题极易选A ，原因是对平面平行的判定定理掌握不准确所致．

本例这样的选择题是常见题目，要正确得出选择，需要有较好的作图能力和对定理、公理的准确掌握、深刻理解，同时要考虑到各种情况．

典型例题八

例8 设平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，且α、β分别与γ相交于a 、b ，b a //．求证：平面α//平面β．

分析：要证明两平面平行，只要设法在平面α上找到两条相交直线，或作出相交直线，它们分别与β平行（如图）．

证明：在平面α内作直线PQ ⊥直线a ，在平面β内作直线MN ⊥直线b ． ∵平面α⊥平面γ，

∴PQ ⊥平面γ，MN ⊥平面γ， ∴MN PQ //．

又∵p a //，Q a PQ =I ，N b MN =I ， ∴平面α//平面β．

说明：如果在α、β内分别作γ⊥PQ ，γ⊥MN ，这样就走了弯路，还需证明PQ 、

MN 在α、β内，如果直接在α、β内作a 、b 的垂线，就可推出MN PQ //．

由面面垂直的性质推出“线面垂直”，进而推出“线线平行”、“线面平行”，最后得到“面面平行”，最后得到“面面平行”．其核心是要形成应用性质定理的意识，在立体几何证明中非常重要．

典型例题九

例9 如图所示，平面α//平面β，点A 、C α∈，点β∈D B 、，a AB =是α、β的公垂线，CD 是斜线．若b BD AC ==，c CD =，M 、N 分别是AB 和CD 的中点，

(1)求证：β//MN ； (2)求MN 的长．

分析：（1）要证β//MN ，取AD 的中点P ，只要证明MN 所在的平面β//PMN ．为此证明β//PM ，β//PN 即可．(2)要求MN 之长，在CMA ?中，CM 、CN 的长度易知，关键在于证明CD MN ⊥，从而由勾股定理可以求解．

证明：(1)连结AD ，设P 是AD 的中点，分别连结PM 、PN ． ∵M 是AB 的中点，∴BD PM //．

又β?BD ，∴β//PM ．

同理∵N 是CD 的中点，∴AC PN //． ∵α?AC ，∴α//PN ．

∵βα//，P PM PN =I ，∴平面β//PMN ． ∵MN ?平面PMN ，∴β//MN ． (2)分别连结MC 、MD ． ∵b BD AC ==，a BM AM 2

=，又∵AB 是α、β的公垂线，∴?=∠=∠90DBM CAM ， ∴ACM Rt ?≌BDM Rt ?，∴DM CM =， ∴DMC ?是等腰三角形．

又N 是CD 的中点，∴CD MN ⊥．在CMN Rt ?中，2222

c a b CN CM MN -+=

-=．说明：(1)证“线面平行”也可以先证“面面平行”，然后利用面面平行的性质，推证“线面平行”，这是一种以退为进的解题策略．

(2)空间线段的长度，一般通过构造三角形、然后利用余弦定理或勾股定理来求解． (3)面面平行的性质：①面面平行，则线面平行；②面面平行，则被第三个平面所截得的交线平行．

典型例题十

例10 如果平面α内的两条相交直线与平面β所成的角相等，那么这两个平面的位置关系是__________．

分析：按直线和平面的三种位置关系分类予以研究．解：设a 、b 是平面α内两条相交直线．

(1)若a 、b 都在平面β内，a 、b 与平面β所成的角都为?0，这时α与β重合，根据教材中规定，此种情况不予考虑．

(2)若a 、b 都与平面β相交成等角，且所成角在)90,0(??内； ∵a 、b 与β有公共点，这时α与β相交．

若a 、b 都与平面β成?90角，则b a //，与已知矛盾．此种情况不可能．

(3)若a 、b 都与平面β平行，则a 、b 与平面β所成的角都为?0，α内有两条直线与平面β平行，这时βα//．

综上，平面α、β的位置关系是相交或平行．

典型例题十一

例11 试证经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．已知：α平面?A ，

求证：过A 有且只有一个平面αβ//．

分析：“有且只有”要准确理解，要先证这样的平面是存在的，再证它是惟一的，缺一不可．

证明：在平面α内任作两条相交直线a 和b ，则由α?A 知，a A ?，b A ?．点A 和直线a 可确定一个平面M ，点A 和直线b 可确定一个平面N ．

在平面M 、N 内过A 分别作直线a a //'、b b //'

，故'a 、'

b 是两条相交直线，可确定一个平面β． ∵α?'a ，α?a ，a a //'，∴α//'

a ．同理α//'

b ．

又β?'

a ，β?'

b ，A b a ='

'I ，∴αβ//．

所以过点A 有一个平面αβ//．

假设过A 点还有一个平面αγ//，

则在平面α内取一直线c ，c A ?，点A 、直线c 确定一个平面ρ，由公理2知：

m =ρβI ，n =ργI ，

∴c m //，c n //，又m A ∈，n A ∈，

这与过一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾，因此假设不成立，所以平面β只有一个．

所以过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．

典型例题十二

例12 已知点S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，且SC SB SA ==，SG 为SAB ?上的高，D 、E 、F 分别是AC 、BC 、SC 的中点，试判断SG 与平面DEF 内的位置关

系，并给予证明

分析1：如图，观察图形，即可判定//SG 平面DEF ，要证明结论成立，只需证明SG 与平面DEF 内的一条直线平行．

观察图形可以看出：连结CG 与DE 相交于H ，连结FH ，FH 就是适合题意的直线．怎样证明FH SG //？只需证明H 是CG 的中点．

证法1：连结CG 交DE 于点H ， ∵DE 是ABC ?的中位线， ∴AB DE //．

在ACG ?中，D 是AC 的中点，且AG DH //， ∴H 为CG 的中点．

∵FH 是SCG ?的中位线，∴SG FH //．又SG ?平面DEF ，FH ?平面DEF ， ∴//SG 平面DEF ．

分析2：要证明//SG 平面DEF ，只需证明平面SAB //平面DEF ，要证明平面DEF //平面SAB ，只需证明DF SA //，EF SB //而DF SA //，EF SB //可由题设直接推出．

证法2：∵EF 为SBC ?的中位线， ∴SB EF //．

∵?EF 平面SAB ，?SB 平面SAB ， ∴//EF 平面SAB ．

同理：//DF 平面SAB ，F DF EF =I ，

∴平面SAB //平面DEF ，又∵?SG 平面SAB ， ∴//SG 平面DEF ．

典型例题十三

例13 如图，线段PQ 分别交两个平行平面α、β于A 、B 两点，线段PD 分别交α、β于C 、D 两点，

线段QF 分别交α、β于F 、E 两点，若9=PA ，12=AB ，12=BQ ，ACF ?的面积为72，求BDE ?的面积．

分析：求BDE ?的面积，看起来似乎与本节内容无关，事实上，已知ACF ?的面积，若BDE ?与ACF ?的对应边有联系的话，可以利用ACF ?的面积求出BDE ?的面积．

解：∵平面AF QAF =αI ，平面BE QAF =βI ，又∵βα//，∴BE AF //．

同理可证：BD AC //，∴FAC ∠与EBD ∠相等或互补，即EBD FAC ∠=∠sin sin ．由BE FA //，得212412∶∶∶∶===QA QB AF BE ， ∴AF BE 2

由AC BD //，得：73219∶∶∶∶===PB PA BD AC ，∴AC BD 3

=．又∵ACF ?的面积为72，即72sin 2

=∠??FAC AC AF ． ∴EBD BD BE S DBE ∠??=

?sin 21

FAC AC AF ∠???=sin 37

2121 FAC AC AF ∠???=sin 21

67 84726

=?=． ∴BDE ?的面积为84平方单位．

说明：应用两个平行的性质一是可以证明直线与直线的平行，二是可以解决线面平行的问题．注意使用性质定理证明线线平行时，一定第三个平面与两个平行平面相交，其交线互相平行．

典型例题十四

例14 在棱长为a 的正方体中，求异面直线BD 和C B 1之间的距离．

分析：通过前面的学习，我们解决了如下的问题：若a 和b 是两条异面直线，则过a 且平行于b 的平面必平行于过b 且平行于a 的平面．我们知道，空间两条异面直线，总分别存在于两个平行平面内．因此，求两条异面直线的距离，有时可以通过求这两个平行平面之间的距离来解决．

具体解法可按如下几步来求：①分别经过BD 和C B 1找到两个互相平等的平面；②作出

两个平行平面的公垂线；③计算公垂线夹在两个平等平面间的长度．

解：如图，

根据正方体的性质，易证：

1111111//////D CB BD A C D B A D B BD 平面平面??

连结1AC ，分别交平面BD A 1和平面11D CB 于M 和N

因为1CC 和1AC 分别是平面ABCD 的垂线和斜线，AC 在平面ABCD 内，BD AC ⊥ 由三垂线定理：BD AC ⊥1，同理：D A AC 11⊥ ∴⊥1AC 平面BD A 1，同理可证：⊥1AC 平面11D CB ∴平面BD A 1和平面11D CB 间的距离为线段MN 长度．如图所示：

在对角面1AC 中，1O 为11C A 的中点，O 为AC 的中点 ∴a AC NC MN AM 3

33111==

==． ∴BD 和C B 1的距离等于两平行平面BD A 1和11D CB 的距离为

a 3

．说明：关于异面直线之间的距离的计算，有两种基本的转移方法：①转化为线面距．设a 、b 是两条异面直线，作出经过b 而和a 平行的平面α，通过计算a 和α的距离，得出a 和b 距离，这样又回到点面距离的计算；②转化为面面距，设a 、b 是两条异面直线，作出经过b 而和a 平行的平面α，再作出经过a 和b 平行的平面β，通过计算α、β之间的距离得出a 和b 之间的距离．

典型例题十五

例15 正方体1111D C B A ABCD -棱长为a ，求异面直线AC 与1BC 的距离．解法1：（直接法）如图：

取BC 的中点P ，连结PD 、1PB 分别交AC 、1BC 于M 、N 两点，易证：MN DB //1，AC DB ⊥1，11BC DB ⊥． ∴MN 为异面直线AC 与1BC 的公垂线段，易证：a DB MN 3

311==

．小结：此法也称定义法，这种解法是作出异面直线的公垂线段来解．但通常寻找公垂线

段时，难度较大．

解法2：（转化法）如图：

∵//AC 平面B C A 11，

∴AC 与1BC 的距离等于AC 与平面B C A 11的距离，在1OBO Rt ?中，作斜边上的高OE ，则OE 长为所求距离， ∵a OB 2

，a OO =1， ∴a B O 231=

，∴a B O OB OO OE 3

311=?=．小结：这种解法是将线线距离转化为线面距离．

解法3：（转化法）如图：

∵平面1ACD //平面B C A 11，

∴AC 与1BC 的距离等于平面1ACD 与平面B C A 11的距离． ∵⊥1DB 平面1ACD ，且被平面1ACD 和平面B C A 11三等分；

∴所求距离为

a D B 3

311=．小结：这种解法是线线距离转化为面面距离．

解法4：（构造函数法）如图：

任取点1BC Q ∈，作BC QR ⊥于R 点，作AC PK ⊥于K 点，设x RC =，则x a QR BR -==，KR CK =，且2

CR CK KR =+

∴222

21x CR KR ==

．则2

22)(21x a x QK -+=

2223

31)32(23a a a x ≥+-=，故QK 的最小值，即AC 与1BC 的距离等于

a 3

．小结：这种解法是恰当的选择未知量，构造一个目标函数，通过求这个函数的最小值来得到二异面直线之间的距离．

解法5：（体积桥法）如图：

当求AC 与1BC 的距离转化为求AC 与平面B C A 11的距离后，设C 点到平面B C A 11的距离为h ，

则1111BCC A B C A C V V --=． ∵222

31)2(4331a a a h ??=?

， ∴a h

33．即AC 与1BC 的距离等于a 3

3．小结：本解法是将线线距离转化为线面距离，再将线面距离转化为锥体化为锥体的高，

然后用体积公式求之．这种方法在后面将要学到．

说明：求异面直线距离的方法有：

(1)（直接法）当公垂线段能直接作出时，直接求．此时，作出并证明异面直线的公垂线段，是求异面直线距离的关键．

(2)（转化法）把线线距离转化为线面距离，如求异面直线a 、b 距离，先作出过a 且平行于b 的平面α，则b 与α距离就是a 、b 距离．（线面转化法）．

也可以转化为过a 平行b 的平面和过b 平行于a 的平面，两平行平面的距离就是两条异面直线距离．（面面转化法）．

(3)（体积桥法）利用线面距再转化为锥体的高用何种公式来求．

(4)（构造函数法）常常利用距离最短原理构造二次函数，利用求二次函数最值来解．两条异面直线间距离问题，教科书要求不高（要求会计算已给出公垂线时的距离），这方面的问题的其他解法，要适度接触，以开阔思路，供学有余力的同学探求．

典型例题十六

例16 如果βα//，AB 和AC 是夹在平面α与β之间的两条线段，AC AB ⊥，且

2=AB ，直线AB 与平面α所成的角为?30，求线段AC 长的取值范围．

解法1：如图所示：

作β⊥AD 于D ，连结BD 、CD 、BC

∵BD AB >，DC AC >，2

BC AC AB =+， ∴在BDC ?中，由余弦定理，得：

022cos 2

22222=?

BD BC AC AB CD BD BC CD BD BDC ．

∵β⊥AD ，∴ABD ∠是AB 与β所在的角．又∵βα//，

∴ABD ∠也就等于AB 与α所成的角，即?=∠30ABD ．

∵2=AB ，

∴1=AD ，3=BD ，12-=AC DC ，24AC BC +=，

∴01

3241312

2<-?---+≤

-AC AC AC ，即：31

102

≤-

∴33

2≥AC ，即AC 长的取值范围为???

????∞+,332．解法2：如图：

∵AC AB ⊥

∴AC 必在过点A 且与直线AB 垂直的平面γ内

设l =βγI ，则在γ内，当l AC ⊥时，AC 的长最短，且此时ABC AB AC ∠?=tan

230tan =

??AB 而在γ内，C 点在l 上移动，远离垂足时，AC 的长将变大，

从而3

2≥

AC ，即AC 长的取值范围是?

??∞+,332．

说明：(1)本题考查直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系，对于运算能力和空间想象能力有较高的要求，供学有余力的同学学习．

(2)解法1利用余弦定理，采用放缩的方法构造出关于AC 长的不等式，再通过解不等式得到AC 长的范围，此方法以运算为主．

(3)解法2从几何性质角度加以解释说明，避免了繁杂的运算推导，但对空间想象能力要求很高，根据此解法可知线段AC 是连结异面直线AB 和l 上两点间的线段，所以AC 是AB 与l 的公垂线段时，其长最短．

典型例题十七

例17 如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．已知：γα//，γβ//，求证：βα//．

分析：本题考查面面平行的判定和性质定理以及逻辑推理能力．由于两个平面没有公共点称两平面平行，带有否定性结论的命题常用反证法来证明，因此本题可用反证法证明．另外也可以利用平行平面的性质定理分别在三个平面内构造平行且相交的两条直线，利用线线平行来推理证明面面平行，或者也可以证明这两个平面同时垂直于某一直线．

证明一：如图，

假设α、β不平行，则α和β相交．

∴α和β至少有一个公共点A ，即α∈A ，β∈A ． ∵γα//，γβ//， ∴γ?A ．

于是，过平面γ外一点A 有两个平面α、β都和平面γ平行，

这和“经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行”相矛盾，假设不成立。 ∴βα//．

证明二：如图，在平面α内任取一点A ，过A 点作直线l 与α相交．

∵γα//，∴l 与γ也相交． ∵γβ//，∴l 与β也相交．

过l 作两相交平面分别与α交于直线1m 、1n ，且与2m 、2n ，交γ于直线3m 、3n ． ∵γα//，∴31//m m ． ∵γβ//，∴32//m m ． ∴21//m m ．

∵β?1m ，β?2m ， ∴β//1m ．同理β//1n ．

又∵A n m =11I ，1m 、α?1n ， ∴βα//．

证明三：如图，任作直线α⊥l ，

∵γα//，∴γ⊥l ．

∵γβ//，∴β⊥l ． ∴βα//．

说明：证明两个平面平行，可根据定义、应用判定定理来证明．

典型例题十八

例18 如图，已知a 、b 是异面直线，求证：过a 和b 分别存在平面α和β，使βα//．

分析：本题考查面面平行及线面垂直的判定和综合推理能力．根据前面学过的知识，过异面直线中的一条有且仅有一个平面与另一条平行．这样过a 和b 分别有平面与另一条线平行．那么这两个平面是不是互相平行呢？这两个平面是不是就是我们所要找的α和β？

证明：在直线a 上任取一点P ，过P 点作直线b b //'

．故过a 和'

b 可确定一平面记为α，在直线b 上任取一点Q ．过Q 点作直线a a //'

．

同理过b 和'

a 可确定一平面，记为β． ∵a a //'

，α?a ， ∴α//'

a ．同理α//

b ．

∵β?'

a ，β?

b ，Q b a =I '

． ∴βα//．

说明：由此题结论可知，两异面直线必定存在于两个互相平行的平面中．所以两异面直

线间的距离就可转化为两平行平面间的距离（本题易证a和b的公垂线段垂直于两平行平面）．

(完整版)数学归纳法经典例题详解

例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ．请读者分析下面的证法：证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ．那么当n =k +1时，有： ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ????????? ??+-++??? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ? ?-=3211211211217151513131121k k k k Λ 322221321121++?=??? ??+-= k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立．由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．正确方法是：当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k

()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式： a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2) 都成立，并证明你的结论．分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性．解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组． ?????=++=+=603224 26321 211a a a a a a ，解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3．故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立．下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．因为起始值已证，可证第二步骤．假设n =k 时，等式成立，即 a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2) 那么当n =k +1时， a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1 = k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3] =(k +1)(k 2+2k +3k +6) =(k +1)(k +2)(k +3) =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2] 这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立．综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．例3．证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．

小升初数学训练典型例题分析-找规律篇

名校真题测试卷找规律篇时间：15分钟满分5分姓名_________ 测试成绩_________ 1 （12年清华附中考题）如果将八个数14，30，33，35，39，75，143，169平均分成两组，使得这两组数的乘积相等，那么分组的情况是什么？ 2 （13年三帆中学考题）观察1+3=4 ； 4+5=9 ； 9+7=16 ； 16+9=25 ； 25+11=36 这五道算式，找出规律，然后填写20012＋（）＝20022 3 （12年西城实验考题）一串分数：12123412345612812,,,,,,,,,,,,.....,,,......,33,55557777779991111 其中的第2000个分数是 . 4 （12年东城二中考题）在2、3两数之间,第一次写上5,第二次在2、5和5、3之间分别写上7、8(如下所示),每次都在已写上的两个相邻数之间写上这两个相邻数之和.这样的过程共重复了六次,问所有数之和是多少? 2......7......5......8 (3) 5 (04年人大附中考题) 请你从01、02、03、…、98、99中选取一些数，使得对于任何由0～9当中的某些数字组成的无穷长的一串数当中，都有某两个相邻的数字，是你所选出的那些数中当中的一个。为了达到这些目的。

(1)请你说明：11这个数必须选出来； (2)请你说明：37和73这两个数当中至少要选出一个； (3)你能选出55个数满足要求吗？【附答案】 1 【解】分解质因数，找出质因数再分开，所以分组为33、35、30、169和14、39、75、 143。 2 【解】上面的规律是：右边的数和左边第一个数的差正好是奇数数列3、5、7、9、11……，所以下面括号中填的数字为奇数列中的第2001个，即4003。 3 【解】分母为3的有2个，分母为4个，分母为7的为6个，这样个数2+4+6+8… 88=1980<2000，这样2000个分数的分母为89，所以分数为20/89。 4 【解】：第一次写后和增加5，第二次写后的和增加15，第三次写后和增加45，第四次写后和增加135，第五次写后和增加405，…… 它们的差依次为5、15、45、135、405……为等比数列，公比为3。它们的和为5+15+45+135+405+1215＝1820，所以第六次后，和为1820+2+3＝1825。 5 【解】 (1)，11，22，33，…99，这就9个数都是必选的，因为如果组成这个无穷长数的就是1~9某个单一的数比如111…11…，只出现11，因此11必选，同理要求前述9个数必选。 (2)，比如这个数3737…37…，同时出现且只出现37和37，这就要求37和73必须选出一个来。 (3)，同37的例子， 01和10必选其一，02和20必选其一，……09和90必选其一，选出9个 12和21必选其一，13和31必选其一，……19和91必选其一，选出8个。 23和32必选其一，24和42必选其一，……29和92必选其一，选出7个。 ……… 89和98必选其一，选出1个。

高中数学经典例题

高中数学经典例题讲解高中数学经典例题讲解典型例题一例1下列图形中，满足唯一性的是（）． A．过直线外一点作与该直线垂直的直线 B．过直线外一点与该直线平行的平面C．过平面外一点与平面平行的直线D．过一点作已知平面的垂线分析：本题考查的是空间线线关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键．要注意空间垂直并非一定相关．解：A．过直线外一点作与这条直线垂直的直线，由于并没有强调相交，所以这样的垂线可以作无数条．事实上这无数条直线还在同一个平面内，这个平面为该直线的一个垂面．B．过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行，但可以作无数个平面和该直线平行．C．过此点作平面内任一直线的平行线，这条平行线都平行于平面．所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条．．过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条．假设空间点、平面，过点有两条直线、都垂直于，由于、为相交直线，不妨设、所确定的平面为，与的交线为，则必有，，又由于、、都在平面内，这样在内经过点就有两条直线和直线垂直，与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾．故选D．说明：有关“唯一性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明．在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作

已知直线的垂面也是有且仅有一个．它们都是“唯一性”命题，在空间作图题中常常用到．典型例题二例2 已知下列命题：（1）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；（3）若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直；（4）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直．上述命题正确的是（）． A．（1）、（2） B．（2）、（3） C．（3）、（4） D．（2）、（4）分析：本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用．应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形．解：（1）已知直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系； - 1 - 高中数学经典例题讲解（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之间也平行；（3）根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线垂直；（4）根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性．故选D．说明：（3）中若一直线与另一直线的射影垂直，则有另一直线必与这一直线的射影垂直．如E、FGBC在

小升初数学测试题经典十套题及答案

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* （人教版）小升初入学考试数学试卷(一) 班级______姓名______得分______ 一、选择题：（每小题4分，共16分） 1、在比例尺是1：4000000的地图上，量得A、B两港距离为9厘米，一艘货轮于上午6时以每小时24千米的速度从A开向B港，到达B港的时间是（）。 A、15点 B、17点 C、19点 D、21点 2、将一根木棒锯成4段需要6分钟，则将这根木棒锯成7段需要（）分钟。 A、10 B、12 C、14 D、16 3、一个车间改革后，人员减少了20%，产量比原来增加了20%，则工作效率（）。 A、提高了50% B、提高40% C、提高了30% D、与原来一样 4、A、B、C、D四人一起完成一件工作，D做了一天就因病请假了，A结果做了6天，B做了5天，C做了4天，D作为休息的代价，拿出48元给A、B、C三人作为报酬，若按天数计算劳务费，则这48元中A就分（）元。 A、18 B、19.2 C、20 D、32 二、填空题：（每小题4分，共32分） 1、学校开展植树活动，成活了100棵，25棵没活，则成活率是（）。 2、甲乙两桶油重量差为9千克，甲桶油重量的1/5等于乙桶油重量的1/2，则乙桶油重（）千克。 3、两个自然数的差是5，它们的最小公倍数与最大公约数的差是203，则这两个数的和是（）。 4、一个圆锥与一个圆柱的底面积相等，已知圆锥与圆柱的体积比是1：6，圆锥的高是4.8厘米，则圆柱的高是（）厘米。

5、如图，电车从A站经过B站到达C站，然后返回。去时B站停车，而返回时不停，去时的车速为每小时48千米，返回时的车速是每小时（）千米。 6、扑克牌游戏，小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：第一步，分发左中右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；第二步，从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；第三步，从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；第四步，左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆。这时小明准确说出了中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌现有的张数是（）。 7、前30个数的和为（）。 8、如图已知直角三角形的面积是12平方厘米，则阴影部分的面积是（）。三、计算：（每小题5分，共10分）

高考数学百大经典例题曲线和方程(新课标)

典型例题一例1 如果命题“坐标满足方程()0=y x f ，的点都在曲线C 上”不正确，那么以下正确的命题是（A ）曲线C 上的点的坐标都满足方程()0=y x f ，．（B ）坐标满足方程()0=y x f ，的点有些在C 上，有些不在C 上．（C ）坐标满足方程()0=y x f ，的点都不在曲线C 上．（D ）一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足方程()0=y x f ，．分析：原命题是错误的，即坐标满足方程()0=y x f ，的点不一定都在曲线C 上，易知答案为D ．典型例题二例2 说明过点)1,5(-P 且平行于x 轴的直线l 和方程1=y 所代表的曲线之间的关系．分析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．其中“曲线上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”，即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，即完备性．这是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则．解：如下图所示，过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为1-=y ，因而在直线l 上的点的坐标都满足1=y ，所以直线l 上的点都在方程1=y 表示的曲线上．但是以1=y 这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上，因此方程1=y 不是直线l 的方程，直线l 只是方程 1=y 所表示曲线的一部分．说明：本题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不满足完备性．典型例题三

例3 说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程x y =所表示的直线之间的关系．分析：该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析．解：方程x y =所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等．但是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程x y =，例如点)3,3(-到两坐标轴的距离均为3，但它不满足方程x y =．因此不能说方程x y =就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程，到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程x y =所表示的轨迹．说明：本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上”，即满足完备性，而“轨迹上的点的坐标不都满足方程”，即不满足纯粹性．只有两者全符合，方程才能叫曲线的方程，曲线才能叫方程的曲线．典型例题四例 4 曲线4)1(2 2 =-+y x 与直线4)2(+-=x k y 有两个不同的交点，求k 的取值范围．有一个交点呢？无交点呢？分析：直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点，就是由直线与曲线的方程组成的方程组分别有两个解、一个解和无解，也就是由两个方程整理出的关于x 的一元二次方程的判别式?分别满足0>?、0=?、0?即0)52)(12(<--k k ，即 25 21<--k k ，即21k 时，直线与曲线没有公共点．说明：在判断直线与曲线的交点个数时，由于直线与曲线的方程组成的方程组解的个数与由两方程联立所整理出的关于x (或y )的一元方程解的个数相同，所以如果上述一元方程是二次的，便可通过判别式来判断直线与曲线的交点个数，但如果是两个二次曲线相遇，两曲线的方程组成的方程组解的个数与由方程组所整理出的一元方程解的个数不一定相同，所以遇到此类问题时，不要盲目套用上例方法，一定要做到具体问题具体分析．典型例题五

小升初数学典型题数与代数

小升初数学典型题数与代数文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

第一章数与代数第一节数与代数 1.某一个数十万位上是最大的一位数，万位上是最小的合数，百位上最小的质数，其余各位上都是0，则这个数写作（），读作（），省略万位后面的尾数约是（）。 2.用三个8和三个0组成的六位数中，一个零都不读出的最小六位数是（），只读出一个零的最大六位数是（），读出两个零的六位数是（）。 3.填空。（1）如果向东走20米记作+20米，那么向西走15米应该记作（）。（2）如果把零下℃ 记作℃，那么零下℃ 记作（），零上24℃ 记作（）。（3）如果足球比赛负一场记作-1，那么负两场记作（），胜三场记作（）。 4.判断。（1）3· 是纯循环小数。（）（2）一个自然数不是质数，就是合数。（）（3）33 100米可以记作33%米。（）（4）小数点的后面添上0或去掉0，小数点的大小不变。（） 5.一个三位小数，“四舍五入”后约是，这个三位小数最大是（），最小是（）。 6.庆“六一”，六年级同学买来336枝红花，252枝黄花，210枝粉花。用这些花最多可以扎成多少束同样的花束在每束花中，红、黄、粉三种花各有几枝 7.有一堆苹果，3个3个地数余2个，4个4个地数余3个，5个5个地数余4个，这堆苹果最少有多少个 8.要比较9 10和1112的大小，你能用哪些方法 9. （）（） = =（）：（）=（）% = （）折第二节数的运算

1. 计算（1）9 4×8 5 ÷1.7（2）0.5×[51 5 ÷(3?2.5×7 8 )] 2. 如果83 5?1.5÷[12 3 ×( +11 3 )]=82 5 ，那么□=（） 3. 解答下面各题。（1）有一个减法算式，被减数、减数和差的和是71 5 ，差是减数的2倍。请写出这个减法算式。（2）有一个除法算式，被除数、除数、商和余数的和是100，已知商是12，余数是5。请你求出被除数。 4. 选择。a是大于0的数，（a+a）÷a+(a?a)×a的结果是（） A. a B. 2 C. 2-a 5. 下面各题怎样简便就怎样算。（1）4 7×3 5 +3 7 ÷5 3 （2）4 9 +2.28?5 9 （3）（4）×4.6+6.4×3.7?3.7 6.计算下面各题（1）16 27×[3 4 ?(7 16 ?1 4 )] （2）1 2 +1 6 +1 12 +1 20 +1 30 +1 42 第三节常见的量 1. 45000平方米=（）公顷小时=（）分钟 20升20毫升=（）升 4小时15分钟=（）小时=（）分钟千克=（）千克（）克=（）克 2. 王军每天早上7:45到校，中午11:05放学；下午2:20到校，5:00放学。王军一天的在校时间是多少

(完整版)数学归纳法经典例题及答案(2)

数学归纳法（2016.4.21）一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确；（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确．综合（1）、（2），…… 注意：数学归纳法使用要点：两步骤,一结论。二、题型归纳：题型1.证明代数恒等式例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ．当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．

题型2.证明不等式例2．证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立． ②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ Λ．那么当n =k +1时， 11 1 31 21 1++++++k k Λ 1 1 1211 2+++=++

通用版小升初数学专项训练+典型例题分析-找规律篇(含答案)

测试卷找规律篇时间：15分钟满分5分姓名_________ 测试成绩_________ 1 （12年清华附中考题）如果将八个数14，30，33，35，39，75，143，169平均分成两组，使得这两组数的乘积相等，那么分组的情况是什么？ 2 （13年三帆中学考题）观察1+3=4 ； 4+5=9 ； 9+7=16 ； 16+9=25 ； 25+11=36 这五道算式，找出规律，然后填写20012＋（）＝20022 3 （12年西城实验考题）一串分数：12123412345612812 , ,,,,,,,,,,,.....,,,......,33,55557777779991111 其中的第2000个分数是 . 4 （12年东城二中考题）在2、3两数之间,第一次写上5,第二次在2、5和5、3之间分别写上7、8(如下所示),每次都在已写上的两个相邻数之间写上这两个相邻数之和.这样的过程共重复了六次,问所有数之和是多少? 2......7......5......8 (3) 5 (04年人大附中考题) 请你从01、02、03、…、98、99中选取一些数，使得对于任何由0～9当中的某些数字组成的无穷长的一串数当中，都有某两个相邻的数字，是你所选出的那些数中当中的一个。为了达到这些目的。