2015中考数学全景透视复习课件+第18讲等腰三角形与直角三角形
考点五
线段垂直平分线的性质和判定
1．经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线， 叫做线段的垂直平分线． 2．性质 (1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的 距离相等； (2)与一条线段两个端点的距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上．
温馨提示： 1.三角形三边的垂直平分线交于一点， 这一点到三 角形三个顶点的距离相等. 2.锐角三角形三边垂直平分线的交点在三角形内 部，直角三角形三边垂直平分线的交点是斜边的中点， 钝角三角形三边垂直平分线的交点在三角形的外部.
考点二 1．性质
等腰三角形的性质和判定
(1)等腰三角形的两个底角相等(简写成：等边对 等角)； (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底 边上的高互相重合； (3)等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，顶 角的平分线(底边上的中线、底边上的高)所在的直线 是它的对称轴．
温馨提示： 这个性质简写成“三线合一”，但不能简单地说 成“等腰三角形的高、中线、角平分线三线合一”.
考点训练
一、选择题(每小题 4 分，共 40 分) 1．(2014· 宜昌)如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A ＝30° ，以 B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交 AC 于 点 D，连接 BD，则∠ABD＝( A．30° C．60° B．45° D．90° )
解析：∵AB＝AC，∠A＝30° ，∴∠ABC＝∠C＝ 75° . 由作图可知 BD ＝ BC ， ∴∠BDC ＝ ∠C ＝ 75° ， ∴∠DBC＝ 180° －2×75° ＝30° ，∴∠ABD＝75° －30° ＝45° .故选 B. 答案： B
∴BO＝CO， ∴∠OBC＝∠OCB. ∴∠EBO＋∠OBC ＝∠DCO＋∠OCB. 即∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， 即△ABC是等腰三角形．
考点三
等边三角形的性质与判定
例 3(2014· 温州)如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且 DE∥AB，过点 E 作 EF⊥DE，交 BC 的延长线于点 F.
温馨提示： 勾股定理的使用范围是在直角三角形中，非直角 三角形可作高转化为直角三角形.
2．判定 (1)有一个角是直角的三角形是直角三角形； (2)有两个角互余的三角形是直角三角形； (3)勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a， b， c 满足 a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
答案： C
4．如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的 平分线 BD 上一点，PE⊥AB 于点 E，线段 BP 的垂直 平分线交 BC 于点 F，垂足为点 Q.若 BF＝2，则 PE 的长为( A．2 C. 3 ) B．2 3 D．3
解析：∵△ABC 是等边三角形，BD 平分∠ABC， ∴∠DBA＝∠DBC＝30° .∵QF 垂直平分 BP，∴BP＝ 1 2BQ，且∠BQF＝90° .在 Rt△BFQ 中，FQ＝ BF＝1， 2 BQ ＝ BF －FQ ＝ 2 －1 ＝ 3. 于是 BP ＝ 2 3. 在 1 Rt△BPE 中，PE＝ BP＝ 3.故选 C. 2 答案： C
考点一
等腰三角形的性质
例 1(2014· 南充)如图，在△ABC 中，AB＝AC，且 D 为 BC 上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B 的度数 为( )
A．30° C．40°
B．36° D．45°
【点拨】 ∵AB＝AC， CD＝AD， AB＝BD， ∴∠B＝∠C ＝∠CAD，∠BAD＝∠BDA.又∵∠BDA 是△ADC 的外角， ∴∠BDA＝∠C＋∠CAD＝2∠C.设∠B＝x° ，则∠BDA＝ ∠BAD＝2x° ，根据题意，得 x° ＋2x° ＋2x° ＝180° ，解得 x＝ 36，即∠B＝36° .故选 B. 【答案】 B
2．已知等腰三角形的一个内角为 40° ，则这个等 腰三角形的顶角为( C A．40° C．40° 或 100° ) B．100° D．70° 或 50°
解析：分两种情况：(1)这个等腰三角形的顶角为 40° ，则底角为(180° － 40° )÷ 2＝ 70° ； (2)这个等腰三角 形的底角为 40° ，则顶角为 180° －2×40° ＝100° . 故选 C.
3．若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为 25° ，则该三角形的一个底角为( A．32.5° C．32.5° 或57.5° ) B．57.5° D．65° 或57.5°
解析： 如图①， ∵∠ABD＝25° ， ∠BDA＝90° ， ∴∠A＝65° .∵AB＝AC，∴∠C＝(180° －65° )÷ 2＝ 57.5° . 如 图 ② ， ∵∠ABD ＝ 25° ， ∠BDA ＝ 90° ， ∴∠BAD＝65° .∵AB＝AC， ∴∠C＝65° ÷ 2＝32.5° . 故选 C.
2 2 2 2
5．已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，且满足关系 式 c －a －b ＋|a－b|＝0，则△ABC 是等腰直角三角 形． 解析： ∵ c －a －b ＋ |a － b| ＝ 0 ， c －a －b 腰直角三角形．
2 2 2 2 2 2 2 2 2
≥0，|a－b|≥0，∴c2＝a2＋b2，a＝b，∴△ABC 是等
方法总结： 等腰三角形有两个性质：1“等边对等角”，利 用这个性质可以证明两个角相等，也可以计算角的大 小；2“三线合一”，利用这个性质可以证明线段相 等、角相等、一个角等于90° 、计算线段长度和角的 2(2014· 襄阳)如图，在△ABC 中，点 D，E 分 别在边 AC，AB 上，BD 与 CE 交于点 O，给出下列三 个条件：
(1)求∠F 的度数； (2)若 CD＝2，求 DF 的长． 【点拨】本题考查等边三角形的性质，由性质得 出角的度数是解本题的关键．
解：(1)∵△ABC 为等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60° . ∵DE∥AB， ∴∠EDF＝∠B＝60° ，∠DEC＝∠A＝60° . ∵EF⊥DE， ∴∠DEF＝90° . ∴∠F＝90° －∠EDF＝30° .
2．判定 (1)定义法； (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 所对的边也相等(简写成：等角对等边)．
温馨提示： 等腰三角形的判定定理，是证明两条线段相等的 重要定理，是把三角形中的角的相等关系转化为边的 相等关系的重要依据.
考点三 1．性质
等边三角形的性质和判定
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角 都等于 60° . 2．判定 (1)三个角都相等的三角形是等边三角形； (2)有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形．
【点拨】由作图方法可知 BD＝CD，∴∠DCB＝ ∠B＝25° .∵∠ADC 是△BDC 的外角， ∴∠ADC＝∠B ＋∠DCB＝50° .∵CD＝AC，∴∠A＝∠ADC＝50° . ∴∠ACB＝180° －∠A－∠B＝180° －50° －25° ＝105° . 【答案】 105°
方法总结： 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相 等.利用这个性质可以证明两条线段相等，进而由等腰 三角形的性质解决相关的问题.
考点四
直角三角形的性质与判定
例 4(2014· 无锡)如图， △ABC 中， CD⊥AB 于点 D， E 是 AC 的中点，若 AD＝6，DE＝5，则 CD 的长等于 ________．
【点拨】 ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90° .在 Rt△ADC 中，E 是 AC 的中点，DE＝5，∴AC＝2DE＝10.∵AD ＝6，∴CD＝ AC －AD ＝ 10 －6 ＝8. 【答案】 8
温馨提示： 由判定2可知，在等腰三角形中，只要有一个角 是60° ，不论这个角是顶角还是底角，这个三角形就 是等边三角形.
考点四 1．性质
直角三角形的性质和判定
(1)直角三角形的两个锐角互余； (2)在直角三角形中，如果有一个锐角等于30° ， 那么它所对的直角边等于斜边的一半； (3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； (4)勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和 等于斜边c的平方，即a2＋b2＝c2.
2 2 2 2
方法总结： 若已知三角形中的一个角为 90° ， 解这个直角三角 形首先应考虑勾股定理 . 证明一个三角形为直角三角 形，可证明一个内角等于 90° ，也可利用勾股定理的逆 定理.
考点五 作图：
线段垂直平分线的性质
例 5(2014· 河南)如图，在△ABC 中，按以下步骤
1 ①分别以点B，C为圆心，以大于 BC的长为半径 2 作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于 点D，连接CD. 若CD＝AC，∠B＝25° ，则∠ACB的 度数为________．
第18讲
等腰三角形与直角三角形
考点一
等腰三角形的概念及分类
1．有两边相等的三角形叫做等腰三角形；三条 边都相等的三角形叫做等边三角形． 2．等腰三角形分为：底和腰不相等的等腰三角 形和等边三角形．
温馨提示： 1.若题目中没有明确边是底还是腰，角没有明确 是顶角还是底角，就需要分类讨论. 2.等腰三角形的两腰必须满足两腰之和大于底， 底角α满足0° ＜α＜90° ，顶角β满足0° ＜β＜180° .
①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC. (1) 上 述 三 个 条 件 中 ， 由 哪 两 个 条 件 可 以 判 定 △ABC 是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形) (2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程． 【点拨】本题以开放题的形式考查等腰三角形的 判定．
解：(1)①②；①③ (2)选①②证明如下： 在△BOE 和△COD 中， ∠EBO＝∠DCO， ∠EOB＝∠DOC， BE＝CD， ∴△BOE≌△COD.
1．等腰三角形的底边长为 6，底边上的中线长为 4，它的腰长为( A．6 ) B．2 5 C. 7 D．5
解析：如图，在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC， AD 是 BC 上的中线，
1 ∴BD＝CD＝ BC＝3，AD 是 BC 上的高，∴AB 2 ＝ AD2＋BD2＝5，故它的腰长为 5.故选 D. 答案： D
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初中数学中考复习《等腰三角形与直角三角形》公开课教学PPT课件(终稿)
________．
当∠APB=90°时 C
P
2
60° O
A
2
B
2
典例精析
2.(2015江西)如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，
AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝
60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为
________．
当∠APB=90°时 C
2 60° O 2
A
60°
B
2
P
典例精析
2.(2015江西)如图，在△ABC中，AB＝BC＝4， AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝ 60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为
________． 当∠ABP=90°时 C
A
60° O
2 60°2
B
P
典例精析
3.（2018•阜新改编）如图，在等腰Rt△ABC中， ∠C=90°，AC=8，F是AB边上的任意一点。 （1）如图，将等腰Rt△ABC沿EF折叠，使点A落在BC
名称
性质
判定
1. 两锐角_互__余__；
1.有一个角是_直__角_；
2. 两条直角边的平方和等于 _斜__边_的平方.(勾股定理)
直 3. 30°角所对直角边等于
2.两锐角_互__余__； 3.如果一个三角形两边 的平方和等于第三边的
角 _斜__边__的一半 ；
平__方_，那么它是直角三角
三 4.直角三角形斜边上的中线等 形.(勾股定理的逆定理)
基础训练
方法指导 在等腰三角形中，要注意分情况讨论： （1）当已知等腰三角形的一个内角时，通常需要分这
个角是顶角或底角两种情况进行讨论． （2）当已知等腰三角形的两边时，要分其中一条边是
当∠APB=90°时 C
P
2
60° O
A
2
B
2
典例精析
2.(2015江西)如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，
AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝
60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为
________．
当∠APB=90°时 C
2 60° O 2
A
60°
B
2
P
典例精析
2.(2015江西)如图，在△ABC中，AB＝BC＝4， AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝ 60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为
________． 当∠ABP=90°时 C
A
60° O
2 60°2
B
P
典例精析
3.（2018•阜新改编）如图，在等腰Rt△ABC中， ∠C=90°，AC=8，F是AB边上的任意一点。 （1）如图，将等腰Rt△ABC沿EF折叠，使点A落在BC
名称
性质
判定
1. 两锐角_互__余__；
1.有一个角是_直__角_；
2. 两条直角边的平方和等于 _斜__边_的平方.(勾股定理)
直 3. 30°角所对直角边等于
2.两锐角_互__余__； 3.如果一个三角形两边 的平方和等于第三边的
角 _斜__边__的一半 ；
平__方_，那么它是直角三角
三 4.直角三角形斜边上的中线等 形.(勾股定理的逆定理)
基础训练
方法指导 在等腰三角形中，要注意分情况讨论： （1）当已知等腰三角形的一个内角时，通常需要分这
个角是顶角或底角两种情况进行讨论． （2）当已知等腰三角形的两边时，要分其中一条边是
【中考物理复习】《18. 第一部分 第18讲 等腰三角形、直角三角形》考点梳理PPT课件
(1)定义法:有两条边相等的三角形是等腰三角形.
判定 (2)等角对等边:有两个角相等的三角形是④ 等腰 三角形,其中,两个相
等的角所对的边⑤ 相等
面积
1
计算 S△ABC=2BC·AD
公式
第18讲 等腰三角形、直角三角形— 考点梳理
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2.等边三角形
定义
三边相等的三角形是等边三角形
如图.(1)等边三角形三边相等(即AB=BC=AC);
60°
(2)等边三角形的三个内角都相等,且每一个角都等于⑥
性质
(3)等边三角形的内心、外心重合;
(4)等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴
(1)三边都相等的三角形是等边三角形;
判定 (2)三个角都相等的三角形是等边三角形;
(3)有一个角是⑦ 60° 的等腰三角形是等边三角形
第四单元
三角形
第四单元
第18讲
三角形
等腰三角形、直角三角形
1
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数据聚焦
2
3
考点梳理
数据剖析
数据链接
题型突破
真题试做
第18讲 等腰三角形、直角三角形— 教材链接
1
数据聚焦
教材链接
人教：八上第十三章P75-P84.
冀教：八上第十七章P140-P158.
北师：八下第一章P2-P21.
考点梳理
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1.等腰三角形
定义 有两边相等的三角形是等腰三角形,相等的两边叫腰,另一边叫底
如图.(1)等腰三角形两腰相等(即AB=AC);
(2)等腰三角形是轴对称图形,有一条对称轴;
性质 (3)等腰三角形的两个底角① 相等 (即∠B=② ∠C
判定 (2)等角对等边:有两个角相等的三角形是④ 等腰 三角形,其中,两个相
等的角所对的边⑤ 相等
面积
1
计算 S△ABC=2BC·AD
公式
第18讲 等腰三角形、直角三角形— 考点梳理
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2.等边三角形
定义
三边相等的三角形是等边三角形
如图.(1)等边三角形三边相等(即AB=BC=AC);
60°
(2)等边三角形的三个内角都相等,且每一个角都等于⑥
性质
(3)等边三角形的内心、外心重合;
(4)等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴
(1)三边都相等的三角形是等边三角形;
判定 (2)三个角都相等的三角形是等边三角形;
(3)有一个角是⑦ 60° 的等腰三角形是等边三角形
第四单元
三角形
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三角形
等腰三角形、直角三角形
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第18讲 等腰三角形、直角三角形— 教材链接
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人教：八上第十三章P75-P84.
冀教：八上第十七章P140-P158.
北师：八下第一章P2-P21.
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1.等腰三角形
定义 有两边相等的三角形是等腰三角形,相等的两边叫腰,另一边叫底
如图.(1)等腰三角形两腰相等(即AB=AC);
(2)等腰三角形是轴对称图形,有一条对称轴;
性质 (3)等腰三角形的两个底角① 相等 (即∠B=② ∠C
中考数学(湘教版 全国通用)复习课件：第18课时 三角形与等腰三角形(共31张PPT)
性质
相等 ，并且每一个角都等于 等边三角形的各角都________ 60° ______ 3 条对称轴 等边三角形是轴对称图形，有______
判定
(1)三个角都相等的三角形是等边三角形 (2)有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形
考点聚焦
归类探究
回归教材
第18课时┃ 三角形与等腰三角形
考点8
两个部分组成 除公理以外，其他真命题的正确性都要经过推理的方
定理
证明 ．经过证明的真命 法证实，推理的过程称为________ 定理 题称为________
考点聚焦 归类探究 回归教材
第18课时┃ 三角形与等腰三角形
归 类 探 究
探究一 三角形三边的关系
命题角度： 1. 判断三条线段能否组成三角形； 2. 求字母的取值范围； 3. 三角形的稳定性．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第18课时┃ 三角形与等腰三角形
【方法点析】 涉及三角形三边的不等关系时，常常根据三边关系定理建 立不等式(组)， 通过解不等式(组)求出其中字母的取值范围或确 定构成三角形的个数．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第18课时┃ 三角形与等腰三角形
探究二 三角形的重要线段的应用
命题角度： 1. 三角形的中线、角平分线、高线； 2. 三角形的中位线．
的两边叫作腰，另外一边叫作底边． 等腰三角形的性质 定理：等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”)． 对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是
顶角平分线所在的直线 ______________________________ ．
三线合一：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直 于底边，即：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高互相重合．
广东省中考数学第4章三角形第18节等腰三角形、等边三角形、直角三角形复习课件
1.如图，在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，
∠ABC的平分线交AC于D，则图中共(zhōnɡ ɡònɡ)有
等
D
腰三角形（ ）
A．0个
B．1个
C2.．（22个016•淮安D）．已3知个一个等腰三角形的两边长分别
(fēnbié)为2和4，则该等腰三角形的周长是10____.
第四页，共38页。
课前预习
第十四页，共38页。
课堂精讲
Listen attentively
3．（2016•常州）如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE 是高，BD与CE相交于点O （1）求证(qiúzhèng)：OB=OC； （2）若∠ABC=50°， 求∠BOC的度数．
【分析】（1）首先(shǒuxiān)根据等腰三角 形的性质得到∠ABC=∠ACB，然后利用高线的定义得到 ∠ECB=∠DBC，从而得证； （2）首先(shǒuxiān)求出∠A的度数，进而求出∠BOC的 度数．
(2)性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的
两底角相等；即“等边对等角”；③等腰三角形的顶角
平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，即“三
线合一”．④等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，
对称轴是底边的垂直平分线 ．
(3)判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形；②
有两个角相等的三角形是等腰三角形，即“等角对等
第十五页，共38页。
课堂精讲
Listen attentively
【解答(jiědá)】（1）证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵BD、CE是△ABC的两条高线， ∴∠DBC=∠ECB， ∴OB=OC； （2）∵∠ABC=50°，AB=AC， ∴∠A=180°﹣2×50°=80°， ∴∠BOC=180°﹣80°=100°．
云南中考数学一轮复习第十八讲等腰三角形和直角三角形课件
问题 2 若△ ABC 的一边长为 3，周长为 12，则 AB＝__2__．
【满分技法】在已知等腰三角形的两边长求其周长或已知周长和一边长求等腰三角 形三边长时，需注意： (1)利用分类讨论思想列举出三角形的三边长； (2)利用三角形的三边关系检验是否能构成三角形．
问题 3 如图，AD 是∠BAC 的平分线，且△ ABC 的周长为 20，AD＝6.求△ ACD 的 周长．
问题 3 若 AD⊥BC，BC＝8，∠C＝30°时，BD＝_2__．
【提分要点】含 30°角的直角三角形的性质 (1)在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半； (2)三个角之比为 1∶2∶3； (3)三边之比为 1∶ 3 ∶2.
问题 4 当∠B＝45°，BC＝10 时，求 S△ ABC.
＝__3_6__度．
问题 8 如图，若 BD 是∠ABC 的平分线，交 AC 于点 D，∠A＝36°. 求证：△ BDC 是等腰三角形．
【证明】略 【提分要点】等腰三角形的判定方法
(1)证明三角形有两条边相等； (2)证明三角形有两个角相等(等角对等边).
线段垂直平分线的性质与判定 如图，在△ ABC 中，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，连接 AE.
若 BC＝6，AC＝5，则△ ACE 的周长为( B )
A．8 B．11 C．16 D．17
【变式】如图，∠AOB 内一点 P，P1，P2 分别是 P 关于 OA，OB 的对称点，P1P2 交
OA 于 M，交 OB 于 N，若 P1P2＝5 cm，则△ PMN 的周长是__5__cm.
【提分要点】 线段垂直平分线的性质与判定的应用 线段垂直平分线的性质与判定在几何证明中应用广泛．利用尺规作出线段垂直平分线 可用来作一条直线的垂线或找线段的中点等．
【满分技法】在已知等腰三角形的两边长求其周长或已知周长和一边长求等腰三角 形三边长时，需注意： (1)利用分类讨论思想列举出三角形的三边长； (2)利用三角形的三边关系检验是否能构成三角形．
问题 3 如图，AD 是∠BAC 的平分线，且△ ABC 的周长为 20，AD＝6.求△ ACD 的 周长．
问题 3 若 AD⊥BC，BC＝8，∠C＝30°时，BD＝_2__．
【提分要点】含 30°角的直角三角形的性质 (1)在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半； (2)三个角之比为 1∶2∶3； (3)三边之比为 1∶ 3 ∶2.
问题 4 当∠B＝45°，BC＝10 时，求 S△ ABC.
＝__3_6__度．
问题 8 如图，若 BD 是∠ABC 的平分线，交 AC 于点 D，∠A＝36°. 求证：△ BDC 是等腰三角形．
【证明】略 【提分要点】等腰三角形的判定方法
(1)证明三角形有两条边相等； (2)证明三角形有两个角相等(等角对等边).
线段垂直平分线的性质与判定 如图，在△ ABC 中，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，连接 AE.
若 BC＝6，AC＝5，则△ ACE 的周长为( B )
A．8 B．11 C．16 D．17
【变式】如图，∠AOB 内一点 P，P1，P2 分别是 P 关于 OA，OB 的对称点，P1P2 交
OA 于 M，交 OB 于 N，若 P1P2＝5 cm，则△ PMN 的周长是__5__cm.
【提分要点】 线段垂直平分线的性质与判定的应用 线段垂直平分线的性质与判定在几何证明中应用广泛．利用尺规作出线段垂直平分线 可用来作一条直线的垂线或找线段的中点等．
(中考全景透视)中考数学一轮复习 第18讲 等腰三角形与直角三角形课件
2．判定 (1)定义法； (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 所对的边也相等(简写成：等角对等边)．
温馨提示： 等腰三角形的判定定理，是证明两条线段相等的 重要定理，是把三角形中的角的相等关系转化为边的 相等关系的重要依据.
考点三 1．性质
等边三角形的性质和判定
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角 都等于 60° . 2．判定 (1)三个角都相等的三角形是等边三角形； (2)有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形．
①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC. (1) 上 述 三 个 条 件 中 ， 由 哪 两 个 条 件 可 以 判 定 △ABC 是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形) (2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程． 【点拨】本题以开放题的形式考查等腰三角形的 判定．
解：(1)①②；①③ (2)选①②证明如下： 在△BOE 和△COD 中， ∠EBO＝∠DCO， ∠EOB＝∠DOC， BE＝CD， ∴△BOE≌△COD.
考点一
等腰三角形的性质
例 1(2014· 南充)如图，在△ABC 中，AB＝AC，且 D 为 BC 上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B 的度数 为( )
A．30° C．40°
B．36° D．45°
【点拨】 ∵AB＝AC， CD＝AD， AB＝BD， ∴∠B＝∠C ＝∠CAD，∠BAD＝∠BDA.又∵∠BDA 是△ADC 的外角， ∴∠BDA＝∠C＋∠CAD＝2∠C.设∠B＝x° ，则∠BDA＝ ∠BAD＝2x° ，根据题意，得 x° ＋2x° ＋2x° ＝180° ，解得 x＝ 36，即∠B＝36° .故选 B. 【答案】 B
方法总结： 等腰三角形有两个性质：1“等边对等角”，利 用这个性质可以证明两个角相等，也可以计算角的大 小；2“三线合一”，利用这个性质可以证明线段相 等、角相等、一个角等于90° 、计算线段长度和角的 大小等.
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考点训练
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解析：∵∠BCD＝60°，∠BAD＝30°，∠B＝∠BCD －∠BAD＝30°，∴AC＝BC＝100 米．如图，过点 B 作 BE⊥AD 于点 E，在 Rt△BCE 中，∠BCE＝60°， ∴BE＝BC×sin 60°＝50 3(米)．故选 B.
答案： B
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8．(2014·临沂)如图，在某监测点 B 处望见一艘正
在作业的渔船在南偏西 15°方向的 A 处，若渔船沿北偏
西 75°方向以 40 海里/小时的速度航行，航行半小时后
到达 C 处，在 C 处观测到 B 在 C 的北偏东 60°方向上，
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解析：如图，过点 A 作 AD⊥BC，垂足为 D，在 Rt△ACD 中，∠ACD＝75°－30°＝45°，AC＝30×25 ＝ 750( 米 ) ， ∴AD ＝ AC·sin 45°＝ 375 2 ( 米 ) ． 在 Rt△ABD 中，∵∠B＝30°，∴AB＝2AD＝750 2(米)．
答案：750
2
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3．方向角 一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南 方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角(一般 指锐角)，通常表达为北(南)偏东(西)多少度．如图③， A 点位于 O 点的北偏东 60°方向．
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标杆在地面上的影长为 2 米，则树的高度为(