反比例函数与几何综合
中考反比例函数与几何综合
Oy xBAABxy O反比例函数与几何综合基本图形及常见结论 （1） 反比例函数)0(≠=k xky 图象上任一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴；所围k S =矩形（2）反比例函数)0(≠=k xky 图象上任一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴及原点连线；所围2k S =三角形（3）反比例函数与正比例函数图像交于A ，B 两点，AM 与x 轴垂直； 则：①A ，B 两点关于原点对称；②k S ABM =△（4）过反比例函数xk y 11=图像上任一点向坐标轴做垂线，与反比例函数)(2122k k xk y ＞=交于两点； 则：①BNBP AM AP =,即AB ∥MN②21k k S APNH -=矩形③）（△2121k k S OAP -=一次函数)0(≠+=kb b kx y 和反比例函数)0(≠=m xmy 图像交于A 、B 两点，AE ⊥x 轴，BF ⊥y 轴，则：①OAE OBF S S △△= ② OAB ABFE S S △梯形=③AC BD =④BFAEOE OF AE OE BF OF =⇒⋅=⋅ ⑤OACOBD S S △△=（一）巧用k 的几何意义解题y x ABO CDy xDC F EO B A例1．函数y=和y=在第一象限内的图象如图，点P 是y=的图象上一动点，PC ⊥x 轴于点C ，交y=的图象于点B ．给出如下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②PA 与PB 始终相等；③四边形PAOB 的面积大小不会发生变化；④CA=AP ．其中所有正确结论的序号是________。
迁移练习1（1）.如图，双曲线)0x (k>=xy 经过Rt △OAB 斜边OB 的中点D ，与AB 交于点C ．若△OBC 面积为3，则k ＝_______迁移练习1（2）..双曲线)0x (k>=xy 经过矩形OABC 边AB 的中点F ，交BC 于点E ； 若梯形OEBA 的面积为9，则k=________。
2024年中考数学一轮复习-反比例函数K值与几何面积综合(解析版)
反比例函数K 值与几何面积综合（1）反比例函数上任何一点与轴线围城的直角三角形面积都相等|k|/2；2OCF k S S S OBN OAM ===∆∆∆图中 221K K S S PAB OAB +==∆∆图中2k ===∆∆∆S S S CBD OBD PDB 图中（2）图像上任意两点与原点构成的三角形的面积等于直角梯形的面积；【真题演练】 1．（2023•福建）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y ＝和y ＝的图象的四个分支上，则实数n 的值为（ ）A ．﹣3B ．﹣C ．D ．3【答案】A【解答】解：连接正方形的对角线，由正方形的性质知对角线交于原点O，过点A，B分别作x轴的垂线．垂足分别为C、D，点B在函数y＝上，如图：∵四边形是正方形，∴AO＝BO，∠AOB＝∠BDO＝∠ACO＝90°，∴∠CAO＝90°﹣∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD（AAS），∴S△AOC＝S△OBD＝＝，∵点A在第二象限，∴n＝﹣3，故选：A．2．（2023•张家界）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且AD＝AB，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD，OM，DM．若△ODM的面积为3，则k的值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解答】解：解法一：∵四边形OCBA是矩形，∴AB＝OC，OA＝BC，设B点的坐标为（a，b），∵矩形OABC的对称中心M，∴延长OM恰好经过点B，M（，），∵点D在AB上，且AD＝AB，∴D（，b），∴BD＝a，∴S△BDM＝BD•h＝×a×（b﹣）＝ab，∵D在反比例函数的图象上，∴ab＝k，∵S△ODM＝S△AOB﹣S△AOD﹣S△BDM＝ab﹣k﹣ab＝3，∴ab＝16，∴k＝ab＝4，解法二：连接BM，因为点M是矩形的对称中心，∴三角形DMO的面积＝三角形DMB的面积，则三角形DBO的面积为6，∵AD＝1/4AB，∴AD：DB＝1：3，∴三角形ADO的面积：三角形DBO的面积为1：3，即三角形ADO的面积为2，∴K＝4．故选：C．3．（2023•黑龙江）如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y＝过A，B两点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D．若S△BCD＝12，则k的值是（）A．﹣6B．﹣12C．﹣D．﹣9【答案】C【解答】解：设BC与y轴的交点为F，B（b，），则A（﹣b，﹣），b＞0，由题意知，AO＝BO，即O是线段AB的中点，过A作AE⊥BC于点E，∵AC＝AB，AE⊥BC，∴BE＝CE，AE∥y轴，∴CF＝3BF＝3b，∴C（﹣3b，），∴D（﹣3b，），∴CD＝，BC＝4b，∴S△BCD＝，∴k＝﹣．故选：C．4．（2023•宜宾）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在y、x轴上，BC⊥x轴，点M、N分别在线段BC、AC上，BM＝CM，NC＝2AN，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过M、N两点，P为x轴正半轴上一点，且OP：BP＝1：4，△APN的面积为3，则k的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：如图，过点N作NQ⊥x轴于点Q，过C作CT⊥y轴交y轴于T，交NQ于K，设OA＝a，OP＝b，BM＝c，N（m，n），∵OP：BP＝1：4，BM＝CM，∴A（0，a），B（5b，0），M（5b，c），C（5b，2c），∵∠NCK＝∠ACT，∠NKC＝90°＝∠ATC，∴△NKC∽△ATC，∴＝＝，∵NC＝2AN，∴CK＝2TK，NK＝AT，∴，解得，∴，∴，，∴，∵△APN的面积为3，∴S梯形OANQ﹣S△AOP﹣S△NPQ＝3，∴，∴2ab+bc＝9，将点M（5b，c），代入得：，整理得：2a＝7c，将2a＝7c代入2ab+bc＝9得：7bc+bc＝9，∴，∴，故选：B．5．（2022•日照）如图，矩形OABC与反比例函数y1＝（k1是非零常数，x＞0）的图象交于点M，N，与反比例函数y2＝（k2是非零常数，x＞0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1﹣k2＝（）A．3B．﹣3C．D．【答案】B【解答】解：∵y1、y2的图象均在第一象限，∴k1＞0，k2＞0，∵点M、N均在反比例函数y1＝（k1是非零常数，x＞0）的图象上，∴S△OAM＝S△OCN＝k1，∵矩形OABC的顶点B在反比例函数y2＝（k2是非零常数，x＞0）的图象上，∴S矩形OABC＝k2，∴S四边形OMBN＝S矩形OABC﹣S△OAM﹣S△OCN＝3，∴k2﹣k1＝3，∴k1﹣k2＝﹣3，故选：B．6．（2022•郴州）如图，在函数y＝（x＞0）的图象上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数y＝﹣（x ＜0）的图象于点B，连接OA，OB，则△AOB的面积是（）A．3B．5C．6D．10【答案】B【解答】解：∵点A在函数y＝（x＞0）的图象上，∴S△AOC＝×2＝1，又∵点B在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，∴S△BOC＝×8＝4，∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝1+4＝5，故选：B．7．（2022•十堰）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝（k1＞0）和y＝（k2＞0）的图象上．若BD∥y轴，点D的横坐标为3，则k1+k2＝（）A．36B．18C．12D．9【答案】B【解答】解：连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝BE＝CE＝DE，设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（3，a），∵BD∥y轴，∴B（3，a+2m），A（3+m，a+m），∵A，B都在反比例函数y＝（k1＞0）的图象上，∴k1＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m），∵m≠0，∴m＝3﹣a，∴B（3，6﹣a），∵B（3，6﹣a）在反比例函数y＝（k1＞0）的图象上，D（3，a）在y＝（k2＞0）的图象上，∴k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a，∴k1+k2＝18﹣3a+3a＝18；故选：B．8．（2022•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数y＝的图象上，顶点A在反比例函数y＝的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（）A．2B．1C．﹣1D．﹣2【答案】D【解答】解：设B（a，），∵四边形OBAD是平行四边形，∴AB∥DO，∴A（，），∴AB＝a﹣，∵平行四边形OBAD的面积是5，∴（a﹣）＝5，解得k＝﹣2，故选：D．9．（2023•连云港）如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，顶点B、C在第一象限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D．若矩形OABC的面积是6，cos∠OAC＝，则k＝﹣．【答案】﹣．【解答】解：作AE⊥x轴于E，∵矩形OABC的面积是6，∴△AOC的面积是3，∵∠AOC＝90°，cos∠OAC＝，∴，∵对角线AC∥x轴，∴∠AOE＝∠OAC，∵∠OEA＝∠AOC＝90°，∴△OEA∽△AOC，∴，∴，∴S△OEA＝，∵S△OEA＝|k|，k＜0，∴k＝﹣．故答案为：﹣．10．（2023•枣庄）如图，在反比例函数（x＞0）的图象上有P1，P2，P3，…P2024等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…，S2023，则S1+S2+S3+…+S2023＝．【答案】．【解答】解：∵P1，P2，P3，...P2024的横坐标依次为1，2，3， (2024)∴阴影矩形的一边长都为1，将除第一个矩形外的所有矩形向左平移至y轴，∴S 1+S2+S3+…+S2023＝，把x＝2024代入关系式得，y＝，即OA＝，∴S矩形OABC＝OA•OC＝，由几何意义得，＝8，∴＝8﹣＝．故答案为：．11．（2023•朝阳）如图，点A是反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接P A，PB．若△ABP的面积等于3，则k的值为．【答案】6．【解答】解：设反比例函数的解析式为y＝，∵△AOB的面积＝△ABP的面积＝3，△AOB的面积＝|k|，∴|k|＝3，∴k＝±6；又∵反比例函数的图象的一支位于第一象限，∴k＞0．∴k＝6．故答案为：6．12．（2023•衢州）如图，点A，B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF，反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N．若OA＝2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为．【答案】见试题解答内容【解答】解：设OA＝4a，∵AO＝2AB，∴AB＝2a，∴OB＝AB+OA＝6a，则B（6a，0），由于在正方形ABEF中，AB＝BE＝2a，∵Q为BE中点，∴BQ＝AB＝a，∴Q（6a，a），∵Q在反比例函数y＝（k＞0））上，∴k＝6a×a＝6a2，∵四边形OACD是正方形，∴C（4a，4a），∵P在CD上，∴P点纵坐标为4a，∵P在反比例函数y＝（k＞0）上，∴P点横坐标为：x＝，∴P（，4a），∵作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N，∴四边形OMNH是矩形，∴NH＝，MH＝a，∴S矩形OMHN＝NH×MH＝×a＝6，则k＝24，故答案为：24．13．（2023•锦州）如图，在平面直角坐标系中，△AOC的边OA在y轴上，点C在第一象限内，点B为AC 的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过B，C两点．若△AOC的面积是6，则k的值为．【答案】4．【解答】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图：设点C的坐标为（a，b），点A的坐标为（0，c），∴CD＝a，OA＝c，∵△AOC的面积是6，∴，∴ac＝12，∵点C（a，b）在反比例函数（x＞0）的图象上，∴k＝ab，∵点B为AC的中点，∴点，∵点B在反比例函数（x＞0）的图象上，∴，即：4k＝a（b+c），∴4k＝ab+ac，将ab＝k，ac＝12代入上式得：k＝4．故答案为：4．14．（2023•黄石）如图，点A（a，）和B（b，）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，其中a＞b＞0．过点A作AC⊥x轴于点C，则△AOC的面积为；若△AOB的面积为，则＝．【答案】，2．【解答】解：因为点A（a，）在反比例函数y＝的图象上，则，又a＞0，解得k＝5．根据k的几何意义可知，．过点B作x轴的垂线，垂足为D，则S△OBD+S梯形ACDB＝S△AOC+S△AOB，又根据k的几何意义可知，S△OBD＝S△AOC，则S梯形ACDB＝S△AOB．又△AOB的面积为，且A（a，），B（b，），所以，即．解得．又a＞b＞0，所以．故答案为：，2．15．（2023•辽宁）如图，矩形ABCD的边AB平行于x轴，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，D，对角线CA的延长线经过原点O，且AC＝2AO，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为6．【答案】6．【解答】解：如图，延长CD交y轴于E，连接OD，∵矩形ABCD的面积是8，∴S△ADC＝4，∵AC＝2AO，∴S△ADO＝2，∵AD∥OE，∴△ACD∽△OCE，∴AD：OE＝AC：OC＝2：3，∴S△ODE＝3，由几何意义得，＝3，∵k＞0，∴k＝6，故答案为：6．16．（2023•绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数（k为大于0的常数，x＞0）图象上的两点A （x1，y1），B（x2，y2），满足x2＝2x1，△ABC的边AC∥x轴，边BC∥y轴，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是．【答案】2．【解答】解：如图，延长CA交y轴于E，延长CB交x轴于点F，∴CE⊥y轴，CF⊥x轴，∴四边形OECF为矩形，∵x2＝2x1，∴点A为CE的中点，由几何意义得，S△OAE＝S△OBF，∴点B为CF的中点，∴S△OAB＝S矩形OECF＝6，∴S矩形OECF＝16，∴S△ABC＝×16＝2．故答案为：2．217．（2022•烟台）如图，A，B是双曲线y＝（x＞0）上的两点，连接OA，OB．过点A作AC⊥x轴于点C，交OB于点D．若D为AC的中点，△AOD的面积为3，点B的坐标为（m，2），则m的值为．【答案】见试题解答内容【解答】解：因为D为AC的中点，△AOD的面积为3，所以△AOC的面积为6，所以k＝12＝2m．解得：m＝6．故答案为：6．18．（2022•黄石）如图，反比例函数y＝的图象经过矩形ABCD对角线的交点E和点A，点B、C在x轴上，△OCE的面积为6，则k＝．【答案】8．【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于H，设点A（a，），C（c，0），∵点E是矩形ABCD的对角线的交点，∴E（，），∵点E在反比例函数y＝的图象上，∴＝k，∴c＝3a，∵△OCE的面积为6，∴OC•EH＝c•＝×3a•＝6，∴k＝8，故答案为：8．19．（2022•衢州）如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE＝CE，CD＝2BD，S△ABC＝6，则k＝．【答案】．【解答】解：如图，作CM⊥AB于点M，DN⊥AB于点N，设C（m，），则OM＝m，CM＝，∵OE∥CM，AE＝CE，∴＝＝1，∴AO＝m，∵DN∥CM，CD＝2BD，∴＝＝＝，∴DN＝，∴D的纵坐标为，∴＝，∴x＝3m，即ON＝3m，∴MN＝2m，∴BN＝m，∴AB＝5m，∵S△ABC＝6，∴5m•＝6，∴k＝．故答案为：．20．（2022•宜宾）如图，△OMN是边长为10的等边三角形，反比例函数y＝（x＞0）的图象与边MN、OM分别交于点A、B（点B不与点M重合）．若AB⊥OM于点B，则k的值为．【答案】9．【解答】解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，如图，∵△OMN是边长为10的等边三角形，∴OM＝ON＝MN＝10，∠MON＝∠M＝∠MNO＝60°设OC＝b，则BC＝，OB＝2b，∴BM＝OM﹣OB＝10﹣2b，B（b，b），∵∠M＝60°，AB⊥OM，∴AM＝2BM＝20﹣4b，∴AN＝MN﹣AM＝10﹣（20﹣4b）＝4b﹣10，∵∠AND＝60°，∴DN＝＝2b﹣5，AD＝AN＝2b﹣5，∴OD＝ON﹣DN＝15﹣2b，∴A（15﹣2b，2b﹣5），∵A、B两点都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝（15﹣2b）（2b﹣5）＝b•b，解得b＝3或5，当b＝5时，OB＝2b＝10，此时B与M重合，不符题意，舍去，∴b＝3，∴k＝b•b＝9，故答案为：9．21．（2022•鄂尔多斯）如图，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，E、F分别是边AB、OA上的点，且∠ECF＝45°，将△ECF沿着CF翻折，点E落在x轴上的点D处．已知反比例函数y1＝和y2＝分别经过点B、点E，若S△COD＝5，则k1﹣k2＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：作EH⊥y轴于点H，则四边形BCHE、AEHO都为矩形，∵∠ECF＝45°，∴∠OCD+∠OCF＝45°，∵∠DOC+∠OCF＝45°，∴∠BCE＝∠OCD，∵BC＝OC，∠B＝∠COD，∴△BCE≌△OCD（ASA），∴S△BCE＝S△COD＝5，∴S△CEH＝5，S矩形BCHE＝10，∴根据反比例函数系数k的几何意义得：k1﹣k2＝S矩形BCHE＝10，故答案为：10．22．（2022•东营）如图，△OAB是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则经过点A的函数图象表达式为．【答案】y＝﹣．【解答】解：如图，作AD⊥x轴于D，BC⊥x轴于C，∴∠ADO＝∠BCO＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠AOD+∠BOC＝90°，∴∠AOD+∠DAO＝90°，∴∠BOC＝∠DAO，∵OB＝OA，∴△BOC≌△OAD（AAS），∵点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴S△OBC＝，∴S△OAD＝，∴k＝﹣1，∴经过点A的反比例函数解析式为y＝﹣．故答案为：y＝﹣．23．（2022•绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE 位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y＝（k≠0）的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是．【答案】6．【解答】解：过点F作FG⊥x轴于点G，FH⊥y轴于点H，过点D作DQ⊥x轴于点Q，如图所示，根据题意可知，AC＝OE＝BD，设AC＝OE＝BD＝a，∴四边形ACEO的面积为4a，∵F为DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，∴FG为△EDQ的中位线，∴FG＝DQ＝2，EG＝EQ＝，∴四边形HFGO的面积为2（a+），∴k＝4a＝2（a+），解得：a＝，∴k＝6．故答案为：6．24．（2022•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点O与原点重合，点A在第一象限，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D，连接CD．若△ACD的面积是1，则k的值是．【答案】．【解答】解：连接OD，过C作CE∥AB，交x轴于E，∵∠ABO＝90°，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C，∴S△COE＝S△BOD＝k，S△ACD＝S△OCD＝1，∵CE∥AB，∴△OCE∽△OAB，∴△OCE与△OAB得到面积比为1：4，∴4S△OCE＝S△OAB，∴4×k＝1+1+k，∴k＝．故答案为：．。
(江西人教)数学中考专题突破【专题4】反比例函数与几何图形综合题(20页)
本的途径，预计2015年仍会延续此命题方式．
考点探究
专题四
反比例函数与几何图形综合题
考向互动探究
【点拨交流】
1．本题考查了哪些知识？解题的关键是什么？
2．∠BCO与∠BPD有怎样的数量关系？
3．tan∠BCO的值是多少？怎样求线段OC的长？
4．要求点D的坐标，需要求出哪两条线段的长？怎样求？
5．怎样确定反比例函数的解析式？
考点探究
专题四
反比例函数与几何图形综合题
【解题思路】
考点探究
专题四
反比例函数与几何图形综合题
例 1 [2014·南昌] 如图 T4－1，在平面直角坐标系中，Rt△ 1 PBD 的斜边 PB 落在 y 轴上，tan∠BPD＝ .延长 BD 交 x 轴于点 C， 2 过点 D 作 DA⊥x 轴，垂足为 A，OA＝4，OB＝3. (1)求点 C 的坐标； k (2)若点 D 在反比例函数 y＝ (k＞0)的图象上，求反比例函数 x 的解析式．考点探究专题四来自反比例函数与几何图形综合题
图T4－3
考点探究
专题四
反比例函数与几何图形综合题
解：(1)过点 C 作 CE⊥AB 于点 E. ∵四边形 ABCD 是梯形，AD＝BC ∴DO＝CE， ∴△AOD≌△BEC，∴AO＝BE＝2. ∵BO＝6，∴DC＝OE＝4， ∴C(4，3)． k 设反比例函数的解析式为 y＝ (k≠0)， x k 根据题意，得 3＝ ， 4
【点拨交流】
1．本题考查了哪些知识？
2．B，C，D三点的坐标可以看作由点A(2，6)通过怎样的平
移得到？
3．在将矩形向下平移的过程中，哪两点能同时落在函数图 象上？ 4．将矩形向下平移 a个单位后点A，C对应的点A′，C′的 坐标怎样表示？
反比例函数与几何的综合应用及答案
专训1 反比例函数与几何的综合应用名师点金：解反比例函数与几何图形的综合题,一般先设出几何图形中的未知数,然后结合函数的图象用含未知数的式子表示出几何图形与图象的交点坐标,再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的方程组,解方程组即可得所求几何图形中的未知量或函数解析式中待定字母的值．反比例函数与三角形的综合1．如图,一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝x 6x>0的图象交于Am,6,B3,n 两点． 1求一次函数的解析式；2根据图象直接写出使kx ＋b<x 6成立的x 的取值范围； 3求△AOB 的面积．第1题2．如图,点A,B 分别在x 轴、y 轴上,点D 在第一象限内,DC ⊥x 轴于点C,AO ＝CD ＝2,AB ＝DA＝,反比例函数y ＝x kk ＞0的图象过CD 的中点E.1求证：△AOB ≌△DCA ； 2求k 的值；3△BFG 和△DCA 关于某点成中心对称,其中点F 在y 轴上,试判断点G 是否在反比例函数的图象上,并说明理由．第2题反比例函数与四边形的综合反比例函数与平行四边形的综合3．如图,过反比例函数y ＝x 6x ＞0的图象上一点A 作x 轴的平行线,交双曲线y ＝－x 3x ＜0于点B,过B 作BC ∥OA 交双曲线y ＝－x 3x ＜0于点D,交x 轴于点C,连接AD 交y 轴于点E,若OC ＝3,求OE 的长．第3题反比例函数与矩形的综合4．如图,矩形OABC 的顶点A,C 的坐标分别是4,0和0,2,反比例函数y ＝x kx>0的图象过对角线的交点P 并且与AB,第4题BC 分别交于D,E 两点,连接OD,OE,DE,则△ODE 的面积为________．5．如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC 的对角线OB,AC 相交于点D,且BE ∥AC,AE ∥OB. 1求证：四边形AEBD 是菱形；2如果OA ＝3,OC ＝2,求出经过点E 的双曲线对应的函数解析式．第5题反比例函数与菱形的综合6．如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD 在第一象限内,边BC 与x 轴平行,A,B 两点的纵坐标分别为3,1,反比例函数y ＝x 3的图象第6题经过A,B 两点,则菱形ABCD 的面积为A ．2B ．4C ．2D ．47．如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD 的顶点C 与原点O 重合,点B 在y 轴的正半轴上,点A 在反比例函数y ＝x kk>0,x>0的图象上,点D 的坐标为4,3．1求k 的值；2若将菱形ABCD 沿x 轴正方向平移,当菱形的顶点D 落在反比例函数y ＝x kk>0,x>0的图象上时,求菱形ABCD 沿x 轴正方向平移的距离．第7题反比例函数与正方形的综合8．如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,正方形OABC 的边OA,OC 分别在x 轴,y 轴上,点B 的坐标为2,2,反比例函数y ＝x kx ＞0,k ≠0的图象经过线段BC 的中点D1求k 的值；2若点Px,y 在该反比例函数的图象上运动不与点D 重合,过点P 作PR ⊥y 轴于点R,作PQ ⊥BC 所在直线于点Q,记四边形CQPR 的面积为S,求S 关于x 的函数解析式并写出x 的取值范围．第8题反比例函数与圆的综合第9题9．如图,双曲线y ＝x kk>0与⊙O 在第一象限内交于P,Q 两点,分别过P,Q 两点向x 轴和y 轴作垂线,已知点P 的坐标为1,3,则图中阴影部分的面积为________．10．如图,反比例函数y ＝x kk ＜0的图象与⊙O 相交．某同学在⊙O 内做随机扎针试验,求针头落在阴影区域内的概率．第10题专训2 全章热门考点整合应用名师点金：反比例函数及其图象、性质是历年来中考的热点,既有与本学科知识的综合,也有与其他学科知识的综合,题型既有选择、填空,也有解答类型．其热门考点可概括为：1个概念,2个方法,2个应用及1个技巧．1个概念：反比例函数的概念1．若y ＝m －1x |m|－2是反比例函数,则m 的取值为A ．1B ．－1C ．±1D ．任意实数2．某学校到县城的路程为 5 km ,一同学骑车从学校到县城的平均速度v km /h 与所用时间t h 之间的函数解析式是A ．v ＝5tB ．v ＝t ＋5C ．v ＝t 5D ．v ＝5t3．判断下面哪些式子表示y 是x 的反比例函数：①xy ＝－31；②y ＝5－x ；③y ＝5x －2；④y ＝x 2aa 为常数且a ≠0． 其中________是反比例函数．填序号 2个方法：画反比例函数图象的方法 4．已知y 与x 的部分取值如下表：1试猜想y 与x 的函数关系可能是你学过的哪类函数,并写出这个函数的解析式； 2画出这个函数的图象． 求反比例函数解析式的方法5．已知反比例函数y ＝x k的图象与一次函数y ＝x ＋b 的图象在第一象限内相交于点A1,－k ＋4．试确定这两个函数的解析式．6．如图,已知A －4,n,B2,－4是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝x m的图象的两个交点．求：1反比例函数和一次函数的解析式；2直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积； 3方程kx ＋b －x m＝0的解请直接写出答案；4不等式kx ＋b －x m <0的解集请直接写出答案．第6题2个应用反比例函数图象和性质的应用7．画出反比例函数y ＝x 6的图象,并根据图象回答问题： 1根据图象指出当y ＝－2时x 的值；2根据图象指出当－2<x<1且x ≠0时y 的取值范围； 3根据图象指出当－3<y<2且y ≠0时x 的取值范围． 反比例函数的实际应用8．某厂仓库储存了部分原料,按原计划每小时消耗2吨,可用60小时．由于技术革新,实际生产能力有所提高,即每小时消耗的原料量大于计划消耗的原料量．设现在每小时消耗原料x 单位：吨,库存的原料可使用的时间为y 单位：小时．1写出y 关于x 的函数解析式,并求出自变量的取值范围．2若恰好经过24小时才有新的原料进厂,为了使机器不停止运转,则x 应控制在什么范围内1个技巧：用k 的几何性质巧求图形的面积9．如图,A,B 是双曲线y ＝x k k ≠0上的两点,过A 点作AC ⊥x 轴,交OB 于D 点,垂足为C.若△ADO 的面积为1,D 为OB 的中点,则k 的值为A .34B .38C ．3D ．4第9题第10题10．如图,过x 轴正半轴上的任意一点P 作y 轴的平行线交反比例函数y ＝x 2和y ＝－x 4的图象于A,B 两点,C 是y 轴上任意一点,则△ABC 的面积为________．11．如图是函数y ＝x 3与函数y ＝x 6在第一象限内的图象,点P 是y ＝x 6的图象上一动点,PA ⊥x 轴于点A,交y ＝x 3的图象于点C,PB ⊥y 轴于点B,交y ＝x 3的图象于点D.1求证：D 是BP 的中点； 2求四边形ODPC 的面积．第11题答案1．解：1∵Am,6,B3,n 两点在反比例函数y ＝x 6x>0的图象上, ∴m ＝1,n ＝2,即 A1,6,B3,2．又∵A1,6,B3,2在一次函数y ＝kx ＋b 的图象上,∴2＝3k ＋b ，6＝k ＋b ，解得b ＝8，k ＝－2，即一次函数解析式为y ＝－2x ＋8.第1题2根据图象可知使kx ＋b<x 6成立的x 的取值范围是0<x<1或x>3.3如图,分别过点A,B 作AE ⊥x 轴,BC ⊥x 轴,垂足分别为E,C,设直线AB 交x 轴于D 点．令－2x ＋8＝0,得x ＝4,即D4,0．∵A1,6,B3,2,∴AE ＝6,BC ＝2.∴S △AOB ＝S △AOD －S △ODB ＝21×4×6－21×4×2＝8.2．1证明：∵点A,B 分别在x 轴,y 轴上,点D 在第一象限内,DC ⊥x 轴于点C,∴∠AOB ＝∠DCA ＝90°.在Rt △AOB 和Rt △DCA 中,∵AB ＝DA ，AO ＝DC ，∴Rt △AOB ≌Rt △DCA. 2解：在Rt △ACD 中,∵CD ＝2,DA ＝,∴AC ＝＝1.∴OC ＝OA ＋AC ＝2＋1＝3.∴D 点坐标为3,2．∵点E 为CD 的中点,∴点E 的坐标为3,1．∴k ＝3×1＝3.3解：点G 在反比例函数的图象上．理由如下：∵△BFG 和△DCA 关于某点成中心对称,∴△BFG ≌△DCA.∴FG ＝CA ＝1,BF ＝DC ＝2,∠BFG ＝∠DCA ＝90°.∵OB ＝AC ＝1,∴OF ＝OB ＋BF ＝1＋2＝3.∴G 点坐标为1,3．∵1×3＝3,∴点G1,3在反比例函数的图象上．3．解：∵BC ∥OA,AB ∥x 轴,∴四边形ABCO 为平行四边形．∴AB ＝OC ＝3.设A a 6,则B a 6,∴a －3·a 6＝－3.∴a ＝2. ∴A2,3,B －1,3．∵OC ＝3,C 在x 轴负半轴上,∴C －3,0,设直线BC 对应的函数解析式为y ＝kx ＋b, 则－k ＋b ＝3，－3k ＋b ＝0，解得.9∴直线BC 对应的函数解析式为y ＝23x ＋29.解方程组，3得y1＝3，x1＝－1，.3∴D 23.设直线AD 对应的函数解析式为y ＝mx ＋n, 则，3解得.9∴直线AD 对应的函数解析式为y ＝83x ＋49. ∴E 49.∴OE ＝49.4.415点拨：因为C0,2,A4,0,由矩形的性质可得P2,1,把P 点坐标代入反比例函数解析式可得k ＝2,所以反比例函数解析式为y ＝x 2.因为D 点的横坐标为4,所以AD ＝42＝21.因为点E 的纵坐标为2,所以2＝CE 2,所以CE ＝1,则BE ＝3.所以S △ODE ＝S 矩形OABC －S △OCE －S △BED －S △OAD ＝8－1－49－1＝415.5．1证明：∵BE ∥AC,AE ∥OB, ∴四边形AEBD 是平行四边形．∵四边形OABC 是矩形,∴DA ＝21AC,DB ＝21OB,AC ＝OB. ∴DA ＝DB.∴四边形AEBD 是菱形．2解：如图,连接DE,交AB 于F,∵四边形AEBD 是菱形,∴DF ＝EF ＝21OA ＝23,AF ＝21AB ＝1.∴E ，19.设所求反比例函数解析式为y ＝x k ,把点E ，19的坐标代入得1＝29,解得k ＝29.∴所求反比例函数解析式为y ＝2x 9.第5题第7题6．D 7．解：1如图,过点D 作x 轴的垂线,垂足为F.∵点D 的坐标为4,3,∴OF ＝4,DF ＝3.∴OD ＝5.∴AD ＝5.∴点A 的坐标为4,8．∴k ＝xy ＝4×8＝32.2将菱形ABCD 沿x 轴正方向平移,使得点D 落在函数y ＝x 32x>0的图象上点D ′处,过点D ′作x 轴的垂线,垂足为F ′.∵DF ＝3,∴D ′F ′＝3.∴点D ′的纵坐标为3.∵点D ′在y ＝x 32的图象上,∴3＝x 32,解得x ＝332,即OF ′＝332.∴FF ′＝332－4＝320.∴菱形ABCD 沿x 轴正方向平移的距离为320.8．解：1∵正方形OABC 的边OA,OC 分别在x 轴,y 轴上,点B 的坐标为2,2,∴C0,2．∵D 是BC 的中点,∴D1,2．∵反比例函数y ＝x k x ＞0,k ≠0的图象经过点D,∴k ＝2.2当P 在直线BC 的上方,即0＜x ＜1时,∵点Px,y 在该反比例函数的图象上运动,∴y ＝x 2.∴S 四边形CQPR ＝CQ ·PQ ＝x ·－22＝2－2x ；当P 在直线BC 的下方,即x ＞1时,同理求出S 四边形CQPR ＝CQ ·PQ ＝x ·x 2＝2x －2,综上,S ＝2－2x （0＜x ＜1）.2x －2（x ＞1），9．410．解：∵反比例函数的图象关于原点对称,圆也关于原点对称,故阴影部分的面积占⊙O 面积的41,则针头落在阴影区域内的概率为41.1．B 3．①③④4．解：1反比例函数：y ＝－x 6.2如图所示．第4题 5．解：∵反比例函数y ＝x k 的图象经过点A1,－k ＋4,∴－k ＋4＝1k ,即－k ＋4＝k,∴k ＝2,∴A1,2．∵一次函数y ＝x ＋b 的图象经过点A1,2,∴2＝1＋b,∴b ＝1.∴反比例函数的解析式为y ＝x 2,一次函数的解析式为y ＝x ＋1.6．解：1将B2,－4的坐标代入y ＝x m ,得－4＝2m ,解得m ＝－8.∴反比例函数的解析式为y ＝x －8.∵点A －4,n 在双曲线y ＝x －8上,∴n ＝2.∴A －4,2．把A －4,2,B2,－4的坐标分别代入y ＝kx ＋b,得2k ＋b ＝－4，－4k ＋b ＝2，解得b ＝－2.k ＝－1，∴一次函数的解析式为y ＝－x －2.2令y ＝0,则－x －2＝0,x ＝－2.∴C －2,0．∴OC ＝2.∴S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝21×2×2＋21×2×4＝6.3x 1＝－4,x 2＝2.4－4<x<0或x>2.7．解：如图,由观察可知：1当y ＝－2时,x ＝－3；2当－2<x<1且x ≠0时,y<－3或y>6；3当－3<y<2且y ≠0时,x<－2或x>3.第7题点拨：解决问题时,画出函数图象．由图象观察得知结果．由图象解决相关问题,一定要注意数形结合,学会看图．8．解：1库存原料为2×60＝120吨,根据题意可知y 关于x 的函数解析式为y ＝x 120.由于生产能力提高,每小时消耗的原料量大于计划消耗的原料量,所以自变量的取值范围是x>2.2根据题意,得y ≥24,所以x 120≥24.解不等式,得x ≤5,即每小时消耗的原料量应控制在大于2吨且不大于5吨的范围内．点拨：1由“每小时消耗的原料量×可使用的时间＝原料总量”可得y 关于x 的函数解析式．2要使机器不停止运转,需y ≥24,解不等式即可．第9题9．B 点拨：如图,过点B 作BE ⊥x 轴于点E,∵D 为OB 的中点,∴CD 是△OBE 的中位线,则CD ＝21BE.设A x k ,则B 2x k ,CD ＝4x k ,AD ＝x k －4x k .∵△ADO 的面积为1,∴21AD ·OC ＝1,即214x k ·x ＝1.解得k ＝38.10．311．1证明：∵点P 在双曲线y ＝x 6上,∴设P 点坐标为，m 6.∵点D 在双曲线y ＝x 3上,BP ∥x 轴,D 在BP 上,∴D 点坐标为，m 3.∴BD ＝m 3,BP ＝m 6,故D 是BP 的中点．2解：由题意可知S △BOD ＝23,S △AOC ＝23,S 四边形OBPA ＝6.∴S 四边形ODPC ＝S 四边形OBPA －S △BOD －S △AOC ＝6－23－23＝3.。
专题九-反比例函数与几何的综合应用
在物理学中，一些物理量之间可能存在反比例关系，如电阻与电流、压力与面积等。通过运用反 比例函数的性质，可以更好地理解和解决这些物理问题。
反比例函数在经济学中的应用
在经济学中，一些经济指标之间可能存在反比例关系，如价格与需求量、成本与产量等。通过运 用反比例函数的性质，可以对这些经济指标进行更准确的预测和分析。
如长度、面积等。
利用反比例函数性质建立关系
02
根据反比例函数的性质，结合几何图形的特点，建立所求最值
与相关量之间的关系。
求解最值
03
通过求解反比例函数的最值，得到所求几何量的最值。
判定存在性问题
根据题意列出方程或不等式
01
根据题目条件，列出与几何图形相关的方程或不等式
。
利用反比例函数性质分析解的情况
反比例关系在圆中的应用
在圆中，当一个圆的半径增加时，其 面积会按平方比例增加，但其周长只 会按线性比例增加。这种关系虽然不 是严格的反比例关系，但也可以用于 解决一些与圆相关的问题。
解题技巧与实例分析
通过利用圆的性质和上述关系， 可以求解一些与圆相关的问题。 例如，已知一个圆的半径和另一 个圆的面积或周长，可以求解未 知圆的半径或面积等。
仔细阅读题目要求，明确题意 ，避免答非所问。
合理安排答题顺序
先做易做的题目，确保会做的 题目不丢分，再攻克难题。
控制答题时间
每道题目分配合理的时间，避 免时间不够用或浪费过多时间
。
检查答案
做完题目后要认真检查答案， 确保没有遗漏或错误。
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解题技巧与实例分析
对于其他几何图形中的反比例关系问题，可以通过设定未知数、利用几何图形的性质和反比例关系来求解。 需要注意的是，在解题过程中要仔细分析题目条件和数据特点，选择合适的解题方法和思路。
专题：反比例函数与几何图形结合
专题4：反比例函数与几何图形结合方法点睛反比例函数与几何图形结合常涉及以下几个方面：1．求反比例函数与一次函数的解析式：(1)找到或求出反比例函数图象上一点的坐标，利用待定系数法求解；(2)找到或求出一次函数图象上两点的坐标，再利用待定系数法求解．注：当已知一次函数与反比例数函数图象上的一个交点A的坐标及交点B的横(纵)坐标，确定两个函数的解析式时，先利用点A的坐标求得反比例函数解析式，再由反比例函数解析式求得点B的坐标，再利用A，B两点的坐标确定一次函数解析式．2、(1)给出图形面积求点的坐标：根据解析式用只含一个参数的代数式表示该点的坐标，列出关于该图形面积的等式进行求解．(2)点的存在性问题：涉及线段和面积的关系，图形的判定等，对这类题应观察图形，结合问题，建立数学模型，按照题意列出等量关系式进行求解．典例分析例1：（2022达州中考）如图，一次函数1y x =+与反比例函数k y x=的图象相交于(,2)A m ，B 两点，分别连接OA ，OB ．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）求AOB 的面积；（3）在平面内是否存在一点P ，使以点O ，B ，A ，P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P专题过关1.（2022西宁中考）如图，正比例函数4y x =与反比例函数()0k y x x=>的图象交于点(),4A a ，点B 在反比例函数图象上，连接AB ，过点B 作BC x ⊥轴于点()2,0C ．（1）求反比例函数解析式；（2）点D 在第一象限，且以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出．．．．点D 的坐标．2.（2022绵阳中考）如图，一次函数1y k x b =+与反比例函数2k y x=在第一象限交于(2,8)M 、N 两点，NA 垂直x 轴于点A ，O 为坐标原点，四边形OANM 的面积为38．（1）求反比例函数及一次函数的解析式；（2）点P 是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使PMN 的面积最小时点P 的位置（不需证明），并求出点P 的坐标和PMN3.（2022眉山中考）已知直线y x =与反比例函数k y x=的图象在第一象限交于点(2,)M a ．（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，将直线y x =向上平移b 个单位后与k y x=的图象交于点(1,)A m 和点(,1)B n -，求b 的值；（3）在（2）的条件下，设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点C ，D ，求证：AOD BOC ≌△△．4.（2022衡阳中考）如图，反比例函数myx=的图象与一次函数y kx b=+的图象相交于()3,1A，()1,B n-两点．（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）设直线AB交y轴于点C，点M，N分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形OCNM是平行四边形，求点M的坐标．A，B两点．5.（2022常德中考）如图，已知正比例函数1y x=与反比例函数2y的图象交于()2,2y y<时x的取值范围；（1）求2y的解析式并直接写出12（2）以AB为一条对角线作菱形，它的周长为，在此菱形的四条边中任选一条，求其所在直线的解析式．6.（2022绥化中考）在平面直角坐标系中，已知一次函数11y k x b =+与坐标轴分别交于()5,0A ，50,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭两点，且与反比例函数22k y x =的图象在第一象限内交于P ，K 两点，连接OP ，OAP △的面积为54．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）当21y y >时，求x 的取值范围；（3）若C 为线段OA 上的一个动点，当PC KC +最小时，求PKC 的面积．7.（2022大庆中考）已知反比例函数k y x =和一次函数1y x =-，其中一次函数图象过(3,)a b ，31,3k a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭两点．（1）求反比例函数的关系式；（2）如图，函数1,33y x y x ==的图象分别与函数(0)k y x x =>图象交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在点P ，使得ABP △周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．8.（2022湘潭中考）已知()3,0A 、()0,4B 是平面直角坐标系中两点，连接AB ．（1）如图①，点P 在线段AB 上，以点P 为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点P 的反比例函数表达式；（2）如图②，点N 是线段OB 上一点，连接AN ，将AON 沿AN 翻折，使得点O 与线段AB 上的点M 重合，求经过A 、N 两点的一次函数表达式．9.（2022成都中考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数26y x =-+的图象与反比例函数ky x=的图象相交于(),4A a ，B 两点．（1）求反比例函数的表达式及点B 的坐标；（2）过点A 作直线AC ，交反比例函数图象于另一点C ，连接BC ，当线段AC 被y 轴分成长度比为1:2的两部分时，求BC 的长；（3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设P 是第三象限内的反比例函数图象上一点，ABPQ 是完美筝形时，求P ，Q 两点的坐标．10.（2022河南西华二模）如图，反比例函数(0)my x x=>的图象与一次函数y kx b =+的图象交于(14)B ，和(1)C n ，两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出不等式(0)mkx b x x+> 的解集；（3）将直线BC 向下平移5个单位长度得到直线l ，已知点P ，Q 分别为x 轴、直线l 上的动点，当PC PQ +的值最小时，请直接写出点P 的坐标．11.（2022河南西华一模）在平面直角坐标系xOy 中，函数()0ky x x=>的图象经过点()2,3A ，()6,B a ，直线l ：y ＝mx ＋n 经过A ，B 两点，直线l 分别交x 轴，y 轴于D ，C 两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）在y 轴上是否存在一点E ，使得以A ，C ，E 为顶点的三角形与△CDO 相似？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．12.（2022河南长垣一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y x =与反比例函数1y x=（x ＞0）的图象交于点A ，将直线y x =沿y 轴向上平移k 个单位长度，交y 轴于点B ，交反比例函数图象于点C ，且13BC OA =．AD ⊥y 轴于点D 、CE ⊥y 于点E ．（1）求证：△BCE ∽△OAD ；（2）求点A 和点C 的坐标；（3）求k 值．13.（2022河南虞城二模）如图，点A 为直线y ＝3x 上位于第一象限的一个动点，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，将点B 向右平移2个单位长度到点C ，以AB ，BC 为边构造矩形ABCD ，经过点A 的反比例函数()0ky x x=>的图象交CD 于点M ．（1）若B(1，0)，求点M 的坐标；（2）连接AM ，当AM ⊥OA 时，求点A 的坐标．14.（2022河南商城二模）如图，一次函数2y x =与反比例函数(0)ky k x=>的图象交于点A ，B ，点P 在以点(2,0)C -为圆心，1为半径的C 上，Q 是AP 的中点，OQ 长的最大值为32时．（1）试确定反比例函数ky x=的表达式．（2）C 与x 轴在点C 的左侧交于点M ，请直接写出劣弧MP 的长是___________．（sin 310.52︒≈，sin 400.64︒≈，sin530.8︒≈．）15.（2022新乡二模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数为11y k x =和反比例函数22k y x=图像交于A ，B 两点，矩形OAEC 的边EC 交x 轴于点D ，AD ⊥x 轴，点D 的坐标为（2，0），且AE=ED ．（1）求这两个函数的解析式；（2）点P 为y 轴上的一个动点，当PE-PA 的值最大时，求点P 的坐标．16.（2022河南西平一模）如图，一次函数11y k x b =+经过点()4,0A ，()0,4B ，与反比例函数()220k y x x=>的图象交于点()1,C n ，D 两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）结合函数图象，直接写出当210k k x b x<+≤时x 的取值范围；（3）点P 在x 轴上，是否存在PCD 是以CD 为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，说明理由．17.（2022河南天一大联考）如图，一次函数y ＝k 1x+b 的图象与反比例函数y 2k x=的图象交于点A （m ，2），B （﹣1，4），与y 轴交于点C ，连接OA ，OB ．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△OAB 的面积；（3）若点P 在y 轴上，且BP 12=OA ，请直接写出点P 的坐标．18.（2022河南实验中学一模）如图，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，D是AB边的中点，反比例函数yk x（x＞0）的图象经过点D，与BC边交于点E．（1）求反比例函数的表达式及点E的坐标；（2）若点P在y轴上，当△PDE的周长最小时，求出此时点P的坐标．19.（2022河南虞城二模）如图，一次函数142y x=-+交反比例函数(0)ky xx=>于A，B两点，过点A作AC x⊥轴于点C，AOC△的面积为3．（1）求反比例函数的解析式；（2）D为y轴上一个动点，当DA DB+有最小值时，求点D的坐标．20.（2022河南夏邑一模）在平面直角坐标系xOy 中，函数(0)k y x x=>的图象经过点(2,3),(6,)A B a ，直线:l y mx n =+经过A ，B 两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式，并在下面的平面直角坐标系中描绘出一次函数的大致图象．（2）当直线l 向下平移b 个单位时，与(0)k y x x=>的图象有唯一交点，求b 的值．（3）若直线AB 分别交x 轴，y 轴于D ，C 两点，在y 轴上是否存在一点Q ，使得ACQ 与CDO 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．21.（2022南阳方城二模）如图，在矩形OABC 中，2,4AB BC ==，点D 是边AB 的中点，反比例函数1(0)k y x x=>的图象经过点D ，交BC 边于点E ，直线DE 的解析式为2(0)y mx n m =+≠．（1）求反比例函数1(0)k y x x=>的解析式和直线DE 的解析式；（2）在y 轴上找一点P ，使PDE △的周长最小，求出此时点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，PDE △的周长最小值是______．22.（2022洛阳一模）如图，反比例函数()0k y k x =≠的图象与正比例函数32y x =-的图象相交于(),3A a ，B 两点．（1）求k 的值及点B 的坐标；（2）请直接写出不等式32k x x >-的解集；（3）已知AD x ∥轴，以AB 、AD 为边作菱形ABCD ，求菱形ABCD 的面积．23.（2022开封二模）如图，平面直角坐标系中，反比例函数()0n y n x=≠与一次函数()0y kx b k =+≠的图像相交于点()1,A m ，()3,1B --两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）直接写出n kx b x+>的解集．（3）已知直线AB 与y 轴交于点C ，点(),0P t 是x 轴上一动点，作PQ ⊥x 轴交反比例函数图像于点Q ，当以C ，P ，Q ，O 为顶点的四边形的面积等于2时，求t 的值．24.（2022鹤壁一模）如图，在矩形ABCO 中，84AB BC ==，，点D 是边AB 的中点，反比例函数11(0)k y x x=<的图象经过点D ，交BC 边于点E ，直线DE 的解析式为()2220y k x b k =+≠．（1）求反比例函数和直线DE 的解析式．（2）在x 轴上找一点P ，使PDE △的周长最小，求出此时点P 的坐标．（3）在（2）的条件下，PDE △的周长最小值是_________．25.（2022周口扶沟一模）如图，正比例函数y x =的图象与反比例函数k y x=（0x >）的图象交于点()1,A a ，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CA CB =，点C 坐标为()2,0-．（1）求k 的值；（2）求AB 所在直线的解析式．26.（2022信阳一模）如图，直线y=-2x+b与x轴、y轴分别相交于点A，B，以线段AB为边在第一象限作正方形ABCD，已知（1）求直线AB的解析式；（2）求点D的坐标，并判断点D是否在双曲线y=12x，说明理由.27.（2022雅安中考）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABO的直角顶点A的坐标为（m，2），点B在x轴上，将△ABO向右平移得到△DEF，使点D恰好在反比例函数y＝8x（x＞0）的图象上．（1）求m的值和点D的坐标；（2）求DF所在直线的表达式；（3）若该反比例函数图象与直线DF的另一交点为点G，求S△EFG．28.（2022盘锦中考）如图，平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是菱形，点A 在y 轴正半轴上，点B 的坐标是(4,8)-，反比例函数(0)k y x x=<的图象经过点C ．（1）求反比例函数的解析式；（2）点D 在边CO 上，且34CD DO =，过点D 作DE x 轴，交反比例函数的图象于点E ，求点E 的坐标．29．（2022天门中考）（7分）如图，OA＝OB，∠AOB＝90°，点A，B分别在函数y＝（x＞0）和y＝（x ＞0）的图象上，且点A的坐标为（1，4）．（1）求k1，k2的值；（2）若点C，D分别在函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，D，使得△COD≌△AOB．若存在，请直接写出点C，D的坐标；若不存在，请说明理由．30.（2022恩施中考）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知∠ACB=90°，A(0，2)，C(6，2)．D 为等腰直角三角形ABC 的边BC 上一点，且S △ABC =3S △ADC ．反比例函数y 1=kx(k≠0)的图象经过点D ．（1）求反比例函数的解析式；（2）若AB 所在直线解析式为()20y ax b a =+≠，当12y y >时，求x 的取值范围．31.（2022河南中考）如图，反比例函数()0ky x x=>的图像经过点()2,4A 和点B ，点B 在点A 的下方，AC 平分OAB ∠，交x 轴于点C ．（1）求反比例函数的表达式．（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC 的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B 铅笔作图）（3）线段OA 与（2）中所作的垂直平分线相交于点D ，连接CD ．求证：CD AB ∥．32.（2022荆州中考）小华同学学习函数知识后，对函数()()2410410x x y x x x⎧-<≤⎪=⎨-≤->⎪⎩或通过列表、描点、连线，画出了如图1所示的图象．x…－4－3－2－134-12-14-01234…y (1)4324941140－4－243-－1…请根据图象解答：（1）【观察发现】①写出函数的两条性质：______；______；②若函数图象上的两点()11,x y ，()22,x y 满足120x x +=，则120y y +=一定成立吗？______．（填“一定”或“不一定”）（2）【延伸探究】如图2，将过()1,4A -，()4,1B -两点的直线向下平移n 个单位长度后，得到直线l 与函数()41y x x=-≤-的图象交于点P ，连接PA ，PB ．①求当n ＝3时，直线l 的解析式和△PAB 的面积；②直接用含．．．．n ．的代数式表示．．．．．．△PAB 的面积．33.（2022牡丹江中考）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD ，A 在y 轴的正半轴上，B ，C 在x 轴上，AD//BC ，BD 平分ABC ∠，交AO 于点E ，交AC 于点F ，CAO DBC ∠=∠．若OB ，OC 的长分别是一元二次方程2560x x -+=的两个根，且OB OC >．请解答下列问题：（1）求点B ，C 的坐标；（2）若反比例函数()0ky k x=≠图象的一支经过点D ，求这个反比例函数的解析式；（3）平面内是否存在点M ，N （M 在N 的上方），使以B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是边长比为2:3的矩形？若存在，请直接写出在第四象限内点N 的坐标；若不存在，请说明理由．34.（2022驻马店六校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数kyx(x>0)的图象和矩形ABCD在第一象限，AD平行于x轴，且AB=2，AD=4，点A的坐标为(2，6)．（1）直接写出B、C、D三点的坐标；（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式．35.（2022周口川汇区一模）如图，正方形ABCD的边AB在x轴上，点D的坐标为（2，2），点M是AD的中点，反比例函数ykx的图象经过点M，交BC于点N．（1）求反比例函数的表达式；（2）若点P是x轴上的一个动点，求PM+PN的最小值．36.（2022郑州外国语一模）如图，点()4,B a 是反比例函数()120y x x=>图象上一点，过点B 分别向坐标轴作垂线，垂足为A ，C ．反比例函数()0ky x x=>的图象经过OB 的中点M ，与AB ，BC 分别相交于点D ，E ．连接DE 并延长交x 轴于点F ，连接BF ．（1）求k 的值；（2）求BDF 的面积；（3）设直线DE 的解析式为1y k x b =+，请结合图像直接写出不等式1kk x b x+<的解集______．37.（2022郑州二模）如图1，点A、B是双曲线y=kx（k＞0）上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段AC、AD、BE、BF，AC和BF交于点G，得到正方形OCGF（阴影部分），且S阴影=1，△AGB的面积为2．（1）求双曲线的解析式；（2）在双曲线上移动点A和点B，上述作图不变，得到矩形OCGF（阴影部分），点A、B在运动过程中始终保持S阴影=1不变（如图2），则△AGB的面积是否会改变？说明理由．38.（2022信阳三模）如图，在矩形OABC中，BC＝4，OC，OA分别在x轴、y轴上，对角线OB，AC交于点E；过点E作EF⊥OB，交x轴于点F．反比例函数kyx=（x＞0）的图像经过点E，且交BC于点D，已知S△OEF＝5，CD＝1．（1）求OF的长；（2）求反比例函数的解析式；（3）将△OEF沿射线EB个单位长度，得到△O'E'F'，则EF的对应线段E'F'的中点（填“能”或“不能”）落在反比例函数kyx=（x＞0）的图上．39.（2022河南新野一模）如图，()()4,30P m m m ->是双曲线12y x =-上一点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，交双曲线k y x=于E 、F 两点．（1）求直线AB 的解析式；（2）若12BFBP =，求k 的值和EF 的长．40.（2022平顶山二模）如图，四边形ABCD，EFGH均为菱形，其中点E，A，B，F四点均在x轴上，点D，H在y轴上，EH∥AD．双曲线y=kx(x>0)的图象过点C(5，4)，交边GH于点P(103，a)．（1）填空：k=______，a=______；（2）求菱形EFGH的面积．41.（2022南阳卧龙一模）如图，已知在平面直角坐标系中，点(3,4)B 在反比例函数(0,0)k y k x x=>>的图象上，过点B 作BA x ⊥轴于点A ，连接OB ，将OAB 向右平移，得到,'''''O A B O B 交双曲线于点(3,)C a a ．（1）求k ，a 的值；（2）求OAB 向右平移的距离；（3）连接,BC OC ，则OBC 的面积为____________．42.（2022洛阳伊川一模）如图，已知点()0,1A 在y 轴上，点()10B ,在x 轴上，以AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ，此时反比例函数(0)k y k x=≠在第一象限内的图象恰好经过点C ，D ．（1）直接写出点D 的坐标和反比例函数的表达式；（2）将正方形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转，当点C 的对应点C '落在x 轴上时，判断点D 的对应点D ′是否落在反比例函数k y x =的图象上，并说明理由．43.（2022洛阳二模）如图，在平面直角坐标系中，ABCD 的顶点分别为()1,2A ，()4,2B ，()7,5C ，曲线():0k G y x x=>．（1）求点D 的坐标；（2）当曲线G 经过ABCD 的对角线的交点时，求k 的值；（3）若曲线G 刚好将ABCD 边上及其内部的“整点”（横、纵坐标都为整数的点）分成数量相等的两部分，则直接写出k 的取值范围是______．44.（2022河南林州一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的边BC 在x 轴上，点A 坐标为()2,4，点M 是AB 的中点，反比例函数k y x=的图象经过点M ，交CD 于点N ．（1）求反比例函数的表达式；（2）若反比例函数图象上的一个动点(),P m n 在正方形ABCD 的内部（含边界），求POC △面积的最小值．45.（2022河南兰考一模）如图，在平面直角坐标系中，ABCD 的顶点分别为(1,2),(4,2),(7,5)A B C ，曲线(0)k y k x=>．（1）当曲线经过ABCD 的对角线的交点时，求k 的值．（2）若曲线刚好将ABCD 边上及其内部的“整点”（横、纵坐标都为整数的点）分成数量相等的两部分，求k 的取值范围．46.（2022河南兰考二模）如图，在矩形OABC 中，2AB =，4BC =，D 是AB 边的中点，反比例函数()0k y x x=>的图象经过点D ，与BC 边交于点E ．（1）求反比例函数的表达式及点E 的坐标；（2）若点P 在y 轴上，当△PDE 的周长最小时，直接写出△PDE 的面积．47.（2022河南滑县一模）如图，平行四边形OABC 的顶点A ，C 都在反比例函数y k x=（k ＞0）的图象上，已知点B 的坐标为（8，4），点C 的横坐标为2．（1）求反比例函数y k x=（k ＞0）的解析式；（2）求平行四边形OABC 的面积S ．48.（2022河南邓州一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A （1，0），D （0，2），反比例函数k y x =的图象经过了矩形的顶点B ，且1tan 2ABD ∠=．（1）求反比例函数表达式；（2）动手画直线OB ，记为y mx =，结合图象直接写出关于x 的不等式0k mx x ->的解集．。
反比例函数与几何综合讲义及答案
反比例函数与几何综合讲义及答案一、反比例函数的定义及性质1.反比例函数的定义：如果两个变量的乘积为常数，那么它们之间存在反比例关系，可以表示为y=k/x。
2.反比例函数的性质：函数图像关于坐标轴对称；随着x的增大，y 的值逐渐减小；随着x的减小，y的值逐渐增大。
二、反比例函数的图像与性质1.绘制反比例函数y=k/x的图像。
2.如果k为正数，当x趋近于无穷大时，y趋近于0；当x趋近于0时，y趋近于正无穷大。
3.如果k为负数，当x趋近于无穷大时，y趋近于负无穷大；当x趋近于0时，y趋近于0。
三、反比例函数的解析表达式和图像的关系1.根据解析表达式y=k/x，结合k的正负性质，分析函数图像的大致形状。
2.当k为正数时，函数图像在第一象限逐渐接近于x轴，且没有定义域为x=0的点。
3.当k为负数时，函数图像在第三象限逐渐接近于x轴，且没有定义域为x=0的点。
四、反比例函数的应用1. 反比例函数的例题：如果旅行的时间与旅行的速度成反比例关系，当速度增大时，时间会减少。
求出速度为60 km/h时需要的时间。
答案：假设旅行的时间为t小时，则速度为60 km/h，根据反比例函数的定义可得60 = k/t，解得k = 60t。
根据题意可得t = k/60 = 1小时。
2.反比例函数出题：已知两个变量x和y成反比例关系，在一组数据中，当x=2时，y=5；当x=4时，y=10。
求出该反比例函数的解析表达式。
答案：根据反比例函数的定义可得k = xy，由已知数据可得2k = 5；4k = 10。
解方程可得k = 5/2、将k带入反比例函数中得到y = (5/2)x。
请注意，以上是一些常见的反比例函数综合讲义及试题及答案，实际上反比例函数的应用非常广泛，可以结合实际问题进行更多的应用练习。
反比例函数与几何综合的几个重要结论及证明
AB CD
=
反比例函数与几何综合的几个重要结论及证明
OABC AOB BOC =|k|1S =S =||2
S k ∆∆矩OCD ABCD
=S S ∆梯OCD ABCD
OCD OBC OBC OAD
OBCD OCD OAD OBCD ABCD
OCD ABCD
=S S =S -S S =S S =S -S =S =S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆梯四四梯梯证明：，而故所以
A B C D =E F
BEF CEF 11||,||(22
S =S EF AD
ABEF CDEF AB=EF CD=EF AB=CD
BEF BEO CEF CFO S S k S S k ∆∆∆∆∆∆====→ 等底等高）故故四边形和为平行四边形
，，所以A B C D
=E
F
EF EF 11||,||(22
S =S EF AD
ABEF CDEF AB=EF CD=EF AB=CD
DEF DEO AEF AFO D A S S k S S k ∆∆∆∆∆∆====→ 等底等高）故故四边形和为平行四边形
，，所以CE BD
11||,||22
=CE BD
BCE BCO DEC DEO BCE DEC S S k S S k S S ∆∆∆∆∆∆==== 故，所以1.B A OA OB
=、关于原点对称,A
B
B A B AB CD EF A 、是反比例函数图像上任意两点，分别过、作垂直于坐标轴的线
则
AB CD EF
B A y
C BC
D AD=CD A 、是正比例函数与反比例函数的交点，过点作轴的垂线交于点，延长线交反比例函数于点，则。
2022-2023学年人教版初中数学专题《反比例函数与几何综合问题》尖子生培优题典原卷
专题26.7反比例函数与几何综合问题大题专练（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、解答题（共24题）1．（2022·辽宁·灯塔市第一初级中学九年级期中）如图，在直角坐标系中，点B的坐标为（4，2），过点B（x＞0）的图象分别交AB，BC于点E，F．分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是C，A，反比例函数y=4x(1)求直线EF的解析式；(2)求△EOF的面积；(3)若点P在y轴上，且△POE是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．2．（2022·山东·新泰市宫里镇初级中学九年级阶段练习）如图，函数y＝k（x＞0）的图像过点A（n，2）和xB（8，2n−3）两点．5(1)求n和k的值；(2)将直线OA沿x轴向左移动得直线DE，交x轴于点D，交y轴于点E，交y＝k（x＞0）于点C，若S△ACOx＝6，求直线DE解析式；(3)在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F，使得△DEF为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2022·上海·新区川沙新镇江镇中学九年级阶段练习）如图，直线AC：y＝ax+2分别交y轴和反比例函数y=k（x＞0）的图象于点C和点A（2，m），点B也在反比例函数的图象上，且BC∥x轴，tan∠ACB＝2．x(1)求点A、B的坐标；(2)设点D在x轴的正半轴上，点E在该反比例函数的图象上．①若四边形BDCE是菱形，求出该菱形周长；②若以点A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标．4．（2021·河南·商城县第二中学九年级阶段练习）已知反比例函数y=1-m（m为常数）的图象在第一、三象x限．(1)求m的取值范围；(2)如图，若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为（0，4），（﹣3，0）．①求出函数解析式；②【分类讨论思想】设点P是该反比例函数图象上的一点，若以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为______个．5．（2022·安徽·利辛县汝集镇西关学校九年级阶段练习）如图，ΔAOB的边OB在x轴上，且∠ABO=90°，反(x>0)的图像与边AO、AB分别相交于点C、D，连接BC．已知OC=BC，ΔBOC的面积为12．比例函数y=kx(1)求k的值；(2)若AD=6，求直线OA的函数表达式．6．（2022·浙江省武义县实验中学八年级阶段练习）如图，四边形OBAC是矩形，OC＝2，OB＝6，反比例的图象过点A．函数y=kx(1)求k的值．(2)点P为反比例函数图象上的一点，作PD⊥直线AC，PE⊥x轴，当四边形PDCE是正方形时，求点P的坐标．(3)点G为坐标平面上的一点，在反比例函数的图象上是否存在一点Q，使得以A、B、Q、G为顶点组成的平行四边形面积为16？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2022·广东·深圳市宝安第一外国语学校模拟预测）数学是一个不断思考，不断发现，不断归纳的过程，古希腊数学家帕普斯(Pappus，约300−350)把∠AOB三等分的操作如下：（1）以点O为坐标原点，OB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系；(x>0)的图像，图像与∠AOB的边OA交于点C；（2）在平面直角坐标系中，绘制反比例函数y=1x（3）以点C为圆心，2OC为半径作弧，交函数y=1的图像于点D；x（4）分别过点C和D作x轴和y轴的平行线，两线交于点E，M；（5）作射线OE，交CD于点N，得到∠EOB．(1)判断四边形CEDM 的形状，并证明；(2)证明：O 、M 、E 三点共线；(3)证明：∠EOB =13∠AOB ．8．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点C 在x 轴负半轴上，四边形OABC 为菱形，反比例函数y =−12x （x >0）经过点A(a,−3)，反比例函数y =kx (k >0,x ＜0)经过点B ，且交BC 边于点D ，连接AD ．(1)求直线BC 的表达式．(2)求tan ∠DAB 的值．(3)如图2，P 是y 轴负半轴上的一个动点，过点P 作y 轴的垂线，交反比例函数y =−12x （x >0）于点N ．在点P 运动过程中，直线AB 上是否存在点E ，使以B ，D ，E ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2022·广东·华南师大附中三模）如图，已知直线y =-34x 上一点B ，由点B 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足为A 、C ，若A 点的坐标为(0，5)．(1)若点B也在一反比例函数的图象上，求出此反比例函数的表达式．(2)若将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，求点E的坐标．10．（2022·江苏·射阳县实验初级中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在x轴的正半轴（x＞0，上，以线段BC为边向上作正方形ABCD，顶点A在正比例函数y＝2x的图象上，反比例函数y＝kxk＞0）的图象经过点A，且与边CD相交于点E．(1)若BC＝4，求点E的坐标；(2)连接AE，OE，若△AOE的面积为16，求k的值．11．（2022·山东·新泰市楼德镇初级中学九年级阶段练习）反比例函数y＝k（k＞0）的图像与直线y＝mx+nx的图像上，过点B作PB∥x轴交OQ于点P，过点P作的图像交于Q点，点B（3，4）在反比例函数y＝kxPA∥y轴交反比例函数图像于点A，已知点A的纵坐标为9．4(1)求反比例函数及直线OP的解析式；(2)在x轴上存在点N，使得△AON的面积与△BOP的面积相等，请求出点N的坐标；(3)在y轴上找一点E，使△OBE为等腰三角形，直接写出点E坐标．12．（2022·江苏·射阳县实验初级中学八年级期中）定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股点．(1)【直接应用】如图1，已知点M、N是线段AB的勾股点，若AM＝2，MN＝4，则BN＝ ．(2)【知识迁移】如图2，点C，D是线段AB的勾股点（CD＞BD），以CD为直径画⊙O，点P在⊙O上，AC＝CP，连接PA，PB，若∠A＝2∠B，求∠B的度数．(3)【拓展应用】如图3，点P（a，b）是反比例函数y＝2（x＞0）上的动点，直线y＝﹣x+2与坐标轴分别x交于A、B两点，过点P分别向x、y轴作垂线，垂足为C、D，且交线段AB于E、F两点．证明：点E、F是线段AB的勾股点．x+2及双曲线y 13．（2022·江苏·泰州中学附属初中八年级期末）如图在平面直角坐标系中，已知直线y＝﹣12＝k（k＞0，x＞0）．直线交y轴于A点，x轴于B点，C、D为双曲线上的两点，它们的横坐标分别为a，a+m x（m＞0）．(1)如图①连接AC、DB、CD，当四边形CABD为平行四边形且a＝2时，求k的值．(2)如图②过C、D两点分别作CC′∥y轴∥DD′交直线AB于C'，D'，当CD∥AB时，①对于确定的k值，求证：a（a+m）的值也为定值．，求d的最大值．②若k＝6，且满足m＝a﹣4+da14．（2021·江苏·宿迁市钟吾国际第一初级中学八年级期中）如图，直线y＝ax＋b与反比例函数y＝k（xx＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（-2，6），点B的横坐标为-6，(1)试确定反比例函数的关系式；(2)求点C的坐标；(3)点M是x轴上的一个动点．①若点M在线段OC上，且△AMB的面积为8，求点M的坐标；②点N是平面直角坐标系中的一点，当以A、B、M、N四点为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点N的坐标，15．（2022·江苏·张家港市东渡实验学校八年级期中）如图，直线y＝x＋b（b≠0）分别交x轴、y轴于A、B （x＞0）于点D，过点D分别作x轴、y轴的垂线DC、DE，垂足分别为C、E，连接两点，交双曲线y＝5xOD．(1)求证：AD平分∠CDE；(2)对于任意非零的实数b，求证：AD•BD为定值，并求出该定值；(3)是否存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．16．（2022·贵州铜仁·九年级期末）如图1，点A（0，8）、点B（2，a）在直线y＝﹣2x＋b上，反比例函数y＝k（x＞0）的图象经过点B．x(1)求a和k的值；(2)将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．的值；①如图2，当m＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求DEEF②在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是以BC为腰的等腰三角形，求所有满足条件的m的值．17．（2022·江苏·扬州市江都区实验初级中学八年级阶段练习）如图，菱形OABC的点B在y轴上，点C坐的图象经过点A．标为（12，5），双曲线y=kx(1)菱形OABC的边长为____；(2)求双曲线的函数关系式；(3)①点B关于点O的对称点为D点，过D作直线l垂直于y轴，点P是直线l上一个动点，点E在双曲线上，当P、E、A、B四点构成平行四边形时，求点E的坐标；②将点P绕点A逆时针旋转90°得点Q，当点Q落在双曲线上时，求点Q的坐标．18．（2021·湖南·李达中学九年级阶段练习）如图，一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=m的图像交x于C（2，n）、D两点，与x轴，y轴分别交于A、B（0，2）两点，如果△AOC的面积为6．(1)求点A的坐标；(2)求一次函数和反比例函数的解析式；(3)如图2，连接DO并延长交反比例函数的图像于点E，连接CE，求点E的坐标和△COE的面积．(m≠0)的19．（2022·四川·威远县凤翔中学八年级期中）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y=mx图像交于A（2，3），B（﹣6，n）两点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求△AOB的面积；(3)P是y轴上一点，且S△ABP＝12，求出P点坐标；(4)M是x轴上一点，满足|MA−MB|最大，求点M的坐标．(5)求不等式kx+b﹣m＜0的解集．（直接写出答案）x20．（2022·河南·商水县希望初级中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+3k+2与坐标轴交于点B与C(0,1)，点A是x轴上一点，连接AC，且AB=1，D(1,m)是线段BC上一点，反比例函数y=k′x 的图象经过点D．(1)求k′的值．(2)求线段AC所在直线的函数表达式．(3)延长DO，与反比例函数y=k′的图象在第三象限交于点F，Q是x轴上的一点，当以F、Q、D三点构成的三x角形为直角三角形时，直接写出Q点的坐标．21．（2022·河南·商水县希望初级中学八年级期中）如图，一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=−6x (x<0)的图象交于点C(m,1)和点D(n,6)，与坐标轴交于点A，B．(1)求直线AB的函数表达式．<kx+b的解集．(2)结合图象，直接写出不等式−6x(3)连接OC，OD，在直线AB上是否存在一点P，使得S△OBP=S△COD，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．22．（2022·河南新乡·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点B，D分别在反比例函数y=−6(x<0)和xy=k(k>0,x>0)的图象上，AB⊥x轴于点A，DC⊥x轴于点C，O是线段AC的中点，AB=3，DC=2．x(1)求反比例函数y=k的表达式；x(2)连接BD，OB，OD，求△ODB的面积；(3)P是线段AB上的一个动点，Q是线段OB上的一个动点，试探究是否存在点P，使得△APQ是等腰直角三角形？若存在，求所有符合条件点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．（2022·吉林·长春市第一〇八学校八年级阶段练习）已知一次函数y＝kx+b图像经过点A（2，0）、B （0，2），回答下列问题：(1)求一次函数解析式．(2)在函数y＝kx+b图像上有两个点（a，2）、（b，3），请说明a与b的大小关系．(3)以AB为直角边作等腰直角△ABC，点C不与点O重合，过点C的反比例函数的解析式为y＝k，请直接x写出点C的坐标以及过点C的反比例函数的解析式．(4)是否在x轴上找一点C，使S△ABC＝2S△ABO，若存在，写出点C坐标若不存在，请说明理由．24．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A(0，﹣6)、D(﹣3，﹣7)，点B、C在第三象限内．(1)求点B的坐标；(2)在y轴上是否存在一点P，使△ABP是AB为腰的等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)将正方形ABCD沿y轴向上平移，若存在某一位置，使在第二象限内点B、D两点的对应点B′、D′正好落在某反比例函数的图象上，求该反比例函数的解析式．。
反比例函数与几何的重要结论与证明.doc
反比例函数与几何的重要结论与证明
反比例函数与几何综合的处理思路 1. 从关键点入手．通过关键点坐标和横平竖直线段长的互相转化，可将函数特征与几何特征综合在一起进行研究．2. 对函数特征和几何特征进行转化、组合，列方程求解．若借助反比例函数模型，能快速将函数特征转化为几何特征．与反比例函数相关的几个模型，在解题时可以考虑调用．
反比例与面积问题
线段等量关系
平行关系
证明１
由反比例函数的几何性质有SΔOAD=SΔOCB
SΔOCD=SOBCD-SΔOBC=SOBCD-SOAD=S梯形ABCD 证明２
辅助线是关键
分别过Ｂ、Ｃ两点，作x、y轴垂线，连接ＢＥ和ＣＦ因为ＢＦ平行于Ｙ轴，所以ＳΔＢＥＦ＝ＳΔＢＦＯ（同底等高）
同理ＣＥ平行于Ｘ轴，所以ＳΔＥＦＣ＝ＳΔＥＣＯ（同底等高）
故ＳΔＥＦＢ＝ＳΔＥＦＣ得到ＥＦ平行于ＡＤ四边形ＡＢＦＥ和ＣＤＦＥ都为平行四边形（两组对边
平行）
所以ＡＢ＝ＣＤ
一样的证明思路
过A、D分别作ＸＹ轴的垂线，连接ＡＦ、ＤＥ
SΔDFE=SΔDFO SΔAFE=SΔAEO (同底等高）
所以ＳΔＥＦＡ＝ＳΔＥＦＤ所以得到ＥＦ平行于ＡＤ四边形ＥＦＢＡ和ＥＦＤＣ都是平行四边形
所以ＡＢ＝ＣＤ
证明３
同理可得
同样运用同底等高可以证明，相信你也可以的！
以上重要结论在题目中如果能直接使用则可以大大提升做题速度,后面证明中作辅助线的方法在某些大题中可以提供思路和线索.对于一些反比例相关的压轴题还是比较有用的.。
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一、反比例函数的定义函数ky x=（k 为常数，0k ≠）叫做反比例函数，其中k 叫做比例系数，x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数．二、反比例函数的图象反比例函数ky x=（k 为常数，0k ≠）的图象由两条曲线组成，每条曲线随着x 的不断增大（或减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．反比例函数k y x =与ky x=-（0k ≠）的图象关于x 轴对称，也关于y 轴对称．三、反比例函数的性质反比例函数ky x=（k 为常数，0k ≠）的图象是双曲线； 当0k >时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大．注意：⑴反比例函数ky x=（0k ≠）的取值范围是0x ≠．因此，①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来． ②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，如当0k >时，双曲线ky x=的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小．这是由于0x ≠，即0x >或0x <的缘故．如果笼统地叙述为0k <时，y 随x 的增大而增大就是错误的．⑵由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图象和x 轴、y 轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势． ⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．四、反比例函数解析式的求法反比例函数的解析式(0)ky k x=≠中，只有一个系数k ，确定了k 的值，也就确定了反比例函数的解析式．因此，只需给出一组x 、y 的对应值或图象上一点的坐标，利用待定系数法，即可确定反比例函数的解析式．五、比例系数k 的几何意义过反比例函数()0ky k x=≠，图象上一点()P x y ，，做两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P 点组成一个矩形，矩形的面积S x y xy k =⋅==.一、反比例函数与几何综合【例1】 如图，11POA ∆、212P A A ∆都是等腰直角三角形，点1P 、2P 在函数4y x=(0x >)的图像上，斜边1OA 、12A A 、都在x 轴上，求点2A 的坐标.【巩固】如图所示，()()111222P x y P x y ，，，，……，()n n n P x y ，在函数()90y x x=>的图象上，11OP A ∆，212P A A ∆，323P A A ∆，…，1n n n P A A -∆，…都是等腰直角三角形，斜边1121n n OA A A A A -，，…，都在x 轴上，则12n y y y +++=…______________．【例2】 如图，如果函数y x =-与4y x=-的图像交于A ，B 两点，过点A 作AC 垂直于y 轴，垂足为点C ，求BOC ∆的面积.【巩固】如图，一次函数y kx b =+的图像与反比例函数my x=的图像交于(21)(1)A B n -，，，两点． （1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）求AOB ∆的面积．【例3】 如图，直线y kx b =+与反比例函数()0k y x x=<′的图象相交于点A 、点B ，与x 轴交于点C ，其中点A 的坐标为()24-，，点B 的横坐标为4-． （1）试确定反比例函数的关系式；（2）求AOC ∆的面积．【巩固】如图，在直角坐标系xOy 中，一次函数1y k x b =+的图像与反比例函数2k y x=的图像交于()()143A B m ，，，两点． （1）求一次函数的解析式； （2）求AOB ∆的面积．【例4】 两个反比例函数k y x =和1y x =在第一象限内的图象如图所示，点P 在ky x=的图象上，PC x ⊥轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD y ⊥轴于点D ，交1y x =的图象于点B ，当点P 在ky x=的图象上运动时，以下结论：①ODB ∆与OCA ∆的面积相等； ②四边形PAOB 的面积不会发生变化； ③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）．【巩固】如图，点A 、B 在反比例函数ky x=(0k >)的图象上，且点A 、B 的横坐标分别为a 和2a (0a >)AC x ⊥轴，垂足为C ，AOC ∆的面积为2． （1）求反比例函数的解析式；（2）若点(a -，1y )，(2a -，2y )也在反比例函数的图象上，试比较1y 与2y 的大小； （3）求AOB ∆的面积．【例5】 已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)ky k x=>的图象与AC 边交于点E ．（1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；（2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【巩固】两个反比例函数1k y x =和()2120ky k k x=>>在第一象限内的图象如图所示，动点P 在1k y x =的图象上，PC x ⊥轴于点C ，交2k y x =的图象于点A ，PD y ⊥轴于点D ，交2ky x=的图象于点B ．⑴求证：四边形PAOB 的面积是定值； ⑵当23PA PC =时，求DBBP的值； ⑶若点P 的坐标为()52，，OAB ABP ∆∆，的面积分别记为OAB S ∆、ABP S ∆，设ABP OAB S S S ∆∆-=．①求1k 的值；②当2k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？k 2x【例6】 如图，反比例函数8y x=的图象过矩形OABC 的顶点B ，OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，:2:1OA OC =．（1）设矩形OABC 的对角线交于点E ，求出E 点的坐标；（2）若直线2y x m =+平分矩形OABC 面积，求m 的值．【巩固】如图，已知正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，点B 在函数ky x=(0k >，0x >)的图像上，点P (m ，n )为其双曲线上的任一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，并设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积为S ．⑴求B 点的坐标和k 的值；⑵当92S =时，求P 点坐标；⑶写出S 关于m 的函数关系式．【例7】 若一次函数21y x =-和反比例函数2ky x=的图象都经过点（1，1）． （1）求反比例函数的解析式；（2）已知点A 在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A 的坐标； （3）利用（2）的结果，若点B 的坐标为（2，0），且以点A O B P ，，，为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P 的坐标．【巩固】如图，点()1A m m+，，()31B m m+-，都在反比例函数kyx=的图象上．（1）求m k，的值；（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A B M N，，，为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．【巩固】已知(1)A m-，与(2B m+，是反比例函数kyx=图象上的两个点．（1）求k的值；（2）若点(10)C-，，则在反比例函数kyx=图象上是否存在点D，使得以A B C D，，，四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【例8】如图，已知反比例函数12yx=的图象和一次函数7y kx=-的图象都经过点()2P m，．①求这个一次函数的解析式；②如果等腰梯形ABCD的顶点A B，在这个一次函数图象上，顶点C D，在这个反比例函数图象上，两底AD，BC与y轴平行，且A和B的横坐标分别为a和2a+，求a的值。
【例9】 反比例函数2ky x=和一次函数21y x =-，其中一次函数图像经过()a b ，，()1a b k ++，两点． （1）求反比例函数的解析式；（2）求出两函数的交点A 的坐标．在x 轴上是否存在点P ，使AOP ∆为等腰三角形？若存在，把符合条件的点P 的坐标都求出来；若不存在，请说明理由．【巩固】如图，已知反比例函数12k y x=的图象与一次函数2y k x b =+的图象交于A B ，两点，()1122A n B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，，．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）在x 轴上是否存在点P ，使AOP ∆为等腰三角形？若存在，请你直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．【例10】 已知：等腰三角形OAB 在直角坐标系中的位置如图，点A的坐标为()3-，点B 的坐标为()60-，． （1）若三角形OAB 关于y 轴的轴对称图形是三角形OA B ''，请直接写出A 、B 的对称点A '、B '的坐标； （2）若将三角形OAB 沿x 轴向右平移a 个单位，此时点A恰好落在反比例函数y =的图像上，求a ； （3）若三角形OAB 绕点O 按逆时针方向旋转α度(090α<<)．当α=30时点B 恰好落在反比例函数ky x =的图像上，求k 的值．1.将直线y x =向左平移1个单位长度后得到直线a ，如图，直线a 与反比例函数()10y x x=>的图象相交于A ，与x 轴相交于B ，则22OA OB -=_____________．2.如图，P 是函数12y x=(0x >)图象上一点，直线1y x =-+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，PM Ox ⊥轴于M ，交AB 于E ，PN Oy ⊥轴于N ，交AB 于F .求AF BE ⋅的值.3.已知点(1，3)在函数ky x=(0x >)的图像上，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E 是对角线BD 的中点，函数ky x=(0x >)的图像经过A 、E 两点，若45ABD ∠=︒，求E 点的坐标.4.过原点作直线交双曲线ky x=(0k >)于点A 、C ，过A 、C 分别作两坐标轴的平行线，围成矩形 ABCD ，如图所示．⑴已知矩形ABCD 的面积等于8，求双曲线的解析式； ⑵若已知矩形ABCD 的周长为8，能否由此确定双曲线的解析式?如果能够确定，请予求出；如果不能确定，试说明原因．5.正比例函数y kx =(0k >)与反比例函数1y x=的图象相交于A 、C 两点，过A 作AB x ⊥轴于B ，连结BC ，若ABC ∆的面积为S ，求S ．6.已知图中的曲线是反比例函数5m y x-=（m 为常数）图象的一支． ⑴这反比例函数图象的另一支在第几象限？常数m 的取值范围是什么？⑵若该函数的图象与正比例函数2y x =的图象在第一象内限的交点为A ，过A 点作x 轴的垂线，垂足为B ，当OAB ∆的面积为4时，求点A 的坐标及反比例函数的解析式．Oyx7.如图，已知Rt ABC ∆的顶点A 是一次函数y x m =+与反比例函数my x=的图像在第一象限内的交点，且3AOB S ∆=．（1）该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？如能确定，请写出它们的解析式；如不能确定，请说明理由．（2）如果线段AC 的延长线与反比例函数的图像的另一支交于D 点，过D 作DE x ⊥轴于E ，那么ODE ∆的面积与AOB ∆的面积的大小关系能否确定？ （3）请判断AOD ∆为何特殊三角形，并证明你的结论．O E C BxAyD8.如图，点A (m ，1m +)，B (3m +，1m -)都在反比例函数ky x=的图象上． （1）求m ，k 的值；（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．。