精品毕业论文数学中的黄金分割美
目录
中文摘要 (Ⅰ)
英文摘要 (Ⅱ)
前言 (1)
一、黄金分割理论发展概况 (2)
（一）黄金分割概述 (2)
（二）黄金分割理论的产生和发展 (3)
二、现实生活中的黄金分割 (4)
（一）人体中的黄金分割 (4)
（二）自然界中的黄金分割 (5)
（三）艺术作品中的黄金分割 (6)
（四）著名建筑中的黄金分割 (7)
（五）自然现象中的黄金分割 (8)
三、黄金分割与证券投资 (9)
（一）家庭理财中的黄金分割法 (9)
（二）证券价格预测中的黄金分 (9)
（三）波浪理论 (10)
结束语 (12)
参考文献 (13)
致谢 (15)
数学中的黄金分割美
摘要
黄金分割是世界上最优美的比例之一，是将一条线段分成不相等的两段，使较小线段与较大线段的比等于较大线段与整个线段的比。黄金分割作为自然界普遍存在的客观规律，是自然界现象之间必然的、实质性的、不断重复着的关系，体现了客观世界统一性与多样性的辩证关系，它在科学研究中被广泛运用。斐波纳契数列又称黄金分割数列，是一个蕴含黄金分割关系的神奇数列。黄金分割广泛存在于我们的生活中。在股市上，黄金分割率为艾略特所创的波浪理论所套用，被投资人士广泛采用。波浪理论的数学基础，就是在13世纪发现的斐波那契数列。本文通过对黄金分割在不同领域的运用和不同地方的体现进行分析，去揭示那些神秘现象，体现了人与社会、人与自然的和谐。
关键词：黄金分割；斐波那契数列；波浪理论
The beauty of Golden section in mathematics
Abstract
Golden section is one of the world's most beautiful proportions. It is a ratio that the smaller line segment divided by the longer one equals to the longer one divided by the whole line segment, when divide a line segment into two. Golden section, as the common objective law of nature, is a kind of relationship that is inevitable substantive and repeated between natural phenomenas. It reflects the dialectical relationship between unity and diversity of the objective world and is widely used in scientific research. Fibonacci Sequence, also known as golden sequence, is a magic sequence which contains golden section relation. Golden section widely exists in our lives. In the stock market, golden section is used by Eliot to create wave theory, and is widely used by investors. The mathematical basis of the wave theory is Fibonacci sequence, which is fond in the 13th century. This article reveals the mysterious phenomenons through the analysis of the use of golden section in many different areas, reflects the harmony between human and society and between human and nature.
Keywords：Golden Section；Fibonacci Sequence；wave principle
前言
华罗庚曾经说过：“数学是壮丽多彩，千姿百态，引人入胜的。”数学不仅拥有真理，而且还拥有极度的美。黄金分割理论就是万千数学之美中的一朵奇葩，它充分展现出了数学的和谐美。
黄金分割是由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。
黄金分割作为自然界普遍存在的客观规律，是自然界现象之间必然的、实质性的、不断重复着的关系，体现了客观世界统一性与多样性的辩证关系，它在科学研究中被广泛运用。
斐波那契数列便是一个蕴含黄金分割关系的神奇数列。斐波纳契数列又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、…而且，后一项与前一项的比值的小数部分越来越逼近黄金分割数0.618。斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数、黄金矩形、黄金分割、等角螺线等。
在现实生活中，到处留下了黄金分割数的足迹。在股市上，黄金分割率为艾略特所创的波浪理论所套用，被投资人士广泛采用。1946年，艾略特完成了关于波浪理论的集大成之作，《自然法则——宇宙的秘密》。艾略特坚信，他的波浪理论是制约人类一切活动的普遍自然法则的一部分。波浪理论的优
黄金分割线的论文
黄金分割线的实际应用 福州教育学院附属中学 高一七班 谢文，林涵，杨莺 据说在古希腊，有一天毕达哥斯拉走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听。他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比列被毕达哥斯拉用数理的方式表达出来。被应用在很多领域，后来很多人专门研究过，开普勒称其为“神圣分割”也有人称其为“金法“。在金字塔建成1000年后才出现毕达哥斯拉定律，可见这很早既存在。只是不知这个谜底。把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是5^/2-1/2或二分之根号五减一，取其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现：1/0.618=1.618 (1-0.618)/0.618=0.618 这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。黄金分割〔Golden Section〕是一种数学上的比例关系。黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。应用时一般取0.618 ，就像圆周率在应用时取3.14一样。黄金分割的
黄金分割的应用十分广泛,不仅仅体现在艺术中,还体现在古埃及的金字塔，还是巴黎的圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，黄金分割的近似值0.618在生活中可以说是无处不在. 在人体结构上,脐至脚底与头顶至脐之比；躯干长度与臀宽之比；下肢长度与上肢长度之比，均近似于0.618。而且，越是接近于这个值，整个形体就越匀称，越令人觉得完美。人在环境气温22℃－24℃下生活感到最适宜.因为人体的正常体温是36℃－37℃，这个体温与0.618的乘积恰好是22.4℃－22.8℃，而且在这一环境温度中，人体的生理功能、生活节奏等新陈代谢水平均处于最佳状态。再如，营养学中强调，一餐主食中要有六成粗粮和四成细粮的搭配进食，有益于肠胃的消化与吸收，避免肠胃病。这也可纳入饮食的0.618规律之列。抗衰老有生理与心理抗衰之分，哪个为重？研究证明，生理上的抗衰为四，而心理上的抗衰为六，也符合黄金分割律。充分调动与合理协调心理和生理两方面的力量来延缓衰老，可以达到最好的延年益寿的效果。一天合理的生活作息也符合0.618的分割，24小时中，2/3时间是工作与生活，1/3时间是休息与睡眠；在动与静的关系上，究竟是"生命在于运动"，还是"生命在于静养"？从辩证观和大量的生活实践证明，动与静的关系同一天休息与工作的比例一样，动四分，静六分，才是最佳的保健之道. 动静：从辩证观点看，动和静是一个0.618
大自然中的黄金分割
初中数学综合实践课题设计—— 大自然中的黄金分割 龙翔学校 周福兰 ◆ 黄金分割的由来 一天，毕达哥拉斯从一家铁匠铺路过，被铺子中那有节奏的叮叮当当的打铁声所吸引，他走进作坊，拿出一把尺量了一下铁锤和铁砧的寸，发现它们之间存在着一种十分和谐的关系。回到家里，毕达哥拉斯拿出一根线，想将它分为两段。经过反复比较，他最后确定了 0.618：1的比例截断最优美。后来古希腊美学家柏拉图将这比例称为黄金分割律。中世纪的数学家开普勒对黄金分割作了很高的评价。他说：几何学有两大宝藏：一个是勾股定理，另一个是黄金分割。 那么，什么是黄金分割？ ◆ 黄金分割自述 点C 把线段AB 分成两条线段AC 和CB ，如果AB AC AC CB =，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。 那么，黄金比又是多少呢？如何计算呢？ 分析：设线段AB 的长度为1个单位，AC 的长度为x 个单位，则CB 为 ()x -1个单位，根据题意列出方程： 11x x x =- 由比例的基本性质得： 21x x =- 即 012=-+x x 解这个方程求得：AC= 21 5- 所以，求出黄金比为 ≈-=215AB AC 618.0
◆你知道为什么女性爱穿高跟鞋吗? 中世纪意大利的数学家菲波那契测定了大量的人体后得知，人体肚脐以下的长度与身高之比接近0.618，其中少数人的比值等于0.618的被称为：“标准美人”。因此，艺术家们在创作艺术人体时，都以黄金比为标准进行创作。 周老师的身高为162cm，肚脐眼以上的长度为70cm，你能帮周老师挑一双最适合她身高的鞋子吗？试试吧！ ◆趣味问答 （问题一）：报幕员应站在舞台的什么地方报幕最佳？ （问题二）：人的正常体温是37℃，对大多数人来说，体感最舒适的温度是22 ℃~23 ℃。你能解释吗？ ◆动动脑，画一画 你能利用黄金分割的数学知识设计一幅图案，送给老师吗?动动脑，画一画
初中数学例题：黄金分割
初中数学例题：黄金分割 5. 如图所示，矩形ABCD 是黄金矩形（即＝≈0.618），如果在其内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE ，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形？ 【思路点拨】（1）矩形的宽与长之比值为 ，则这种矩形叫做黄金矩形． （2）要说明ABFE 是不是黄金矩形只要证明 ＝即可． 【答案与解析】矩形ABFE 是黄金矩形． 理由如下：因为 ＝ ＝ 所以矩形ABFE 也是黄金矩形． 【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法. 举一反三： 【变式】以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图所示， BC AB 2 15-2 15-AB AE 215-AB AE AB ED AB AD AB ED AD -=-2 1512151)15)(15() 15(21152 -=-+=-+-+=--
（1）求AM ，DM 的长， （2）试说明AM 2 =AD ·DM （3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？ 【答案】（1）∵正方形ABCD 的边长是2，P 是AB 中点， ∴AD ＝AB ＝2，AP ＝1，∠BAD ＝90°， ∴PD ＝。 ∵PF ＝PD ， ∴AF ＝ ，在正方形ABCD 中，AM ＝AF ＝，MD ＝AD －AM ＝3－ （2）由（1）得AD ×DM ＝2（3－）＝6－2， ∴AM 2 =AD ·DM ． （3）如图中的M 点是线段AD 的黄金分割点． 6.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感.某女士身高165cm ，下半身长与身高的比值是0.60，为了尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）. A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm 【答案】C. 522=+AD AP 15-15-555526)15(22-=-=AM x l
黄金分割论文
黄金分割 希腊的自然科学研究影响西方文化和文明的发展，他们重视分析、分解、假设、推理、推导、实验、验证等思维方式。这与东方重视整体、模糊处理、直觉综合、和谐大同、“仁者爱人”等思维方式和思想有明显的差别。胡适在“中国的文艺复兴”一文中说“当孟子在对人性的内在美德进行理论探讨时，欧几里德正在完善几何学，正在奠定欧洲的自然科学的基础。”这种说法不全面，东方的中华文明有过比西方更辉煌的历史，但在五百多年来，西方经历了继承希腊的文艺复兴和工业革命，使科学和技术快速发展，而中国因封建统治和闭关锁国等原因而衰落。现在应该撷取东西方文明的长处，把它们整合起来，创建中华夏兴。“科学中的美和美的科学”，早期属于自然哲学，自古希腊人开始研究，至今约有2500年。古希腊人喜欢抽象研究。抽象研究又分为逻辑推理研究和形象推理研究，后者所用的工具有直尺和圆规。代数和平面几何为两者的典型代表。 曾提出这样一个问题：“一根棍从哪里分割最为美妙？”答案是：“前半段与后半段之比应等于后半段与全长之比”。设全长为1，后半段为x，此式即成为(1-x):x=x:1，也就是X2+X-1=0。其解为：。棍内分割只能取正值，此值就是著名的黄金分割比值G,G=0.618033988≈0.618。而且G(1+G)=1，即G和(1+G)互为倒数。 偏有一些古希腊人想用形象方法解决黄金分割问题，并获得漂亮
的结果。欧几里德（约公元前330-257年）总结了前人的经验和研究成果，编著了《几何原理》十三卷。这是世界上最早用公理方法叙述的数学著作。其中所载的黄金分割几何问题已引起广泛的兴趣，在科学、艺术、建筑、技术各领域有着广泛的应用，哲学家和美学家也曾反复讨论，不断有文章发表。 自然界的形成、运行、演化、生长、繁衍、消亡等都是有规律的，有些物体可以直接感到自然美，但更多的物体令人迷惑不解。我们深信“天道崇美”，但需要人去探究，揭露其规律，使人感受到深层次的自然美和科学美。这就是“因人而彰”。黄金分割律，就是想梳理和探讨这种自然美和科学美。人有爱美的天性，而且人本身也是很精美的。“天道崇美，人性好美”有普遍性，无论是天然物品还是人工制品，形态的丑陋必然表明其功能的缺陷，而某些功能的完美，往往伴随着美的外形. 黄金分割比在未发现之前，在客观世界中就存在的，只是当人们揭示了这一奥秘之后，才对它有了明确的认识。当人们根据这个法则再来观察自然界时，就惊奇的发现原来在自然界的许多优美的事物中的能看到它，如植物的叶片、花朵，雪花，五角星……许多动物、昆虫的身体结构中，特别是人体中更是有着丰富的黄金比的关系。当人们认识了这一自然法则之后，就被广泛地应用于人类的生活之中。此后，在我们的生活环境中，就随处可见了，如建处门窗、橱柜、书桌；我们常接触的书本、报纸、杂志；现代的电影银幕。电视屏幕，以及许多家用器物都是近似
高中数学史集黄金分割素材
黄金分割 （浙江省宁波市镇海区外语实验学校 315200）余满龙 在初中数学的相似形这一章中有“黄金分割”的简单介绍：把一条线段（PQ ）分成两条线段，使其 中较大的线段（PC ）是原线段（PQ ）与较小线段（CQ ）的比例中项，这种分法用途广泛，且美观，所以人们把它称为黄金分割也称“中外比”或“中末比”。（如图1） 世界上最早接触黄金分割的是古希腊的毕达哥拉斯学派。公元前4世纪（二千多年前），古希腊数学家欧多克斯（约公元前408～公元前355）第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。他发现: 在这个几何问题里，若CQ 与PC 之比等于PC 与PQ 之比， 那么这一比值就等于…，用式子表示就是: 618.0215=-==PQ PC PC CQ 这个神奇的数字已经让我们着迷了几千年但实际上，这个黄金分割很早就存在了，我们 从 Andros 神庙(公元前10000年)就可以看出,而Kheops (公元前2800年)金字塔(如右图)表现的尤为明显。几何学家，哲学家和建筑师都认为黄金分割是一组非常奇特的比例，是一种空间的和谐，能够组成精确的比例。公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克斯的工作，系统论述了黄金分割，成为最早的有证论着。欧多克斯就是从整个比例论的角度考虑黄金分割，他还把上述的C 点分PQ 所成的比PC:CQ 叫做“中外比”。欧多克斯发现这种线段之间的中外比关系存在于许多图形中。如正五边形中， Kheops (公元前Q C P 图1
莱奥纳多·达·芬奇 相邻顶角的两条对角线互相将对方分成中外比，而较长的一段等于正五边形的边。如果将有理线段分成中外比，那末被分成的两个线段长是无理数。 文艺复兴时期的欧洲，由于绘画艺术的发展，促进了对黄金分割的研究。当时，出现了好几个身兼几何学家的画家，着名的有帕奇欧里、丢勒、达芬奇等人。他们反几何学上图形的定量分析用到一般绘画艺术，从而给绘画艺术确立了科学的理论基础。 1228年，意大利数学家斐波那契在《算盘书》的修订本中提出“兔子问题”，导致斐波那契数列：1，1 ，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……，它的每一项与后一项比值的极限就是黄金分割数，即黄金分割形成的线段与全线段的比值。(即设F 1 =1，F 2 =1，F n = F n-2 + F n-1，n ≥3，则) 1525年丢勒制定了充分吸收黄金分割几何意义的比例法则，揭示了黄金分割在绘画中的重要地位。丢勒以为，在所有矩形中，黄金分割的矩形，即短边与长边之比为2 15 的矩形最美观。因为这样的矩形，“以短边为边，在这个矩形中分出一个 正方形后，余下的矩形与原来的矩形相似，仍是 一个黄金分割形的矩形”，这使人们产生一种 “和谐”的感觉。 后来意大利伟大画家达·芬奇(1452-1519)(如右图)把欣赏的重点转到使线段构成中外比的分割，而不是中外比本身，提出了“黄金分割”这一名称。这一命名一直延用至今。 欧洲中世纪的物理学家和天文学家开普勒（J ．Kepler1571—1630），曾经说过：“几何学里有二个宝库：一个是毕达哥拉斯定理（我们称为“商
苏科版数学九年级下册教案-6.2 黄金分割
《黄金分割》教学设计 一、教材分析： 本节课是初中数学九年级下册的内容，一方面，这是在学习了线段的比的基础上，对比例性质的的进一步深入和拓展；另一方面，又为学习相似三角形等知识奠定了基础，是进一步研究相似图形及其性质的工具性内容。鉴于这种认识，本节课在此本书中有重要的地位，本节课不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。 黄金分割是现实生活中存在的一种现象，广泛的应用在设计、艺术等领域中，比如黄金矩形，就是黄金分割在设计中的一个主要应用：在设计建筑物、工艺品、日常用品涉及矩形时，如果设计成黄金矩形，看起来更具有美感.学生体会到数学与自然及人类社会的密切关系，丰富了学生的数学活动经验，促进了学生观察、分析、归纳、概括的能力和审美意识的发展。 通过学习“黄金分割”这样的题材，进一步体会数学的文化价值.有效的激发学生学习数学的兴趣，发展学生的动脑、动手能力，培养学生思维能力，增强学生学习数学自信心。有助于增强学生的创新意识和实践能力，为学生提供了实践和探索的机会。 这节课也有数学实验的味道，学生在具体活动中体验数学知识，并在现实情境中和已有知识的基础上体验和理解数学知识，是学生自己建构、探索数学知识的活动. 二、学情分析： 1、学生已有基础：学生对于真实情境以及现实生活中的数学问题具有极大的学习兴趣.而且,在前面的学习中,学生经历过探索概念的形成过程，获得了初步的数学活动经验和体验.学生对黄金分割的定义理解不存困难.也学过无理数、比例线段和一元二次方程的解法，,所以对于黄金比既能求出准确值也能算出近似值。 2、学生面临问题：学生思维能力处于发展阶段，动手能力较弱。 本节课引导学生从数学的角度思考问题，引导学生一步步的走入要解决的问题中心去，让学生自主、积极思维的同时，运用自己已有的知识去探索发现，感受数学的人文价值和与生活间的联系。
数学之美——黄金分割(图形相似)汇总
数学之美——黄金分割 前 言 数学可以说是各学科的灵魂，数学中蕴涵着文化价值、美学价值、以及经济价值，而这些价值究竟是如何体现的?随着我国教育水平的逐步提高，我们对数学这门科学的学习更加透彻，我们就以数学中的两大宝藏之一“黄金分割”为例，黄金分割是我们最常见的一种和谐比例关系，即是毕达哥拉斯学派提出的“黄金分割”又称“黄金段”或“黄金率”。在初中教学中对黄金分割的了解还不是很深，只是对黄金分割的定义做了简单的说明和简单的练习。随着我们数学能力水平的提升，我们了解到了许多重要的与黄金分割相关联的数学知识，本节主要解决杨辉三角形等数学量与黄金分割的关系，以及与黄金分割有关的一些概念，最后，将进一步阐述黄金分割的实际应用，可见黄金分割用途之广泛，影响之深远。 另外，我真诚的希望通过本节学习，能够让学生更多的了解黄金分割的实质和内涵，对以后的学习有进一步的帮助。 一、黄金分割的起源与发展 1.1 黄金分割的定义 古希腊雅典学派的第三大数学家欧道克萨斯首先提出黄金分割。所谓黄金分割，指的是把长为L 的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比。证明方法为： 设有一根长为1的线段AB 在靠近B 端的地方取点C ，)(CB AC >使AC AB CB AC ::= 则点C 为AB 的黄金分割点。 设x AC =，则x BC -=1 代入定义式AC AB CB AC ::= 可得 x x x :1)1(:=- 即 012 =-+x x 解该二次方程：2151--= x 2 152-=x 其中1x 为负值舍掉。 所以 2 15-=AC 约为618.0.
黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618。0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。 有趣的是，这个数字在自然界和人们生活中到处可见：人们的肚脐是人体总长的黄金分割点，人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点。大多数门窗的宽长之比也是0.618；有些植茎上，两张相邻叶柄的夹角是137度28'，这恰好是把圆周分成1:0.618的两条半径的夹角。据研究发现，这种角度对植物通风和采光效果最佳。 建筑师们对数学0.618特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎的圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，都有与0.618有关的数据。人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处。艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美。 1.2黄金分割的发展史 据记载黄金分割是在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为“金法”，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为“各种算法中最宝贵的算法”。这种算法在印度称之为“三率法”或“三数法则”，也就是我们现在常说的比例方法。 其实有关“黄金分割”，我国也有记载。虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的，后来传入了印度。经考证。欧洲的比例算法是源于我国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的，而不是直接从古希腊传入的。 由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边 形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。 公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。 公元前300年前后欧几里得撰写《帕乔利》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。 中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数学家帕乔利称中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。 到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行。黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。最著名的例子是优选学中的黄金分割法或0.618法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代在中国推广。 其实，黄金分割比在未发现之前，在客观世界中就存在的，只是当人们揭示了这一奥秘之后，才对它有了明确的认识。当人们根据这个法则再来观察自然界时，就惊奇的发现原来在自然界的许多优美的事物中的能看到它，如植物的叶片、花朵，雪花，五角星……许多
浙教版初中数学九年级比例线段及黄金分割(基础) 知识讲解
比例线段及黄金分割（基础） 知识讲解 【学习目标】 1、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段； 2、会运用比例线段解决简单的实际问题； 3、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点. 【要点梳理】 要点一、比例线段 【： 394495 图形的相似 预备知识】 1．成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 2．比例的性质： （1）基本性质：如果 a c b d =，那么ad bc =. （2）合比性质：如果++==.a c a b c d b d b d ，那么 如果--==.a c a b c d b d b d ，那么 要点诠释： （1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比； （2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关； （3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数． 要点二、黄金分割 1.定义： 点C 把线段AB 分割成AC 和CB 两段,如果AC BC AB AC =,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比. 要点诠释： AC AB =≈叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 图4－7 如图，已知线段AB ，按照如下方法作图： （1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD = 2 1AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB .
（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点. 要点诠释： 一条线段的黄金分割点有两个. 【典型例题】 类型一、比例线段 1. （2016?兰州模拟）若a ：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（ ） A ．2a=3b B ．3a=2b C ． D ． 【思路点拨】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案． 【答案】B ． 【解析】A 、2a=3b ?a ：b=3：2，故选项错误； B 、3a=2b ?a ：b=2：3，故选项正确； C 、=?b ：a=2：3，故选项错误； D 、=?a ：b=3：2，故选项错误． 故选B ． 【总结升华】考查了比例的性质．在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积． 举一反三： 【变式】（2015?崇明县一模）已知=，那么下列等式中，不一定正确的是（ ）． A ．2a=5b B. a b 52= C. a+b=7 D.a b b 72 += 【答案】C ． 2. 设432z y x ==，求2222232z xy x z yz x --+-的值． 【思路点拨】由已知条件利用解方程的思想不能求出x ，y ，z 的值，因此用设参数法代入化简． 【答案与解析】设4 32z y x ==＝k 则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k 原式＝2222)4(322)2()4(433)2(2k k k k k k k k -??-+??-?＝222412k k --＝2 1 【总结升华】解此类题学生容易误认为设k 后，未知数越多更不易解出，实际上分子、分母能产生公因式约去． 类型二、黄金分割
黄金分割论文
数学应用案例讲座——黄金分割 黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618。0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。 黄金比例，又称黄金比，是一种数学上的比例关系。黄金分割具严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。应用时一般取0.618或1.618 ，就像圆周率在应用时取3.14一样。黄金分割早存在于大自然中，呈现于不少动物和植物外观。现今很多工业产品、电子产品、建筑物或艺术品均普遍应用黄金分割，呈现其功能性与美观性。 常用希腊字母表示黄金比值，用代数式表达就是： 黄金比例是属于数学领域的一个专有名词，但是它最后涵盖的内容不只是有关数学领域的研究，以目前的文献探讨我们可以说黃金比例的发现和如何演进至今仍然一个谜。但有研究指出公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割的一些规则，也发现了无理数。他侧重于从数学关系去探讨美的规律，并认为美就是和谐与比例，按照这种比例关系就可以组成美的图案，这其实是一个数字的比例关系，即将一条线分成两部分，较长的一段与较短的一段之此等于全长与较长的一段之比，它们的比例大约是1.618:1。按此种比例关系组成的任何事物都表现出其内部关系的和谐与均衡。 公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。 中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数学家帕乔利称中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。德国天文学家开普勒称神圣比例为黄金分割。到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行，而证据在于德国数学家欧姆所写的“基本纯数学”的第二版一书中在注释中写到有关黃金比例的解释，他是这样写的“人们习惯把按此方式将任一直线分割成两部分的方法，称为黄金分割”而在1875出版的大英百科全书的第九版中，苏利有提到这一段话“由费区那……提出的有趣、实验性浓厚的想法宣称，‘黄金分割’在视觉比例上具有所谓的优越性。”可见黄金分割在当时已经流行了。二十世纪时美国数学家巴尔也给他一个叫phi的名子。黄金分割有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛，造就了他今天的名气。最著名的例子是优选学中的黄金分割法或0.618法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代在中国推广。 黄金分割应用领域很广泛，包括艺术创作、人体美学、植物、作息制度、医学、股市等
初二数学知识点归纳：黄金分割数1
初二数学知识点归纳：黄金分割数1 黄金分割数： 把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。 黄金分割: 黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1∶0618或1618∶1，即长段为全段的0618。0618被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。 黄金分割线: 黄金分割线是一种古老的数学方法。黄金分割的创始人是古希腊的毕达哥拉斯，他在当时十分有限的科学条下大胆断言： 一条线段的某一部分与另一部分之比，如果正好等于另一部分同整个线段的比即0618，那么，这样比例会给人一种美感。 后来，这一神奇的比例关系被古希腊著名哲学家、美学家柏拉图誉为“黄金分割律”。黄金分割线的神奇和魔力，
在数学界上还没有明确定论，但它屡屡在实际中发挥着意想不到的作用。 黄金分割线的最基本公式，是将1分割为0．618和0．382，它们有如下一些特点： （1）数列中任一数字都是由前两个数字之和构成。 （2）前一数字与后一数字之比例，趋近于一固定常数，即0．618。 （3）后一数字与前一数字之比例，趋近于1．618。 （4）1．618与0．618互为倒数，其乘积则约等于1。 （）任一数字如与前面第二个数字相比，其值趋近于2．618；如与后面第二个数字相比，其值则趋近于0．382。 理顺下来，上列奇异数字组合除能反映黄金分割的两个基本比值0．618和0．382以外，尚存在下列两组神秘比值。 即：（1）0．191、0．382、0．、0．618、0．809（2）1、1．382、1．、1．618、2、2．382、2．618 黄金分割点: 把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，用分数表示为/2，取其前三位数字的近似值是0618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这个分割点就叫做黄金分割点（gldensetinrati通常用φ表示）这是一个十分有趣的数字，我们以0618来近似表示，通过
关于黄金分割数学论文
关于黄金分割数学论文 学生姓名：柳静漪班级：初一四班
一．简述黄金分割 1.黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618。0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。 2.关于黄金分割比例的起源大多认为来自毕达哥拉斯，据说在古希腊，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听。他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数理的方式表达出来,被应用在很多领域，后来很多人专门研究过，开普勒称其为“神圣分割”,也有人称其为“金法”。在金字塔建成1000年后才出现毕达哥拉斯定律，可见这很早就存在,只是不知道这个谜底。 3.把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是（√5-1）：2，取其小数点后三位的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现：1÷0.618≈1.618 （1-0.618）÷0.618≈0.618 或根号5减1的差除以二。如图所示，黄金分割图形 二．黄金分割与生活 1.黄金分割与人体 人体肚脐的位置到脚底的长度与人体身高的比值符合黄金比例 例如一个人身高为136cm，从肚脐到脚底有84cm，肚脐以上52cm，则52:84=0.619……，同时84:136=0.618……，符合黄金分割比例。 2.黄金分割与建筑物 从4600年前修建的埃及金字塔，到2400年前修建的巴特农神殿，到埃菲尔铁塔、东方明珠、联合国大厦，在许多著名的建筑中，人们发现了一个惊人的巧合，那就是，它们都运用了黄金分割。 3.黄金分割与乐器 斯特拉迪瓦里在制造他那有名的小提琴时，运用了黄金分割来确定f形洞的确切位置；二胡要获得最佳音色，其千斤须放在琴弦长度的0.618处。 三．黄金分割与数学 1.黄金分割与图形 ①黄金分割三角形 正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形。黄金分割三角形有一个特殊性，所有的三角形都可以用四个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形，但黄金分割三角形是唯一一种可以用5个而不是4个与
黄金分割
《黄金分割》教案 李鹏辉 一、教材分析 《黄金分割》是北师大版数学八年级下册的一节内容。在以往的教学中，大都将“黄金分割”作为比例线段的应用来处理，学生学过以后，丝毫感受不到“黄金分割”的实用价值，体会不到“黄金分割”所带来的美的享受。因此，本节课除了讲授黄金分割的定义及其作图方法之外，让学生阅读有关资料，从日常生活中找出一些黄金分割的例子，使学生亲身感到数学知识的作用，从而更促进对知识的理解，体会黄金分割的文化价值以及在人类历史上的作用和影响。 二、教学目标 1．知识与技能 （1）了解黄金分割的有关概念。 （2）在应用中进一步理解线段的比、成比例线段等相关内容。 2．过程与方法 （1）通过自主探究学习，体验黄金分割的尺规作图的方法。 （2）通过本课知识的学习，体验问题解决的过程与方法。 3．情感态度与价值观 （1）通过发现学习，树立学习的自信心。 （2）通过学习，体会黄金分割的文化价值以及在人类历史上的作用和影响。 三、教学重点、难点分析 1．教学重点：黄金分割的定义以及应用。 2．教学难点：黄金分割的引入以及学生对黄金分割的价值的理解。 四、教学策略选择 主要采用自主学习、自我探究的学习策略。 五、教学过程 1．问题引入，引发思考 教师：利用Flash将有关图片以滚动的形式出现，教师根据图片的内容提出问题： （1）五星红旗为什么做成这种形状，不是正方形或其他形状？ （2）为什么翩翩起舞的芭蕾舞演员要踮起脚尖? （3）为什么世界上许多人都对维纳斯着迷？ （4）两幅相片中你觉得那幅构图美观？ 学生：对问题进行思考、猜想并进行回答。 设计意图：问题的提出，激发学生学习本节课的兴趣，为本节课的内容进行了铺垫。 2．投票选举，激发兴趣 教师：让学生进行投票——在给出的一组矩形选出一个自己心目中觉得漂亮的矩形（如图2）。 学生：进行投票 设计意图：从投票中引入黄金矩形的一个典故，从中引入新课。 3．动手操作，发现新知 教师：布置任务——测量黄金矩形的长与宽，五角星中的对角线所分成的线段的比 （1）学生从操作中归纳概念。 （2）介绍黄金分割的有关概念。 学生：动手操作，并互相交流，发现黄金比，并用自己的语言说出黄金分割的概念。 设计意图：让学生主动参与学习活动，经历发现黄金比，让学生感受发现知识的乐趣，增强学习的自信心。 4．运用新知，练习训练 设计意图：通过巩固练习加深学生对黄金分割的理解（进行巡视，及时发现问题）。 5．介绍作图，验证作图
黄金分割论文
黄金分割及应用 李新英摘要：黄金分割比在未发现之前，在客观世界中就存在的，只是当人们揭示了这一奥秘之后，才对它有了明确的认识。当人们根据这个法则再来观察自然界时，就惊奇的发现原来在自然界的许多优美的事物中的能看到它，如植物的叶片、花朵，雪花，五角星……许多动物、昆虫的身体结构中，特别是人体中更是有着丰富的黄金比的关系。当人们认识了这一自然法则之后，就被广泛地应用于人类的生活之中。此后，在我们的生活环境中，就随处可见了，如建处门窗、橱柜、书桌；我们常接触的书本、报纸、杂志；现代的电影银幕。电视屏幕，以及许多家用器物都是近似这个数比关系构成的。它特别表现艺术中，在美术史上曾经把它作为经典法则来应用，许多艺术家自觉地被黄金分割的魅力所诱惑，从而使数学与艺术创作紧密的结合起来，创造了不少不朽的名著。 关键词：黄金分割；艺术创作；斐波那契数列 1.引言 大千世界的万事万物都有其独特的结构形式，因而关于形体的结构比例也是多种多样的。人们最常见的一种和谐比例关系，就是毕达哥拉斯学派提出的“黄金分割”，又称“黄金段”或“黄金律”。黄金分割指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值是5^/2-1/2或二分之根号五减一，取其前三位数字的近似值是0.618。0.618被公认为最具审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现： 1/0.618=1.618 [1] (1-0.618)/0.618=0.618
这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。黄金分割〔Golden Section〕是一种数学上的比例关系。黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。其无穷魅力再许多伟大的作品中都有体现。 2.神奇美妙的黄金分割 2.1黄金分割的起源与数学证明 公元前4世纪，古希腊著名的数学家、天文学家欧多克斯，他曾研究过大量的比例问题，提出“中外比”。虽然最先系统研究黄金分割的是欧多克斯，但是，现在人一般认为，黄金分割是由公元前6世纪的毕达哥拉斯发现的。用C点分割木棒AB，整段AB 与长段CB之比，等于长段CB与短段AC之比。 毕达哥拉斯还发现，把较短的一段放在较长的一段上面，也产生同样的比例，这一规律可以重复下去。 经计算得出结沦：长段a（CB）与短段b（AB）之比为1:0.618，其比值为0.618。可用下面的等式表达 a：b= ( a +b) ：a 即长段长度的平方又恰等于整个木棒与短段长度的乘积，即 2 a= (a+b) b 在《几何原本》一书中，欧几里得将黄金分割做了系统的论述，这一神奇的比例关系，后来被古希腊著名哲学家、美学家柏拉图誉为“黄金分割律”，简称“黄金律”、“黄金比”。19世纪威尼斯数学家帕乔里将黄金分割律誉为“神赐的比例”。文艺复兴时期，许多艺术大师把黄金分割与人们的审美联系在一起。黄金分割更被广泛的应用于艺术创作之中。 黄金分割是古希腊人的重大发现，表现为数学命题：已知一线段，试把它分成两部分，使长的一段为短的一段和原线段的比例中项。 例：设原线段常为a，分成长为一段长为x，那么短的一段长为a-x。如图
黄金分割中的数学文化
黄金分割中的数学文化 姓名：邱秀林班级：工业工程121 学号：5404312093 摘要：“数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。”数学中蕴涵的文化价值是客观存在的，数学的本质是一种文化，数学不仅闪烁着理性智慧的光芒，更有艺术审美的享受以及厚重的文化意向。“黄金分割”被誉为数学的两大宝藏之一，它来源于实际生活，并在实际生活中得到应用，只要留心，到处都可发现这位美的“使者”的足迹。黄金分割对我们的审美、思维方式、价值观念以及世界观等方面将产生重要的影响。 关键词：文化价值黄金分割数学美思想方法 黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618。0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。 有趣的是，这个数字在自然界和人们生活中到处可见：人们的肚脐是人体总长的黄金分割点，人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点。大多数门窗的宽长之比也是0.618；有些植茎上，两张相邻叶柄的夹角是137度28'，这恰好是把圆周分成1:0.618的两条半径的夹角。据研究发现，这种角度对植物通风和采光效果最佳。 建筑师们对数学0.618特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎的圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，都有与0.618有关的数据。人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处。艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美。 一、黄金分割的起源 人们认为，黄金分割作图与正五边形、正十边形和五角星形的作图有关——特别是由五角星形作图的需要引起的。五角星形是一种很耐人寻味的图案，世界许多国家国旗上的“星”都画成五角形。现今有将近40个国家（如中国、美国、朝鲜、土耳其、古巴等等）的国旗上有五角星。为什么是五角而不是其他数目的角？也许是古代留下来的习惯。 五角星形的起源甚早，现在发现最早的五角星形图案是在幼发拉底河下游马鲁克地方（现属伊拉克）发现的一块公元前3200年左右制成的泥板上。 古希腊的毕达哥拉斯学派用五角星形作为他们的徽章或标志，称之为“健康”。可以认为毕达哥拉斯已熟知五角星形的作法，由此可知他已掌握了黄金分
九年级数学学案： 第4课时 黄金分割
天才是百分之一的天分,再加上百分之 九十九的努力 第4课时黄金分割 学习目标： 1、认识线段的黄金分割，理解黄金分割的概念. 2、会运用黄金分割进行相关计算和证明. 学习重点：比例性质的应用和黄金分割的概念. 学习难点：运用黄金分割解决实际问题. 【预习案】 一、链接 请写出比例的基本性质. 二、导读 阅读课本P95-96，回答下列问题： （1）叫做黄金分割．（2）黄金分割点是如何确定的？一条线段有几个黄金分割点？ 叫做线段的黄金分割点，叫做黄金比. 【探究案】 ㈠、黄金分割的定义：
1、动手操作，然后算一算，完成下面的填空： 度量线段AC 、BC 的长度，线段AC= ，BC= ， 计算AB AC = 、AC BC = , AB AC 与AC BC 的值 A B C 相等吗？ ※在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段 和 ，如果 = ， 那么称线段AB 被点C ，点C 叫做线段AB 的 ，AC 与AB 的比叫做 。其中AB AC = ≈ ※⑴、黄金分割是一种分割线段的方法，一条线段的黄金分割点有 个。 ⑵、黄金比是两条线段的比，没有单位，它的比值为 ，精确到0.001为 。 2、想一想：点C 是线段AB 的黄金分割点，则AB AC = 。 ㈡、确定黄金分割点： 如图，已知线段AB ，按照如下方法作图： （1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD= 21AB. （2）连接AD ，在DA 上截取DE=DB. （3）在AB 上截取AC=AE.点C 就是线段AB 的黄金分割点。 ㈢、黄金矩形： 宽与长的比是：的矩形叫做黄金矩形。 【训练案】 1、若点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞CB ，则AB ：AC= ；BC ：AB= . 2、若在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中， =11B A AB =11C B BC 1111CD DA C D D A ==58且四边形A 1B 1C 1D 1的周长为80cm ，求四边形ABCD 的周长. 3、已知，如图在 △ABC 中 EC AE DB AD = E D A A B 5?12
精品毕业论文数学中的黄金分割美
目录 中文摘要 (Ⅰ) 英文摘要 (Ⅱ) 前言 (1) 一、黄金分割理论发展概况 (2) （一）黄金分割概述 (2) （二）黄金分割理论的产生和发展 (3) 二、现实生活中的黄金分割 (4) （一）人体中的黄金分割 (4) （二）自然界中的黄金分割 (5) （三）艺术作品中的黄金分割 (6) （四）著名建筑中的黄金分割 (7) （五）自然现象中的黄金分割 (8) 三、黄金分割与证券投资 (9) （一）家庭理财中的黄金分割法 (9) （二）证券价格预测中的黄金分 (9) （三）波浪理论 (10) 结束语 (12)
参考文献 (13) 致谢 (15)
数学中的黄金分割美 摘要 黄金分割是世界上最优美的比例之一，是将一条线段分成不相等的两段，使较小线段与较大线段的比等于较大线段与整个线段的比。黄金分割作为自然界普遍存在的客观规律，是自然界现象之间必然的、实质性的、不断重复着的关系，体现了客观世界统一性与多样性的辩证关系，它在科学研究中被广泛运用。斐波纳契数列又称黄金分割数列，是一个蕴含黄金分割关系的神奇数列。黄金分割广泛存在于我们的生活中。在股市上，黄金分割率为艾略特所创的波浪理论所套用，被投资人士广泛采用。波浪理论的数学基础，就是在13世纪发现的斐波那契数列。本文通过对黄金分割在不同领域的运用和不同地方的体现进行分析，去揭示那些神秘现象，体现了人与社会、人与自然的和谐。 关键词：黄金分割；斐波那契数列；波浪理论
The beauty of Golden section in mathematics Abstract Golden section is one of the world's most beautiful proportions. It is a ratio that the smaller line segment divided by the longer one equals to the longer one divided by the whole line segment, when divide a line segment into two. Golden section, as the common objective law of nature, is a kind of relationship that is inevitable substantive and repeated between natural phenomenas. It reflects the dialectical relationship between unity and diversity of the objective world and is widely used in scientific research. Fibonacci Sequence, also known as golden sequence, is a magic sequence which contains golden section relation. Golden section widely exists in our lives. In the stock market, golden section is used by Eliot to create wave theory, and is widely used by investors. The mathematical basis of the wave theory is Fibonacci sequence, which is fond in the 13th century. This article reveals the mysterious phenomenons through the analysis of the use of golden section in many different areas, reflects the harmony between human and society and between human and nature. Keywords：Golden Section；Fibonacci Sequence；wave principle