【精】灰色系统理论与建模

si
灰色相对关联度
实例：农业产值
优势分析
❖ 当参考数列不止一个，被比较因素也不止一个时，就 可以进行优势分析，称参考数列为母数列（或母因素 ），比较数列为子数列（或子因素），由母数列与子 数列可构成关联矩阵。
❖ 通过关联矩阵各元素间的关系，可以分析哪些因素是 优势，哪些属非优势。
❖ 如果R中某一个元素大于所有其他元素，则该行的母 因素是所有母子因素中最密切，即影响最大的。即根 据R中各个列关联度的大小来判断子因素与母因素的 作用，分析哪些因素是主要影响，哪些是次要影响。 起主要影响的因素称优势因素。因此相应地有优势母 因素与优势子因素。
2.灰色关联
灰色关联分析
灰色关联分析的基本思想 灰色关联度分析是对于一个系统发展变化态势的定
量比较与描述。只有弄清楚系统或因素间的这种关联关 系，才能对系统有比较透彻的认识，分清哪些是主导因 素，哪些是潜在因素，什么是优势，什么是劣势。为进 行系统分析、预测、决策、规划与发展战略研究打好基 础。
原始数据变换
❖ （1）均值化变换。先分别求出各个原始数列的平均 值，再用均值去除对应序列中每个数据，便得到新的 数据列，即均值化序列。新序列中各数无量纲，数值 大于0，并大多在1左右。曲线图上数据列互相相交 。
❖ （2）初值化变换。分别用原始序列的第一个原始数 据去除后面的各个数据，得到其倍数数列，即初值化 序列。新序列中各数无量纲，数值大于0，且在曲线 图上各比较序列有了同一个起点。
要求典型分布 历史统计规律
重复再现 无限信息
认知不确定 模糊集 隶属函数 边界取值 经验数据 内涵明确 认知表达 外延量化 经验信息
❖ 灰色系统理论是研究解决灰色系统分析、建模、 预测、决策和控制的理论.
❖ 灰色预测是对灰色系统所做的预测. ❖ 目前常用的一些预测方法（如回归分析等），需
要较大的样本.若样本较小，常造成较大误差，使 预测目标失效.灰色预测模型所需建模信息少，对 实验观测数据没有什么特别的要求和限制，运算 方便，建模精度高，在各种预测领域都有着广泛 的应用，是处理小样本预测问题的有效工具。
刘思峰.灰色系统理论及其应用（第5版）（附光盘1张）.科学出版社，2010
表1 “灰”、“概率”、“模糊”的区别
灰色系统 概率统计 模糊集
内涵 基础 依据 手段 特点 要求 目标 思维方式 信息准则
小样本不确定 灰朦胧集 信息覆盖 生成 少数据
允许任意分布 现实规律 多角度 最少信息
大样本不确定 康托集 概率分布 统计 多数据
❖ 第三，数据量要求不同，关联分析不要求太多的数据， 而回归分析则必须有足够多的数据量；
❖ 第四，关联度分析主要研究系统的动态过程，而回归分 析则以静态研究为主。
❖ 可见，关联度分析更适用于社会经济系统。
关联度分析的步骤：
❖ 原始数据变换 ❖ 计算关联系数 ❖ 求关联度 ❖ 排关联序 ❖ 列出关联矩阵。
n
则称 si 1 (Xi xi (1))dt
n
s0 1 (X 0 x0 (1))dt
si s0
n 1
(X
0 i
X0 0)dt为 X 0 与 X i 的灰色绝对关联度，简称绝对关联度。
X （其中，X
0 0
与
X
0 i
为 X0
与
i 的始点零化像
0i
1
1 s0 s0 si
si s0
1.1 灰色系统的定义
灰色系统是黑箱概念的一种推广。我们把既含有已知
信息又含有未知信息的系统称为灰色系统.作为两个极 端，我们将称信息完全未确定的系统为黑色系统；称 信息完全确定的系统为白色系统. 区别白色系统与黑色系统的重要标志是系统各因素之 间是否具有确定的关系。
1.2 灰色系统的特点
（1）用灰色数学处理不确定量，使之量化. （2）充分利用已知信息寻求系统的运动规律. （3）灰色系统理论能处理贫信息系统.
为两极最小差
为两极最大差成为分辨率
， 0 1 一般取 0.5
对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系数前应首先进
行初始化，即对该序列所有数据分别除以第一个数据
（2）关联度
Xˆ 0 k 和 X 0 k 的关联度
r 1
n
k
n k 1
灰色绝对关联度
设系统行为序列 X 0 与 X i 长度相同，
根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系 是否紧密。曲线越接近，相应序列之间关联度就越大， 反之就越小。
灰色系统理论的关联分析与数理统计学的回 归分析比较
❖ 首先，它们的理论基础不同，关联分析基于灰色系统理 论的灰色过程，而回归分析基于概率论的随机过程；
❖ 其次，分析方法不同，关联度分析是进行因素间时间序 列的相对变化的计算和比较，而回归分析是因素间各对 数组数值之间的计算；
灰色系统理论与建模
讲授内容
❖1.灰色系统的定义和特点 ❖2 .灰色关联 ❖3.灰色预测模型GM(1,1) ❖4.实例 ❖5.其他灰色预测模型 ❖6.课后作业
1. 灰色系统的定义和特点
灰色系统理论基础
❖ 1982年，中国学者邓聚龙教授创立的灰色系统理论（ Gray Forecast Model） ，是一种研究少数据、贫信息 不确定问题的新方法。灰色系统理论以“部分信息已 知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确 定系统为研究对象，主要通过对部分已知信息的生成 、开发，提取有价值的信息、实现对系统运行行为、 演化规律的正确描述和有效监控。
❖ 一般情况下，对于较稳定的社会经济系统进行发展态 势的关联度分析时，多采用初值化变换，因这样的数 列多数呈增长的趋势。
关联度
关联度分析是分析系统中各因素关联程度的方法 ，在计算关联度前应计算关联系数。
（ 设1）关联系数：X 0 k X 0 1, X 0 2,..., X 0 n Xˆ 0 k Xˆ 0 1, Xˆ 0 2,..., Xˆ 0 n
则关联系数定义为：
min min Xˆ 0 k X 0 k max max Xˆ 0 k X 0 k
(k)
Xˆ 0 k X 0 k max max Xˆ 0 k X 0 k
式中：
Xˆ 0 k X 0 k 为第k个点 X 0 和 Xˆ 0 的绝对误差
min min Xˆ 0 k X 0 k max max Xˆ 0 k X 0 k