系统建模理论与自适应控制
控制律设计
控制律设计一、简介控制律设计是指通过数学模型和控制理论方法，设计出可以使系统稳定、精确地跟踪期望状态或轨迹的控制律。
在自动控制领域中，控制律设计是一项重要而又复杂的任务，它涉及到系统建模、性能指标选择、控制策略设计等多个方面。
本文将对控制律设计的相关内容进行全面、详细、完整地探讨。
二、系统建模系统建模是进行控制律设计的第一步，它的目的是将实际系统抽象成一个数学模型，以便于后续的控制分析与设计。
系统建模可以基于物理定律、实验数据或者经验法则来进行。
常见的系统建模方法包括微分方程建模、传递函数建模和状态空间建模等。
以下是一些常用的系统建模方法：1. 微分方程建模微分方程建模是一种常见且基础的建模方法，它将系统的动态行为用微分方程的形式来描述。
通常需要根据系统的物理特性、控制对象的动力学方程等来建立微分方程模型。
2. 传递函数建模传递函数建模是一种将输入与输出之间的关系表示为有理函数的建模方法。
通过对系统进行频域分析，可以将系统的传递函数表示为输入信号的拉普拉斯变换与输出信号的拉普拉斯变换之比。
3. 状态空间建模状态空间建模是一种将系统的动态行为用一组状态变量的演化方程来描述的建模方法。
状态变量是与系统状态有关的变量，通过对系统进行状态空间分析，可以得到系统的状态空间矩阵。
三、性能指标选择性能指标是衡量控制系统性能好坏的标准，通过选择合适的性能指标可以指导控制律的设计过程。
常用的性能指标有稳态误差、超调量、响应时间等。
下面介绍一些常见的性能指标和其选择原则：1. 稳态误差稳态误差是指系统在稳定状态下输出与期望输出之间的差异。
控制律设计的目标通常是使系统的稳态误差尽可能地小。
常见的稳态误差指标有静态误差和稳态误差系数等。
2. 超调量超调量是指系统的输出在达到稳定状态之前超过期望输出的最大幅度。
控制律设计的目标通常是使系统的超调量尽可能地小。
3. 响应时间响应时间是指系统从开始响应到达到稳定状态所需的时间。
控制理论的基本知识点总结
控制理论的基本知识点总结控制理论是研究如何设计和实现能够使系统产生特定性能的方法和技术的科学。
控制理论涉及系统建模、控制器设计、稳定性分析、系统优化等方面的知识。
控制理论在工程、经济、生物学、物理学等领域有着广泛的应用，可以帮助人们设计和改进各种系统，提高系统的性能和效率。
1. 系统建模系统建模是控制理论研究的基础，它是将系统抽象成数学模型的过程。
系统模型通常采用微分方程、差分方程、状态空间方程等形式。
在建模过程中，需要考虑系统的输入、输出、状态变量以及系统的动力学特性。
通过系统建模，可以对系统进行分析、仿真和控制器设计。
2. 闭环控制系统闭环控制系统是一种通过对系统的输出信号进行测量，并将测量结果反馈给控制器，从而调节系统的输入信号的控制系统。
闭环控制系统可以实现对系统输出的精确控制，对系统的不确定性和干扰具有较强的抑制能力。
闭环控制系统的设计和分析是控制理论研究的重要内容。
3. PID控制器PID控制器是一种最常用的控制器，它由比例控制器、积分控制器和微分控制器三个部分组成。
比例控制器负责根据当前误差调节控制信号，积分控制器负责根据过去的误差累积调节控制信号，微分控制器负责根据误差的变化率调节控制信号。
PID控制器简单易用，广泛应用于各种系统的控制中。
4. 稳定性分析稳定性分析是控制系统设计和分析的重要内容，它研究系统的稳定性条件和判据。
系统的稳定性分为渐近稳定和有界稳定两种。
通过稳定性分析，可以判断系统是否稳定，设计出稳定的控制器，保证系统的性能和可靠性。
5. 系统优化系统优化是控制理论的一个重要分支领域，它研究如何设计最优的控制器以实现系统的最佳性能。
系统优化方法包括线性规划、非线性规划、动态规划、遗传算法等。
通过系统优化，可以提高系统的性能和效率，降低系统的成本和能耗。
6. 鲁棒控制鲁棒控制是一种能够在系统参数变化和外部干扰存在时保持系统稳定性和性能的控制方法。
鲁棒控制方法包括H∞控制、小波控制、自适应控制等。
自适应巡航控制系统的建模与联合仿真
自适应巡航控制系统的建模与联合仿真1、本文概述随着汽车行业的快速发展，智能驾驶辅助系统已成为现代汽车不可或缺的一部分。
自适应巡航控制（ACC）作为智能驾驶的重要组成部分，可以有效提高驾驶的安全性和舒适性。
本文旨在探索自适应巡航控制系统的建模和联合仿真方法。
通过构建精确的系统模型，结合先进的仿真技术，可以实现对自适应巡航控制系统性能的综合评估和优化。
文章首先介绍了自适应巡航控制系统的基本原理和功能，包括它的发展历史、技术特点以及它在汽车安全驾驶中的作用。
随后，文章阐述了自适应巡航控制系统的建模过程，包括车辆动力学模型、传感器模型、控制算法模型等关键部分的构建方法。
在此基础上，文章进一步介绍了联合仿真的概念及其在实现自适应巡航控制系统性能评估中的优势。
通过联合仿真，可以在虚拟环境中模拟真实的道路场景，全面测试自适应巡航控制系统的响应速度、稳定性和安全性等关键指标。
这种方法不仅降低了系统开发成本，而且提高了开发效率，为自适应巡航控制系统的实际应用提供了有力的支持。
文章总结了自适应巡航控制系统建模与联合仿真的重要性和应用前景，并展望了未来的研究方向。
本文的研究成果将为自适应巡航控制系统的优化和改进提供理论支持和实践指导，促进智能驾驶技术的发展和普及。
2、自适应巡航控制系统的基本原理自适应巡航控制（ACC）是一种智能驾驶辅助系统，旨在通过自动调整车辆的速度和与前车的距离来提高驾驶安全性和舒适性。
其基本原理主要基于车辆动力学、传感器技术和控制理论。
自适应巡航控制系统使用车辆前方的雷达或摄像头等传感器设备来检测前方道路环境和目标车辆的实时信息，包括前方车辆的距离、相对速度和动态行为。
这些信息为系统提供了决策依据。
基于所获得的前方车辆的信息，自适应巡航控制系统计算适当的加速或减速命令，并通过车辆的控制系统实现对发动机、制动系统和其他执行机构的精确控制。
该系统的目标是保持车辆与前车之间的安全距离，并在必要时自动调整速度，以适应前方交通环境的变化。
控制系统中的鲁棒自适应控制算法
控制系统中的鲁棒自适应控制算法鲁棒自适应控制算法是一种在控制系统中应用的高级控制方法，用于提高系统性能和稳定性的技术。
该算法结合了鲁棒性控制和自适应控制的特点，能够针对各种系统的不确定性和变化进行动态调整，从而保证系统的稳定性和性能。
一、鲁棒自适应控制的基本原理鲁棒自适应控制算法的基本原理是将控制系统分为两个部分：鲁棒控制器和自适应控制器。
鲁棒控制器是基于鲁棒性控制的原理设计的，能够抵抗外界的干扰和不确定性，保证系统的稳定性和鲁棒性。
自适应控制器是基于自适应控制的原理设计的，能够根据系统的动态特性进行参数的自适应调整，以保证系统的性能和响应速度。
二、鲁棒自适应控制的应用领域鲁棒自适应控制算法广泛应用于工业控制系统、航空航天系统、机器人控制系统等领域。
在这些系统中，系统参数经常发生变化，外界环境的干扰也较大，要能够在这种复杂条件下保持系统的稳定性和性能，就需要采用鲁棒自适应控制算法。
三、鲁棒自适应控制算法的主要特点鲁棒自适应控制算法具有以下几个主要特点：1. 鲁棒性：鲁棒自适应控制算法能够抵抗外界环境干扰和系统参数的变化，保持系统的稳定性和鲁棒性。
2. 自适应性：鲁棒自适应控制算法能够根据系统的动态特性进行参数的自适应调整，以保证系统的性能和响应速度。
3. 良好的鲁棒性能：鲁棒自适应控制算法具有良好的鲁棒性能，能够在各种复杂条件下保持系统的稳定性和性能。
4. 算法复杂度低：鲁棒自适应控制算法具有较低的算法复杂度，能够快速响应系统的变化，并进行相应的调整。
四、鲁棒自适应控制算法的实现方法鲁棒自适应控制算法的实现方法主要包括以下几个步骤：1. 系统建模：首先需要对控制系统进行建模，得到系统的数学模型和动态特性方程。
2. 参数估计：根据系统的实际运行数据，对系统的参数进行估计和调整，以保证控制系统的准确性和可靠性。
3. 控制器设计：根据系统的动态特性和参数估计结果，设计鲁棒控制器和自适应控制器。
4. 系统仿真：通过仿真软件对系统进行仿真，测试鲁棒自适应控制算法的效果和性能。
复杂系统的建模和控制方法
复杂系统的建模和控制方法第一章：引言复杂系统建模和控制方法是现代科学与技术发展中的关键问题之一。
复杂系统是由大量互相作用的不同部分组成的，在这些部分之间可能存在相互依赖、非线性关系与随机性影响等特性。
复杂系统建模和控制方法在很多领域中都有广泛的应用，包括物理、化学、生物、金融、环境、社会等等。
本文将从不同的角度对复杂系统的建模和控制方法进行讨论，提供一些有益的思路和建议。
第二章：常用的复杂系统建模方法在建模过程中，选择一个合适的数学模型是非常重要的。
下面列举几种常用的方法：1. 线性回归模型线性回归是一种基本的建模方法，使用线性方程来描述变量之间的相互作用以建立模型。
这种方法的适用条件是数据集中变量之间存在简单的线性关系。
2. 非线性回归模型非线性回归模型是针对存在非线性关系的数据，使用非线性方程描述变量之间的相互作用以建立模型的方法。
在模型的选择和参数估计过程中需要特别注意。
3. 神经网络神经网络是模仿人类神经系统的工作原理而建立的一种模型，可以适用于处理非线性的、高度关联的数据集。
神经网络适合建立那些数据较复杂，而且变量之间联系较为难以确定的模型。
第三章：复杂系统的控制方法复杂系统的控制方法需要结合复杂系统本身的特点和需要达到的目标来确定。
下面介绍几种常见的方法：1. 反馈控制反馈控制是一种将系统的输出信息与期望的输出信息进行比较的控制方法。
通常将期望输出信息与实际输出信息之间的误差做为反馈信号，通过对信号的处理来改变控制器的输出并影响系统的行为。
2. 非线性控制非线性控制方法依赖于非线性系统的特点，根据系统的状态和输入变量设计相应的控制器，以实现目标控制。
非线性控制通常比线性控制更加灵活，可以适用于更加复杂的系统。
3. 自适应控制自适应控制方法可以根据系统的状态与环境的变化进行调整，以达到更精准的控制效果。
自适应控制的设计需要更多的先验知识，一旦出现不良效应，容易导致系统失控。
第四章：结论复杂系统的建模和控制方法是一个相对独立的学科领域，需要跨越多个学科的边界，深入挖掘系统本身的特点。
自适应控制的控制律
自适应控制的控制律
自适应控制是一种控制系统，能够根据系统的变化自动调整控制参数以适应不确定性和变化。
自适应控制律是指在自适应控制系统中使用的控制算法或规律，它能够根据系统的实时状态和性能指标来调整控制器的参数，以实现对系统的稳定控制和优化性能。
自适应控制律的设计通常涉及到系统建模、参数识别和控制器设计等方面。
首先，需要对被控对象进行数学建模，以获取系统的动态特性和参数。
然后，通过参数识别技术，可以实时地估计系统的参数，包括未知的环境扰动和参数变化。
最后，基于系统模型和参数估计，设计自适应控制律，使得控制器能够根据实时的参数估计和系统状态来调整控制输入，以实现对系统的稳定控制和性能优化。
自适应控制律可以采用多种控制算法，包括模型参考自适应控制、自适应滑模控制、自适应神经网络控制等。
这些算法在不同的应用领域和系统中具有不同的优势和适用性。
例如，模型参考自适应控制适用于具有较好系统模型的系统，而自适应神经网络控制适用于非线性和复杂系统。
总的来说，自适应控制律通过实时地调整控制器的参数来适应系统的变化，能够提高控制系统对不确定性和变化的鲁棒性，从而在实际工程应用中具有重要的意义和价值。
自适应控制系统的建模与优化
自适应控制系统的建模与优化随着科技的不断发展，自适应控制系统越来越被广泛运用于各种工业控制领域中。
自适应控制的核心思想是系统能够自动地调整其运行参数，以便更好地适应不同的环境和操作条件。
这种控制方式可以显著提高系统的运行效率、精度和稳定性，从而对于提高生产效率和质量至关重要。
本文将介绍自适应控制系统的建模和优化方法，以及其在现代制造业中的应用。
一、自适应控制系统的建模自适应控制系统的建模是实现自适应控制的基础。
建模过程一般包括模型选择、参数估计、模型验证和调整等步骤。
1、模型选择模型选择是自适应控制系统建模的第一步。
首先需要确定控制系统的性质和操作条件，以便选择合适的模型。
在选择模型时需要考虑控制对象的动态响应特性和环境变化因素等。
2、参数估计参数估计是建立自适应控制系统模型的关键步骤。
在此步骤中，需要根据实际运行数据对模型的参数进行估计，以获得更加准确的模型。
3、模型验证模型验证是评估模型性能和精度的过程。
在此过程中需要对模型进行实验验证，以检验模型的可靠性和适用性。
4、模型调整模型调整是根据实际运行情况对模型进行优化的过程。
在这一步骤中，需要对模型进行调整或重构，以适应不同的环境和操作条件。
二、自适应控制系统的优化自适应控制系统的优化是实现自适应控制的关键所在。
优化过程主要包括自适应参数调整和控制律设计两部分。
1、自适应参数调整自适应参数调整是自适应控制系统优化的第一步。
在此过程中，需要根据系统响应特性进行合理的参数调整，以保持系统的稳定性和优良性能。
2、控制律设计控制律设计是自适应控制系统优化的核心。
在此过程中，需要根据系统动态响应特性和环境变化因素等设计合适的控制律，以确保系统的稳定性和优良性能。
三、自适应控制系统在现代制造业中的应用自适应控制系统广泛应用于现代制造业中，其应用领域包括机械加工、自动化生产线、航空航天等。
1、机械加工在机械加工领域中，自适应控制系统可以通过调整加工过程中的参数，优化加工质量和效率。
控制理论和系统工程在自动控制领域中的应用
控制理论和系统工程在自动控制领域中的应用自动控制是一门涵盖控制理论和系统工程的交叉学科，其应用领域广泛。
从家庭电器到工业生产，从交通系统到航空航天，自动控制技术的应用无处不在。
控制理论和系统工程在自动控制领域的应用，不仅实现了自动化生产和智能化发展，也提高了生产效率和安全性。
本文将介绍控制理论和系统工程在自动控制领域中的应用，并探讨其优势和挑战。
一、控制理论在自动控制中的应用控制理论是自动控制的理论基础，其主要目标是设计和分析系统的行为以实现所需的性能。
在自动控制领域中，控制理论主要应用于系统建模、控制器设计和性能评估等方面。
首先，系统建模是控制理论在自动控制中的重要应用。
通过对实际系统进行建模，可以将其抽象为数学模型。
控制理论提供了一系列模型描述方法，例如传递函数、状态空间等。
这些模型描述了系统的动态行为，为后续的控制器设计提供了基础。
其次，控制器设计是控制理论的核心内容之一。
通过分析和运用控制理论，可以设计出适应不同系统需求的控制器。
常见的控制器包括比例积分微分（PID）控制器、模糊控制器、自适应控制器等。
这些控制器根据系统的特性和性能要求，调节输入信号以实现期望的输出。
最后，性能评估是控制理论在自动控制中的关键应用之一。
通过对控制系统的性能进行评估，可以优化系统的设计和参数调整。
控制理论提供了一系列性能评估指标，例如稳定性、鲁棒性、跟踪性能、抗干扰性能等，以确保系统在各种工况下都能正常运行和保持所需的性能水平。
二、系统工程在自动控制中的应用系统工程是一种综合性的工程方法论，它通过系统论和管理科学的理论和方法，对复杂系统进行建模、分析和优化。
在自动控制领域中，系统工程主要应用于系统设计、分析和优化等方面。
首先，系统设计是系统工程在自动控制中的重要应用。
通过系统工程的方法，可以将问题抽象为系统，并利用系统论进行建模和分析。
系统设计包括功能需求分析、系统结构设计、界面设计等，以确保自动控制系统满足用户需求和技术要求。
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《系统建模理论与自适应控制》试卷一、已知三阶线性离散系统的输入、输出数据，共有40个采样值，分别用最小二乘法（LS ）的一次完成算法和递推算法、广义最小二乘法（GLS ）进行参数估计，并阐述各种算法的辨识原理，给出各种算法的程序流程图及程序注释。
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 u (k ) 0.8251 0.0988 0.4628 -0.9168 2.2325 0.0777 2.3654 0.3476 1.1473 -1.9035 y (k ) 1.5333 -1.0680 1.0666 -0.5284 -0.5835 3.1471 -3.7185 6.2149 -6.3026 7.2705k 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 u (k ) -0.9229 1.6400 -0.8410 0.7599 -0.4739 -0.1784 -1.7760 -1.6722 1.2959 -0.0591 y (k ) -9.0552 8.1735 -5.9004 3.9870 -2.2486 0.9525 -0.5325 -1.5227 0.4200 1.0786k 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 u (k ) -1.0576 -1.0071 1.1342 -0.0740 0.6759 0.5221 0.9954 0.5271 -1.7656 0.4936 y (k ) -1.5579 0.6640 -1.4222 2.6444 -2.9572 3.6340 -3.1281 3.8334 -3.2542 1.1568k 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 u (k ) 1.4810 0.9591 -3.1293 -0.3604 -0.4251 0.4185 -0.6728 -0.0027 2.1145 1.1157 y (k ) 0.0615 0.9120 -0.0692 -3.2731 3.7486 -4.3194 4.7230 -5.2781 5.1507 -2.7235一、最小二乘法（LS ） 1、数学模型设时不变SISO 动态过程的数学模型为)()()()()(11k n k u z B k z z A +=-- （1.1.1）其中，)(k u 为过程的输入量，)(k z 为过程的输出量，)(k n 是噪声，多项式)(1-z A 和)(1-z B 为：⎪⎩⎪⎨⎧+++=++++=--------nbn n n z b z b z b z B z a z a z a z A b aa 2211122111)(1)( 在本题中，a n =b n =3.即⎩⎨⎧++=+++=--------33221113322111)(1)(z b z b z b z B z a z a z a z A 将此模型写成最小二乘格式)()()(k n k k z +=θh τ （1.1.2） 其中，是过程的输出量；)(k τh 是可观测的数据向量；是均值为零的随机噪声。
式中⎩⎨⎧=---------=ττ],,,,,[)]3(),2(),1(),3(),2(),1([)(321321b b b a a a k u k u k u k z k z k z k θh 对于L k ,2,1=，方程式（1.1.2）构成一个线性方程组，可以把它写成⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡===)3()2()1()3()2()1(0)0()1(0)0()1(00)0(00)0()()2()1()](,),2(),1([)](,),2(),1([l u l u l u l z l z l z u u z z u z l l n n n n l z z z z l l l τττττh h h h （1.1.3） 利用数据序列({k z 和)}({k h ，极小化准则函数∑=-=Lk k k z J 12])()([)(θh θτ （1.1.4）使min )(=θJ 的θ估计值记作θˆ，称为参数θ的最小二乘估计值。
通过极小化（1.1.4）式来计算θˆ的方法称作最小二乘法， 未知模型参数θ最可能的值是在实际观测值与计算值之累次误差的平方和达到最小处所得到的，这种模型输出能最好地接近实际过程的输出。
2、辨识原理考虑模型（1.1.2）式的辨识问题，其中(k z 和)(k h 都是可观测的数据，θ是待估计参数，准则函数取（1.1.4）根据（1.1.3）的定义，准则函数)(θJ 可写成二次型的形式)()()(θH z H z θl l l l J --=τθ （1.2.1） 显然上式中的θH l 代表模型的输出，或者说是过程的输出预报值。
因此)(θJ 可以看作来衡量模型输出与实际过程输出的接近情况。
极小化)(θJ ，求得参数θ的估计值l l l l z ττH H H θ1)(ˆ-= （1.2.2） 将使模型的输出最好的预报过程的输出。
3、程序流程图图1 一次完成算法流程图4、程序及辨识结果程序： clc clear% 给定系统输入输出数据u=[ 0.8251 0.0988 0.4628 -0.9168 2.2325 0.0777 2.3654 0.3476 1.1473 -1.9035 ...-0.9229 1.6400 -0.8410 0.7599 -0.4739 -0.1784 -1.7760 -1.6722 1.2959 -0.0591 ...-1.0576 -1.0071 1.1342 -0.0740 0.6759 0.5221 0.9954 0.5271 -1.7656 0.4936 ...1.4810 0.9591 -3.1293 -0.3604 -0.4251 0.4185 -0.6728 -0.00272.1145 1.1157 ];开始为输入信号赋初值定义输出观测值的长度和系统的输出值给样本矩阵L H 和L z 赋值计算参数∧θ从∧θ中分离并显示出被辨识参数123123,,,,,a a a b b b结束z=[ 1.5333 -1.0680 1.0666 -0.5284 -0.5835 3.1471 -3.7185 6.2149 -6.3026 7.2705...-9.0552 8.1735 -5.9004 3.9870 -2.2486 0.9525 -0.5325 -1.5227 0.4200 1.0786 ...-1.5579 0.6640 -1.4222 2.6444 -2.9572 3.6340 -3.1281 3.8334 -3.2542 1.1568 ...0.0615 0.9120 -0.0692 -3.2731 3.7486 -4.3194 4.7230 -5.2781 5.1507 -2.7235 ];%对可观测矩阵H 赋值 H=zeros(40,6); H(1,:)=[0 0 0 0 0 0];H(2,:)=[-z(1) 0 0 u(1) 0 0];H(3,:)=[-z(2) -z(1) 0 u(2) u(1) 0]; for i=4:1:40H(i,:)=[-z(i-1) -z(i-2) -z(i-3) u(i-1) u(i-2) u(i-3)]; end%计算参数CS=inv(H'*H)*H'*z' %误差分析计算 J=0;for k=1:1:40e(k)=z(k)-H(k,:)*CS; J=J+e(k)^2; end J辨识结果：]0.00000.00000.00000.00000.00001.0000-[][ˆ321321==b b b a a a θ二、递推最小二乘法（RLS ） 1、数学模型在第一部分中建立了最小二乘法，并用一次完成算法进行了计算。
但是由于具体使用时占用内存量大，而且不能用于在线辨识。
所以引入了最小二乘参数估计的递推算法。
递推算法的基本思想可以概括成：新的估计值)(ˆk θ=老的估计值)1(ˆ-k θ+修正项 （2.1.1） 在此算法中，时不变SISO 动态过程的数学模型仍与最小二乘法的一样。
模型的最小二乘格式也相同，只是计算方法不同，具体计算方法，在递推最小二乘法的辨识原理中描述。
2、辨识原理首先将1.2.2式一次完成算法写成])()([])()([)(ˆ)(ˆ1111∑∑=-=-===li li ll l l l l i z i i i z l z h h h H P H H H θττττ （2.2.1）定义⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==∑∑-=---=-1111111ˆ)()()1(ˆ)()()(k i k k ki k k i i k P i i k P H H h h H H h h ττττ （2.2.2） 其中：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()2()1(k k τττh h h H ，⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=-)1()2()1(1k k τττh h h H 由（2.2.2）式可得：)()()1()()()()()(1111k k k k k i i k k i τττh h P h h h h P +-=+=--=-∑ （2.2.3）令：τ])1(),2(),1([1-=-k z z z k z则：])()()[1()()1(ˆ1111111∑-=------==-k i k k k k i z i k k h P z H H H θττ 于是有∑-=-=--111)()()1(ˆ)1(k i i z i k k h θP （2.2.4） 令τ])(),2(),1([k z z z k =z 利用（2.2.3）和（2.2.4）式，可得)]1(ˆ)()()[()()1(ˆ)}()()1(ˆ)]()()(){[()]()()1(ˆ)1()[(])()()[()()(ˆ1111--+-=+--=+--===--=-∑k k k z k k k k z k k k k k k k z k k k k i z i k k ki kk k k θh h p θh θh h P P h θP P h P z H H H θττττ （2.2.5）引进增益矩阵)(k K ，定义为)()()(k k k h P K = （2.2.6）则（2.2.5）式写成)]1(ˆ)()()[()1(ˆ)(ˆ--+-=k k k z k k k θh K θθτ （2.2.7） 进一步把（2.2.3）式写成11)]()()1([)(--+-=k k k k τh h P P （2.2.8） 为了避免矩阵求逆运算，利用矩阵反演公式可将（2.2.8）式演变成)1()]()([)]()()1([)(11--=+-=--k k k k k k k τP h K I h h P P τ （2.2.9） 将（2.2.9）式代入（2.2.6）式，整理后有1]1)()1()()[()1()(-+--=k k k k k k h P h h P K τ （2.2.10） 综合（2.2.7）、（2.2.9）、（2.2.10）式便得到最小二乘参数估计递推算法。