第八章 第三节
高等数学 第八章 第三节 平面及其方程
10( x 1) 15( y 1) 5(z 1) 0
化简得 2x 3 y z 6 0
第八章 第三节
16
例7 求平行于平面 6x y 6z 5 0 而与三个坐
标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程。
• B y + D =0 表示平行于 zox 面 的平面。
第八章 第三节
9
例3 设平面过原点及点 (6 , 3 , 2) ，且与平面 4x y 2z 8 垂直，求此平面方程。
解 设平面为 Ax By Cz D 0
由平面过原点知 D 0
由平面过点 (6 , 3 , 2) 6A 3B 2C 0
C
2 2
第八章 第三节
Π1
12
特别地
n2
(1) Π 1 Π 2
n1 n2
Π1
A1 A2 B1 B2 C1 C 2 0
(2) Π 1 // Π 2
n1 // n2
n2
n1
Π2
n1
A1 B1 C1 A2 B2 C2
Π2 Π1
第八章 第三节
13
例5 研究以下各组里两平面的位置关系：
第三节 平面及其方程
教学内容
1 曲面方程与空间曲线方程的概念
2 平面的点法式方程 3 平面的一般方程 4 两平面的夹角
考研要求
掌握平面方程及其求法，会求平面与平面的夹 角，并会利用平面的相互关系(平行，垂直，相交 等)，解决有关问题。
第八章 第三节
1
一、曲面方程与空间曲线方程的概念
引例 求到两定点 A(1 , 2 , 3) 和 B(2 , -1 , 4) 等距离 的点的轨迹方程。
第三节 曲面及其方程8-3
解 设M( x, y, z)是曲面上任一点，
根据题意有 | MO | 1 , | MM0 | 2
x2 y2 z2
1,
x 22 y 32 z 42 2
所求方程为
x
22
y
12
z
42
116 .
3
3 9
第八章 第三节
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.
第八章 第三节
8
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
（讨论旋转曲面）
（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面）
第八章 第三节
9
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
第八章 第三节
10
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
第八章 第三节
11
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
第八章 第三节
12
5
例 3 已知A(1,2,3)，B(2,1,4)，求线段AB 的
垂直平分面的方程.
解 设M( x, y, z)是所求平面上任一点， 根据题意有 | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32
x 22 y 12 z 42 ,
03第八章 第3节多元复合函数求导法则
u x y
v x y
z du z dv
u
v
这说明,无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表
达式一样, 这性质叫做全微分形式不变性 .
14
例 6. z eu sinv, u xy, v x y,求 z , z .
解: d z d ( eu sin v )
例 3. 设 z u v sin t , u et ,
求全导数 d z .
dt
z
解:
dz z du z dv z dt u dt v dt t
tt
vet u sin t cost
et (cos t sin t) cost
9
例 4 设w f ( x y z, xyz)，f 具有二阶 连续偏导数，求w 和 2w . x xz
f21 xyf22;
x
y
z
x
y
z
于是
2w xz
f11
xyf12
yf2
yz(
f21
xyf22 )
f11 y( x z) f12 xy2zf22 yf2.
11
例5 设z x2 f ( y , xy),其中f具有二阶连续偏导, x
f12
f2 2
zபைடு நூலகம்
uv x yx y
5
又如 z f (x,v), v (x, y)
当它们 都具有可微条件时，则有
z x
f x
f v
v x
f1
f 2 1
z y
f v
v y
第八章 第三节蛋白质和纤维素2
富含维生素的食品及制剂：蔬菜、 水果、鱼肝油、复合维生素含片等。
维生素的作用：保证人的正常 发育，促进机体的新陈代谢。
维生素的来源：人体所需的大 部分维生素不能在体内合成，必须 从食物中摄取。 故不能偏食！
维生素的组成：维生素是分子组 成和结构都较为复杂的有机物。
维生素性质
溶解性：维生素A微溶于水，维 生素D不溶于水，但都易溶于油脂， 故其制剂都是油状的。 维生素B、C 能溶于水。但加热时均易受到破坏， VC在碱性情况下也容易受破坏。
某些维生素的作用及存在: 维生素A：维持正常的视觉反应及骨 骼发育，存在于鱼肝油、肝脏、水果 中等。
维生素C：又称抗败血酸。具有酸 性及还原性。与血液凝固有密切关 系，主要存在于水果中。维生素C 具有酸性和还原性。故能使高锰酸 钾溶液褪色。
维生素D：可促进钙质的吸收而使 骨质钙化，维持正常的骨骼，存在 于鱼肝油、牛奶、蛋
第八章第3节曲面及其方程
祝同学们在新学期 取得更好的成绩
1
内容与学时
第八章 空间解析几何 6学时
第九章 多元函数微分法及其应用 20学时
第十章 重积分 12学时
第十一章 曲线积分与曲面积分 14学时
第十二章 无穷级数 18学时
第七章 微分方程 14学时
总复习 4学时
总计 88学时
2
第3节 曲面及其方程
40
习题8 3 P31
1,2，3，5，6，8（1，3）,9(1,3),10(1,4),11(3)
x
33
（三）双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
单叶双曲面
（1）用坐标面 xoy (z 0) 与曲面相截
截得中心在原点 O(0,0,0) 的椭圆.
x2 a2
y2 b2
1
z 0
34
与平面 z z1 的交线为椭圆.
x2
a
2
y2 b2
1
z12 c2
25
椭球面的几种特殊情况：
(1) a b,
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1
旋转椭球c2
1绕
z 轴旋转而成．
方程可写为
x2 y2 a2
z2 c2
1
旋转椭球面与椭球面的区别：
与平面 z z1 ( | z1 | c)的交线为圆.
26
截面上圆的方程
（讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
（讨论柱面、二次曲面）
10
第八章第3节动能与动能定理(教学设计)
课时教学设计课题第八章第三节动能和动能定理授课时间：2024年6月27日课型：新课（观察探究课）课时：一课时教教学目标物理观念：理解动能的内涵，能用动能定理分析解释生产生活中的相关现象，解决一些相关的实际问题科学思维：能利用动能定理解决动力学问题和变力做功问题科学探究：能通过理论推导得出动能定理的内容。
科学态度与责任：通过对动能和动能定理的演绎推理，使学生从中领略到物理等自然科学中所蕴含的严谨的逻辑关系，有较强的学习和研究物理的兴趣。
重点难点重点：1.掌握动能的概念（重点）2.理解动能定理的内容（重点）难点：应用动能定理解决简单或者多过程问题。
教学准备1.动能演示器演示器2.教学PPT课件教学思路学生在初中的基础上进一步明确了:物体的速度、质量越大，物体由于运动而具有的动能就越大。
并认识到功是能量转化的量度，某个力对物体做功就一定对应着某种能量的变化,那么已有的认知经验就会激发学生进一步思索物体动能的表达式和引起物体动能变化的原因，从而为我们接下来的探究教学提供有效条件。
教学过程活动设计1.课前引导提问 3.研究动能和它的变化的规律2.观察各种动能演示器 4. 课堂练习环节一：课前引导提问教师活动：提问1.什么叫势能？2.势能的变化条件是什么？3.能量和功之间有什么关系？4.什么叫动能？5.动能和势能的公式6.能量的单位是什么？学生活动：让学生回答1.物体受到重力的原因而得到的能量2.物体的质量和高度的变化3.做功是能量变化的过程4.物体运动而得到的能量5.Ek=0.5mV2 Eh=mgh6.J KJ环节二：让学生观察圆周运动环节三：讨论圆周运动的规律一、情境引入利用大屏幕投影展示子弹穿扑克牌、风力发电等照片，让学生观察、自主提问、分组探讨物体由于运动而具有的能叫做动能。
列车的动能如何变化？变化的原因是什么？ 磁悬浮列车在牵引力的作用下（不计阻力），速度逐渐增大？ 二、新课教学 一、动能的表达式如图所示设某物体的一个物体的质量为ｍ，初速度为1υ，在与运动方向相同的恒力F 的作用下发生一段位移l ，速度增大到2υ，则： 1．力F 对物体所做的功多大？（W ＝Fl ） 2．物体的加速度多大？a ＝mF3．物体的初速、末速、位移之间有什么关系?al 22122=-υυ4．结合上述三式你能综合推导得到什么样的式子? 5．在学生推导的过程中评析：21222122212221222121222υυυυυυυυm m W a m a Fl W a l al m aF -=⇒-⨯==⇒⎪⎭⎪⎬⎫-=⇒=-= 从21222121υυm m W -=这个式子可以看出，“υm 21”很可能是一个具有特殊意义的物理量。
八年级下册物理第八章第三节
八年级下册物理第八章第三节一、摩擦力的概念。
1. 定义。
- 两个相互接触的物体，当它们相对滑动时，在接触面上会产生一种阻碍相对运动的力，这种力叫做滑动摩擦力。
例如，我们用橡皮擦去铅笔字时，橡皮擦与纸面之间就有滑动摩擦力。
- 当物体有相对运动趋势但尚未发生相对运动时，也会受到摩擦力，这种摩擦力叫做静摩擦力。
我们用力推桌子，但是桌子没有被推动，此时桌子受到静摩擦力。
2. 摩擦力产生的条件。
- 物体间相互接触并且挤压。
如果两个物体没有接触，肯定不会产生摩擦力；而且仅仅接触还不够，还需要有挤压，这样物体之间才有压力。
- 接触面粗糙。
如果接触面是绝对光滑的，像理想中的冰面（假设没有任何摩擦），就不会产生摩擦力。
- 物体间有相对运动或相对运动趋势。
相对运动如一个木块在木板上滑动；相对运动趋势如静止在斜面上的物体有沿斜面下滑的趋势。
二、摩擦力的方向。
1. 滑动摩擦力的方向。
- 与物体相对运动的方向相反。
例如，一个木块在水平木板上向右滑动，那么木块受到的滑动摩擦力方向是向左的。
2. 静摩擦力的方向。
- 与物体相对运动趋势的方向相反。
人走路时，脚相对地面有向后的运动趋势，所以地面给脚的静摩擦力方向是向前的，这个静摩擦力就是人前进的动力。
三、影响摩擦力大小的因素。
1. 实验探究。
- 实验器材：弹簧测力计、长方体木块、粗糙程度不同的木板（如一块光滑木板和一块砂纸木板）、砝码等。
- 实验方法：控制变量法。
- 探究压力对摩擦力大小的影响：- 用弹簧测力计水平拉动放在水平木板上的木块匀速直线运动，读出弹簧测力计的示数F_1，此时F_1 = f（摩擦力）。
- 在木块上加砝码，增大压力，再用弹簧测力计水平拉动木块匀速直线运动，读出弹簧测力计的示数F_2。
会发现F_2>F_1，说明在接触面粗糙程度相同时，压力越大，摩擦力越大。
- 探究接触面粗糙程度对摩擦力大小的影响：- 用弹簧测力计水平拉动木块在光滑木板上匀速直线运动，读出弹簧测力计的示数F_3。
第八章 第三节、磁罗经自差原理
δB
'
δB与罗经航向成正弦函数关系， δB称为半圆自差（航向每变化半个圆 自差变号一次）， B '称为半圆自差系数。
cZ P B '＝ H
δB
180
'
270
0
90
因地磁力 Z，H随磁纬变化而变化, 故δB随纬度发生变化。
第三节、磁罗经自差原理
自差：指罗北偏离磁北的角度δ。 自差产生的原因：由船磁力（硬铁船磁力 和软铁船磁力）产生。 一、波松方程 二、船舶正平时自差 三、倾斜自差
一、泊松方程
1.坐标系（右手直角坐标系）： ox：向船首为正； x oy：向右舷为正； oz：向下为正。
2.地磁场对罗经的作用力：
地磁力在罗经三个坐标轴上投 影力为： ox：X＝Hcos
o by x
OX：bY ； OY：eY ；y OZ：hY ；
ey
hy
z my
3) 垂直方向软铁杆对罗经的作用
船上所有垂直向软铁杆被Z力磁化后， 对罗经产生的总作用力为nZ，其在三个 坐标轴上投影为：
o cz x
OX：cZ ； fz OY：fZ ； y OZ：kZ ；
z
kz nz
4).柏松方程： X´＝X+aX+bY+cZ+P Y´＝Y+dX+eY+fZ+Q Z´ ＝Z+gX+hY+kZ+R
2） A'λH 力
•
•
A 'λH力作用方向垂直于磁子午线，与 航向无关； A' > 0， A'λH指向东；A' < 0, A'λH指向 西。 A 'λH力大小和方向不 Nm 变，故产生恒定自差δA A’H tgδA＝ A'λH / λH =A' A'－恒定自差系数
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1.圆心为点(0，1)，半径为2的圆的标准方程为( )
(A)(x-1)2+y2=4
(B)x2+(y-1)2=2
(C)x2+(y-1)2=4
(D)(x-1)2+y2=2
【解析】选C.由已知得圆的标准方程为(x-0)2+(y-1)2=22，即
x2+(y-1)2=4.
2.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标和半径分别是( )
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( ) (2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b)，半径为t 的一个圆.( ) (3)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆心为 ( a , a），半径为
2
1 3a2 4a 4 的圆.( )
2
(4)方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C≠0，
B=0，D2+E2-4AF＞0.( )
(5)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外，则 x02 y02 Dx0
Ey0 Fபைடு நூலகம்0.
()
【解析】(1)正确.圆由其圆心和半径两个要素就确定了.
(2)错误.当t≠0时，方程表示圆心为(-a,-b)，半径为|t|的圆. (3)错误.当a2+(2a)2-4(2a2+a-1)＞0即-2＜a＜2 时才表示圆.
(B)r＞ 2 或r<- 2
(C)r＜ 2
(D) 2＜r＜ 2
【解析】选B.由已知得 r 2 12 3 22，即 r 2，
r 2或r＜ 2.
4.方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是( )
(A) 1 ＜m＜1
4
(B)m＞1
(C)m＜ 1
(D)m＜ 1 或m＞1
4
4
【解析】选D.由已知得充要条件为(4m)2+(-2)2-4×5m＞0，即
12
32
2
4 b
2
b2
r
2,
r
2
,
解得
b
r
2
1, 10.
∴所求圆的方程是x2+(y-1)2=10.
方法二：线段AB的中点为(1，3)，
k AB
24
3 1
1. 2
∴弦AB的垂直平分线的方程为y-3=2(x-1),
即y=2x+1.
由
y x
2x得 1(,0，1)为所求圆的圆心.
0,
由两点间距离公式得圆的半径 r 0 12 1 42 10,
第三节 圆的方程
考纲 要求
1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与 一般方程 2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想
1.圆的定义、方程
定义 平面内到_定__点__的距离等于_定__长__的点的轨迹叫做圆
标 准
方 程一
般
(x-a)2+(y-b)2 =r2(r＞0)
x2+y2+Dx+ Ey+F=0
∴所求圆的方程是x2+(y-1)2=10.
答案：x2+(y-1)2=10
(2)设经过A，B，C三点的圆的方程为
x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-
4F＞10E)， F 0,
D 2，
则4 1 2D E F 0, 解得 E 6,
9 16 3D 4E F 0, F 5.
故经过A，B，C三点的圆的方程为x2+y2-2x-6y+5=0. 即(x-1)2+(y-3)2=5.
(A)(2，3)，13
(B)(-2，3)，13
(C)(-2，-3)， 13
(D)(2，-3)， 13
【解析】选D.由x2+y2-4x+6y=0得(x-2)2+(y+3)2=13，故圆
心坐
13.
标为(2，-3)，半径为
3.若点(2，3)在⊙C:(x-1)2+(y-2)2=r2内，则( )
(A)r= 2
所以
12 22
22 12
a 4 b 0，解得 2a 2 b 0,
a b
2, 1.
方法二：易知圆心在y=x上，1 a ,
2
即a=-2,又∵点A(1,2)在圆x2+y2-2x-2y+b=0上，∴12+222× 1-2×2+b=0,∴b=1. 答案：-2 1
考向 1 确定圆的方程 【典例1】(1)经过两点A(-1，4)，B(3，2)且圆心在y轴上的圆 的方程为_____________. (2)已知A(0，1)，B(2，1)，C(3，4)，D(-1，2)，问这四点能 否在同一个圆上？为什么？
3
(4)正确.因为A=C≠0,B=0,D2+E2-4AF＞0得方程
Ax2+Bxy+Cy2
+Dx+Ey+F=0表示圆，反之也成立.
（x0
D)2 2
(y0
E )2 2
(＞5)D正2 确E4.2因为4F点，即 Mx(0x2 0,yy020)在Dx圆0 外E，y0 所 F以＞0.
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√
【思路点拨】(1)可用待定系数法求解，也可先求出圆心、半 径再求圆的方程. (2)先求过A，B，C三点的圆的方程，再验证点D与圆的位置关 系即可. 【规范解答】(1)方法一：设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. ∵圆心在y轴上，∴a=0, 故圆的标准方程为x2+(y-b)2=r2.
∵该圆经过A，B两点，
圆心C_(_a_,_b_)_ 半径为r
充要条件：_D_2_+_E_2-_4_F_＞__0_ 圆心坐标：__(__D2__，__E2_)__ 半径r=__12___D_2__E_2___4_F__
2.点与圆的位置关系 (1)确定方法：比较_点__与_圆__心__的距离与半径的大小关系. (2)三种关系： 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，点M(x0,y0). ①_(_x_0_-_a_)_2+_(_y_0_-_b_)_2_=_r_2 ⇔点在圆上； ②_(_x_0_-_a_)_2+_(_y_0_-_b_)_2_＞__r_2 ⇔点在圆外； ③_(_x_0_-_a_)_2+_(_y_0_-_b_)_2_＜__r_2 ⇔点在圆内.
4m2-5m+1＞0，解得：m1 ＜ 或m＞1.
4
5.已知点A(1,2)在圆：x2+y2+ax-2y+b=0上，且点A关于直线xy=0的对称点B也在圆上，则a=__________,b=__________. 【解析】方法一：点A(1,2)关于直线x-y=0的对称点为 B(2,1)，又因为A，B两点都在圆上，
把点D的坐标(-1，2)代入上面方程的左边，得(-1-1)2+(23)2=5.所以点D在经过A，B，C三点的圆上，故A，B，C，D 四点在同一个圆上.