狄拉克方程1

因为量子力学标准波动方程要求的是能量的一次项，但 是 (2)式包含有根号，如果直接作算符代换，动量算符将出 现在根号内：
（3.1）
对自由粒子，有
ห้องสมุดไป่ตู้（3.2）
对力场中的粒子，有（注意，因为有势能项V，光速c不能 放到等号左边）
（3.3）
与薛定谔方程相比，(3.2)式和(3.3)式的潜在问题是动量 算符在根号内，这不是量子力学标准波动方程形式。
（1）
自由粒子薛定谔方程
KG方程
3. 自由粒子解
mc 2 2 c 2 2 t
2 2 4
Ae
i ( k r t )
2 4 mc 2 2 c (k k ) 2
Ae
i ( k r t )
P k
三、狄拉克方程
薛定谔方程因为不是相对论性的，它必然要向 相对论扩展。克莱因-戈登方程就是第一个相对论性 的波动方程，然而却不能计算氢原子，且一直为负 能态和负概率所困扰，所以长期不被物理学家所接 受。狄拉克方程正是在这种困境中应运而生的。它 融合了狭义相对论、海森伯矩阵力学、薛定谔波动 力学三方理论，能够计算氢原子光谱的精细结构， 并且自动产生电子的自旋量子数。更巧妙的是，狄 拉克认为负能态对应着一种电子的反粒子，由此预 言了正电子的存在，并避免了负概率的困难。下面 详细介绍狄拉克方程的建立过程。
克莱因-戈尔登方程（Klein-Gordon equation） 是相对论量子力学和量子场论中的最基本方程， 它是薛定谔方程的相对论形式，可用来描述自 旋为零的粒子。 克莱因-戈尔登方程是由瑞典理论物理学家 奥斯卡·克莱因和德国人沃尔特·戈尔登于 二是世纪二三十年代分别独立推导得出的。
2. 克莱因-戈尔登方程的获得
E
德布罗意波
Ae
i ( r P Et )
2 4 mc 2 2 c (k k ) 2
E c p m c
2 2 2
2 2
2 4
E c p m c
“+” 相对论
2 4
（2）
“-” 量子力学、负能量
保罗·狄拉克： 英国理论物理学家，量子力学奠基者之一。
2 1 i mc t 0
0 1
2 1 i mc t 0
A B
0 1
根据上述方程： 波函数也必须为矩阵形式

第三步：克朗内克δ函数

为了简洁和统一描述(3.9)式，狄拉克采用了克朗内克δ函 数（Kronecker），其定义为：
（3.10）


克朗内克δ函数常用来描述矩阵。通俗地理解就是：如果 i和j表示矩阵的行列序号，那么克朗内克δ函数描述的就 是一个对角元素全部为1、其余元素全部为0的单位矩阵。 如果令 a4 ，则全部(3.9)式都可以用下式统一描述：

第四步：泡利矩阵
为了最终确定这四个系数，狄拉克从泡利矩阵入手进行分析。 最初，电子的自旋是作为假设提出来的，泡利就是为了描述 电子的自旋角动量而创建的三个2阶矩阵 1、 2、 3。有时 为了表示方便，还可以加入两个辅助矩阵：单位矩阵I和0矩 阵O，
（3.12）

泡利矩阵满足如下关系（可以直接验证），或者说有如下一 些性质： （3.13）


如果把(3.9)式看成一个方程组，然后在整个实数和复数范 围内求解，它是没有实数或复数解的，因为平方为1与相 加为0的方程彼此是矛盾的。因此，要得到满足(3.9)式的 解，只能寻找实数和复数以外的数学工具，狄拉克找到的 是泡利矩阵。 这提醒我们，任何没有实数或复数解的方程，很可能都是 我们没有找到合适的数学工具。这种思路将是创造新数学 工具的重要源泉，也正是因为这个原因，狄拉克通常也被 看作是一个重要的数学家。
（3.5）


其中 a (a1,a2 ,a3 ) β是待定系数。不过它们不是一般的系 数，因为一般的系数很难满足(3.4)式。狄拉克后来从 泡利矩阵得到启发：它们如果是4×4的矩阵，那么就 有可能满足(3.4)式。 比较(3.4)式和(3.5)式，可以得到如下对应关系
（3.6）

(3.6)式两边平方，（右边写成乘式，是考虑到矩阵的 不可对易性）

为了得到一组矩阵系数，狄拉克介绍了一种方法。他先把 2×2的泡利矩阵扩展为如下4×4的矩阵，用 1、 2、 3 表示。
、 2 、 3 1
（3.15）

然后，狄拉克参照这三个4×4的泡利矩阵，又拼凑出了三 、 3 个类似的4×4矩阵 1、2、3 ，（ 1、2、3 不是从 1、 2 变过来的，是狄拉克凭经验拼凑出来的，两者没有关系），
（3.7）

展开(3.7)式右边乘式，（注意：展开时，动量各分量 之间可以对易，但矩阵a1,a2 ,a3 ,之间不可对易。也就 是px py py px，但是 a1a2 a2a1 。矩阵乘法一般不满 足交换律）
（3.8）

要保证(3.8)式成立，可以让系数 a1,a2 ,a3 , 满足如下关系
H 1cPx 2cPy 3cP z mc
2
H 2 (1cPx 2cPy 3cPz m c2 ) 2 c 2 ( Px2 Py2 Pz2 ) m 2c 4
E 2 c 2 p 2 m2 c 4
i (c P mc 2 ) t
第一步：建立相对论方程的条件
与建立薛定谔方程类似，我们也是先建立自由粒子的狄 拉克方程，然后建立力场中的狄拉克方程。这里先列出 建立狄拉克方程的两个假设条件： 第一、方程具有量子力学标准波动方程 形式， ˆ 不一样。 Pˆ 仅哈密顿算符 H 第二、方程必须满足相对论的一次能量动量关系，所以 应该是(2)式，而不是(1)式。 这两个条件归结为要确定一个合适的、满足相对论能量 ˆ ，这是建立狄拉克方程的关键。 动量关系的哈密顿算符 H ˆ 因为波动方程左边是能量算符，所以右边的哈密顿算符 H 中就应该包含动量算符 Pˆ 。
第二步：待定系数能量动量关系


为了去掉根号，狄拉克采用了一种很巧妙的思路，实际上 就是一种待定系数法。 对自由粒子，可以把相对论能量动量关系写成如下形式：
（3.4）

狄拉克假定自由粒子的能量E与动量分量 (p x ,p y ,pz ) 质量m 0 之间存在最简单的一次线性关系。这样，对应于(3.4)式， 可以拼凑出一个去掉根号的待定系数方程
、 2 、 3 1
（3.16）

最后，所求的四个矩阵系数 a1、a2、a3、a4 就由 1、 2、 3 和 1、2、3 组合出来，组合的公式和结果为
1、2、3
（3.17）

这就是狄拉克构造出来的满足(3.9)式或(3.11)式的一组矩 阵系数，所有满足这种关系的四个矩阵都称为狄拉克矩阵。 不过，(3.17)式并不是唯一的狄拉克矩阵，它们一般被称 为“泡利组”，因为它们是2泡利矩阵的最简扩展形式。 费米也介绍过另外一种从泡利矩阵扩展出不同狄拉克矩阵 的方法，费米称之为“标准组”，现在也称为矩阵，它在 量子场论中有着广泛的应用。

第六步：自由粒子狄拉克方程

得到狄拉克矩阵后，实际上(3.5)式的待定系数 a(a1,a2 ,a3 )
和 a4 就求出来了，这样，去掉根号的自由粒子相 对论能量动量关系也就得到了，其一般形式就是
利用能量和动量算符
进行代换，并作用于波函数，就得到了自由粒子的狄拉克 方程
i H t
（3.9）

从(3.9)式可以看出，这四个系数 a1,a2 ,a3 , 的位置关系 是完全对称的，类似这样的四个系数关系称为彼此“反 对易”，它们每一个的平方都是1。可以这么理解对易 a1a2 a2a1 称为彼 a1a2 a2a1称为彼此可对易， 和反对易： 此反对易。狄拉克在量子力学中取得的第一个进展，是 借用了泊松括号 [A,B ] AB BA 来表示两个量的对易 关系， [A,B ] 0 表示两个量可对易。
薛定谔方程
薛定谔方程的引入
1. 单色平面波（德布罗意波）
(取实部) 2. 薛定谔方程(一维)
寻求波函数随时间空间变化的规律 从自由粒子平面单色波出发
随空间的变化：
(1)
(2)
随时间的变化：
(2), (3)
(3)
薛定谔方程
3.薛定谔方程(三维)
拉普拉斯算符
4.算符
二、克莱因-戈尔登方程
1. 简介
虽然已经有了克莱因-戈尔登方程，但狄拉克认 为问题并未被解决。这个方程可能给出负值的概 率，量子力学对概率的诠释无法解释。 1928年狄拉克提出了描述电子的相对论性方程： 狄拉克方程。并独立于泡利的工作发现了描述自 旋的2x2矩阵。然而狄拉克方程与克莱因-戈登方 程有相同的问题，存在无法解释的负能量解。 这促使狄拉克预测电子的反粒子（正电子）的存 在。正电子于1932年由安德森在宇宙射线中观察 到而证实。狄拉克方程同时能够解释自旋是 作为一种相对论性的现象。 1933年、狄拉克和薛定谔共同获得了诺贝尔物理学奖。
（3.11）


(3.11)式表明，当 i j 时，有 ai2 aj2 1 ；当 i j 时， 有 aiaj aj ai 0 。也就是说，(3.11)式与(3.9)式完全等 价，待求的这四个系数 a1、a2、a3、a4 必须满足(3.11)式 或(3.9)式。 必须说明的一点是，因为(3.11)式与(3.9)式等价，因此这 里采用克朗内克 δ 函数得到(3.11)式，主要是形式上的意 义。其实，(3.11)式比(3.9)式更加抽象和难以理解，去掉 (3.11)式和克朗内克δ函数丝毫不影响我们对狄拉克方程 的学习。但是，狄拉克是从克朗内克δ函数得到重要的启 发后，才提出狄拉克δ函数的。而且，克朗内克δ函数本 身就很适合描述矩阵，这对于狄拉克最后想到用矩阵表示 (3.9)式，很可能也有启发作用。由此可以想见，狄拉克 为何要在这里“多此一举”引入克朗内克δ函数。