基于狄拉克方程的边缘态理论与应用

基于狄拉克方程的边缘态理论与应用在量子霍尔效应的启示下，科学家们曾预言自然界中可能存在一种新的无自发对称破缺的物质状态。

近年来发现的拓扑绝缘体恰好验证了该项理论。

拓扑绝缘体是当前凝聚态物理领域的热点问题，这类材料的典型特征是体内元激发存在能隙，但在边界上具有受能隙保护的无能隙边缘激发。

我们基于狄拉克方程的边缘态解，从理论上讨论了边缘态形成的主要原因，即体系哈密顿量在时间反演对称下保持不变，导致体系具有两支在禁带内交叉形成狄拉克锥的稳定结构。

为了更加深刻的理解边缘态的概念，我们还利用Bernevig-Hughes-Zhang模型，从细节上研究了由连续模型到附加边缘效应的过程。

此外，我们简单介绍了第一个从实验上实现的拓扑绝缘材料HgTe/CdTe量子阱。

关键词拓扑绝缘体; 量子霍尔效应; 狄拉克方程第一章绪论在经典物理学中，人们常常根据朗道对称破缺理论对物质进行分类，大多数物质的简单相态或相变，都可以从对称性破缺的观点来了解。

但近年来，凝聚态物理中发现的一种新的物理态——整数量子霍尔效应和分数量子霍尔效应——颠覆了这项理论。

为了弄清楚它们的结构，人们把拓扑这个近代数学中的重要概念引进到了凝聚态物理中，拓扑绝缘体正是基于这项理论而发展起来的。

传统材料按照其导电特性可分为：导体，半导体，绝缘体三种。

导体在费米能级附近存在一定密度的电子态，当加上足够小的电压时，电荷元就能够被激发，系统中就会出现电流（如图1a）。

半导体和绝缘体的费米面存在于禁带之中，电荷激发成为自由电子需要克服一个有限大小的能隙，需要很大能量，因而一般不易导电（如图1b）。

拓扑材料则是一种十分特殊的绝缘体，理论上讲，这种材料内部是典型的绝缘体结构，但在它的表面，存在一些特殊受拓扑保护的量子态，这些边缘态联通了体系的价带顶和导带顶，从而使拓扑绝缘体的表面能够导电（如图1c，图1d）。

图1 能带示意图，其中（a）为导体，（b）为绝缘体，（c）为拓扑绝缘体，（d）为时间反演不变的拓扑绝缘体拓扑保护的一维边缘态曾在HgTe/CdTe量子阱中被预言，随后被证实，很快，含铋的固体化合物中又被预言存在拓扑绝缘体，不同实验组通过角分辨电子光谱的方法，在碲化铋，硒化铋等化合物中观察到了拓扑保护的表面量子态，这类材料由于自身存在较强的自旋轨道耦合，使得在不依赖外部磁场作用的下，表现出在表面，存在受到时间反演不变性保护的量子态。

拓扑绝缘体近年来受到极大关注，部分原因是因为在自旋电子学和量子计算可能的技术应用。

最近，人们又在石墨烯中发现了奇特的电子结构，下面几节，我们将具体讨论在石墨烯和一维HgTe/CdTe中的拓扑绝缘体。

从理论上，这类材料由狄拉克方程描述。

由于时间反演不变性，自旋相反的两类手征态在费米面交叉，形成狄拉克锥。

由于边界周期性条件的存在，使得材料的布里渊区形成带有孔洞的（亏格）封闭曲面，这与没有边界限制的情形截然不同，此时将会在材料的边缘出现连接导带和价带的边缘态，从而其表面可以导电，内部绝缘。

当X轴或Y轴存在限制时，有边界条件的情况下，求解薛定谔方程，得到哈密顿量的精确解，即为边缘态。

这种拓扑绝缘体的实现大多是在存在强磁场的情况下，然而，有一种材料在不加磁场时，由于其自身的自旋轨道耦合作用，即存在边缘态，成为了拓扑绝缘体，它的时间反演不变性完全没有被破坏，下面，将简要描述下石墨烯的Kane-Mele模型以及二维HgTe/CdTe量子阱。

本文将从理论上讨论拓扑绝缘材料的理论基础。

首先给出边缘态理论，我们利用简单但极具启发性的Berneving-Hughes-zhang模型介绍边缘态的基本概念；然后针对一类具体的拓扑绝缘材料，从狄拉克方程出发，基于理论和数值再现材料的边缘态；最后简要给出总结与展望。

第一节 Kane-Mele 模型石墨烯是一种二维的碳纳米材料，它的每个碳原子有四个价电子，这四个价电子通过杂化形成σ键，剩下的电子通过共价结合形成π键，在费米面附近，它的电子性质主要靠π键决定，石墨这种奇特的电子结构引起了人们的注意。

05年，Kane 与Mele 通过对单层石墨的研究，预言了石墨烯中的量子自旋霍尔效应的存在，在S z 自旋守恒的假设下，Kane-Mele 模型的哈密顿量H 被写作††i j iji z j ijijH t c c vc s c =-+∑∑ （1.1.1）其中ijk ，d ik 表示位置k 到i 的矢量，则式中2()/1ij kj ik v d d =⨯=±，第二项表示次近邻原子的自旋轨道耦合作用。

由该哈密顿量H 描述的系统具有时间反演不变性，以(),,,A B A B cc c c ↑↑↓↓为基，有()()00/2Haldane Haldane H H H ππ↑↓φ=-/2⎛⎫=⎪φ=+⎝⎭(1.1.2)⇓()()()00Haldane haldane H k H K H K ↑*↓⎛⎫=⎪-⎝⎭(1.1.3)其中（1.1.2）式由（1.1.1）式变换到动量空间得到，通过上述两个互为时间反演的Haldane 模型，我们可以得出Kane-Mele 模型的整个系统时间反演不变的结论。

通过对上述哈密顿量的傅里叶变换及展开，Kane 和Mele 给出了石墨烯中量子自旋霍尔态的具体区域：SO V λλ->，其中V λ为位能交错势。

同时，计算霍尔电导发现，非磁性杂质并不影响量子霍尔自旋态。

图2 Kane-Mele模型的能带和相图可以看出Kane-Mele模型边缘态的实现并非由于外加磁场的作用，而是由于其自身自旋轨道的耦合，其时间反演不变性完全未被破坏，该模型作为早期模型，对拓扑绝缘体的初期研究有不可估量的作用。

第二节二维HgTe/CdTe量子阱由于磁场的导入破坏了体系的时间反演不变性，不引入磁场而实现自旋量子霍尔效应的模型最早由Kane和Mele在Haldane模型的基础上通过引入自旋轨道耦合项而实现的，由于石墨烯的体能隙大约只有10-3Mev，非常小，使得该系统只存在非常微弱的自旋轨道耦合作用，因此，至今为止，实验上还没有观测到石墨烯的量子自旋霍尔效应，寻找新的，具有强自旋轨道耦合的材料就变得十分有必要。

2006年，有人在理论上预言了自旋量子霍尔效应可以在二维HgTe/CdTe量子阱中实现，随后，该预言被德国一所大学的实验组证明。

HgTe/CdTe材料中，CdTe与半导体性质类似，它的S型对称电子在导带上而P型对称电子则在价带上，对于HgTe材料来说，由于Hg原子序数大，较重，使得HgTe的自旋耦合作用远远大于CdTe，导致了能带的反转，从而令材料表现出了一种拓扑性质，如图3所示。

图3 c d d <时，11E H >, c d d >时，11E H <考虑靠近费米能级的四个带，以1,E +↑, 1,H +↑, 1,H -↓,1,E -↓为基矢，以泡利矩阵i σ表示两个子能带，可以在Γ点得到有效的四个能带的哈密顿量()()()()()0,,0eff x y i i H k H k k H k d k H k σ*⎛⎫==+⎪-⎝⎭（1.2.1） 12()x y d id A k ik Ak ++=+≡(1.2.2)223()x y d M B k k =-+ 22()k x y C D k k ε=-+ （1.2.3）A ，B ，C ，D 均依赖于材料参数，由式中可以看出，参数M 可以连续变化，当M>0时，量子阱尺寸d<d c ，能带处于正常状态，系统为正常绝缘体，当M<0时，量子阱尺寸d>d c ，能带发生反转，系统为拓扑绝缘体，d=d c 为临界点，该点处，系统发生拓扑量子相变。

图4为系统分别处于两态时能带图。

图4 （a ）为系统处于拓扑绝缘态时能带图，（b ）为系统处于正常绝缘体时能带图第二章 狄拉克方程的边缘态第一节 边缘态2.1.1 Berneving-Hughes-zhang(BHZ)模型为了清楚地理解边缘态的概念，我们从简单但极具启发性的BHZ 模型入手。

该模型描述了自旋粒子在晶格中的跃迁，它的精确哈密顿量为：()[cos cos ](sin sin )x y z x x y y H k k k A k k σσσ=∆++++ （2.1.1.1）其中∆表示塞曼能级分裂，A 表示体系的自旋轨道耦合。

从哈密顿量的形式看，它是个简单的两带模型，在不考虑边缘态的情况下，能谱形成两支被能隙隔离的价带和导带。

为了简单起见，我们仅讨论“半”BHZ 模型，即该模型仅在其中一个维度上作限定，使其满足周期性边界条件，而另一维度保持原有的状态，因此在该维度上，它的动量分量依然是好量子数。

2.1.2“半”BHZ 模型(2.1.1.1)式中所得精确哈密顿量是在未限定边界条件的情况下求得的，假设我们对y 限制边界，x 仍取无边界情况。

首先利用欧拉公式将（2.1.1.1）式中三角函数转化为自然指数形式，x 方向保持原有的状态不变，可以得到下式：[cos ]A(sink )22iky iky iky ikyx z x x y e e e e H k iσσσ--+-=∆++++ (2.1.2.1)将边界条件N 代入上式：11Nyy n n →∑ (2.1.2.2)ikye 和ikye -可变换为：11111;1N N ikyikyy y yy en n en n ---→+→+∑∑ （2.1.2.3）其中1y n +和y n 为近邻原子。

得到哈密顿方程精确解为：††ˆˆˆˆ,,,,,,()()()()()x n x m n m n m x m n x m y m n y y n yH U n T n T m T n T m δδδδδ----=++++ (2.1.2.4) 该式仅依赖于x 方向的动量分量。

基于哈密顿量的矩阵形式，我们可以通过严格对角化给出体系的能谱，我们注意到该哈密顿量的矩阵元含有虚数项，但由于哈密顿量是厄米的，对角化时需要将矩阵的维数扩大一倍，进而得到两支能谱。

具体的结果如图可示。

从图上我们可以看到在价带顶和导带底由两条自旋相反的边缘态联系起来，它们在费米面出交叉形成狄拉克锥，由于时间反演不变的保护，它们的状态是稳定的，只有改变体系的拓扑结构才能破坏这种稳定性。

而改变体系的拓扑结构意味着改变原有的哈密顿量，只有外部条件的引入才能导致哈密顿量连续性的遭到破坏。

图5第二节 狄拉克方程下的边缘态我们以三维拓扑绝缘体Bi 2Se 3为模型，我们同样仅考虑半无限情形的边界条件。

假定该材料是沿z 轴生长的薄膜材料，因此在该维度上体系的状态将受到限制，而在x-y 平面保持电子的平面波状态。

由于材料中存在强的自旋轨道耦合作用，两个具有相反宇称的轨道P z 在γ点发生了能带反转，使得Bi 2Se 3γ点附近的电子结构可以决定该材料的拓扑性质，在Se 和Bi的P 轨道耦合的情况下，我们以1,2,1,2,z z z z p p p p +-+-{↑,↑,↓,↓}为基矢，-4-224-3-2-10123Ekx可以得到哈密顿量的模型12221221()()()()x zxh A A k H k C D D k A k h A σσ+-⎛⎫=-∂++⎪-⎝⎭(2.2.1) 其中221121()()z z z xh A M B B k iA σσ=+∂--∂(2.2.2)ασ为泡利矩阵，222x y k k k =+，=x y k k ik ±±，该哈密顿量具有时间反演不变性。