量子力学之薛定谔方程与狄拉克方程培训资料
《量子力学》复习资料提纲
)(Et r p i p Ae-⋅=ρϖηϖψ《量子力学》复习 提纲一、基本假设 1、（1）微观粒子状态的描述 （2）波函数具有什么样的特性 （3）波函数的统计解释2、态叠加原理（说明了经典和量子的区别）3、波函数随时间变化所满足的方程 薛定谔方程4、量子力学中力学量与算符之间的关系5、自旋的基本假设 二、三个实验1、康普顿散射（证明了光子具有粒子性） 第一章2、戴维逊-革末实验（证明了电子具有波动性） 第三章3、史特恩-盖拉赫实验（证明了电子自旋） 第七章 三、证明1、粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化；2、厄密算符的本征值为实数；3、力学量算符的本征函数在非简并情况下正交；4、力学量算符的本征函数组成完全系；5、量子力学测不准关系的证明；6、常见力学量算符之间对易的证明；7、泡利算符的形成。
四、表象算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。
五、计算1、力学量、平均值、几率；2、会解简单的薛定谔方程。
第一章 绪论1、德布洛意假设： 德布洛意关系：戴维孙-革末电子衍射实验的结果： 2、德布洛意平面波：3、光的波动性和粒子性的实验证据：4、光电效应：5、康普顿散射： 附：（1）康普顿散射证明了光具有粒子性（2）戴维逊-革末实验证明了电子具有波动性∑=nnn c ψψ1d 2=⎰τψ（全）()ψψψψμ∇-∇2=**ηϖi j ⎩⎨⎧≥≤∞<<=ax x a x x V 或0,0,0)(0=⋅∇+∂∂j tϖρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=),(222t r V H ϖημ)(,)(),(r er t r n tE i n n n ϖϖϖηψψψ-=n n n E H ψψ=（3）史特恩-盖拉赫实验证明了电子自旋第二章 波函数和薛定谔方程1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。
2．波函数统计解释：若粒子的状态用()t r ,ρψ描写，τψτψψd d 2*=表示在t 时刻，空间r ρ处体积元τd 内找到粒子的几率（设ψ是归一化的）。
量子物理薛定谔方程
方程左
端为： i
1 df (t) E
f (t) dt
其解为 f (t) CeiEt /
2
其右端 [ 2 V ( x)]u( x) Eu( x) 2m
方程的解 ( x, t) u( x)eiEt /
定态薛定谔方程 或哈密顿方程 P54 2.3.12式
2
定态薛定谔方 [ 2 V (x)]u(x) Eu(x) (x, t) u(x)eiEt / h
2
2m
2
( x, t)
p2
2m
( x, t)
Ek
( x, t)
其中
2 2 2 2 x2 y2 z2
拉普拉斯算符
Ek
p2 2m
p2 px2 py2 pz2
粒子的动能
由于自由粒子不受外力，没有势能，它的总能量就是它的动
能，即
E
Ek
p2 2m
所以
i
(x,t)
t
E
( x, t )
Ek
( x, t )
14
徐光宪
1920
88
神经外科专家 化学家
15
谷超豪
1926
83
数学家
16 截止22000191年20名孙家最栋高科学技术奖192获9 得者获奖时平80 均年龄81.85火岁箭（卫星岁专家数
总和1637岁），最小的64岁，最大的92岁。
17
师昌绪
1920
90
金属学及材料专家
2010
18
王振义
1924
其目的是通过处理简单的波动方程获 得对量子现象的具体而直观的理解。
如果势能函数不含时间，即对于定态势能场，则有
V (x,t) V (x)
狄拉克方程
展开(3.7)式右边乘式，（注意：展开时，动量各分量 , a a 之间可以对易，但矩阵a 之间不可对易。也就 1 2, 3, a a 是p ，但是 a xp y p yp x 1 2 a 2 1 。矩阵乘法一般不满 足交换律）
（3.8）
要保证(3.8)式成立，可以让系数 a , a a 满足如下关系 1 2, 3,
玻恩，1954年获诺贝尔物理学奖
粒子在t时刻r点出现的几率
注意
(1)
概率振幅 归一化条件 态叠加、干涉
(2) (3)
干涉项
薛定谔方程
薛定谔、奥地利物理学家，1926 年建立了以薛定谔方程为基础的 波动力学，1933年获诺贝尔物理 学奖。
质点运动、电磁波(光学) 牛顿方程、麦克斯韦方程
物质波函数满足的规律
第二步：待定系数能量动量关系
为了去掉根号，狄拉克采用了一种很巧妙的思路，实际上 就是一种待定系数法。 对自由粒子，可以把相对论能量动量关系写成如下形式：
（3.4）
狄拉克假定自由粒子的能量E与动量分量 (px ,py ,pz ) 质量m 0 之间存在最简单的一次线性关系。这样，对应于(3.4)式， 可以拼凑出一个去掉根号的待定系数方程
《高等量子力学》 狄拉克方程
苏小强
内容提要
1.背景知识回顾：波函数、薛定谔方程
（非相对论的）
2.克莱因-戈尔登方程
相对论的
3.狄拉克方程
一、波函数和薛定谔方程
1. 物质波
德布罗意，1929年的诺贝尔物理学奖
2. 玻恩统计解释
电子源
感 光 屏
1926年，德国物理学家玻恩提出了几率波的概 念: 在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个 函数叫波函数。波函数在空间中某一点的强度（波 函数模的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。 这样描写粒子的波叫几率波。
量子力学复习资料
《量子力学》复习资料第一章 绪论1、经典物理学的困难：①黑体辐射；②光电效应；③氢原子线性光谱；④固体在低温下的比热。
2、★★★普朗克提出能量子假说：黑体只能以νh E =为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，⋯⋯==,3,2,1 n nh E n ν，能量的最小单元νh 称为能量子。
意义：解决了黑体辐射问题。
3、★★★（末考选择）爱因斯坦提出光量子假说：电磁辐射不仅在发射和吸收时以能量νh 的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速c 传播，这种粒子叫做光量子，也叫光子。
意义：解释了光电效应。
【注】光电效应方程为0221W hv v m m e -= 4、★★★玻尔的三个基本假设：①定态假设：原子核外电子处在一些不连续的定常状态上，称为定态，而且这些定态相应的能量是分立的。
②跃迁假设：原子在与能级m E 和n E 相对应的两个定态之间跃迁时，将吸收或辐射频率为ν的光子，而且有m n E E hv -=.③角动量量子化假设：角动量必须是 的整数倍，即 ,3,2,1,==n n L意义：解决了氢原子光谱问题。
（末考选择）5、★★★玻尔理论后来也遇到了困难，为解决这些困难，德布罗意提出了微观粒子也具有波粒二象性的假说。
6、德布罗意公式：⇒⎪⎩⎪⎨⎧===k n h p h Eλν意义：将光的波动性和粒子性联系起来，两式的左端描述的是粒子性（能量和动量），右端描述的是波动性（频率和波长）。
7、（填空）德布罗意波长的计算：meUhmE h p h 22===λ 8、★★★康普顿散射实验的意义：证明了光具有粒子性。
（末考填空）同时也证实了普朗克和爱因斯坦理论的正确性。
9、★★★证实了电子具有波动性的典型实验：戴维孙-革末的电子衍射实验（也证实了德布罗意假说的正确性）、电子双缝衍射实验。
10、微观粒子的运动状态和经典粒子的运动状态的区别：（1）描述方式不同：微观粒子的运动状态用波函数描述，经典粒子的运动状态用坐标和动量描述；（2）遵循规律不同：微观粒子的运动遵循薛定谔方程，经典粒子的运动遵循牛顿第二定律。
量子物理第二章-薛定谔方程ppt课件.ppt
P2 Ψ 2
2 2Ψ
2m
x 2
i Ψ t
E
Ek
P2 2m
一维自由粒子的 含时薛定谔方程
2、一维势场 U (x,t) 中运动粒子薛定谔方程
E
Ek
U
(x,t)
P2 2m
U
(x,t)
Ψ t
i
EΨ
2Ψ x 2
P2 2
Ψ
Ψ t
i
[
P2 2m
U
(x,
t)]Ψ
2
2m
2Ψ x2
P2 Ψ 2m
2 2m
0
波函数本身无直观物理意义，只有模的平方反映粒子出 现的概率，在这一点上不同于机械波，电磁波!
2、玻恩（M..Born)的波函数统计解释:
概率密度： w Ψ (r,t) 2 ΨΨ*
单位体积内粒子出现的概率! 3、波函数满足的条件
1、单值： 在一个地方出现只有一种可能性； 2、连续：概率不会在某处发生突变； 3、有限 4、粒子在整个空间出现的总概率等于 1
(x) Asin(kx ) ( a x a)
（2）确定常数 A、
2
2
由波函数连续性， 边界条件 (-a/2) = 0 (a/2) = 0
Asin( ka 2 ) 0 ka 2 l1
Asin( ka 2 ) 0
2 (l1 l2) l
ka 2 l2 l
2
1）当 l 0 时 o Asin kx ——奇函数。 2）当 l 1 时 e Acos kx ——偶函数。
3. 薛定谔方程是对时间的一阶偏微分方程, 因此波动形式 解要求在方程中必须有虚数因子 i，波函数是复函数。
4. 只有动量确定的自由粒子才能用平面波的描写。
量子物理 第二章 薛定谔方程
v v Ψ ( r , t ) = ψ ( r ) f (t )
ih df 1 ⎡ h2 2 v ⎤ （1） ⇒ = − ⎢− ∇ + U ( r ) ⎥ψ = E f dt ψ ⎣ 2μ ⎦
（2）
⎡ h2 2 v ⎤ v v ∇ + U ( r ) ⎥ψ ( r ) = Eψ ( r ) ⎢− ⎣ 2μ ⎦
当
A≠0 B=0 nπ αn =
2a
，有
sin αa = 0
(6)
（n为偶数） ，有
当
A=0 B≠0
nπ αn = 2a
cos αa = 0
(7)
（n为奇数）
(6)和(7)两式统一写成
nπ αn = , 2a
n = 1,2,3, L
（8）
22
2.3 一维无限深势阱 The infinite potential well
（3）
10
2.2 定态薛定谔方程 Time independent Schrödinger equation
df ih = Ef (t ) dt
（4） （2） 令 则 （4）
i − Et h
⇒
f (t ) = Ce
（5）
i − Et h
v ⇒ Ψ ( r , t ) = ψ ( r )e
（6）
ω = E/ h E =hω
9
2.2 定态薛定谔方程 Time independent Schrödinger equation
1．定态，定态波函数 v ∂Ψ(r , t ) ⎡ h 2 2 v ⎤ v = ⎢− ∇ + U (r , t )⎥ Ψ(r , t ) ih ∂t ⎣ 2μ ⎦ 若
（1）
17.4 薛定谔方程
( x)
2 nπ sin x a a
概率密度
2 2 nπ ( x) sin ( x) a a
2
例如，当 n =1时， 粒子在 x = a /2处出 现的概率最大
第17章 量子物理基础
18
大学 物理学
17.4
薛定谔方程
( x) 定态波函数：
3 含时波函数
2 nπ sin x A sin kx a a
i
2π ( Et px ) h
第17章 量子物理基础
4
大学 物理学
17.4
薛定谔方程
带入下面两式
2 粒子在势能为 Ep的势场中运动 p2 Ep E Ek Ep 2m
Ψ i2π EΨ t h
2Ψ 4π 2 p 2 Ψ 2 2 x h
得到：
一维运动粒子的含时薛定谔方程
17.4
薛定谔方程
Ep
通解：
( x) A sin kx B cos kx
A、B和 k 是待定常数
5
由波函数自然条件和边界条件定特解 o
连续性： (0) (a) 0
(0) Asin 0 B cos 0 0 (a) Asin ka B cos ka 0
大学 物理学
17.4
薛定谔方程
一.经典力学的动力学方程
dp F mav c dt
实验规律
r
p
已知F
a
v
描述粒子运动
二.量子力学的动力学方程 描述粒子运动
薛定谔方程
1
假定和建立（不是推导）薛定谔方程
第17章 量子物理基础
狄拉克方程PPT精品文档
.
18
其中 a(a1,a2,a3)β是待定系数。不过它们不是一般的系
数，因为一般的系数很难满足(3.4)式。狄拉克后来从 泡利矩阵得到启发：它们如果是4×4的矩阵，那么就 有可能满足(3.4)式。 比较(3.4)式和(3.5)式，可以得到如下对应关系
（3.6）
(3.6)式两边平方，（右边写成乘式，是考虑到矩阵的 不可对易性）
玻恩，1954年获诺贝尔物理学奖
.
4
注意
粒子在t时刻r点出现的几率
(1)
概率振幅
(2) 归一化条件 (3) 态叠加、干涉
干涉项
.
5
薛定谔方程
薛定谔、奥地利物理学家，1926 年建立了以薛定谔方程为基础的 波动力学，1933年获诺贝尔物理 学奖。
质点运动、电磁波(光学) 牛顿方程、麦克斯韦方程
物质波函数满足的规律 薛定谔方程
《高等量子力学》 狄拉克方程
苏小强
.
1
内容提要
1.背景知识回顾：波函数、薛定谔方程
（非相对论的）
2.克莱因-戈尔登方程 3.狄拉克方程
相对论的
.
2
一、波函数和薛定谔方程
1. 物质波
德布罗意，1929年的诺贝尔物理学奖
.
3
2. 玻恩统计解释
电子源 感 光 屏
1926年，德国物理学家玻恩提出了几率波的概 念: 在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个 函数叫波函数。波函数在空间中某一点的强度（波 函数模的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。 这样描写粒子的波叫几率波。
中就应该包含动量算符Pˆ 。
.
16
因为量子力学标准波动方程要求的是能量的一次项，但 是
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
他 对物理学的主要贡献是：给出描述费米子的相 对论性量子力学方程（狄拉克方程），给出反粒子（正电 子）解，1932年，美国物理学家安德森证实反粒子的存在； 预言磁单极；费米—狄拉克统计。另外在量子场论尤其是 量子电动力学方面也作出了奠基性的工作。在重力论和重 力量子化方面也有杰出的工作。
其他即将实现的应用
狄拉克方程
在理论物理中，相对于薛定谔方程之 于非相对论量子力学，狄拉克方程是相对论 量子力学的一项描述自旋-½ 粒子的波函数方 程，不带矛盾地同时遵守了狭义相对论与量 子力学两者的原理，实则为薛定谔方程的洛 伦兹协变式。这条方程预言了反粒子的存在， 随后1932年由卡尔·安德森发现了正电子 (positron)而证实。
上图：晶体管的变迁 右图：Intel公布的含15 亿晶体管的Ivy Bridge 芯片
二、激光诞生 今天，无论是家用CD播放器，还是战区导弹防御系
统，激光已经在当代人类的社会生活中，占据了核心地位。 激光器的原理，是先冲击围绕原子旋转的电子，令其
在重回低能量级别时迸发出光子。这些光子随后又会引发 周围的原子发生同样的变化，即发射出光子。最终，在激 光器的引导下，这些光子形成稳定的集中束流，即我们所 看到的激光。当然，人们能够知晓这些，离不开理论物理 学家马克斯·普朗克及其发现的量子力学原理。普朗克指 出，原子的能量级别不是连续的，而是分散、不连贯的。 当原子发射出能量时，是以在离散值上被称作量子的最小 基本单位进行的。激光器工作的原理，实际上就是激发一 个特定量子散发能量。
一、薛定谔方程和狄拉克方程 二、量子力学的一些应用
认识一下量子前辈们
一、量子力学之薛定谔方程和狄拉克方 程
薛定谔
狄拉克
薛定谔(Erwinschrodinger，1887-1961)因发现原子理论
的有效的新形式——波动力学ceDirac，1902—1984)因创立相对论
三、量子力学的应用 量子力学在哪？
你不正沉浸于其中吗。。。
一、陌生的量子，不陌生的晶体管 晶体管的优势在于它能够同时扮演电子信号放大器和 转换器的角色。这几乎是所有现代电子设备最基本的功能 需求。但晶体管的出现，首先必须要感谢的就是量子力学。 正是在量子力学基础研究领域获得的突破，斯坦福大学的 研究者尤金·瓦格纳及其学生弗里德里希·塞茨得以在1930 年发现半导体的性质。在晶体管上加电压能实现门的功能， 控制管中电流的导通或者截止，利用这个原理便能实现信 息编码，以至于编写一种1和0的语言来操作它们。到 1954年，美国军方成功制造出世界首台晶体管计算机 TRIDAC。与之前动辄楼房般臃肿的不靠谱的真空管计算 机前辈们相比，TRIDAC只有3立方英尺大，耗电不过100 瓦特。今天，英特尔和AMD的尖端芯片上，已经能够摆 放数十亿个微处理器。而这一切都必须归功于量子力学。
性的波动力学方程——狄拉克方程，共同分享了1933年
度诺贝尔物理学奖。
在1926年发表的第二篇论文中，薛定谔建立了更为 一般的含时间的薛定谔方程
保罗·阿德里·莫里斯·狄拉克（Paul Adrie Maurice Dirac，1902年8月8日－1984年10月20日），英 国理论物理学家，量子力学的奠基者之一